Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа

Юшков, Егор Владиславович

Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Юшков, Егор Владиславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа»

Автореферат диссертации на тему "Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа"

На правах рукописи

005049438

ЮШКОВ Егор Владиславович

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.03 - «Математическая физика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 ФЕ8 113

Москва, 2013

005049438

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Корпусов Максим Олегович

доктор физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты: Гольдман Михаил Львович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов Шафаревич Андрей Игоревич доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и математических методов физики Московского физико-технического института

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита состоится 21 февраля 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический ф-т, ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «¿1» Л^^АрЛ

2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук ^

профессор 0Л—--- П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического типа для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (и, У)и или (иих). Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (Ыо\у-ир), характеризует временное ограничение корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики - ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций.

В работе исследуется появление разрушения в нелинейных моделях идеальной жидкости, вязкой ньютоновской жидкости, вязкоупругой неньютоновской жидкости Кельвина-Фойгта. Для рассматриваемых задач методом конечномерной аппроксимации Галеркина решаются вопросы локальной разрешимости, гладкости и единственности. С помощью модификации энергетического метода X. Левина вычисляются достаточные условия разрушения решений, строятся двухсторонние оценки на время и скорость разрушения, демонстрируется переход к глобальной разрешимости при изменении начальных данных.

Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Бюргерса, Бенжамена-Бона-Махони, Розенау-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях. С помощью метода нелинейной емкости, развитого в работах С.И. Похожаева и X. Митидиери, исследуется влияние граничных условий на возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.

Современное состояние проблемы и актуальность ее исследования Изучение движения жидкостей является источником большого числа математических задач. Однако, при попытках изучения даже самых простых теоретических моделей возникают проблемы, многие из которых не удается решить до сих пор. К примеру, пока остаются открытыми вопросы глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для классических систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса при гладких начальных данных.

ных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж. Ле-ре, O.A. Ладыженской, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева и Р. Темама. Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, O.A. Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики неньютоновских жидкостей. Но несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики в этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось.

После перехода к обобщенной постановке задач появились первые методы функционального анализа, позволяющие исследовать необычное явление, в определенном смысле противоположное глобальной во времени разрешимости - явление разрушения решения. Под разрушением решения понимается его неограниченный рост в некоторой норме на конечном промежутке времени, то есть отсутствие глобальной разрешимости при наличии локальной. В настоящее время теория разрушения, зародившаяся как вопрос об ударной волне, привлекает все большее внимание. В наше стране к классикам теории разрушения можно отнести A.A. Самарского, O.A. Ладыженскую, А.Г. Свешникова, С.А. Габова, С.И. Похожаева, М.О. Корпусова, А.П. Осколкова, А.И. Кожанова, В.К. Калантаров и С.П. Курдюмов. За рубежом широко известны H.A. Levine, Е. Mitidieri, S.A. Messaudi, V.A. Galaktionov, D. Chae, E. Tadmor, R.B. Pelz, J. Deng, J. Evans P. Souplet, H. Fujita, G. Todorova, Zhang Jian, L. Pain, D.H. Sattinger, J.J. Rasmusen, A. Constantin. К сожалению, не существует справочников, классифицирующих основные результаты этих исследований, но некотрые обзоры можно найти в монографиях А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, В.А. Галактионова и С.И. Похожаева.

и метод автомодельных режимов, основанный на различных признаках сравнения и развитый в работах A.A. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова и А.П. Михайлова. Помимо этих методов существует большое количество сильно различающихся подходов к частным задачам, которые трудно обобщить или классифицировать.

Актуальность исследования явления разрушения обусловлена возможностью теоретического получения оценки времени разрушения решения модели, которая по существу дает оценку на время корректности ее использования. Однако, если модель является детально проработанной, то само явление неограниченного роста может иметь прямые физические аналоги, например, в виде перехода от ламинарного к турбулентному течению или возникновения волн аномально большой амплитуды. Слабая изученность этого явления для задач гидродинамики, вероятно, связана с отсутствием единого метода анализа. Представленная работа в некотором смысле является продолжением серии работ А.Г. Свешникова, С.И. Похожаева и М.О Корпусова, в которых удалось получить достаточные и близкие к достаточным условия разрушения, оценки на времена разрушений, асимптотики сингулярных решений в задачах для идеальных и вязких стратифицированных, вращающихся жидкостей, скалярного приближения мелкой воды - уравнения Кортвега-де Фриза. В работе также предлагаются общие методы исследования разрушения: модифицированный энергетический метод М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова для начальных задач и метод нелинейной емкости С.И. Похожаева для краевых, что повышает ее практическую ценность.

Целью диссертационной работы является

1. Изучение локальной и глобальной разрешимости широкого класса начальных и начально-краевых нелинейных задач гидродинамики для системы дифференциальных уравнений Осколкова, интегро-дифференциальных систем Кельвина-Фойгта и предложенных в 1967 году O.A. Ладыженской систем с нелинейной вязкостью, а также задач для скалярных нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза.

2. Исследование влияние нелинейных сингулярных и регулярных источников на появление феномена разрушения решения данных задач в неограниченных и ограниченных областях, при различных начальных и граничных условиях.

3. Получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений, двусторонних оценок времени разрушения, оценок на скрость разрушения.

4. Исследование возможности глобальной разрешимости при наличии степенных и сингулярных источников. Изучение гладкости получаемых сингулярных и регулярных ре-

шений.

Научное значение, новизна и практическая значимость работы.

1. В работе изучались задачи, описывающие процессы в вязко-упругой жидкости Кельвина-Фойгта, в ограниченной и неограниченной области. Впервые показано наличие явления разрушения для задач такого типа и влияние на него внешних и интегральных слагаемых.

2. Показано наличие разрушения решений задач для систем Навье-Стокса и Эйлера при специальных граничных условиях, что является существенным вкладом в изучение вопроса о глобальной неразрешимости этих задач.

3. Рассмотрен класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза на ограниченных и неограниченных областях, включающий в себя широко используемые в настоящее время уравнения Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса, КдФ-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня. Для этого класса впервые найдены достаточные условия разрушения решений задач с естественными граничными условиями.

4. Получены оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач, то есть времени корректного описания данными моделями соответствующих физических явлений.

5. Полученные результаты и предложенные методики, позволяют получать временные оценки корректности решений прикладных задач нелинейной физики, использующих данные модели.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Впервые исследовано явление разрушения в задачах для систем уравнений типа Осколкова с источниками, описывающих процессы в неньютоновских жидкостях. Изучены достаточные условия разрушения, получены оценки на время и скорость разрушения решения задач с сингулярными и регулярными источниками.

2. Доказана теорема о разрушении для задачи Навье-Стокса со специальными граничными условиями. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях.

3. Для ряда уравнений типа Кортвега-де Фриза доказаны теоремы разрушения решений и получены оценки времени разрушений.

4- Для уравнений Бенжамина-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза-Бюргерса доказана локальная разрешимость начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Получена зависимость времени обострения от на-

чальных условий.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты опубликованы в 9 работах в реферируемых журналах. Список этих работ приведен в конце автореферата.

