Предельные теоремы для стохастических решений уравнения Бюргерса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Ассоциированность и случайные меры. Моментные и максимальные неравенства

Глава 2. Функциональная центральная предельная теорема для решении многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными

2.1 ЦПТ для конечномерных распределений преобразованных решений уравнения Бюргерса

2.2 Одномерная ФЦПТ для случайных решений уравнения Бюргерса

2.3 ФЦПТ для параболически масштабированных решений

Глава 3. Закон повторного логарифма для решения уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.

3.1 ЗПЛ для решения уравнения Бюргерса с начальными условиями, заданными дробовым шумом с нулевым радиусом взаимодействия для случайных полей

1.1 Ассоциированность и случайные меры

1.2 Максимальные неравенства

1.3 Моментные неравенства для сумм

1.4 Моментные оценки для интегралов по случайным мерам

3.2 ЗПЛ для процесса V(t)

3.3 УЗБЧ для процесса S(t) Список литературы

Среди задач, находящихся на стыке нескольких областей математики и физики, одна из наиболее интересных и интенсивно изучаемых в последнее время — турбулентность Бюргерса. Многочисленные исследования как в физической, так и в математической литературе посвящены уравнению Бюргерса и родственным ему системам (см., например, монографию [981 и библиографию в ней).

Говоря о многомерном уравнении Бюргерса, имеют в виду следующую задачу Кош и: dv + (v.Vx)v= хДг>, ot tf(0,x)=-«o(aO = -V*f(z), t1)

МО Gt+x Rd,v(t,x) e где x > 0 параметр вязкости, A — оператор Лапласа, Vx — градиент (по переменной х). Решение ищется в классе потенциальных полей v(t,x) = У,гФ(£,х).

Это уравнение и его аналоги описывают эволюцию поля скоростей для многих нелинейных дисеипативных физических явлений различной природы — интенсивных акустических, оптических волн, гидродинамических потоков частиц и др. Многочисленные примеры явлений, описываемых уравнениями типа уравнения Бюргерса, приведены в монографии [15].

Уравнение Бюргерса играет центральную роль в описании возникновения во Вселенной крупномасштабных мозаичных структур типа Вороного. Эти структуры были обнаружены сравнительно недавно благодаря данным о распределении материи во Вселенной, полученным с помощью измерений красного смещения. Гидродинамическая теория их возникновения, использующая уравнение Бюргерса, развита Я. Б. Зельдовичем и его школой (см. [15, 90, 98]).

Одномерная версия уравнения (1) впервые, видимо, рассматривалась X. Бейтменом ([40]) в 1915 году, но заслуженно носит имя Дж. Бюргерса, который дал основы теории этого уравнения (см. его монографию [52]).

На поведение1 решения влияют два основных механизма, заложенных в уравнении: нелинейность, выраженная квадратичным членом (v,Vx)v, и диссипация, возникающая благодаря наличию вязкости, т.е. гидродинамического трения, соответствующего многочисленным микроскопическим столкновениям частиц. Нелинейность влечет возникновение структур типа ударных волн, диссипация же сглаживает эти ударные волны и тем самым действует на поле скоростей регуляризующим образом.

Эти два противоборствующих эффекта в основном и определяют сложную картину "турбулентности Бюргерса". При этом возникают такие интересные явления, как перемежаемость и перенос энергии по спектру.

Отметим, что безвязкостное (х = 0) уравнение Бюргерса, называемое также уравнением Римана, описывает эволюцию поля скоростей в потоке невзаимодействующих частиц. При этом возникающую неединственность решения, связанную с опрокидыванием ударных волн, можно иногда интерпретировать как многопотоковость, имеющую место, например, для оптических лучей. Многие физические системы, описываемые безвязкостным уравнением Бюргерса в области, где решение неединственно, эволюционируют согласно так называемому энтропийному решению, которое получается из решения (1) с я ф 0 при я -л 0.

Таким образом, уравнение Бюргерса описывает содержательные и разнообразные физические явления. С математической же точки зрения замечательный факт состоит в том, что с помощью подстановки v(t,x) = — 2xVx.log u(t, х), обычно называемой подстановкой Хопфа-Коула. но впервые примененной В. А. Флориным в работе [32] 1948 года, т.е., до соответствующих работ 9. Хопфа и С. Коула, можно свести задачу к уравнению теплопроводности да т = и(0.а:) =и0{х) =е~^)12к.

Отметим, что косвенным образом эта подстановка содержится в монографии А. Р. Форсайта [69. р. 101-102] 1906 года.

