К решению обобщённой проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

/

Каримов Умед Хилолович

К РЕШЕНИЮ ОБОБЩЁННОЙ ПРОБЛЕМЫ АЛЕКСАНДРОВА-ЛЕФШЕЦА-БЕГЛЯ

01.01.04 - геометрия и топология

14 КОЯ 2013

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва -2013

005538251

мономорфно отображены в группу гомологии нерва мелкого покрытия.

В 1949 году С. Эйленберг® опубликовал список проблем, предложенных участниками топологической конференции, посвященной 200-летию Принстонского Университета. Пятая проблема из этого списка принадлежит Э. Бегль, которую на современном языке можно сформулировать следующим образом:

Проблема. Пусть S— компактное метрическое пространство и U— его конечное открытое покрытие. Для любого натурального числа п имеется естественный гомоморфизм гомологии Чеха пространства S в гомологии нерва покрытия М(1А). Верно ли, что для любого абсолютного окрест-постного ретракта существует конфинальная система открытых покрытий, для которых соответствующие гомоморфизмы являются изоморфизмами?

Следующая проблема обобщает упомянутые вопросы П.С. Александрова, С. Лефшеца и Э. Бегля:

Обобщённая проблема Александрова-Лефшеца-Бегля: Верно ли, что для п—мерного когомологически локально связного компакта (ANR-a) F и для любого s > 0 существует открытое покрытие U кратности n + 1 и мелкости е такое, что гомоморфизмы Hr{J\f{U)) —► Hr{F) при всех г, порождённые естественным отображением пространства F в нерв покрытия J\f(U), являются изоморфизмами?

Если ответ на сформулированную проблему положителен, то есть ко-гомологии соответствующих пространств и нервов соответствующих покрытий изоморфны, то, естественно, и числа, определённые П.С. Александровым и С. Лефшецем, будут одинаковыми.

Диссертация посвящена решению вопросов, поставленных более 50 лет тому назад и полностью не решённых до настоящего времени, и поэтому тема работы актуальна.

Цель и задачи исследования.

Цель работы состоит в том, чтобы решить Обобщённую проблему Александрова-Лефшеца-Бегля в классе когомологически локально связных компактов и наметить новые направления исследований задач для полного решения проблемы в классе абсолютных окрестностных ретрак-тов.

Обобщённая проблема Александрова-Лефшеца-Бегля не решена в общем случае и ответ на вопрос не известен, поэтому общая стратегия состоит в двух подходах:

6 Eilcnberg S. On the problems of topology // Ann. Math.-1949.-V.50.-P. 24G-280.

Положительный ответ на Гипотезу 3 С.А. Богатого вытекает из нашего следующего результата:

Теорема. Если в се.иействе плоских односвязных компактных или открытых подпространств Т = С К2 пересечение любых двух

его элементов линейно связно и пересечение любых трех непусто, тогда пересечение всех элементов семейства непусто П"=0Х,- ф 0.

В пятом параграфе уточняется доказательство Топологической теоремы Хелли. Следующий классический результат принадлежит Э. Хелли:

Теорема. {Топологическая теорема Хелли). Пусть К. = 0. т >

п, есть конечное се.иейство замкнутых подмножеств п -мерного Евклидова пространства К", такое, что пересечения к членов К. есть сингулярная клетка, при к <п, и непусто, при к = п + 1. Тогда пересечение П™0 Ki есть сингулярная клетка.

Все известные доказательства Теоремы индуктивны и начальный шаг (то есть, когда гп = п = 2) основывается на следующем Предложении:

Предложение А. Семейство {Хг}^() трёх односвязных компактных подмножеств плоскости R2 имеет односвязное пересечение, если пересечения Х{ П Xj, i,j G {0,1, 2} любых двух из них линейно связны и пересечение П2=0А', всех трёх членов непусто.

С.А. Богатый в выше упомянутой работе на стр. 399 отметил, что это утверждение нигде не доказано. Диссертантом в совместной работе с Д. Реповшем20 была доказана сначала следующая теорема:

Теорема. Семейство {X,}f=0 трёх односвязных компактных подмножеств плоскости К2 имеет клеточноподобно связное пересечение П?=0Х„ если пересечения X,- ПХ,-, i,j € {0,1,2}, любых двух его элементов линейно связно и пересечение П?_0Х,- всех членов непусто.

