Полуинварианты и пространства модулей представлений колчанов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 512.64

Федотов Станислав Николаевич

Полуинварианты и пространства модулей

представлений колчанов

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

1 4 ПАР 2013

005050713

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Аржанцев Иван Владимирович

доктор физико-математических наук профессор Зубков Александр Николаевич (ФГБОУ ВПО "Омский государственный университет им. Ф.М.Достоевского")

кандидат физико-математических наук Шмелькин Дмитрий Альфредович (ООО "Техкомпания Хуавэй", старший инженер)

Омский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится 5 апреля 2013 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-матемаг тический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан 5 марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Александр Олегови1

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению представлений, полуинвариантов и пространств модулей представлений колчанов методами геометрической теории инвариантов.

Колчаны предоставляют удобную интерпретацию многих классических задач линейной алгебры. Рассмотрим, к примеру, колчан Lqj: с двумя вершинами, q петлями в первой вершине и к стрелками, ведущими из первой вершины во вторую. Нетрудно видеть, что задача классификации представлений этого колчана с вектором размерностей (m, 1) равносильна задаче о классификации наборов из q линейных операторов и к линейных функций на т-мерном векторном пространстве.

Поскольку проблема классификации представлений колчана Q с вектором размерности а сводится к изучению действия редуктивной группы GL(a) на аффинном пространстве Rep(Q, а), в её рамках находят применение различные методы теории инвариантов. В первую очередь для этого нужно уметь находить инварианты действия GL(a) на Rep(Q, q). Важные результаты были получены К. Прочези1 и Ю.П. Размысловым2, которые описали соответственно порождающие алгебры инвариантов для действия группы GLn на наборах операторов в n-мерном векторном пространстве и соотношения между ними. Для произвольного колчана и алгебраически замкнутого поля порождающие алгебры инвариантов были описаны Л. Jle Брюном и К. Прочези3; тем не менее, их результат известен как теорема Прочези-Размыслова. Её обобщения для произвольных бесконечных полей были получены С. Донкиным4 и А.Н. Зубковым5.

Точки категорного фактора M.(Q,a) := Rep(Q, a)// GL(a) находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми СЬ(а)-орбитами. Нетрудно показать, что это в точности орбиты полупростых представлений колчана Q с вектором размерности а. Более того, единственной замкнутой орбитой в замыкании орбиты представления колчана является орби-

■С. Procesi, The invariant theory of n x n matrices, Adv. Math., 19, 1976, 306-381

2Ю. П. Размыслов, Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль. Изв. АН СССР. Сер. матем., 38:4, 1974, 723-756

3L. Le Bruyn, С. Procesi, Semisimple representations of quivers, Trans. Amer. Math. Soc., 317, 1990, no. 2, 585-598

4S. Donkin, Polynomial invariants of representations of quivers, Comment. Math. Helv., 69, 1994, no.l, 137-141

5A. H. Зубков, Теорема Размыслова-Прочези для представлений колчанов, Фундам. прикл. матем., 7:2, 2001, 387-421

та прямой суммы композиционных факторов его фильтрации Жорданаг Гёльдера.

Из теоремы Прочези-Размыслова следует, что для колчанов без ориентированных циклов непостоянных инвариантов нет, то есть категорный фактор есть точка. С другой стороны, можно непосредственно убедиться, что у такого колчана имеется лишь одно а-мерное полупростое представление, в котором все отображения вдоль стрелок нулевые. С увеличением числа ориентированных циклов число порождающих алгебры инвариантов и соотношений между ними растёт очень быстро, так что уже для колчанов L2,k чрезвычайной сложно использовать категорный фактор как средство классификации.

Это заставляет искать другие, более эффективные способы классификации орбит. Одним из них является переход к открытому подмножеству, на котором алгебра инвариантов будет богаче. Другим — рассмотрение расширенного пространства представлений, когда удаётся добиться большей точности за счёт добавления новой информации. Ярким представителем первого подхода является конструкция А.Д. Кинга; второй же вырос в теорию оснащённых представлений.

Конструкция Кинга является частным случаем конструкции Мамфор-да из геометрической теории инвариантов. Её идея состоит в том, чтобы рассмотреть тривиальное линейное расслоение над Rep(Q,a), подкрученное на характер х группы GL(a), а затем ограничиться рассмотрением открытого подмножества в Rep(Q, а), состоящего из х-полустабильных представлений. Кинг показал, что это понятие (полу-)стабильности может быть переформулировано на языке характеров абелевых категорий и обосновал существование грубого многообразия модулей для полустабильных представлений. Его подход был обобщён и переформулирован А.Н. Рудаковым6, вместо характеров абелевых категорий использовавшим наклоны.

Для того, чтобы применять конструкцию Кинга, необходимо уметь вычислять полуинварианты представлений весов, кратных данному. Эта задача является частным случаем более общей проблемы, связанной с нахождением алгебры полуинвариантов. На данный момент для неё нет аналога теоремы Прочези-Размыслова. Имеются лишь описания порождающих алгебры ¡k[Rep(Q, a)]Si(Q) как векторного пространства, предложенные в работах X. Дерксена и Дж. Веймана7, М. Домокоса и А.Н. Зубкова8, а также

6А. Rudakov, Stability for an abelian category, J. Algebra, 197, 1997, no. 1, 231-245

TH. Derksen, J. Weyman Semi-invariants of quivers and saturation for Littlewood-Richardson coefficients, J. Amer. Math. Soc., 13, 2000, no. 3, 467-479

8M. Domokos, A.N. Zubkov, Semi-invariants of quivers as determinants, Transformation Groups,

М. Ван дер Берга и А. Схофилда9.

