О статистических задачах для процессов типа дробового эффекта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

' :• * 2

КИЕВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

МЕЛЬНИК Валентин Николаевич

УДК 519.21

О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ТИПА ДРОБОВОГО ЭФФЕКТА

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диосартации на соискание ученоя степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена на кафедре высшей математики й I Киевского политехнического института.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор БУДДЫГИН В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор К03АЧЕНК0 ».В.,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Д0Р0Г0ВЦЕВ A.A.

Ведущая организация: Институт кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР (г. Киев).

Защита диссертации состоится " 30 " ,Мйр/>Ш_1993 г.

в///час ов в ауд.^Л? на заседании специализированного совета К C68.I8.II при Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко по адресу:

252127, г. Киев - 127, проспект Академика Глушкова, 6, механико-математичеокия факультет. . ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета.

Автореферат разослан "<?7" срвбрсМЯ 199 Jr.

Учёный секретарь специализированного совета

СУЩАНСКИЯ В.И.

, .Г*;: - I -

' ОБШ ХАРАКТЕВ1СТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории случайных процессов и её приложениях в радиотехнике, электронике, теории связи важнуо роль играют случайные процессы, представимые в вида стохастических интегралов по процессам с независимыми приращениями.

Пусть

«(О- I

- оо

где - неслучаг.ная действительная функция, именуемая

функцией отклика; ~ стохастически непрерывный центриро-

ванный однородный процесс с независимыми приращениями.

Из строения процесса ^ следует соотношение

ао «

• т

где - стандартный винеровския процесс; ЭбДО - сто-

хастически непрерывный однородный процесс'с независимыми приращениями, у которого отсутствует гауссовская компонента; процесс ¿((О,

- гауосоЕСкиЯ. В дальнейшем процесс будем назы-

вать обобщённым процессом дробового эффекта, а - обоб-

щённым процессом дробового эффекта с гауссовской компонентой. В частном случае, когда где ЗН^:),*.^ - пуассоновскиг про-

цесс, получим так называемый процесс дробового эффекта. Примеры физических процессов, приводящих к процессу дробового эффекта и связанных с ними математических моделэя имеется в работах В. Фэл-лэра, В.К. Золотарёва, С.К. Рытова и др. авторов. Ряд свойств как процессов дробового эффекта, так к обобщённых процессов дробового эффехта изучался в работах Л.В. Скорохода, Б.Ф. Синявского, Р. Лу-

ганани, С.О. Вайса, В.В. Булдьггина, Н.В. Яровоя, В.И. Питербарга, • В.В. Довгалюка. В этих работах изучались локальные свойства таких процессов, оценки для распределения супремума, функциональные предельные теоремы.

В настоящей диссертационной работе изучаются теоремы Леви-Бак-стера для обобщённых процессов дробового эффекта.

Теоремы Леви-Бакстера изучают условия сходимости в среднекЕад-ратическом (ср.кв.) или почти наверное (п.н.) квадратическо* вариации случайных процессов к неслучайной, отличной от нуля, постоянной. Зти теоремы достаточно хорошо изучены для гауссовских процессов (Е.Г. Гладышев, Ю.А. Розанов, Ю.М. Рижов, В.Г. Алексеев и др.). . Е.П. Бесклинскоя и Ю.В. Козаченко для гауесоЕСких процессов исследовались условия сходимости бакстеровских сумм в нормах пространства Орлича.

Теоремы бакстеровского типа для случайных процессов и полег, которые не предполагаются гауссовскими, изучались в работах Ф. Козина» П. Пирре, ¡C.B. Бондаря, A.A. Кур<енко. Бакстеровские теоремы для обобщённых стохастических интегралов изучались A.A. Дороговцевым. Теоремы лееи-Бакстера для строгосубгауссовских процессов были подучены В.В. Булдыгиным и Ю.В. Козаченко.