Пространство X называется клеточноподобно связным, если для любых двух точек а и Ь существует клеточноподобный континуум С в X, такой, что а, Ь £ С.

Предложение "А" полностью было доказано Тимчатиным-Валовым и П. Минцем, которые привели доказательство нашей Гипотезы, сформулированной в работе20.

Диссертантом дано альтернативное доказательство Предложения "А", которое основано на технике, разработанной в этой работе.

Третья глава посвящена изучению нервов покрытий специальных классов пространств.

20Karimov U., Repovs D. On the topological Helly theorem // Topol. Appl.-2006.-V\153.-P. IG14-2621.

Существует ли конечномерный континуум Пеано, все гомотопические группы которого тривиальны и который нестягиваем?

Существует ли конечномерный компакт, все гомотопические и когомологические группы которого тривиальны и который нестягиваем?

Существует ли конечномерное гомологически локально связное относительно сингулярных гомологий пространство, которое не является локально стягиваемым?

Существует ли нестягиваемый локально стягиваемый клеточноподоб-ный компакт?

Существует ли нестягиваемый 1- или 2-мерный клеточноподобный компакт, надстройка над которым стягиваема?

Верно ли, что всякий к— мерный стягиваемый компакт обладает сколь угодно мелким покрытием кратности к + 1 нерв которого стягиваем?

Существует ли нормальное пространство, в котором нет тонких баз?

В диссертации установлены некоторые соотношения между дискретными инвариантами топологических пространств, в частности, между числами Александрова и числом Лефшеца. Опыт работы над диссертацией позволяет утверждать, что в комбинаторной топологии по мере накопления знаний, будут строится всё новые и новые дискретные инварианты тех или иных классов топологических пространств и выявляться взаимозависимости и соотношения между этими дискретными инвариантами, что, несомненно, углубит наше понимание свойств общих топологических пространств различных категорий.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ (из списка ВАК).

1. Каримов У. X. Пример одномерного ацикличного в смысле когомо-логий Александрова-Чеха компакта, все достаточно мелкие покрытия которого цикличны // Успехи матем. наук.-1977.-Т. 32.-С.245-246.

2. Каримов У. X. О трёх леммах комбинаторной теории групп // ДАН Тадж. CCP.-198G.-T. 29.-С.191-192.

3. Каримов У. X. Пример пространства тривиального шейпа, все мелкие открытые покрытия которого цикличны // ДАН СССР.-1986.-Т. 280.-С.531-534.

4. Каримов У. X. Об одном критерии тривиальности шейпа компактного пространства // ДАН Республики Таджикистан-1990.-Т. 33.-С.9-12.

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

На правах

05201450183

КАРИМОВ УМЕД ХИЛОЛОВИЧ

К РЕШЕНИЮ ОБОБЩЁННОЙ ПРОБЛЕМЫ АЛЕКСАНДРОВА - ЛЕФШЕЦА - БЕГЛЯ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе — 2013

Оглавление

Введение 4

1 Ацикличность, асферичность, клеточноподобность. 17

1.1. О надстройках над нестягиваемыми компактами тривиального шейпа..........................................................17

1.2. О проблеме Бествины-Эдвардса..................................24

1.3. О фундаментальной группе факторпространства М3 по континууму Кейса-Чемберлина......................................28

1.4. Примеры двумерных сферичных односвязных клеточноподобных континуумов Пеано..........................33

1.5. Нестягиваемые континуумы Пеано, у которых гомотопические и гомологические группы тривиальны....................37

1.6. Пример когомологических многообразий, которые не являются гомологически локально связными............42

1.7. Выводы к главе 1..................................................51

2 Покрытия топологических пространств. 54

2.1. Основные определения и леммы..................................54

2.2. Критерий гомеоморфности компактных метрических пространств............................................................59

2.3. Критерий тривиальности шейпа компактных метрических пространств........................................................65

2.4. Об объединениях и пересечениях односвязных плоских подпространств........................................................68