Оснащённые представление впервые появились в работе X. Накаджи-мы10 в качестве одного из шагов в построении многообразий Накаджимы. Пусть Q — некоторый колчан и а — вектор размерности. Зафиксируем дополнительный вектор размерности £ и рассмотрим расширенное пространство представлений Rep(Q, а, () := Rep(Q, а) ф ©¿е0о Homk(kai, kCi)-Элементы Rep(Q, а, С) называются оснащёнными представлениями колчана Q. Если дополнительно зафиксировать набор k-векгорных пространств Vi размерностей dim V{ = Q, то элементы Rep(Q, а, С) можно понимать как пары (М,/), где М — представление колчана Q с вектором размерностей

а, &. f = (fc \ Mi Vj);SQ0 — набор линейных отображений (который также можно рассматривать как отображение (Зо-градуирооапных векторных пространств). Условие стабильности оснащённых представлений изначально было сформулировано на языке теории представлений: пара (М, /) стабильна, если никакое собственное ненулевое подпредставление N С М не лежит в ядре /. Однако легко показать, что оно равносильно стабильности относительно некоторого наклона. Из этого сразу следует, что для множества стабильных оснащённых представлений существует геометрический фактор. Более того, если колчан не содержит ориентированных циклов, то факторпространство является проективным многообразием. Для колчанов без ориентированных циклов М. Райнеке удалось11 реализовать пространство модулей оснащённых представлений как грассманиан подпредставле-ний в некотором инъективном представлении.

Й. Энгель и М. Райнеке предложили также другой подход к изучению пространств модулей оснащённых представлений колчанов12. Напомним, что, будучи фактором Мамфорда, они допускают расслоение над стандарт^ ным категорным фактором. Если Q — колчан без ориентированных циклов, то категорный фактор будет точкой для любого вектора размерностей. В противном случае геометрию многообразия модулей можно изучать, рассматривая отдельные слои отображения указанной выше проекции. Й. Энгель и М. Райнеке показали, что они могут быть охарактеризованы как

б, 2001, по. 1, 9-24

9А. Schofield, М. Van den Bergh, Semi-invariants of quivers for arbitrary dimension vectors, Indag. Math. (N.S.) 12, 2001, 125-138

10H. Nakajima, Varieties associated with quivers, in: Representation Theory of Algebras and Related Topics, Mexico City, 1994, in: CMS Conf. Proc., vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, 139-157

UM. Reineke, Framed quiver moduli, cohomology, and quantum groups, J. Algebra, 320, 2008, по. 1, 94-115

12J. Engel, M. Reineke, Smooth models of quiver modui, Math. Z., 262, 2009, 817-848

нуль-слои аналогичной проекции для другого колчана и другой пары векторов размерностей.

Цель работы

Изучение представлений колчанов, их полуинвариантов и пространств модулей. Перед автором стояли следующие задачи:

• изучить структуру алгебры полуинвариантов представлений колчана с вектором размерности (2,..., 2);

• построить явную реализацию пространств модулей стабильных оснащённых представлений колчанов и конечномерных ассоциативных алгебр;

• получить явную классификацию стабильных оснащённых представлений колчанов.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Описана конечная система порождающих для алгебры полуинвариантов представлений колчанов с вектором размерностей (2,... ,2).

• Построены явные реализации для пространств модулей стабильных оснащённых представлений конечномерных ассоциативных алгебр, а также для слоев проекции пространств модулей стабильных оснащённых представлений колчана на стандартный категорный фактор. Показано, что все они изоморфны грассманианам подмодулей в инъективных модулях над некоторыми конечномерными алгебрами. Для колчанов специального вида установлено, что эта алгебра может быть выбрана наследственной.

• В задаче классификации стабильных оснащенных представлений колчанов построен конечный набор нормальных форм.

Основные методы исследования

В работе используются методы теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов, алгебраической геометрии, а также теории представлений колчанов и конечномерных ассоциативных алгебр.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории инвариантов и теории представлений колчанов и конечномерных ассоциативных алгебр.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

(1) Семинар кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством Э.Б. Винберга и А.Л. Онищика (2009);

(2) Совместный алгебраический семинар Киевского государственного университета и Московского государственного университета (Киев, Украина, 2009);

(3) Алгебраический семинар института математики национальной академии наук Украины (Киев, Украина, 2010);

(4) Семинар отдела алгебры и теории чисел Института проблем передачи информации им. A.A. Харкевича РАН (2010);

(5) "Algebraische Geometrie" под руководством X. Фленнера в Рурском университете (Бохум, Германия, 2010);

(6) "Darstellungstheorie" под руководством К. Бонгартца и М. Райнеке в Университете Вупперталя (Вупперталь, Германия, 2010)

(7) Научно-исследовательский семинар кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова (2012);

а также на конференциях

(1) Летняя школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Самара, 2009);

(2) Вторая школа конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Москва, 2011);

(3) Третья школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Тольятти, 2012);

(4) Международная конференция по представлениям алгебр "1С11А-2012" (Билефельд, Германия, 2012).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трёх работах, список которых приводится в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав. Общий объём диссертации составляет 105 страниц. Список литературы содержит 33 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации изложена краткая история вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты. Также описана структура и краткое содержание диссертации.

Первая глава

Первая глава посвящена изучению полуинвариантов 2-представлений колчанов, то есть представлений с вектором размерности (2,2,..., 2). Основным результатом является описание порождающих алгебры полуинвариантов в духе теоремы Прочези-Размыслова.

В первом разделе напоминаются результаты, полученные М. Домокосом и А.Н. Зубковым8.