Отдельные результаты также докладывались на

1. научном семинаре профессора И. А. Шишмарева по нелинейным дифференциальным уравнениям (фак.-т ВМиК МГУ);

2. научном семинаре профессора А. Н. Боголюбова по математическим методам в естественных науках (физ. фак.-т МГУ);

3. научном семинаре по ассимптотическим методам математической физики под руководством академика В. П. Маслова и профессора С. Ю. Доброхотова (ИПМ РАН);

4. научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова;

5. международных научных конференциях молодых ученых «Ломоносов-2011, -2012».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и списка литературы, включающего 101 наименование, и изложена на 183 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор используемых методов иследования феномена разрушения: метода нелинейной емкости С.И. Похожаева, развитого в совместных работах с Э. Митидиери, и энергетического метода X. Левина, модифицированного М.О. Корпу-совым и А.Г. Свешниковым и впервые предложенного для задач гидродинамики в 2009 году при изучении разрушения в системе Осколкова с кубическим источником.

Подробно представлены основные шаги доказательства разрушений: для метода нелинейной емкости на примере доказательства разрушения решения уравнения Кортвега-де Фриза, проделанного в 2011 году С.И. Похожаевым, и для энергетического метода на примере априорных энергетических оценок, предложенных O.A. Ладыженской для исследования локальной и глобальной разрешимости задач гидродинамического типа.

Приведены классы уравнений гидродинамического типа, для которых удается исследовать вопросы разрешимости, единственности и разрушения. Кратко описаны основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена постановке и формулировке исследуемых начально-краевых задач гидродинамического типа. Выделено два основных класса: задачи для систем уравнений, в которые неизвестная функция - вектор, при этом одно уравнение содержит слагаемое (u, V)u, а второе является уравнением неразрывности div и = 0, и класс задач для скалярных уравнений типа Кортвега-де Фриза, содержащих нелинейное слагаемое иих.

Первая часть первой главы посвящена задачам, моделирующим процессы в несжимаемых сплошных средах. В общем случае такие модели описывются системой уравнений:

где вектор и характеризует скорость жидких частиц сплошной среды, р(х, £) - функция давления в точке х в момент времени t, а. а - тензор касательных напряжений:

Здесь и далее во всей работе уравнения записываются в безразмерном виде.

Введение девиатора а ставит своей целью учет реакций, возникающих в жидкости в процессе ее движения, то есть определяет тип жидкости [А.П. Осколков]. Например,

— + (u, V)u - Div а = -'Vp, div и = О,

(1)

система Эйлера получается из общей системы (1) при равенстве тензора а нулю: ди

+ (u, V)u = - Vp, div и = 0; (2)

а система Навье-Стокса при линейной связи тензора напряжений с тензором скоростей деформаций:

„ _ (дщ дщ \axj ах i

^ + (u, V)u - и Au = - Vp, div u = 0. (3)

Задачи для классических систем Эйлера и Навье-Стокса (1-2) на протяжении полутора столетий являлись основными моделями вязкой несжимаемой жидкости. Между тем, уже в середине XIX в. были известны вязкие несжимаемые жидкости, не подчиняющиеся этим уравнениям. Первые модели таких жидкостей, которые учитывают предысторию течения, были предложены Дж. Максвеллом, В. Кельвином, В. Фойгтом и Дж. Олдройтом.

Одним из примеров такой жидкости может служить вязкоупругая жидкость Фойгта, описывающая раствор полимеров, в котором напряжения после прекращения движения не обращаются мгновенно в нуль, а спадают по некоторому экпоненциальному закону и описываются реологическим соотношением:

яр

В этом случае система (1) принимает вид

^(u - Au) + (u, V)u = -¡уДи - Vp, div и = 0. (4)

Кроме полимерных растворов к жидкостям такого типа относятся эмульсии и суспензии одной жидкости в другой, сильно разбавленные суспенции твердых частиц.

В общем случае вязкоупругих жидкостей реологическое соотношение задает не дифференциальную, а интегро-дифференциальную связь между сг и Е. Поэтому наряду с задачей (2) в диссертационной работе рассматривается интегро-дифференциальная система Кельвина-Фойгта:

— Ди) — Ди + (и, V)u — J el'sAu.ds = — Vp, divu = 0. (5)

Главной особенностью начально-краевых задач для уравнений (4-5) является их глобальная разрешимость при достаточно гладких начальных данных и нулевых условиях Дирихле на границе, что делает их корректными для глобального во времени описания

несжимаемых жидкостей, наравне с предложенными O.A. Ладыженской системами с нелинейной вязкостью:

dxAu + (и, V)u = - Vp, div и = 0. (6)

В диссертационной работе для корректно разрешимых задач (4-6) исследуется появление разрушения при наличии внешних нелинейных источников /(и). Так как во многих случаях нелинейная функция /(и) может быть разложена по степеням, то традиционно задачи ставятся для степенных источников. Кроме того, при неклассических граничных условиях удается исследовать вопрос о разрушении, порождаемом нелинейностью (u, V)u при отсутствии внешнего влияния.

Вторая часть первой главы посвещена постановке задач для одномерных приближений систем гидродинамики, приводящих к уравнениям типа Корвега-де Фриза:

ut + иих + иххх = 0. (7)

В гидродинамике эти уравнения соответствуют двумерным и трехмерным приближениям мелкой воды, приближениям в которых малым параметром является отношение глубины слоя жидкости к характерной длине волн. В этой части основное внимание уделено выводу моделей для уравнений Кортвега-де Фриза-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Линя-Рейснера-Цзяня, Островского, Бенжамена-Бона-Махони-Вюргерса, Розенау-Бюргерса, Кортвега-де Фриза-Бенжамена-Бона-Махони.

Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи в ограниченных областях с условиями Дирихле на гладких границах. Задачи ставятся для систем, моделирующих несжимаемые неньютоновские жидкости, с внешними источниками степенного вида |u|?u и сингулярного степенного |u|5u/|x|CT.

Первой ставится задача Осколкова со степенным источником произвольного порядка, являющаяся логическим продолжением работы М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова по разрушению решения системы Осколкова с кубическим источником.

— (|u|?1u - Ли) - Ли + (и, V)u + |и|92и = Vp, (8)

div и = 0, u|t=0 = и0(х), и|эпх[о,т] = 0. (9)

Помимо действия источника рассматривается нелинейное взаимодействие в жидкости в процессе движение, что характеризуется нелинейностью под производной по времени. Основной результат касается влияния одной нелинейности на другую и на сам эффект

(и — Ли) — Ли —

дщ дх*

разрушения. Вопрос о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле решается с помощью метода аппроксимаций Галеркина и вывода априорных оценок, вопрос единственности решается через лемму Гронуолла-Белмана. Конечный результат о единственности и локальной разрешимости может быть сформулирован в виде следующей теоремы:

Теорема. Для любой начальной функции щ £ Н(0.) при условии qi € [0,4), 9i 6 [0,4) существует единственное слабое обобщенное решение класса {u : u(x)(t) 6 L°°(0,T; H(fi)); u'(z)(t) e L2(0,T; Я(П))}, VT e (0,T0). Причем момент времени T0 > 0 максимален в том смысле, что либо То = +оо, либо То < +оо и тогда имеет место предельное равенство

limsup ((и, и)) = +оо.

t\T0

С помощью априорных энергетических оценок можно прийти к справедливость обыкновенного дифференциального неравенства вида:

ф"ф _ а (ф') 2 + /?ф2 + 7ф4/(91+2)+1 (10)

для некоторой энергетической функции, записываемой через нормы в соответствующих пространствах:

Ф(0 = 1((и,и))н + |^|Н|««.

