Взаимодействие частиц в суспензии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОРДОЖ'КШ"! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШШГ.РСИТКТ ПМКНИ 11.11. ОГАРКИ,\

РГБ ОД

1 О МАР 20»

На правах рукописи

УДК 532.582.81.032

Мартынов Сергей Иванович.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ В СУСПЕНЗИИ.

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора фичнко-математнческих наук

САРАНСК - 2000

Раоога ныноднена ма каф<'Л|>|' механики п маюма I нческого моде дмронапня Мортоцского государеi ценного унинерсц тога имени Н.П .Ol арена.

Официальные оппоненты: доктор фпчнко-маи'.матчееких наук.

профессор Костпсрин A.B..

Ведущая организация: ннстнпл механики и машиностроения

КНЦ РАН.

защите диссертаций на соискание ученой степени доктора фп шко-маи'магнчеекпх наук но механике при Казанском государственном уншюрентеге по адресу: 420008. Ivajain>-8. ул.Крем,юнекая. 18.

С диссертацией можно очнакоми п.ея и научной библиотеке Казанскою 1ос\дарп ценного унннеренкча.

доктор фишко-м а i (-магических наук. Профессор Py.ruJ.ic A.A..

доктор технических наук, профессор Шчрпфутдинча В.Ф.

■■Ob"

2000 г.

Ученый секреlapli диссерганнонного C'oiieia кан.тпда! фи 1.-мак наук

А.А.С'ачснко!,

г(об-(-г с. 446,0

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию взаимодействия частиц н суспензии и влиянию этого взаимодействии на реологические свойства среды как целого. Актуальность проблемы связана как с использованием таких дисперсных сред в различных технологиях, например нефтяной и химической, гак н с широким распространенном таких сред в природных явлениях. В последние годы шпепсшшо развиваются .методы численного моделирования взаимодействия частиц в суспензии, однако получение аналитических результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей, так как чго позволяет исследовать фундаментальные процессы, имеющие место п суспензии, и служит основой для дальнейшего развития самих численных методов.

Как известно, в суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить электрические силы, обусловленные наличием зарядов на частицах. Взаимодействию частиц в суспензии посредством различного рода сил посвящены многочисленные работы. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании столкновений и миграции частиц в жидкости. В результате действия сил притяжения между частицами возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов, с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрега-тивного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства суспензии, что важно для практических приложений. Причем процесс агрегирования частиц в суспензии носит динамический характер И может идти как в сторону образования п укрупнения агрегатов, так и п сторону их разрушения. Механизм разрушения зависит от различных факторов. Так как обычно суспензии используют п динамических процессах, то представляет интерес изучения влияния течения на возможность как образования так и разрушения агрегатов. Механизм образования агрегатов при градиентном течении жидкости известен давно. При этом использовались модели, не учитывающие гидродинамическое взаимодействие частиц, что было связано с отсутствием эффективных методов реше-

пия подобных задач. Влияние же точения на распад агропиов практически не изучено. Поэтому изучение гидродинамического вчапмо1-действия частиц и вязких сил, разрушающих агрегаты в суспензии, представляет -значительный практический' интерес.

Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в суспензии. Распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц, если только они не находятся очень далеко. Соответственно, имеется влияние на распределение напряжений в жидкости у поверхности какой-либо частицы и, следовательно, на ее поступательное и вращательное движения. В случае частиц, на которые не действуют силы и моменты, гидродинамическое взаимодействие имеет место, если суспензия движется как целое. Гидродинамическое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в суспензии, и сказывается на ее реологических свойствах. Как известно, учет гидродинамического взаимодействие двух частиц дает вклад порядка второй степени по объемной концентрации в выражение для эффективной вязкости суспензии. Однако применимость полученных теоретических результатов ограничивается суспензиями с малой объемной концентрацией частиц, что недостаточно для практики. Увеличение точности теоретических выражений по объемной концентрации частиц связано с учетом гидродинамического взаимодействия трех, четырех и большего числа частиц. Основная трудность при этом заключается в отсутствии эффективных аналитических методов решения подобных задач.

Учет гидродинамического взаимодействия частиц позволяет более точно вычислять силы и моменты, действующие на них со стороны жидкости, и, следовательно, более точно описывать движение совокупности частиц в различных течениях, что имеет важное значения в процессах осаждения, барбогажа. Цель работы. Цель диссертационной работы заключается в:

1. построении аналитического метода исследования гидродинамического взаимодействия частиц в вязкой несжимаемой жидкости при различных течениях;

2. вычислении сил и моментов, действующих со стороны жидкости на гидродинамически взаимодействующие частицы, и исследовании

Л

влияния шкот взаимодействия па коллективные свойства суснеп-зи и:

3. и исследовании механизма разрушения агрегатов к вязкой жидкости и построении модели суспензии, вязкость которой зависит от образования н разрушения агрегатов:

4. решении различных конкретных задач на основе полученных теоретических выражений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации

-построен аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии п твердых и деформируемых жидких частиц в потоках, скорость которых представляется в виде полинома целой степени но координатам; на примере известной задачи о гидродинамическом взаимодействии двух сфер в однородном и линейном течениях показана эффективность метода; получены выражения для сил и моментов, действующих на две сферы в линейном течении; -методом, предложенным в диссертации, решена задача о гидродинамическом взаимодействии двух деформируемых жидких частиц в линейном течении; найдены выражения для сил, действующих на частицы, их относительные скорости и форма поверхности; проведено сравнение с известными результатами;

- методом, предложенным в диссертации, решена задача о гидродинамическом взаимодействии двух твердых сферических частиц в параболическом течении; найдены выражения для сил и моментов, действующих на частицы, их относительные скорости; показано, что поведение двух взаимодействующих сфер в потоке, скорость которого задается полиномом нечетной степени по координатам, качественно отличается от поведения таких же сфер в потоке, скорость которого есть полином четной степени: показано, что гидродинамическое взаимодействие частиц объясняет результаты эксперимента по распределению частии нейтральной плавучести в течении Пуа-зейля;

- методом, предложенным в диссертации, решена задача о гидродинамическом взаимодействии трех твердых сферических частиц в линейном течении: найдены выражения для сил и моментов, действующих на частицы, их относительные скорости; показано, что

выражения для сил и моментов, действующих на три сферы со стороны жидкости, нельзя представить в виде суммы сил, действующих на сферы в результате парных взаимодействий; -получены модифицированные кинетические уравнения для коагуляции и предложен метод вычисления коэффициентов в слагаемых, описывающих распад агрегатов в результате действия вязких сил со стороны несущей жидкости; предложена модель суспензии с агрегатами в виде цепочек частиц, эффективная вязкость которой зависит от образования и распада агрегатов; в рамках этой модели найдена эффективная вязкость суспензии с агрегатами из двух частиц для течений сжатия, растяжения, простого сдвига; вычисленная'вязко-сти такой модели суспензии дает качественное согласие с экспериментами.

Практическая значимость. Рассматриваемые в диссертации вопросы имеют как теоретический интерес так и практический в связи с многочисленными приложениями. Аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии п частиц, предложенный в диссертации, является теоретической основой расчета различных процессов в таких сложных дисперсных системах, как суспензия и эмульсия, для течений с различным профилем скорости. Алгоритм метода прост и легко может быть использован для прямых численных расчетов на ЭВМ. Полученные результаты могут быть использованы в задачах о коагуляции частиц в суспензии, в частности, для уточнения коэффициентов в кинетических уравнениях коагуляции при различных течениях.

Рассмотренная в диссертации модель суспензии, эффективная вязкость которой зависит от образования и распада агрегатов, представляет как теоретический и так и практический интерес для изучения процессов агрегации в дисперсных средах. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах в Институте механики МГУ. семинарах отделения механики института математики университета г.Осло (Норвегия), международной конференции по жидким веществам (г.Лион, Франция), международном симпозиуме по гетерогенным системам (г.Троидхейм. Норвегия), семинарах в институте математики и механики имени Н.Г. Чеботарева (г.Казань). Всесоюзных конферен-

днях по магшпиым жидкостям (г.Пвашмю). международным конференциям по дифференциальным уравнениям и их приложениям (г.Саранск). Всероссийской школе-семинаре по сопремеиим проблемам механики п прикладной математики (г.Воронеж). Публикации. Основное содержание работы отражено в монографии и 16 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 135 страницах машинописного текста и содержит 13 рисунков. Объем работы без приложения и списка литературы 116 страниц. Список литературы насчитывает 103 наименования.

В Введении приведен краткий обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность работы, представлены основные результаты.

В первой главе диссертации предлагается метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии п сферических частиц, помещенных в жидкость, скорость которой на бесконечности представляется в виде полинома целой степени по координатам. Процедура метода существенно отличается от известных в литературе.

В разделе 1.1 дается постановка задачи о взаимодействии двух сферических частиц А и В радиусов а и Ь в линейном потоке со скоростью на бесконечности, равной

Положение точки жидкости относительно центров сфер А и В обозначается векторами Л'д и Л'/! соответственно. Для введенных пек-торов имеем соотношение:

здесь -вектор г разделяет центры двух сфер. Так как число Рей-нольдса меньше единицы, уравнения для скорости и(х) и давления

Содержание работы.

Ъ{ — Е^уТ^ ПцХ})

1 дУ{ ОС)

2 д.г.] 9.г,-

Л'д = .V,, - г,

1>{х) н жидкости записываются п приближении Стокса:

V • ¿7 = 0. ?/У2(7 = На поверхности частиц имеем условия прилипания: «,• + и,(Л) + Ец ХА) + 9г]ХЛ1 = = \]А + Г^,\Хл[=а, т + 1ЦВ) + Е^Хщ + 9цХщ =

На бесконечности условие

«; -4 0, | X |—У ОС, Р ->■ 0, ( X |-> ОО

Здесь, векторами УА, Vй, ГЛ, Гв обозначены абсолютные линейные и угловые скорости сфер А н В & векторами II (А), О (В) скорость невозмущенного потока жидкости в точках, занимаемых центрами сфер А, В соответственно. Линейные и угловые скорости сфер есть неизвестные функции вектора г и параметра а/г. Аналогичным образом можно записать уравнения и граничные условия для п частиц. В силу того, что течения при малых числах Рейнольдса описываются линейными уравнениями Стокса, их решение в задаче о гидродинамическом взаимодействии тг частиц можно представить в виде суммы решений уравнений движения жидкости для пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации п частиц. Однако, необходимо отметить, что такое представление недействительно для граничных условий на поверхности какой-либо частицы, так как эти условия являются интегральными и описывают суммарный вклад от взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. В силу линейности уравнений и граничных условий для скорости на поверхностях частиц (условия прилипания), решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц можно представить в виде суммы решений двух задач, обозначенных в диссертации как задачи а и д.