Из работ А. Н. Тихонова ([30]) и Д. В. Уиддера([95]), следует, что то единственное1 неотрицательное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности дается известной формулой Пуассона. Воспользовавшись ею. можно получить следующий результат. Если интеграл в знаменателе формулы v(tx)

Vxg{t,x,y)exр dy git.x.y) ехр dy 1 (n \ \x - У I' exP i ш) jRd \ ' 21 {t,x) G (0, +oo) x 5 сходится при всех (t.x) G (0, oo) x Шс1\ то эта формула задает единственное решение рассматриваемой задачи Коши. Здесь (Шху1/2 ехР <--77^-h (3) а | • | евклидова норма в

В последите время в физической и математической литературе появилось множество теоретических работ, касающихся уравнения Бюр-герса и написанных на различных уровнях строгости — от физических и основанных на компьютерном моделировании до содержащих совершенно строгие математические результаты. При этом наибольший интерес вызываем поведение решений в случае, когда начальный потенциал представляет собой случайное поле. Тогда решение тоже является случайным полем, определенным в R+ х Mf/ по формуле (2). Оказывается, что статистические свойства решений уравнения Бюргерса существенно зависят от типа случайных начальных данных. Для исследования случайных решений применяется самая разнообразная техника. Прежде чем переходить к изложению результатов диссертации, остановимся на пред-шест ву ю щ и х 11 с с л ед о в ан и ях.

Первые строгие математические результаты о предельном поведении случайных решений уравнения Бюргерса были получены М. Розенблат-том в [88, 891. В частности, им были установлены оценки для коэффициентов Фурье решения уравнения (1) со случайными периодическими начальными данными в случае d = 1. Также в одномерном случае была установлена асимптотическая гауссовость интегралов от решений при подходящей нормировке в предположении, что начальные данные обладают сильным перемешиванием.

В работе [11] А. В. Булинский и С. А. Молчанов впервые получили центральную предельную теорему (ЦПТ) для параболически масштабированных решений многомерного уравнения Бюргерса, построенных по случайным начальным условиям, заданным полем дробового шума, управляемым пуассоновским точечным полем. Напомним определение дробового шума.

Пусть на вероятностном пространстве (О,^7, Р) заданы случайное точечное поле {.г,;} в а также последовательности (г1г)гещ и (0г-)г-ек независимых случайных величин. Будем считать, что {ж;}, (?7;)ieN и (^г)гем независимы в совокупности, и что /уг- (соответственно 0г- ) при всех г распределены так же, как величина rj (соответственно в ), с функцией распределения G (соответственно F), а кроме того в > 0 п.н. Дробовым шумом, управляемым точечным полем {ж;}, называется случайное поле вида г где (р{-) — действительная измеримая функция на Md, которая называется потенциалом или функцией влияния. Это поле можно рассматривать как модель точечных источников влияния. Величины гц представляют собой случайные амплитуды, a 9j — случайные масштабные множители. Если Е\г]\ < оо, Е9d < оо, (р Е L^M^, Leb), (Leb обозначает меру Лебега) а точечное поле является пуассоновским с постоянной интенсивностью, то для любого х G ряд (4) абсолютно сходится с вероятностью единица.

Вернемся к уравнению Бюргерса и предположим, что начальный потенциал £(•) является полем дробового шума (4), управляемым пуассоновским точечным полем интенсивности Л > 0. Пусть параметры дробового шума удовлетворяют следующим условиям при некотором s £ (2,3].

1) у <Е L1(Mrf,Leb)nL°°(M<i,Leb) и существует функция r(t), для которой при t —> оо выполнено r{t) оо, R{<p,r{t)) = o{rd/i), r(t) = о(^), где ^

В{(р,г) — / (p2(x)dx+ I / (p(x)dx \J\x\>r \J\x\>r J a s-2 i/ =

2 — UO

Ф-1)'

2) Eexp{.S'j|(/?||\r)\] < oo;

3) 9 < 0. где 0 > 0 — некоторая константа;

4) ^ = a'2£27Td/2 > 0, где a2— (exp{AA(w, <£>)} — l)dw, A{w,(p) = [ dF(u) [ dG(v) [ (ev^ - l) (eVip{

Jщ Jm. JMd ^ ' ^ и = exp (ЛЕ^ [ dG(v) [ dz(e°^ - 1)1.

