Фундаментальная размерность компактов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи ЛУБЕНЕЦ Юрий Владимирович

УДК 515. 142. 26

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КОМПАКТОВ

01. 01. 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1992

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени Ы.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.М.Сш-рнов

Официальные оппоненты: доктор физико-иатемамческих наук,

уор. Хаслхшсоё

кандидат физико-маузиатичоских наук, доцент Б.Т.Левшзнко

Ведущая организация - Московский Математический институт имени В.А.Стеклова АН России

Защита диссертации состоится *30 " СюГгЛХ^? 1992 г. в-15 час. 05 юш. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университета имени М.В;Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горн, МГУ, мэханико-иатематичэсний факультет, аудитория 14-08,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ШУ / 14 отах /.

Автореферат разослан "Зо » С^ХГсЛрр^ 1992 Г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.053.05.05 при ШУ доктор физико-математических

наук ВЛ.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность теш. Теория шейпов - новое направление в алгебраической топологии. Её методы успешно действуют в случаях плохого локального строения изучаемых топологических объектов, когда при менение гомотопических методов затруднено. Можно сказать, что теория шейпов применяет аппроксимациоинио методы исследования топологических пространств и отображений,

Фундаментальная размерность играет в теории иэйлов роль, подобную роли размерности в топологии, и является одшм из наиболее ваязмх инвариантов. Понятие фундаментальной размерности, определённое основоположником теории шзйпов К. Бсрсу-ком, широко используется в различных результатах. Можно упомянуть спектральные теоремы У&йтхеда, Еиеториса-СмеПла и многие другие. Свойства фундаментальней размерности изуча- . лись С.Новаком, С.Сшпсек и другими математиками. Е диссертации исследуются некоторые свойства фундаментальной размерности компактов и их непрерывных отображений.

Цель работы. Изучить вопрос о фундаментальных размерностях подкомпактов компакта данной топологической размерности. Получить аналог теоремы ГУревнча о понижении размерности при непрерывных отображениях компактов. Дать оценки для фундаментальных размерностей образа и прообраза при непрерывных отображениях. Исследовать связь между фундаментальной размерностью и иг -отобраяенияшг.

Методы исследования. В диссертации используется метода теории шйпов, теории гомотопна, теории размерности, теории ре трактов .'

Научная новизна» Бее основные результаты работы являчтея

НОВЫМИ.

1. Получен ответ на вопрос: содержит ли компакт данной топологической размерности подкомпактв иеныпэй фундаментальной размертсти. Для кокачноыарых компактов ответ положительный, для бесконечномерное - отрицательный.

2. Доказана формула Гурэвича для фундаментальной размер-поста ггриотобрвжекиах компактов.

3. Дани оценки фундаментальных размераосгей образа и прообраза при отображениях компактов.

4. Доказано, что. кошажт <Ьуццамеш,алшой. размерности 11 является -образом компакта с совпадающими фундаментальной и топологической разшркостяш, рашши. И , причём дшшов отобрагниа' индуцирует (га-^-пвйловую эквивалентность.

Практическая ценность. Работа носит теоротическиЯ характер. Ее результаты могут найти применение в теории оейлов, гомотопической топологии,' теории М-швйпов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах профессора П.М.Смирновг. по теории иэйпов, на сессии обп^эмосковского топологнческого семинара имени П, С. Александрова в 1989 г., на У1 Тираспольском Симпозиуме по общей тополоиш и ео приложениям в 1991 г.

Публикации. По результатам, полученным в диссертации опубликовано чзгара ре бога, список которых проведён в нояца автореферата.'

Структура диссертации, Диссертация состоит из введения, » ПредваЕЙтёЛЬНШ СВбдоНш, чаЗвроХ 7502* СПИСГй Л-Гторатуру КЗ

41 наименования. Общий объёи диссертации - 70 страниц.

СОДЕРШШЗ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность теш диссертации, даются результата, связантю с вопросами, рассматриваемыми в диссертации, и кратко изложено содержание диссертации,

. В предварительных сведениях содержатся основные определения и некоторые результаты из теорий фундаментальной, деформационной, топологической и когомологической размерюстей; 1/УП-отображений; П-шейлов; Д-компактов и АМК-компактов. Под фундаментальной размерностью компакта X мы пони-, маем число

или символ ОО , если такого числа не существует.

