Численно-асимптотическое исследование задач нелинейной акустики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский государственный университет им М В Ломоносова

На правах рукописи

Пшеницына Наталья Андреевна

Численно-асимптотическое исследование

1* л о

задач нелинейной акустики

Специальность 01 01 07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ15881о

Москва - 2007

003158818

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент

Лапшин Евгений Александрович

Официальные опоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, доцент,

Чечкин Григорий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор,

Карамзин Юрий Николаевич

Московский Энергетический Институт (Технический Университет)

Защита диссертации состоится <Ж » 2007 г

в часов на заседании диссертационного совета К 501 001 11 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, д 1, стр 4, Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ имени M В Ломоносова (НИВЦ МГУ), конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ

Автореферат разослан « » Л 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета канд физ-мат наук

В В Суворов

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию нескольких задач нелинейной акустики

Вопросы введения определения статистического решения и его существования подробно рассмотрены для линейных дифференциальных уравнений

Для нелинейных уравнений статистические решения изучены в гораздо меньшей степени Большинство работ в этой области посвящено рассмотрению уравнений, содержащих нелинейность в правой части Так, например, для нелинейного волнового уравнения статистические решения исследовались в работах Вишика М И , Кошеча А И , Соболева С И , Арсеньева А А Успехи статистической нелинейной акустики связаны в основном с одномерными волнами, распространяющимися в среде без поглощения Для нелинейных волн в средах с диссипацией получены менее общие результаты

Одним из важнейших уравнений нелинейной акустики является уравнение Бюргерса

Исследование статистических свойств решения уравнения Бюргерса проводилось во многих работах Большинство из них связано с расчетом спектральных и энергетических характеристик случайного волнового процесса

Однородное уравнение Бюргерса с начальным условием, являющимся случайным процессом, было рассмотрено в работах Васильевой О А , Лапшина Е А

В диссертации рассматривается задача вынужденных колебаний в предположении, что генерируемый сигнал является случайным процессом Задача описывается неоднородным уравнением Бюргерса, со стохастической правой частью Эта задача не сводится к однородной задаче со стохастическим начальным условием, т к уравнение нелинейно

Применяемые в других работах методы исследования статистических свойств решения уравнения Бюргерса основаны на предположении о стационарности и эргодичности решения уравнения Бюргерса Поэтому актуальной задачей является обоснование выполнения этих свойств решения Доказательства соответствующих результатов получены в диссертации

А именно, в диссертации доказана стационарность решения уравнения Бюргерса для исходного стационарного нормального процесса Показано, что при некоторых ограничениях на корреляционную функцию исходного процесса, случайный процесс решения является эргодическим в смысле корреляционной функции

Поскольку задача нелинейна, результаты и методы, относящиеся к однородному уравнению, не могут быть непосредственно использованы при исследовании неоднородной задачи Поэтому для доказательства свойств решения неоднородного уравнения со стохастической правой частью, рассматриваемого в диссертации, разработан новый подход Построены особые дискретные приближения к решению задачи В качестве таких приближений рассматриваются решения разностной задачи, соответствующей исходной Доказывается сходимость дискретных решений к точному Затем выводятся свойства приближенных решений, и с помощью предельного перехода обосновывается выполнение этих свойств для решения исходной задачи

Другой актуальной задачей нелинейной акустики является исследование распространения сигнала в релаксационных средах В средах с релаксацией (с памятью) поведение волны описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением (типа Бюргерса) с интегральным слагаемым в правой части Это интегро-дифференциальное уравнение выводится из уравнения состояния и уравнения движения для среды с релаксацией (О В Руденко, С И Солуян) В то время как в классическом уравнении Бюргерса присутствует квадратичная нелинейность, в рассматриваемой задаче нелинейная функция произвольна, к тому же, из-за эффекта

релаксации появляется интегральная часть Назовем это уравнение инте-гро-дифференциальным уравнением типа Вюргерса В предельном случае оно переходит в уравнение Кортевега-де Вриза-Вюргерса

Аналитическое решение этой задачи пока не найдено Поэтому анализ процессов искажения формы волны будет носить преимущественно асимптотический и качественный характер

В диссертации рассматривается случай слоистой среды Если порядок изменения параметров мал по сравнению с толщиной макроскопического слоя, тогда функции, описывающие свойства среды, а следовательно и коэффициенты уравнения быстро осциллируют Отношение микроскопических изменений к толщине макроскопического слоя является малым параметром Это влечет некоторые трудности для численного решения задачи, из-за необходимости задавать очень мелкую сетку, чтобы правильно обрабатывать все микроскопические колебания среды По этой причине актуальной задачей является нахождение осредненной задачи с неосцил-лирующими коэффициентами, такое, что его решение близко к решению исходной задачи В диссертации получены соответствующие осредненные уравнения, доказаны теоремы существования и единственности решений исходной и осредненной задач, исследована сходимость приближенного решения к точному

В другом предельном случае малым параметром является множитель интегральной части Такая ситуация возможна, когда влияние релаксационных эффектов среды на функцию решения мало При этом описание решения возможно в терминах асимптотических разложений по малому параметру В диссергации строится соответствующее разложение и доказываются оценки близости его конечных сумм к точному решению Таким образом, полученное асимптотическое разложение является не только формальным, но и асимптотическим рядом для решения, и может служить для описания решения задачи

