Формулы Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии паук

На правах рукописи

Павленко Виктор Александрович

Формулы Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением

(11.01.02 Дифференциальные уравнения, динамически!! системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени 2 8 ОКТ 2015

кандидата, физико-математических наук

005563854

Уфа 2015

005563854

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении пауки Институт математики е вычислительным цсптро.м Уфимского научного центра Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

доцент Кордюков Юрий Аркадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Юма гулов Марат Гаянович, Башкирский государственный университет, доктор физико-математических иа.ук. Назайкинский Владимир Евгеньевич. Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлип-ско1Ч) РАН

Ведущая организация: Нижегородский филиал Национального иссле-

довательского университета "Высшая школа экономики"

Защита состоится 27 ноября 2015 года в 15 часов на заседании диссертационного совета. Д 002.057.01 при Институте мате.иатики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. расположенном но адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского. 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром. Уфимского научного ■центра РАН и па. сайте http://matem.aiirb.rii/di.48.

Автореферат разослан » 01 Г. г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат филико-матс-матических наук.

Попеиов С. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Классическая формула Лофшеца была установлена впервые Лефшецом в 192G году для непрерывного отображения конечномерного компактного топологического многообразия. Эта формула связывает некоторый гомотопический инвариант отображения (число Лофшеца) с его неподвижными точками. В случае, когда AI n-мерное гладкое компактное многообразие, и f : AI -t AI гладкое отображение, число Лофшеца отображения / определяется формулой:

п

L(f) = £(-1)Чг(Г : Нк(А1) Нк(М)), (1)

А-о

где /* индуцированное, отображение; на когомологпях де Рама Н^'(А1) многообразия AI, Если произвольная неподвижная точках £ AI отображения / простая (то есть. £r := sgn dct(Id —df?) ф 0), то формула Лсфшеца имеет вид:

щ)= Е (2)

x:f(x) = l

Из формулы Лсфшеца вытекает знаменитая теорема Лефшеца о неподвижной точке: если число Лефшеца отображения / отлично от нуля, то / имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Естественно возникает вопрос о формулах Лефшеца для потоков (то есть, для динамических систем с непрерывным временем), которые связывают некоторые инварианты потока с его замкнутыми орбитами. Напомним, что орбитой потока Т = {Ti : X —> X, t 6 К} на многообразии X. проходящей через точку х € X. называется множество Ох = {Tt(x) 6 А" : t £ R}. Орбита Ох называется замкнутой, если Tt(x) = х для некоторого t ф 0 и Ох ф {х} (т.е. х не является неподвижной точкой потока). Интерес к таким формулам Лефшеца возник достаточно давно (см.. например, работы Фуллсра1, Смейла2, Фрида3.4). Оказа-

1 Fuller. F.B. All index of fixed point typo for prriodir nrbits//Ainer. .1. Math. 89 (1967) 133-148.

Smalo, S. Differentiahle dynamieal systems// Bull. Amer. Math. Sor. 73 (19G7) 747-817

3 Tried, D. Homologieal identities for dosed orbits, /lnv. Math. 71 (1983) 419-442.

4 Fried, D. Lefsehetz formulas for Hows// The Lefsehetz eentennial eonferenee, Part. Ill (Mexieo City, 1984),

лось, что доказать такую формулу Лефшеца для произвольного потока нельзя. Как показано Внлсоном" и Шнайцером®, любой поток на замкнутом многообразии размерности > 3. не имеющий неподвижных точек, можно деформировать в классе таких потоков так, что полученный поток не будет иметь замкнутых орбит. Поэтому для вывода формул Лефшеца необходимо накладывать ограничения на исследуемый класс потоков. Одним из классов потоков, для которых формула, типа. Лефшеца справедлива, является класс потоков Аносова. Роль инварианта, описывающего вклады замкнутых орбит, играет дзета-функция потока, которая была введена Артином-Мазуром' и Смейлом8. Соответствующие! формулы Лефшеца и их обобщения в дальнейшем изучались многими авторами (см., например, Ruelle, Fried, Rugh, Sanchez-Morgado, Deitmar, Juhl).