I Ум Jmd J

Обозначим

Vr(a) = a~ где T > 0, a E а поле •) — решение уравнения Бюргерса с описанными выше начальными условиями. Здесь и далее полагаем для краткости параметр вязкости я равным 1/2, если специально не оговаривается противное. При этом общность рассуждений не теряется, так как к случаю произвольного х > 0 приводит, как легко убедиться простое преобразование £*{х) = = -щ^

Теорема ([11]). Если выполняются условия 1)-4), то конечномерные распределения векторных случайных полей Vj слабо сходятся при Т —} оо к соответствующим конечномерным распределениям центрированного гауссовского поля V^, с соуЛ\,{„ ^

1 (аг-Ьг)2\ Г |а-6|2\ ехр--— f г = j,

А-Т О- ■ ехР \--Й— С

Доказательство этого нетривиального результата основано на использовании явной формулы для решения уравнения Бюргерса и включает сведение к случаю финитной функции влияния (р., а также работу с схемами серий т—зависимых мультииндексированнных случайных величин при нерегулярном росте дисперсий сумм.

Более изощренное применение той же техники позволило А. В. Бу-линскому в |47| доказать ЦПТ для преобразованных решений уравнения Бюргерса в более общей постановке. А именно, в качестве начальных условий рассматривались обобщенные поля дробового шума вида (,Ч -Г,.,,,). ./• £ Л''. - > 0. (6)

Здесь {xj^} пуассоновское точечное поле в с интенсивностью Af(x') = A|(t-:/:), где Ai > 0— некоторая периодическая по каждой переменной непрерывная функция на независимые и одинаково распределенные (для каждого е) случайные величины в некотором польском пространстве К с общим распределением Ge. Наконец, (fE : Ж'1 х К —> W1 — неслучайная функция влияния.

При некоторых дополнительных условиях на Ge и (р£ в духе условий предыдущей теоремы и при специальном выборе нормировочных функций bj) и dj] (здесь соответствующие формулы опускаются из-за их громоздкости, см. [47, с.35]) конечномерные распределения случайных полей

Z'/ i/.г) - ^]{t.x)v(£]{t,x) - aP{t,x) при

Т —» оо. eVT —> с £ [0. сю] сходятся к центрированному гауссовскому полю. Здесь v^(t,x) обозначает решение уравнения Бюргерса, построенное по начальному потенциалу заданному обобщенным полем дробового шума (6). Нормировочные функции а и 6, а также ковариационная структура предельного гауссовского поля получены в [47] явно. При этом вид соответствующей ковариационной функции оказывается существенно различным для значений с = 0. с G (0, оо) и с = сю.

При доказательстве этих теорем приходится работать отдельно с числителем и знаменателем явной формулы (2) для решения уравнения Бюргерса. Для случайного поля в числителе устанавливается сходимость к нетривиальному пределу (в данном случае гауссовскому) в смысле конечномерных распределений при специальным образом подобранных нормировках, а для поля в знаменателе устанавливается закон больших чисел, что позволяет получить слабую сходимость конечномерных распределений дроби.

Этот подход к доказательству сходимости конечномерных распределений выявляет следующая теорема, доказанная Д. Сургайлисом и В. А. Войчипским ([94]) для одномерного случая, но легко переносимая и на случай произвольной размерности. Введем для /3 > 0 Я(0)(ехЯШу)} - Am, У Е где А{[5) и В{(5) — некоторые нормировочные функции.

Будем обозначать 5(IRc/) пространство быстро убывающих гладких пробных функций, a S'(M.d) — соответствующее пространство обобщенных функций с обычным образом определенными топологией и борелев-ской сг-алгеброй. Значение функционала Ф £ S'(Rd) на пробной функции (р £ S(Rd) обозначим (Ф,</>}. Под обобщенной случайной функцией будет подразумеваться измеримое отображение вероятностного пространства в пространство S"(Md).

Теорема ([94]). Пусть случат we. поле Е$ при /3 —> сю слабо сходится в пространстве S'(Rd) медленно растущих обобщенных функций к обобщенному случайному полю т.е. для любой пробной функции ф <Е S{W) lim Еехр г / Щ{у)ф{у)<1у }> = Е ехр{г(50С, </>)}, (7) JWd ) и для некоторого а > О lim / exp{£(/fy)}<£(y)d?/= а(1,0), ad а где имеется в виду сходимость по вероятности. Тогда при Т —> оо конечномерные распределения полей v(Tt, л/Г), (£, х) Е (0, оо) х!', сходятся, к соответствующим конечномерным распределениям поля

Voc{t- х) = aJ (Еоо, Vxg(t,x, •)), (МО G (0, оо) х г^е функция g задана формулой (3).

