Гомологии и деформации некоторых градуированных алгебр и супералгебр Ли векторных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи л

Кочетков Юрий Юрьевич

ГОМОЛОГИИ И ДЕФОРМАЦИИ НЕКОТОРЫХ ГРАДУИРОВАННЫХ АЛГЕБР И СУПЕРАЛГЕБР ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Ярославль — 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Московского государственного института электроники и математики.

Защита состоится 14 апреля 2006 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослан марта 2006 г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Неретин Юрий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

Онищик Аркадий Львович

доктор физико-математических наук Фейгин Борис Львович

Ведущая организация

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Ученый секретарь диссертационного совета

Яблокова С.И.

Общая характеристика работы Актуальность темы

Гомологическая теория градуированных алгебр и супералгебр Ли насчитывает более 30 лет интенсивного развития. За это время были разработаны основные методы изучения гомологий и найдены гомологические характеристики многих важных и интересных объектов1 Выявились, однако, и принципиальные трудности теории: однообразие и относительная элементарность используемых методов и высокая комбинаторная сложность доказательств. Часто (например, в случае Li-подалгебр алгебры Витта W или супералгебры /<(1,1)) поведение размерностей групп гомологий совершенно очевидно, но доказательство, казалось бы очевидного утверждения, трудно или вообще неизвестно.

К началу 90-х годов были описаны (ко)гомологии алгебры полиномиальных векторных полей от п переменных Wn и некоторых ее подалгебр, причем не только с тривиальными коэффициентами. Гомологические свойства L* подалгебр этих алгебр были изучены лишь для алгебры И^ (т.е. для алгебры Витта IV): описание H,(Lk), к > 1, было дано в работах Л.Гончаровой2 и Ф.Вайнштейна3, а описание H*(Li,M), где М — т.н. дифференциальный модуль, в работе Фейгина-Фукса 4. Кроме того, был достигнут существенный прогресс в описании гомологий с тривиальными коэффициентами и деформаций конечномерных супералгебр векторных полей.5

Нерешенными остались задачи описания (ко) гомологий с нетривиальными коэффициентами алгебр Ли векторных полей с числом переменных ^ 2, описания (ко)гомологий L* подалгебр таких алгебр и описания (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами подалгебр С И^, к > 2, а также некоторые задачи о конечномерных супералгебрах Ли векторных полей. Задача вычисления (ко)гомологий Z/fc подалгебр алгебр Wn представляется безнадежной уже для алгебры W2. Для ее подалгебры гамильтоновых

*Фукс Д-Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли — М. Наука, 1984.

2Гончарова Л.В. Когомологии алгебр Ли формальных векторных полей на прямой // Функц. анал. и его прил. — 1973. — 7(2). — С. 6-14.

3Weinstein. Filtering Bases: A Tool to Compute Cohomologies of Abstract Subalgebras of the Witt Algebra // Advances in Soviet Math. — 1993. — 17. — C. 155-216.

4Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Гомологии алгебры Ли векторных полей на прямой // Функц. анал. и его прил. — 1980. — 14(3). — С. 45-60.

5Leites D., Fuchs D. Cohomology of Lie superalgebras // С. r. Acad. Bulg. Sei. - 1985. - 37(12). - С. 1595-1596.

векторных нолей на плоскости доказана лишь частичная теорема конечности.6 Но для #(1,1) — супералгебры Ли формальных векторных полей от одной четной и одной нечетной переменной задача представляется более доступной.

Суммируя можно сказать, что первоочередные задачи гомологической теории (супер)алгебр Ли векторных полей — это описание гомологий с тривиальными коэффициентами подалгебр Ьк алгебр Ли формальных векторных полей от двух переменных и описание деформаций таких алгебр, а также описание (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами (в том числе деформаций) подалгебр Ьк С И^. Недавно Д.Фукс и А.Фиаловски7 дали полное описание деформаций подалгебры С И^. В своей следующей работе8 они предложили процедуру построения базы миниверсаль-ной деформации данной алгебры Ли. Применение этой техники к алгебре С IV\ позволило дать более прозрачное доказательства основного результата их предыдущей работы. Следующий по сложности объект — это подалгебра £2 С И^. Однородные деформации (т.е. деформации, отвечающие однородным в смысле градуировки коциклам) были впервые изучены автором и Постом.9 В недавней работе Поста и Фиаповски10 были обобщены результаты предыдущей работы автора и Поста и была предпринята попытка дать описание базы миниверсальной деформации алгебры 1>2. Эту попытку нельзя считать вполне удачной: описание базы столь громоздко, что понять геометрию базы из этого описания нельзя. Этот результат показывает, что надежды, возлагавшиеся на метод Фиаловски-Фукса вряд ли обоснованы.