Другой класс потоков и формула Лефшеца. для них были предложены Денингером9 в пленарном докладе; на Международном конгрессе математикой в Берлине в 1998 году. Данный класс состоит из потоков на многообразии со слоением, которые сохраняют слоение, то есть, переводят слои слоения в слои. Интерес Денингера к подобным формулам Лефшеца связан с замеченными им аналогиями таких формул с явными формулами следов в теории чисел. Эти аналогии были использованы Денингером при разработке подхода к доказательству гипотезы Римана (но поводу более подробной информации о подходе Де-

Contemp. Math., 58, 111, Amcr. Math. Soc., Providence, HI, 1087, 19-60.

Г) Wilson, F.W. On the minimal sets of non-singular vector fields/ / Ann. Math. 84 (1066) 520-536.

fi Schweitzer, P. Counterexamples to the Seifeit conjecture and opening closed leaves of foliations// Ann. Math. 100 (1071) 386-400.

7 Artin, M., Mazur, B. On periodic points// Ann. Math. 81 (1065) 82-80.

8 Smalc, S. Dificrentiablc dynamical systems// Bull. Amcr. -Math. Soc. 73 (1067) 747-817

9 Deningcr, Ch. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berlin, 1008). Doc. Math. 1098, Extra Vol. I, 163-186 (electronic).

ииигера см.10.11.12 и имеющиеся » них ссылки.). В случае, когда поток не имеет неподвижных точек, формула Лефшеца. предложенная Деннигером в качестве гипотезы, была доказана Х.А. Альваресом Лоносом и Ю.А. Кордюковым13.

Пусть А' компактное многообразие размерности п и Т гладкое слоение коразмерности один на А*. Предположим, что .Т = {Tt : X —> X : t € R} поток на. Л', сохраняющий слоение F. орбиты которого траневерсальны слоям слоения. Рассмотрим послойный комплекс де Рама ({1(Т), d-jr), задаваемый пространством i1(J-") — СХ(А, АТ*Т) гладких послойных дифференциальных форм на А' и послойным дифференциалом де Рама djr :' ft(.F) —> Пусть д

риманова метрика на А'. Обозначим через 6т = d*p соответствующий послойный кодифференниал де Рама и через Ay ~ + Sjrdjr послойный оператор Лапласа. Для любого и — 0, . . . . п — 1 обозначим через Лн»(л ортогональный проектор в пространстве на ш>д пространство "Н"(J") = ker послой-

ных гармонических u-форм. .Дня любой функции / £ Q^R) определим оператор Tf в пространстве il(J-) по формуле:

tt • m dt.

где Tf оператор в i?( J7). индуцированный диффеоморфизмом Tt. Тогда опера-гор 7/оРн.(^) является оператором с гладким ядром, что позволяет определить

w Dcningcr, I'll. Some between number theory and dynamical systems on foliated spaces,'/

Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. 1, 163-186 (electronic).

11 Demnger, Ch. Analogies between analysis on foliated spaces and arithmetic geometry// Groups and analysis, London Math. Soe. Lecture Note Scr., 354, Cambridge Lniv. Press, Cambridge, 2008, 17-1-190.

12 Leichtnam, E. An invitation to Dcningcr'* work on arithmetic zeta functions;/ Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contcmp. Math., 387, Amer. Math. Soe., Providence, HI, 200.">, 201-23G.

11 Alvarez I.!,;i'V. J.. Kordvukov, Vu. A. Distributional Dctti numbers of transitive foliations of codimension one // Foliations: Geometry and Dynamics. (Warsaw, 2000), World Sci. Publishing, River Edge, X.I, 2002, 159-183.

функцию Лефшеца L(T)14 как обобщенную функцию на R но формуле:

п-1

(L(T).f) = £(-])"Ti(T/ ° JW)). / е C(f (К). (3)

u=О

Теорема 1 (Х.А. Альварес Лонее, Ю.А. Кордкжов). В -некоторой окрестности О в R имеет .место равенство

ЦТ) = хл(Л • 00 •

Здесь X\(-F) ^ ® эйлерова ХЯ-характсрпстика слоения J7. введенная Конном, и ¿о 6 2?'(К) дельта-функция в 0.

Напомним, что замкнутая орбита Ох потока Т называется простой. если det(id — d.TT(x) : ТХТ* —> ТХТ*) ф 0 для любого периода т. Положим е[т) = sgn det (id -dTT{x) : TXT* -» TXT*).

Теорема 2 (Х.А. Альварес Лонес. Ю.А. Кордкжов). Если все замкнутые орбиты потока Т просты, то па К \ {0} имеет место равенство

с кфО

где с пробегает множество всех ,замкнутых орбит потокаТ, г (с) обозначает примитивный период орбиты с.