Условие (7) можно переформулировать как утверждение о том, что поле схр{£('г/)} имеет крупномасштабный обобщенный предел в смысле Р. Л. Добрушина (|16|). Как известно, в этом случае с необходимостью

ВЦЗ)=1ГЩ) для некоторой константы г/£1и меделенно меняющейся в смысле Карам ата локально ограниченной на бесконечности функции L. Если центрирующая функция А((3) постоянна, то предельное обобщенное поле Е-* является автомодельным с параметром р, т.е. для любого /3 > 0 и Ф е S{Rd)

Soo^-'Vor1.)) =w (s,(/)(•)), где " 11 обозначает равенство по распределению. Автомодельные гаус-совские поля описаны Р. Л. Добрушиным в [61]. Одним из наиболее важных полей, появляющихся в качестве предельных в (7) является гауссов-ский белый шум W. т.е. обобщенное случайное поле с характеристическим функционалом

Eexp{i(W\0)} = ехр |[ ф2(х)с1х\.

I 2 JRd )

С помощью приведенной теоремы Д. Сургайлис и В. А. Войчинский доказали ЦПТ для преобразованных решений уравнения Бюргерса при начальном потенциале, заданном полем дробового шума, управляемом точечным полом Кокса, также называемом дважды стохастическим пуассоновским полом. Напомним, что поле Кокса — это '"пуассоновское точечное поле со случайной интенсивностью А (ж) > 0". Более точно его можно ввести (см. [94]) как случайную целочисленную меру N(A), А £ Вь{M.d) (здесь Вь{М(/) семейство ограниченных борелевских множеств ) с конечномерными распределениями, определяемыми для непересекающихся множеств А\. ,Ап £ Bb{M.d) следующим образом:

Р{7У(ЛХ) = л,., N(An) = Jn] = Е ^^ eXp{-A(A,)} где

А(А) = J А (ж) dx, А£ВЬ

Пусть случайная интенсивность А является ограниченной и т - зависимой при некотором т < оо. Последнее означает, что для любых множеств А. В С M.d таких, что inf{|a — Ь\ : a £ А. 6 £ В} > т. а-алгебры, порожденные случайными величинами А(ж).ж £ А и А(ж).ж £ В. независимы.

Теорема([94]). Пусть d = 1 и начальный потенциал £ задачи Ко-ши (1) задай нолем дробового шума (4), управляемого точечным полем Кокса с ЕА(А) ^ CLeb(A) при некотором С > 0. Пусть также функция влияния р интегрируемая и гладкая, для любых а, Ь £ М.

Е ехр{а£ + Ьв} < оо.

Будем тако/се предполагать, что для любой финитной гладкой ф и любой ф £ 5(К) г)(и. ф)ф [ — ) йи = Г}*(ф) / ф(и) du п.н.

Е ' \Р J J1 где

Г1(и.ф) - ехр / А(х)ф(х — u)dx. а у*{ф) — неслучайный множитель, зависящий только от чр. Пусть, кро.м,е того, функция Е77(14,-0) почти периодична по аргументу и для любой финитной гладкой 'ф.

Тогда при Т —> оо конечномерные распределения полей

Ti/4v(Tt.Vfx))

V / (*,ж)е(о,оо)хм сходятся к соответствующим, распределениям поля, o~V^>Vrf(t.z.0))(lil)6(0^)xK, (8) здесь v — решение задачи (1). W' белый гауссовский шум, а = ту*(Ф)

Заметим, что предельное гауссово поле из приведенной выше теоремы А. В. Булинского и С. А. Молчанова, ковариационная структура которого описана в (5), также представимо в виде (8) при некоторых а и <7 с понятными отличиями, связанными с переходом к, вообще говоря, многомерной задаче.

Обратимся теперь к другому ин тересному случаю, когда начальные условия заданы гауссовским случайным полем или некоторым преобразованием гауесовского поля. Здесь исследования в основном базируются на технике работы с нелинейными функционалами гауссовских полей, связанной с разложениями по многочленам Эрмита- Вика.