Пусть <2о = {1,...,п}. Зафиксируем вектор размерности а и два таких набора г = (га,..., г^) и 5 = О1, • • ■,¿1) чисел от 1 до п (возможно, повторяющихся), что (а^ +... + а,{к) = (а^ + .. . + и рассмотрим всевозможные матрицы размера (а^ + ... + оцк) х (а;1 + ... + а^) вида

¿1 ... гя ... 1к

31 (уп^п ... уиРи ... У1к^1к\

А— ■= ' ' ''

13 ' Зг Уг\Рт1 ... УгзРщ ... УткРтк '

31 \ynFki ... УкзЪэ ... уА)

где угз — формальные переменные, а в качестве матрицы можно подставлять либо 0, либо матрицу какого-либо отображения, идущего из вер-

шины is в вершину ]т, либо единичную матрицу, если ¿8 = ]г. Для конкретного представления (М7, ф) матрица вида задает отображение из © . . . © \У{к в У/^ © . . . © \Vjb-, кроме того, ее определитель будет многочленом относительно переменных Уп с 5Ь(а)-инвариантыми коэффициентами: \АГ]\ = где = - мультистепени, а ж™ — матричные элементы матриц Ргз.

Теорема. Алгебра к[11ер((3, а)]51^"' как линейное пространство порождена полуинвариантами вида Ьр(х™).

Таким образом, изучение полуинвариантов 2-представлений колчанов сводится к изучению определителей 2-блочных матриц.

Матрицей, присоединенной к данной квадратной матрице А, будем называть матрицу А, составленную из алгебраических дополнений к элементам АТ. Удобно считать, что матрица, присоединенная к матрице линейного отображения F : II V, определяет линейное отображение из V в I/. Рассмотрим произвольный колчан С}. Пусть фо = {1,...,п} и <51 = {а!,..., а3}. Колчану сопоставим колчан <2, в котором (¿о — (¿о и <Эх = {аь • ■ ■ I «Л и {Ьх,..., 68}> причем НЬ^ = Ьщ, Щ — Исц. Представлением колчана <3, ассоциированным с представлением (1У, ¡р) колчана С}, назовем представление с теми же пространствами \¥г, и отображениями '■Ра, и I-р\ц = Фщ ■ Маршрутом в колчане назовем ориентированный цикл в колчане С}. К примеру, любой ориентированный цикл в — это маршрут. Назовем маршрут простым, если в отвечающем ему ориентированном цикле ни одно ребро не повторяется дважды. След маршрута — это след композиции линейных отображений, идущих по стрелкам соответствующего цикла в колчане С} в ассоциированном представлении.

Второй и третий разделы посвящены доказательству того, что определители матриц вида Ац выражаются как многочлены от следов простых маршрутов в колчане. Более точно, доказывается следующий результат. Рассмотрим колчан Ик с к вершинами, каждые две из которых соединены ровно одной стрелкой. В диссертации строится семейство Тк наборов маршрутов в колчане Нк, для которого верно следующее утверждение.

Утверждение 1.3. Для 2-блочной матрицы

г = б Ма^хгьОЮ

имеет место равенство

№ = £ П(-1)'!<РЬ12_1/(РНгР'

7>еРк РёР

где 1(Р) — количество элементов набора Р, а

^ _ Г1, если Р имеет вид или

1 0, в противном случае.

Наконец, четвёртый раздел посвящён доказательству основного результата главы.

Теорема 1.5. Для произвольного колчана <5 и вектора размерности а = (2,2,..., 2) алгебра полуинвариантов крер(<5, а)]51'"' порождена следами простых маршрутов.

Кроме того, приводятся некоторые дополнительные соображения, позволяющие во многих случаях уменьшить число порождающих, и показано, что для векторов размерностей с компонентами, большими 2, теорема 1.5 неверна.

Вторая глава

Во второй главе мы переходим к изучению пространств модулей оснащённых представлений колчанов и конечномерных ассоциативных алгебр с единицей. Основной целью является построение явной реализации пространства модулей оснащённых представлений конечномерной алгебры. Полученные результаты используются для описания слоёв проекции пространства модулей оснащённых представлений колчана на стандартный категорный фактор над алгебраически замкнутым полем.

Первый раздел второй главы вводный. Мы напоминаем основные факты, касающиеся связи между представлениями колчанов и конечномерных алгебр. Хорошо известно, что всякая конечномерная алгебра А, фактор которой по радикалу Джекобсона изоморфен прямому произведению нескольких экземпляров основного поля, изоморфна факторалгебре кС^/З алгебры путей некоторого колчана <3 по допустимому идеалу 3 <к<Э. Условие допустимости можно сформулировать следующим образом: идеал 3 порождён линейными комбинациями путей длины не меньше 2 и содержит все пути длины больше Ь для некоторого Ь 2. При этом колчан ф однозначно определяется по исходной алгебре. Таким образом, левые модули над алгеброй А можно рассматривать как представления колчана С^, удовлетворяющие соотношениям из идеала 3. Это позволяет рассматривать многообразие представлений алгебры А с вектором размерностей а как замкнутое по Зарисскому подмногообразие Иер(Л, а) в пространстве представлений 11ер(<Э, а) колчана ф.

Во втором разделе вводится понятие оснащённого представление конечномерной алгебры.

Пусть С — дополнительный вектор размерности. Зафиксируем набор векторных пространств V = размерностей Мы можем опре-

делить многообразие Нер(А, а, С) оснащённых представлений алгебры А как подмножество

11ер(А, а) ф 0Нотк(ка',кс<) С

¿е<Зо

С ИерСР, а) © 0 Ношк(ка', кс<) =: 11ер(д, а, С).

¿е<?о

Элементы этого множества мы будем понимать как пары (М, /), где М — а-мерное представление алгебры А, а / = (/*: М{ —► V;) — набор линейных отображений.

Далее, пару (М, /) назовём стабильной, если никакой собственный ненулевой А-подмодуль N С N не лежит в кег /. Нетрудно показать, что множество Нер5(Л,а, С) стабильных оснащённых представлений алгебры А допускает геометрический фактор

причём факторпространство является проективным многообразием.