Позднее Денингер15 показал, что, cum мы хотим интерпретировать явную формулу следов для дзета-функции Римана как формулу Лефшеца для некоторого потока, сохраняющего слоение, то этот поток обязательно должен иметь неподвижные точки. Поэтому разработка подходов к выводу формул Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением, имеющих неподвижные точки, является актуальной и интересной задачей.

14 В работе Х.А. Альвареса Лопееа и Ю.А. Кордкжоиа функции L(T) обо тачается норе.! \f|;s( u и&зьшайтсн обобщенной эйлсроиой характеристикой слоения Т

15 Deninger, Ch. Number theory and dynamical systems on foliated spaces// .iahrcshcr. Deutsch. Math. -Verein. 103 (2001), no. 3, 79-100.

Основная проблема здесь заключается в том. что. если потокТ имеет неподвижные точки, то оператор Т/ о введенный выше, не является оператором с гладким ядром, и потому его след не определен. Для решения этой проблемы Ю.А. Кордюковым [2| был предложен! следующий подход: необходимо построить алгебру интегральных операторов на многообразии X. содержащую операторы вида Т/оРци^, и функционал регуляризованного следаr-TV на эти алгебре, совпадающий с функционалом следа на операторах с гладким ядром. Ядра операторов из этой алгебры, вообще говоря, могут быть негладкими на некотором подмногообразии, содержащем неподвижные точки потока. Такая конструкция позволит' нам определить регуляризованную функцию Лсфшеца по формуле (3), используя функционал r-TV вместо функционала следа IV. Явное вычисление регуляризованной функции Лсфшеца даст нам формулу тина Лефшеца в данном случае.

Алгебры операторов, ассоциированные с компактным многообразием с отмеченным подмногообразием, строились ранее в работах В.Е. Назайкинекого, А.Ю. Савина. Б.Ю. Стернина, В.Е. Шаталова (см.. нанр.,1<\1, .18, и имеющиеся в них ссылки) в связи с исследованием краевых задач для эллиптических .уравнений на компактном многообразии, для которых граничные условия задаются как на крае многообразия, так и на гладких подмногообразиях (коразмерности > 1), не являющихся краем (задачи подобного тина часто называются задачами Соболева). В частности, было показано, что теории задач Соболева может быть представлена как относительная эллиптическая теория, т.е. эллиптическая теория, ассоциированная с гладким вложением замкнутых многообразий. В дальнейшем относительная эллиптическая теория была распространена на

1Г' Cicpiimi, Б. Ю., Шатмлои, В. К. Относительная эллиптическая юорня и ~?;1дача Соболгна// Магом, сб., 187, 11 (1996), 115-144.

11 Nazaikmskii, V. Е., Sternin, В. Yu. Iiclativc elliptic theory;/ Aspects of boundary problems in analysis

and geometry, Opcr. Theory Adv. Appl., 151, Birkhauser, Basel, 2004, 495-560.

Стсрнии, IS. Ю-, Cauiui, A. 10. Эллиптические трансляторы na .unoiообратиях с миою.мерны.ми

особенностями// Дифференциальные уравнения, 49, 4 (2013), 513-527.

случай стратифицированного подмногообразия.

Следует отметить, что алгебры операторов, построенные в цитированных выше работах, по-видимому, не совсем подходят' для вывода, формул Лефше-ца. Представляется более целесообразным использовать методы, разработанные Мельроузом13.20 для исследования вырождающихся эллиптических уравнений на многообразиях с углами, в частности, построить классы сингулярных интегральных операторов и функционал регуляризованного следа, являющиеся аналогами соответствующих объектов, введенных Мельроузом.

Цели и задачи диссертационной работы: Целью данной работы является реализация описанного выше подхода к построению регуляризоваиной функции Лефшеца для потоков на многообразии со слоением, сохраняющих слоение и имеющих неподвижные точки, и вывод соответствующих формул Лефшеца.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, теории операторов, функциональном анализе и аналитической теории чисел.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы математического и функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, дифференциальной геометрии. Для построения алгебры сингулярных операторов и функционала регуляризованного следа мы использовали методы работ Мельроуза, в частности, предложенный им геометрический подход к построению и исследованию алгебр сингулярных интегральных операторов (см. 21).

1!) Melrose, lí. В. Pscudodiffcrential operators, corners and singular limits// Proceedings of the International

Congress of Mathematicians, Vol. 1, II (Kyoto, 1990), Math. Soe. Japan, Tokyo, 1991, 217-23-1.