В разделе 1.2 дается постановка и решение задачи а, в которой рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух сферических частиц, движущихся с локальной линейной и угловой скоростью жидкости, скорость которой на бесконечности есть линейная

функция координат. В случае двух частиц одинакового радиуса н, граничные условия п. следовательно. решение задачи для скорости удовлетворяют сим.\нчpu чпому

преобразованиям. Причем, решение имеет симметричный вид относительно точки, лежащей на линии, соединяющей центры и разделяющей расстояние между г сферами пополам, для течений, скорость которых представляется в виде полинома четной степени по координатам. и решение антисимметрично относительно той же точки, если скорость течения на бесконечности представляется в виде полинома нечетной степени по координатам. С учетом типа преобразовании, которому должно удовлетворять решение, выражение для скорости и давления можно записать в следующем виде: для симметричного преобразования

iî(.r) = it (-7+ г)

пли антисимметричному

/7(Л = -Щ-Г+ г)

Р = #,(£■' + Lf) + FijiL* - Lfj] + Gllk(Lf]k + L?}t) +

+ L'q ) - ^F„(Lf - Lf) - -Gijk(Lfk +

9

3

4

I] Hi =

+ I»Xl) - ^FMLfaXÎ - Lfaxl) -

-^^'«(¿ijiv-Vj +LijiiАд) - -

1

18

и для антисимметричною преобразования

р = H,(L? - Lf) + F)j(lfj + Lfj) + GiMLfa - ф +

Wi = - - jF¡j(Lf + Lj) - ÍGijk(Lfk -

O O t

~ -^DiMtfki + ~

—j^TijUniLfkin ~ LfkiJ - j^P¡jkins(LfUns + Ljkins) ~ - LfjX'l) - —Fjk{LfjkÁ¿ + LfikX2B) --j^Gju{Lf]klX\ - LfjklXg) - j^DjkhÁLfjkinXA + +¿.7кЫ^Чз) — ^Tjkins(Lfjkl¡¡sX2A - Lfjk!nsXg) — —^PjUn¡¡t{LfjklmtX\ + Lfjk[nsíXg) н Здесь, Lij-k мультнполь, вычисляемый по следующему правилу

где величина X есть расстояние от центра сферы до точки в жидкости, где берется значение давления. Так как мы рассматриваем случай двух сфер, то решение должно зависеть от расстояний до центров двух сфер. Другими словами выражение для давления должно содержать мультиполи двух типов, обозначаемых буквами А и В, и определяемые частными производными от функций 1/А'л и 1 /Ад соответственно. Можно записать бесконечно много членов в выражении для давления и скорости, используя простое правило: сумма мультиполей четного порядка и разница мультиполей нечетного порядка дают симметричную функцию, и. наоборот, антисимметричная функция представляется суммой мультиполей нечетного порядка и разницей мультиполей четного порядка. Как видно из приведенных выражений для скорости и давления свойства симметричного и антисимметричного решений существенно отличаются. Так для симметричного случая давление в несущей жидкости в точке симметрии

но меняется в результате взаимодействия частиц, а для случая антисимметричного решения остается невоз.мущенной скорость течения п той же точке.

Выражения для скорости и давления содержат тензорные коэффициенты, которые можно представить в виде комбинаций тензоров, данных в условиях задачи, н содержащих неизвестные скалярные функции. Например, тензор Я, представляется в виде:

II, = 1)ЕцГ]ЕЛ+ 1]Е]кГ]Гкт{ЕВ.

Е,] = ?]Е^Е + г1Е,кгкгзиЛ +

+1)Е]1-гкг,и В + г/Еиг^б^Т + 11ЕиГ1:Пг,1^У

Неизвестные скалярные функции есть функции параметра а/г: размер частицы деленный на расстояние между сферами, и представляются в работе в виде разложения в ряд по этому параметру. Используя граничное условие для скорости на поверхностях сфер, получаем значения коэффициентов в разложениях ск&пярных функций. Для случая двух сфер одинакового радиуса достаточно воспользоваться граничным условием для одной из сфер. Граничное условие на поверхности второй сферы удовлетворяется автоматически в силу того, что выбранное решение удовлетворяет тому же преобразованию, что и граничные условия на поверхностях двух сфер. Вычисления можно проделать с любой точностью относительно параметра а/г. Полученные результаты обобщаются на случай течений со скоростью на бесконечности, представляемой в виде полиномов четной и нечетной степени по координатам.

В разделе 1.3 дается постановка и решение задачи /?, в которой рассматривается гидродинамическое взаимодействие сфер, движущихся с относительными линейными и угловыми скоростями в жидкости, покоящейся на бесконечности. Решение задачи .:? методом отражений для двух сфер известно. В диссертации представлено решение задачи для двух сфер методом, использованным для задачи а.

Используя метод, предложенный в диссертации, в разделе 1.4 решена задача о гидродинамическом взаимодействии двух сфер произвольного радиуса. Вычисления проделаны с точностью до (а/г)°.

В разделе 1.5 рассмотрено взаимодействие трех сфер одинако-

вою радиуса ч линейном гскммш. О чшм случае выражения для распределения давления н скорости и жидкости записываются в виде:

/,= //;'( ¿¡1-ЬП + Н]\14- ¿Г) + = - 1«) - + ь?) -

о О

Здесь мы имеем три типа тензорных коэффициентов и три типа мулытшолей, обозначенных буквами Л, В, С. Тензорные величины в выражениях представляются в виде линейных комбинаций соответствующих тензоров аналогично задаче о двух сферах с той только разницей, что число возможных комбинаций увеличивается. Это связано с тем, что положение трех точек определятся заданием не одного радиус-вектора, как для двух точек, а двух. В качестве этих векторов можно выбрать любые два радиус-вектора из трех, соединяющих центры этих сфер. Соответственно, для задачи о взаимодействии четырех и более сфер необходимо использовать любые три. не лежащих в одной плоскости, радиус-вектора для задания положения сфер. Число возможных комбинаций для тензорных нелнчнм в полученных уравнениях при этом возрастает. Соответственно возрастает число скалярных функций, входящих в эти комбинации, и число алгебраических уравнений, необходимых для определения значений коэффициентов в разложении скалярных функций но параметру и ¡г. С этим связана основная трудность предлагаемого метода решения задачи о гидродинамическом взаимодействии п сферических частиц.

Аналогичным методом и разделе 1.6 решена задача о взаимодействии двух одинаковых сферических частиц в течении с параболическим профилем скорости. Решение в этом случае удовлетворяет симметричному преобразованию. Свойства решений уравнений Стокса.

удовлетворяющих симметричному и антисимметричному нреоора-чопанпям. существенно отличаются. чго приводит к разному пове-Л''Ш1К1 взаимодействующих части'п потоках. скорость которых па бесконечности может был. иредмнв.тспа и имде полиномов четной пли нечетной степени по координатам. Это различие в поведении взаимодействующих частиц должно сказываться на коллективных свойствах систем со многими частицами, например, на реологических свойствах суспензии. Можно ожидать, что при одних н тех же условиях, реологические свойства суспензии, обусловленные гидродинамическим взаимодействием частиц, буду т различным при течении простого сдвига и при течении Пуазейля.

На примере взаимодействия двух деформируемых жидких частиц в линейном течении в разделе 1.7 показана применимость предлагаемого метода не только для твердых частиц. Найдено распределение скорости вне и внутри жидких частиц с учетом их гидродинамического взаимодействия и определена форма поверхности каждой частицы. Внутри жидкой частицы распределение давления и скорости имеет вид:

р = Я,£,А'3 + FijLijX* + GijtLijtX1 + Dijk,Lijkl А9 + • • •. = нЛьхХ\Х, + rL„A:'] + Fsl[l-LitX5X, +

Z \) L

+ Gslt![l-L^X7X, + A'9] +

+E,L0 X + k',j LjX:t + Luk.LjkXh) + S-,jULjkl X7 + ••■ + +AyI;.Ys + V,[TjijA':i + QjtLjkXb + rjK,LjUX7 + • • •]

Последние слагаемые в выражении для скорости жидкости внутри чагтнпы удовлетворяют уравнениям Лапласа и неразрывности (АЛ = ()).'

Решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц, полученное в первой главе диссертации, было использовано для прямого вычисления сил и моментов, действующих на гидродинамически взаимодействующие частицы со стороны жидкости, и. соответственно. для вычисления линейных и угловых скоростей сфер.

В разделе 2.1 получены выражения для сил и моментов, действующие на две сферы в линейном и параболическом течениях, а

также для двух взаимодействующих жидких частиц. Полученные выражения для сил и .моментов, действующих на сферические твердые частицы в задаче У как в случае двух одинаковых сфер, так и сфер произвольного радиуса, в точности совпадают с аналогичными выражениями полученными другими методами, что может служить одним из доказательств правильности предлагаемого в диссертации метода.

Аналогичным образом в разделе 2.2 получены выражения для сил и моментов, действующие на три взаимодействующие сферы в линейном течении. Показано, что эти выражения, и следовательно, и решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих же частиц.

Полученные выражения для сил и моментов позволяют определить линейные и угловые скорости сфер. В разделе 2.3 получены выражения для линейной и для угловой скорости каждой из взаимодействующей сферы. Найденные выражения в задаче о двух гидродинамически взаимодействующих сферах в течении простого сдвига совпадают с аналогичными выражениями, полученными другими авторами как для случая твердых так и жидких сфер. Для случая двух сфер в параболическом течении показано, что частицы стремятся занять устойчивое положение в плоскости, проходящей через ось течения, и на одинаковом расстоянии от этой оси. Такое поведение частиц качественно и количественно согласуется с экспериментальными результатами по распределению частиц в течении Пуазейля в трубе.

В третьей главе диссертации рассматривается возможность разрушения агрегатов в виде цепочки частиц в результате действия вязких сил. действующих со стороны жидкости.

В результате столкновений частиц в жидкости возможно образование агрегатов в результате действия сил притяжения между частицами. Особый интерес представляет собой изучение влияния движения жидкости на процесс коагуляции, что важно для прикладных исследований. В результате коагуляции изменяется концентрация как одиночных частиц так и агрегатов. Вместе с тем, в суспензии возможно не только образование агрегатов, но и их разрушение в ре-

зультате движения несущей жидкости. Тог факт, что частицы образовывают агрегаты, которые в спою очередь, разрушаются, приводит к сильному изменению механических свойств суспензии, таких, например, как вязкость, по сравнению со случаем отсутствия агрегирования в суспензии. Следовательно, для описания механических свойств суспензии необходимо учитывать возможное структурирование частиц. Изменение концентрации того или иного типа включений в жидкости в результате коагуляции описываются кинетическими уравнениями. Коэффициенты в этих уравнениях зависят как от сил взаимодействия частиц так и от течения жидкости. Однако в имеющейся литературе недостаточно изучено влияние течения жидкости на возможное разрушение агрегатов. В разделе 3.1 приводятся кинетические уравнения с новыми членами, учитывающими возможное разрушение агрегатов.