При определенных предположениях на Ф(4) в начальный момент времени, из обыкновенного дифференциального неравенства может быть получены оценки снизу, а из них результат о разрушении, собственно, в этом и заключается общая идея энергетического метода. Наоборот с помощью оценок сверху решается вопрос о глобальной во времени разрешимости. Общая теорема о разрушении и разрешимости имеет вид:

Теорема о разрушении. Пусть выполнены, все условия предыдущей теоремы. Тогда при условии > дг > 0 задача разрешима в классе u(x,t) 6 С([0, X], Н(С1)), причем справедливы оценки сверху:

Ф(4) < exp(Bt) при <?i = ф(0 < (Фо + (1 - 7)Bf)1/(1-7) при qi > q2, Если 0 < gi < 92 ti выполнены следующие условия

9i > 2,

тогда решение задачи разрушается за конечное время То > 0, то есть имеет место предельное равенство

ИтвирЦи, и)) = +оо, ^То

причем имеют место двухсторонние оценки на время разрушения решения То 6 РьТу. Здесь введены обозначения

Тг = Во1, Во = 922®/2С?+2Ф?/2, Т2 = Л^Ф^1,

А\ = {а, - 1)2Ф0-2- - -^-Ф2 - **

- 1 " ЙТ2

-=^гН1 - ^ • А=т^=; <*+

здесь е е (О, Сз — наилучшие константы вложения соответсвенно

Н1(0.) в £'2+2(П), £?1+2(П) в £4(П). Если же выполнены условия:

^ 2^-4^-4

92 > ---,

91-4

11«о||£Й>((ио,ио)),

ф' > | ^ ф2 +_^_ф^Г1 1 2 > О

тогда решение задачи разрушается за конечное время То > О, и двухсторонние оценки на время разрушения решения имеют вид То е [Т^, Т^],

Ц = А^ФЪ"», Т[ = Во\

А\ = (а2 - 1)2Фо2-((Ф^)2 - --^Фо^'

92 + 2 2д2 + 3 92 1 ЗК 92 + 2 а2 = —ГТ ~ £ „ , V' Р2 =--я-, 72 ^

91 + 1 + 2 ' + 2 б' 2е?1 + 2'

где е е К = (йт!)^ С™, здесь С4 - наилучшая посто-

янная вложения в £6(Г2).

Вторая задача ставится для интегро-дифференциального уравнения Кельвина-Фойгта, то есть для модели, описывающей вязкоупругую жидкость с реологическим соотношением общего интегро-дифференциального вида и с кубическим источником:

(

-(и - Ли) - Ли + (и, У)и - |и|2и - J е-('"г)Ли¿.в = Ур, (11)

<1пг и = 0, и|1=0 = и0(х), и|эг2х[0,Т] = о, (12)

область П С Я3 является ограниченной с локально липшицевой границей 9П на промежутке времени [О, Г], Т > 0.

Локальная разрешимость данной задачи может быть доказана, как и выше, методом Галеркина. Однако чтобы не доказывать отдельно единственность и разрешимости, вопрос о существовании слабого обобщенного решения локально во времени решается с помощью теории степени Лере-Шаудера. Этот пример позволяет сравнить предложенный метод Галеркина с другим, не менее мощным методом функционального анализа, но дающим более слабый результат для решения в слабом смысле.

Определение. Под слабым обобщенным решением задачи (11)-(12) мы понимаем решение и{хЛ) 6 для любого <р е Н(С1) и почти всех Ь <£ (0,Г) следующей задачи

/ /е-С-'Д«^ <^х = 0, и|(=0 = ио(х)-

Также можно доказать разрушение при достаточно больших начальных данных.

Теорема о локальной разрешимости и разрушении. Пусть щ е Н(С1) и выполнены начальные условия

ф'(О) > -~т+(~~)1/2т-

се — 1 — 1 /

Тогда существует единственное слабое обобщенное решение и(х) задачи (11)-(12), принадлежащее классу {и : и{х){1) е С(0, Т; Н{Щ]\ и'(г)(4) С Ь2(0,Т\ Н(й))}, МТ е (0,Г0). Имеет место разрушение решения за время Т0, причем для этого времени справедлива следующая оценка Т0 £ (ТиТ2). Для 71 и Т2 имеют место следующие выражения:

(1 + 2С?)(||ио||^п) + ||«о||^П) + (1 + Г^ВД = 1,

Т2 =_Ф'-^О)_

(а - 1)Ф(0)-» [(Ф'(0) - ^Ф(О))2 - ^«(0)»] ^'

а = 2(1 -е), = 7 = 2 + ^, ее (0,1/2), Ф(0) = ||ио||2н(п) + Н^^, где С7 — постоянная наилучшего вложения Н(П) в £4(П).

Данная задача показывает не только разрушающий характер источников в интегро-дифференциальных задачах гидродинамики, но и демонстрирует возможность применения к задачам о вязкоупругих жидкостях в ограниченных объемах, обширной теории разрушений, созданной для дифференциальных уравнений соболевского типа.

В третей задаче о движении жидкости Кельвина-Фойгта в ограниченной области исследовано влияние сингулярных источников на примере задачи

|(u-Au)-^Au+(u,V)u-j^u = -Vp, (13)

u|t=o = uo(x), div u = 0. (14)

Совместным применением метода Галеркина и энергетических оценок для сингулярных источников доказывается локальная разрешимость, единственность и разрушение за конечное время:

Теорема о разрешимости. Для любого щ е Н(й) при условии д G [0,4), а е [0, (4 — д)/2) существует слабое обобщенное решение задачи (13)-(Ц) класса

B6LM(0,T;B(i!)), и' е L2(0,Т; H(ü)), VTe(0,To),

причем момент времени То > 0 максимален в том смысле, что либо То = +оо, либо То < +оо и тогда имеет место предельное равенство

lim sup ((и, и)) = +оо.

«По

Результат о разрушении слабого обобщенного решения формулируется в виде:

Теорема. При выполнении условий теоремы о разрешимости и при условии на начальную функцию

слабое обобщенное решение задачи (5)-(6) существует и разрушается за конечое время То > 0, другими словами имеет место предельное равенство

limsup((u, и)) = -foo,

iT Та

и двухсторонние оценки на время разрушения То € [Ti, ТЬ].

Тl = = (92'/2СГ2Фод/2)-\ Т2 = А~гФ1~а, А2 = (а - 1)2Ф0-2° (ад2 - ^Ф2 - ¿ТзФГ") ,

a = i±*(1-t!L±£\ 0-1+1 .._6Cg(g + 2)

2 V 2 У 2б ' 7 ~ 2е '

здесь Сз - постоянная вложения Hl(Cl) в L4(fl), € 6 (0,

В последней, четвертой задаче исследуется разрушение решений систем с нелинейной вязкостью, предложенных O.A. Ладыженской в 70-х годах прошлого века:

(и - Ди), + (и, V)u - Vis(u) Au - и3 = -Vp, div и = 0, (15)

u|9n = 0, u|t=0 = U0(x), (16)

где нелинейная вязкость Vis(u) характеризуется функцией:

fo + Ч [ dx или, что то же, щ + fi [ rot2u dx.