В первой глава изучается вопрос; содеркит ли компакт некоторой топологической размерности подкомпакты данных фундаментальных разиерюстей? Ди топологической размерности подобный вопрос решай. Известно, что любой конечномершй компакт содержит подкомпакты любой меньшей раэыерюсти. В то же время построены примеры бесконечномерных компактов, не содержащих никаких конечномертлс ненульиерних компактов. Для конечномерных компактов ответ на поставленный вопрос'даёт

Теорема 1.-1. Цусть X - компакт и с1ш1 X— И . Тогда дея любого к , , существует подкомлакт У , двя

которого /с/У=сЛтУ= к .

Подпоипактов рагмэрности РУУ^еЛтУ-П в условиях теоремы монет не быть, что видно на прпкэре И.-мерного куба;

Б бесконечномерном случао картона иная. Так'гекс жакты со-\ерк?т подкомпаки Счскопечной фундаментальной размерности, однако ~'схуг не содержать подкомпактов некоторых конечных фундаментальных размерностей.

'Теорема 1.2. Пусть X - компакт и с1инХ=сэ . Тогда существует подкомпакг / , для которого

Обозначим когомологическую равмзрность компакта X с коэффициентами в группе целих чисел через С-сАш X .

Лемма £.3. Пусть X - компакт л. X ^ . Тогда

Гс/Х^с-с&иХ V

С понацьэ этой леммы получаем следующее утверждение. Теорема 1.4. Существует компакт X с Гс1 Х - 00 , который не содержит подкомлактов V с 3 ^ Рс1У ^ ОО ,

Лефорглационная размерность топологического пространства X - наименьшее целое число К , для которого любое отображение Р.Х~*Р в полиэдр гомотопно отображения в П -мершй остов' Р^П> ото го полиэдра или символ оо , если такого /1 не существует. Для матршуеиш: компактов с!в^-с!ог1Х-1УХ у Следующие две теоремы устанавливают аналогичные свойства деформационной размерности метрических пространств.

Теорема 1.5. Пусть X - метрическое пространство и с/^тХ = /1 . Тогда существует замкнутое множество

УсХ" .

ДНЯ которого с/е/гс!1гпУ= сИ/пУ= к , при любом

Теорема 1.6: Пусть X - метрическое пространство и ШлХ=<хЭ . Тогда существует замкнутое множество Ус X > для которого .

Утверждение теорема 2*4 справедливо и в отом случае.

Во второй главе дочазнвоется аналог теоремы Гурешиа фундаметалыгоЯ размерности. Форлула Гурсзкча об оцен/о размер-ностк прообраза при иэпрзрЧЕНж: отображениях хорошо твестиа п теория, размерности в раслишпл: предположениях. Её мелено записать я виде dituX ^ din- dim У , где У dim f = Sup (Jim I (у)}.

Теорема 2.3. Пусть f * Y - непрзрввное отобрала- . низ компактов. Тогда FdX£ Fdf-h dim У , где

Fdf^supfFdfty)}

В этой формуле нельзя заменить ¿/¿/л У на FJY , как видаю на приморз проекции 3T'.S окружности S на

её диаметр I .В этом случае Га'ТГ- О ц , но

FdS -i . Пример естественной проекте!

tl -мерной сфер? на Я -мерний диск М показызает, что фундаментальную размерность прообраза нельзя оценить СЕерху с помощью фундаментальных размерностей отображения и образа ( поскольку Fd7Г -О, Fd Ъп-0 и FdSn=n).

В доказательстве теорем; 2,3 используются два утверждения,-прием последнее применяется и в последующих главах.

Лемма 2,1.' Для любого отображения

компакта в

полиэдр и любого его подкомпакта

А С FdA^k найдётся такая замкнутая окрестность U компакта Д , что ||[J гомотопно некоторому отображении и k -мергнй остов U^ полиэдра L ;

Лемма 2.2. Дусть

- отображение полиэдров, • гомотопное отобраз^юго п tt-мерный остов 1}П} полиэдра L и

V -б -

^ IК " сишшициальное отображение, Тогда существуют отображение ДЛЯ которого гомотопия H'.H*l~r I , для которой H(x,0hf(x), = при хеК и и любом i

В третьей главе даются некоторые оценки для фундаментальных размерностей образа и прообраза при непрерывных отображениях компактов.