Общая схема такова. Пусть начальный потенциал задан формулой t(x) = F{ri(x)), где г](х) — некоторое стационарное гауссовское поле, a F — некоторая функция такая, что exp{F(r)(x))} £ L2(Q,JT, Р). В простейшем случае F(x) = х и начальный потенциал является гауссовским полем. Разложение exp{F(4(,))} = g>»» (9) k=О по ортогональной относительно стандартной гауссовской меры на М. системе многочленов Эрмита * = 0,1,2. dy подставим в формулу (2) для решения уравнения Бюргерса. Если основной вклад 15 интегралы, входящие1 в эту формулу, будет вноситься некоторым начальным отрезком получившихся сумм, а вклад остатка будет асимптотически мал, то при подходящей нормировке можно будет получить нетривиальное предельное распределение. При этом в зависимости от вкладов разных членов эрмитовых разложений (в частности, от эрмитовых рангов рассматриваемых функций, см.[62]), и от скорости убывания корреляции поля rj(x) в качестве предельных могут возникать как гауссовские, гак и негауссовские случайные поля. (см. работы Р. Л. До-брушина и П. Майора [62] и П. Брейера и П. Майора [46]).

Приведем несколько результатов, реализующих эти соображения.

Рассмотрим сначала в качестве начального потенциала стационарное центрированное гауссовское ноле {^{x))xE^d с ковариационной функцией

В(х.у) = В(х - у) = Е£(х)£{у) 0 (\х - у\ оо). Пусть В(х) меняется регулярно на бесконечности, т.е.

В(х) = \x\-°L{\x\)Q(x/\x\), где а > О, L медленно меняющаяся на бесконечности функция, в(-) — непрерывная положительная функция на единичной сфере в M.d.

Теорема(|11, 14, 37]). Если а > d, то конечномерные распределения случайного ноля

V / {t,x)e(0,oc)x2d сходятся, к соответствующем, конечномерным, распределениям гаус-со веко г о поля,

C(W',Vxg(t,x,.)), (t,x) G (0,оо) xlrf, где С --■ 'некоторая, положительная, константа, определенная ковариационной функцией В. W' — белый гауссовский шум. а функция g введена в (3).

Нормировка в этой теореме выбрана так, что наибольший вклад в изучаемый функционал вносится первым, линейным, членом эрмитова разложения, а суммарный вклад остальных членов при этом асимптотически мал.

В случае сильно зависимого гауссовского поля такого, что нормировка, выбираемая из тех же соображений, что и в предыдущей теореме, другая. Предельное поле при этом также изменяется, а именно, имеет место следующая теорема.

Теорема ([37]). Если а Е (0,d), т.о конечномерные распределения поля слабо сходятся к соответствующим конечномерным распределениям центрированного стационарного гауссовского поля где С, некоторое стационарное центрированное автомодельное порядка а обобщенное гауссовское поле, а функция g определена в (3).

Для изотропных начальных данных в условиях предыдущей теоремы Н. Н. Леоненко и В. А. Войчинский ([78]) явно вычислили ковариационную структуру предельного гауссовского поля, его спектральную плотность, а также, используя более тонкие оценки для эрмитовых разложений. получили оценку скорости сходимости в предыдущей предельной теореме, ранее полученную для одномерного уравнения Бюргерса Н. Н. Леоненко, Е. Орзипгером и В. Н. Пархоменко ([77]).

Чтобы сформулировать результат о скорости сходимости, нам потребуются новые обозначения. Рассмотрим ^-мерную ортогональную матрицу Хельмерта

Voc{t, х))({.,1:)е{0,оо)хША — (С Ж, •))(<,0,oo)x!№di sfd sfd. Vd Vd л/d ' " Vd \ s -7b 0 0 ■■■ 0 ••• 0

0 . 0 . 0 О

1 1 2

W(d-\)d y/(d-\)d y/{d-\)d y/(d-l)d "' y/(d-\)d "' y/{d-l)dj и диагональные матрицы

Waj = diag{ri(a, £),., rd(a, £)}, где

Tl{aJ.) = [A{t) + {d-l)B{aA)}~l/\ t->(a,t) = . = Td{aJ) = [A{a,t) - B(a,t)]~l/2,

А(аЛ}=[ f

JA(a,t) JA{a,t) \W - z\L(y/t)

B{a.t) = f f

JA(a,t) JА(аЛ) \w - z\L(y/t)

Здесь

A(a,t) = |к £ : |u + a|<V*j, / ч 1 Г I'H"] = рнр1тг ше

Теорема ([78]). Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. При О < а < d/2 существует такая положительная константа С = С {(La), что

W6 / д/2+0/4 \ linisup——р-/С —-—) < С для любого a £

При d/2 < а < d существуют константы С = C(d, а) > 0 и р = p(d,a) G (0,1/2) такие, чт,о lim sup tj.a/2—pa

L{tl/2-p). ^l/2+a/4 К для любого a G Шс1. Здесь N обозначает d-мерный гауссовский центрированный вектор с единичной матрицей ковариаций, а К — колмого-ровское (равномерное) расстояние между функциями распределения, в Ш'1.