Важной задачей является построение аппроксимирующих разностных схем и численное исследование нелинейных дифференциальных уравне-

ний в частных производных В статье Е А Лапшина, Г П Панасен-ко (Gregory Р Panaaenko, Evgueny A Lapshm Homogemzation of High Frequency Nonlinear Acoustics Equations // Applicable Analysis Vol 74(3-4), pp 311-331) рассматриваются нелинейные акустические уравнения в среде с быстроосциллирующими характеристиками, построены асимптотические решения этих уравнений, сходящиеся к точным решениям Для этих уравнений актуальной задачей является разработка соответствующих разностных схем, доказательство аппроксимации этими схемами исходных уравнений и численный анализ Соответствующие доказательства и численный расчет, проведенные в диссертации, позволяют наглядно продемонстрировать сходимость Также расчет с помощью программы дает возможность исследовать поведение решений за пределами области, для которой справедливы аналитические результаты

Цель работы.

1 Построить статистическое решение неоднородного уравнения Бюргер-са с правой частью, являющейся случайным процессом Доказать стационарность решения уравнения Бюргерса для исходного стационарного нормального процесса Показать, что при некоторых ограничениях на корреляционную функцию исходного процесса, случайный процесс решения является эргодическим в смысле корреляционной функции

2 Построить осредненную задачу с постоянными коэффициентами для интегро-дифференциального уравнения (типа Бюргерса), доказать существование и единственность решения исходной и осредненной задач, и близость их решений

Построить полное асимптотическое разложение задачи по малому параметру при интегральной части Доказать существование разложения и его сходимость к точному решению при стремлении малого параметра к нулю

3 Провести численный анализ нелинейного уравнения эйконала и соответствующего ему осредненного уравнения

Научная новизна.

Для стохастического неоднородного уравнения Бюргерса впервые доказывается существование статистического решения, обосновывается выполнение таких свойств вероятностной меры решения, как однородность, стационарность и эргодичность Впервые строится осреднение интегро-дифференциального уравнения типа Бюргерса, доказывается существование и единственность решений исходной и осредненной задач, строго обосновывается сходимость приближенного решения к точному

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический и практический характер Доказанные свойства решений задач, рассмотренных в диссертации, и построенные к ним приближения могут быть использованы как для дальнейшего аналитического исследования дифференциальных уравнений нелинейной акустики, так и для их более быстрого и эффективного численного исследования

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1 Доказано существование статистического решения уравнения Бюргерса При некоторых условиях на исходный случайный процесс доказано выполнение таких свойств решения, как однородность (независимость от сдвига) меры, стационарность, эргодичность При доказательстве используется разностная схема, решения которой рассматриваются как дискретные случайные процессы, аппроксимирующие непрерывный случайный процесс решения

2 Доказаны существование и единственность решения задачи распространения нелинейного акустического сигнала в среде с релаксацией Найдена осредненная задача, доказаны существование и единственность ее решения Доказана сходимость решения осредненной задачи к точному решению Для обоснования результатов построены пространства ре-

шений, используется метод приближений Галеркина, выводятся оценки решений из уравнений энергетического баланса, доказывается априорная оценка непрерывной зависимости решения от невязки

3 Построена разностная схема для нелинейного уравнения эйконала и соответствующего осредненного уравнения Доказана аппроксимация исходных задач разностными схемами Найдены необходимые условия для устойчивости схем и сходимости решений разностных схем к точным решениям задач

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на 38 Ежегодном международном конгрессе по численному анализу CANUM, Франция, Ренн, май-июнь 2006, научно-исследовательском семинаре „Осреднение и кратные сетки", октябрь 2006, Франция, Париж, конференции „Ломоносовские чтения", механико-математический факультет МГУ, апрель 2007, Международной конференции молодых ученых „Ломоносов", механико-математический факультет МГУ, апрель 2007, Международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы "им И Г Петровского, механико-математический факультет МГУ, май 2007, научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, июнь 2007

Публикации автора.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, и изложена на 95 страницах Список литературы содержит 23 наименования

Краткое содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ, связанных с исследованием задач нелинейной акустики Поставлена цель работы и кратко изложено содержание диссертации

В первой главе рассмотрена задача вынужденных колебаний для случайного генерируемого сигнала В §1 1 дана постановка задачи Рассматривается уравнение Бюргерса

дУ д2У .а.