J i^i J

Опираясь на глобальную разрешимость, в 1966 была подтверждена возможность использования этой системы заместо некорректной системы Навье-Стокса. Таким образом, во второй главе показано, что для задач гидродинамического типа в ограниченной области метод энергетических оценок оказывается не только применим для исследования явления разрушения, но и удобен для получения достаточно точных оценок времени неограниченного роста.

В третьей главе исследуется влияние граничных условий на разрушения решений начально-краевых задач гидродинамического типа. Основной метод исследования - метод нелинейной емкости, но в отличии от его оригинального применения для задачи Кортвега-де Фриза, вопрос о разрушении решается для классических систем Навье-Стокса и Эйлера, а также модельной системы с производными четвертого порядка.

Основной недостаток метода - отсутствие доказательства разрешимости, однако для решения этого вопроса в локальном смысле могут быть привлечены результаты

0.A. Ладыженской о локальной разрешимости гидродинамических систем. Первой рассматривается система Навье-Стокса в цилиндре высотой Я радиуса R:

~ + {n,V)u-uAu + \/p = 0, div(u) = 0, u|1=0 = u0(x), (17)

Mp<V,0) = 0, up(R,<p,z) = up(0,ip,z) =0, (18)

2jr Я 2 ir R

J J R~{R,4>,z)dipdz + J J L{p,v,H)-H^{pty,Q)\dipdp = h(t)£C{0,+oo). 0 0 0 0

(19)

которой удается с помощью метода С.И. Похожаевым показать наличие разрушения решения при специальных граничных условиях. Основной результат можно сформулировать в виде теоремы:

Теорема о разрушении. Классическое решение задачи Навье-Стокса не существует глобально во времени при выполнении следующих условий:

1. Пусть f(t) > 0, тогда при условии J(0) > 0 имеет место оценка снизу

J{t) - 1 - J(0)fcV = /- z)dx,

умеет место оценка на время разрушения

Тх <

J(0)k2'

2. Пусть f(t) > а2 > 0, тогда

J(t) > -tan(akt + с0), Со = arctan ( —— i . k \ a J

имеет место оценка на время разрушения

тф-со

1оо Ъ ; ,

ак

3. Пусть f(t) > —а2 > 0, тогда при условии fcJ(O) > |а| имеет место оценка снизу

а 1 + Coeakt __ kJ(0) - а J[t]~ kl-сое"*' Со~ kJ(0) + a'

имеет место оценка на время разрушения

fkJ( 0)\

1 , fU( 0) +

2 ак \kJ{ 0)

Здесь f(t) = g(t) + h{t), где

S)-

п ¿ТТ

g{t) = - J J рНр{р, ip, 0)dpd<p.

Вторая задача ставится для модельной системы

^(Л2и-Аи + и) + (и,У)и + Ур = 0, Луи = 0, и|(=0 = и0(х), (20)

сходной с системой для спиновых волн в параллелепипеде П = [0, ¿1] х [0, Ь2] х [0, Ь2].

Таким образом, в третьей главе показана возможность использования метода нелинейной емкости для анализа начально-краевых задач гидродинамики. Поскольку данный метод чуствителен к граничным условиям, сформулировать общие теоремы представляется затруднительным и каждый случай приходится анализировать отдельно.

В четвертой главе диссертационной работы основным рабочим методом для исследования разрушения также является метод нелинейной емкости, но начально-краевые задачи ставятся для скалярных уравнений типа Кортвега-де Фриза. Заметим, что многие из этих уравнений встречаются в областях нелинейной физики, никак не связанных с гидродинамикой, в которой исследуемые модели описывают, в основном, различные приближения модели мелкой воды.

В первой части рассматриваются начально-краевые задачи, соответствующие обобщенной системе Кортвега-де Фриза:

+ дх

системе КдФ-КдФ:

\ик ^ акщ + д2хик

■ 0, к = (21)

т + и I + (т)х + = о, (22)

Щ + Лх + иих + ^г)ххх = О (23)

и ее симметричному аналогу:

+ их + + ^г/щ = 0, (24)

3 1 1 Щ + + 2иих + + д7?111 = (25)

Методом нелинейной емкости доказывается разрушение решений за конечное время при естественных граничных условиях.

Разрушение в задачах (21-25) является вполне ожидаемым, так как для соответствующих квазилинейных гиперболических систем результат о глобальной неразрешимости был получен в середине прошлого века. В диссертационной работе проведен анализ основных отличий: во-первых, методом нелинейной емкости доказано разрушение не задачи Коши, а начально краевой задачи, во-вторых, метод является универсальным и удобным с практической точки зрения. Наконец, он позволяет вычислять оценки времени и скорости разрушения.

Например, для системы (21) результат формулируется следующим образом: Теорема о разрушении. Предположим, что существуют такие константы а и /3, что для начальных и граничных данных задачи (21) выполнено неравенство

2/3 "

J(0) > Ь , и для и = > щ выполнены неравенства

VЗа Ы

1 1 1 "

х=Ь ~ уих|1=0 - 2 ак1икЦ\х=0 - "хх|х=0 > -Р2,

к,з=1 N N

а-кк - ~^ж-а2для всех к=1> ■■■> М-

1 з

Тогда не существует глобального во времени классического решения на отрезке [0,Ь]. причем имеет место следующая оценка:

JM г2 2(3 1 + Cof* л/3aP V3aJ( 0) - 2 PL2 f

J(t) > L—=--7Г-г. гое 7 = ——;—, Cn = —=——-, J(t) = / (L—x)udx.

VSal-Coe2*' ' 2L v/W(0) + 2/3L2 /

Во второй части рассмотрен широкий класс задач, для которых удается исследовать разрушение за конечное время. Этот класс включает в себя уравнения Кадомцева-Петвиашвили:

д2 д2

(ut + иих + иххх)х = ±Ауи Ау = — + ... + _—, ДГ>2, (26)

"Vi "Un- 1

сильно диссипативные уравнения Кадомцева-Петвиашвили:

(■ut + иих - ихххх)х = ±Ауи, (27)

уравнение Захарова-Кузнецова:

ut + иих + иххх + Ауих = 0, (28)

уравнение Хохлова-Заболоцкой-Кузнецова:

(ut - иих - ихх)х = Ауи, (29)

уравнение Хохлова—Заболоцкой

(их — ииТ)Т = Ауи, r = t — x, (30)

и уравнение Линя-Рейснера-Цзяня:

Ьн + (Кос + и)их)х = Ауи. (31)

Также проанализировано уравнение Островского:

(ut + иих + иххх)х = и. (32)

Для этих уравнений результат о разрушении удается получить для трех типов начально-краевых задач: в слое (х,у) € (0,L) х R^-1, в полупространстве х > 0, у е Rw_1 и во всем пространстве (х, у) е R х при i > 0 и при N ^ 2. Во всех этих случаях, используя метод нелинейной емкости, получены достаточные условия разрушения решений за конечное время.