2.5. О теореме Хелли....................................................78

2.6. Выводы к главе 2..................................................84

3 Нервы покрытий некоторых классов прстранств. 87

3.1. Ацикличные подпространства плоскости........................87

3.2. Открытые покрытия одномерных ацикличных пространств. 90

3.3. Ацикличный клеточноподобный компакт, все мелкие покры-

тия которого цикличны............................................91

3.4. Нервы покрытий монотонных ретрактов

компактов..........................................................98

3.5. Нервы покрытий регулярных образов АМЯ пространств. . . 100

3.6. Выводы к главе 3.........................105

Заключение 106

Литература...............................108

Введение

Актуальность работы.

Проблемы, обсуждаемые и решаемые в диссертации, являются предметом комбинаторной топологии общих пространств - пространств со сложной, чаще всего с локально не полиэдральной структурой и с произвольными непрерывными отображениями.

Ценные научные результаты очень часто получаются на стыке противоречий, понимаемых в широком смысле этого слова. Одним из таких противоречий в математике является противоречие между непрерывностью и дискретностью. Такие "противоречия"возникают при построении естественных отображений из топологии в алгебру. Топологическим пространствам того или иного класса естественно сопоставляются различные алгебраические объекты: группы (ко)-гомологий, гомотопические группы, кольца непрерывных функций и т. д. Естественные отображения не обязательно функториальны, например, каждому пространству естественно сопоставить группу его автогомеоморфизмов и это сопоставление не функториально. Как известно, отображение естественно, если оно объективно. Такие отображения строятся обычно несколькими математиками независимо - либо параллельно, либо последовательно. Достаточно упомянуть группы когомологий Александера-Спеньера-Колмогорова, гомологии Стинрода-Ситникова, гомологии Бореля-Мура. Гомотопические группы были построены Пуанкаре (в размерности 1) и Гуревичем. Топологическим пространствам естественно сопоставляются также дискретные числовые инварианты: Эйлерова характеристика пространства, число Люстерника-Шнирельмана, различные размерности, которых в настоящее время известно достаточно много, в том числе такие, как размерности Менгера-Урыссона, Лебега-Чеха, трансфинитные размерности и другие кардинальнозначные инварианты (теснота, вес, калибр, число Суслина и т.д.).

Топологическим пространствам естественно сопоставляются дискретные инварианты другого типа: нервы покрытий. Нерв покрытия по существу представляет собой "схему пересечений" элементов покрытий, это симплициальный комплекс, дискретный объект, который может быть задан матрицами инцидентности.

Часто в математике приходится восстанавливать процесс, объект или его свойства по данной информации о них. По нерву некоторого специального покрытия любого компактного метрического пространства можно полностью восстановить топологию этого пространства.

Известная теорема П.С. Александрова1 утверждает, что любой п—мерный компакт может быть произвольно близко приближен п— мерным конечным полиэдром (кусочно-линейным пространством) и не может быть близко приближен полиэдром меньшей размерности. Эти полиэдры являются телами нервов некоторых покрытий.

Всё это говорит о том, что нервы покрытий играют большую роль в комбинаторной топологии. Нервы конечных покрытий были определены П.С. Александровым в 1927 году.

Каждому целому неотрицательному числу г и компакту F П.С. Александров2 и С. Лефшец3 сопоставили числа Nr(F) и pr{F), соответственно. Для конечномерного компакта F размерности т П.С. Александров определил также число, которое обозначим символом Nr(F)4. Число Nr(F) определяется как такое наименьшее целое число N, что для произвольного положительного числа £ существует конечное ^-покрытие компакта F, r-е число Бетти нерва (а это конечный комплекс и для них число Бетти было определено ещё А. Пуанкаре) которого есть N. Если такого числа £ не существует, то полагают Nr(F) = оо. Число pr(F) равно максимальному числу линейно независимых элементов r-мерной группы гомологии Виеториса с коэффициентами в поле рациональных чисел. Число Nr(F) определяется аналогично Nr(F) с той лишь разницей, что рассматриваются покрытия кратности т = dimF + 1.