с начальным условием

У(2 = О,0) = О (2)

при (г, в) из О, где С? — полоса {0 < г < X < оо, —оо < В < оо}, е > О

Функции д(в) из некоторого пространства Во являются реализациями исходного случайного процесса Тогда решение задачи будет являться реализацией статистического решения задачи Исходный случайный процесс задается вероятностной мерой цо, определенной на пространстве реализаций исходного процесса Во Статистическое решение задачи Коши с исходной мерой ¿г0 определяется как некоторая вероятностная мера ¡1, заданная на пространстве В функций в)

В §1 2 приведены известные теоремы о существовании нестатистического решения уравнения

В §1 3 даются определения пространств реализаций, доказываются их свойства, необходимые для построения вероятностной меры на пространстве решений

Пространство реализаций Во (-В) состоит из ограниченных измеримых

на К1 функций д(9) (У(г, 0)), для которых на любом интервале П из Ж1

выполнено / |д{в)\2йв < оо ( вир /\\/Г(г,в)\2с1д < оо) я о<г<га

Во = {д(в) т1)д{9)}Ч9<оо},

о 9

в = {V(z, 9) Vfi sup [ IV(z, 9)\2d9 < 00}

0<z<Z J Q

Пусть F — множество финитных функций, имеющих компактный но-

+оо

ситель и принадлежащих пространству L2(Ж1), f \f(6)\2de < 00

—00

Наделим множества Во и В топологиями, определенными базами окрестностей нуля следующего вида

+оо

= ш ) j я{о)№ i<*>,

—оо

-hoc

т {/,}) = {V(z, 9) sup I [ V(z, e)ft(6)d0\ < 6} (3)

О <z<Z J —00

Здесь {/j} — всевозможные подмножества конечного числа функций /г из множества F

В §1 4 вводится понятие статистического решения задачи

Определение 1. Вероятностную меру Радона на пространстве В назовем статистическим решением задачи (1), (2) с исходной мерой /Lto, если выполнены следующие условия

1) мера у, сосредоточена на решениях уравнения, т е для любой непрерывной и ограниченной на пространстве В функции имеет место

/V оо

в

2) мера ¡j, удовлетворяет начальному условию в том смысле, что для любой непрерывной функции f(z,9), обращающейся в нуль при достаточно больших по модулю 9, и любой непрерывной ограниченной на пространстве В функции (p{V) имеет место +00

I <P(V) J {f(z,9)V(z,e)}dedfi~^ 0, t —О

В -00

dv

v

dz 89

dV d2V

~9

d[i = 0,

Далее в §1 4 строится мера на пространстве реализаций решения, и таким образом доказывается существование статистического решения Выводится свойство однородности (независимости от сдвига) меры решения

Теорема 1. Если ца — произвольная вероятностная мера Радона на пространстве Во реализаций правой части д, то существует статистическое решение задачи (1), (2) с исходной мерой до Если до — однородная мера на Во, то существует однородное статистическое решения задачи (1), (2) с исходной мерой до

В §1 5 строится аппроксимирующая разностная схема задачи Доказывается сходимость ее решения к точному решению исходной задачи

В §1 6 с помощью решений разностной схемы, рассматриваемых как дискретные приближения к непрерывному случайному процессу, доказываются стационарность и эргодичность решения

Во второй главе рассматривается задача распространения волн в средах с релаксацией — интегро-дифференциальное уравнение (типа Бюргерса)

В §2 1 дана постановка задачи

в области <3х = {(х, у) 0 ^ х < X, —оо < у < оо},

и(х = 0 ,у) = (р(у) (5)

и(х, у + 1) = и{х, у) (6)

Здесь е, т, 5 - константы, е > 0, т > 0, 8 > 0, 5 полагается малым параметром, р, а, (3, и, /, <р - функции, р,а,/3,]/ £ С1 (Ж), р, а, /3, V > 0, / € С1 (Е), / удовлетворяет условию Липшица с константой

£ 1/(21) — /(г2)| < — -гзу е где \¥1'рег - пополнение множе-

ства С^°_рег (К) 1-периодических бесконечно дифференцируемых функций по норме || Ц2,

Пространство X определяется как пополнение по этой норме пространства ^(К2) бесконечно дифференцируемых 1-периодичных по у функций

В §2 2 доказывается существование решения задачи с помощью метода приближений Галеркина

Теорема 2. Пусть / липшицева и существуют следующие экстремумы на [О, X] вир[ах] 81дрм 8ИР[0,Х) | > 0 Тогда существует

обобщенное решение задачи (4), (5), (6)

В §2 3 доказывается вспомогательная оценка нормы разности решений через норму разности соответствующих правых частей уравнения

В §2 4 из вспомогательной оценки выводится единственность решения задачи

Теорема 3. Пусть существуют следующие экстремумы на [О, X] й11Р[о,х]вирр,*] виррл ш^о.Х] | > 0, / - липшицева Тогда -решение задачи (4), (5), (6) в пространстве X единственно

В §2 5 проводится осреднение по параметру осцилляции 5 Строится осредненное уравнение, выводится существование его решения Доказывается сходимость приближенного решения иа к точному при стремлении параметра 5 к нулю

Вводится вспомогательная норма

Теорема 4. Справедлива следующая оценка для разности точного решения и задачи (4), (5), (6) и приближенного решения иа

\\иа(х,у) - и(х,у)\\х < Саб1-4,

где Са, <1 - константы, (I < 1

В §2 б строится полное асимптотическое разложение решения по малому параметру е (коэффициенту при интегральной части) Доказывается существование каждого конечного приближения и сходимость к точному решению при стремлении параметра е к нулю