Теоремы Леви-Бакстера находят своё применение при решении различных вопросов теоретического и прикладного характера. Важную роль играет бакстеровское свойство винеровского процесса при изучении стохастического интеграла Ито. На этом пути Ю.М. Рыжов использовал теоремы Леви-Бакстера в задачах построения стохастических интегралов по гауссовским процессам. Эти теоремы также используотся для отыскания эффективных критериев сингулярности мер (Е.Г. Гладышев, Б.Г. Алексеев, Ю.'М. Рыжов, A.A. Курченко, Ю.А. Розанов), соответ-сте/юших процессам (полям), которые обладает бакстеравским своя-

стеом. Этот подход используется в задачах о выделении радиосигнала на фоне шума (Д. Слепян).

Различные статистические задачи, подобные описанным выше, в применении к обобщённым процессам дробового эффекта обуславливают необходимость изучения теорем Леви-Бакстера для таких процессов.

Цель работы. Получение теорем ЛеЕИ-Бакстера для обобщённых процессов и поле?, дробового эффекта. Нахождение критериев сингулярности мор, соответствующих обобщённым процессам дробового эффекта.. Решение задачи оценивания неизвестного параметра экспоненциальной функции отклика.

Методика исследования. В диссертации используются теоретико-вероятностные методы исследования, а также специальные методы и факты спектральной теории функций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

- установлены теоремы Лови-Бэкстера на фиксированном параметрическом интервале для обобщённого процесса дробового эффекта;

- получены условия теорем Леви-Бакстера в спектральных характеристиках функци" отклика ;

- установлены теоремы Леви-Бакстера на расширяющемся параметрическом интервала для обобщённого процесса дробового эффекта с гауссов-скоя компонентой и без неё;

- наддены условия теоремы Леви-Бакстера на расширяющемся параметрическом интервале для обобщённых процессов дробового эффекта, функции отклика которых имеют степенной характер убывания на бесконечности;

- получен критерия сингулярности мер, соответствующих обобщённым процессам дробового эффекта;

- установлены теоремы Леви-Бакстера на расширяющемся т -мерном кубе дл<! полей дробового эффекта;

- решена задача оценивания неизвестного параметра у экспоненциальной функции отклика обобщённого процесса (и поля) дробового эффекта.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы представляют интерес, при изучении аналитических свойств реализаций обобщённых процессов|дробового эффекта; в задачах построения стохастических интегралов по обобщённым процессам дробового эффекта; для отыскания эффективных критериев сингулярности мер; в задачах выделения радиосигнала на фоне шума; при решении задач оценивания неизвестного параметра у функции отклика и других статистических .задачах для обобщённых процессов дробового эффекта.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по теории вероятностей и теории случайных процессов Института математики АН УССР, Киевского политехнического института, на Республиканской школе молодых учёных "Математические методы в естествознании: теоретические и прикладные аспекты" (Алушта, 1990 г.) и опубликованы в работах С -

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и восьми параграфов. Общи*? обгём работы 460 Стр. машинописного текста. Библиография содержит ^ наименований.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ.

Бо введении даётся краткий обзор исследования, связанных с темо? диссертации, изложены её основные результаты.

Введём ряд ограничений на характеристики обобщённого процесса дробового эффекта. ^ , которые будем считать выполненными для всех последующих рассмотрения.

Функция отклика процесса ^ должна удовлетворять условию

\ < оо , Н.л,2,г,Ч. (4)

- э»

Далее, известно, что совместная характеристическая функция случайных величин . . . , имеет вид

я

„ К... «и) - М «х/>[1 =

« Р» и

= ет[ 1 \ (е*р{* ? -

где П(о1х)- неслучайная мера на Й? , соответствующая мере скачков процесса J.

Будем считать выполненными следующие ограничения на меру .

ев

(Г* = ^ хк П(о1х) < оо л ц, (а)

- от

Условия (I) и (2) гарантируют наличие у процесса р , а зледога-тельно и у его приращений всех моментов, вплоть до четвёртого.

