Функциональные интегралы и уравнения типа Бюргерса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

004614884

Мацкевич Степан Евгеньевич

Функциональные интегралы и

уравнения типа бюргерса

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

На правах рукописи УДК 517.51, 517.955, 517.987, 514.76

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 2 "ЕН 2010

Москва - 2010

004614884

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московских) государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Смолянов Олег Георгиевич доктор физико-математических наук, профессор Шавгулидзе Евгений Тенгизович кандидат физико-математических наук, доцент Бутко Яна Анатольевна Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 10 декабря 2010 г. в 16 ч. 40 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 10 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета.

Д 501.001.85 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор ^

--В.Н.Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Целыо работы является применение методов бесконечномерного анализа, прежде всего функционального интегрирования, для исследования уравнений типа Бюргерса в различных пространствах.

Уравнением Бюргерса называется уравнение

! + (/,V/) = 1A/

относительно функции / : R х X —» X, где X — (сепарабельное) гильбертово пространство размерности п £ 1,2,3, ...,оо. Предполагается, что

n -if п a2f

(/> V/) = Yh Г fa и А/ = Y1 - В трехмерном пространстве (то есть в слу-

ш г=1

чае X = R3) уравнение Бюргерса представляет собой систему уравнений, отличающуюся от соответствующих уравнений системы Навье-Стокса отсутствием в правой части члена, зависящего от давления.

Уравнение Бюргерса 112 используется также в акустике, гидродинамике и космологии для моделирования ударных волн, распространяющихся в сплошной среде. В последнее время появилось значительное количество математических работ, посвященных исследованию свойств уравнения Бюргерса и его стохастического аналога (см. 3" 4' 5' G и имеющиеся там ссылки).

В диссертации получены представления решений задачи Коши для уравнений Бюргерса с внешней силой в конечномерном и бесконечномерном пространствах с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца. Показано, что в бесконечномерном случае уравнение Бюргерса связано с уравнением теплопроводности относительно мер с помощью преобразования, аналогичного преобразованию Хопфа-Коула.

Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного уравнения с помощью предела интегралов по декартовым степеням фазового пространства, когда степень стремится к бесконечности7 (формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той

'Burgers J. SI., "A mathematical model illustrating the theory of turbulence", Adv. Appl. Mech.. v. 1,1948, 171-199.

2Hopf E., "The partial differential equation ut+uux - ¡iu„'\ Comm. Pure Appl. Math, v. 3,1950, 201—230.

3Davies I. M., Truman A., and Zhao H., "Stochastic Heat and Burgers Equations and Their Singularities I - Geometrical properties", J. Math. Phys., 43, 2002, 3293-3328.

4Belopolskaya Ya. I., "Smooth Diffusion Mesuares and Their Transformations", J. of Mathematical Sciences,

v. 109, n. G, 2002, 2047-2060.

6Belopolskaya Ya. I., "Generalized Solutions of Nonlinear Parabolic Systems and the Vanishing Viscosity Method", J. of Mathematical Sciences, v. 133,11. 3, 2006,1207-1223.

"Bertini L., Cancrini N.. and Jona-Lasinio G., "The Stochastic Burgers Equation", Comm. Math. Phys., v. 163, n. 2, 1994, 211-232.

TSmolyanov O. G., Tokarev A. G., and TVuman A., "Hamiltoman Feynman Path Integrals via the Chemoff Formula", J. Math. Phys., v. 43, n. 10, 2002, 5161-5171.

жо задачи с помощью интеграла по траекториям).

Введенный в диссертации бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула переводит бесконечномерное уравнение Бюргерса в уравнение теплопроводности относительно мер.

Теория дифференцируемых мер была заложена свыше 40 лет назад С. В. Фоминым 8 (смотри также 9). Последующее развитие этой теории обсуждается в работах 10,11'12,13. Одним из центральных понятий теории дифференцируемых мер является понятие логарифмической производной меры, впервые введенной в работе9. Именно это понятие существенно используется для построения бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула.

Кроме того, в диссертации вводятся аналоги уравнения Бюргерса и Колмогорова-Петровского-Пискунова на псевдоримановых многообразиях и определяется преобразование, аналогиченое преобразованию Хопфа-Коула, связывающее эти уравнения.

Подобные результаты получены также для стохастических версий введенных уравнения Бюргерса и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова на многообразиях. В случае, когда многообразие является евклидовым пространством, введенное стохастическое уравнение Бюргерса совпадает со стохастическим уравнением, исследованным в работах А. Трумана14.

Фактически формулы Фейнмана и формула Фейнмана-Каца появились впервые в работах Фейнмана (см., например,15), хотя сами эти термины были введены позднее. Во второй половине прошлого века было опубликован-но довольно много математических работ, посвященных исследованию формул Фейнмана-Каца для различных эволюционных уравнений и функциональных интегралов (интегралов по траекториям), использованных в этих формулах. Отметим, в частности, работы И. М. Гельфанда, А. М. Яглома, М. Каца, В. П. Маслова, А. В. Угланова, Ю. JI. Далецкого, С. Альбенерио. Р. Хег-Крона, Ф. А. Березина, Р. Камерона, В. Мартина. Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смолянова, А. Трумена, Е. Т. Шавгулидзе, А. Ю. Хренникова, П. Экснера. Тем не менее, вычисление функциональных интегралов, стоящих

'Фомин С. В., "Дифференцируемые меры в линейных пространствах", УМН, 23:1(139), 1968, 221—222.

9Авербух В. П., Смолянов О. Г., Фомин С. В., "Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах", Тр. ММО, 1971, вып. 24, с. 132—174.

10Смолянов О. Г., Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения, М,: Издательство МГУ, 1979.

иБогачев В. И., Смолянов 0. Г., "Аналитические свойства бесконечномерных вероятностных распределений", УМН, 45:3(273), 1990, 3-83.

I2Smolvanov О. G., Н. von Weissäcker, "Smooth probability measures and associated differential operators", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 2, n. 1, 1999, 51—78.

"Богачев В. И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, М.: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2008.

"Truman A. and Zhao Н. Z., "On stochastic diffusion equations and stochastic Burgers equations", J. Math. Phys., v. 37, n. 1, 1996, 283-307.

l5Feynman R.P., "Space-time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., n. 20, 1948, 367-387.

в формулах Фейнмана-Каца, часто оказывается затруднительным (в частности из-за того, что для многих начально-краевых задач функции Грина не выражаются через элементарные функции). В то же время для многих таких задач удается получить формулы Фейнмана, содержащие конечнократ-ные интегралы только от элементарных функций. Такие формулы Фейнмана позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, полезны для компьютерного моделирования случайных процессов.

В последнее десятилетие аппарат формул Фейнмана активно применяется для описания различных типов динамики в областях евклидовых пространств и римановых многообразий, в бесконечномерных линейных и нелинейных пространствах, при исследовании р-адических аналогов уравнений математической физики. Отметим в этой связи работы О. Г. Смолянова, Е. Т. Шавгулидзе, X. фон Вайцзеккера, О. Виттиха, А. Трумана, Н. Н. Шама-рова, Я. А. Бутко, О. О. Обрезкова, П. Ю. Тарасенко (сам термин "формула Фейнмана" введен в 2002 г. в работе7). Отметим, что в ряде частных случаев, формулы Фейнмана фактически равносильны формулам Фейнмана-Каца. В диссертации формулы Фейнмана и формулы Фейнмана-Каца получены для нелинейных уравнений типа Бюргерса.