Так как класс всех конечных покрытий шире класса конечных покрытий данного фиксированного порядка, то Nr(F) > Nr(F). Так как ранг обратного предела векторных пространств данного фиксированного ранга

1 Aleksandroff Р. S. Uber den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung // Math. Ann. -1928.-V.98.-P.617-636.

2Aleksandroff P. S. Bettische zahlen und e- Abbildungen // Fund. Math.-1934.-V.22. - P. 17-20.

3Lefshets S. Closed point-sets on a manifold // Ann. Math. -1928.-V.29.-P. 232-254.

4Aleksandroff P. S. Une définition des nombres de Betti pour un ensemble fermé quelconque // C.r.Acad.Sci.Paris-1927.-V.184. - P. 317-320.

п не превосходит п, то Nr(F) > pr{F) (рассматриваются гомологии с коэффициентами в поле рациональных чисел, а такие гомологии являются векторными пространствами над полем рациональных чисел).

П.С. Александров2 в работе 1934 года отметил, что вопрос о равенстве чисел Nr(F) и pr(F) открыт. С. Лефшец3 в работе, опубликованной в 1928 году, на стр. 232 пишет, что проблема эквивалентности различных обобщений чисел Бетти на произвольные компакты представляет интерес.

В 1942 году Э. Бегль5 доказал, что если X п— гомологически локально связное пространство, то группы гомологии Hq{X\Q), п > q, могут быть мономорфно отображены в группу гомологии нерва мелкого покрытия.

В 1949 году С. Эйленберг6 опубликовал список проблем, предложенных участниками топологической конференции, посвященной 200-летию Принстонского Университета. Пятая проблема из этого списка принадлежит Э. Беглю, которую на современном языке можно сформулировать следующим образом:

Проблема 0.0.1. Пусть S— компактное метрическое пространство и U— его конечное открытое покрытие. Для любого натурального числа п имеется естественный гомоморфизм гомологии Чеха пространства S в гомологии нерва покрытия J\f(U). Верно ли, что для любого абсолютного окрестностного ретракта существует конфинальная система открытых покрытий, для которых соответствующие гомоморфизмы являются изоморфизмами?

Следующая проблема обобщает упомянутые вопросы П.С. Александрова, С. Лефшеца и Э. Бегля:

Обобщённая проблема Александрова-Лефшеца-Бегля: Верно ли, что для п—мерного когомологически локально связного компакта (ANR-a) F и для любого е > 0 существует открытое покрытие Ы кратности n + 1 и мелкости е такое, что гомоморфизмы IIr(J\f(U)) —> Hr(F) при всех г, порождённые естественным отображением пространства F в нерв покрытия Af(U), являются изоморфизмами?

Если ответ на сформулированную проблему положителен, то есть ко-гомологии соответствующих пространств и нервов соответствующих покрытий изоморфны, то, естественно, и числа, определённые П.С. Александровым и С. Лефшецем, будут одинаковыми.

5Begle Е. G. Locally connected spaces and generalised manifolds // Amer. J. Math. -1942.-V.64.-P. 553-574.

6Eilenberg S. On the problems of topology // Ann. Math.-1949.-V.50.-P. 246-280.

Диссертация посвящена решению вопросов, поставленных более 50 лет тому назад и полностью не решённых до настоящего времени, и поэтому тема работы актуальна.

Дж.Р. Исбел высказал гипотезу о том, что всякий одномерный континуум с тривиальными гомологиями Чеха (по всем группам коэффициентов) древовиден, т. е. для любого открытого покрытия этого компакта существует открытое измельчение, нерв которого является одномерным древовидным графом. В 1960 году Дж. Кейс и Р. Чемберлин построили замечательный континуум, обозначим его символом С, который опроверг гипотезу Дж.Р. Исбела [49]. Этот континуум Кейса-Чемберлина имеет тривиальные гомологии и когомологии Чеха для всех групп коэффициентов и поэтому р1{С) = 0, но все его достаточно мелкие конечные открытые покрытия кратности 1 цикличны и нестягиваемы. Пространство С ациклично, но не клеточноподобно, так как компакт С допускает существенное отображение в букет двух окружностей (Дж. Кейс и Р. Чемберлин [49]).