= Лритг} + вкщп^к + £ С,1)Ц - Дп,-,

т 1 к I

к < г, I > I.

Здесь первые два члена в правой части уравнения описывают изменение числа агрегатов л, г-го сорта, то есть состоящих из г частиц, только за счет увеличения числа частиц в агрегате в результате парных столкновений, вторые два члена описывают изменение числа агрегатов г-го сорта за счет разрушения более крупных агрегатов (член с коэффициентом С/) и за счет разрушения самих агрегатов с г частицами (член с коэффициентом Д,-).

В разделе 3.2. используя известные результаты о движении сильно вытянутых тел и эллипсоида в однородном и градиентном течениях. были получены оценки сил и моментов, действующих на отдельную частиц}' в цепочечном агрегате. Полученные выражения были использованы для описания деформации и разрушения агрегата в виде цепочки при течении простого сдвига. Оценки показывают, что возможен изгиб и кручение агрегата в результате действия сил и моментов со стороны жидкости. В общем случае получить условие для разрушения агрегата весьма трудно, поэтому был рассмотрен случай разрушения агрегата, когда его деформацией можно пренебречь. Полученные условия показывают, что разрушение зависит от величины градиента скорости течения жидкости, от ориентации агрегата в по-

'iоко и oí сил ii taiiMo.M'fici'чшя части и arpera i е.

В разделе 3.3 предложен способ иычисления скорости разрушения агрегатов и единице объема жидкости и. тем самым, значений коэффициентов С) и Д в ионыч членах кинетических уравнениях коагуляции, описывающих изменение концентрации агрегатов не за счет их соединения, а за счет их разрушения.

Четвертая ьтава диссерчапии посвящена исследованию влияние взаимодействий част пи на реологические свойства суспензии. Как известно, влияние гидродинамического взаимодействия част иц дает вклад в эффективную вязкое!ь суспензии порядка второй степени по объемной концентрации частиц. В разделе 4.1. используя известную процедуру, получены выражения для тензора среднего напряжения-и эффективной вязкости суспензии с точностью до второго порядка малости по обьемной концентрации частиц. Полученное прямым вычислением, с использованием результатов первой главы диссертации, выражение для интенсивности силового диполя совпадает по форме с аналогичным выражением, полученным методом безразмерного анализа другими авторами.

В разделе 4.2 рассмотрено влияние образования и разрушения агрегатов частиц па вязкость суспензии. Используя результаты третьей главы диссертации, на .модельном примере образования и разрушения агрегата из двух час тиц при линейных течениях растяжения, сжатия и простого сдвига, получены выражения для эффективной вязкости суспензии для все грех рассмотренных типов течений. Полученные результат дают основания утверждать, что рассматриваемый механизм образования и разрушения агрегатов может служить объяснением нелинейного поведения вязкости суспензии, наблюдаемой в различных экспериментах.

В разделе 4.3 рассматривается задача о влияние сил взаимодействия между двумя частицами на эффективную вязкость суспензии. Лля исследования применен подход, используемый в аналогичных задачах для растворов веществ, молекулы которых имеют гаиге-леобразную форму. Выражение для эффективной вязкости суспензии с взаимодействующими частицами получено с использованием .метода, в котором искомая пс.иппша определяется как коэффициент пропорциональности'между величинами диссипации энергии в

К»

жидкости с частицами и 6с$ части. Такой подход к определению эффективной вязкости суспензии подробно рассмотрен в литературе. В качестве примера в диссертации рассмотрен случай диноль-дпнолыюго взаимодействия частиц но внешнем однородном поле при течении растяжения или сжатия. Полученное выражение для эффективной вязкости суспензии содержит член, пропорциональный квадрату объемной концентрации частиц и зависящий от параметров взаимодействия частиц. Показано, что имеется аналогия со случаем двух гидродинамически взаимодействующих частиц: изменение эффективной вязкости суспензии связано с изменением относительной скорости частиц, что приводит к дополнительной, по сравнению со случаем отсутствия взаимодействия, диссипации энергии.

В Заключении перечислены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

В Приложении приведены выражения для тензорных коэффициентов в задачах а и /3 о взаимодействии двух сфер в линейном потоке; система алгебраических уравнений для определения скалярных коэффициентов в выражении для скорости: элементы мультиполь-ной математики; мультипольный вид решений уравнений Пуассона для скорости.

Основные результаты.

Построение метода аналитического решения задачи о гидродинамическом взаимодействии п частиц в вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рсйнольдса; отличительные черты метода заключаются в: а) разделении общей задачи иа задачи а и /?; б) использовании декартовой системы координат; в) использовании тензорных коэффициентов, выражаемых через тензорные величины. характеризующие параметры основного потока, относительные скорости сфер и радиус-векторы, разделяющих их центры.

Получение на основе предложенного метода выражений для сил и моментов, действующих на две и три твердые сферические частицы в линейном и параболическом потоках, а также выражений для их линейных и угловых скоростей и сделанные на их основе выводы.

Получение па основе предложенного метода выражений для сил. действующих на дне и три жидкие сферические частицы в линейном

потоке, а гакже выражений для их линейных скоростей.

Определенно формы поверхности двух деформируемых жидких части 1! линейном потоке.

Построение модели супнчшш. вязкость которой зависит от образования и разрушения агрегатов: метод вычисления коэффициентов у слагаемых, описывающих в кинетических уравнениях коагуляции разрушение агрегатов.

Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 98-01-03295).

В 1993-95 г. работа была поддержана Норвежским советом по пауке и технике ( Norwegian Research Council ), проекты CO.61.222223 и 107214/410.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

Основное содержание.диссертации отражено в следующих работах:

1. Мартынов С.И. Коагуляция частиц в магнитной жидкости в сильном .магнитном поле. // Тезисы докладов 4-ой Всесоюзной конференции но магнитным жидкостям. Плес, 1985. С.202

2. Мартынов С.И. О вязкости магнитной жидкости. // Тезисы докладов 5-ой Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям, Плес, 1988. Т.2. С.С

3. Мартынов C.II. Влияние образования и разрушения агрегатов на вязкость магнитной жидкости. // Магнит, гидр. 1989. N 1. С.47-52

4. Мартынов С.И. Деформация и разрушение агрегатов в магнитной жидкости. // Магнит, гидр. 1990. N 2. С.41-46

5. [Мартынов С.П.] Martynov S.I. Influence of interaction between particles on the viscosity of a suspension. Preprint Series, Institute of Mathematics. University of Oslo. 1989. N0.4. 7p.

6. [Мартынов C.II.] Martynov S.I. Viscosity of a suspension: some aspects of the prolAcm.Prcjiruit Scries. Institute of Mathematics. University of Oslo. 1990. No.l. 7p.

is

7. [Mapibimm C.II.] Martynov S.I. Dependence of viscosity of a suspension oil the formation and destruction of aggregate in it. // Volume, of Abstracts 1st. Liquid Matter Conference, Lion. France., 1990. V. ЦС. AÜ8.

8. [Мартынов C.II.] Martynov S.I. The hydrodynamic interaction of two spherical particles in viscous fluid. // 7th Israeli-Norwegian Symposium "Fluid Mechanics of Heterogeneous Systems", Trondheim, Norway. 1994- P.G7-69.

9. Мартынов C.II. Гидродинамическое взаимодействие двух деформируемых капель в вязкой несжимаемой жидкости. // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"', Саранск, 1996. С.91

10. Мартынов С.II. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости. // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1996. С.92

11. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости. //Мат. модел. 1997. Т.9. N10. С.16

12. Мартынов С.II. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости. // Труды 3-й Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск. 1998. С.152-153

13. Мартынов C.II. Гидродинамическое взаимодействие частиц в вязкой жидкости // Тезисы докладов школы "Современные проблемы механики н прикладной математики".- Воронеж 1998. С. 172.

14. Мартынов С.II. Взаимодействие частиц н течении с параболическим профилем скорости. // Маг. модел. 1998. Т.10. N12. С.22-23

15. Мартынов С.II. Агрегирование частиц и вязкость суспензии. //Ппж.-фпз. ж. 1998. Т.71. N4. C.691-G97

IG. Мартынов C.II. Гидродинамическое взаимодействие частиц // МЖГ. 1998. X 2. С.112-119.

17. Мартынов C.II. Взаимодействие частиц в суспензии. Казань, 1998. 130с.

Введение.

Глава 1. Гидродинамическое взаимодействие частиц.

1.1 Постановка задачи

1.2 Задача а

1.3 Задача /

1.4 Взаимодействие двух сфер произвольного радиуса

1.5 Взаимодействие трех сфер.

1.6 Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости

1.7 Взаимодействие жидких частиц

Глава 2. Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц.

2.1 Силы и моменты, действующие на две взаимодействующие сферы

2.2 Силы и моменты, действующие на три взаимодействующие сферы

2.3 Линейные и угловые скорости сфер

Глава 3. Коагуляция частиц в движущейся жидкости.

3.1 Кинетика коагуляции

3.2 Деформация и разрушение агрегатов в вязкой жидкости.

3.3 Вычисление коэффициентов в кинетических уравнениях

Глава 4. Реология суспензии.

4.1 Тензор напряжения и эффективная вязкость суспензии с учетом гидродинамического взаимодействия частиц

4.2 Влияние образования и разрушения агрегатов на вязкость суспензии

4.3 Влияние сил взаимодействия частиц на вязкость суспензии

Диссертация посвящена исследованию взаимодействия частиц в суспензии и влиянию этого взаимодействия на реологические свойства суспензии. Актуальность проблемы связана как с использованием таких дисперсных сред в различных технологиях, например нефтяной и химической, так и с широким распространением таких сред в природных явлениях. В последние годы интенсивно развиваются методы численного моделирования взаимодействия частиц в суспензии [16, 17, 23, 24, 37, 70], однако получение аналитических результатов в этой области по прежнему остается актуальной задачей, так как это позволяет исследовать фундаментальные процессы, имеющие место в суспензии, и служит основой для дальнейшего развития численных методов, что отмечалось в работе [16]. В диссертации взаимодействие частиц в суспензии исследовалось аналитическими методами.