В приложениях особенно важны три задачи: задача о соотношениях, задача об одномерных центральных расширениях и задача о деформациях. Среди задач о когомологиях с нетривиальными коэффициентами задача о деформациях самая важная, в том числе и потому, что алгебры Ли векторных полей играют заметную

6Фукс Д.Б. Конечномерность гомологий алгебры гамильтоновых векторных полей на плоскости // Функц. анал. и его прил. — 1985. — 19(4). — С. 68-73.

7Fialowski A., Fuchs D. Singular Deformations of Lie Algebra L\ // Amer. Math. Soc. Transi. - 1997. - 180(2). — С. 77-92.

8Fialowski A., Fuchs D. Construction of miniversal deformations of Lie algebras // J. Funct. Anal.- 1999. - 161(1). - C. 76-110.

9Кочетков Ю.Ю., Пост Г.Ф. Деформации бесконечномерной нильпотентной алгебры Li // Функц. анал. и его прил. — 1992. — 26(4). — С. 90-92.

10Fialowski A., Post G. Versal Deformations of the Lie Algebra £2 // J. of Algebra. - 2001. - 236. - C. 93-109.

роль в физике, и деформации таких алгебр имеют отчетливый физический смысл. Задача о соотношениях сводится к вычислению второй группы гомологий с тривиальными коэффициентами, задача об одномерных центральных расширениях — к вычислению второй группы когомологий с тривиальными коэффициентами, задача о деформациях — к вычислению второй группы когомологий с коэффициентами в присоединенном представлении. Описание соотношений позволяет понять структуру бинарной операции — скобки в алгебре Ли, т.е. насколько алгебра отличается от свободной. Центральные расширения и деформации позволяют строить новые алгебры Ли, интересные для приложений (как, например, алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Витта Wi).

Особый интерес вызывает изучение гомологических свойств ниль-потентных подалгебр L* градуированных алгебр Ли (т.е. линейных оболочек однородных элементов степени ^ к, к ^ 1). Во-первых нильпотентность позволяет изучать бинарную операцию в "чистом"виде, следя за образующими и игнорируя элементы неположительной степени; во-вторых знание (ко)гомологий нильпотент-ной подалгебры позволяет находить гомологии самой алгебры с нетривиальными коэффициентами, используя спектральные последовательности. Как отмечал Ф.Вайнштейн11, вычислить группу Н3(Ьк) — задача той же сложности, что и вычислить все группы H*(Lk). Чисто комбинаторные рассуждения, которых достаточно для вычисления групп 7/2(1/*, •), не работают в случае высших (ко)гомологий.

Цель работы.

Целью работы является вычисление соотношений и изучение деформаций ряда классических (супер)алгебр Ли формальных векторных полей и их подалгебр.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 80 страницах и состоит из введения и шести глав. Библиография включает 23 наименования.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными являются следующие результаты:

11Weinstein. Filtering Bases: A Tool to Compute Cohomologies of Abstract Subalgebras of the Witt Algebra // Advances in Soviet Math. — 1993. — 17. — C. 155-216.

(1) Найдены вторые группы гомологий подалгебр Ьк(К( 1,1). Построены производящие ряды их эйлеровых характеристик. Вычислена группа Я2(Ь1(Я'(1,1)),1>1(/<"(1,1))) и доказано, что коциклы из этой группы не продолжаются до глобальных деформаций.

(2) Вычислена группа Н2(Ьг{№\), Ь2{\Уг)). Для однородных (в смысле градуировки) коциклов из этой группы вычислены препятствия Масси. Описаны деформации, порождаемые этими коциклами.

(3) Для 11(2) гамильтоновой алгебры Ли на плоскости вычислена группа Я2(Я(2),Я(2)). Эта группа одномерна. Найден явный вид нетривиального коцикла — образующей этой группы. Построена деформация, порожденная этим коциклом.

(4) Для чисто нечетной гамильтоной супералгебры II (0, п) вычислены группы Яг(Я(0,п)) и Я2(Я(0,п),Я(0, п)). Описаны соотношения в подалгебре ¿х(Я(0,п)) и найдены деформации, порожденные нетривиальными коциклами из Я2(Я(0,п),Я(0,п)).