В третьем разделе исследуется пространство модулей стабильных оснащённых представлений конечномерной алгебры и строится его явная реализация.

Легко видеть, что в А = кС^/З можно выбрать (конечный) базис Е, состоящий из образов путей в колчане. Обозначим через инъективный А-модуль, соответствующий г-ой вершине колчана. Далее, рассмотрим инъективный модуль 3 := ф,-е(?01, <8>к V;. Как векторное пространство над к компонента изоморфна

4= 0 Ч.

Еэ т:г-»/

Для каждой пары (М,/) е Еер(А,а,С) определим отображение Ф(М,/) = (¥>Оге<?0 : м 3 следующим образом:

0 ¿т:М4-* 0 Ц

ЕЭт:г*~*^ НЭ

Здесь мы рассматриваем т как элемент алгебры А, т.е. считаем, что т(гп) — т • тп. Мы доказываем (следствие 2.4), что пара (М, /) стабильна тогда и только тогда, когда отображение Ф(м,/) инъективно.

Следующая теорема является обобщением результата М. Райнеке11.

Теорема 2.5. Для конечномерной алгебры А и пары векторов размерностей а и ^ отображение Ф : (М, /) н>- Ф(м,/) индуцирует изоморфизм алгебраических многообразий

Вместе с результатом Й. Энгеля и М. Райнеке12, это даёт следующее

Следствие 2.13. Пусть к = С. Тогда для каждой точки у Є Иер(С},а)//ОЬ(а) найдётся конечномерная алгебра А, инъектив-

Третья глава

Третья глава посвящена изучению слоёв морфизма факторизации

для колчанов с ориентированными циклами специального вида над произвольным бесконечным полем.

В первом разделе описывается обобщённая версия конструкции Райнеке. Пусть <3 — колчан с п вершинами, а а и £ — два вектора размерностей. Как обычно, для каждой вершины г е (¿о обозначим через /; следующее представление колчана ф. Положим

где "т : 3 і" означает, что путь г начинается в j-й вершине и заканчивается в г-й, а (•)* обозначает переход к двойственному векторному пространству. Далее, для стрелки о : к —> I определим ((/¿)а/)('г) = /(та), где г : І г, / Є (/¡)ь Это можно переписать в более удобном виде с помощью элементов (Ii)j, двойственных к путям. А именно, каждому пути г : і і в колчане ф сопоставим такой элемент т* пространства (Ii)j, что для каждого а : і і имеем

тгя:Мя(<2,а,0-+М(<2,а)

(Іі)і = (эрап {г | т : з і — путь в <?})

1, если т = а, О, иначе.

Заметим, что элементы (Ii)j могут быть записаны как (возможно, бесконечные) формальные линейные комбинации т* по всем т : г В этих обозначениях отображения (/¿)а, а 6 фх, принимают следующий вид:

гт\ ( /А*, если г = Аа,

Ща(т ) = < п

10, иначе.

Рассмотрим представление 3 := ф,6д0 Ь ®к Ц. Как векторное пространство над к

7, = е, ] г* Д

Теперь для каждой пары (М, /) 6 11ер(<2, а, С) определим отображение Ф(м,/) = (<^г)ге<5о : М ,7 следующим образом:

^ = П /,-т : М, -> П ^

где г(х) := Ма1... Мак(х) для х € М; и г = <11... а^. При этом, как и в конечномерной ситуации, пара (М, /) стабильна тогда и только тогда, когда отображение Ф(дг,/) инъективно.

Во втором и третьем разделах строится явная реализация слоёв 7гя для циклического колчана типа Лп-ь Четвёртый раздел посвящён обобщению этого результата на более широкий класс колчанов с ориентированными циклами.

Назовём колчан С} колчаном с последовательными циклами, если любые два ориентированных цикла в <5, имеющие общую вершину, являются степенями одного и того же цикла. Иными словами, такой колчан может быть получен из некоторого колчана С} без ориентированных циклов заменой части вершин на ориентированные циклы. Основным результатом третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3.16. Пусть <2 — колчан с последовательными циклами. Пусть также а и £ — два вектора размерности, а у — точка в 8реск[Еер(<5, а, Тогда найдётся колчан <5*, вектор размерности

5 6 и конечномерное представление IV* колчана С,для кото-

рого тт~1(у)//ОЬ{а) £ вг^

Представленный подход, в отличие от подхода Й. Энгеля и М. Райнеке, работает лишь для ограниченного класса колчанов, но для любого бесконечного поля к. Отметим, что результаты Й. Энгеля и М. Райнеке не могут

быть обобщены на случай алгебраически незамкнутного поля (контрпример для к = К приведён в разделе 3.3).

Четвёртая глава

В четвертой главе рассматривается наиболее общая ситуация. Поскольку не представляется возможным предъявить полный список полупростых представлений произвольного колчана, а используемая в третьей главе техника существенным образом использует данные об этом представлении, описать слои проекции тг3 удаётся только для колчанов с последовательными циклами. Тем не менее, возможно построить явное вложение фактора.

Наша конструкция основывается на следующем соображении. Каков бы ни был колчан <3, по каждому стабильному оснащённому представлению (М, /) 6 Нер(д, а, С) отвечает вложение Ф(м,/) : А/ <-> ,7 в некоторое представление 3 колчана С}, зависящее только от вектора размерности Если в колчане <3 есть ориентированные циклы, представление / может быть бесконечномерным, и, соответственно, морфизм Ф(м,/) запишется матрицами с бесконечным числом строк. При этом исходная пара (М, /) может быть восстановлена по композиции морфизма Ф(м,/) и проекции 3 на некоторое его конечномерное фо-градуированное подпространство У. Структуры представления оно уже не несёт, но это позволяет нам реализовать пространство модулей /\43(<2, а, () как локально замкнутое подмногообразие в произведении грассманианов. С помощью дальнейшей редукции можно получить и более экономное вложение М3(Я, а, С) в проективное пространство.