С помощью метода моментов и диаграммной техники вычисления моментов для гауссовских систем (см. [22, с.51-60]) И. И. Дериев и Н. Н. Леоненко доказали следующую предельную теорему.

Пусть 7] : Q х W1 —W — стационарное изотропное центрированное гауссовское случайное поле с независимыми компонетами такое, что cov(г/,(0),г/j(х)) = Sijсi(|ж|). г,] = 1----0,ж G сг(0) = 1, г = 1,. 0 G М.

Положим £(ж) = Тг](х), где Т— некоторое линейное преобразование W ->• и обозначим Ь;:{\х ) = cov(((0), ((ж)).

Теорема([56]). Пусть начальный потенциал равен

Z(x) = F(C(x)), xeRd, где измеримая функция, F : Ж0* —>■ К. такова, что

ЕЯ2(г/(0)) <оо, а

R(y)=exp{F(Ty)}.

Если

J \b,j(x)\'dx < оо, г, j — 1. . где г —эрмитов ранг функции R(-), то конечномерные распределения с л уч а й них i i ол е й

Td/4+]/2v{tT,Vfx). ж) G (0, оо) х сходятся к соответствующим конечномерным распределениям гаус-со веко г о поля,

C(W',Vxg{t,x,-)), {t,x) G (0. оо) х Rd\ где С — некоторая положительная, константа, явно вычисляемая по ковариационной функции, Ьг]{-) и коэффициентам Эрмита-Вика функции R(-), W' — белый гауссоеский шум, а функция g определена в (3).

В качестве примера негауссовской предельной теоремы приведем результат Н. Н. Леоненко и Е. Орзингера. Используемое в формулировке понятие комплексного белого шума можно найти, например, в [62]. Теорема ([76]). Пусть d = 1 и начальный потенциал: задан в виде С2(^) - 1, х Е М1.

Здесь ( — обладающий спектральной плотностью центрированный стационарный процесс с Е(2(х) — 1 и

ЕС(0)С(.) = где а Е (0,1/2), a L(-) — медленно меняющаяся на бесконечности функция. Тогда конечномерные распределения, случайных полей

Т1Ма)/2 vT{x) = —7=-т=~, же ж1,

L(Vf)v{T,xVf) сходятся к соответствующим конечномерным распределениям поля тг / \ г [ ехр{гж(Л1+Л2)-|(Л1 + А2)2}(Л1 + А2)^/

УФ) = с J -zjA]A;j(1„a)/,-w{dxl)w{dx2), где действительная константа, С = С (а) ф 0, а из области интегрирования в двойном стохастическом интеграле по комплексному белому шум,у W. как обычно, исключаются плоскости Aj = j, к = 1,2.

В русле указанного направления лежат также недавние результаты работы [57].

Отметим, что все известные результаты, касающиеся сходимости преобразованных решений уравнения Бюргерса, устанавливают лишь сходимость конечномерных распределений соответствующих случайных полей. В то же время естественный подход к изучению уравнений в частных производных состоит в том, чтобы рассматривать решения как элементы тех или иных функциональных пространств. Поэтому представляется существенной попытка усилить вышеприведенные результаты и получить помимо слабой сходимости конечномерных распределений функциональные предельные теоремы. Кроме того, без слабой сходимости в функциональных пространствах, вообще говоря, почти невозможно установить слабую сходимость распределений функционалов от реализаций поля, даже таких простых, как максимум или интегральные функционалы. Интегральные функционалы от реализаций предельных случайных полей используются для статистических выводов, связанных с уравнением Бюргерса (с\м.|79]).

Один из основных результатов диссертации — функциональная центральная предельная теорема для параболически масштабированных решений уравнения Бюргерса, построенных по случайным начальным данным в условиях слабой зависимости - устанавливает слабую сходимость преобразованных решений в пространстве непрерывных функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Основным инструментом в наших рассуждениях является техника работы с ассоциированными случайными величинами и мерами. Соответствующие определения и необходимые для изложения результаты собраны в главе 1, а сам основной результат доказывается и обсуждается во второй главе.

С уравнением Бюргерса связано много других важных задач.

Большой интерес представляет уравнение Бюргерса с внешней силой, которое получается добавлением в правую часть (1) слагаемого VXf(x,t).