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Цель работы.

Получение представлений решений задач Коши для нелинейных уравнений с частными производными типа Бюргерса относительно функций, определенных на конечномерных и бесконечномерных линейных пространствах и на многообразиях, с помощью формул Фейнмана и формул Фейнмана-Каца, а также определение аналогов преобразования Хопфа-Коула для бесконечномерных уравнений типа Бюргерса и аналогичных уравнений на многообразии.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получена формула Фейнмана и формула Фейнмана-Каца для решения задачи Коши для уравнения Бюргерса с внешней силой в К".

2. Найдено преобразование (аналогичное преобразованию Хопфа-Коула), связывающее бесконечномерное уравнение Бюргерса и уравнение теплопроводности для мер в оснащенном гильбертовом пространстве.

3. Получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Бюргерса с помощью формулы Фейнмана-Каца. Для этого было получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения теплопроводности (с потенциалом) относительно мер в оснащенном гильбертовом пространстве с помощью интеграла по мере Винера.

4. Построен аналог преобразования Хопфа-Коула, связывающий уравнения Бюргерса и Колмогорова-Петровского-Пискунова относительно функций, определенных на псевдоримановых многообразиях постоянной кривизны с тензором Риччи, пропорциональным метрике. Это же преобразование связывает также стохастические уравнения Бюргерса и Колмогорова-Петровского-Пискунова.

Основные методы исследования.

В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов, занимающихся современной теоретической физикой и классическими нелинейными уравнениями математической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

• Семинар механико-математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством д.ф.-м.н., проф. О.Г. Смолянова, д.ф.-м.н., проф. Е.Т. Шавгулидзе (2007 г., 2008г., 2009 г.),

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И. Г, Петровского. Москва, (2007 г.),

• XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (2010 г.)

Публикации.

Основное содержание диссертации было опубликовано в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата (см. [1]—[5]). Работ, написанных в соавторстве пет.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации — 71 страница,'библиография включает 45 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся основные определения, обзор ранее полученных результатов и формулируются основные результаты диссертации. Кроме того, во введении обосновывается актуальность диссертационной работы и аргументируется научная новизна исследований.

Глава 1.

В первой главе получена формула Фейнмана и формула Фейнмана-Каца для уравнения Бюргерса в М". Как известно, справедливо представление решения х) задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием щ, коэффициентом теплопроводности в и потенциалом и в виде функционального интеграла:

Г I} [/(ш(т))<*г

и{Ь,х) = / е° щ{и{ф¥х{(1и;),

см

здесь \¥х{йт) — мера Винера на С[0, сосредоточенная на функциях, принимающих в нуле значение х.

Для получения представления решения х) задачи Коши для уравнения Бюргерса с помощью аналогичного функционального интеграла вычисляется градиент от функции и, представленной по предыдущей формуле:

Г Ни(и.{т))(1т / 1 [ Ъи(Ь,х)= у ■ Ъи(шШт-щ(шт+

С[0,<) \ о

Эта формула доказана для случая, когда функции !/(•), У[/(-), щ(-), Умо(-) — равномерно непрерывны на К"; [/(■) и щ — ограничены на всем М".

Теорема 1.1. Пусть и0{-) и [/(•) £ С1^'1); функции [/(■), Уи{-), и0(-), Уио(-) — равномерно непрерывны на К"; [/(•) — ограничена на Ж"; существует, решение х) задачи Коши для уравнения теплопроводности для всех Ь € (О, Т] с начальным условием щ(х), и(Ь,х) € С3(К") для любого t е (О, Т]. Тогда существует решение у{Ь,х) задачи Коши для уравнения Бюргерса для I £ (0,Т] с внешней силой У{х) = —вЧи{х) и начальным условием 1>о(:е) = представимте в виде отношения двух функцио-

нальных интегралов:

/ е*(и{шШт[1} Чи(и(т))с[т • иоК«)) + Уи0(и(<))]^(<ги)

,, ч асМ_°_

= -9-1-.

„ I} Щи)(тМт

; е 0 иоИЭДИ^сЬ)

см

Так как интеграл по мере Винера есть предел некоторых конечнократных интегралов, содержащих плотности переходных вероятностей броуновского движения, то полученная в Теореме 1.1 формула Фейнмана-Каца может интерпретироваться также и как формула Фейнмана для той же задачи.

Глава 2.

Во второй главе рассматривается бесконечномерное уравнение Бюргерса с внешней силой и бесконечномерное уравнение теплопроводности относительно мер. Оба уравнения рассматриваются в оснащенном гильбертовом пространстве.

На пространстве Ф' оснащенного гильбертова пространства будем рассматривать алгебру цилиндрических множеств Д и сг-алгебру Е, порожденную К Меры, определенные на алгебре П называют цилиндрическими мерами. Множество счетно-аддитивных мер на алгебре I! обозначим М(Е, Ф'). Существование невырожденных счетно-аддитивных мер на Ф' накладывает ограничения на Ф. Для существования таких мер достаточно, чтобы топология в Ф была эквивалентна или слабее топологии, индуцированной топологией Гросса-Сазонова на гильбертовом пространстве Я. Топологией Гросса-Сазонова называется слабейшая топология в гильбертовом пространстве, относительно которой все измеримые полунормы непрерывны. Примером подходящей топологии Ф служит топология банахова пространства с нормой ||||ф, определяемой равенством ||0||| = (Тф, ф)ц, где Т — ядерный оператор. Такая норма является измеримой.

Счетно-аддитивные меры можно дифференцировать по направлению.

Определение 2.4. Мера ц называется дифферепцируелюй по направлению /г, если для любого множества А Е Е существует конечный предел

р(А + Щ - ц(А) , , .

1™-1-= ^ ' ''

Функция множеств /^(А) называется производной меры по направлению /г.

Аналогично определяется производная мерозначной функции, зависящей от действительного параметра.

Для дифференцируемых мер имеют место формулы дифференцирования, аналогические классическим. Примером является формула дифференцирования произведения функции и меры, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница.

Предложение 2.1 Пусть ц — мера, дифференцируемая по направлению Л, а / — Е-измеримая вещественная функция, дифференцируемая по этому же направлению в каждой точке, причем сама / — /^-суммируема, а //, — ^-суммируема. Тогда мера / • ц дифференцируема по направлению Н и

(/■д)'Л = /*•/* +/'/4

В диссертации доказывается формула дифференцирования плотности одной меры относительно другой (аналогичная формуле "дифференцирования отношения"):

Предложение 2.3. Пусть V, у, — ст-аддитивные меры на Е, V и у — дифференцируемы по направлению Л, мера у имеет логарифмическую производную, и и г/д — абсолютно непрерывны относительно у. Тогда

(±\ = - ± . <Ш.

/ к в,(1 (1ц йц

Дифференцирование мер позволяет определять дифференциальные уравнения в частных производных относительно мер. На оснащенном гильбертовом пространстве определим уравнение теплопроводности следующим образом:

где [/(•, ■) — Е-измеримая действительнозначная функция (потенциал). Оператор Лапласа корректно определяется для цилиндрических мер.

Для того чтобы определить уравнение Бюргерса на оснащенном гильбертовом пространстве, необходимо определить аналоги выражения (/, V/) и оператора Лапласа.