Основным инструментом здесь становятся .7-скелеты оснащённых представлений. Это понятие является упрощённой версией понятия скелета модуля. Назовём абстрактным ,7-скелетом набор путей б в колчане (д1* с концом в вершине оо, удовлетворящий следующему условию: если та € 6 для некоторого пути т ф ето и стрелки а € <Эь то т € ©. Для г € <3о обозначим ©г := {т € © | £(т) = г}. Кроме того, положим <Мтб := (16x1,..., |6„|) (где п = |<Э0|)- Пусть теперь (М, }) 6 11ер(<3, а, С) — оснащённое представление, а © — абстрактный ./-скелет. Если в путь т € & подставить матрицы отображений /¿, г 6 <Эо, и Ма, а € <31, то мы получим строку тпг. Будем говорить, что © является 3-скелетом пары (М, /), если сИт© = а и для каждого i € Qo ранг набора векторов {тТ | г е ©¿} С ка' равен щ.

Результаты четвертой главы объединены в следующей теореме.

Теорема 4.8. Во введённых выше обозначениях

(1) имеем

Еер'((},а,о = у х(е),

& — ,7-скелет сЦтв=а

где Х(6) — открытые по Зарисскому подмножества в Г1ер3((3, а, причём Х(&) = вЦа) х А^ для некоторого натурального Ы, а ограничение на морфизма факторизации есть проекция на второй сомножитель. В частности,

М'{Я,а, 0= и *(©)//СЬ(а) <3 — J-cкeлem

(Щп 6=а

является покрытием открытыми подмножествами, изоморфными аффинному пространству;

(2) пространство модулей М3(С}, а, С) изоморфно локально замкнутому подмногообразию в Сга(У) := Пгед0

(3) каждая из проекций

7Г6 : Х(е) £ вЦа) ЛГ(6)//СЬ(а)

допускает сечение ее : с ь) (Е,с). Таким образом, каждая пара (М, /) е 11ер'*((3, а, С) обладает конечным набором нормальных форм

{8в(па(М,/)) | Х(6) э (М,/)}.

Этот результат верен над любым полем к. Кроме того, наша конструкция предоставляет алгоритм, определяющий, изоморфны ли два заданных оснащённых представления. Отметим, что указанные выше нормальные формы, равно как и вложение фактора, строятся алгоритмически, и способ их получения может быть легко реализован в виде компьютерной программы.

Пусть теперь <3 — это колчан Ьч с одной вершиной и q петлями. Тогда оснащённые представления с векторами размерностей а = (т) и £ = (к) — это наборы из д операторов и к линейных функций на ш-мерном векторном пространстве. При этом набор (а^ ..., а9, Д,..., является стабильным тогда и только тогда, когда никакое общее инвариантное пространство операторов а; не содержится в пересечении ядер функций /г. Из пункта (3) теоремы 4.8 следует возможность полной классификации стабильных наборов

операторов и линейных функций. Более того, ответ может быть получен как в виде конечного набора нормальных форм, так и путём предъявления классифицирующего многообразия. В третьем разделе приводятся примеры для небольших д, т и к.

Благодарности

Автор благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту Ивану Владимировичу Аржанцеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Он также благодарен профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу, доценту Дмитрию Андреевичу Тимашёву, Матиасу Домокосу и Маркусу Райнеку за полезные обсуждения. Кроме того, он благодарит заведующего кафедрой высшей алгебры профессора Виктора Николаевича Латышева и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствует научной работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] С. Н. Федотов, Полуинварианты 2-представлений колчанов, Математические заметки, 92:1, 2012, 106-115

[2] С. Н. Федотов, Пространства модулей оснащённых представлений и наборы операторов, Фундаментальная и прикладная математика, 17:5, 2012, 187-209

[3] С. Н. Федотов, Оснащённые представления и грассманианы под-представлений, депонировано в ВИНИТИ РАН, №416-В2012 от 14.11.2012, 34 стр.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № 9

московским государственный университет

имени м.в. ломоносова механико-математический факультет

04201357125

На правах рукописи федотов станислав николаевич

УДК 512.64

полуинварианты и пространства модулей представлений колчанов

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чио

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент И.В. Аржанцев

Москва — 2013

Содержание

Введение 4

История вопроса 4

Основные результаты диссертации 14

Определения и обозначения 20

Благодарности 23

Глава 1. Полуинварианты 2-представлений колчанов 24

1.1. Теорема Домокоса-Зубкова 24

1.2. Блочные матрицы и ассоциированные маршруты 25

1.3. Выражение для определителя 2-блочной матрицы 29

1.4. Маршруты в колчанах как полуинварианты 2-представлений 32

Глава 2. Оснащённые представления конечномерных алгебр 36

2.1. Предварительные сведения 36

2.2. Многообразие оснащённых представлений 41

2.3. Конструкция пространства модулей 42

Глава 3. Пространства модулей для колчанов с последовательными

циклами 55

3.1. Обобщение конструкции Райнеке 55

3.2. Пространство модулей для колчана Ап-\ 57

3.3. Явная реализация слоёв 67

3.4. Колчаны с последовательными циклами 73

Глава 4. Скелеты стабильных пар и классификация наборов операторов 81

4.1. Скелеты стабильных пар 81

4.2. Вложение пространства модулей 86

4.3. Примеры 92

Литература 102

Введение

История вопроса

Данная диссертация посвящена изучению представлений, полуинвариантов и пространств модулей представлений колчанов методами геометрической теории инвариантов.

