Теоремы существования и единственности статистических решений систем Навье-Стокса и Кармана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРА"'ВШИ

Р С О С Р

Московский ииститут электронного машиностроения

На правах рукописи УЖ 517.9

ГИШРКАЕВ Ваха Исаевич ТЕОРЕШ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ '

I

. СТАТИСТИЧЕСКИХ. РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НАВЬЕ-' СТОКСА И КА1МАНА

01.01:03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государстванноп университета имени М.В.Ломоносова

. Научный руководитель: доктор физико-математичвоких наук,

доцент А.В.Фурсиков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Угланов

кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Комеч

Ведущая организация: Харьковский государственный универоитет.

Защита диссертации состоится " .9 " С^Ге^рЛ 1£Э0 года в Л О час, на заседании специализированного совета К 063.68.05 в Московском институте электронного машиностроения по адресу: 109028, Москва, Ж-28, Большой Вузовский пер., д.3/1; МИЭМ, аудитория

«

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭМ. Автореферат разослан " " 1Х)0 к<3> 1990г.

Ученый секретарь специализированного совета

К 063.68.05 в МИЭМ -лТШк^ыссё

доцент Ту

П. В. Шнурков

Общая характеристика работы.

Актуальность теми. Работа поев, дана доказательству эрем существования и единственности статистических рэше-! системы уравнений Навье-Стокса, описывающих течение вяз-1 несжимаемой жидкости, а также аналогичных теорем для • ;темы уравнений Кармана, с помощью которых описываются юбанил пластины.

Основы статистического подхода к изучению турбулент-с течений жидкости были заложены в работах О.Рейнольдса, .Тейлора, А.Н.Колмогорова. Математические исследования в мистической гидромеханике начались с работы Э.Хопфа fI ] !ыли продолжены Ч.Фояшем [2] , М.И.Вишиком и А.В.Фурси-шм [3] , А.М.Вершиком и О.А.Ладьс. энской [4] и другими

\\о$г Е- ^ytitAitAic^' kyJ'wtiftria.tbU.c-*> fu.nc.iie--naJL CbluMW*.- J- Мл^-аЛ. kttb An**., HSl, vol- i, f. it-'Lb

Fсил*. С■ VUAiMioU Mt-vH-t- tibku. Efua.ti-

ЬМ,!,!.- fjuJ. ie*~Ly<. M*4. te-Jrf*, /} П, vtl.Hl,

f, m- in чэ, f- 5-

M^JUk M- <W f^M-Lv, A-V.

Вершин А.Ы., Ладыженская ti.А. Об эволюции меры, определяемой уравнениями Навье-Стокса и о разрешимости задачи Коши для уравнения Е.Хопфа: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. Д.: Наука, 1970, с.3-34.

авторами. В э?их работах было доказано существование статистического решения уравнений Навье-Стокса, и в двумерно случае - единственность статистического решения. Распрос! ранение полученных результатов на стохастический случай, то есть на случай уравнений Навье-Стокса с белым шумом в правой ^асти, дается в работах А.Бенсуссана и Р.Темама М.И.Вишика и А.И.Комеча [6] , Вио [7 Л и других.

Статистический подход применяется не только в теори! турбулен-чооти, но и во многих других вопросах механики, частности, при изучении колебаний пластины в работе И.И.] ровича £8Д предложено использовать статистический метод. Существование статистических решений, возникающих здесь : дач доказано И.ДЛуешовым в СЭЛ .

5 й-) X. '^сХи.^С^иМ , Ьр*- ^алил-^-окс*,.- А»*/., ОН, тге^.И ¿Я1, ( (lS-i.iL

6 Вишик М.И., Комеч А.И. Статистические решонвя сист мы Навье-Стокса и системы Эйлера. - Успехи механик

1982, 6, 1/2.

7 )/СеЛ М- («¿¿-Ьл. ¿1*ЦдаЛСопЛ (и*Л /елигЫ р {иШ ^оск^ку^. г^п \ Ци41. Са^и^, /)?(.

8 Ворович И.И. Статистический метод в теории устойчи вости оболочек,. - Прикл.матем. и мех., 1959, т.23, с. 885-891.

