К теории гомологии расслоенных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§ I. Предварительные понятия

§ 2. Цепные операции

§ 3. Коцепные операции

§ Внешнее умножение для функтора

§5. Внутреннее умножение для функтора

§ 6. Преддифференциал суммы Уитни расслоенных пространств

§ 7. О симметрическом произведении Масси

Работа относится к теории гомологии расслоенных пространств. Основной целью работы было изучение суммы Уитни расслоенных пространств [.18] в терминах слагаемых расслоений. Мы интересовались как выражается т.н.преддифференциал ( в смысле [2] ) суммы Уитни расслоенных пространств через преддифференциалы слагаемых. Для простоты ограничиваемся во всей работе случаем, когда гомологии слоя есть свободные модули.

Как показано в £ 2] »задача построения преддифференци-ала расслоения, которая фактически и определяет спектральную последовательность расслоения ( как и задача определения спектральной последовательности покрытия) сводится к абстрактной задаче, которая приводится ниже.

Пусть — упорядоченный симплициальный комплекс и пусть над задана т.н. О-мерная локальная система дифференциальных градуированных модулей ( см.определение на стр. 92 ). Через Сг(С) и '(я(С) обозначим локальные системы типа когомологии ( см.опр. на стр. 93 ) над тем же , которые строятся при помощи 0-мерной локальной системы С ( см.опр.76). Для каждой О-мерной локальной системы С определяется преддифференциал с( £ 2] который является элементом некоторого множества О(К>0г(С)) и который однозначно определяется любым (-^-мерным элементом из алгебры С* С^ ) Ог(С)) , удовлетворяющим следующему условию: для существует О-мерный элемент К из Об- модуля С*(К/Сг(е)) » 0 некоторым начальным условием ( см.стр. 98 ), такой, что и К, удовлетворяют уравнению где V —дифференциал в С*( К/Сг(С)) > через " • " обозначено действие С*( К/СгСС)) в НКДС)К*(ШС!) см. (б.П) на стр. 96 ). Из условия (•*) следует скрещенность коцепи -рь , т.е. vfl = ~íc*il.

Наша задача, сформулированная в таких же терминах, т.е. в терминах локальной системы, имеет следующий вид.

Пусть заданы О -мерные локальные системы С и С2* над упорядоченным симплициальным комплексом . Требуется выразить преддифференциал о((С) » соответствующий

О -мерной локальной системе »через преддифференциалы

Для решения этой задачи мы построили (теор.1) цепную операцию

Е :С(К) — Сиаг(С(Ю)*СоЬг(С(Ю) .

При помощи Е. определяется операция •• ГСК.^хПК.СгСС1)) —

Эта внешняя операция, со своей стороны индуцирует внешнюю операцию ф: 0(К,&(с'))х0(К,&(С1)) — — рек, (ЗгСс'вс)).

Задачу решает

Теощма. d (C<<S>C") ^оКС1) Фо((С1),

Следствием этой теоремы является

Теорема. Если заданы расслоения в смысле Серра =

Bi>&) и в и чеРез li+Js. обозначена сумма Уитни этих расслоений, то

VSJ-^eolfo), где обозначает преддифференциал расслоения J

Упомянутая выше цепная операция El в работе определена на категории ¡X. — полусимплициальных множеств без операторов вырождения. Если , то С#(К) является ко-алгеброй и можно построить Cobar конструкцию (У>(С#(|ф.

Пусть L = Ном (Су ) Col (Су-) ® CU обозначает множество естественных преобразований функтора в функтор Со4>(С&) ® СсЛ (С*0 • ks является дифференциальной градуированной алгеброй ( D& алгеброй ), с дифференциалом который определяется стандартно ( см.опр.4). Через L, обозначим подалгебру L £ L регулярных естественных преобразований ( см.опр.29).

Теорема, а) Б алгебре Ь существует ffj-мерный элемент , удовлетворяющий условиям :

1) v Е --Е'Е (т.е. Е.—скрещивающая коцепь);

2) компоненты этого элемента С — С®А Ем : С —" Д®с. определяются для каждого равенствами ОС^С(К). 3) Е°"и=0. Ев,=0 .при пН. в) Если Е и 'Е. —■ С-О-мерные элементы из , удовлетворяющие условию I, а также условию Е^^'Е0'*, ¡5*'° -'ё'10 » то существует О -мерный элемент Рб!^ Р°,(?=0 » Для которого выполняется равенство

УР = Е-Е + Р-Е -'Е*Р т.е. Е эквивалентно /Е- в смысле эквивалентности ^ ( см.формулу (4.2)).

Компоненты

Ем = с* (Су@ •р-@с>(с*е--®с*) есть ^ -произведение Стинрода ( цепной вариант). Равенство нулю Е^ и равенство V Е , в соответствующей размерности

2.Д), есть в точности равенство Хирша 22^ для у-про-изведений. Равенство для дает аналог равенства Хирша.

Цепные операции Е = ^ естественно определяют структуру коалгебры в Со1> (С*(.К)) » для любого полусиыплици-ального множества К^гЗС » Со|?(С*()) ковариантный функтор из в категорию дифференциальных градуированных коалгебр.

Если )( — топологическое пространство и ОСоЬ X »то С*- ( X ; ~ С* являетоя коалгеброй и £ индуцирует, естественным образом, операцию коалгебры в

Операция ^ имеет еще два нижеприводимых приложения.

В множестве 0(К;А) С ем.стр. 68 ), где и Д — Обг алгебра, при помощи Е- определяется внешняя операция е: ООи)хО(К,&)—Р(К,А®&).