К.Борсук поставил следукщу» проблему [i] . Пусть - отображение компакта X на компакт У и А замыкание объединения всех множеств f (у)С.Х , для которых / (Ц) содержит не менее двух точек. Верны ли неравенства:

Fd X^FdY+FdA и FdY^FJX+FdA + i ?

Отрицательный ответ на первый вопрос бш дан С.Новаком [2] , Такой же oi^er на второй вопрос даёт следующий пример.

Пример I. Пусть X - дизъюнктное объединение" двух замкнутых двумерных полусфер, У - двумерная сфера S и отображение

- склеивание вместе с удвоением. Тогда FdX-P И FdA = FdX~0 , но FdY=2 .

&гот пример показывает , что FdY не удаётся оценить при помощи

FdX

и

FcM . Для оценки Фундаментальной размерности введём Множество В - зшшкание всех У таких, что ^Р (ф содержит не юнее двух точек.

1. borsuk К. Theory of shape.VMotiogr. mat.PAN, 1975, V. 59.

2. Nowak S. Aigebra/c theory of fundamenial dimension. // Diss. Math.,1981, *J1B7.

Теорема 3.1. Дусть - отображение компакта

X на компакт У Тогда

Fd Y £ max (FJX,Fdß,FdA + 1).

Из ото!} теоремы и теоремы 2.3 втекает следствие.

Следствие 3.2. Пусть -f".X~>Y отображает компакт X на компакт У .Тогда Fd Y г? MCIX (Fd X,Fd f +cJimB + 1).

Примеры, приведённое в этой главе, показывают, что эти оценки нельзя улучшить. Из доказательств видно, что, заменив . ß и А на ß'c ß и K-f (В>), можно получить другие оценки для FdY , поскольку фундаментальная раз-мерюсть да имеет свойства наследственности по замкнутым множествам. При Fd$ = 0 следствие является аналогом теоремы Фрзйденгаля об оценке размерности образа при нулъмерннх отображениях:

D частных случаях оценку фундаментальной размерности об-.раза можно усилить.

ИЬорема 3.3. Пусть £: Y отображает компакт X на компакт Y ■ . Если Sh А тривиален, то

FdY=

=fnäx(FdX,Fd&).

Георема 3.4. Дусть f: Х~* Y отображает компакт X на компакт У . Если (Х,А) - пара Ворсука и ограничение■ fltfA-* В гомотопно постоянному отображению, то Fd Y~

=hiax(Fd (Х/А), Fd В).

Ввиду неравенства

Fd (Х/А) $tvax(FdX} FdA+1) [з] f из S.Nowak 5. Some properties of fundamental dimension. //Fund. Maih., 1974, V. 85, л/3, ft 211 "227.

равенства теорекк 3.4 следует оценка теоремы 3.1. Для атнх теорем ташч приведены примеры, которые показывают невозможность улучг^ния этих равенств.

веется: связь между теоремой 3.3 и результатом, полученным Е.Дыдакоы [4] . Он показал, что если тепловоз отображение,, индуцированное включением А<=Х , тривиалыю, то FcJYz >FdX IfeopoMa 3.3 накладывает болтз сияь*:?з условие на А | но даёт более ашышй результат. Условие тривиальности шэйпового отображения, порождённого включением ,

недостаточно для выполнения равенства теореыы 3.3, что татае показано на примере.

Б теории размерности известны теоремы И.А.«Вайнштейна об оценках размерностей образа и прообраза при конечномерных отображениях." Теоремы такого типа имеют место и для фундаментальной размерности компактов,-

Введём обозначения: J); - замыкание множества всех

f t 1 У , дая которых Fd f , и = / (!)•) для

l~Ol1)t,, , Тогда имеют место следующие оценки.

Азорема 3.5. Дусть X~*Y - отображение компактов^

Тогда Fd X ^ max (dim У, Fd Ci}.

Теорема 3.6. Дусть - отображение компакта

X на компакт Y и . Тогда

Fd У £ wax (Fd X, dim В + i,dlm dimDk+k+l).