9 Чуешов И.Д. Существование статистических решений с хаотической системы уравнений Кармана в ограниченной области.- Мат.сб. 1983, т. 122 (164), с.291-^1

Во всех этих работах, посвященных вопросил разреии-зсти,обязательным предположением являлось конечность эедней энергии начальной меры, а в стохастическом случае эедполатались выполненными даже более"жесткие условия репейного убывания с показателем степени большим чем 2. юремы единственности решения задач Коши для уравнения >пфа и прямого уравнения Колмогорова доказывались при ещё >лее жестких условиях - в классе мер с экспоненциальным !ыванием на бесконечности. Естественно возникает вопрос, (сколько существенными являются эти условия убывания на юконечности для доказательства существования и единствен-1сти статистических решоний. Актуальность этой' проблемы ¡условлена тем, что условия у бывая, л на бесконечности, ;азанные выше, не всегда связаны с физической постановкой дачи, а определяются методом доказательства теорем, как пример, в случае теоремы о единственности статистическо- ■ решения.

Цель работы. Выяснить, насколько существенными в тео_ мах существования статистически решений являются усло-я убывания на бесконечности вероятностных мер, задающих определение начальных данных и правых частей. Исследовать прос о том, насколько можно ослабить ограничения на убыва-е на бесконечности мер, составляющих класс единственности атистических решений.

■ Методика исследования. В работе используются методы ории квазилинейных эволюционных уравнений, теории интег-Р9вания в функциональных пространствах, теории стсхастд-

ческих дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации установлены оледующш новые результаты.

1. Доказано существование пространственно-временноп статистического решения системы уравнений Навье-Стокса б( каких-либо условий убывания на бесконечности вероятности! мер, задающих распределения начальных данных и правой, части.

Аналогичный результат о существовании статистически: . решений без условий убывания на бесконечности распределений исходных данных получен и для стохастической системы уравнений Навье-Стокса.

Доказано существование пространстшнно-временного ст тистического решения стохастической системы уравнений Ка] мана без всяких условий убывания на бесконечности начальных мер.

2. Доказана единственность решения задач Коши для у; нения Хопфа в двумерном случае и для прямого уравнения Кс могорова, соответствующего стохастической сиееме Навьо--Стокса, заданной на двумерном торе. Этот результат получен в классе мер, имеющих конечную среднюю энергию и удо! летворяющих некоторому аналогу энергетического нерешенст!

3. Доказано существование решений задачи Коши для прямого уравнения Колмогорова, соответствующего стохастической системе Кармана, при условии конечности начальной средней энергии.

Таким образом, показано, что условия убывания на бес

онечности можно в случав теорем единственности сущеегвен-

0 ослабить, а почти во всех теоремах существования осво-одиться от них полностью.

Практическое и теоретическое значение. Работа имеет еоретичоский характер. Метост, с помощью которых получены эзультаты диссертации, могут найти применение при изуче-ии статистических решений других уравнений математической изики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

1 конференций молодых ученых МГУ в 1987 г., на семинарах лфедры общих проблем управления механико-математического акультета МГУ по задачам вариационного исчисления и опти-1льному управлению (под руководством д.ф.-м.н. М.И.Зелики-1, проф. В.П.Тихомирова, д.ф.-м.н. А.В.Фурсикова) и по определенным системам управления (под руководством ,ф.-м.н. А.В.Фурсикова).

Публикации. Основные результаты диссертации опублнко-1йы в 4-х работах автора, список которых приведен в кон-I реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ;едения и 3-х глав, разбитых на 14 параграфов. Объем дио-ртации 129 машинописных страниц. Список литературы со-ржит 50 наименовании.

СОДЕТДАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткий обзор результатов, относя-хся к теме диссертации, и приводятся формулировки основ-х результатов.

' Глава I посвящена доказательству существования пространственно-временного статистического решения операторного обобщения системы Навье-Стокоа со случайными правой частью и начальным условием. При этом на убывание на бесконечное вероятностных распределений начального условия и правой че ста не накладываются никакие условия.