Как известно, в суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить электрические силы, обусловленные наличием зарядов на частицах. Взаимодействию частиц в суспензии посредством различного рода сил посвящены многочисленные работы [2, 34, 41, 67, 69, 71, 76]. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании столкновений и миграции частиц в жидкости. В результате действия сил притяжения между частицами возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов, с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрегативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства суспензии [1, 39, 45, 75], что важно для практических приложений. Поэтому рассмотренное в диссертации влияние образования и распада агрегатов на эффективную вязкость суспензии представляет значительный практический интерес.

Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в суспензии. Распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц, если только они не находятся очень далеко. Соответственно, имеется влияние на распределение напряжений в жидкости у поверхности какой-либо частицы и, следовательно, на ее поступательное и вращательное движения. В случае частиц, на которые не действуют силы и моменты, гидродинамическое взаимодействие имеет место, если суспензия движется как целое. Гидродинамическое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в суспензии, и сказывается на ее реологических свойствах [7-14, 18, 31, 32, 36, 48, 56-58, 64-66]. Как известно [9], учет гидродинамического взаимодействие двух частиц дает вклад порядка второй степени по объемной концентрации в выражение для эффективной вязкости суспензии. Однако применимость полученных теоретических результатов, как отмечалось в работе [54], ограничивается суспензиями с объемной концентрацией частиц порядка 20%, что недостаточно для практики. Увеличение точности теоретических выражений по объемной концентрации частиц связано с учетом гидродинамического взаимодействия трех, четырех и большего числа частиц. Основная трудность при этом заключается в отсутствии эффективных аналитических методов решения подобных задач. В диссертации предлагается аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии двух, трех и большего числа частиц.

Если большое число частиц в жидкости расположены случайным образом и среднее расстояние между двумя ближайщими частицами велико по сравнению с их размерами, то наиболее важными гидродинамическими взаимодействиями будут взаимодействия между парами частиц, оказавшимися близко одна от другой, поскольку группы из трех и более близко расположенных частиц встречаются еще реже. Вот почему имеет особое значение рассмотрение гидродинамического взаимодействия двух частиц, одиночных в большом объеме жидкости.

В первой главе диссертации рассматривается задача о гидродинамическом взаимодействии двух сферических частиц в вязкой, несжимаемой жидкости, скорость которой на бесконечности есть линейная функция координат. Во многих работах при исследовании течений при малых числах Рейнольдса, в которых фигурируют две жесткие сферы или жесткая сфера и плоская жесткая граница (фактически вторя сфера бесконечного радиуса), предполагалось, что частицы движутся под действием приложенных сил и моментов в покоящейся на бесконечности жидкости [25, 27, 33, 39, 61, 72, 78-80]. Аналитические методы, использованные в этих исследованиях, основываются на известном методе отражений, предложенным Смолуховским [60] для описания гидродинамического взаимодействия те частиц. Однако процедура этого метода настолько сложна, что уже в задаче о гидродинамическом взаимодействии трех сферических частиц одинакового радиуса получено аналитическое решение только для частного случая расположения частиц [39, 46]. В случае, если задается линейная скорость жидкости на бесконечности [18, 47, 73, 81], решение задачи находилось численным методом. В работе [8] рассматривалась задача аналогичная рассмотренной в первой главе диссертации, однако аналитическое решение не было найдено. Авторы, на основе теорем Факсена, провели анализ и получили выражения для относительной скорости центров и угловых скоростях сфер, а также для интенсивности силового диполя, содержащие коэффициенты для которых были получены приближенные представления. В первой главе диссертации предлагается метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии те сферических частиц, помещенных в жидкость, скорость которой на бесконечности представляется в виде полинома произвольной степени по координатам. Процедура метода существенно отличается от известных в литературе. В силу того, что течения при малых числах Рейнольдса описываются линейными уравнениями Стокса, решение их в случае гидродинамического взаимодействии те частиц можно представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации те частиц. Однако, необходимо отметить, что такое представление недействительно для граничных условий на поверхности какой-либо частицы, так как эти условия являются интегральными и описывают суммарный вклад от взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. В силу линейности уравнений и граничных условий для скорости на поверхностях частиц (условия прилипания), решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц можно представить в виде суммы решений двух задач, обозначенных в диссертации как задачи а и ß.

В задаче а рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух сферических частиц, движущихся с локальной линейной и угловой скоростью жидкости, скорость которой на бесконечности есть полином произвольной степени по координатам. В случае двух частиц одинакового радиуса а, граничные условия и, следовательно, решение задачи для скорости удовлетворяют симметричному или антисимметричному преобразованию. Причем, решение имеет симметричный вид относительно точки, лежащей на линии, соединяющей центры и разделяющей расстояние г между сферами пополам, для течений, скорость которых представляется в виде полинома четной степени по координатам, и решение антисимметрично относительно той же точки, если скорость течения на бесконечности представляется в виде полинома не четной степени по координатам. С учетом типа преобразования, которому должно удовлетворять решение, выражение для скорости можно записать в виде суммы комбинаций частных производных от двух функций, обратных, соответственно, расстояниям от произвольной точки в жидкости до центра одной из двух сфер. Выражения для скорости и давления содержит тензорные коэффициенты, которые можно представить в виде комбинаций тензоров, данных в условиях задачи, и содержащих неизвестные скалярные функции. Неизвестные скалярные функции представляются в виде ряда по параметру а/г: размер частицы деленный на расстояние между сферами; однако, они могут быть вычислены и численными методами. Используя граничное условие для скорости на поверхностях сфер, получаем значения коэффициентов в разложениях скалярных функций. Для случая двух сфер одинакового радиуса достаточно воспользоваться граничным условием для одной из сфер. Граничное условие на поверхности второй сферы удовлетворяется автоматически в силу того, что выбранное решение удовлетворяет тому же преобразованию, что и граничные условия на поверхностях двух сфер. Вычисления можно проделать с любой точностью относительно параметра а/г. При этом в случае течения, скорость которого есть полином не четной степени по координатам, то есть в случае, когда решение удовлетворяет антисимметричному преобразованию, решение дает точное значение скорости в точке касания сфер. В задаче ¡3 рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух сфер, движущихся с относительными линейными и угловыми скоростями в жидкости, покоящейся на бесконечности. Решение задачи (5 методом отражений известно. В диссертации представлено решение задачи методом, использованным для задачи а. Полученные во второй главе диссертации выражения для сил и моментов, действующих на сферические частицы в задаче /5, в точности совпадают с аналогичными выражениями полученными другими методами [33, 39, 73], что может служить одним из доказательств правильности предлагаемого в диссертации метода. Используя этот метод, в первой главе решены задачи о гидродинамическом взаимодействии двух сфер произвольного радиуса и трех сфер одинакового радиуса. В случае двух сфер вычисления проделаны с точностью до (а/г)5, а для трех сфер - с точностью до {а/г)г. Причем, как и в случае двух сфер одинакового радиуса, полученные выражения для сил и моментов, действующие со стороны жидкости на две сферы произвольного радиуса в задаче /3, совпадают с аналогичными выражениями, полученными другими методами. Необходимо отметить, что свойства решений, удовлетворяющих симметричному и антисимметричному преобразованиям, существенно отличаются, что приводит к разному поведению взаимодействующих частиц в потоках, скорость которых на бесконечности может быть представлена в виде полиномов четной или нечетной степени по координатам, что проиллюстрировано на примере решения задачи о гидродинамическом взаимодействии двух частиц в течении с параболическим профилем скоростей. Так две частицы в параболическом потоке стремятся расположиться в плоскости, проходящей через ось симметрии течения и на одинаковом расстоянии от этой оси. При этом одна из них приближается к оси, а другая удаляется от нее. В этом случае центр масс двух частиц будет находиться на оси симметрии течения. В линейном поле скоростей такое поведение частиц отсутствует. Как было сказано выше, такое различие в поведении частиц обусловлено различными свойствами решений для течений со скорость, представляемой на бесконечности в виде полиномов четной и нечетной степени. Найденное в диссертации решение о движения двух сфер в параболическом профиле скоростей можно использовать для объяснения поведение сферических частиц с нейтральной плавучестью в течении Пуазейля, наблюдаемое в эксперименте [55]. Как следует из эксперимента, сферические частицы, несмотря на их первоначальное положение относительно оси трубы, стремятся расположится на одинаковом расстоянии от этой оси, причем это расстояние примерно равно 0,6 радиуса трубы. Такое поведение частиц попытались объяснить действием поперечной течению силы, действующей на частицы со стороны жидкости. Как известно, приближение Стокса не дает такой силы, действующей на одну частицу. Введение инерционных слагаемых в уравнения движения жидкости позволило получить выражение для поперечной силы, действующей на одиночную сферу [51, 53]. Однако, согласно полученным выражениям, эта поперечная сила стремится сдвинуть частицу к оси трубы, что не согласуется с результатами эксперимента. Высказывались гипотезы, что такое поведение может быть обусловлено неньютоновским поведением жидкости [53]. В [42] вычислялась сила, действующая на частицу в параболическом потоке жидкости между двумя плоскостями, обусловленная как инерционными эффектами движения так и взаимодействием частицы со стенками. Было получено, что сила равна нулю в положении, равном 0,6 расстояния частицы от оси движения. Фактически это означает, что эффект влияния стенки противоположен эффекту, связанному с инерцией движения. То есть, при течении Пуазейля сила, обусловленная инерцией движения, направлена к стенкам трубы. В диссертации результат эксперимента объясняется действием механизма гидродинамического взаимодействии сферических частиц в течении с параболическим профилем скоростей.

Различие в поведении взаимодействующих частиц в линейном и параболическом течениях должно сказываться на коллективных свойствах систем со многими частицами, например, на реологических свойствах суспензии. Можно ожидать, что при одних и тех же условиях, реологические свойства суспензии, обусловленные гидродинамическим взаимодействием частиц, будут различным при течении простого сдвига и при течении Пуазейля. Метод, предложенный для решения задачи о гидродинамическом взаимодействии твердых частиц, может быть использован для случая взаимодействия жидких частиц. В диссертации рассмотрено взаимодействие двух жидких деформируемых частиц в линейном течении. Аналогичная задача, но для сферических частиц, была рассмотрена в работах [38-40, 78, 81]. Результаты диссертации позволяют найти форму поверхности в результате взаимодействия частиц как с основным потоком, так и друг с другом.

Решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц, полученное в первой главе диссертации, было использовано для прямого вычисления сил и моментов, действующих на гидродинамически взаимодействующие частицы со стороны жидкости, и, соответственно, для вычисления линейных и угловых скоростей сфер. Выражения для относительной линейной скорости центров сфер и для угловых скоростей сфер в задаче о двух гидродинамически взаимодействующих сферах в течении простого сдвига, совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работе [8] методом безразмерного анализа и содержащие скалярные функции от параметра а/г. В работе [8] приведены численные значения этих скалярных функций, полученные путем пересчета численных результатов работы [47]. Однако, численные значения для ряда скалярных функций свидетельствуют о больших градиентах этих функций вблизи точки касания сфер, что делает вычисления менее точными в случае близко расположенных сфер. Аналитическое решение задачи для двух сфер, полученное в первой главе диссертации, позволяет определить значения этих функций в точке касания сфер исходя только из свойств решения. Показано, что при течении простого сдвига и при любых других течениях, скорость которых на бесконечности представляется в виде ряда по нечетным степеням координат, значения рассматриваемых скалярных функций в точке касания сфер должны удовлетворять определенным соотношениям. Исходя из этих условий показано, что две соприкасающиеся сферы должны вести себя как твердое тело, что совпадает с аналогичным выводом, полученным в работе [73].

Выражения для сил и моментов, действующих на две и на три сферы приведены в диссертации впервые. Полученные результаты могут быть использованы в задачах о коагуляции частиц в суспензии или их столкновении с поверхностью при течениях жидкости в каналах, что весьма важно при исследовании процесса коррозии стенок канала.

Как уже было сказано выше, в жидкости возможно образование агрегатов в результате действия сил притяжения между частицами. Особый интерес представляет собой изучение влияния движения жидкости на процесс коагуляции, что важно для прикладных исследований. В результате коагуляции изменяется концентрация как одиночных частиц так и агрегатов. Изменение концентрации того или иного типа включений в жидкости в результате коагуляции описываются кинетическими уравнениями, впервые предложенные в работе [59]. Коэффициенты в этих уравнениях зависят как от сил взаимодействия частиц так и от течения жидкости. Исследованию коагуляции частиц посвящено большое количество работ [34, 35, 56-58, 62-64, 67, 69, 71, 103], в которых были вычислены коэффициенты в кинетических уравнениях коагуляции для различных типов взаимодействий частиц. В случае так называемой быстрой коагуляции получены выражения коэффициентов для некоторых типов течений жидкости. Результаты первой и второй глав диссертации могут быть использованы для уточнения коэффициентов в кинетических уравнениях коагуляции. Однако в имеющейся литературе недостаточно изучено влияние течения жидкости на возможное разрушение агрегатов [1, 3, 39, 45, 58, 75, 76]. В третьей главе диссертации рассматривается возможность разрушения агрегатов в виде цепочки частиц в следствии действия вязких сил со стороны жидкости. Агрегаты моделируются эллипсоидами вращения. Такой подход был использован, например, в работе [36]. Задача о движении как отдельного эллипсоида в однородном и градиентном течениях, так и суспензии эллипсоидальных частиц хорошо изучено и имеется обширная литература по этой теме, (см. [102]). Используя известные результаты [36], были получены оценки сил и моментов, действующих на отдельную частицу в цепочечном агрегате. Полученные выражения были использованы для описания деформации и разрушения агрегата в виде цепочки при течении простого сдвига. Оценки показывают, что возможен изгиб и кручение агрегата в результате действия сил и моментов со стороны жидкости. В общем случае получить условие для разрушения агрегата весьма трудно, поэтому был рассмотрен случай разрушения агрегата, когда его деформацией можно пренебречь. Полученные условия показывают, что разрушение зависит как от градиента скорости течения жидкости так и от ориентации агрегата в потоке и от сил взаимодействия частиц в агрегате. В работах [85-88, 90, 91] был предложен способ вычисления скорости разрушения агрегатов в единице объема жидкости и, тем самым, значений коэффициентов в новых членах кинетических уравнений коагуляции, описывающих изменение концентрации агрегатов не за счет их соединения друг с другом в результате взаимодействия, а за счет их разрушения.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию влияние взаимодействий частиц на реологические свойства суспензии. Как известно [9], влияние гидродинамического взаимодействия частиц дает вклад в эффективную вязкость суспензии порядка второй степени по объемной концентрации частиц. Трудность состоит в том, что величины, описывающие гидродинамическое взаимодействие частиц, абсолютно неинтегрируемые. Однако в работах [7, 9] предложена процедура, позволяющая преодолеть это затруднение. В первом разделе четвертой главы, используя результаты работ [7, 9], получены выражения для тензора среднего напряжения и эффективной вязкости суспензии с точностью до второго порядка малости по объемной концентрации частиц. Полученное прямым вычислением, с использованием результатов первой главы диссертации, выражение для интенсивности силового диполя совпадает по форме с аналогичным выражением, полученным в работе [8] методом безразмерного анализа, но содержит коэффициенты, имеющие значения отличные от полученных в работе [8] приближенными методами. Предложенный в диссертации метод решения задачи позволяет вычислить эти коэффициенты с любой точностью по параметру о/г. Аналогичным методом может быть получено выражение для силового диполя в случае гидродинамического взаимодействия трех, четырех и более сферических частиц, что позволит получить выражение для эффективной вязкости суспензии с точностью до членов порядка выше чем второй по объемной концентрации дисперсной фазы.

Во втором разделе рассмотрено влияние образования и разрушения агрегатов частиц на вязкость суспензии. Используя результаты третьей главы диссертации, на модельном примере образования и разрушения агрегата из двух частиц при линейных течениях растяжения, сжатия и простого сдвига, получены выражения для эффективной вязкости суспензии для всех трех рассмотренных типов течений. Полученные результаты дают основания утверждать, что рассматриваемый механизм образования и разрушения агрегатов может служить объяснением нелинейного поведения вязкости суспензии, наблюдаемой в различных экспериментах [22, 26, 43].

В третьем разделе рассматривается задача о влияние сил взаимодействия между двумя частицами на эффективную вязкость суспензии. Для исследования применен подход, используемый в аналогичных задачах для суспензий, частицы в которых имеют гантелеобразную форму. Выражение для эффективной вязкости суспензии с взаимодействующими частицами получено с использованием метода, в котором искомая величина определяется как коэффициент пропорциональности между величинами диссипации энергии в жидкости с частицами и без частиц. Такой подход к определению эффективной вязкости суспензии подробно рассмотрен в работе [39]. В качестве примера в диссертации рассмотрен случай диполь-дипольного взаимодействия частиц во внешнем однородном поле при течении растяжения или сжатия. Полученное выражение для эффективной вязкости суспензии содержит член, пропорциональный квадрату объемной концентрации частиц и зависящий от параметров взаимодействия частиц. Показано, что имеется аналогия со случаем двух гидродинамически взаимодействующих частиц: изменение эффективной вязкости суспензии связано с изменением относительной скорости частиц, что приводит к дополнительной, по сравнению со случаем отсутствия взаимодействия, диссипации энергии.

Работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 98-01-03295.

В 1993-95 г. работа была поддержана Норвежским советом по науке и технике (Norwegian Reserch Council), проекты 60.61.222223 и 107214/410.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору Enok Palm и профессору Arnold Bertelsen (институт математики, университет г.Осло) за интерес, проявленный к работе.

Основные результаты, выносимые на защиту следующие: построение метода аналитического решения задачи о гидродинамическом взаимодействии п частиц в вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса; отличительные черты метода заключаются в: а) разделении общей задачи на задачи а и (3] б) использовании декартовой системы координат; в) использовании тензорных коэффициентов, выражаемых через тензорные величины, характеризующие параметры основного потока, относительные скорости сфер и радиус-векторы, разделяющих их центры; построение модели суспензии, вязкость которой зависит от образования и разрушения агрегатов; метод вычисления коэффициентов у слагаемых, описывающих в кинетических уравнениях разрушение агрегатов.

Выражения для тензорных коэффициентов в задаче а.

Щ = уЕ^ЕА" + г1Езкг3гкг1ЕВа,

Рга3 - г}Е{зРа 4 г)Е{кгкгзиАа 4

ЩкГкГгиВа 4 Г]Ек1ГкГ1бц1а 4 Г)ЕЫГкГ1ГгГуУа,

Щк = т)(ЕцГ1бук 4 Еыг,8гз 4- Е31г181к)ВАа 4 ?1Ецг,г3гкЗА(* 4 Еыг1Пг3)БВа + г}(Е13гк + Ь\кг3)РАа + +г]Езкг1РВа + г}Е1пг1гпг1г3гква + 7]Е1пГ1Гп(ёцГк 4 8,кг3 4 8зкгг)Уа,

Щ3ы - г}(Е^5ы 4- Е{к531 + Ец5зк + Езк8ц 4 Ез18{к + Еы8ц)Яа 4 +г)(Е^гкг1 4 Е{кг3гг 4 Ецг3гк)\\тВа 4 +г}(Еыг{г3 4 ЕзкГ1П 4 Ез1гкгг)ШАа 4 г1Е^г3г3гкг1.1Аа 4 т}(Е33г^гкГ1 + г]Екнгьпг3п 4 Еиг3пг3гк).}Вы + +77 [(Е^г3г3 4 Е33г3гг)8ы 4 (Егаг,гк 4 Екаг3гг)8з1 4 4 Еигаг3)ё1к 4 (Екаг3г1 4- Е1аг3гк)813 4 + ЕиГ3Гг)5зк 4- [Езагя гк + Екагаг3)5ц]ААа + +т}Е.нгяп(6цГкГ1 -1- 5^г3Т1 4 6цг3гк 4 6зкг,Г1 + ц-831г{гк + 6кщг3)МАа 4 г)Еа1г3ггг{г3гкг1ЬАа,

Т?]к1п = + г16кп + гп8ы) 4 Егк{г38ы 4 п8зп 4 гп5з1) 4

Ец{г38кп 4 гк8зп 4 ггг<Щ 4 Е^{г38ы 4 гк8з1 4- г ¡5^) + 4^Аг(г?;(5/п 4- пй», 4 гп8ц) 4 Е:ц(г;8кп 4 гк8^ 4 гп8{к) 4-4-Езп(Г{8к1 4- гк8ц 4 г\8{к) 4- Ек1(г^8зп 4- т38{п 4 п8г3) 4 Екп(г^л 4 г38ц 4 Г|Лу) 4 4 г381к 4 4 г)[Е^га(г3гк81п 4 г3Г18кп 4 г3гп8к1 4 +гкГ18зп 4 гкгп83{ 4 Г1Гп8зк) 4