(5) Единым методом доказано отсутствие инфинитезимальных деформаций у алгебр Витта и Вирасоро, а также у супералгебры К( 1,1) и супералгебры Рамона.

Методы исследования

В диссертации используются методы гомологической и линейной алгебры, а также комбинаторные соображения.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит иосит теоретический характер. Ее результаты и применяемая техника могут быть использованы в гомологической теории алгебр Ли, а также в тех разделах математической физики, где используются алгебры Ли, гамильтоновы и контактные структуры.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на международных семинарах в Бордо (Франция, 1995 г.) и в Твенте (Голландия, 1997 и 1999 гг.), а также на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ и семинаре (МГУ).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, список которых приведен в конце автореферата, причем из совместных работ в число результатов диссертации включены лишь те, которые получены диссертантом.

Содержание работы

Во введении изложена предыстория исследуемых в диссертации вопросов и дан обзор содержания диссертации.

В Главе 0 собраны важнейшие факты, необходимые в дальнейшем изложении. Здесь напоминается определение суперпространства, супералгебры Ли, определение ^градуированной (супер)алге-бры Ли. Для 2-градуированной (супер)алгебры Ли определяется семейство нильпотентных подалгебр Ьь(0), к ^ 1, где ¿¿(С) — это линейная оболочка однородных (в смысле градуировки) элементов из С степени ^ к. Эти подалгебры, являются основными объектами изучения в диссертации. Далее для (супер)алгебры О определяются пространства цепей С» (С, Л) и коцепей С*(О, А) с коэффициентами в 2-градуированном модуле Л, дифференциалы и кодифференциалы. На пространствах цепей и коцепей вводится Ъ-градуировка. Определяются пространства однородных п-цепей (п-коцепей) п-циклов (п-коциклов), п-гомологий (п-когомологий) степени т: С™(С, А) (С{"т)(С, А)), (С, А) (^т)(С?, А)), нкт) {С, А) {Н(т){а, Л)). Напоминается определение спектральной последовательности Фейгина-Фукса и препятствий Масси. Определяются деформации и инфинитезимальные деформации (супер)алгебры Ли. В диссертации изучаются только деформации, порождаемые нетривиальными 2-коциклами (регулярные деформации).

В Главе 1 рассматривается градуированная супералгебра К( 1,1) и ее подалгебры Ьк(К(1,1)): К( 1,1) = (е,)^, (^е* = г,

е^] = <

Ч;'-»)е»+;> 1 = 2к,]~21\

и -г/2), 1 = = 2/ + 1; 10/2-2), i = 2k + l,j = 2l.

Для £,1(Я'(1,1)) вычисляется производящий ряд эйлеровой характеристики Е(ЬХ(К(1, !)))(*)•

Теорема 1.

оо оо

Е{Ьг{К( 1,1)))(0 = 1 + £>ТОГ = 1 + £(-1)^,

т=1 »=1

где

оо ¿=1

Этот результат согласуется с теоремой Фегина-Ретаха о размерностях групп гомологий с тривиальными коэффициентами для алгебры 1а(Д:(1,1)).12

Далее формулируются и доказывается теорема о размерностях вторых гомологий подалгебр Ьк = Ьк(К{\, 1)).

Теорема 2. Пусть к > 9, тогда сИт = сПт^'"^*) -

$(т). Если к нечетно, то

{О, т < ЗА;;

1, т = ЗА;, ЗА; + 1, ЗА; + 2; т - ЗА; - 1, ЗА: + 2 < т < ЗА: + 7;

т - ЗА;, т > ЗА; + 7.

£с/ш А; четно, то

'О, т < ЗА; + 2;

«(т) = т - ЗА; - 1, т > ЗА: + 2, т ф ЗА: -+- 4, ЗА: 4- 5; 7П-ЗА;-2, т = ЗА + 4, ЗА: + 5.

При к <9 размерности групп гомологий легко вычисляются непосредственно. Соответствующие таблицы приведены.

В Приложении А к Главе 1 доказана теорема об отсутствии деформаций у подалгебры Ь\ = Ь\(К(1,1)). Обозначим через /» элемент из (Ь\)*: /¿(е7) = ¿у, а через ¿ — дифференциал 6 : Сп(Ь\,Ь\) —>

СП+1(Ь иЬх).

Теорема А1. Группа четных 2-когомологий Н2(Ьх,Ь1) одномерна и

#2(£ь ¿0 = Н1_А)(Ьи ¿0 = С • <5(Л ® е_3 + 2/2 ® е_2 - /з ® е-О^.