Третья часть четвертой главы посвящена анализу уравнений типа Кортвега-де Фриза с диссипацией: например, магнитозвуковые и альфвеновские волны описывает модифицированное уравнение КдФ:

ut - и2их + 0иххх = иихх, х е (0, L), (33)

и|«=0 = и0{х), и|1=0 = их\х=0 = и\х=ь = о, I/> О, /3 > 0, (34)

Методом нелинейной емкости удается получить следующий результат:

Теорема о разрушении. Пусть начальная функция и0(х) € ^([О, ¿]) задачи удовлетворяет неравенству

^^ и {х, г) ехр у-щХ) Лх> -уз приг = о,

тогда не существует глобального во времени классического решения, причем имеет место следующее неравенство

/с 1 — со ехр(2аА^) г—т - 2ак \Ы0 + а)' °° Ы0 + а

В этой же части работы решается вопрос существования решений в неограниченных областях: на полупрямой и прямой.

В четвертой части получено разрушение и оценки на время разрушения для уравнения Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса:

— (ихх -и)+ ихх + иих = 0, (35)

уравнение Розенау-Бюргерса:

д ,

■Щ [ихххх -и) + ихх + иих = О, (36)

и уравнение Кортевега де-Фриза-Бенджамена-Бона-Махони:

дг

(ихх - и) + иххх + иих = 0, (37)

и доказана локальная разрешимость при естественных граничных условиях, методом сжимающих отображений. Результаты о разрешимости и разрушении, например, для задачи Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса:

9 ,

■щ («1х - и) + ихх + иих = 0, 16(0,1), £ > 0, (38)

и(0,г) = их(0,г) =0, ы(г,0) = и0(2:), ж е [о,Ц, г ^ о, (39)

могут быть сформулированны в следующем виде:

Теорема о разрешимости Для любого и0 е с£2)([0,Ц) найдется такое Та > 0, что либо Т0 = +оо, либо Т0 < +оо и существует единственное решение задачи Б Б МБ класса

Ф0ИеС«([0,Го);С<2)([0,£])), 19

причем в случае То < +оо имеет место предельное равенство

limsup sup [u(i)(i)| =+00. tm хф,ц

Теорема о разрушении Пусть для некоторого положительного числа А ^ 3 начальная функция удовлетворяет условию при t = 0 : ь

J(t) = J(L-х)а-3[А(А - 1) - (L - xf]{{L - х)и{х, i) - (А - 1)) dx > j

или, что тоже самое

J(L- х)л"2[А(А — 1) — (L — x)2]u0 dx > о

> (А - 1)1/Л_1

Л(Л"1)2 21СЛ l)L2 I XLi

2А(А l)L +ЩТ2)

1/2

А(А-1)2гЛ_2 А-1

Ь\

А - 2 А

тогда не существует глобального во времени классического решения задачи ББМБ, причем имеет место оценка снизу

. > т (Ы(0) + т) + {Ы(0) - та) ехр(2та&) и " к {Ы{0) + т) - {к,7(0) - та) ехр(2тЫ)'

и, значит,

lim J(i) = +00, Т<Ть<-^-ы(и{0)-т

к2 =

¿2-Л

А — 2

Для всех проанализированных задач в этой части работы получены оценки на время разрушения, оценки скорости разрушения, также рассмотрены вопросы о разрушении и в неограниченных областях.

В Заключении диссертационной работы сформулированы основные результаты.

Библиография.

Основные результаты, полученные автором и опубликованные в реферируемых журналах, представлены следующими работами:

1. Юшков Е. В., Алъшин A.B., Корпусов М.О. Бегущая волна как решение нелинейного уравнения в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией. - ЖВиМФ, 2008, т.48, № 5, с. 764-768.

2. Юшков Е.В. Исследование разрушения решения одной системы уравнений гидродинамического типа. - Матем. заметки, 2011, 90:4, с. 613-629.

3. Юшков Е.В. Исследование существования и разрушения решения одного уравнения псевдопараболического типа. - Дифференциальные уравнения, 2011, т. 47, № 2, с. 291295.

4. Юшков Е.В., Юшков В. П. Рассеяние акустический волн на турбулентных флук-туациях давления и энтропии. - Вестн. Моск. Унив., Сер. 3, Физ. Астр., №6, 2011, с. 114-120.

5. Юшков Е.В. О разрушении решений уравнений гидродинамического типа при специальных граничных условиях. - Дифференциальные уравнения, 2012, Т.48, № 9, С. 12-34.

6. Юшков Е.В. О разрушении решения задач гидродинамического типа с сингулярным источником. - ЖВМиМФ, Т.52, № 8, с. 1-13, 2012.

7. Юшков Е.В. О разрушении решения уравнения родственного уравнению Кортвега-де Фриза. - ТМФ, 2012, 172:1, с.64-72.

8. Юшков Е.В. О разрушении решения в системах типа Кортвега-де Фриза. - ТМФ, 2012, 173:2, с.197-206.

9. Юшков Е.В. О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического типа. - Изв. РАН. Сер. матем., 2012, 76:1, с. 201-224.

Подписало к печати №.0{АЪ Тираж 400 Заузз

Отпсчат>ко в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Юшков, Егор Владиславович

1 Модели гидродинамического типа

1.1 Векторные модели гидродинамического типа.

1.2 Скалярные модели гидродинамического типа.

2 Разрушение в векторных задачах гидродинамического типа

2.1 Разрушение в системах уравнений со степенными источниками.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Существование слабого обобщенного решения задачи

2.1.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость.

2.2 Разрушение в нелокальных системах уравнений.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Существование слабого обобщенного решения задачи

2.2.3 Единственность слабого обобщенного решения задачи и вопрос гладкости

2.2.4 Разрушение слабого обобщенного решения.

2.3 Разрушение в системах уравнений с сингулярными источниками.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Существование и разрушение решения задачи типа Осколкова в ограниченной области.

2.3.3 Разрушение решения задачи Эйлера в ограниченной области.

2.3.4 Задача Эйлера в неограниченной области.

2.4 Разрушение в системах уравнений с нелинейной вязкостью.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Единственность и локальная разрешимость.

2.4.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость.

3 Метод нелинейной емкости для систем гидродинамического типа

3.1 Разрушение в системах уравнений мелкой воды.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Разрушение в системах мелкой воды.

3.1.3 Разрушение в системах с вязкостью.

3.1.4 Разрушение в баротропных моделях газовой динамики.

3.2 Разрушение в системах типа Навье-Стокса.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Разрушение в модельной задаче в параллелепипеде.

3.2.3 Разрушение в задаче Навье-Стокса в цилиндре.

4 Разрушение в скалярных задачах гидродинамического типа

4.1 Разрушении в системах типа Кортвега-де Фриза.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Обобщенная система КдФ.

4.1.3 Симметричная система КдФ-КдФ.

4.1.4 Уравнение КдФ пятого порядка.

4.1.5 Несимметричная система КдФ-КдФ.

4.2 Разрушение в средах с диссипацией.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Разрушение решения уравнения Бюргерса.

4.2.3 Разрушение решения уравнения КдФ-Бюргерса.

4.2.4 Разрушение в модифицированном КдФ-Бюргерсе.

4.2.5 Разрушение в неограниченных областях.

4.3 Разрушение в уравнениях типа Кадомдева-Петвиашвили и Захарова-Кузнецова

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили.

4.3.3 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили-ББМ.