Теорема 5. Справедлива следующая оценка для разности точного решения и задачи (4), (5), (6) и конечного приближения и'^

И^ - < Сеш,

т е асимптотическое разложение и^ сходится к точному решению и по норме || ||х при £ —» 0, и порядок сходимости равен ек+1

В третьей главе проводится численное исследование уравнения эйконала и соответствующего ему осредненного уравнения

В §3 1 дана постановка задачи Рассматривается уравнение

(V фе)2=п2(г^) в полосе г £ (0,¿о), х £ К с начальным условием

1ре\2=-о = Мх),

Функция п2(г, |) (коэффициент преломления) определяет свойства некоторой слоистой среды, которая зависит от малого параметра неоднородности е 1 Это дифференциальное уравнение, из которого находится фаза волны (эйконал) 1р£ = фе{х, г) как функция координат

Такая модель описывает распространение звуковых импульсов, генерируемых сверхзвуковыми самолетами, ударные волны в атмосфере и океане, непрерывное излучение звуковых источников Исследуется случай, когда характерный масштаб е неоднородности среды мал по сравнению с толщиной слоя, в котором рассматривается задача

Вводится операция осреднения для произвольной 1-периодической по £ функции С, а)

Тогда соответствующим исходной задаче осредненным уравнением является

с начальным условием ^|г=0 = Фо(%) Требуется найти численно решения исходной и осредненной задач для произвольных функций п(г, "фо(х), проиллюстрировать сходимость приближенного решения к точному, определить порядок сходимости

В §3 2 строятся разностные схемы, соответствующие задачам эйконала и его осредненного уравнения Доказывается аппроксимация исходных задач схемами Найдены необходимые условия для устойчивости схем и сходимости решений разностных схем к точным решениям задач

В §3 3 приводятся результаты численных расчетов, включая графики решений и погрешностей

В заключении сформулированы основные результаты работы 1 Доказано существование статистического решения уравнения Бюр-герса При некоторых условиях на исходный случайный процесс доказано выполнение таких свойств решения, как однородность (независимость от сдвига) меры, стационарность, эргодичность При доказательстве используется разностная схема, решения которой рассматриваются как дискретные случайные процессы, аппроксимирующие непрерывный случайный процесс решения

2 Доказаны существование и единственность решения задачи распространения нелинейного акустического сигнала в среде с релаксацией Найдена осредненная задача, доказаны существование и единственность ее решения Доказана сходимость решения осредненной задачи к точному решению Для обоснования результатов построены пространства решений, используется метод приближений Галеркина, выводятся оценки решений из уравнений энергетического баланса, доказывается априорная оценка непрерывной зависимости решения от невязки

3 Построена разностная схема для нелинейного уравнения эйконала и соответствующего осредненного уравнения Доказана аппроксимация исходных задач разностными схемами Найдены необходимые условия для устойчивости схем и сходимости решений разностных схем к точным решениям задач

Публикации автора по теме диссертации

I Natalia Pshenitsyna Existence, unicity and asymptotic analysis for solution of the Burgers equation with relaxation // CANUM 2006, Imprimerie de l'Université de Rennes, 2006, p 200

2 Пшеницына НА О свойствах решений задач распространения волн в нелинейных средах // Материалы XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых „Ломоносов" Том

II — M СП „Мысль", 2007, С 93

3 Пшеницына H А Осреднение интегро-дифференциального уравнения Бюргерса // Международная конференция, посвященная памяти И Г Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им И Г Петровского) Тезисы докладов — M Изд-во МГУ, 2007, С 255

4 Лапшин Е А , Пшеницына H А Существование и свойства статистического решения неоднородного уравнения Бюргерса // Вестник Московского университета Сер 1 Математика Механика 2007 №5 С 68-69

Подписано в печать 21 09.2007 Формат 60x88 1/16. Объем 1п л Тираж 75 экз Заказ №698 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к А-102

Введение

1 Статистическое исследование неоднородного уравнения Бюргерса

1.1 Постановка задачи.

1.2 Нестатистическое решение задачи.

1.3 Построение пространств реализаций. Их свойства.

1.4 Статистическое решение задачи. Свойства меры.

1.5 Разностная схема.

1.6 Свойства решения.

1.6.1 Стационарность.

1.6.2 Эргодичность.

2 Задача распространения волн в средах с релаксацией

2.1 Постановка задачи.

2.2 Существование решения.

2.2.1 Оценка интегрального члена.

2.2.2 Оценка решения.

2.2.3 Обобщенное решение.

2.3 Устойчивость решений.

2.4 Единственность решения.

2.5 Осреднение по параметру осцилляции.

2.5.1 Осредненная задача.

2.5.2 Существование и единственность.

2.5.3 Сходимость решения осредненной задачи к решению исходной задачи.

2.6 Полное асимптотическое разложение решения.

3 Численный анализ уравнений эйконала и переноса

3.1 Постановка задачи.

3.2 Разностная схема. Ее свойства.

3.3 Результаты расчетов.

История вопроса и актуальность темы.