Введём необходимые обозначения и напомним основные определения. Колчан ф — это ориентированный граф, определяемый двумя конечными множествами фо (множество "вершин") и (¿1 (множество "стрелок") и двумя отображениями /г., £ : —> которые каждой стрелке сопоставляют её начало и конец. Представление ]¥ колчана (3 — это набор (возможно, бесконечномерных) векторных пространств И^, г 6 о, над некоторым фиксированным полем к, а также линейных отображений \¥а : —> а £ Вектором размерностей а 6 представления IV называется вектор с компонентами аг = сИт^ И^. Морфизм ф : V/ —> и представлений — это набор линейных отображений фг : И^ —> Щ, ъ € Яо, удовлетворяющих условиям фнаУ^а = Uaфta ДЛЯ ВСвХ а 6 МорфиЗМ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда все отображения суть изоморфизмы.

При фиксированных пространствах И/; конечных размерностей с^ классы изоморфизма представлений колчана ф с вектором размерностей о; находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами группы

Ы(а) := П СЬ(Щ

гбфо

в пространстве представлений

:= 0 Нот(И^а,

Это действие определяется как (д ■ Ш)а = днаУ^аЯы > гДе 9 = Ыгед0 € СЬ(а). Отметим, что однопараметрическая подгруппа Д = ... ^Е)} действует на Яер((5, а) тривиально.

Колчаны предоставляют удобную интерпретацию многих классических задач линейной алгебры. Рассмотрим, к примеру, колчан с двумя вершинами, д петлями в первой вершине и к стрелками, ведущими из первой вершины во вторую. Нетрудно видеть, что задача классификации представлений этого колчана с вектором размерностей (га, 1) равносильна задаче о классификации наборов из q линейных операторов и к линейных функций на т-мерном векторном пространстве.

Возникает естественный вопрос: для всех ли колчанов возможна полная классификация представлений? Нетрудно понять, что далеко не для всех. В самом деле, для колчана £2,0 она была бы равносильна классификации пар линейных операторов. Эта проблема является "дикой". Более того, доказано, что теория представлений колчана £2,0 является неразрешимой; строгую формулировку и доказательство этого результата можно найти в работах [4] и [11]. Оказывается, что все колчаны, кроме конечного списка, также являются "дикими": в категорию их представлений можно построить вложение категории представлений колчана 1/2,о- Оставшиеся колчаны делятся на два класса. К первому относятся колчаны, у которых с точностью до изоморфизма есть лишь конечное число неразложимых представлений. Они называются колчанами конечного типа и исчерпываются диаграммами Дынкина типов А, И и Е с произвольной ориентацией рёбер. Колчаны, не являющиеся ни конечными, ни дикими, называются ручными. Подлежащий граф такого колчана — это расширенная диаграмма Дынкина одного из типов А, Б и Е. Колчаны конечного типа были впервые

описаны П. Габриэлем в работе [20]. Список ручных колчанов был независимо получен П. Донованом и М.Р. Фряйшлихом [18] и JI.A. Назаровой [6].

Поскольку проблема классификации представлений колчана Q с вектором размерностей а сводится к изучению действия редуктивной группы GL(o;) на аффинном пространстве Rep(Q, а), кажется естественным воспользоваться методами теории инвариантов. Для этого необходимо научиться находить инварианты для действия GL(a) : Rep(Q. а). Важные результаты были получены К. Прочези [30] и Ю.П. Размысловым [8], которые описали соответственно порождающие алгебры инвариантов для действия группы GLn на наборах операторов в n-мерном векторном пространстве и соотношения между ними. Для произвольного колчана имеется следующая теорема, которую также принято называть теоремой Прочези-Размыслова. Впервые она была доказана для алгебраически замкнутого поля JI. Jle Брюном и К. Прочези [26, Theorem 3.1]. Её обобщения для произвольных бесконечных полей были получены С. Донки-ным [17] и А.Н. Зубковым [3].

Теорема. Для произвольного колчана Q и вектора размерностей а алгебра k[Rep(Q, порождена следами ориентированных циклов длины не болъ-

ше av)2. При этом все соотношения между образующими являются следствиями теоремы Гамильтона-Кэли.

Точки категорного фактора M(Q, а) :— Rep(Q, a)// GL(a) находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми СЦа)-орбитами. Нетрудно показать [5, теорема II.2.3], что это в точности орбиты полупростых представлений колчана Q с вектором размерностей а. Более того, единственной замкнутой орбитой в замыкании орбиты представления колчана является орбита прямой суммы композиционных факторов его фильтрации Жордана-Гёльдера.

Из теоремы Прочези-Размыслова следует, что для колчанов без ориентированных циклов непостоянных инвариантов нет, то есть категорный фактор есть

точка. С другой стороны, можно непосредственно убедиться, что у такого колчана имеется лишь одно а-мерное полупростое представление, в котором все отображения вдоль стрелок нулевые. С увеличением числа ориентированных циклов число порождающих алгебры инвариантов и соотношений между ними растёт очень быстро, так что уже для колчанов Z^/c, чрезвычайной сложно использовать категорный фактор как средство классификации.

Это заставляет искать другие, более эффективные способы классификации орбит. Одним из них является переход к открытому подмножеству, на котором алгебра инвариантов будет богаче. Другим — рассмотрение расширенного пространства представлений, когда удаётся добиться большей точности за счёт добавления новой информации. Ярким представителем первого подхода является конструкция Кинга; второй же вырос в теорию оснащённых представлений.

Конструкция Кинга является частным случаем конструкции Мамфорда из геометрической теории инвариантов. Её идея состоит в том, чтобы рассмотреть тривиальное линейное расслоение над Rep(Q,a), подкрученное на характер х группы GL(a), а затем ограничиться рассмотрением открытого подмножества в Rep(Q. а), состоящего из х-полустабильных представлений.