ТЬореиа 3.7. Грусть - отображение компактов

4. Dyddfe J. On а paper by Y.Kodama. //Bult: Acad. Pol Sci.,i9?7,V.25, fJ2, P. 169" 174,.

1П Ш = /< .. TOI да Fd X 4 max (dimY^imD^ 1, ...,dbnVk+k).

В форлулироаках этих теорем нельзя заменить топологическую размерность e/î/tf на фундаментальную размерюсть Fd , что показано на примерах.

В четвёртой главе исследуются некоторые свойства фундаментальной рагиерюстн и UV -отображений.

Теорема 4.1. Пусть X - компакт и FdX-H . Тогда существуют Д-компакт У с FdY=dimY=H и сюрьек-ттзное UVH*-отображение ' ч шдуцируюпре

(П-})-газйловую эквивалентность, прием все прообразы точек

Д -компакты. В частности, если X - континуум к то У и все ^(Х) также континуумы. Если

то Fd Q~diinCj=ztl . ~ ■ -------

Здесь ш называем Д-компактами компакты, представ'.шш в виде обратного предела обратной последовательности из полиэдров н симплициалышх orodpaxerort. Такие компакты имеют ряд хоре кг, IX свойств, в частности, размерюполноцзшш в смысле раз-иорюсти произведения для паракоипактных пространств. Известен пример одномерюго AR -компакта, который не является Д-компактом.

В условиях т.еоремн нользя потребовать Я-пзйповой эк- вивалентности, что можно увидеть на np'aiôpe одномерного AR . Нельзя также потребовать от прообразов точек W^-munaxv ности, поскольку клеточноподобнш отображения не повышают раз-ыерюсти, если образ конечномерен.

Предлоаениё 4.2. Цусть pX~*Y - UVn-отображение

компакта X «а У , отличный от точки. Пусть dim Y<oo

-g —

и для любого собственного подкомпакта Z , содержащегося в

X зьгда (ЯтУ^сОтХ . и 5АУ=5/?Х

В конце главы рассматриваются иУ^-отобрехешю некоторых компактов.

В заключение автор Еиражает искреннюю благодарность сво-ецу научному руководителю профессору Ю.И.Смирнову за постоянное внимание к работе и полезнее обсуждения.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕНТЛЦШ1

I; Лубенец П.В. О теореме Гурэвипа доя фундаментальной размерности. // Вестник ИГУ. Сер.1. Математика и механика, 1990, Р6, СЛГ-14.

2. Лубенец Ю.В. Некоторыз оцепкп для фундаментальной разызрюс-. ти. // ТЬэиси У1 Гираспольского Симпозиума по обгчй топологии л сё приложениям, 1991, С,12б'-К7."

3. Лубенец П.В. Отображения, попшиющиэ фу1вдамвнгалы1уа размерность РЛ . и Успехи мат. наук, 1931, Т.46, вып.5, С.Х69-170;

4. Лубенец О.В. Фундаментальная размэрюсть подко«пактов. // Успехи мат. наук, 1992, Т.47, вкп.З.

гремя основной в стабильной теоррц гомогопгР. «

Проводимое в глпве III ксслецопякгр стебгльной проfaevv Ерпут основано на перенесении в категорую tSPECTl методов (od об 1ценшг,л теорий когомологий. Снпчяля для этого я 5 I устг.нг.влигяетсг ряа простых свойств стабильности квтегор;-и в необтои'мом для длльлгЯ-:пего вт'ДР. При зтом окезгвпется удобным следующее понятие.

1.2. Определение. Препспектром наяквпетс.п последоватёлытстг. (с множеством индексов "Z ) клеточнкх пространств и отображений Z SZrv ---\ ZL). Стобргяепня ИГ-

РАЮТСЯ структурнь-ми отображениями препегтег'тра Zi .