Отметим, что обобщёнчиг: процесс дробового эффекта р является стационарным и его корреляционная функция имеет вид

оо

Спектральная плотность процесса удовлетворяет соотношению

чу*) = 6-,

А

где - преобразование Фурье функции отклика f(-fc) Положим

1 ^ , |fB , {J ~ неслучайные последовательности. Относительно предположим, 4T0t„-*O при м —р-а.Х^К^-натуральное число (например Л^,»«1-/У„= й~и и т.д.). В дальнейшем для простоты обозначим =Л/. Обозначим символом - оператор конечной разности р -го порядка

В § I устанавливаются теоремы ЛеЕи-Бакстера в классической постановке (т.е. на фиксированном параметрическом интервале) для обобщённых процессов дробового эффекта ^(t), i é Со,i] Рассмотрим бакстеровскую сумму

s= с, Jb .

Нормирующие последовательности в бакстеровских сум-

мах впервые были введены в работе Е.Г. Гладышева, а высшие разности в работе Ю.А. Розанова.

Теорема I.I. Для того чтобы SU>(9) *'С*о

- ------" « ' ьч —• о.

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись слздуоцие условия «»

1) t¿m е-^С^г;1 [ (С? =г С *о ■

" Р Р \г

г) lúvv ci J^T [

n"".¿»i " / Ы ®> а. г

ъ) Ит с* J (j(c-i>r„t s)) j(s>) ol S = о .

Отсюда, используя подход Ю.А. Розанова, получены более удобные для проверки достаточные условия (следствие 1.1).

Опрзделённым недостатком в формулировке теоремы 1.1 является наличие в её условиях наростающих сумм. Переход от функции отклика

А

к её преобразованию Фурье ^(л) позволил избавиться от наростающих

сумм в формулировках теорем и получить более обозримые и более

удобные для проверки условия. Введение в условия соответствующих

теорем преобразования Фурье функции отклика тем более естественно, а г

так как б^Кс*)) есть спектральная плотность обобщённого процесса дробового эффекта у . Обозначим

&р>(. (*> ^ др6 •

_ (4) ер. кб. Теорема 1.2. Для того чтобы ^С*0

необходимо и достаточно, чтобы выполнились следующие условия

1) Си-с;1 ^ ^I{- с-ю-

И-*«

а) Цт

от 9»

И

с

. ||</>Г сЬЛр - о;

л

где ^(л) - комплексносопряжённая к функция.

Еыделяются также следующие достаточные условия.

г2) СР.

Следствие 1.^. Для того чтобы в„ (?) ,, ¿о " С * О достаточно, чтобы выполнялись условия I) и 2) теоремы 1.2 и условие

' -¿I Б:и* (»•Ту» I Т") |$»< Ьг I '

А А , , I

I<Ь<А|1 = О

В заключение § I рассматривается теорема Леви-Бакстера для гаус-совского процесса [о,11 . Примечательно, что полученные усло-

вия теоромы Леви-Бакстера для гауссовского процесса £[о,1}

с точностью до постоянного множителя совпадает с условиями I) и 2) соответствующих теорем Леви-Бакстера для обобщённых процессов дробового эффекта. Отсюда следует, что наличие бакстеровского свойства у обобщённых процессов дробового эффекта, по сравнению с гауссовским процессом % , связано с выполнимостью дополнительного условия 3).

Проверкой условия леммы 1.2 удаётся показать, что класс обобщённых процессов дробового эффекта, для которых имеет место бакстеров-ское свойство, не пуст. Однако в действительности этот класс весьма узок. Например, для функции отклика

при СИ.ТЛ (*„—£>, прИП-*о-) и выполняются услоеия I) и

2) теоремы 1.1 ( т.е. для гауссовского процесса £ имеет место

георема Лери-Бакстера в классической постановке) и ни при каких с„ и р не выполняется условие 3) теоремы 1.1 (т.е. для обобщённого процесса дробового эффекта р теорема ЛеЕИ-Бакстера в классическое постановке не выполняется).