4.3.4 Уравнение Линя-Рейснера-Цзяня.

4.3.5 Уравнение Захарова-Кузнецова.

4.3.6 Уравнение Островского.

4.4 Локальная разрешимость и разрушение в уравнениях Бенжамена-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза Бенжамена-Бона-Махони

4.4.1 Постановка задачи.

4.4.2 Разрушение решения уравнения ББМБ.

4.4.3 Разрушение в уравнении Розенау-Бюргерса.

4.4.4 Разрушение решения уравнения Кортевега де Фриза-Бенджамена-Бона-Махони.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа"

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического типа для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (u, V)u или (иих). Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (blow-up), характеризует временное ограничение корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики - ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций.

Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Бюргерса, Бенжамена-Бона-Махони, Розенау-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Линя-Рейснера-Цзяня, Островского, доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях. С помощью метода нелинейной емкости, развитого в работах С.И. Похожаева и X. Митидиери, исследуется влияние граничных условий на возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.

Значительного прорыва в изучении разрешимости удалось достичь во второй половине XX века с применением обобщенной постановки начально-краевых задач и использованием равенства соответствующих функционалов. Многие вопросы теории обобщенных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж. Лере, O.A. Ладыженской, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева и Р. Темама. Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, O.A. Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики неньютоновских жидкостей. Но несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики в этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось.

После перехода к обобщенной постановке задач появились первые методы функционального анализа, позволяющие исследовать необычное явление, в определенном смысле противоположное глобальной во времени разрешимости - явление разрушения решения. Под разрушением решения понимается его неограниченный рост в некоторой норме на конечном промежутке времени, то есть отсутствие глобальной разрешимости при наличии локальной. В настоящее время теория разрушения, зародившаяся как вопрос об ударной волне, привлекает все большее внимание. В наше стране к классикам теории разрушения можно отнести A.A. Самарского, O.A. Ладыженскую, А.Г. Свешникова, С.А. Габова, С.И. Похожае-ва, М.О. Корпусова, А.П. Осколкова, А.И. Кожанова, В.К. Калантаров и С.П. Курдюмов. За рубежом широко известны H.A. Levine, Е. Mitidieri, S.A. Messaudi, V.A. Galaktionov, D. Chae, E. Tadmor, R.B. Pelz, J. Deng, J. Evans P. Souplet, H. Fujita, G. Todorova, Zhang Jian, L. Pain, D.H. Sattinger, J. J. Rasmusen, A. Constantin. К сожалению, не существует справочников, классифицирующих основные результаты этих исследований, но некотрые обзоры можно найти в монографиях А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, В.А. Галактионова и С.И. Похожаева.

Из-за сложность аналитического изучения нелинейных уравнений и их многообразия к сегодняшнему дню не разработано единого подхода к исследованию проблематики разрушения. Однако, можно выделить три наиболее развиваемых метода: энергетический метод Х.А. Левина, метод нелинейной емкости С.И. Похожаева и Э.Л. Митидиери и метод автомодельных режимов, основанный на различных признаках сравнения и развитый в работах A.A. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова и А.П. Михайлова. Помимо этих методов существует большое количество сильно различающихся подходов к частным задачам, которые трудно обобщить или классифицировать.

Целью диссертационной работы является

4. Исследование возможности глобальной разрешимости при наличии степенных и сингулярных источников. Изучение гладкости получаемых сингулярных и регулярных решений. Научное значение, новизна и практическая значимость работы.

3. Рассмотрен класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза на ограниченных и неограниченных областях, включающий в себя широко используемые в настоящее время уравнения Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса, КдФ-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Липя-Рейснера-Цзяня. Для этого класса впервые найдены достаточные условия разрушения решений задач с естественными граничными условиями.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махопи-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза-Бюргерса доказана локальная разрешимость начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Получена зависимость времени обострения от начальных условий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и списка литературы, включающего 128 наименование, и изложена на 190 страницах. Ниже представлено краткое содержание диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

5 Заключение

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Впервые изучено явление разрушения в векторных нелинейных задачах, описывающих движение в идеальной, вязкой и вязкоупругой несжимаемой жидкости в ограниченных областях. Показано, что с помощью метода Галерки-на в обобщенной постановке удается доказать единственность и разрешимость для задач гидродинамического типа, включающих помимо общей нелинейности (У,и)и, степенные сингулярные и регулярные источники, нелинейности под знаком производной по времени и интегральные слагаемые. При наличии локальной разрешимости удается с помощью энергетического метода X. Левина получить достаточные условия разрушения, провести оценку скорости роста нормы решения, оценить время разрушения сверху и снизу.

2. Получены результаты о разрушении решения начально-краевых модельных задач гидродинамики, в частности для уравнения Навье-Стокса. Результаты получены в ограниченных областях методом нелинейной емкости С.И. Похожа-ева, не применяемого ранее для задач такого типа. Несмотря на то, что требование к граничным условиям имеет специальный вид, полученный результат о разрушении является очередным кирпичиком в разрешении вопроса глобальной неразрешимости задач гидродинамики. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях.

3. Как продолжении серии работ С.И. Похожаева о разрушении решения уравнения Кортвега-де Фриза, получены результаты для модельных систем Кортвега-де Фриза, скалярных одномерных уравнений КдФ-Бюргерса, модифицированного уравнения КдФ, многомерных аналогов - уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня. Исследованы достаточные условия на начальные данные, при которых не имеет место глобального во времени решения. Кроме того, с помощью метода нелинейной емкости С.И. Похожаева изучено влияние граничных условий на явление разрушения, его скорость и время.

4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега де Фриза-Бюргерса методом сжимающих отображений доказана локальная разрешимость и единственность начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Для этих же граничных условий методом С.И. Похожаева исследован вопрос о разрушении. Получена зависимость времени обострения от начальной условий.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Юшков, Егор Владиславович, Москва

1. Звягин В.Г., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта. Гидродинамика, СМФН, 31, РУДН, М., 2009, 3-144.

2. Калантаров В. К., Ладыженская О. А. Формирование коллапсов в квазилинейных уравнениях параболического и гиперболического типов. Записки ЛОМИ. 1977, 69, 77-102.

3. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.— 1-е изд. М., 1961, 203. с.

4. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.:Мир, 1981.

5. Шафаревич А.И. Асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, описывающие сглаженные тангенциальные разрывы, Матем. заметки, 67:6 (2000), 938-949.

6. Al'shin А. В., Korpusov M. О., Sveshnikov A. G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations. De Gruyter, Series: De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications 15. 2011, 448 pp.

7. Pokhozhaev S.I. On the nonexistence of global solutions for some initial-boundary value problems for the Kortwe-de Vries equation, Differ. Equ., 47:4(2011), 488-493.

8. Корпусов M.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях, М.: Книжный дом «Либроком», 2011, 378 с.

9. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.//Издательство Наука,1987, С.480.

10. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М., 1963, С.257.

11. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.— М., 1975, С.592.

12. Ладыженская O.A. О модификаций уравнений Навье-Стокса для больших грандиентов скоростей Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1968, Т.7, 126-154 с.

13. Leray J. Etude de diverses equations integrales ninlineaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique// J. Math. Pures Appl., 1933, V. 12, P. 1-82.