20 Melrose, lí. Í!. The Atiyah-Patodi-Singcr index theorem// liosearch Notes in Mathematics, 4. А К Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1993.

21 Melrose, Л. В. Calculus of conormal distributions on manifolds with corners// Internat. Math. lies.

Положения, выносимые на защиту. В диссертационной работе; представлены следующие новые результаты:

1. Построена алгебра сингулярных интегральных операторов на компактном многообразии с отмеченным подмногообразием коразмерности одни и функционал регуляризованного следа на этой алгебре;; доказана теорема о регуляри-зованном следе коммутатора.

2. Определена регул я ризова н пая функция Лефшеца и доказана формула типа Лефшеца для потока, сохраняющего слоение, на многообразии со слоением, задаваемым слоями расслоения над окружностью.

3. Определены сглаженные регуляризованные функции Лефшеца и доказаны формулы типа МакКина-Зингера для потока, сохраняющего слоение, на двумерном торе, наделенном модельным одномерным слоением, имеющим ровно один компактный слои.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная школа-конференция «Фундаментальная математика, и ее приложения в естествознании» (2009. 2012. 2014, Уфа). Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения» (2009, 2010. 2011. Казань). Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (2009. Уфа). Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные; вопросы» (2011. Москва). Шестая Уфимская международная конференция «Комплексный анализ и диффо^нциальные уравнения» (2011, Уфа). Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (2014, Уфа). Семинар не) дифференциальным уравнениям математической физики (Уфа, ИМ ВЦ УНЦ РАН, 2010, 2011, 2013, 2014).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 [заботах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [1 3]. При этом, статьи [1,2] опубликованы в российских изданиях перечня ВАК.

ХоНсев 1992, по. 3, 51-01.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения. выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы выполнены самостоятельно. В совместных работах [1.2] научному руководителю Ю. А. Кордюкову принадлежит постановка задачи и общее; руководство работой, а диссертанту - доказательство основных результатов. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Ю. А. Кордюкову за постановку задач, плодотворные обсуждения, помощь в работе над диссертацией и всестороннюю поддержку.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 134 страниц. Библиография включает в себя 31 наименование.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований.

Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер. В ней мы вводим некоторые понятия и устанавливаем некоторые факты, необходимые для построения алгебры сингулярных интегральных операторов на многообразии с отмеченным подмногообразием.

Во второй главе диссертационной работы мы приводим конструкции алгебры сингулярных интегральных операторов на компактном многообразии с отмеченным подмногообразием коразмерности один и функционала регуляри-зованного следа на этой алгебре, а также доказываем теорему о регуляризован-ном следе; коммугатюра. Эти объекты являются аналогами е:оотве;те;твующих объектов. вве;денных ранее Мельроузеш для многеюбразий с углами.

Пусть X гладкое; компактней; мнешюбразие размернех:ти п, Х° глад-кос; подмногообразие; коразмерности ещин, Е эрмитово векторнех; расе;лех;ние; на А'. Предположим. что на X задана, риманова мегтрика дх, и нормальней: рас-

слоение N(X°) := ТХ/ТХ0 = (ТА"0)1 ориентировано. Зафиксируем гладкую положительную плотность |dx°| на А0.

Нам понадобятся некоторые специальные координаты на X, определенные вблизи Л'°. Пусть схр : ЛГ(А°) —» X экспоненциальное отображение римановой мш'рики дх для подмногообразия А0. Можно рассматривать Х° как 1юдмно1'0образпе в N(X°) (в качестве нулевого сечения). Существует такая окрестность U D Х° в ЛГ(А'°). что ограничение ехр|у на U является диффеоморфизмом U па некоторую окрестность ехр(£/) =: V подмногообразия Хп в X, называемую трубчатой окрестностью подмногообразия Х°. Каждой точке р е V можно поставить в соответствие пару (х,х°) € N(X°), где х° G А0 и х € Nx<>(А°). ехр(х) = р. Легко показать, что точка р однозначно задается парой (х,х°), где х G R. х° G А0. Без потери общности можно считать, что р G V 4=> х G (— е.е) при некотором е > 0. Мы будем называть отображение V —» (—£,£) х Х°, р M» (х,х°) нормальной системой координат около Х°. Если Е эрмитово векторное расслоение на X. то можно предположить, что E(i-.x°) — E(0j°) = для любого х G (s, s), где E° ограничение расслоения Е на А0. Ер слой расслоения Е в точке р G X. В таком случае скажем, что на. cxp(t/) задана адаптированная тривиализация расслоения Е.