Одним из важнейших уравнений нелинейной акустики является уравнение Бюргерса. Оно возникает в различных областях прикладной математики, таких как моделирование движения газа и транспортных потоков ( [1]). Это уравнение выводится из теории распространения волн конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде, где диссипативные слагаемые приближаются разложением до второго порядка. В общем случае квадратичная нелинейность может быть заменена произвольной нелинейной функцией. Уравнение Бюргерса рассматривалось в работах Лакса П., Ильина А. М., Сушко В. Г., Кружкова С. Н.

Исследование статистических свойств решения уравнения Бюргерса проводилось во многих работах. Большинство из них связано с расчетом спектральных и энергетических характеристик случайного волнового процесса. В работе [2] рассмотрены изменения функций распределения для гауссовского процесса.

В частности, для квазигармонического (на входе) случайного процесса найдена одномерная функция плотности вероятности, существенно отличная от исходного гауссовского распределения ([3]); соответствующая интегральная функция измерена в эксперименте [3]. В другом предельном случае широкополосного спектра, когда образующиеся ударные фронты могут сближаться и взаимодействовать друг с другом, одномерный закон распределения вновь становится нормальным ([4]). При исходном неограниченном случайном процессе образование разрыва в простой волне может произойти сколь угодно быстро. В этом случае для описания процесса необходимо использовать дифференциальные уравнения более высокого порядка.

Однородное уравнение Бюргерса с начальным условием, являющимся случайным процессом, было рассмотрено в работах Васильевой О. А., Лапшина Е. А (см. [5, 6]), Синая Я. Г. (случай без вязкости), Z.-S. She, Е. Aurell, U. Friscm.

В настоящей диссертации рассматривается задача вынужденных колебаний в предположении, что генерируемый сигнал является случайным процессом. Задача описывается неоднородным уравнением Бюргерса, со стохастической правой частью. Эта задача не сводится к однородной задаче со стохастическим начальным условием, т. к. уравнение нелинейно.

Применяемые в других работах методы исследования статистических свойств решения уравнения Бюргерса основаны на предположении о стационарности и эргодичности решения уравнения Бюргерса. Поэтому актуальной задачей является обоснование выполнения этих свойств решения. Доказательства соответствующих результатов получены в настоящей диссертации.

А именно, в диссертации доказана стационарность решения уравнения Бюргерса для исходного стационарного нормального процесса. Показано, что при некоторых ограничениях на корреляционную функцию исходного процесса, случайный процесс решения является эргодическим в смысле корреляционной функции.

Поскольку задача нелинейна, результаты и методы, относящиеся к однородному уравнению, не могут быть непосредственно использованы при исследовании неоднородной задачи. Поэтому для доказательства свойств решения неоднородного уравнения со стохастической правой частью, рассматриваемого в настоящей диссертации, разработан новый подход. Построены особые дискретные приближения к решению задачи. В качестве таких приближений рассматриваются решения разностной задачи, соответствующей исходной. Доказывается сходимость дискретных решений к точному. Затем выводятся свойства приближенных решений, и с помощью предельного перехода обосновывается выполнение этих свойств для решения исходной задачи.

Другой актуальной задачей нелинейной акустики является исследование распространения сигнала в релаксационных средах. В средах с релаксацией (с памятью) поведение волны описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением (типа Бюргерса) с интегральным слагаемым в правой части. Это интегро-дифференциальное уравнение выводится из уравнения состояния и уравнения движения для среды с релаксацией (см. [7]). В то время как в классическом уравнении Бюргерса присутствует квадратичная нелинейность, в рассматриваемой задаче нелинейная функция произвольна; к тому же, из-за эффекта релаксации появляется интегральная часть. Назовем это уравнение иптегро-дифференциальным уравнением типа Бюргерса. В предельном случае оно переходит в уравнение

Кортевега-де Вриза-Бюргерса.

Аналитическое решение этой задачи пока не найдено. Поэтому анализ процессов искажения формы волны будет носить преимущественно асимптотический и качественный характер.

В настоящей диссертации рассматривается случай слоистой среды. Если порядок изменения параметров мал по сравнению с толщиной макроскопического слоя, тогда функции, описывающие свойства среды, а следовательно и коэффициенты уравнения быстро осциллируют. Отношение микроскопических изменений к толщине макроскопического слоя является малым параметром. Это влечет некоторые трудности для численного решения задачи, из-за необходимости задавать очень мелкую сетку, чтобы правильно обрабатывать все микроскопические колебания среды. По этой причине актуальной задачей является нахождение осредненной задачи с неосциллирующими коэффициентами, такое, что его решение близко к решению исходной задачи. Проблема осреднения хорошо изучена для линейных дифференциальных уравнений (см. [8]). Для каждого нелинейного уравнения поиск осреднения является сложной самостоятельной задачей. В диссертации получены осредненные уравнения, соответствующие нелинейному интегро-дифференциальному уравнению типа Бюргерса, доказаны теоремы существования и единственности решений исходной и осредненной задач, исследована сходимость приближенного решения к точному.

В другом предельном случае малым параметром является множитель интегральной части. Такая ситуация возможна, когда влияние релаксационных эффектов среды на функцию решения мало. При этом описание решения возможно в терминах асимптотических разложений по малому параметру [6], [9]. В настоящей диссертации строится соответствующее разложение и доказываются оценки близости его конечных сумм к точному решению. Таким образом, полученное асимптотическое разложение является не только формальным, но и асимптотическим рядом для решения, и может служить для описания решения задачи.