Пусть функция / определена на Ф' и принимает значения в Ф', / — дифференцируема по любому направлению из Ф. Пусть е,; — ортонормированный

базис Ф относительно скалярного произведения Я. Определим выражение (/, V/)(x) для каждого х 6 Ф' следующим образом:

00

!=1

здесь ¡(х){а) — действие функционала f(x) как элемента Ф' на вектор из Ф,

а j'e. (ж) — производная функции / по направлению вектора ег-.

Оператор Лапласа Д определяем для функций / : Ф' —> Ф', дважды

дифференцируемых по подпространству Ф по Гато, следующим образом. Ес-

00

ли е„ — ортонормированный базис в Ф, то Аf{x) = ^З/е-еД®)) если с.Умма

г—0 ' '

оо

Е f'leS?) сходится.

г=0

На оснащенном гильбертовом пространстве рассматривается бесконечномерное уравнение Бюргерса с внешней силой:

+ (V«(i),t;(i))(a:) = \bv{t,x) + V(t,x),

где неизвестная функция v(-, •) определена на М х Ф' и принимает значения в Ф', V : [О, Т) х Ф' —» Ф' — внешняя сила в уравнении Бюргерса.

В главе 2 решается задача нахождения связи между бесконечномерным уравнением Бюргерса и уравнением теплопроводности для мер в оснащенном гильбертовом пространстве. Доказано, что при некоторых предположениях логарифмическая производная меры, являющейся решением уравнения теплопроводности, взятая с обратным знаком, является решением бесконечномерного уравнения Бюргерса. Приведем точную формулировку этого утверждения:

Теорема 2.1. Пусть ß является решением задачи Koutu для уравнения теплопроводности относительно мер с начальным условием потенциалом U для некоторого промежутка [0,Т), Т > 0. Пусть также для любого t £ [0,Т) и для любых hi,h,2,h3 £ Ф существуют кратные производные мер f^hi' itfuhii ß'h[h2h3> каэ<сдая из этих производных абсолютно непрерывна относительно ц; ^ дифференцируема по любому направлению из Ф для любого t € [0,Т); ц — невырождена, то есть не обращается в 0 на множествах, содержащих открытые множества в Ф'. Пусть также v : [0,Т) х Ф' —► Ф' — функция, определяемая на каждом t £ [О, Т) и х £ Ф' как функционал, действующими на каждом векторе h £ Ф следующим образом: v(t,x)(h) = —^ • Пусть существует Av на всем Ф' для любого t £ [О, Т).

Тогда v — дважды дифференцируема по Famo по подпространству Ф, имеет производную по параметру t при любом t & [О, Т) и является решением задачи Коши для уравнения Бюргерса с внешней силой V = —Vi/ и начальным условием vq — —^ на промежутке [0,Т).

Верна также и обратная теорема.

Теорема 2.2. Пусть v является решением задачи Коши для уравнения Бюргерса с внешней силой V и начальным, условием Vq на некотором промежутке [О, Г), Т > 0; v(t, •) является логарифмической производной некоторой меры fi(t) для любого t £ [0,Т). Пусть также для любого t G [0, Т) и для любых /ii,/i2,/i3 € Ф существуют кратные производные мер ¡л'1н, ^'¡п1>2' ^hihihs' каж^ая из этих производных абсолютно непрерывна относительно /л; при каждом t € [0, Т) [i(t) дифференцируема по параметру t и ее производная абсолютно непрерывна относительно ¡i{t); для каждого t б [0, Т) мера fi{t) абсолютно непрерывна относительно некоторой гаус-совской меры B[t) с плотностью, неравной 0 почти всюду относительно B(t): существует действительнозначная функция U на [0,Т) х Ф', такая что для любых t € [0,Т) и х Е Ф'.- V(t,x) = —VU(t,x). Тогда существует, такая функция U : [0,Т) х Ф' —► М, что /х являет-ся решением задачи Кохии для уравнения теплопроводности относительно мер с потенциалом U и начальным условием д(0). Кроме того, для любых t 6 [0,Т) и х € Ф' U(t,x) = U(t,x) + C(t), где C(t) — некоторая действительнозначная функция аргумента t.

В главе 2 получена также формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности относительно мер в оснащенном гильбертовом пространстве.

Для этого вводится пространство, двойственное пространству цилиндрических мер, — пространство действительнозначных функций на Ф', являющихся равномерными пределами Ф-цилиндрических функций. Иначе говоря, / е ^"(Ф'), если существует последовательность цилиндрических функций /„, равномерно сходящаяся к /. Каждую такую функцию можно интегрировать по цилиндрической мере ¡х £ М(Ф'), если все fn интегрируемы по ¡1. Двойственность пространств М(Ф') и ^Г(Ф') задается билинейным функционалом (¡л, /) = / f(x)fi(dx).

Ф'

Определяется уравнение теплопроводности относительно функций на Ф' с потенциалом:

Для уравнения теплопроводности с потенциалом относительно функций верно обобщение формулы Фейнмана-Каца на бесконечномерный случай:

где IVх — мера Винера, сосредоточенная на непрерывных траекториях в Ф',

где U{-) е ^(Ф').

С([0ДФ')

принимающих в 0 значение х. Этот классический результат может быть доказан как с помощью формулы Троттера, так и с помощью теоремы Чернова.

Формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности относительно функций и двойственность пространств .Г(Ф') и пространства цилиндрических мер используются для вывода формулы Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности относительно мер. Соответствующая теорема формулируется следующим образом:

Теорема 2.3. Пусть и € ^(Ф') — непрерывная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности; существует решение задачи Кош,и ^ для уравнения теплопроводности с потенциалом II относительно мер и начальным условием Цо. Тогда для любой гладкой функции / е ^"(Ф')» стремящейся к нулю на бесконечности, интеграл / йх) представляется с помощью

ф<

функционального интеграла следующим образом:

I йх) = I I е1Щх+шШтНх + ш(г)МсЬ)И/0(сИ

Ф' О([0,*],Ф') Ф'

где — мера Винера, сосредоточенная на непрерывных траекториях в Ф', принимающих в 0 значение 0.

Глава 3.

Третья глава посвящена уравнениям в частных производных на псевдо-римановых многообразиях.

Определяется уравнение Бюргерса на многообразии. В роли неизвестной функции этих уравнений выступает векторное или ковекторное поле. Пусть М — гладкое псевдориманово многообразие размерности п с метрикой д и симметричной связностью V, согласованной с этой метрикой.

Будем использовать оператор Л, действующий на тензоры произвольного ранга следующим образом: ДТ = дг}^¿У/Т. На функциях этот оператор совпадает с оператором Лапласа-Бельтрами. Зададим выражение (/, V/) для векторного поля / формулой (/, V/)к(х) = ¡г(х)У¡}к{х), а для ковекторно-го поля И, формулой (/г, ^Н)к(х) = дч(а;)/гг(а;)У;7г^(а;).

Определим уравнение Бюргерса на многообразии следующим образом:

Определение 3.3. Уравнением Бюргерса на многообразии М для векторного (ковекторного) поля / : К х М -> Т^(М) (/ : К х М Т?(М)) называется уравнение

Уравнения Бюргерса определены корректно и связаны операцией поднятия/опускания индекса.