Отметим, что характеры группы GL(a) исчерпываются следующими:

хе(д) = П det(^

veQo

для различных в 6 ZQo. Вектор 9 = (&i)ieQ0 задаёт отображение

Rep(Q) -» Z, dim Mi-

г

Это отображение также называют характером, хотя в данном случае речь идёт не о характере группы, а о характере абелевой категории представлений колчана Q. Для удобства читателя напомним определение 0-(полу)-стабильности.

Определение. Представление M е Rep(Q, а) назовём в-полустабильным (соответственно, в-стабильным), если 9{N) ^ 0 (соответственно, 9(N) > 0) для всякого собственного ненулевого подпредставления N С M.

А.Д. Кинг показал [24, Proposition 3.1], что ^-полустабильность (соответственно, ^-стабильность) точки 2 G Rep(Q,a), отвечающей представлению W колчана Q, равносильна #-полустабильности (соответственно, ^-стабильности) представления W.

Далее, А.Д. Кинг доказал [24, Proposition 5.2], что для множества #-полуста-бильных представлений фактормногообразие Ms0s{Q,a) является грубым многообразием модулей. Кроме того, для неделимого вектора размерностей а он установил [24, Proposition 5.3], что фактор M#(Q, а) := Rep$(Q, a)// GL(a) является тонким многообразием модулей ^-стабильных представлений.

Этот подход был обобщён и переформулирован А.Н. Рудаковым в работе [32]. Рассмотрим два характера в. к : Z? ->• Z, причём потребуем, чтобы к(а) ^ 0 для каждого вектора а с неотрицательными компонентами. Определим наклон M : Rep(Q)\{0} Q, положив /л(Х) = M(dimX) = ^jfg.

Определение. Представление X назовём ¡х-полустабильным (соответственно, \х-стабильным), если n(Y) ^ {¿(X) (соответственно, [¿(Y) < [¿(X)) для каждого собственного ненулевого подпредставления Y представления X.

Обозначим через Reps^(Q,a) (соответственно, Reps(Q,a)) множество \i-полустабильных (соответственно, ¿¿-стабильных) представлений колчана Q с вектором размерностей а. Оказывается, что для каждого вектора размерностей а найдётся характер для которого Rep*s(Q,a) = Rep|s(Q,a) и Rep® (Q, а) = Rep|(Q,o;). Нетрудно убедиться, что в качестве £ можно взять характер, значение которого на векторе размерностей ¡3 равно ц(а)к(0) — 9{0).

Для того, чтобы использовать конструкцию Кинга, необходимо уметь вычислять полуинварианты представлений колчанов весов, кратных данному. Эта

задача является частным случаем более общей проблемы, связанной с нахождением алгебры полуинвариантов.

На пространстве Rep(Q, а) действует группа SL(a) = ILeQo 8Ь(\¥г). Алгебра регулярных функций на Rep(Q, а), инвариантных относительно этого действия, как линейное пространство порождена полуинвариантами, то есть собственными векторами для действия GL{a). Поэтому её обычно называют алгеброй полуинвариантов.

На данный момент для алгебры полуинвариантов нет аналога теоремы Прочези-Размыслова. Имеются лишь описания порождающих алгебры k[Rep(Q, как векторного пространства; см. работы X. Дерксена и

Дж. Веймана [15], М. Домокоса и А.Н. Зубкова [16], а также М. Ван дер Берга и А. Схофилда [33]. В диссертации мы будем пользоваться результатами работы [16].

Теперь обратимся к теории оснащённых представлений.

Оснащённые представления впервые появились в работе [29] в качестве одного из шагов в построении многообразий Накаджимы. Идея состоит в следующем. Пусть Q — некоторый колчан, а — вектор размерностей. Зафиксируем дополнительный вектор размерностей С и рассмотрим расширенное пространство представлений Rep(Q,o;,C) Rep(Q,a) © ®ге<20 Нот^к"', к**1). Элементы Rep(Q. а, С) называются оснащёнными представлениями колчана Q. Если дополнительно зафиксировать набор k-векторных пространств Уг размерностей dim К = Сг, то элементы Rep(Q, сх, С) можно понимать как пары (М, /), где М — представление колчана Q с вектором размерностей а, а / = (/г : Мг —> Vl)ieQa — набор линейных отображений (который также можно рассматривать как отображение (Уо~ГРаДУиРОванных векторных пространств).

На пространстве Rep(Q, а, () следующим образом действует группа GL(a):

9 ■ (М, (/г)г€<Зо) = {9-М, {Jгдг 1))гед0.

Особое место занимают стабильные оснащённые представления. Напомним, что пара (М, /) называется стабильной, если не существует ненулевого собственного подпредставления N С М, для которого Иг С кег/г для всех г £ фо. Подмножество в Б1ер((5, а, (), состоящее из стабильных представлений, обозначают через Ыер5((3, а, О-

Оснащённые представления допускают ещё одну интерпретацию, которая позволяет связать только что введённое понятие стабильности с 6-стабильностью в смысле Кинга.

Рассмотрим колчан С^ с множеством вершин (^д = (5ои{оо|, стрелками которого являются стрелки колчана С} и ещё по (г стрелок из каждой вершины г Е ¿¿о в оо. Обозначим новые стрелки через /г(?, где г указывает на начало стрелки, а д 6 {1,..., £*}■ Кроме того, мы расширим вектор размерностей а до а^ € положив а* = осг, г = 1,..., п, и а^ = 1. Можно показать, что пространства Кер(<5,0!, () и могут быть СЬ(а)-эквивариантно отождествлены.