Рассмотрим оператор А : \ А0, Е ® iî|-) -> СХ{Х\Х°,Е® iî|) с

ядром кА G Сх ((X х X) \ ({А° х X} U {А х А'0}), £(Е) ® , где Щ-

расслоение полуплотностей наХ, С(Е) векторное расслоение на. А х X, слой которого в точке; (рьрг) G А х X состоит из линейных отображений из ЕР2 в

I

EVi. Действие Л на полуплотность ц G C^XVY0, Е®0.2Х) задается формулой:

A[i —

кАр. (4)

Возьмем нормальную систему координат с координатами (х, х°) G (—е, е) х А'0 и адаптированную тривиализапию расслоения Е в трубчатой окрестности V подмногообразия А0. Пусть (хь х2, xj, х%) е {-£,£) х (-£,£) х А0 х Х°

соответствующие координаты на. V х V. Запишем ядро кА в виде к а = КА{х 1,х2,х01,х%)

Х\ Х2

где Ка(х1,Х2,хЧ,х%) линейное отображение из Е(Х2Х0) = ЕР о в Е(ХиХ 0) = Е® На множестве (V \ х (V \ Х°) введем систему координат (ж, в, х^.х^) £ ((-£,£) \ {0}) х (К \ {0}) х Х° х Х° по формулам х = хх и 5 = В этой системе координат ядро кл принимает вид

— — X в

к А = КА{х,з,х\,х1)

где для любого {х, в, х°, х") £ (-£,£) х (К \ {0}) х Х° х Х°

КА(х, 8,4,4) = КА(х,-,хЧ,хп2) : Е°4 Е°хо.

(5)

Определение 3. Скажем, что А € 1С(Х, Х°, Е), если выполнены, следующие условия:

1. Для любого £ > 0 найдется 5 > 0, такое что, если д(рг, Х°) > £, д(р2,Х°) < 6 или д(р2,Х°) > е, д(р1,Х°) < 5, то кА{р\,р-2) = 0 (здесь д обозначает геодезическое расстояние, определенное метрикой дх)-

2. Функция Ка{х, в, х®, х2), определяемая формулой (5), является гладкой на {—£,£) х (К\ {0}) х Х° х Х° (в часиости, при х = 0).

3. Суицествуют тате т, М, 0 < т < М < оо, что носитель функции. К а содержится в множестве всех (х, в, х®, € ((—£,£) \ {0}) х (Ж \ {0}) х Х° х таких, что т < < М.

Множество 1С(Х,Х°,Е) является алгеброй.

Плотность ц € СЖ(Х \ называется гладкой относительной плот-

ностью, если в нормальной системе координат около она имеет вид:

дх

ц = и{х, X )

-йх1

, (х,х°)е (-£,£) хХ°, 12

(0)

где: и гладкая функция на (-£, г) х Х°. Для гладкой относительной плотности /л определим плотность /и |д-о на следующим образом. Если записать ,и в виде; (6), то /;|хо = и(0,х0)\(1х°\.

Определение 4. Регуляризованный интеграл гладкой относительной плотности /1 по X определяется формулой

( \

lim

с->0

/х + 2 Ins

(7)

/

Можно показать, что предел в правой части формулы (7) существует. Для ядра кА оператора А е 1С(Х,Х°;Е) естественно определяется его ограничение на диагональ Д = {(р, р) € X У- X : р € X} = X как мат-ричнозначпая плотность кА ¡д € С(X \ Х°, С(Е) ® Пу)- Ее поточечный след Ц является гладкой относительной плотностью пи X, что позволяет дать следующее определение.

Определение 5. Регуляризованный след оператора А £ /С(Х, Х°, Е) с ядром кА определяелпея но (формуле

г-Тг(Л) =

txkA\

Прежде чем сформулировать теорему о регуляризованпом следе коммутатора операторов пз К.(Х,Х°,Е), введем понятие определяющего семейства. Это понятие является аналогом известного понятия конормального символа

(см.. напр..22.23) в рассматриваемой ситуации.