В евклидовом пространстве уравнения теплопроводности и Бюргерса связаны преобразованием Хопфа-Коула. В случае псевдориманова многообразия эти уравнения больше не связаны подобным преобразованием. Для уравнения Бюргерса на многообразии рассматривается аналог преобразования Хопфа-Коула /(¿, а:) = - ■ При этом оказывается, что соответствующее уравнение для и(1, х) будет в некотором случае уравнением типа Колмогорова-Петровского-Пискунова:

Теорема 3.1. Пусть М — гладкое псевдориманово многообразие с постоянной скалярной кривизной и с тензором Риччи, пропорциональным .метрике (Шсу = г ■ г — константа). Пусть Т > 0 и и(-, •) — действительнозначная функция, определенная на [0,Т) х М; Ух 6 М и(-,х) непрерывно дифференцируема по первому аргументу на [0,Т); \/£ £ [О, Г) и(Ь, ■) трижды непрерывно дифференцируема на многообразии и •) непрерывно дифференцируема на многообразии; V! £ [0,Т), Ух £ М и{Ь,х) ф 0; и{-,-) является решением задачи Коши для уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова:

ди 1 . всаиМ),

т='2Аи--

для всех í £ [0,Т) с начальным условием и(0, х) — щ{х). Здесь вса1(М) ~ скалярная кривизна многообразия М, п — его размерность. Пусть также \/£ > 0, Ух и(Ь,х) ф 0. Тогда /(£, х) = — является решением, задачи Коши для уравнения Бюргерса для ковекторного поля с начальным условием /(0,х) = /о(х) = -^М.

Верна также и обратная теорема.

Теорема 3.2. Пусть М — гладкое связное риманово многообразие с постоянной скалярной кривизной и с тензором Риччи, пропорциональным метрике (Шс^ = г ■ д^). Пусть Т > 0 и и(-, •) — действительнозначная функция, определенная на [0,Г) х М; Ух £ М и(-,х) непрерывно дифференцируема по первому аргументу на [0, Г); УЬ £ [0, Г) и{Ь, •) трижды, непрерывно дифференцируема на многообразии и •) непрерывно дифференцируема на многообразии; \/£ £ [0,Т), Ух € М Ф 0. Пусть также ко-векторнозпачная функция /(£,х) = — ^ является решением задачи Коши для уравнения Бюргерса с начальным условием /(0, х) — — ^^ ■ Тогда существует действительнозначная функция С : [О,Т) —» М (потенциал), такая что и является решением задачи Коши для уравнения Колмогорова-Пет,ровского-Пискунова:

ди 1. зсаЫМ),

_ = _дв--А-1ыи.и + Са)и, (1)

с начальным условием и(0,х). Здесь вса1{М) — скалярная кривизна многообразия М, п — его размерность.

Условие пропорциональности тензора Риччи и метрики есть в точности условие па многообразия, задаваемое уравнениями Кехлера-Эйнштейна.

Отсутствие стандартного преобразования Хопфа-Коула, связывающей уравнение Бюргерса и теплопроводности, объясняется тем, что ковариантные производные тензоров в общем случае не коммутируют. Для доказательства теоремы 5 используется лемма, в которой выведена формула для коммутатора оператора Д и ковариантиой производной, примененного к скалярной функции /:

ДVi/ - ViД/ = -gkmcpiVkf.

В третьей главе даны также определения уравнения Бюргерса на многообразии с внешними силами, в том числе со стохастической.

+ (/, V/)(t, х) = \ A/(t, х) + V{t, х) + e(t, x)Wt.

Здесь V(t,x) — ковекторная внешняя сила, зависящая как от точки многообразия, так и от времени (параметра t). Wt — белый шум, зависящий только от времени. Стохастическое уравнение Бюргерса в евклидовом пространстве рассматривается в работах А. Трумена. Понимать такое уравнение следует как интегральное:

df(t, х) = \Д/(£, x)dt ~ (/, V/){t, x)dt + V(t, x)dt + s(t, x) о dW, ¿t

где odW — дифференциал Стратоновича.

Для уравнений Бюргерса с внешними силами имеет место аналог преобразования Хопфа-Коула, аналогичный уравнению Бюргерса без внешних сил.

В последнем параграфе третьей главы приводятся примеры многообразий, для которых аналог преобразования Хопфа-Коула для уравнения Бюргерса на многообразии имеет место. Такими многообразиями, в частности, являются n-мерная сфера 5" и простые группы Ли.

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] Matskevich S. Е., Representation of solutions of the Burgers equation using functional integrals, Russian Journal of Mathematical Physics, v. 16, n. 4, 2009, 508-517.

[2] Matskevich S. E., Burgers equation and Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation on manifolds, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 13, n. 4, 2010, 575-584.

[3] Мацкевич С. E., Связь между уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнением Бюргерса на многообразиях, деп. в ВИНИТИ, 547-В2010, Москва, 2010, 12 стр.

[4] Мацкевич С. Е., Уравнение Бюргерса на римановых многообразиях. Сборник тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского, 2007, 186-187.

[5] Мацкевич С. Е., Преобразование уравнения Бюргерса на многообразии в уравнение Колмогорова-Петровского-Пискупова, Сборник тезисов конференции "Ломоносов-2010", 2010, 97-98.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡соэкз. Заказ №

Введение

1 Представление решений уравнения Бюргерса в!"

1.1 Задачи Коши для уравнений Бюргерса и теплопроводности в Еп.

1.2 Представление решений задачи Коши для уравнения Бюргерса с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца

2 Уравнение Бюргерса и уравнение теплопроводности относительно мер на бесконечномерном пространстве

2.1 Меры в оснащенных гильбертовых пространствах и формулы дифференцирования.

2.2 Бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула

2.3 Пример использования бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула.

2.4 Представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности относительно мер с помощью функциональных интегралов

3 Уравнения Бюргерса на многообразии

3.1 Определения уравнений Бюргерса на многообразии.

3.2 Аналог преобразования Хопфа-Коула на многообразии

3.3 Стохастические уравнение Бюргерса с внешними силами и уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова.

3.4 Примеры многообразий, где имеет место аналог преобразования Хопфа-Коула.

Целью работы является применение методов бесконечномерного анализа, прежде всего функционального интегрирования, для исследования уравнений типа Бюргерса в различных пространствах.

В диссертации получены формула Фейнмана и формула Фейнмана-Каца для уравнения Бюргерса с внешней силой в конечномерном пространстве. Описана связь решений задач Коши для уравнения Бюргерса в бесконечномерном пространстве (оснащенном гильбертовом пространстве) и уравнения теплопроводности относительно мер в том же пространстве. В работе также получена формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности с потенциалом относительно мер на оснащенном гильбертовом пространстве. Кроме этого, в диссертации описано уравнение Бюргерса на римановом многообразии и показано, что аналог преобразования Хопфа-Коула на некотором классе многообразий связывает решения задач Коши для уравнения Бюргерса и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова. Подобные результаты получены также для стохастических версий введенных уравнения Бюргерса с внешней силой и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова на многообразиях.

Уравнением Бюргерса называется уравнение + (/,у/) = 1д/ относительно функции / : М х X —» X, где X — (сепарабельное) гильбертово пространство размерности п € 1, 2, 3,., оо. Предполагается, что V/) = Е и д/ = Е 0.