Т>»к, спектр - это такой прецепектр, гтруктурнъ'е отображения которого являются вложениями. . ' . ■

Вводится следующее отношение океивалентностк мечеяу прецепектрп-wn: 'Zj'^IL в том у только в том слу«ае, кога.я сув\ествует последовательность гомотопическнт оквгвалентиостей ^л ; —твк, что при кяждом ие2 гомотопи«ески коммутаттгвн*' Ш'яграммы

„, \ ^

«' 0 ,11 Ъ ¿-чп, -Z»*.+.(

(I)

I. 4.Яекмп. Пусть Е, Е' - спектр», экв^вялентние кпк нредсгск-три. Тоглл спектр*' Е , Е' кзомор^у в кг-тегорун [£РЕСТ]

1.5.Следствие. Вели преаспектр ^^^^кдавплемтнь' кг* пр*д<» спечтр»', то гомотоп'.'"еск1'1? тгп спектро Е определен ялтин™ пред^поктрои 21 очнолнеино. В зтом сяу^е пияеи Е = ЭРС^ •

Из следствия 1.5. вь.-текс.ет, иго г.реяспеотр ппрепелвот пп.но- • эме'шо не столько спектр, сколько обгекг стрбильноН хатвгог!'у\$?Р_С.Т1. Тем сами! угтяирвливаете- степень прогрпэлс. при кгнонкческой 'проие-а.\гр:- построения спектре, по заданному предегектру г помощью конструкции телескопа (си. пред.*. работе •

оти' сосбрй»он!'* по?гоа*ю1 легко рассмотреть конус мор<<«зм' спектров с. : А—^Х пок стабильной' обг^чт, причем Хц.СА^Х/А.

утверждение, подготовительное пл« лксиоми •

1.7.Летя. Длп триады спеитров(Х\ «меот место кяоморТг'п< &ифлА)-ХиСА иигорки [ЗРЕСТЭ \

Отм»г?М!0 ЧТО Г Г.7. \у 0брлТР»»1СТМ СТЯбиЛМЮГО "Тункт^рг-

надстройки 2 точна л последовательность Пупле процолн^ется не-огрлчг»енно влево. -

Обмечено, '«о кнтегорг.я [SPECT1 является Р* -категорией i: р'ссыагренг полутона«.« функторы ия э»оЯ категории.

Ь S иокггг-но, что последнее автоматически несут естествен-ну» структуру ябелевой грути.

. P. I.JIewHB. Всякий полутэчнкП функтор F ^SPECT] —SETS допускает единственную * КБ> GROUPS -структуру.

3 ? 3 рассмотрен!' теории чогсколэгьР. нь. китегорин [S Р ЕСТЗ. Иг it кую возможность ук^чг.но в работе Jст.'.новлен" ve основное свойства, тч'.ке i;f> 1С «ксиоыг. вирезанин (легна 3..».) иль

точная последовательность nrpv, точная посдедорптельноеть Mflflepa--Ньеторис? и точно* последовательность с первш ироизводнь'Ц функтором йункторч обратного предела tixr^ , которая умеет иесто дна каждого спектрг» X с фг1ьтраш.'.ей ,..сХ?СХгмС ...

и для кяжцого

о — W €'bf) — la(x) — -W C(Kf)-0 , ч р *-f (,;>

В § 4 установлен» важнпя в вяльнейяем гростпя связь пред^пу-щи» понятий В стабильной сктуяцкг..

4.1. Теорема. леди F: [SPECT] ÖETS - лолуточний функтор, то семейство функторов ^ { j НЕ?} . гце

-T-F'S"-* _ . (ь)

с иэомоти^иямямр няп^гройки с«. F«2[ »X , ^яллег'ся

Ц'в li£)ii Crt

когомояоп'й HR Kf-тег'"'prntTSPECT], игжцпя ТЙОО*Я КОГОМОЛОГГ* .НП кятегорки [SPECT3 может бкТЬ получена чгкни сшиибим ».а некоторого иилуточпги фуыктирл , который еаснстмнен с тичностыи ао естестытного *зоморци;м>й,

пЫ'Яогг.^нце ут «еркнеиия целйштсн . 0№шс»твдьни «етественнь'х пре~ оброзовгщ и.