Важной задачей является построение аппроксимирующих разностных схем и численное исследование нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В статье [10] Е. А. Лапшина, Г. П. Панасен-ко рассматриваются нелинейные акустические уравнения в среде с быстро осциллирующими характеристиками. Эта модель описывает распространение звуковых импульсов, генерируемых сверхзвуковыми самолетами, ударные волны в атмосфере и океане, непрерывное излучение звуковых источников. В статье построены асимптотические решения этих уравнений, сходящиеся к точным решениям (в случае, когда характерный масштаб неоднородности среды мал по отношению к толщине слоя, в котором рассматривается задача). Для этих уравнений актуальной задачей является разработка соответствующих разностных схем, доказательство аппроксимации этими схемами исходных уравнений и численный анализ. Соответствующие доказательства и численный расчет, проведенные в диссертации, позволяют наглядно продемонстрировать сходимость асимптотических решений к точным. Также расчет с помощью программы дает возможность исследовать поведение решений за пределами области, для которой справедливы аналитические результаты.

Цель работы. 1. Построить статистическое решение неоднородного уравнения Бюргерса с правой частью, являющейся случайным процессом. Доказать стационарность решения уравнения Бюргерса для исходного стационарного нормального процесса. Показать, что при некоторых ограничениях на корреляционную функцию исходного процесса, случайный процесс решения является эргодическим в смысле корреляционной функции.

2. Построить осредненпую задачу с постоянными коэффициентами для интегро-дифференциального уравнения (типа Бюргерса), доказать существование и единственность решения исходной и осредненной задач, и близость их решений.

Построить полное асимптотическое разложение задачи по малому параметру при интегральной части. Доказать существование разложения и его сходимость к точному решению при стремлении малого параметра к нулю.

3. Провести численный анализ нелинейного уравнения эйконала и соответствующего ему осредненного уравнения.

Научная новизна. Для стохастического неоднородного уравнения Бюргерса впервые доказывается существование статистического решения, обосновывается выполнение таких свойств вероятностной меры решения, как однородность, стационарность и эргодичность. Впервые строится осреднение интегро-дифференциального уравнения типа Бюргерса, доказывается существование и единственность решений исходной и осредненной задач. Найдено полное асимптотическое разложение решения. Строго обосновывается сходимость приближенного (осредненного) решения и конечного асимптотического разложения к точному решению.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в настоящей диссертации результаты носят теоретический и практический характер. Доказанные свойства решений задач, рассмотренных в диссертации, и построенные к ним приближения могут быть использованы как для дальнейшего аналитического исследования дифференциальных уравнений нелинейной акустики, так и для их более быстрого и эффективного численного исследования.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1) 38й ежегодный международный конгресс по численному анализу CANUM, Франция, Ренн, май-июнь 2006;

2) научно-исследовательский семинар „Осреднение и кратные сетки", октябрь 2006, Франция, Париж;

3) конференция „Ломоносовские чтения", механико-математический факультет МГУ, апрель 2007;

4) международная конференция молодых ученых „Ломоносов", механико-математический факультет МГУ, апрель 2007;

5) международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"им. И.Г.Петровского, механико-математический факультет МГУ, май 2007;

6) научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, июнь 2007.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в заключении. Краткое содержание работы.

В первой главе рассмотрена задача вынужденных колебаний для случайного генерируемого сигнала. В §1.1 дана постановка задачи. Рассматривается уравнение Бюргерса dV dV d2V с начальным условием

V(z = 0,0) = 0 (0.2) при (z, в) из G, где G — полоса {0 < z < Z < оо, —оо <9 < оо}; е > 0.

Функции д(в) из некоторого пространства Во являются реализациями исходного случайного процесса. Тогда решение задачи будет являться реализацией статистического решения задачи.

Исходный случайный процесс задается вероятностной мерой //о, определенной на пространстве реализаций исходного процесса Во. Статистическое решение задачи Коши с исходной мерой цо определяется как некоторая вероятностная мера [i, заданная на пространстве В функций V(z,6).

В §1.2 приведены известные теоремы о существовании нестатистического решения уравнения.

В §1.3 даются определения пространств реализаций, доказываются их свойства, необходимые для построения вероятностной меры на пространстве решений.

В §1.4 вводится понятие статистического решения задачи.

Определение 1. Вероятностную меру Радона на пространстве В назовем статистическим решением задачи (0.1), (0.2) с исходной мерой /iq, если выполнены следующие условия:

1) мера /i сосредоточена на решениях уравнения, т. е. для любой непрерывной и ограниченной на пространстве В функции ip(V) имеет место

2) мера (1 удовлетворяет начальному условию в том смысле, что для любой непрерывной функции f(z,9), обращающейся в нуль при достаточно больших по модулю в, и любой непрерывной ограниченной на пространстве В функции ф{У) имеет место

Далее в §1.4 строится мера на пространстве реализаций решения, и таким образом доказывается существование статистического решения. Выводится свойство однородности (независимости от сдвига) меры решения.