Параграфы I, 2 посвящены постановке задачи. В § I изложена схема сведения смешанной задачи для системы Навье--Стокса к задаче Коши для операторного уравнения, имеющей ' вид

где А ~ линейный, а В - квадратичный операторы, В (I) • правая часть

//¿и и начальное условие" являются случайными независимыми элементами, определенным] на одном вероятностном пространства

Здесь и везде ниже ¿р •' - б** Т^//*^ ^ гдо пространство Соболева бездивергентных векторных полой гла костиоС^ОЦЯ- алгебра борелевских подмножеств топологиче ского пространства X.

Пера , ьо0 <е

задает распределена

вероятностей для -Не , а мера J~f ш), слг £ -

распределение вероятностей для

Вводятся основные пространства и определяется в какс . смысле понимается индивидуальное решение. Пространством

- 7 -

траекторий в данном случае является

г/им¿¡пс «Щ +Щ.

Отметим, что в[ З3 используются несколько другие пространства.

В § 2 дается определение пространственно-временного статистического решения.

Определение 1.2.1. Пространственно-временным статистическим решением (п.-в.с.р.) задачи (1), соответствую-1им мерам ^/{¿и) , , называется ве-

юятностпая мера Р на , где

, оолчдаюцая свойствам^ мора Р сосродс очена на пространство

. 1Г- Р/и)- £ я V к £ , тге 2ГУ" ехр + Ли/О, тУ/ф

~ О

це Я - характеристические функционалы мер Л., Отметим, что если задача (I) имеет п.-в.с.р., то она леет индивидуальное решение с вероятностью I.

В § 3 доказана одна из центральных теорем работы. Эта юрема дает возмоеность отказаться от условий конечности >едних энергий при доказательстве существования статисти-юких решений, как в случае задачи (I), так и в случае дачи с бе лиг- шумом в правой части. Теорема 1.3.2. Пусть

нормированные

остранства с нормами Ц • Ц , - вороят-

стная мера на у

гда для любого & существует неубывающая, но-

ограниченная, вогнутая функция 2+ , завися-

щая от » » Л-о такая, что

и) £/о)* с л)¿/хМ X.

В § 4 определяется галеркинское приближение (1.4.4) задачи (I). С помощью формулы ¿^

Уор £ вводится галеркинское приближение

п.-в.с.р.; здесь сРт. - оператор сопоставляющий начальному условию и правой части задачи (1.4.4) ее рошение, ^/уи, - галеркинские приближения мер

Для решений галеркинского приближения доказываются оценки

2 с/с,ум) ь/ #

^^тг^м^рл/^, (4)

где & - функция из теоремы1.3.2 при ¿¿^//у/'^

При их выводе используется неравенство Ухл & £+ > вытекающее из вогнутости б. В § 5 совершается предельный переход. При этом используются неравенства (3)', (4). В результате получится основная теорема главы I. , Теорема 1.5.1. Существует п.-в.с.р. задачи (I). Результаты главы I опубликованы в [ I, П .

В главе и исследуется вопрос о существовании прчстрая-ствевно-временных статистических речений стохастических систем Навье-Стокса и Кармана, заданных в ограниченной области.

Параграф I носит вспомогательный характер. В нем приводятся некоторые основные понятия, теоремы и рассуждения из стохастического анализа в форме удобной для дальнейшего изложения.

. В § 2 дается постановка задачи. Для Т^ <х>

рассматривается задача Коши

где - белый шум. На £ налагаются■ те же

условия, что и в главе I. Чороз Л обозначается мера на 7;' М) , порожденная винеровсксы процессом

.. Случайные элементы £ г/~* считаются независимыми.

Определяется индивидуальное решение уравнения (5). Пространством траекторий в- данном случае является

Определение П.2.1. Пространственно-временным статистическим решением (п.-в.с.р.) задачи (5), соответствующим заданным мерам -2, Л называется вероятностная

мера -Р на /обудовлетворяющая условиям

мера л - сосредоточена на

В § 3 исследуется галеркинское приближение задачи (5). -Решением галеркинского приближения задачи (5) называется случайный процесс М»,гУ1/¿¿е- прогрео-

сивно измеримый относительно семейства -алгебр

- определенного соотно-

шением (П.3.4), и удовлетворяющий следующей системе Ито

^/^//^/^^^/^У/^/Ж/ /// (6)

Случайные элементы £¿5». определены на ве-

роятностном пространстве

/Я.