1—1 г=1

Уравнение Бюргерса [4], [9] используется в акустике, гидродинамике и космологии для моделирования ударных воли, распространяющихся в сплошной среде. Оно используется как модельное для уравнений пограничного слоя и уравнений Навье-Стокса. Для численного решения уравнения Бюргерса разработаны различные разностные методы в труде Д. Андерсона, Дж. Таннехилла и Р. Плетчера [22]. В последнее время появилось значительное количество математических работ, посвященных исследованию свойств уравнения Бюргерса и его стохастического аналога (см. [6], [2], [1], [3] и имеющиеся там ссылки).

В уравнении Бюргерса переменная £ играет роль времени и будет в работе называться "переменной времени" или просто "временем". Неизвестная функция в уравнении имеет смысл поля скоростей сплошной среды, в левой части уравнения Бюргерса представлена ее "конвективная" производная, имеющая смысл ускорения частицы сплошной среды.

В трехмерном пространстве (то есть в случае X — М3) уравнение Бюргерса представляет собой систему уравнений, отличающуюся от соответствующих уравнений системы Навье-Стокса отсутствием в правой части члена, зависящего от давления р. Часто в уравнениях Навье-Стокса, как и в уравнении Бюргерса, предполагают наличие внешней силы ^ : М х Ж3 М3: + (/, V/) = НА/ - -ёгаф + ^ Ы р р где р — плотность среды, а ц — ее вязкость. Для полноты с уравнениями Навье-Стокса рассматривают уравнение неразрывности (Ну у = 0.

Вопросы существования решений и их построения для уравнения Бюргерса рассматриваются Я. И. Белопольской. В ее работе [1] построено вероятностное представление обобщенного решения задачи Коши для нелинейных параболических уравнений типа Бюргерса.

Хорошо известно преобразование /(£, х) = — х), : М х I 1, связывающее уравнение Бюргерса и уравнение теплопроводности. Это преобразование — преобразование Хопфа-Коула [9], а соответствующее уравнение теплопроводности для и(£, х) : К х 1 ^ 1 имеет вид: х) 1 д2и(Ь, х) дЬ = 2 дх2 '

Аналогичное преобразование имеет место в п-мерном пространстве: г ^гас! и и

Введенный в диссертации бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула переводит бесконечномерное уравнение Бюргерса в уравнение теплопроводности относительно мер.

Теория дифференцируемых мер была заложена свыше 40 лет назад С. В. Фоминым [39] (смотри также [21]). Последующее развитие этой теории обсуждается в работах [36], [25], [15], [24]. Одним из центральных понятий теории дифференцируемых мер является понятие логарифмической производной меры, впервые введенной в работе [21]. Именно это понятие существенно используется для построения бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула.

В диссертации получены представления решений задачи Коши для уравнений Бюргерса с внешней силой с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца.

В работе X. Воспакрика и Ф. Зена [20] формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности и преобразование Хопфа-Коула использовались для вычисления точного решения некоторых частных случаев уравнения Бюргерса.

Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного уравнения с помощью предела интегралов по декартовым степеням фазового пространства, когда степень стремится к бесконечности [14]. Формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям.

Фактически формулы Фейнмана и формула Фейнмана-Каца появились впервые в работах Фейнмана (см., например, [8]), хотя сами эти термины были введены позднее. Во второй половине прошлого века было опубли-кованно довольно много математических работ, посвященных исследованию формул Фейнмана-Каца для различных эволюционных уравнений и функциональных интегралов (интегралов по траекториям), использованных в этих формулах. Отметим, в частности, работы И. М. Гельфанда, А. М. Яглома, М. Каца, В. П. Маслова, А. В. Угланова, Ю. Л. Далецкого, С. Альбеверио, Р. Хег-Крона, Ф. А. Березина, Р. Камерона, В. Мартина, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смолянова, А. Трумена, Е. Т. Шавгулидзе, А. Ю. Хренникова, П. Экснера. Тем не менее, вычисление функциональных интегралов, стоящих в формулах Фейнмана-Каца, часто оказывается затруднительным (в частности из-за того, что для многих начально-краевых задач функции Грина не выражаются через элементарные функции). В то же время для многих таких задач удается получить формулы Фейнмана, содержащие конечнократные интегралы только от элементарных функций.-Такие формулы Фейнмана позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, полезны для компьютерного моделирования случайных процессов.

Оригинальное фейнмановское определение функционального интеграла основано на пределе конечнократных интегралов. Именно это определение Фейнман использовал для представления решения уравнения Шредингера с потенциалом. Э. Нельсон заметил, что формальное доказательство формулы Фейнмана сводится в этом случае к применению формулы Тротте-ра [18]. Доказательство М. Каца представления решения уравнения теплопроводности, хотя и использует идею предела конечнократных интегралов, является по существу "вероятностной интерпретацией" формул Фейнмана. Р. Камерон показал, что функциональный интеграл Фейнмана не может быть определен как интеграл по счетноаддитивной мере на пространстве траекторий. Отметим тем не менее, что в ряде частных случаев, формулы

Фейнмана фактически равносильны формулам Фейнмана-Каца.

В последнее десятилетие аппарат формул Фейнмана активно применяется для описания различных типов динамики в областях евклидовых пространств и римановых многообразий, в бесконечномерных линейных и нелинейных пространствах, при исследовании р-адических аналогов уравнений математической физики. Отметим в этой связи работы О. Г. Смо-лянова, Е. Т. Шавгулидзе, X. фон Вайцзеккера, О. Виттиха, А. Трумана, Н. Н. Шамарова, Я. А. Бутко, О. О. Обрезкова, П. Ю. Тарасенко (сам термин "формула Фейнмана" введен в 2002 г. в работе [14]). Именно это направление исследований и развивается в диссертации.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе получена формула Фейнмана и Фейнмана-Каца для уравнения Бюргерса в (получено представление решения соответствующей задачи Коши с помощью функциональных интегралов). Для этого используются формула Фейпмана-Каца для уравнения теплопроводности [13]. Эта формула дает представление для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием ^о и потенциалом и в виде функционального интеграла: здесь Шх{б/ш) — мера Винера на С[0, ¿], сосредоточенная на функциях, принимающих в нуле значение х [38].

Для получения представления решения задачи Коши для уравнения Бюргерса с помощью аналогичных интегралов вычисляется градиент от функции и, представленной в виде интеграла:

СМ

Этот результат доказан для случая, когда функции U(-), Vf7(-), щ(-), Vwo(') ~~ равномерно непрерывны на Kn; £/(■) и щ — ограничены на всем Rn.

Во второй главе рассматривается бесконечномерное уравнение Бюргер-са с внешней силой и бесконечномерное уравнение теплопроводности относительно мер. Роль бесконечномерного пространства играет оснащенное гильбертово пространство (в англоязычной литературе используется термин «Gelfand triple»).

Определение 2.1. Оснащенным гильбертовым пространством называется тройка пространств Ф, Н, Ф', удовлетворяющих следующим условиям: Ф — счетно-гильбертово ядерное пространство с выделенным скалярным произведением (•,•)> являющимся непрерывным билинейным функционалом, Н — пополнение Ф до гильбертова пространства относительно скалярного произведения (•,•), Ф' — пространство, сопряженное Ф (см. [28]).