Теорема 1. Если /го — произвольная вероятностная мера Радона на пространстве Во реализаций правой части д, то существует статистическое решение задачи (0.1), (0.2) с исходной мерой Цо

Теорема 2. Если fio — однородная мера на Во, то существует однородное статистическое решения задачи (0.1), (0.2) с исходной мерой А).

В §1.5 строится аппроксимирующая разностная схема задачи. Доказывается сходимость ее решения к точному решению исходной задачи.

В §1.6 с помощью решений разностной схемы, рассматриваемых как дискретные приближения к непрерывному случайному процессу, доказыв 00

В -оо ваются стационарность и эргодичность решения.

Теорема 3. Пусть д(0) — стационарный (в узком смысле) случайный процесс, тогда для любого фиксированного числа z решение V(z,Q) — стационарный в узком смысле процесс.

Теорема 4. Пусть д(в) — стационарный нормальный процесс с нулевым математическим ооюиданием и корреляционной функцией R(r).

00

Если несобственный интеграл /|Я(т)|2б?т сходится, тогда для любого о фиксированного числа z процесс V(z,0) при фиксированном значении z является эргодическим в смысле корреляционной функции.

Во второй главе рассматривается задача распространения волн в средах с релаксацией — интегро-дифференциальное уравнение (типа Бюр-герса).

В §2.1 дана постановка задачи: в области

Qx = {{х, у)' О^х^Х, -оо < у < оо} с начальным условием ф = 0,у) = р(у) (0.4) и условием периодичности и{х,у + 1) = и(х,у). (0.5)

Здесь е, т, S - константы, е > 0, т > 0, 5 > 0, 5 полагается малым параметром, р, а, р, у, /, tp - функции, р,а,р,и е С1 (К), р, а, (3, и > 0, / G

С1 (К), / удовлетворяет условию Липшица с константой L: \f{z\)—^ L\z\ — 221, v7 £ где wf'per — пространство Соболева периодических функций с конечной нормой || • Цз,

Вводится вспомогательная норма р 1 р 1

Ф,У)\\х= SUP / u2{x,ij), dy+ / u2y{x,y)dxdy. xe\o,X] Jo Jo Jo

Пространство X определяется как пространство периодических по у функций с конечной нормой || • ||х.

В §2.2 доказывается существование решения задачи с помощью метода приближений Галеркина.

Теорема 7. Ihjcmb f липшицева и функции р, а, р и и положительны на [0,Х]. Тогда существует обобщенное решение задачи (0.3), (0.4), (0.5).

В §2.3 доказывается вспомогательная оценка нормы разности решений через норму разности соответствующих правых частей уравнения.

Теорема 8. Пусть функции р, а, Р и и положительны на [0,Х], и f - липшицева: \/{щ) — f(u2)\ ^ Ь\щ — U2\. Тогда разность щ — щ удовлетворяет следующему неравенству: ui-u2\\l^Cd{f(^X,L,T)\\gx- g2\\Li.

В §2.4 из вспомогательной оценки выводится единственность решения задачи.

Теорема 9. Пусть функции р, а, р и и полоэюительны на [0,Х], - липшицева. Тогда решение задачи (0.3), (0.4), (0.5) в пространстве X единственно.

В §2.5 проводится осреднение по параметру осцилляции 5. Строится осредненное уравнение, выводится существование его решения. Доказывается сходимость приближенного решения иа к точному при стремлении параметра 5 к нулю.

Теорема 12. Справедлива следующая оценка для разности точного решения и задачи (0.3), (0.4), (0.5) и приблиэ/сенпого решения иа: ua(x,y)-u(x,y)\\x^Ca5l-d, где Са, d - константы, d < 1.

В §2.6 строится полное асимптотическое разложение решения по малому параметру е (коэффициенту при интегральной части). Доказывается существование каждого конечного приближения и сходимость к точному решению при стремлении параметра е к нулю.

Теорема 13. Справедлива следующая оценка для разности точного решения и задачи (0.3), (0.4), (0.5) и конечного приближения : uw - «||х < Ckek+\ т.е. асимптотическое разлоэюепие и^ сходится к точному решению и по норме || • ||х при г —> 0, и порядок сходимости равен k + l.

В третьей главе проводится численное исследование уравнения эйконала и соответствующего ему осредненного уравнения. В §3.1 дана постановка задачи.

Рассматривается уравнение

VVe? = n\z(0.6) в полосе z g (0, Zo), х € R с начальным условием

Фе Lo = Mrf, гДе v =

Уравнение (0.6) заменяется следующим уравнением:

W' так что рассматривается решение с неотрицательной производной.

Вводится операция осреднения для произвольной функции F(z,^,a) при условии, что предел существует: т

F)(z,a)= lim i f F{z&a)d£.

T—>+oo i Jq

В случае, когда функция F(z,£,a) 1-периодична по осреднение примет следующий вид:

F)(z,a)= f F(z,£, a) Jo

Тогда соответствующим исходной задаче осреднеиным уравнением является с начальным условием

В работе [10] доказывается следующее неравенство. sup \ф(х, z) - z)| ^ Ci(p(e) + 7(e)), zeR,z6[o,z4] где (3{г), 7(e) — функции, стремящиеся к нулю при е—>0. Т. е. решение осредненной задачи сходится к решению исходной задачи при е—>0.