Я. Г. Синай. В. И. К. Ханин и А. Мазель в [92, 65] построили инвариантную меру для одномерного уравнения Бюргерса (вязкостного и безвязкостного) с периодической по пространственной переменной случайной силой, заданной гауссовским белым шумом. Эти исследования вовлекают методы статистической физики, теории динамических систем (см. [25]), вариационные методы.

Я. Г. Синай ([93]), и Ж. Бертуэн ([41, 42]) изучали статистику ударных волн для решений безвязкостного уравнения Бюргерса. В частности, для начальных условий, заданных процессом Леви(см. [44]), вычислялась хаусдорфова размерность множества частиц, движущихся в поле скороетей, описываемом уравнением Бюргерса, и не участвующих в столкновениях с другими частицами (см. также [91]).

В работе [37] С. Альбеверио, С. А. Молчанов и Д. С'ургайлис предполагают, что начальные условия задачи (1)заданы полем вырожденного дробового шума et(x) =^2гц5{х-хг), ж€йГ\ (10) г где {./•;} пуассоновское точечное поле, (щ) — семейство независимых и одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, независимых от {х;}, a S — дельта-функция Дирака. В формуле (2) для решения уравнения Бюргерса при таком определении начальных данных интегралы становятся суммами по пуассоновским точкам. Предположим, что функция

Н(а) = Р{г,г > а} медленно меняется на бесконечности. При некоторых дополнительных предположениях о характере убывания Н на бесконечности устанавливается следующая асимптотика (по вероятности) поля скоростей: Р X — Xj* v(t,x) ~ —--, где X;- определяется из условия ехр |--— j г,- = maxexp |-

Р \Х —Y I Р а соотношение Xt ~ Yt означает, что 1 р^*' —>■ 0 при t —> оо. Легко проверить. что оно является отношением эквивалентности, а в одномерном случае равносильно привычному Xt/Yt —> 1.

Качественное описание упомянутого результата таково: движение материи в окрестности точки £',; направлено от этой точки, если она максимизирует функцию ехр|— | rji для всех х в этой окрестности. Таким образом, пространство оказывается разбитым на''клетки" с ''центрами" в точках пуассоновского поля. В каждой клетке частицы двигаются от "ни;; ра" к "границам". При этом, если т/, > r]j для соприкасающихся клеток, соответствующих жг- и Xj, то первая клетка "поглотит" вторую при больших t. Эта качественная картина изучается в [37] с помощью теории рекордных значений (см.[24]). Исследуются характерные размеры клеток, приводятся достаточные условия существования скей-лпнгового предела в грубой топологии точечного поля, образованного центрами "'выживших'' к моменту t клеток.

Близким к турбулентности Бюргерса является круг задач, связанных с так называемой газовой динамикой без давления для липких частиц. Это направление в значительной степени вызвано к жизни работой [66]. Рассматриваются системы уравнений сохранения на прямой типа

Г pt + (pu)r = О

1 (ри) + {ри2)х = 0. [LL)

Здесь p(t, х) плотность, a u(t, х) — скорость в точке х в момент времени t. Первое из этих уравнений — закон сохранения массы или уравнение неразрывности. Второе — закон сохранения импульса. Система описывает движение частиц, не взаимодействующих друг с другом до взаимного столкновения, а в случае столкновения сливающихся в одну частицу с сохранением массы и импульса. Гладкие решения этой системы совпадают с решениями безвязкостного уравнения Бюргерса, рассматриваемого совместно с уравнением неразрывности. Однако для слабых решений этих систем эволюция разрывов, вообще говоря, различна.

Возможны такие естественные модификации системы (11), как добавление в правую часть диссипативных членов, сил (быть может, случайных).

В [66] определяется слабое решение задачи Коши для системы (И) и указана красивая процедура его явного построения. Для широкого класса случайных начальных условий доказано, что при любом положительном t, масса концентрируется в счетном множестве точек-кластеров, всюду плотном на прямой.

В работах [58, 59, 60] дается вероятностная интерпретация решений системы (И) и родственных ей систем. В частности, при естественных условиях на начальные данные слабое решение задачи Коши для системы (11) может быть получено следующим образом: где случайный процесс Xt удовлетворяет следующему интегральному уравнению: а распределение случайной величины Хц совпадает с начальным распределением массы на прямой в момент времени t = 0. Более того, распределение массы на прямой в момент времени t > 0 совпадает с распределением случайной величины Xt.