В оснащенном гильбертовом пространстве выполняется вложение Ф С Н С Ф'. Оснащенные гильбертовы пространства приобрели популярность в спектральном анализе операторов и в теории меры. Классическим результатом из спектрального анализа является следующее утверждение, полученное Гельфандом: Если оператор А, действующий в пространстве Ф (Ф С Н С Ф' — оснащенное гильбертово пространство) может быть продолжен до самосопряженного или унитарного оператора в пространстве Н, то система обобщенных собственных векторов оператора А полна [28]. Здесь обобщенным собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению Л, называется такой линейный функционал F из пространства Ф', что для всех элементов <р из Ф имеет место равенство

F(Aip) = Л F(<p).

На пространстве Ф' оснащенного гильбертова пространства будем рассматривать алгебру цилиндрических множеств R и (т-алгебру Е, порожденную R. Меры, определенные на алгебре R называют цилиндрическими мерами (см. [38]). Множество счетно-аддитивных мер на алгебре Е обозначим .М(Е, Ф'). Существование невырожденных счетно-аддитивных мер на Ф' накладывает ограничения на Ф. Для существования таких мер достаточно, чтобы топология в Ф была эквивалентна или слабее топологии, индуцированной топологией Гросса-Сазонова на гильбертовом пространстве Н. Топологией Гросса-Сазонова называется слабейшая топология в гильбертовом пространстве, относительно которой все измеримые полунормы непрерывны (см [37]). Примером подходящей топологии Ф служит топология банахова пространства с нормой ||||ф, определяемой равенством ||= (Тф, ф)н, где Т — ядерный оператор. Такая норма является измеримой.

Счетно-аддитивные меры можно дифференцировать по направлению.

Определение 2.4. Мера ¡i называется дифференцируемой по направлению h (см. [36]), если для любого множества А £ Е существует конечный предел

Функция множеств ¡j!h(A) называется производной меры по направлению h.

Аналогично определяется производная мерозначпой функции, зависящей от действительного параметра.

Теория дифференцируемых мер была заложена около 40 лет назад С. В. Фоминым и получила широкое развитие. Были изучены дифференциальные свойства различных конкретных классов мер, возникающих в приложениях, например, гауссовских, выпуклых, устойчивых, гиббсовских, распределений диффузионных процессов [24].

Для дифференцируемых мер имеют место формулы дифференцирования, аналогичные классическим. Примером является формула дифференцирования произведения функции и меры (см. [21]), аналогичная формуле Ньютона-Лейбница:

Предложение 2.1. Пусть ¡л — мера, дифференцируемая по направлению h, а / — E-измеримая вещественная функция, дифференцируемая по этому же направлению в каждой точке, причем сама / — /1^-суммируема, а Д — //-суммируема. Тогда мера / • /2 дифференцируема по направлению к и

В диссертации доказывается формула дифференцирования плотности одной меры относительно другой (аналогичная формуле «дифференцирования отношения»):

Предложение 2.3. Пусть V, ¡1 — сг-аддитивные меры на Е, V и ¡1 — дифференцируемы по направлению /г, мера \± имеет логарифмическую производную, V и — имеют плотности относительно д. Тогда

ЛЛ' = ¿К) дл, ¿(¿4) ^ d\ij к с[ц йц йц

Как известно, всякая невырожденная счетно-аддитивная мера, определенная на гильбертовом пространстве имеет пространство дифференцируемое™ (пространство направлений, вдоль которых мера дифференцируема) строго меньшее всего гильбертова пространства. Удобство оснащенного гильбертова пространства заключается в том, что существуют меры, определенные на Ф', пространство дифференцируемости которых содержит все пространство Ф.

Дифференцирование мер позволяет определять дифференциальные уравнения в частных производных относительно мер. На оснащенном гильбертовом пространстве определим уравнение теплопроводности следующим образом: где и(-,-) — Е-измеримая действительнозначная функция (потенциал). Оператор Лапласа корректно определяется для цилиндрических мер (см. [40]).

Для того чтобы определить уравнение Бюргерса на оснащенном гильбертовом пространстве, необходимо определить аналоги выражения (/, V/) и оператора Лапласа.

Пусть функция / определена на Ф' и принимает значения в Ф', / — дифференцируема по любому направлению из Ф. Пусть ег- — ортонорми-рованный базис Ф относительно скалярного произведения Н. Определим выражение (/, У/)(х) для каждого жбФ' следующим образом: оо VЛ (*) = £(Д*)(еО ■£(*)),

1=1 здесь /(ж)(вг) — действие функционала /(ж) как элемента Ф' на вектор из Ф, а Ге(х) — производная функции / по направлению вектора е*.

Оператор Лапласа Д определяем для функций / : Ф' —> Ф', дважды дифференцируемых по подпространству Ф по Гато (см. [32]), следующим оо образом. Если еп — ортонормированный базис в Ф, то А/(ж) = /"е (х), г=0

ОО если сумма ^ /".е.(.т) сходится. г=0

На оснащенном гильбертовом пространстве рассматривается бесконечномерное уравнение Бюргерса с внешней силой: ди 1 = -Ау(г,х) + где неизвестная функция •) определена на ЕхФ'и принимает значения в Ф', V : [0,Т) х Ф' —Ф' — внешняя сила в уравнении Бюргерса.

В главе 2 решается задача нахождения связи между бесконечномерным уравнением Бюргерса и уравнением теплопроводности для мер в оснащенном гильбертовом пространстве. Доказано, что при некоторых предположениях логарифмическая производная меры, являющейся решением уравнения теплопроводности, взятая с обратным знаком, является решением бесконечномерного уравнения Бюргерса. Приведем точную формулировку этого утверждения:

Теорема 2.1. Пусть ¡1 является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием ¡1о, потенциалом II для некоторого промежутка [О, Т), Т > О. Пусть также для любого t G [0,Т) и для любых hi, /¿25 h3 € Ф существуют кратные производные мер ß'hi, ß'l^, l^h^hnh^' каж^ая из этих производных имеет плотность относительно ¡i; ^ дифференцируема по любому направлению из Ф для любого t Е [0,Т); ß — невырождена, то есть не обращается в О на множествах, содержащих открытые множества в Ф'; существует производная по Famo функции U по подпространству Ф. Пусть также v : [0,Т) х Ф' —> Ф' — функция, определяемая на каждом t Е [О, Т) и х £ Ф' как функционал, действующий на каждом векторе h £ Ф следующим образом: v(t,x)(h) — — Пусть существует Дг> на всем Ф' для любого t Е [0,Т).

Тогда v — дважды дифференцируема по Famo по подпространству Ф? имеет производную по параметру t при любом t Е [О, Т) и является решением задачи Коши для уравнения Бюргерса с внешней силой V = — Vt/ и начальным условием г>о = — ^ на промежутке [0,Т).

Верна также и обратная теорема. Именно, пусть v является решением задачи Коши для уравнения Бюргерса с внешней силой V и начальным условием vq на некотором промежутке [О, Г), Т > 0; v{t, •) является логарифмической производной некоторой меры ß(t) для любого t Е [0, Т). Пусть также существует действительнозначная дифференцируемая функция U на [0, Т) х Ф', такая что для любых t Е [0, Т) и х Е Ф': V(t, х) = —VÜ(£, х). Тогда при некоторых дополнительных условиях существует такая функция U : [0, Т) х Ф' —»■ М, что ß является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности относительно мер с потенциалом U и начальным условием ß{0). Кроме того, для любых t Е [0, Т) их Е Ф' U(t,x) = U(t,x)+C(t), где C(t) — некоторая действительнозначная функция аргумента t.

В главе 2 получена также формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности относительно мер в оснащенном гильбертовом пространстве.