Требуется найти численно решения исходной и осредненной задач для произвольных функций n(z, |), ipo{x), проиллюстрировать сходимость приближенного решения к точному, определить порядок сходимости.

В §3.2 строятся разностные схемы, соответствующие задачам эйконала и его осредненного уравнения. Доказывается аппроксимация исходных задач схемами. Найдены необходимые условия для устойчивости схем и сходимости решений разностных схем к точным решениям задач.

В §3.3 приводятся результаты численных расчетов, включая графики решений и погрешностей.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты работы.

1. Доказано существование статистического решения уравнения Бюргерса. При некоторых условиях на исходный случайный процесс доказано выполнение таких свойств решения, как однородность (независимость от сдвига) меры, стационарность, эргодичность. При доказательстве используется разностная схема, решения которой рассматриваются как дискретные случайные процессы, аппроксимирующие непрерывный случайный процесс решения.

2. Доказаны существование и единственность решения задачи распространения нелинейного акустического сигнала в среде с релаксацией. Найдена осредненная задача, доказаны существование и единственность ее решения. Доказана сходимость решения осредненпой задачи к точному решению. Построено полное асимптотическое разложение задачи по малому параметру при интегральной части. Доказано существование разложения и его сходимость к точному решению при стремлении малого параметра к нулю. Для обоснования результатов строятся пространства решений, используется метод приближений Галеркина, выводятся оценки решений из уравнений энергетического баланса, доказывается априорная оценка непрерывной зависимости решения от невязки.

3. Построена разностная схема для нелинейного уравнения эйконала и соответствующего осредненного уравнения. Доказана аппроксимация исходных задач разностными схемами. Найдены необходимые условия для устойчивости схем и сходимости решений разностных схем к точным решениям задач.

Публикации автора по теме диссертации

1. Natalia Pshenitsyna Existence, unicity and asymptotic analisys for solution of the Burgers equation with relaxation // CANUM 2006, Imprimerie de rUniversit£ de Rennes, 2006, p. 200.

2. Пшеницына H. А. О свойствах решений задач распространения волн в нелинейных средах // Материалы XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых „Ломоносов". Том II. - М.: СП „Мысль", 2007, С. 93.

3. Пшеницына Н. А. Осреднение интегро-дифференциально-го уравнения Бюргерса // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского): Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГУ, 2007, С. 255

4. Лапшин Е.А., Пшеницына Н.А. Существование и свойства статистического решения неоднородного уравнения Бюргерса // Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. 2007. № 5. С. 68-69

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доц. Е.А.Лапшину за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение

1. HOPF, E., The partial differential equation щ + uux = fiuxx — Comm. Pure and Appl. Math., Vol. 3, 1950, p. 201-230.2. руденко О. В., чиркин А. С. О статистике шумовых разрывных волн в нелинейных средах. ДАН СССР, 1975, т. 225, №3, с. 520.

2. Ахманов с. А., Дьяков ю. е., Чиркин А. с. Введение в статистическую радиофизику и оптику — М.: Наука, 1981.

3. ГУРБАТОВ С. Н., САИЧЕВ А. И. Вырождение одномерной акустической турбулентности при больших числах Рейнольдса — ЖЭТФ, 1981, 80, 2, с. 889-703.

4. О. А. Васильева О статистических свойствах решений уравнения Бюргерса. — Численный анализ на ФОРТРАНе/Под ред. В. В. Воеводина и В. А. Морозова. М.: Изд-во МГУ, 1980, с. 47-54.

5. О. А. Васильева, А. А. Карабутов, Е. А. Лапшин, О. В. Ру-денко Взаимодействие одномерных волн в средах без дисперсии. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

6. РУДЕНКО О. В., СОЛУЯН С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. — М.: Наука, 1975.8. н. С. бахвалов, Г. П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах — М.: Наука, 1984.

7. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989, с. 9-10.

8. Gregory P. Panasenko, Evgueny A. Lapshin Homogenization of High Frequency Nonlinear Acoustics Equations. — Applicable Analysis. Vol.74(3-4), p. 311-331.

9. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Москва: Наука, 1967.

10. Р. ЭДВАРДС Функциональный анализ. Теория и приложения — М.: Мир, 1969, с. 220.

11. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. — М.: Изд-во Советское радио, 1960.

12. Ширяев А. Н. Вероятность М.: Изд-во МГУ, 1979.

13. О. А. ЛАДЫЖЕНСКАЯ, Краевые задачи математической физики — М.: Наука, 1973, с. 165-169.

14. Л. С. ПОНТРЯГИН, Обыкновенные дифференциальные уравнения — М.: Наука, 1974.

15. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков Численные методы — М.: Наука, 2000, с. 65

16. С. Г. Годунов, В. С. Рябенький, Разностные схемы — М.: Наука, гл. редакция физ.-мат. Литературы, 1977, с. 240-243.