При выводе оценок для решений галеркинскюс приближений используется следующая лемма.

Демма 11.3.1. Цусть ^ - функция из теоремы 1.3.2. Тогда существует неубывающая, неограниченная, вогнутая функция со свойствами - из тео-

ремы 1.3.2. такая, что 1

/Ух, <//^ •

Теорема П.3.1. и) Решение

задачи (6) су-

- II -

шествует для любого /%,/а ^ "И^п.)^ > кроме

множества -меры ноль.

А) отображение / //п.. ) & ¿¿п. измеримо по Борелю как отображение -¿т. в , так что можно определить борелевскую мору -Рт. на Я как распределение /¿г

^ ¡/¿-1 . Отметим, что в [10] аналогичная теорема для галоркин-ских приближений доказывалась при условии

(8)

где «С - некоторое положительное число. При этом свойства статистических решений зависели от оС.

Роль теоремы 1.3.2 и леммы П.3.1 заключается в том, что они позволяют проводить оценки для решений галеркшн ских приближений, не используя условие (8).

10 Вишик М.И., Комеч А.И., Фурсиков A.B. Некоторые математические задачи статистической гидромеханики. -УЫН, 1979, 34, вып. 5, с. 135-210.

В § 4 совершается предельный переход, в результате чего получаем одну из основных теорем 2-й главы.

Теорема П.4.1. Существует п.-в.с.р. £ задачи (5)

Показлвается, что Р сосредоточена на пространстве ШпЬ'с.

В работеЗJ , вышадг.ей позже работаю, Ш 3, доказано существование п.-в.с.р. в случае конечности начальной средней энергии, сосредоточенного на пространстве

и, = ¿'с*, п , где а? произвольное

число из - пространство

функций и(£) о конечными полунормами „ , ... ЦИ/Ь)- иЮЬ у

Это пространство V гораздо шире пространства 17Ь П , использованного в теореме П.4.1 диссер-

тации. Ранее существование п.-в.с.р., сосредоточенного на 1ТЬ было установлено в£кГ} при жестком условии (8) с

Результаты §§ 1-4 данной главы опубликованы в ГшЗ

В § 5 изучаются п.-в.с.р. стохастической системы Кармана

С и V/ гс Лги -Ги, г*]= х)/- х))

( 9) (Ю)

(И)

где - ограниченная область в £ с границей Р^?

класса аг , у -константы,

- винеровский процесо, ^/V ^ € у. /

Ч/х)^• Производные понимаются в смысле обобщенных функций.

Предполагается, что начальные данные являются случайным элементом на пространстве (2) с распределением _// на . Случайные элементы Чх К независимы . Определяется п.-в.с.р. задачи (9)- (12). Для доказательства существования п.-в.с.р. пользуемся схемой примененной в §5 1-4.

Теорема П.5.2. Существует п.-в.с.р. Р задачи (9) - (12). Мера Р сосредоточена на {г/

, где Э£ - произвольное

число из Зо, г С

Таким образом, в § 5 без всяких условий на убывание на бесконечности начальной меры подучен тот же результат, что и в [9] при условии степенного убывания начальной меры с показателем степени равным 4.

Глава Ш посвящена теоремам единственности статистических решений задачи Коши для уравнения Хопфа и прямого уравнения Колмогорова. Кроме этого Доказано существование решений для прямого уравнения Колмогорова, соответствующего

стохастической системе Кармана.

В § I исследуется единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего уравнению (I). При этом предполагаем, что £ - неслучайна, распределение ^ начального значения Ц, задало на //^¿Зу^^ и

Пусть / - А

Опроделенде Ш.1.1. Семейство вероятностных мер у//^ t**J с абсолютно непрерывной по ^ характеристической функ-

, удовлетворяющее пр.. почти всех ' и любых г^е)-/ уравнению

Хопфа

КГ/<1 г*>), - : < ^ /у, ^

называется пространственным статистическим решением (п.о.р.) уравнения (I), если 3с^^с^ : У&>о

где ; = {ие и/ Иг/* ±.

Ставится задача Коши длй уравнения Хопфа заданием начальной цари ^ . Эта задача рассматривалась

многими авторами различными методами^З, 10, II, \l). Мы будем следовать подходу из [ 37 .