Для этого вводится пространство, двойственное пространству цилиндрических мер, — пространство ^(Ф') ограниченных действительнозначных функций на Ф', являющихся равномерными пределами Ф-цилиндрических функций. Иначе говоря, / G ^*(Ф'), если существует последовательность цилиндрических функций /п, равномерно сходящаяся к /. Каждую такую функцию можно интегрировать по цилиндрической мере ¡1 G М(Ф'), если все fn интегрируемы по ¡1 (см [29]). Двойственность пространств М(Ф') и ^(Ф') задается билинейным функционалом {fJ-,f) = J f(x)ii{dx).

Ф'

Определяется уравнение теплопроводности относительно функций на Ф' с потенциалом: df 1

-±(t,x) = -Af(t,x) + U(x)-f(t,x), где U(-) 6 ^(Ф').

Для уравнения теплопроводности с потенциалом относительно функций верно обобщение формулы Фейнмана-Каца на бесконечномерный случай:

Г Г и(ш(т))с1т etHf(x) = J ео f(co(t))Wx(duj),

С({ 0,£],Ф') где Wx — мера Винера, сосредоточенная на непрерывных траекториях в Ф', принимающих в 0 значение х. Она может быть доказана как с помощью формулы Троттера [18], [35], так и с помощью теоремы Чернова [5].

Формула Фейнмана-Каца и двойственность пространств ^(Ф') и пространства цилиндрических мер используются для вывода формулы Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности относительно мер:

Теорема 2.3. Пусть U £ ^(Ф') — непрерывная функция; существует решение задачи Коши ¡л для уравнения теплопроводности с потенциалом U относительно мер и начальным условием Тогда для любой гладкой функции f 6 ^"(Ф'); интеграл f f(x)fi(t,dx) представляется с

Ф' помощью функционального интеграла следующим образом:

Г if JU(X+U(t))<IT „

J dx)= J J е° f{x + aj(t))fio(dx)W°(duj),

Ф' С([0,«],ф') ф' где — мера Винера, сосредоточенная на непрерывных траекториях в Ф'; принимающих в 0 значение О.

Третья глава посвящена уравнениям в частных производных на римано-вых многообразиях. Уравнение теплопроводности на многообразии и непосредственно связанные с ним меры и диффузионные процессы рассматривались в работах [16], [17], [12], [10]. В качестве оператора Лапласа в уравнении теплопроводности используется оператор Лапласа-Бельтрами.

В третьей главе определяется уравнение Бюргерса на многообразии. В роли неизвестной функции этих уравнений выступает векторное или ко-векторное поле. Пусть М — гладкое риманово многообразие размерности п с метрикой д и симметричной связностью V, согласованной с этой метрикой.

Будем использовать оператор Д, действующий на тензоры произвольного ранга следующим образом: ДТ = д^Ч^¡Т. Зададим выражение (/) V/) для векторного поля / формулой (/, ^¡)к{х) = fг(x)\7jfk(x): а для ковекторного поля И формулой (Н^И^^х) = дг^(х)кг(х)\/.

Определим уравнение Бюргерса на многообразии следующим образом:

Определение 3.3. Уравнением Бюргерса на многообразии М для векторного (ковекторного) поля / : 1 х М Т%(М) (/ : К х М Т?(М)) называется уравнение + (/,у/)4л/.

Уравнения Бюргерса определены корректно и связаны операцией поднятия/опускания индекса.

В евклидовом пространстве уравнения теплопроводности и Бюргерса связаны преобразованием Хопфа-Коула. В случае риманова многообразия эти уравнения больше не связаны подобным преобразованием. Для уравнения Бюргерса на многообразии рассматривается аналог преобразования Хопфа-Коула, /(¿, х) = — . При этом оказывается, что соответствующее уравнение для х) будет в некотором случае уравнением типа Колмогорова-Петровского-Пискунова (см. [34]):

Теорема 3.1. Пусть М — гладкое псевдориманово многообразие с постоянной скалярной кривизной и с тензором Риччи, пропорциональным метрике = г • д^, г — константа). Пусть Т > 0 и и(-, •) — действительнозначная функция, определенная на [0,Т) х М;Ух 6 М и(-,х) непрерывно дифференцируема по первому аргументу на [О, Т); € [0,Т) •) трижды непрерывно дифференцируема на многообразии и •) непрерывно дифференцируема на многообразии. Пусть также Ш £ [0,Т); и{Ь,х) > 0, и и(-,-) является решением задачи Коши для уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова: ди 1 л всаММ), т=2Аи--2п 1п «- и, (1) для всех £ £ [О,Г) с начальным условием и(0,х) = щ(х). Здесь зсо/(М) — скалярная кривизна многообразия М, п — его размерность. Тогда ~ и($,х) является решением задачи Коши для уравнения Бюргер-са для ковекторного поля с начальным условием /(О, х) = /о(х) — — •

Верна также и обратная теорема.

Уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова называется следующее уравнение в частных производных: ди 1

- = -Аи + д(и)-и, где д(-) — скалярная функция. В некоторых работах это уравнение называется уравнением теплопроводности с источником [7]. Уравнение 1 является примером уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова с функцией д{и) = — ^ 1п и. Некоторые точные решения этого уравнения с логарифмическим источником можно найти в работе [7].

Условие пропорциональности тензора Риччи и метрики есть в точности условие на многообразия, задаваемое уравнениями Кехлера-Эйнштейна [33].

Отсутствие стандартного преобразования Хопфа-Коула, связывающей уравнение Бюргерса и теплопроводности, объясняется тем, что ковариантные производные тензоров в общем случае не коммутируют. Для доказательства теоремы 3.1 используется лемма, в которой выведена формула для коммутатора оператора Д и ковариантной производной, примененного к скалярной функции /:

AVJ - VjA/ = -gkpRicpiVkf.

В третьей главе даны также определения уравнения Бюргерса на многообразии с внешними силами, в том числе со стохастической. + (/, V/)(t, х) = i А/(*, х) + х) + s(t, x)Wt.

Здесь V(t, х) — ковекторная внешняя сила, зависящий как от точки многообразия, так и от времени (параметра t). Wt — белый шум, зависящий только от времени. Стохастическое уравнение Бюргерса в евклидовом пространстве рассматривается в работах А. Трумена [6]. Понимать такое уравнение следует как интегральное: df(t,x) = ^Af(t,x)dt- (/, Vf)(t,x)dt + V(t,x)dt + s(t,x) о dW,

Ai где оdW — дифференциал Стратоновича (см. [27]).

Аналог преобразования Хопфа-Коула на многообразии связывает стохастическое уравнение Бюргерса с внешними силами со стохастическим уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова с потенциалами.

В последнем параграфе третьей главы приводятся примеры многообразий, для которых аналог преобразования Хопфа-Коула для уравнения Бюргерса на многообразии имеет место. Такими многообразиями являются n-мерная сфера Sn и простые группы Ли.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Олегу Георгиевичу Смолянову.

Заключение

Диссертация посвящена исследованию уравнений типа Бюргерса в различных пространствах и представлению решений таких уравнений с помощью формул Фейнмана и функциональных интегралов. В диссертации используются методы дифференциальных уравнений в частных производных, бесконечномерного анализа, дифференциальной геометрии и стохастического анализа.