4 Езаг3(пгкб1п 4- 4- пгп8к14- гкг\8{п + ткгп8ц 4 +

Екага(пг381П 4 4 г^п831 4 г^&п 4 г3гп8г> 4- 4

Е1аг3(г^8кп 4 г{гк8зп 4 г^п8зк 4- г3гк8{п 4 г3гп8{к + гкгп8у) + +Епзг3(г>г38к1 4 пгк8314- г^г8зк + т3гк8ц 4 г3г&к 4- гкгг8^)]САа 4

-nEstrsrt[ri(rjrköin + rjri6kn + rjrJu + rkriSjn + rkrnSß + rirn6jk) + +rj{rirk6in + пгг5кп 4- nrJki + rkriôin 4- rkrJu 4- r¡rn8ik) + +rk(rirjSin + nriSjn + r.rjji + TjViSin + VjrJu + rirJij) + +п(иг38кп + rirkSjn + пгп5ук + rjrkôin + rjrnSik + rkrn5ij) + +гп(г{г38ы + riVkSji -I- rtriSjk + г3гк8ц + rjrtSik + rkrtöij)]KAa + +i](Etjrkrirn + Eikrjrirn 4- Eür3rkrn + Einr3rkri)TAa + +r)(Ejkririrn + Ejirirkrn + Ejnrirkri + Екщг3гп 4- Екпг^г1 4-+Einrirjrk)TBa 4- r]EisrsrjrkrirnHAa 4- rj(EjsrsTirkrirn + 4- Elsr &ггг3гкгп 4" EnsTs rirjrkr¡)HBa 4na ijklns r¡[Eij(rkriSns 4- rkrn8u 4- rkrs8ln 4- rirn8ks 4- r¡rs8kn + rnra8ki) 4-4-Eik{rjri8ns 4- r3rn8b 4- r3r38ln + rirnSjs + rirs5jn + rnr35ji) 4-4-Ец(г3гк8пз + TjTnSks 4- rjrJkn 4- rkrn6js + rkrsSjn + rnrs5jk) + 4-Ein(rjrkSis 4- г3гг8кз 4- rjr36ki + rkriöjs + rkr3Sji + rir3ôjk) + 4-Ei3(rjrk6ln + rjriákn 4- rjrnSkl + rkrt8jn + rkrn8j{ -f- rirnSjk) + 4-Ejk(riri8sn 4- rirJis + г{г38п1 + rzrn¿is + rjraSin + rsrn8ü) + 4-Eji(rirkSm + г^п8кз 4- пг30пк + rkrnSis + rkrs8in 4- r3rjik) + -\-Ejn(rirkS3i + r%r¡Sks 4- nrsSik + rkri5is 4- rkrs8ü + rsr¡6ik) 4-+Ejs(rirkSni + ririSkn 4- rirnöik 4- rkriSin + rkrn8ü 4- rnri6ik) + +Eki(rirjSna 4- r,

4- rirjjn 4" r. jVn$is 4- rjrsôin 4" rnr38ij) + 4-Ekn(rirjóls 4- nriÔjs + rir3Sji 4- r3Ti8is 4- г3г38ц 4- r¿r 4-4-Eks(rirj6in + TiriSjn 4- rirn6ji + rjriSin + r3rn8a + r/rn<%) + 4-Ein(rirj8k3 4- гггк833 4- пг38зк + rjrk8is + rjrs8ik + rkr38Í3) + +Els(rtr38kn + rtrk8jn 4- rzrn8jk + r3rk8tn 4- r3rn8%k + rkrn8l3) 4--\-Ens{rir38ki + TiTk83i + ri'ri8jk 4- г3гк8ц 4- r3ri8ik + rkri8ij)]Da 4-+r¡Etqrtrq{rir3rkri8n3 4- r¡r3rkrn8is + rir3r¡rn8ks + rirkrirn8js + +r3rkrirn8is + r3ririr38kn 4- r3rirkr38ln + ririrkr38jn 4-4-nrjrkrs8in 4- r¿r3rnrs8ki 4- r¡rkrnrs8ji 4- r3rkrnrs8ü + 4-ririrnrs8jk + r3rirnrs8ik + rkrirnr38ij)DDa 4-+,n[Eitrt{r3rkrl8sn + r3rkrn8si + r3nrn8sk 4- гкгггп833 4

-\-rjVkrJnl + Г^Г1Г36пк + ГкГ1Г86Пу + грпга81к + +Гкгпг36ц + Г1гпга5ц) + Е^гг(г^кг1бзп + пгкгп631 + +ГгГ1Гп5зк + гкпгп5а1 + гггкга5п1 + ггГ1Г35пк +

ГкГ1Га5ю + ГгГпГа5гк + ГкГпГа6ц + Г1ГпГа5Ы) + +ЕЫГ^Г^Г15ЗП + г^гп6а1 + г^1гп5м + Г{Г)Гп5^ + ■+г^га6п1 4- г^1Га6п{ + Г1Г1Г38щ + Г^гпга5ц + зп I 'г' ч' п

ГкГп8^ + ГуГкГп5аг + ГгГуГа§пк + ГгГкГ36Пу + г3гпг38к1 + гкгпт38]г) + +Еп^(г^г1531 + г^гфзк + г1гкгф3з + г^1гк83{ + +г^г38ы + пгкга8ц + г^гкг38ц + г.-г/г,^* + -\-rjrirs8ik + Г1гкг38ц) + Е^п(г^гк81П + гру^ + -\-rinri8nj + гркг18п1 + г,т,тпйл + пгкгп8ц + +^гкгп8ц + + г^пг^к + гкгпп8^)]ВАа +

7 Ецг^япгугкг1гпгзпва + г}Ецг1ГуГкГ1Гпг3БСа + +г}(Е^гмгкГ1Гпг3 + Еыпг^1гпг3 + Енпг^гкгпг3 + -\-Еп^г^гкГ1Г3 + Езгпг{г5гкГ1Гп)ПЕа + +г){Е^ткГ1Гпг3 + Е{кг^1гпг3 + Ецг^кгпг3 + +Егпг^кг1г3 + Е^ГуГкГ1Гп)ПЕа + Г/(Е^Г{Г!ГПГ3 +

-]ГЕз1Г1ГкГпГ3 + ЕуПГ^кГ1Г3 + Еу3ГгГкГ1Гп +

Екщгугпг3 + Екпггг3г1г3 + ЕкзГ{ГуГ1Гп +

Е1пг^гкг3 + Е1зг^ркгп + Епзг^3гкг1)вна.

Выражения для тензорных коэффициентов в задаче (3. Н? = ф}^ II + + т^г^А^ + ф^В1-, фЬппСАЬ + 'П(иг8,к + и}8гк + и18ц)ОС^ + +т]и1А'гкг3гкОА1- + г](и£гзгггк + и^пг^ОВ1- + v(UtSjk + Uf-óik + t/^^GC1,

Dijki — rjUfrjrmDA^ + rj(ufrjôki + Ujn6kl +

U¡ViSji + ufrkSji + ujrkSu + ulvjSu +

Ufn6jk + u}riSjk + ufr38ik + U¡r¡Sik +

U¡nótJ + u}rk5ij)DÖ\ + rjU^rjrknDA^ + rj (tf/w, +

YUtrjnn + U^nr^DB1- + r}(Utr35kl + Ufn8kl +

Ujtrt6ß + Utnôjx + Uj~rkSn + Ukrjöii +

U±riójk + Ufnôjk + U^rjSik + Uj-ri5ik +

UkriôtJ + Utrk5l3)DCL)DCL

Tijkin = vUbjnnr^I + г)(и!^гк6п1 + ujrtrk8nl + +Ulrtrj5ni + и}ггг38пк -+- UfrirjSnk + ujriViSnk + +Ulririônj + UfrirkSnj -j- u}rkriSnj + U¡rkr38ni + +Ulrirj5ni + UjrirkSni + Ulrirjôki -h Ufrnrj6ki + +Ujrnnôkl + и!гпп6л + ufrnrkSß + U\r irkSji + +иЦг3гк8й + UljrnrkSü + U¡r3rn8ü + U!nrjjk + +Ufrirn6jk + U¡r,r,6jk + u}r3rn8ik + ujrirnSik +

U¡rirjSlk + Ulnrk5ij + Uinrjij + u}rkrnSij)TC^ + -\-r)U¿rJrkrirnTA± + 77(С//пга;Пгп + икг3ггг1гп + +Ul±rjrkrirn + U^rjVinr^TB1- + f](Utr3rk8ni + +Uj-rirkóní + UkriVjSni + и^пг30пк + UtLrir3Snk + Ч-^/пг^ + + Ui-rirk6nj + Ui~rkriSnj +

Ч-^г^г^ + Ukrirj6ni + ?7/nrfe<5n¿ + U^nrjóki + ' n' M + Uj-rnriSki + Ukrnri53i + Ui~rnrkSji + +и„г{гк631 + U„r3rk8ü + Uj-rnrk5ii + Ukr3rn8ü + +U±rirn6jk + 11^г{гп8зк + U¿riri8jk + U¡-rjrn8ik + +Uf-rirn8ik + U¿rir38tk + U^rmóij + Ukrirn8ij)DCL

-EijXj = + + (^РА + Ц-PBf-^ + 2160дгхл + 5WAr* {35ЖЛ + 35WB)(^l +

11 а7 11 а7 о6 v ' а7

Z>(900¿ - 6300^^)} (В.1)

0 = EjkXjXkXi{Q~ + + - (105PB + 210

7560^ + ЪШЬ^ЩГ " 26WA + » И *

11 a9 22 a9 v 2 2 V

2 \2

-l£>[3150^ - 28350^-]} (B.2)

13 a9 a9

--++ + г^л/ 1 1 ч 8 . 5r2 5r2 9(xkrk)2^ or , 6r2 15(xkrk)2 216r2

4Xj —aГ"+ +

1080(xferfe)2 63 90 r4 r4 225 lia' ] + (1МЮ + - Ж) + (ЯЛ1Г

1260 -W)2 (xkrk - г2)2 J! 315 11 )r 1 22a? 22X| "22~ 1890 (ж^гл;)4 (ar&rfe-r2)4 5 td15. яв—- + + +

Zl!) + (j^ - JBZ4)i^f + {Xk\~r2)Z] - 10AAX-i^ +

2 2 CL -X-B ®

4-/7 4 3 -I- Л 77 ¡R 3 /®*Г* , ХкП~Г2 2iy)} (В.З)

О = Emrkri{-Q§B -F¿g + T™+ FB(-¿ + ¿r >+(s4 - s44 - ¿> - - +

3,(a?fcrfc)2 (xkrk-r2)2 4br2(xkrk - r2) 105(¿Cfcrfe - r2)3 2 a5 XJ ; 14X| + 14X7b J +