Естественней вопрос:

Проблема 0.0.2. Верно ли что И1 (С) > р1{С)1

В работах диссертанта [6, 12] дается положительный ответ на этот вопрос.

С другой стороны Р. Коти [50], X. Росланец [137, 138] и, чуть позже, другим методом диссертант [11], доказали, что всякий компактный абсолютный окрестностный ретракт {АИК) X допускает сколь угодно мелкое покрытие Ы, нерв которого гомотопически эквивалентен X. Отсю-

да следует, что Нг(Х-д) ~ Нг(М(и)\0) и 7УГ(Х) = рг(Х). Этот результат является решением проблемы Бегля. В тоже время вопрос о равенстве МГ(Х) = рг{Х) в классе АЫИ,— ов остается открытым.

Для полного решения Обобщенной проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля необходимо изучить связи свойств пространств со свойствами их покрытий. Этой теме посвящено довольно много работ.

Одной из первых таких работ является работа А. Пуанкаре 1899 года [133], в которой по существу доказано, что всякое трехмерное многообразие являющееся регулярным клеточным комплексом гомеоморфно "взаимному полиэдру", т.е. пространству нерва некоторого специального покрытия этого многообразия [18].

Пространство тогда и только тогда гомеоморфно пространству нерва некоторого покрытия, если оно является полиэдром, поэтому из результатов Т. Радо 1924 года и Е.Е. Мойса 1952 года о триангулируемости всех

двумерных и трехмерных многообразий следует, что многообразия размерности не большей трех допускают сколь угодно мелкие покрытия, пространства нервов которых симплициально гомеоморфны этим пространствам. Триангулируемы все гладкие многообразия [47], [46], афин-ные алгебраические многообразия (под афинным алгебраическим многообразном подразумевается множество общих корней некоторого конечного числа многочленов в некотором пространстве Сп) [150], триангулируемы также стягиваемые открытые топологические многообразия [109]. Поэтому любое пространство X из этих классов обладает сколь угодно мелкими покрытиями, нервы которых гомеоморфны X. Проблема триангулируемости произвольных многообразий - классическая нерешенная проблема топологии.

Изучению условий при которых пространство гомотопически эквивалентно пространствам нервов сколь угодно мелких покрытий, посвящены работы К. Борсука, В. Голштынского. К. Борсук [37] доказал, что гомотопический тип конечномерного метрического компакта X, имеющего брикетное разбиение {Xi, Х2, ■ • •, Xk\, совпадает с гомотопическим типом пространства нерва этого разбиения. В. Голштыньский распространил этот результат с класса конечномерных компактов на класс произвольных компактных хаусдорфовых пространств [88]. Под брикетным разбиением пространства X понимается конечная система Х\, Х2, ■ ■ ■, Xk непустых замкнутых Ga— множеств, удовлетворяющая следующим двум условиям:

(I) х = х1их2---ихк-1

(II) для любого набора индексов го, ii, ■ ■ ■, гт, где к > г„ > 1, пересечение Xi0 П Xix П • • • П Xim либо пусто, либо является AR— множеством.

В работе [151] А. Вейля доказана следующая теорема: пусть Е - топологическое пространство, такое, что ЕхЕх [0,1] - нормальное пространство. Тогда пространство нерва топологически простого, локально конечного, открытого покрытия Е имеет гомотопический тип Е (покрытие топологически просто, если все пересечения обладают свойством продолжения отображений).

М. Фукс [75] доказывает, что пространство нерва открытого нумеруемого покрытия произвольного пространства, любые конечные пересечения которого стягиваемы, гомотопически ему эквивалентно. Покрытие {Va}aga пространства X называется нумеруемым, если существует локально конечное разбиение единицы 7г7 : X —» [0,1], 7 G Г, такое, что {тг"1 (0,1]} измельчает {va}.