Определение 6. Определяющим оператором, ассоциированным с оператором А 6 К.(Х, Х\ Е). называется оператор 1(А). действие которого на полуплот-

-- Mclrosc. Ii. B. The Atiyah-Patodi-Singer index theorem// Iicsearch Notes ill Mathematics, 4. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, lfl93.

2:1 Nazaikinskii, V. E., Savin, A. Yn., Schulze, B. \\\, Stcrnin, B. Yu. Elliptic theory oil singular manifolds//' Chapman Ilall CliC, Boca Baton, EL. 200G.

постпь /л £ C¿°((R \ {0}) х ® О(5Д\{0})хЛ-о) вида ц = и(х,х°) |fí¿r°|5

задается формулой:

I(A)/J, = 1(А)и(х,х°)

х

е C0=°((R \ {0}) х Хи, ® íí|w0}xXo)

где

1{А)и(х,х°) =

КА

(0,8,х\х\)и ^dxl 1бК \ {0},х° 6 Xo

Xo -оо

Здесь п^Е0 обозначает расслоение на (М\{0})хХ°. являющееся поднятием расслоения Е° при проекции тг2 : (К \ {0}) хХ0-) Х°: {тт^Е0)^0) = Е

Определение 7. Определяющими семействами оператора А £ 1С(Х,Х0,Е) называются сел1,сйства {/±(Л, Л) : А £ С} интегральных операторов в пространстве ССС(Х°,Е°) с гладкими ядрами, задающимися формулами:

+ОС

Г _ Лч

К1+{А,Ф14) = *-*КА(0,5, х°, х°2)- : Е°х„ ,

Kj-^x^x") =

Теорема 8. Если А £ ЦХ, Xo, Е) и В € ЦХ, Xo, Е), то

+ 00

г-Тг([Д В}) = -- í Тг (8J+(A, А) о /+(Б, Л) + дхГ(А, А) о Г (В, \))d\, тгг J

— оо

где Тг означает след интегрального оператора в пространстве (Xo, Е°).

В третьей главе мы изучаем формулы Лефшеца для потоков с неподвижными точками на многообразиях со слоением. Мы рассматриваем два. случая: первый случай это слоение, задаваемого слоями расслоения над окружностью. Второй случай это простейший модельный случай нетривиального слоения (рассматривается слоение тина Риба на двумерном торе).

14

В первом разделе третьей главы мы изучаем формулы Лефшеца в случае, когда, слоение Т на гладком компактном многообразии X задастся слоями расслоения тг : X —» 51 над окружностью 51. На X мы рассматриваем поток Т ■= {Т( : X —> А', £ € К}, удовлетворяющий условиям:

(Р1) Для любого ( £ Е диффеоморфизм Тг отображает каждый слой слоения Т в какой-либо (возможно, другой) слой.

(Р2) Поток Т имеет конечное число неподвижных точек, которые просты.

(РЗ) Орбиты потока Т трансверсальны ко всем слоям слоения, кроме тех слоев, которые1 содержат неподвижные точки потока.

В качестве отмеченного гладкого подмногообразия Х° возьмем объединение слоев расслоения тг, содержащих неподвижные точки потока. Можно доказать, что операторы Т^ о Р-ц»(Т) принадлежат /С(А, Х°, А.Ш(ТТ)). Поэтому мы можем определить регуляризованную функцию Лефшеца ЬГ(Т) 6 2?'(К) по формуле

п-1

(1,(Т),/> = £(-1)»г-ТН7} ° / € ^(К)-

«=о

Согласно условию (Р1) существует такой поток Т на 51, что 7г(Т<(х)) = Т((тг(.г)) для любого .г £ А". Запишем инфинитезимальный генератор V = 37^(1 *=о потока Т в виде У(у) = а(у)щ,у € 51, где а £ С°°(51). По условию (РЗ) ноток Т имеет конечное число неподвижных точек ат,..., ак £ «¡У1, причем а(а/) = 0 и а'(а;) ф 0 для любого ] = 1 ,...,к.

Основным результатом пе])вой части третьей главы является следующая теорема (ср. с теоремой 1):

Теорема 9. Имеет место формула

г

<1у

и(Т) = х(Р)

Э1

где \(Г) эйлерова характеристика типичного слоя Г расслоения тг, и регу-ляризоваииый интеграл, определяется подмногообразием {«ь ... С 51.