87,1 1 , 432 r216r2 ШО^г*)2. ,„.90 HBUSr2 (НАШ + + 7rnY4 1Q35^2(a:fcrfe)2 r2^ - r2)2 3465 (sfcrfe)4

VS/ 11 ' n7 V7 ' + 99 V „9

В il иxkrk - r2)4 1575r4(a;ferfe - r2) 9450r2(a;fcrfc - r2)3 y9 ) on y7 ' 99 у9

Лд ZZYXß 1039WT, + + + r2(xkrk-r2)s 45r4 1 ^({xkrk)z (xkrk-r2)3^ |

35Г XI 2X% J <*5 2XJ + vr 3r2 3(xkrk - r2)2 7 imxkrk Щ J + 13^ a7 + 7 mr2xkrk 2100(xkrk? 13 a7 ay „ 3 у „ .30 „ л 15 V 1 „2160 ,

0 = Efirjx&A-Fj^ + {PA- + PB-)-b + Nш + (70 WA + vnxxrr>\xbrk ■ 7 1260®fcrfc . 1 1 ч

WB)~T + ñD—sr- + + Щ>

BA|L + + 1555)^ + 50 ААЩ1 + ( JA^ +

315 for»)» ^ 7560^^ 3®^

7 6300г*хкгк 18900(strt)»

DA{--— + —^ïï-» (B.6) С TD3 ,PB ЫРА. 1 1080

0 = Е^хкП{-Ещ + ("à" + —+ *ГШ---{3bWB+X0WA)^-lD6-^} (В.6) „ з WB 7 „1800 ЕА

О = Ejkxjrkri{FM + ^ + -Л— -щ +

6 SB +15 + (JA + J В) ^ - (ib J A +

О = EjkrirkXi{F¿B + OVA + WB)^ + Ln™ - V^p +

105 ,(xkrkf (xkrk-r2)\, ШОхкгк 1080r!¡rtr» 14 Щ ,J + сл пот + KA[—ñ¿

2520far,)» WAA 5r* (xkrkf

--" "ST" + MAl—¿r + 25~¿r-i + (5JA + г

2 (п. с „4 „4 хкП) , r лг5/г ■ ^

15./ß)^ - (35JA + 105Jß)^ + LA[-(-b + oc/r2(xkrk)2 г2(хкгк-г2)2л 105 (xkrk)4 —~xl-> + + xkrk - r2)4 EA xkrk щгк-гг M—- m++~2xr~] B

1 1 X 3W 1 1 ч ,,r 3 ,r

2 r2 w + ^ + + -/(-3 + щ) - У[-(-з + +

2 а? + П )] + ---S-) +

7 225r4 3150r2(^rfc)2 А72Ъ(хкгк)\л

S S"—П (в-8)

123

С.1 МуЛЬТИПОЛИ Lijk-a И их свойства. j 1 j j ЪХ{Х j X' j ~ X5 ' 36{jXk 38ikXj 3SkjXi 15Xi xjx\ij bijk = + + '

T ^SjjSki 35jkSji SSgSkj ijkl~ X* + X5 + X5 15 j^(SijXkxi + SikXjXi + Siixkxj + 10bXiXjXkXi +OkjXiXi + OijXkXi + dkiXiXj) +--,

L(Xi — —Lq, LijXj = —2L{, LijkXk = —3 L^, Lijkixi = —4 Lijki LijkinXn — —5 Lijki

Интегрирование мулыпиполей Lijk-.sj> Xids = j XiXjXkds = j> XiXjXkXiXnds = j> xixjxkxixnxsxtds = 0, г /* 4 г 4 j> ds = 4ка2, j> x&jds =-na^ij, j> XiXjXkXids =+

I 4 8 SuSkj), j XiXjXkXiXnXsds = ^тга (SijSkiSns + +

4- 5ik8ji8n3 4- SikSjnhs + Sik8j36ni 4- Su8kj8n3 -f- 8ц8кп^9 + +$iihs5nj + 5in8ki8JS + 8in8kj8is + 8in8ks8ji + 8is8ki8nj + 8iS8kj8ni + +¿¿<^.<^7), f Lids — j> Lijds = j Lijkds = Lijkids = j Lijkinds — 0

C.2 Решение уравнений Стокса в тензорной форме.

Частные решения уравнений Стокса могут быть представлены в следующем виде

X2 rjV2us = HiLisj rjus = -HiLis—•; 6

2 x2

77V = FijLijs, rjus —

X2

•г)У2и8 = С^Ь^, г)щ —

X2

•г)Ч2и8 = ВциЬцЫз, Щз — —ОцыЬфь—',

X2 и3 = ТцЫпЬцЫпз) У^з ~ ]

X2

Общее решение уравнений Стокса записываются следующим образом:

7]и3 — А3Ьо + + + К^кЬцк +

-\-MijklsLijkl + + >

Условие несжимаемости жидкости V • й = 0 дает следующие соотношения для коэффициентов:

2 3 4 5 б 7

НцкЫз — ~^Р{зк1пз

Заключение

1. Acrivos A., Jeffrey D.J. The rheological properties of suspensions of rigid particles // A1.hE Journal 1976. V.22. No3. P.417-432.

2. Adler P.M. Influence of Colloidal Forces on a Closely-Fitting Sphere in a Fluid-Filled Tube // Phys. Chem. Hydrod. 1983. V.4. No.l. P. 1-10.

3. Bartok W., Mason S.G. Partical motions in sheared suspensions. V.Rigid Rods and Collision Doublets of Spheres // J. Colloid Sci. 1957. V.12. P.243-262.

4. Bartok W., Mason S.G. Partical motions in sheared suspensions. VILInternal Circulation in Fluid Droplets // J. Colloid Sci. 1958. V.13. P.293-307.

5. Bartok W., Mason S.G. The behaviour of suspended particales in laminar shear // Rheology of disperse systems. -Pergamon Press. 1959. P. 16-48.

6. Batchelor G. K. The stress system in a suspension of force free particles // J. Fluid Mech. 1970. V.41. Part 2. P.545-570.

7. Batchelor G. K. Sedimentation in a Dilute Dispersion of Spheres // J.Fluid Mech. 1972. V.52. Part 2. P.245.

8. Batchelor G. K., Green J. T. The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field // J.Fluid Mech. 1972. V.56. Part 2. P.375-400.

9. Batchelor G. K., Green J. T. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 // J.Fluid Mech. 1972. V.56. Part 3. P.401-427.

10. Batchelor G. K. Brownian Diffusion of Particles with Hydrodynamic Interaction // J.Fluid Mech. 1976. V.74- Part 1. P.1-29.

11. Batchelor G. K. The Effect of Brownian Motion on the Bulk Stress in a Suspension of Spherical Particles // J.Fluid Mech. 1977. V.83. Part.l. P.97-117.

12. Batchelor G. K. Sedimentation in a Dilute Poly disperse System of Interacting Spheres. Part 1. General theory // J.Fluid Mech. 1982. V.119. P.379-408.

13. Batchelor G. K., Wen C.S. Sedimentation in a Dilute Poly disperse System of Interacting Spheres. Part 2. Numerical results // J.Fluid Mech. 1982. V.124. P.495-528.

14. Batchelor G. K. Diffusion in a Dilute Polydisperse System of Interacting Spheres // J.Fluid Mech. 1983. V.131. P. 155-175.

15. Bird R.B., Warner H.R., Jr., Evans D.O. Kinetic Theory and Rheology of Dumbbel Suspensions with Brownian Motion // Adv. Polymer Sei. 1971. V.8. P. 1-90.

16. Brady J.F., Bossis G. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation //«/. Fluid Mech. 1985. V.155. P. 105-129.

17. Brady J.F., Durlofsky L.J. The sedimentation rate of disordered suspensions //Phys. Fluid. 1988. V.31. P. 717727.

18. Brenner H., Neill M.E. On the Stokes resistance of multiparticle systems in a linear shear field // Chem. Engng Sei. 1972. V.27. P.I42I.

19. Brenner H. Rheology of Dilute Suspension of Dipolar Spherical Particles in an external field //J. Colloid Interface Sei. 1970. V.32. No.l. P.141-156.

20. Brenner H. Suspension Rheology // Progressiv Heat and Mass Transfer.- Pergamon Press, 1972. V.5.

21. Casson N. Aflow eqation for pigment-oil suspensions of the printing ink type // Rheology of disperse systems.- Pergamon Press, 1959.- pp.84-103.

22. Chan D., Powell R.L. Rheology of suspensions of spherical particles in Newtonian and non-Newtonian fluid //J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1984. V.15. P. 165-179.

23. Chang C., Powell R. Dynamic simulation of bimodal suspensions of hydrodynamically interacting spherical particles // J. Fluid Mech. 1992. V.253. P.1-25.

24. Chang C., Powell R. The rheology of bimodal hard-spheres dispersions //Phys. Fluids. 1994. V.6. P.1628-1636.

25. Cooley M.D.A., O'Neill M.E. On the slow rotation of a sphere about diameter parallel to a nearby plane wall //J. Inst. Math, and Appl. 1968. V.4. P. 163.

26. Cindino B., Nicodemo L. Masi, P. On the non-Newtonian behaviour of suspensions // Rheologica Acta. 1987. V.26. P.100-101.

27. Cooley M.D.A., O'Neill M.E. On the slow motion generated in a viscous fluid by the approach of sphere to a plane wall or stationary sphere // Matematika. 1969. V.16. P. 37.

28. Cox R.G., Zia I.Y.Z., Mason S.G. Partical motions in sheared suspensions. XXV. Stremlines around Cylinders and Spheres // J. Colloid Int. Sci. 1968.- V.27. No.l. P.7-18.

29. Darabaner C.L., Mason S.G. Partical motions in sheared suspensions. XXII. Interaction of Rigid Spheres (Experimental) // Rheologica Acta. 1957. N0.6. P.273-284.

30. Jeifery G.B. The motion of Ellipsoidal Particles Immersed in Viscous Fluid // Proc. Roy. Soc. 1922. V.A102. P.161-179.

31. Jeffrey D.J. High order corrections to axisymmetric interactions of nearly touching spheres // Phys. Fluids. 1989. V.A1. No.10. P.1740-1745.

32. Jeffrey D.J. The extended resistence functions for two anequal rigid spheres in low-Reynolds-number flow / / Phys. Fluids. 1989. V.A4. P.16-29.

33. Faxen H. f/Arkiv. Math. Astron. Fys. 1925. V.19A. No. 13.

34. Frens G., Overbeckk Th. Repeptization and the theory of electrocratic cooloids //J. Colloid Interface Sci. 1973. V-45. P. 138

35. Feke D.L. Kinetic of flow-induced coagulation with weak Brownian diffusion: Dissertation for D.Ph.- Prinston University. 1981. 149c.