В главе 1 дано представление решения задачи Коши для уравнения Бюргерса вГс помощью функциональных интегралов и формул Фейнмана. Для этого используются формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана, дающие такое представление для решения уравнения теплопроводности, и преобразование Хопфа-Коула.

В главе 2 решается задача нахождения связи между бесконечномерным уравнением Бюргерса и уравнением теплопроводности для мер в оснащенном гильбертовом пространстве. Доказано, что при некоторых предположениях логарифмическая производная меры, являющейся решением уравнения теплопроводности, взятая с обратным знаком, является решением бесконечномерного уравнения Бюргерса. Для уравнения теплопроводности для мер с потенциалом в оснащенном гильбертовом пространстве получено представление решения задачи Коши с помощью интеграла по мере Винера.

Глава 3 посвящена уравнениям Бюргерса на многообразии. В роли неизвестной функции этих уравнений выступает векторное или ковекторное поле. В качестве дифференцирования по многообразию используется ковариантная производная.

Для уравнения Бюргерса на многообразии рассматривается аналог преобразования Хопфа-Коула. Доказано, что для многообразий с постоянной скалярной кривизной и с тензором Риччи, пропорциональным метрике, имеет место преобразование, связывающее уравнение Бюргерса с уравнением типа Колмогорова-Петровского-Пискунова.

В этой же главе даны определения уравнения Бюргерса на многообразии с внешними силами, в том числе со стохастической. Для уравнений Бюргерса с внешними силами имеет место аналогичное преобразование, связывающая уравнение Бюргерса и уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова с потенциалами. Приведены примеры многообразий, для которых аналог преобразования Хопфа-Коула имеет место. Примерами таких многообразий являются п-мерная сфера 5П, а также простые группы Ли.

1. Belopolskaya Ya. I., "Generalized Solutions of Nonlinear Parabolic Systems and the Vanishing Viscosity Method", J. of Mathematical Sciences, v. 133, n. 3, 2006, 1207-1223.

2. Belopolskaya Ya. I., "Smooth Diffusion Mesuares and Their Transformations", J. of Mathematical Sciences, v. 109, n. 6, 2002, 2047-2060.

3. Bertini L., Cancrini N., and Jona-Lasinio G., "The Stochastic Burgers Equation", Comm. Math. Phys. v. 165, n. 2, 1994, 211—232.

4. Burgers J. M., "A mathematical model illustrating the theory of turbulence", Adv. Appl. Mech., v. 1, 1948, 171-199.

5. Chernoff R., "A Note on Product Formulas for Operator Semigroups", J. Funct. Anal., 2, 1968, 238-242.

6. Davies I. M., Truman A., and Zhao H., "Stochastic Heat and Burgers Equations and Their Singularities I — Geometrical properties", J. Math. Phys., 43, 2002, 3293-3328.

7. Feynman R.P., "Space-time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., n. 20, 1948, 367—387.

8. Hopf E., "The partial differential equation ut -\-uux — fiuxx\ Comm. Pure Appl. Math, v. 3, 1950, 201-230.

9. Hsu E.P., Stochastic Analysis on Manifolds, American Mathematical Sociaty, 2002.

10. Jost J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 4-th edition, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005.

11. Obrezkov O.O., "The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian Manifold", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 6, no. 2, 2003, 311— 320.

12. Simon B., Functional integration and Quantum Physics, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1979, p. 48.

13. Smolyanov O. G., Tokarev A. G., and Truman A., "Hamiltonian Feynman Path Integrals via the Chernoff Formula", J. Math. Phys., v. 43, n. 10, 2002, 5161-5171.

14. Smolyanov 0. G., H. von Weizsäcker, "Smooth probability measures and associated differential operators", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 2, n. 1, 1999, 51—78.

15. Smolyanov O. G., H. von Weizsäcker, Wittich O., "Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions", Canadian Math. Society Conference Proceedings, 29, 2000, 589—602.

16. Smolyanov O. G., H. von Weizsäcker, Wittich O., "Surface Measures and Initial Boundary Value Problems Generated by Diffusions with Drift", Doklady Mathematics, v. 76, n. 1, 2007, pp. 606-610.

17. Trotter H. F., "On the Product of Semigroups of Operators", Proc. Amer. Math. Soc., n. 10, 1959, 545-551.

18. Truman A., Zhao H. Z., "On stochastic diffusion equations and stochastic Burgers' equations", J. Math. Phys., v. 37, n. 1, 1996, 283—307.

19. Wospakrik H. J., Zen F. P., "Inhomogeneous Burgers Equation and the Feynman-Kac Path Integral", http://arxiv.org/abs/solv-int/9812014, 1998.

20. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B., "Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах", Тр. Моск. матем. об-ва, 1971, т. 24, с. 133-174.

21. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р., Вычислительная гидромеханика и теплообмен, пер. с англ., в 2 томах, М.: Мир, 1990.

22. Богачев В.И., Гауссовские меры, М.: Наука, Физматлит, 1997, стр. 72.

23. Богачев В.И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, М.: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2008.

24. Богачев В. И., Смолянов О. Г., "Аналитические свойства бесконечномерных вероятностных распределений", УМН, 45:3(273), 1990, 3—83.

25. Богачев В.И., Смолянов О.Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс, М.: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009.

26. Ватанабэ С., ИкэдаН., Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы, М.: Наука, 1986, стр. 109.

27. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, вып. 4, М.: Физматгиз, 1961.

28. Данфорд H., Шварц Дж., Линейные операторы, Общая теория, том 1, М.: Издательство иностранной литературы, 1962, стр. 127.

29. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и прилоэ/сения. Т. 1: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей, М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001.

30. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и прилоэ/сения. Т. 2: Геометрия и топология многообразий, М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001, стр. 45.

31. Колмогоров А. Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976, стр. 482.

32. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М., Теоретическая физика, том. 2, Теория поля, издание 7-е, исправленное, М.: Наука, 1988.

33. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И., Дифференциальные уравнения математической физики, М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 2002.

34. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 2, М.: Мир, 1978, стр. 302.

35. Смолянов О. Г., Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения, М.: Издательство МГУ, 1979, стр. 70.

36. Смолянов О. Г., "Теорема Гросса-Сазонова для знакопеременных цилиндрических мер", Вестник МГУ, сер. матем., 1983, № 4, стр. 4—12.

37. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т., Континуальные интегралы, М.: Издательство МГУ, 1990.

38. Фомин С. В., "Дифференцируемые меры в линейных пространствах", УМН, 23:1(139), 1968, 221-222.

39. Угланов А. В., "Уравнение теплопроводности для мер в оснащенном гильбертовом пространстве", Вестник МГУ, сер. матем., 1971, № 1, с.

40. Matskevich S. Е., "Representation of solutions of the Burgers equation using functional integrals", Russian J. of Mathematical Physics, v. 16, n. 4, 2009, 508-517.

41. Matskevich S. E., "Burgers equation and Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation on manifolds", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 13, n. 4, 2010, 575-584.

42. Мацкевич С. E., "Связь между уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнением Бюргерса на многообразиях", деп. в ВИНИТИ, 547-В2010, Москва, 2010, 12 стр.

43. Мацкевич С. Е., "Уравнение Бюргерса на римановых многообразиях", Сборник тезисов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского, Москва, 2007, 186-187.

44. Мацкевич С. Е., "Преобразование уравнения Бюргерса на многообразии в уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова", Сборник тезисов XVII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", 2010, 97—98.52.59.

45. Список работ автора по теме диссертации