14. Leray J, Shauder J. Topologie et equations fonctionnelles. Ann. Sei. Ecole Norm, Super. Ser., 3, 1934, V. 51, P. 45-78.

15. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., 1950, 255 с.

16. Голъдман М.Л. О вложении обобщенных гельдеровых классов, Матем. заметки, 12:3 (1972), 325-336.

17. Hopf E. Uber die Aufangswerfaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen. Math. Nachr., 1951, Bd. 4, S. 213-231.

18. Maxwell J.C. On the dymanical theory of gases. Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1867, V. 157, P. 49-88.

19. Maxwell J.C. On the dymanical theory of gases. Philos. Mag. London, 1868, V. 35, P. 129-145.

20. Kelvin W. On the theory viscoelastic fluids. Math. a. Phys. Pap., 1875, V. 3, P. 27-84.

21. Voight W. Uber die innere Reibung faste Korper, inslesndere der Metalle. Ann. Phys. u. Chem., 1892, Bd. 47, N.9, S. 671-693.

22. Олдройт Дж. Г. Неньютоновские течения жидкостей и твердых тел: Реология: Теория и приложения. М., 1962, с. 757-793.

23. JI.B. Овсянников, Н.И. Макаренко, В.Н. Налимов Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.

24. Бонч-Бруевич B.JI., Калашников С.Г. Физика полупроводников,— М.:Наука, 1990. —С. 672.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.— М.:Наука, 1992. —С. 664.

26. Фурман A.C. О стратификации объемного заряда при переходных процессах в полупроводниках,- ФТТ, 1986. -Т. 28, С. 2083-2090.

27. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред.— М.: Наука. Физматлит, 2000. —С. 256.

28. Рейнер М. Десять лекции по теоретической реологии.— М.: Гостехиздат, 1947. —С. 134.

29. Олдройт Дж.Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел.— Реология: теор. и прил., 1962. -С. 757-793.

30. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров.— М.: Химия, 1977. —С. 438.

31. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаем,ой жидкости. М.:Наука, 1970, 288 с переиздание].

32. Свешников А.Г., Алъшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа, 2007, Москва, Физматлит.

33. Похожаев С.И. Об отсутствии глобальных решений уравнения Кортвега-де Фриза, Уравнения в части, произ., СМФН, 39, РУДН, М., 2011, 141-150.

34. Корпусов M.O. Разрушение в неклассических волновых уравнениях, М.: Книжный дом «Либроком», 2010, 240 с.

35. Корпусов М.О., Свешников А.Г. О разрушении решений одного класса квазилинейных диссипативных волновых уравнений типа Соболева с источником, 2005, ДАН, Т.404, С.1-3.

36. Корпусов М.О., Свешников А.Г. О разрушении решений нелинейных волновых уравнений Соболева с кубическим источником, 2005, Мат.зам., Т.78, С.559-578.

37. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения, 2000, Новосибирск: Наука, С.336.

38. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.//Издательство МИР,1978

39. Осколков А П. О единственности и глобальной разрешимости первой краевой задачи для системы уравнений, описывающих движение водных растворов полимеров. -Тр.Ленигр.Кораблестр.ин-та, 1972, вып.80, с.44-48.

40. Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описаии слабых водных растворов полимеров. ДАН СССР, 1971, 200, Ш.

41. Юшков Е.В. Исследование существования и разрушения одного уравнения псевдопараболического типа / Е. В. Юшков // Дифференциальные уравнения. 2011. - Т. 47, N 2. - С. 291-295.

42. Корпусов М.О., Свешников А.Г. О разрушении решения системы уравнений Осколкова. —Матем.сб., 200:4(2009), 83-108.

43. Галахов Е.И. О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных, Диссертация на соискание ст. д. ф.-м. н., МИАН им. В.А. Стеклова.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика.— Издание 6-е.—М.:2006.—736 с. — ("Теоретическая физика том 4).

45. Свешников А.Г., Алъшин А.Б., Корпусов М.О. Нелинейный функиональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. М.:Научный Мир, 2008. — 400 с.

46. Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 59 (1976),133-177.

47. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1970. 280 с.

48. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:Наука, 1967. 472 с.

49. J.T. Beale, Т. Kato, A. Majada, "Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equation Comm. Math. Phys., 94, (1984), 61-66.

50. S. Friedlander, N. Pavlovic, "Blou-up in a three-dimensional vector model for the Euler equations Comm. on Pure and App. Math., 57:6, 2004, 705-725.

51. E.B. Юшков, О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического типа, Изв. РАН. Сер. матем., 76:1 (2012),201-224.

52. Е.В. Юшков, О разрушении решения задач гидродинамического типа с сингулярным источником, ЖВМиМФ, 2012, 52, № 8, 1-13.

53. О.А. Ладыженская, О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач, Краевые задачи математической физики. 5, Тр. МИАН СССР, 102, 1967, 85-104.

54. М.О. Корпусов, А.Г. Свешников, Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линеных пространств. М.: КРАСАНД, 2011. - 416 с.

55. F.E. Browder, "Existance and uniqueness theorems for solutions of nonlinear bondary value problems Proc. Sym. Appl. of Amer. Math. Soc., 1965, 17, 24-49.

56. A. Constantin, J. Escher Wave breaking for nonlinear nonlocal shallow water equations, Acta Math., 181, 1998, 229-243.

57. Y. Zhou Wave breaking for a shallow water equation, Nonlinear Analysis, 57, 2004, 137-152.

58. S. Lai, Y. Wu Global solutions and blow-up phenomena to a shallow water equation, Differ. Equ., 249, 2010, 693-706.

59. M. О. Корпусов, Разрушение решений нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений теории волн ТМФ (в печати), 2013.

60. Б. Л. Рождественсвкий, Н.Н. Яненко Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М.: Наука, 1968.

61. О. В. Булатов, Т.Г. Елизарова Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного модерирования течений в неглубоких водоемах, ЖВМиМФ, 51:1, 2011, 170-184.

62. S.I. Pokhozhaev On the nonexistence of global solutions for some initial-boundary value problems for the Korteweg-de Vries equation, Differ. Equ., 47:4, 2011, 488-493.

63. A.H. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

64. J.L Bona, V.A. Dougalis, D.E. Mitsotakis Numerical solution of Boussinesq systems of KdV-KdV type: II. Evolution of radiating solitaru waves, J. Nonlinearity 21 (2008) 1-24.

65. J.L Bona, Chen M., Saut J.-С. Boussinesq equations and other systems for small-amplitude Ion waves in nonlinear dispersive media: I. Derivation and linear theory J. Nonlinear Sci. 12 283-328, 2002.

66. J.P. Boyd Weakly non-local solitons for capillary-gravity waves: fifth-degree Kortweg-de Vries equation Physica D 48 129-46, 1991.

67. R. Grimshaw, N. Joshi Weakly nonlocal solitary waves in a singularly perturbed Korteweg-de Vries equation, SIAM, J.Appl.Math. 55 124-35, 1995.

68. Юшков E.B. О разрушении решений уравнений гидродинамического типа при специальных граничных условиях. Дифференцальные уравнения. 2012. - Т.48, №9. - С. 1234-1239.