Обозначим через Керв((5<', а^) подмножество в Ыер^1', ог^), отвечающее при этом отождествлении подмножеству Керв((5, а, С) С Кер((У, а, С).

Рассмотрим наклон ¡л, значение которого на векторе размерностей ¡3 6 равно

№ = ^

М. Райнеке показал [31, Proposition 3.3], что Reps(Q^, = Rep* (Q^, а^). Отсюда следует, что существует геометрический фактор A4S(Q. а,() := Reps(Q, а, Ç)// GL(a). Более того, если колчан Q не содержит ориентированных циклов, то он является проективным многообразием. Для колчанов без ориентированных циклов М. Райнеке удалось в работе [31] реализовать пространство модулей оснащённых представлений как грассманиан подпредставлений в некотором инъективном представлении.

В работе [19] представлен другой подход к изучению пространств модулей оснащённых представлений колчанов. Напомним, что, будучи фактором Мам-форда, они допускают расслоение

тг5 : MS{Q, се, С) M(Q, а, С) := Reps(Q, а, ()// GL(a).

Если Q — колчан без ориентированных циклов, то Л4(Q, а, () — {pt}. В противном случае геометрию многообразия MS(Q, a, Q можно изучать, рассматривая отдельные слои отображения 7rs. Й. Энгель и М. Райнеке получили следующий результат.

Теорема. [19, Theorem 4.1] В случае алгебраически замкнутого поля к для каждого у € M.{Q,a,Q найдётся колчан Q и пара векторов размерностей а, С € о> для которых 7Г"1 (у) = 7т71(0); где через обозначена естественная проекция MS(Q, а, () —> M(Q, а, С).

Аналоги конструкции Райнеке можно рассматривать и в более общей ситуации. Пусть А — некоторая конечномерная алгебра, г — её радикал Джекобсо-на, а п — натуральное число. Пространство представлений Яер(Л, п) допускает стратификацию

Лер(Д n) = [J Rep(>4, n, Т),

Т — полупростой Л-модуль

dim Т^п

где

Rep (A, n, Т) := {М в Rep(v4, п) \ M/vM ^ Т} . Так как проективная накрывающая Р(М) модуля М совпадает с Р(М/гМ), имеем

Rep{А,п,Т) = {М е Rep(An) | Р{М) ^ Р(Т)} . Таким образом, вместо Л-модулей размерности п с заданным фактором по радикалу Т можно рассматривать подмодули в Р(Т), содержащиеся в хР. размерности dim Р(Т) — п, то есть ядра соответствующих проективных накрытий. Однако никакого взаимно однозначного соответствия здесь как правило нет,

так как проективное накрытие модуля (имеется в виду гомоморфизм) определено не однозначно, а с точностью до автоморфизма проективной накрывающей. Тем не менее, если нас интересуют не сами модули, а их классы изомор-

___

физма, то соответствие имеет место. Обозначим через Grn (Р(Т)) грассмани-ан (dim Р(Т) — п)-мерных подмодулей в Р(Т), содержащихся в г Р. К. Бон-гартц и Б. Хьюзген-Циммерман доказали [13, Proposition С], что сопоставление Autа(Р(Т)) ■ С GLn •M задаёт биекцию

А^^(Р(Т))-инвариантные I I GL^-инвариантные подмножества в Grn (Р(Т)) j | подмножества в Rep(/1, п, Т)

переводящую открытые и замкнутые по Зарисскому подмножества в открытые и замкнутые соответственно, сохраняющую замыкания, связность, неприводимость и типы особенностей.

Пусть для простоты А — приведённая расщепимая алгебра, то есть А = kQ/(p) для некоторого колчана Q и набора соотношений р. Пусть, далее, а —

некоторый вектор размерностей. По аналогии с тем, что было проделано выше,

-—А

определяются многообразия Rep(A, а,Т) и GrQ (Р(Т)). Можно показать, что имеет место более тонкая биекция

Аи^(Р(Т))-инвариантные I I GL^-инвариантные I

подмножества в GrQ (Р(Т)) | | подмножества в Яер(Д а, Т) (

обладающая теми же самыми свойствами.

Пусть Q — колчан без ориентированных циклов, а а и ( — два вектора размерностей. Рассмотрим алгебру путей kQ^ расширенного колчана Q*> и простой kQ^-модуль Sqq. Тогда эквивалентность категорий Rep(kQ9 и Rep(Q9 отождествляет Rep(kQc , <Soci) с множеством Reps(Q^, а1*). С другой стороны, мож-

—kQc п

но убедиться (см. раздел 5.1), что Grai (I00) = Gr^(J), где J — инъективное представление из [31, Proposition 3.9]. Так как Autgç(/00) = к, мы приходим к выводу, что точки грассманиана Gr^(J) соответствуют классам изоморфизма

представлений с цоколем то есть в конечном итоге классам изоморфизма стабильных оснащённых представлений (3 с векторами размерностей а и (. Таким образом, мы приходим к уже упомянутому результату М. Райнеке.

Рассматриваемые многообразия можно подвергнуть и дальнейшему разбиению. Подробную информацию об иерархии разбиений пространства представлений и отвечающих им грассманианов можно найти в работе [23]. Страты самого нижнего уровня параметризуются скелетами. Скелеты модулей над конечномерными алгебрами впервые рассматривались в работе К. Бонгартца и Б. Хьюсген-Циммерманн [21], хотя своё название они получили в дальнейших работах Б. Хьюсген-Циммерманн (см. [22], [23]). Кроме того, М. Райнеке, хотя и не употреблял термина "скелет", рассматривал аналогичные объекты для представлений колчанов в работе [19].

Понятие скелета можно определить следующим образом. Пусть М — некоторый Л-модуль, а д : Р -» М — его проективное накрытие. Рассмотрим раз