36. Goldsmith H.L., Mason S.G. The microrheology of dispersions // Rheology. 1979. V. 5. P. 85

37. Guobiao Mo, Sangani A.S. A method for computing Stokes flow interacting among spherical objects and its application to suspensions of drops and porous particles //J. Phys. Fluids. 1994. V.6. P. 1637-1652.

38. Haber S., Hetsroni G., Solan A. On the low Reynolds number motion of two droplets // Int. J. Multiphase Flow. 1973. V.l. P.57-71.

39. Happel J., Brenner H. Low Reynolds Number Hydrodynamics. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1965. 553 p. ( Xan-пель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.- М.: Мир, 1971. 630 с.)

40. Hetsroni G, Haber S., Wacholder A. The flow feilds in and around a droplet moving axially within in tube // J. Fluid Mech. 1970. V.41. P.689-705.

41. Hinch E.J., Sherwood J.D. The primary electroviscous effect in a suspension of spheres with thin double layers / / J. Fluid Mech. 1983. V.132. P.337-347.

42. Но B.P., Leal L.G. Inertia! migration of rigid spheres in two dimentional unidirectional flows. // J.Fluid Mech. 1974- V.65. Pt.2. P.365-400.

43. Lin C.J., Lee K.J., Sather N.F. Slow motion of two spheres in a shear field //J. Fluid Mech. 1970. V. 43. P. 35-47.

44. Koh C.J., Hookhan P., Leal L.G. An experimental investigation of concentrated suspension flows in a rectangular channel//J.Fluid Mech. 1994. V.266. P. 1-32.

45. Kriger I.M. Rheology of monodisperse latices // Adv. Colloid Interface Sci. 1972. V.3. P.111-136.

46. Kriger I.M., Dougherty T.J. A mechanism for Non-Newtinian Flow in Suspension of Rigid Spheres // Trans. Soc. Rheol. 1959. V.3. P. 137-152.

47. Kynch G.L.The slow motion of two or more spheres through a viscous fliud // J.Fluid Mech. 1959. V.5. P. 193-208.

48. Okagawa A., Cox R.G., Mason S.G. Particale Behavior in Shear and Electrical Fields. VI. The Microrheology of Rigid Spheres // J. Colloid Int. Sci. 1974. V.47, No.2. P.536-568.

49. Okagawa A., Mason S.G. Particale Behavior in Shear and Electrical Fields. VII. Orientation Distributions of Cylinders. J. Colloid Int. Sci. 1974. V.47; No.2. P.568-595.

50. Petlicki J., Van De Ven T.G.M. Particle trajectories near frelly rotating spheroids in simple shear flow // J. Multiphase Flow. 1990. V.16, No. 4. P.713-725.

51. Rubinov S.I., Keller J.B. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid. J ¡J.Fluid Mech. 1961. V.ll.pt.3. p.447-459.

52. Rutgers R. Relative viscosity and concentration // Rheol. Acta. 1962. V.2. P.305.

53. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a shear flow. // J.Fluid Mech. 1965. V.22. Pt.2. P.385-400.

54. Sasmi Selim M., Al-Naafa M.A., Jones M.C. Brownian diffusion of hard spheres at finite concentrations // AIChE J.1993. V.39. No.l. P.3-16.

55. Segre G., Silberberg A. Behaviour of macroscopic rigid spheres in Poiseuille flow. Parts 1, 2. // J.Fluid Mech. 1962. V.14. Pt.l. P.115-157.

56. Spielman L.A. Viscous Interactions in Brownian Coagulation // J. Colloid Int. Sei. 1970. V.23, N0.4. P.562-571.

57. Schowalter W.R. The effect of bulk motion on coagulation rates of colloidal dispersions // Adv. Colloid Interface Sei. 1982. V.17. P. 129- 147.

58. Schowalter W.R. Stability and coagulation of colloids in shear fields // A. Rev. Fluid Mech. 1984. V.16. P.245-261.

59. Smoluchowski M. Versuch einer mathematischen Theorie der Koagulationskinetik Kooloider Lsungen / / Z. Physik. Chem. 1917. V.92. P.129

60. Smoluchowski M. //Bull. Inter, acad. Polonase sei. lett-1911. V.1A. P.28.

61. Stimson M., Jeffery G.B. The motion of two spheres in a viscous fluid // Proc. Roy. Soc. 1926. V. Alll. P.110.

62. Takamura K., Goldsmith H.L., Mason S.G. The microrheology of colloidal dispersions: XII. Trajectories of orthokinetic collisions of latex spheres in a simple electrolyte // J. Colloid Interface Sei. 1981. V.82. P.175-189.

63. Takamura K., Goldsmith H.L., Mason S.G. The microrheology of colloidal dispersions: XIII. Trajectories of orthokinetic collisions of latex spheres in a cationic polyelectrolyte //J. Colloid Interface Sei. 1981. V.82. P.190-202.

64. Van De Ven T.G. Interactions between colloidal particles in simple shear flow // Adv. Colloid Interface Sei. 1982. V.17. P.105-127.

65. Van De Ven T.G., Mason S.G. The microrheology of colloidal dispersions: IV. Pairs of inyeracting spheres in shear flow // J. Colloid Interface Sei. 1976. V.57. V.505-516.

66. Van De Ven T.G., Mason S.G. The microrheology of colloidal dispersionsrV.Primary and secondary doublets of spheres in shear flow // J. Colloid Interface Sci. 1976. V.57. P.517-534.

67. Verwey E., Overbeckk Th. Theory of the stability of lyophobicsols and of the adhesion of strongly charged particles in solution of electrolytes -Elsevier: Amsterdam, 1948.

68. Wacholder E., Sather N.F. The hydrodynamic interaction of two unequal spheres moving under gravity through quiescent fluid // J. Fluid Mech. 1974. V-65. P.417-437.

69. Zeichner G.R., Scholwalter W.R. Use of Trajectory Analysis to Study Stability of Colloidal Dispersions in Flow Fields / / AIChE Journal. 1977. V.23, No. 3. P.243-254.

70. Yoon B.J., Kim S. A boundary collocation method for the motion of two spheroids in Sokes flow: hydrodynamic and colloidal interactions // Int. J. Multiphase Flow. 1990. V.16, N0.4. P.639-649.

71. Zeichner G.R., Scholwalter W.R. Effect of Hydrodynamic and Colloidal Forces on the Coagulation of Dispersions // J. Colloid Int. Sci. 1979. V.71, No. 2. P.237-253.

72. Wakiya S. //Nigata Univ., Coll. Eng. Res. Report. 1957. No. 6. Mar. 30.

73. Wakiya S. Slow motion in Shear Flow of a Doublet of Two Spheres in Contact // Journal of Phys. Soc. of Japan. 1971. V.31, No.5. P.1581-1587.

74. Wakiya S., Darabaner, C.L., Mason S.G. Particale motions in sheared suspensions. XXII. Interaction of Rigid Spheres (Theoretical) // Rheologica Acta. 1957. No. 6. P.264-273.

75. Варламов Ю.Д., Каплун А.Б. Исследование процессов структурообразования в магнитных жидкостях //Магнит. гидр. 1983. 1. с.33-39.

76. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. -Л.: Ги-дрометеоиздат, 1984• 283с.

77. Гонор А.Л., Ривкин В.Я. Динамика капли капель при малых числах Рейнольдса /¡Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. 1982. Т. 17. С.86-159.

78. Зинченко А.З. К расчету гидродинамического взаимодей-свия капель при малых числах Рейнольдса // Прикладная математика и механика. 1978. Вып. 5. С. 955-959.

79. Зинченко А.З. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде /¡Прикладная математика и механика. 1980. Т.44- Вып. 1. С.49-59.

80. Зинченко А.З. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции и эффектов скольжения /¡Прикладная математика и механика. 1981. Вып. 4-С.759-763.

81. Зинченко А.З. Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых жидких сфер в линейном поле течения / / Прикладная математика и механика. 1983. Т.47. Вып. 1. С.759-763.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Електродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982. 623 с.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. -М.: Наука, 1988. 734 с.

84. Мартынов С.И. Исследование течений намагничивающихся дисперсных сред:Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05.-Утв. 06.11.85.- М., 1985.Ц5с.

85. Мартынов С.И. Коагуляция частиц в магнитной жидкости в сильном магнитном поле // Тезисы докладов 4-ой Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Плес. 1985. С.202.

86. Мартынов С.И. О вязкости магнитной жидкости ¡¡Т.2. Тезисы докладов 5-ой Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям,- Плес. 1988. С.6.

87. Мартынов С.И. Влияние образования и разрушения агрегатов на вязкость магнитной жидкости //Магнит, гидр. 1989. N 1. С.47-52.

88. Мартынов С.И. Деформация и разрушение агрегатов в магнитной жидкости //Магнит, гидр. 1990. N2. С.41~46

89. Мартынов C.H.]Martynov S.I. Influence of interaction between particles on the viscosity of a suspension Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo, 1989. N0.4. 7p.

90. Мартынов C.H.]Martynov S.I. Viscosity of a suspension: some aspects of the problem Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo, 1990. No.l. 7p.

91. Мартынов C.H.]Martynov S.I. Dependence of viscosity of a suspension on the formation and destruction of aggregate in it // Volume of Abstracts 1st Liquid Matter Conference, Lion, France. 1990. V.14C. A28.

92. Мартынов C.H.JMartynov S.I. The hydrodynamic interaction of two spherical particles in viscous fluid // 7th Israeli-Norwegian Symposium nFluid Mechanics of Heterogeneous Systems", Trondheim, Norway. 1994• P.67-69.

93. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие двух капель в вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложенияСаранск. 1996. С.91.

94. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения".- Саранск. 1996. С.92.

95. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости //Мат. модел. 1997. Т.9. .10. С.16.

96. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц в вязкой жидкости / / Тезисы докладов школы "Современные проблемы механики и прикладной математики".- Воронеж 1998. С. 172.

97. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скоростей // Тезисы докладов 3-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"Саранск. 1998. С. 152.

98. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости //Мат. модел. 1998. Т. 10. 12. С.22-23.

99. Мартынов С.И. Агрегирование частиц и вязкость суспензии //Инж.-физ. ж. 1998. Т.71. 4. С.691-697.

100. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц //Изв. РАН, МЖГ. 1998. 2. С. 112-119.

101. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии.- Казань. 1998. 135с.

102. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий. -М.: Наука, 1978. 135с.

103. Фридриихсберг Д.А. Курс коллоидной химии. -М.: Химия, 1974. 344с.