Во втором разделе третьей главы мы изучаем формулы Лефшеца для слоения Т на двумерном торе X = Т2 = M2/(2Z х Ъ). подъем которого па К2 при естественном отображении К2 —> 1?, слоение Т на Е2, задается множествами уровня отображения р : М2 —> К, р(у,г) = е: соэ (|у). Данное слоение имеет один компактный слой Х° = {(у, г) е Т2 : у = 1}, все другие слон некомпактны и наматываются на него. Отметим, что слоение Т не является трансверсально ориентируемым. Рассмотрим ноток, удовлетворяющий сформулированным выше условиям (Р1). (Р2). (РЗ). Неподвижные; точки такого потока принадлежат Х°. Можно показать, что для любого £ £ Е отображение ¿Ть : ТХ/ТТ —У ТХ/ТТ имеет вид V еа1у с некоторым а ф 0. По ток имеет единственную замкнутую орбиту у = 0 с примитивным периодом Т =

В данном случае оператор Tf о Р^^, вообще говоря. не принадлежит алгебре К{Х,Х°,Аи(Т7г)). Поэтому мы рассматриваем сглаженную рег.уляризо-ванную функцию Лефшеца. Обозначим через Л множество функций ф : Ж —> С. продолжающихся до целых функций на всей комплексной плоскости, таких, что для любого компакта множество функций х М- ф(х + гу): у € К ограни-

чено в пространстве Шварца 5(М). Зафиксируем четную функцию ф е А вида ф(х) = ф{х2),х € К, где ф е С00(К). Для любых £ > 0 и / € С0Ж(К) определим операторы С^, : -> = 0,1 по формуле С^ = 7} о ф^А^)2.

где Д^ послойный оператор Лапласа I! Можно доказать, что оператор

и = 0,1 принадлежит алгебре К(Х, Х°, Ли(Т7г)), и поэтому существует регуляризованный следг-Тг(С^у). Сглаженная регуляризованная функция Лефшеца Ь^ £ определяется формулой

/) = г-Тг (С?^) - г-Тг (С^) , / 6 ^(К).

Явное вычисление функции Ь^р представляется достаточно сложной задачей. В данной работе мы делаем первый шаг. а именно, мы вычисляем ее производную по что дает следующую формулу типа МакКина-Зингера.

1С

Теорема 10. Для любого £ > 0 имеет место формула

ф.г.,. /> = £ с„(4, ф)! , / е Сот

пег

где коэффициенты с„(<, определяются громоздкими явными формулами.

В заключении кратко резюмируются результаты диссертации.

Список публикаций

1. Кордюков, Ю. А.. Павленко, В. А. Сингулярные интегральные операторы на многообразии с отмеченным подмногообразием// Уфимск. матом, журн. 6, № 3 (2014). 35 71.

2. Кордюков, Ю. А., Павленко. В. А. О формулах Лсфшсца для потоков на многообразиях со слоением// Уфимск. матем. журн. 7, № 2 (2015), 71 106.

3. Павленко, В. А. Относительные интегральные операторы и их алгебра// Российский электронный научный журнал, № 1 (2014).

4. Павленко. В. А. Некоторые; асимптотические разложения на многообразиях и операции над ними// Сборник трудов Международной школы-конференции «Фундаментальная математика, и ее приложения в естествознании» Уфа 1 (2009). 311 320.

5. Павленко. В. А. Некоторые асимптотические разложения на многообразиях и операции над ними// Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва 39 (2009), 317 319.

С. Павленко. В. А. Алгебра относительных интегральных операторов на многообразии с выделенным многообразием //' Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва 40 (2010), 261 264.

7. Павленко. В. А. Интегральные операторы специального вида и их свойства// Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва 44 (2011) 232 234.

8. Павленко. В. А. Интегральные операторы специального вида и их свойства// Сб. трудов Международной школы-конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» Уфа (2012) 131 135.

9. Павленко, В. А. Формула Лефшеца для потока на расслоенном многообразии// Материалы Международной школы-конференции «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» Уфа (2014) 70 72.

10. Павленко, В. А. Формулы Лефшеца для потоков с неподвижными точками на расслоенных многообразиях// Сборник трудов Международной школы-конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» Уфа, (2014) 108 111.

На уч пае. из дан и е.

Павленко Виктор Александрович

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: Формулы Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением

Подписано в печать 22.09.2015. Формат оумаги 60*841/16. Усл. печ. л. 1,16 Бумага офсетная. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Закач 443. Тираж 100 экз.

РИО ФГБОУ ВО БГАУ, 450001, г. Уфа, ул. 50-летня Октября, 34