*.уСТЬ ¡.[CW"] >■ [SPECT3 ~ 'iyHhUp СТпбгЯК-ufKii'c, опреаеялсиь^ а.ля ,XeLCVV\]KflK спектр Z^X « uotviuji-utr.fr »-3 bTfOrpoBHH«!« НИЯОТроеК I'pyCTpfiHuTBa X

..о. ифеделенке. пусть - тнорки яогофолоп:»'. на к>ле-

r^W^CSPECT]. ТоГЧП (СЛУ теория КОГ01!ОЛОГ1'й 1С* (Hi КГ.1 «ГОрН.

tCVV'] ) онрсас-лене cooTHoienr/ми & * & »X00 f то«оня iip.v'i''"-ется игран?ченкем Teop*i. lit. кьтегорт проотрянстр. В »j np «ценя T«op«i Korot'ojäori.ii hu it в^гтия придолгст-ем теирс* -Я im кгтегорко [8РЕС.Т]; ,

Известно ито квкдпя чеору* когомолоп'й мпясет бгть процолженя hp кгтегоррй CS?ЕСТ]. Вопрос о епщстпенносту продолжения OKnsiv-BfeTCn тесно связанном со етпбгдьнок теоремой Брруцр и регапется в глсве III 5 6.

В ялключенге §4 отмечены «в« утвертпеиря, необгоги.кп'е в кгпь--ней'пем. Первое покяэычпет, "то связь, \стсновленнпя в теореме 4Л,, сохраняет лрепстпвгмисть. "

4.С. Следптв* е. iloiyroviif-'ri «¡уннтор F-tS P&C,T]-»SEX£'npeiieTnsi'M спектром Е тогаа и только тогда, кпгдя гтп«цсглв-и* огч»ггтрпн Е спответг;труШ''я теорг* кпгоМ'И-тгй -ft,*

4.". Следствие. Представгма* теоруя когоиологгй определяет чп категории CSPEC.T] гомотопический тгп представляющего -спектра опноангицо.

В §5 цоявявнм вв» леммы, ;:я которых змеи в ?f: выведен?.-оснорнке. результату гл*вн III. 4 ,

5.2.Леммя.' Пусть * теория кэгомологкй ня категории

tSPEC-Tl^ Xм- ев ограничения на кг.твгоруи [CW'i (см.. опред, <t..i.). ii>CTb £ - -О. - спектр, прецстпвлягацкй теорию когоиологгй , тогци соответствующей естественна гяомор^иям Т *: Е * процолжиется во естественного преобразования "Т"* ; Е* —»-X* f,B кп.твгорги ISPECT] .

li.j.jiekMii.livCTb Т*: естественное прео0рпзов.-н«-е

теорий когомологги нп квтегоргп tSPECT] . Если игренменге BTorj г.ре^брпл»влнк.я н» кятегор1.в лростррнста tCVV'J является KscMopij'.nkiOM, то »« csvo преобрезо1епк«Тлвллетсл ^эоиорЗизмом.' U «пстиост», в усячптг лемм« ¿.с. Т* «стъ узоморфизн. 6.1. T'eopewp. Кяжавл теорс.я когоиояогрй mr rnTerr,ptv tSPEtTl преистпвгмл некотором спектрам Ё , гумотощ-меск^й tvp Некоторого- 01'реп.еяен одмоаночно^ btov rowoTorwecKrt* tnt vonteT

пгеде.тпглдн

XL -спекртлЗи',

С.?.Теопм>г(стлЙРЛЪчг5 теорема Бряуня). Г^тш-й пслуто'.'пкН функтор Fl t.SPE(LTl SETS пргчетпвгм. Го>1"тогп">пт<й wi кч г. с cv * vuvpynr.ern с.гекгсг определен rpv btov •уточн.'ч-'но. (Дппчо-

гично для естественных преобразований).

, 6.3.Теорема. Каждая теория когсшологий допускает единственное с точностью до естественного изоморфизма продолжение до теории иогомологий на категории [БРЕСТ!

В § 7 дани простейшие приложения полученных результатов. Категория £$Р£СТ] является аддитивной, поэтому конечные произведения в ней совпадают с копроизведениями (букетам). С по-кощьо теоремы Брауна легко устанавливается, например, что имеет иесто

?.З.Лекл4а. Категория [ЗРЕС-ТЗ обладает произвольными прямыми произведениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

I, Матвеев А.Г. Представимость полуточных функторов на категории пунктированных клеточных пространств. -Математические заметки, 1986, т. 39, вып. 6, с. 869-876.

Z. Матвеев А.Г. Полугочные функторы и теории когомологий на категории спектров. -Математические заметки, 1990, т. 47, вып. 6,

работах

с. 145-146.