В § 2 решается проблема расширения класса обобщённых процессов дробового эффекта, обладающих баксгоровским свойством. Это достигается путем согласованного расширения параметрического интервала, т.е. "р(1),1еСо,о(,Л * , ПРИ "-»»• • При этом возникает необходимость дополнительной нормировки с/^ . С По существу рассматриваются теоремы Леви-Бакстера для серии процессов 3^ } на фиксированном параметрическом интервале).

Положим

к« 4.

„ (л) ер.

Теорема 2.2. Для того чтобы Ср) -» С * о

И —©о

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись- след/ющие условия

4 ЛЪ еХЧ'1 ] ** 1$ - С ♦ в;

- «о

а) ег*. с* оС" ? 5 5:\<) | г/ х

Сравнивая условия 2) и 3), можно отметить наличие в условии 3) дополнительной нормировки А- Это обстоятельство, свя-

занное с расширением параметрического интервала, играет важную роль при проверке условия 3) в различных конкретных ситуациях.

В § 3 рассматривается общий случай. Здесь доказываются теоремы Леви-Бакстера на расширяющемся параметрическом интервале для обобщённого процесса дробового эффекта с гауссовскол компонентой.

Теорема 3.2 Для того чтобы ¿^(Эв) С * о

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия

4) бет Л*Р ( <У2 + С„ ап* Т 5СПЯР 2|а .

' И-»» ' .) *

- с ♦ о;

г) Ит * с* сС* \ ?

-¡ШП^н»^ -0

В § Н рассмотрена статистическая задача оценивания неизвестного параметра Ь у функции отклика

■¡а) = - I ж } , б > о

по наблюдениям за реализациями обобщённого процесса дробового эффекта с гауссовскоР. компонентой. Еьбор в качестве оценки функции, непосредственно связанной с бакстероЕскими суммами продемонстрировал эффективность теорем Леви-Бакстера на расширяющемся параметрическом интервале. Напомним, что как было показано в § I, на фиксированном параметрическом интервале бзкстеровскоэ сеорстео для обобщённого процесса дробового эффекта с функцие* отклика

не выполняется.

Теорема чЛ. Пусть р - обобщённый процесс дробового эффекта с гауссовской компонентой и функцией отклика = екр(-6 1-Ы \ 1 6 > О

Тогда, если

о

——!* , а„ -

м -> о. ' И -г эо

то в ср.КВ.

¿Сууу

где

В § 5 доказывается теорема |1еви-Бакстера на расширяющемся параметрическом интервале для обобщённого процесса дробового эффекта, с функцией отклика, имеющей степенной характер убывания на бесконечности. Поскольку модуль квадрата преобразования Фурье функции отклика умноженный на является спектральной плотностью соответствующего обобщённого процесса дробового эффекта, то можно считать, что здесь рассматривается теорема Леви-Бакстера для обобщённого процесса дробового эффекта со степенным характером убывания спектральных плотностей. Такие задачи для гауссовских процессов рассматривались в работе Е.Г. Гладышева.

Теорема 5.1. Цусть преобразование Фурье функции отклика $(1) удовлетворяет условию

г

Положим

=

i , »ели г р * Ь

к, если 8к-1 < В < йк-И > к г- г

(_ (с!вги)а"г |?И%0Я| > при р = ( к * 1

Тогда, если d —» <*» и t-hú(4 -» о то

у\— о» Оо

N

í.i.m. ~ (ДР ? ((«--•) = с

h-»-ее «-.1

где

сю

с - fc*. а^сЛА.Ч1 5 ¡tcvfd* .

В $ б получено утверждение о сингулярности мер, соответствующих обобщённым процессам дробового эффекта.

Цусть p«(-t),fc>0 и J?,,t > О - обобщённые процессы дробового эффекта с функциями отклика tfiC-U и (i) т.е.

9о -jo

-•Ю

где - стохастически непрерывный центрированный однород-

ный процесс с независимыми приращениями, у которого отсутствует гауссовская компонента.