В работе [121] М.К. Маккорда найдены условия, при которых простран-

ство нерва покрытия пространства X слабо гомотопически эквивалентно X. А именно доказано, что если V— точечно конечное открытое покрытие пространства X и пересечения любых конечных подсемейств V гомотопически тривиально, то существует слабая гомотопическая эквивалентность \M(V)\ —> X (пространство V гомотопически тривиально, если для любой точки х из V и г > 0 7гг(У, х) — 0; отображение / : |A/"(V)| —■> X есть слабая гомотопическая эквивалентность, если для любого а Е |A/"(V)| и i > 0 гомоморфизмы 7ti(|jv(v)|, а) —>• 7Гг(Х,/(а)) являются изоморфизмами).

В работе [156] установлены связи гомотопических групп пространств с гомотопическими группами пространств нервов специальных покрытий этих пространств.

Условия, при которых когомологии пространства изоморфны когомо-логиям пространств нервов некоторых покрытий, предложены Ж. Jlepe. В работе [113] доказана следующая теорема: пусть {Мг}— открытое, либо замкнутое локально конечное покрытие пространства X, А— пучок абе-левых групп. Предположим, что Нд(МгоГ)... М1т\ А) = 0 для всех q > 1 и любых го,... ,im. Тогда канонический гомоморфизм H*(\N({Mi})\\A) —> Н*(Х]Л) является изоморфизмом. Истоки этой замечательной теоремы содержатся в работе Дж.Л. Кэлли и Э. Питчера [104], в которой изучались специальные покрытия полиэдра его подполиэдрами.

Имеются аналогичные результаты для гомологий. Так, например, Е.М. Бениаминовым доказано [2], что если {Мг}ге/ конечное покрытие метрического компакта X, Л— копредпучок с базой X, группы Hq(X; AMs) тривиальны для всех q ф 0 и для всех симплексов S нерва покрытия {Мг}ге1, то группы гомологии нерва покрытия Hn(\J\f(M)\\7io(A)) изоморфны группам гомологий Стинрода-Ситникова Нп(Х\ А) компакта X.

Для гомологий Стинрода-Ситникова и гомологий нервов покрытий компактов X имеется следующая точная последовательность:

0 -» Ш1 Hn+l{Ma] G) -> Нп(Х; G) - Ит Нп{Яа) 0,

{A/qJ— нервы произвольной конфинальной системы открытых покрытий.

Ряд работ [34, 61, 74, 111] посвящен выяснению гомологических связей гомологически локально связных пространств с нервами мелких покрытий.

В 1956 году А. Гротендик ввел понятие вычислимого пучка и установил некоторые связи групп когомологий паракомпактных пространств над вычислимыми пучками и нервов их покрытий [80].

В 1931 году JI.A. Люстерник определил характеристику Cat X топологического пространства X. Cat X— это минимальное число таких замкнутых множеств А{ С X, которыми можно покрыть X и каждое из которых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в X [114]. Иначе говоря, Cat X— это минимальное число вершин нервов конечных покрытий пространства X замкнутыми стягиваемыми множествами. Характеристика Cat X является гомотопическим инвариантом. Если М— гладкое компактное п— мерное замкнутое многообразие, то п + 1 > Cat X. Cat Sn = 2, Cat M2 = 3 (M2— произвольное замкнутое двумерное многообразие, не гомеоморфное сфере), Cat lZVn = п + 1, Cat Тп = п + 1, (Тп- n-мерный тор) [17], [22].

К. Куратовским и С. Уламом введено понятие квазигомеоморфизма. Квазигомеоморфные компакты допускают сколь угодно мелкие открытые покрытия, нервы которых симплициально изоморфны.

Большое количество научных результатов, так или иначе касающихся полностью не решенной Обобщенной проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля, подчеркивает актуальность темы работы.

Цель и задачи исследования.

Цель работы состоит в том, чтобы решить Обобщённую проблему Александрова-Лефшеца-Бегля в классе когомологически локально связных компактов и наметить новые направления исследований задач для полного решения проблемы в классе абсолютных окрестностных ретрак-тов.

Обобщённая проблема Александрова-Лефшеца-Бегля не решена в общем случае и ответ на вопрос не известен, поэтому общая стратегия состоит в двух подходах:

1. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ. Попытаться найти условия, при которых п—мерный компактный ANR X обладает сколь угодно мелким покрытием кратности n+ 1, не