В недавней работе Ж. Бертуэна [43] изучается задача Коши для системы (11) с начальными условиями, заданными винеровским процессом. Так как при слиянии частиц некоторая информация о начальных условиях теряется, то невозможно однозначно восстановить "прошлое" («(«,•) по "настоящему" u(t, •). Глубокий результат Ж. Бертуэна состоит в том. что для различных в некоторый положительный момент времени кластеров эволюции их масс в обращенном времени независимы друг от друга.

Вернемся к уравнению Бюргерса с положительной вязкостью. Еще одна интересная проолема — найти почти наверное точные асимптотические границы для флуктуаций поля скоростей, описываемого уравнением Бюргерса. В данной диссертации (глава 3) эта задача решена для случая, когда начальные данные заданы полем (10) вырожденного дробового шума (.мы сохраняем здесь это название, введенное в [37], вместо стандартного ""сложный пуассоновский процесс" ) с ограниченными амплитудами. При этом строгое определение полю вырожденного дробового шума дается в терминах случайных мер.

В доказательстве также используется техника ассоциированных случайных величин и мер. Кроме того, явное вычисление характеристических функции для возникающих при доказательстве вспомогательных случайных величин (некоторых интегралов от исходного поля) позволяет оценить скорость сходимости в соответствующей ЦПТ.

Так как доказательства основных результатов работы, связанных с уравнением Бюргерса, в значительной степени опираются на теорию ассоциированных случайных величин, в частности, на ковариационные неравенства для ассоциированных полей и мер, глава 1, посвященная в первую очередь новым моментным и максимальным неравенствам, содержит отдельный параграф, в котором собраны необходимые сведения об ассоциированности семейств случайных величин.

Краткое содержание диссертации.

Главные результаты диссертации касаются асимптотического поведения решений уравнения Бюргерса с начальными условиями, заданными с помощью случайной меры. Фактически речь пил об исследовании семейства нелинейных функционалов от ассоциированной случайной меры, поэтому значительная часть работы посвящена ассоциированным случайным мерам и полям.

Основная часть диссертации состоит из трех глав.

В главе 1 приводятся необходимые определения и результаты, касающиеся случайных полей и мер. Далее доказываются новые максимальные неравенства для зависимых случайных полей, заданных в M.d (теоремы 1.5 и 1.6). Эти неравенства потребуются нам для доказательства слабой сходимости преобразованных случайных решений уравнения Бюргерса в пространстве непрерывных функций с топологией равномерной сходимости на компактах (см. теорему 2.4). Условия их выполнимости естественно проверять с помощью моментных оценок приращений случайного поля. Так как случайные решения уравнения Бюргерса, которые изучаются в следующей главе, заданы с помощью интегралов по случайной мере, оставшаяся часть данной главы посвящена моментным неравенствам для интегралов по случайной мере (теоремы 1.11. 1.12) и для дискретного варианта интегралов — взвешенных сумм случайных величин (теоремы 1.7, 1.8, 1.9, 1.10). Неравенства, установленные в данной главе, представляют и самостоятельный интерес.

В главе 2 доказывается слабая сходимость решений многомерного уравнения Бюргерса, построенных по начальным условиям, заданным ассоциированной случайной мерой. В первом параграфе устанавливается сходимость конечномерных распределений (теорема 2.1). Следующий параграф посвящен слабой сходимости для процесса эволюции скорости в фиксированной точке х Е Rd (теорема 2.3). Наконец, в последнем параграфе устанавливается функциональная центральная предельная теорема для параболическим образом масштабированных решений теорема 2.4). При этом используются максимальные и моментные неравенства. доказанные в главе 1. Подчеркнем, что решения уравнений в частных производных естественно рассматривать как элементы функциональных пространств, однако в известных автору работах устанавливается лишь сходимость конечномерных распределений соответствующих полей. Основной результат данной главы заполняет эту нишу.

В главе 3 доказан закон повторного логарифма для решения одномерного уравнения Бюргерса (теорема 3.1). Явно указана функция &(£), для которой для любого х при начальных условиях, заданных случайной мерой вырожденного дробового шума. Здесь также впервые получены точные асимптотические границы для флуктуации поля скоростей, описываемого уравнением Бюргерса.

Основные результаты диссертации изложены в работах [1]-[5],[38], [39] и представлены в виде тринадцати теорем и пятнадцати лемм. Теорема 1.7 и лемма 1.8 получены совместно с А.В.Булинским. Остальные результаты доказаны автором самостоятельно.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору А. В. Булинскому за постановку задач, постоянное внимание к этой работе и многочисленные ценные советы.