П.с.р. в предыдущих работах определялось по другому. А именно, условие (14) заменяется более слабым: 3Cg :

jM^fi M*JJt t'/fafr^M^ 4 fSuwfyfryzsJ,JO.

При доказательство существования мы рассматриваем п.о.р. как сужения при фиксированных t п.-в.с.р.

Единственность п.с.р. доказана Фояшом в 2-мер-

иом случав в классе мор, удовлетворяющих условию

JJ//V// ге с' IUVjv // ¿/„J^ (15)

с

которое гораздо ограничительной условия (14).

Цусть - множество всех прямоугольников из

JVdftJ JVjft) -два п.с.р., соответствующие одному и тому же начальному условию jU. , удовлетворяющему неравенству (13), 0&{Л) - цилиндрическое множество о основанием Л.

Теорема Ш.1.2. Для любых 2

J/j /Т, = ^ /К

Для доказательства теоремы ИЛ .2 по данному

II Вишик М.И., фурсиков A.B. Уравнение Хопфа, Статистические решения, моментные функции, соответствующие системе уравнений Навье-Стокса и уравнению Бюргерса: Препринт № 66, М.: Ин-т проблем механики Ал' СССР,1976.

\

- 16 -

выбирается некоторый функционал Ф . Функционал

ФА?^/^, ^ являетсг первым

интегралом соответствующей галеркинской системы. Вместо в уравнение Фояша

Sfí¿| ¿/^^¿Ъ ч)-(16)

подставляется г, {¿^ ¿//«=У . где 2?

некоторая срезающая функция. При оценке правой части (16) переходим к пределу при /п- V <х> . При этом возможность отказаться от условия (1Ь) дается условием (15) и присутствием срезающей функции.

Из теоремы Ш.1.2 по теореме Каратеодори вытекает равенство

В § 2 рассматривается прямое уравнение Колмогорова, соответствующее уравнению (5). При этом считается, что

^ неслучайна и для распределенияуу/У^т /А/¿¿/¿/^

начальнвго значения 2/с выполнено условие

^^ + ^ ■ ' (17) .

Пусть Х/^ - < ¿/^/¿4г}>М6}»;гг>/г

Прямым уравнением Колмогорова, соответствующим (5) называется уравнение

где - характеристический функционал меры ^ №) .

Определение Ш.2.1. Семейство вероятностных мер на , удовлетворяющее прямому

уравнению Колмогорова (18) для любых // ", где - непрерывная функция,называется п.с.р., стохастической системы (5), если 3 ¿д ■

А ^/е; -и (19)

гью^еС*.,?!

Ставится задача Коши для прямого уравнения Колмогорова заданием начальной меры уи Яг^

Теорема Ш.2.1. Существует п.с.р. задачи Коши для прямого уравнения Колмогорова.

В доказательстве этой теоремы существенно используется неравенство (19).

Задача Коши для прямого уравнения Колмогорова рассматривалась в 13, 6, 10, 12} . Существование решения доказывалось до сих пор в случае, когда начальная мера'иУ удовлетворяло при некотором о1 У & условию

с-. (20)

I

В/ГзЛ указано на возможность взять оС =0 , однако доказательство не приводится.

12 Вишик М.И., Комеч А.И. О стохастической системе

Навье-Стокса и соответствующих уравнениях Колмогорова. - ДАН СССР, 1981, т.257, К 6, с. 1296-1301.

Определение п.с.р. во всех этих работах несколько отличается от приведенного выше.

Параграф 3 посвящен единственности п.с.р. для прямого уравнения Колмогорова, соответствующего стохастической системе Навьс-Стокса (И.3.1), (Ш.3.2), заданной на 2-мерном торе.

Теорема Ш.3.1. Задача Коши с начальной мерой = уи/^г/), удовлетворяющей условию (Ш.3.1), для прямого уравнения Колмогорова, соответствующего задаче (Ш.3.1),

/ГУ лт!

(Ш.3.2) имеет решение^удовлетворяющее при любых < >¿7

неравенству

. *

у *о х'^сме) Сго' (21)

• / Л ^аЬ) /#< '/г

Теорема Ш.3.1 доказывается так же, как теорема Ш.2.1.