Теорема 6.1. Если и - обобщённые процессы дробового эффекта с функциями отклика, преобразование §урье которых удовлетворяет условиям

л. -

¡Cf¿(*)¡ - M¿ |л| й ч о(|-лГ ') * — - ;

Mi >° ; , ;

_ 1Ц -

то вероятностные меры в функциональном пространстве реализация, соответствующих этим двум процессам,будут взаимно сингулярными.

Замечание 6.1. Теорема 6.1 справедлива и для обобщённых процессов дробового эффекта с гауссовскоя компонентой.

В $ 7 уточняются результаты ^ 6. Здесь исследованы условия, когда в теоремах Леви-Бакстера для обобщённого процесса дробового эффекта на расширяющемся параметрическом интервале имеет место сходимость почти наверное. В этом случае конкретизируется характер разбиения | и скорость расширения [о1и,»1»1] интервала

наблюдения. Именно, сходимость п.н. будет иметь место, если в условиях теоремы 5.1 *п-г"п, а <Я„ = (о < -1) .

В $ 8 утверждения для обобщённых процессов дробового эффекта переносятся на случая полей дробового эффекта.

Пусть (. 7<€> ,£. 6 С©.**»)*' ) - случайное поле дробового эффекта, т.е.

4(1)- \ {(*-&)

где ({(?.) - цуассоноЕская случайная мера на с интенсивностью^; - £(*», ••• ,*•») - неслучайная функция, ^-.в""-^ (функция отклика), такая, что выполнено условие

костью

Положим

N

it 1 '

где

{Ч"»4 i » f«-,'1*4 i , {tr„, r>*i} -

неслучайные последовательности, такие, что cfn —'» , t„ •= ЛЛ

о»

натуральное число; к -- (к4( •

Д* 9<*> - п Н е -

¿■•1 с» 1 « '

приращение порядка р случайного поля

на m-мерном кубе £t+6,i] , 1,1 6 ( 1 = , ё) ;

р* - целое неотрицательное число,.

Теорема 8.2. Для того чтобы £„fa)(?) С* о

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие'условия

И-»0О J ' J

Jpw

а) «„О* С П ^ .

■ Ш." S£n'P* Ijf^rij^l^Uji - О ;

. , р ~ о- *

) ег* и^г)*/?« П \ п _—ё_ .

■ № &) 5)<ы.не • °'

где

Подобно утверждениям 4 5, для полей дробового эффекта получена теорема Леви-Бакстера для случая функций отклика, имеющих степенной характер убывания на бесконечности по каждой переменной. Для этих же функция отклика, при соответствующем выборе характера разбиения и скорости расширения т-мерного куба, получена сходимость почти наверное.

Для поля дробового эффекта с функцией отклика

т

проверяется бакстеровская теорема ( в ср. кв. и п.н.) и выписывается оценка параметра в.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Мельник В.Н. Бакстеровская теорема для процесса дробового эффекта //'Бесконечномерный стохастический анализ. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990. - С. 80-84.

2. Мельник В.Н. О бакстеровском свойстве для процесса дробового эффекта // Киев, политех, ин-т. - Киев, 1991. - 20 С.( Дэп. в УкрШИНТИ, 09.12.91 № 1585 - Ук 91 )

3. Булдьггин В.В., Мельник В.Н. О теоремах Леви-Бакстера для стохастических интегралов // Допов. АН УССР. Сер. А. -1991. - № 10. - С. 37-41.

4. Мельник В.Н. О теоремах Леви-Бакстера для полей дробового эффекта // Стохастические уравнения и граничные теоремы. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. - С. 102-107.

'/4.Сб&се* )

Подписано в печать 12.12.91г. формат 60*64/16 Бумага писчая. Усл.печ.л. 1.0. Тирах 100 »кз.Заказ«2173

Отпечатано ЦУОП К! "Плодматпроект" г.Киев, Саксаганского,!.