69. P.D. Miller, P.L. Christiansen A coupled Kortweg-de Vries System and Mass Exchanges Among Solitons, Physica Scripta, Vol. 61, 518-525, 2000.

70. Рыскин H. M., Трубецков Д. И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000.-с.272.

71. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 623 с.

72. Коул Дж. О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике, сб. Механика, № 2 (18), 1953, 70-82.

73. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

74. Габов С. Введение в теорию нелинейных волн. Изд.МГУ, 1988. — 175 с.

75. Похожаев С. И. Об одном классе сингулярных решений уравнения Кортвега-де Фриза, Докл. РАН, 435:4 (2010), 460-462.

76. Градшгпейн И. С., Рыжик И.M. Таблицы интешралов, сумм, рядов и произведений. 1992, Гос.Издат.Физ.-мат. Литературы.

77. Эльсголъц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

78. Алъшин А. В., Корпусов М. О., Юшков Е. В. Бегущая волна как решение нелинейного уравнения в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией. — Ж.вычисл.матем.и матем.физики.(2008),808-812.

79. S.I. Pokhozhaev Riemann quasi-invariants, Sb. Math., 202:6 (2011), 887-907.

80. S.I. Pokhozhaev Weighted Identities for the Solutions of Generalized Korteweg-de Vries Equations, Math. Notes, 89:3 (2011), 382-396.

81. J. P. Albert, On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation, J. Math. Anal. Appl, 141, No. 2, 527-537 (1989).

82. J. D. Avrin and J. A. Goldstein, "Global existence for the Benjamin-Bona-Mahony equation in arbitrary dimensions," Nonlinear Anal, 9, No. 8, 861-865 (1985).

83. E. Bisognin, V. Bisognin C. R. Charao, A. F. Pazoto. Asymptotic expansion for a dissipative Benjamin-Bona-Mahony equation with periodic coefficients. Port. Math. (N.S.) 60 (2003), no. 4, 473-504.

84. Т. B. Benjamin, J. L. Bona, and J. J. Mahony, "Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems," Philos. Trans. Royal Soc. London, Ser. A, 272, 47-78 (1972).

85. P. Biler, "Long-time behavior of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation in two space dimensions," Differ. Integral Equations, 5, No. 4, 891-901 (1992).

86. Yu. Chen, "Remark on the global existence for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equations in arbitrary dimension," Appl. Anal, 30, Nos. 1-3, 1-15 (1988).

87. N. Hayashi, E. I. Kaikina, P. I. Naumkin, and I. A. Shishmarev, Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations, Springer-Verlag, New York (2006).

88. T. Hagen and J. Turi, "On a class of nonlinear BBM-like equations," Comput. Appl. Math., 17, No. 2, 161-172 (1998).

89. M. Mei, L. Liu. A better asymptotic profile of Rosenau-Burgers equation. Appl. Math. Comput. 131 (2002), no. 1, 147-170.

90. M. A. Park, "On the Rosenau equation in multidimensional space," J. Nonlin. Anal., 21, No. 1, 77-85 (1993).

91. Rosenau Ph., Extending hydrodynamics via the regularization of the Chapman-Enskog expansion. Phys. Rev. A 40(12):7193-7196 (1989).

92. Korpusov M.O. On the blow-up of solutions of the Benjamin-Bona-Mahony-Burgers and Rosenau-Burgers equations//Nonlinear Analysis 75 (2012) 1737-1743.

93. Корпусов M. О. О разрушении решений трехмерного уравнения Розенау-Бюргерса, ТМФ, 170:3 (2012), 342-349.

94. Юшков Е.В. О разрушении решения уравнения, родственного уравнению Кортевега-де Фриза, ТМФ, 172:1 (2012), 64-72.

95. Галактионов В. А., Похожаев С. И. Уравнения нелинейной дисперсии третьего порядка: ударные волны, волны разрежения и разрушения. Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 2008, 48(10), 1819-1846.

96. Pohozaev S. I. Critical nonlinearities in partial differential equations. Milan J. Math. 2009, 77:1, 127-150.

97. Pucci P. and Serrin J. Some new results on global nonexistence for abstract evolution equation with positive initial energy. Topological Methods in Nonlinear Analys, Journal of J. Schauder Center for Nonlinear Studies. 1997, 10, 241-247.

98. Pucci P. and Serrin J. Global nonexistence for abstract evolution equations with positive initial energy. J. Diff. Equations. 1998, 150, 203-214.

99. Straughan, B. Further global nonexistence theorems for abstract nonlinear wave equations. Proc. Amer. Math. Soc. 1975, 2, 381-390.

100. В. B. Kadomtsev, V. I. Petviashvili Dokl. Akad Nauk SSSR 192 753 (1970).

101. Yue Liu, "Blow up and instability of solutary-wave solutions to a generalized Kadomtsev-Petviashvili eqution"Tr. of the American Math. Soc., V.353, N.l, P.191 208.

102. Yue Liu, Xiao-Ping Wang Nonlinear Stability of Solitary Waves of a Generalized Kadomtsev-Petviashvili Equation, Commun. Math. Phys. 183, 253-266 (1997).

103. Saut, J. Remarks on the generalized Kadomtsev-Petviashvili equations, Indiana Math. J. 42(3) (1993), 1011-1026.

104. Saut, J. Recent results on the generalized Kadomtsev-Petviashvili equations, Acta Appl. Math. 39 (1995), 477-487.

105. M. Saut, J., C. Klein Numerical study of blow up and stability of solutions of generalized Radotsev-Petvishvili equations, arXiv:1010.5510vl math.AP. 26 Oct 2010.

106. M. Hadac Well-Posedness for the Kadomtsev-Petviashvili equation and generalisations, arXiv:math/0611197vl math.AP. 7 Nov 2006.

107. V.E Zakharov, and E.A. Kuznetsov, On three-dimensional solitons, Sov. Phys. JETP 39 (1974), 285-286.

108. Фаминский А. В. Задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова // Дифф. уравнения. 1995. Т. 31, N 6. С. 1070-1081.

109. Фаминский А. В. О нелокальной корректности смешанной задачи для уравнения Захарова-Кузнецова // Совр. математика и ее приложения. 2006. Т. 38. С. 135-148.

110. R. Н. Zeytunyan Nonlinear long waves on water surface and solitons, UFN, V 165, N 12, pp. 1403-1456.

111. M. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухорукое Теория Волн. М. Наука: 1990, 432 с.1.n С. С., Reissner Е., Tsien Н. S., "On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid J. Math, and Phys., 27:3 (1948), 220-231.

112. A. Ostrovsky, Nonlinear internal waves in a rotating ocean, Okeanologia, 18, (1978), 181191.

113. Mm Chen, From Boussinesq systems to KP-type equations, CANADIAN APPLIED MATHEMATICS QUARTERLY Volume 15, Number 4, Winter 2007.

114. Evans L.S. Partial differential equations, Providence: American Mathematical Society.

115. Дж.Л. Келли Общая топология. //Издательство Наука, 1968

116. Levme Н.А., Park S.R., Serrin J. Global existance and nonexistence theorems for qusilinear evolution of formally parabolic type, 1998, J.Differential equations, — V. 142. — P. 212-229.

117. Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T; B).//Ann. Mat. Рига Appl—1987.-146 —С 6596

118. Хилле Э. Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962, С.832.