Теорема Ш.3.2. Решение задачи Коши для прямого уравне- . иия Колмогорова, соответствующего задаче (Ш.3.1), (Ш.3.2) единственно в классе мер, удовлетворяющих неравенству (21).

Теорема Ш.3.2 является центральной в данном параграфе.

При несколько другой определении и.с.р. Ц.И.Вшякком, А.И.Комечем в [12] доказано аналогичное утверждение в классе мер, удовлетворяющих при некоторой и любых ■£ е /У«, / 7^ неравенству

е/^'^/^у^^ (22)

При рассмотрении вопроса о единственности л.с.р. ио-

зледование задачи (Ш.3.1), (Ш,3.2) вместо более общей задачи (8) связано с тем, что при выводе оцонок в процессе доказательства требуется гладкость решений более высокая, чем гладкость, имеющаяся в случае задачи .(8).

Ъ[Т20 используется та же идея, что и в, случае уравнения Хопфа. Точноо, М.И.Вишиком, А.И.Комочем выписывается аналог уравнения Фояша для п.с.р.

, , , / ^

где на функционал £ наложены некоторые ограничения. В (23) вместо Р подставляется аналог первого интеграла галеркинского приближения и оценивается правая часть (23).

При доказательстве теоремы Ш.3.2 мы пользуемся схемой, примененной нами в случае уравнения Хопфа. При этом из-за 3-го слагаемого в правой части (23) нам приходится вместо срезающей функции из доказательства тоореыы Ш.1.2 использовать функцию

%{х) /см № 3 3>М

которая водет себя па бесконечности как & . Возможность отказа от условия (22) проистекает из условия (21) и присутствия функции Х/%)

Результаты §§ 1-3 опубликованы в Г17J

В § 4 исследуется прямое уравнение Колмогорова, соответствующее стохастической системе Кармана. Методы, используемые здесь, аналогичны методам из $ 2.

Пусть V" I и , у/ - распродо-

ленио начальных значений на . Предположим,

что полная энергия распределения ^ конечна Л£№<,/¿4) /¿{¿/1?) 4 ¿>° , Мера у/ приближается мерами С • сосредоточошшг.ш на шарах радиуса £ . Через у/ е/т£}

обозначается п.с.р. , когда в качестве начального распреде-р

. ления взято у

Теорема И.4.1. Зсм,е,л ' У*,£>0,

ЬЛ $ и) ' (24)

/т^/МчсЬПг-ЛЬз.]))

Основная теорема Ш.4.2 следует из (24)

т

Теорема Ш.4.2. При либом ТУ е И/ характеристический функционал

меры уЧ

К) абсолютно непрерывен по ■к и удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова. Отметим, что теорема Ш.4.2 была доказана в£9И в слу-. чае, когда при некотором Там же ставится вопрос о доказательстве существования п.с.р. в случае о/ -0

Автор искренне благодарен своему научному руководителю А.В.Фурсикову за руководство работой.

Работы автора по теме диссертации.

I. Гишларкаев В.И. Статистическое решение системы Навье--Стокса в случав босконечной средней энергии. - Вестн. Иоск. ун-та. Ыатем., иех. 1983, * I, с.9-13. П. Гишларкаев В.И. Статистическое решение системы Навье--Стокса в случае бесконечной средней энергии. - Мате-

— ¿А -

матическкй анализ и ого приложения: сборник научных трудов, Чечено-Ингушский университет. Грозный, 1984,

Ш. Гишларкаев В.И. Статистическое решение стохастической системы Навье-Стокса в случае бесконечной средней энергии. - Экстремальные задачи, функциональный анализ и их приложения. Под ред. П.Л.Ульянова и В.М.Тихомирова. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988, с.64-67.

1У. Гишларкаев В.И. О единственности решения задачи Коши в двумерном случае для уравнения Хопфа и прямого уравнения Колмогорова. - Вестн. Ыоск. ун-та. Ыатем., мех. 1990, »2, с.77-60.

С. 74-81.

Л. 34358 от 29.05.90 г. Зак. 242 Объём I п.л. Тжр.ЮО

миэм. Москва, м. ижонерская ул.,12