Если А —коммутативная рСг алгебра, то имеем

0(М) х 0(К,А) А® А) — 0(К, А) •

Доказывается (теорема 8), что эта композиция определяет структуру абелевой группы на множестве

Следующее приложение операции £ - в произведениях

Масси. Высшие произведения Масси (ю^З) и, в частности, симметрические произведения, определены, как подмножества групп когомологии [24] . В работах [4 , 5J произведения Масси выражено в терминах функтора О . Используя это определение и вышеуказанную структуру абелевой группы в 0(Х;А") доказывается

Теорема. Если К - нечетное число, или Л = 2г,то симметрическое произведение Масси , где ^ ^Н^О^Л)) является смежным классом относительно подгруппы

Операция Е получила применение в работе [9] для описания когомологической структуры расслоенных пространств. В работе [и] алгебраизировано понятие операды Мея и это понятие применено для определения коцепных операций.

Содержание диссертации по параграфам следующее. В § I приводятся предварительные понятия. В § 2 строятся цепные операции Е~{ . В § 3 вводятся коцепные операции

ЕР'Ч • где (С*@ • @С*) ® (с*® •С*) - С* которые индуцируются цепными операциями { Е^] «При этом С^ ® С* —> С* есть у-произведение Стинрода; и равенства V £~Е'Б и ^Е^'^О дают равенство Хирша для ^ -произведения.

В § 4 определяется внешняя операция Ф , а в § 5 индуцированная ею ( в частном случае) внутренняя операция, придающая множеству Р(Х/А) структуру абелевой группы.

В § б решается основная задача: преддифференциал суммы Уитни расслоений в смысле Серра выражается через преддиффе-ренциалы слагаемых расслоений.

В § 7 приводится применение операции Е. к симметрическим произведениям Масси.

Теория гомологии расслоенных пространств, с точки зрения, близкой к рассмотренной в данной работе, изучалась в£21 , 23 , 19 , 20 , 25 , I , 2 , 3 , 10 , 8 , 6 ] .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14 , 15 , 16 , 17]и докладывались на семинарах отдела алгебры и геометрии Математического института им.А.М.Размадзе АН ГССР, на конференции молодых ученых по математике и механике (Тбилиси ,1976), на УП всесоюзной топологической конференции (Минск,1977), на УП конференции математиков высших учебных заведений Грузинской ССР (Батуми, 1977).

1. Берикашвили H.A. О дифференциалах спектральной последовательности. - Сообщ. АН ГССР, 1968, т.51, № I, с.9-14.

2. Берикашвили H.A. Дифференциалы спектральной последовательности. Труды Тбил.матем.ин-та, 1976, т.51, с.1-106.

3. Берикашвили H.A. О теории гомологий пространств. Сообщ. АН ГССР, 1977, т.86, № 3, с.529-532.

4. Беитришвили Т.В. О произведении Масси. Сообщ. АН ГССР, 1977, т.87, № I, с.33-36.

5. Беитришвили Т.В. О симметрическом произведении Масси. -Сообщ. АН ГССР, 1977, т.88, № 2, с.277-280.

6. Беитришвили Т.В. О дифференциалах спектральной последовательности. Сообщ. АН ГССР, 1980, т.99, №2, с.273-275.

7. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976. - 463 с.

8. Кадеишвили Т.В. О дифференциалах спектральной последовательности косого произведения. Сообщ. АН ГССР, 1976, т.82, № 2, с.285-288.

9. Микиашвили М.В. О мультипликативной структуре в когомоло-гиях расслоенных пространств. Сообщ. АН ГССР, 1980, т.97, № 3, с.565-568.Ю.Смирнов В.А. Скрещенные тензорные произведения и сильная гомотопия: Дис. канд.физ.-мат.наук. М., 1975.- 83с.

10. Смирнов В.А. О коцепном комплексе топологических пространств. Матем.сб., 1981, т.И5 (157), № I (5), с.146-158.

11. Спеньер Э. Алгебраическая топология.- М.: Мир, 1971.- 680с.

12. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.:ИЛ, i960. - 510с.

13. Хелая JI.Г. О некоторых цепных операциях.- Сообщ.АН ГССР, 1979, т.96, № 3, с.529-532.

14. Хелая Л.Г. О гомологиях суммы Уитни расслоенных пространств. Сообщ.АН ГССР, 1980, т.97, №2, с.297-300.

15. Хелая Л.Г. Операция сложения в функторе Ц)(Х;А)*~ Сообщ. АН ГССР, 1981, т.103, Ш 3, с.545-548.

16. Хелая Л.Г. О симметрическом произведении Масси.- Сообщ. АН ГССР, 1982, т.105, 1й 3, с.473-475.

17. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.- М.:Мир, 1970.442 с.

18. Brown Е.Н, Twisted tensor products, I,- Ann.Math., 1959, v.69, No,1, p.223-246.

19. Cockroft W.H. On a theorem of Borel.- Trans.Amer.Math. Soc., 1961, v.98, p.255-262.

20. Hirsch G. Sur les groupes d'homologie des espaces fib-rés.- Bull.Soc.Math. Belgique, 1953, v.6, p.79-96.

21. Hirsch G. Quelques propriétés des produits de Steenrod.-C.R.Acad.Sci.Paris., 1955, v.241, p.923-925.

22. Hirsch G. Sur la définition d'opération cohomologiques d'ordre supérieur au moyen d'une suite spectrale.- Bull. Soc.math. France, 1959, v.87, p.36l-3S2.

23. Kraines D. Massey higher products.- Trans.Amer.Math.Soc., 1966, v.124, P.431-449.

24. Shih W. Homologie des espaces fibrés.- Inst.Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1962, v.13, p.1-88.