Квадрат Масси этого коцикла нетривиален, следовательно, он не продолжается до глобальной деформации.

12Ретах B.C., Фейгин Б.Л. О когомологиях некоторых алгебр и супералгебр Ли векторных полей // Успехи мат. наук. — 1982. — 37(2). — С. 233-234.

В Главе 2 решается задача о деформациях подалгебры Ьг — где IV = \УХ — алгебра Витта: IV = (е^^г, degei = г, = (з — г)е»+у- Деформации Ь\ найдены А. Фиаловски.13 Используя теорему Гончаровой о размерностях групп гомологий Нп(Ьк(ЪУ)) и спектральную последовательность Фейгина-Фукса, мы находим группу II2Ь^) 2-когомологий Ь^ с коэффициентами в присоединенном представлении.

Теорема 3. Л\тН2(Ьг,Ьг) = 8, при этом размерность группы 2,1/г), равна 1, если тп = —2, —6, равна 2, если т = —3, —4, —5, и равна 0 в остальных случаях.

Далее изучается вопрос о продолжаемости однородных коциклов до глобальных деформаций.

Теорема 4. Только перечисленные коциклы продолжаются до глобальных деформаций.

(1) Цикл С2 степени -2, с2(е2, е^) = jej и значение с2 равно нулю на остальных парах базисных элементов.

(2) Цикл сз,1 степени -3, Сз,1(ез,е7) = и значение езд равно нулю на остальных парах базисных элементов.

(3) Цикл сз,2 степени -3, Сз^е,-, е7) = — и значение ез,г равно нулю на остальных парах базисных элементов.

(4) Цикл С4,1 степени -4, С4д(е4, е_,) = ^ и значение е^^ равно нулю на остальных парах базисных элементов.

Эта продолжаемость тривиальна в том смысле, что квадраты Масси здесь равны нулю, и, следовательно, цикл с задает деформацию /г(х, у, ¿) = [х, у] + £ • с(х, у).

В Приложении В к Главе 2 изучается группа Я2(1-з(И/), Ь3(1У)). Трудности, возникающие при вычислении этой группы, связаны с тем фактом, что размерность группы может быть

больше 1 (сНт#(2т)(£2(И0) = 0,1).

Теорема В1. ¿^^(¿з^),^^)) = 15, при этом

ЖтЯ(2т)(£3(Иа£з(И0) =

1, тп = 2,8;

2, т = 3,7;

3, т = 4,5,6;

0, в остальных случаях.

13Г1а1омУБк1. А. Оп Ле ОеГогта^опв Ь\ // Бс. МаШ. Hung. — 1985. —

Явный вид нетривиальных коциклов описан в следующей теореме.

Теорема В2. Следующие формулы дают явные выражения нетривиальных коциклов из Ь3) для т. — 2,..., 8.

ш=2: <5(/3®ег).

ш=3: 5(х/3 ® е0 + у/4 ® ех).

ш=4: ¿(х/з ® е_1 4- у/4 ® е0 + г/5 ® е^.

ш=5: 5{2х/3 ® е_2 + Зх/4 ® е_х + у/5 ® е0 + г/6 ® еО-

т=б: 6(х/4 ® е_2 + у/5 ® е_1 + -г/6 ® е0 - 5х/Т ® е! - 2у/8 ® е2).

ш=7: <5(2х/4 ® е_з + 2у/5 ® е_2 + (9у - 12х)/6 ® е_г - 12х/7 ® е0 -

5х/8 ® в! - 12у/9 ® е2). т=8: <5(21/3 ® е_5 - /5 ® е_3 + 42/6 ® е_2 + 189/г ® е_г + 108/в ® е0 + 7/9 ® в! - 126/ю ® е2).

Здесь 6 — дифференциал на пространстве коцепей, а х, у и г — независимые параметры.

Указанные выше коциклы разумеется тривиальны в Н*(\У, ТУ), но нетривиальны в Н*(Ьз,Ьз).

Далее изучаются препятствия к продолжению однородных нетривиальных коциклов до глобальных деформаций. Результаты этих вычислений составляют содержание следующей теоремы.

Теорема ВЗ.

ш=2. Квадрат Масси единственного нетривиального цикла степени 2 тождественно равен нулю. ш=3. Квадрат, куб и четвертая степень Масси цикла 5(х/з ®

ео + yf^ ® вх) тривиальны при любых х и у. т—4. Квадрат и куб Масси цикла 6(х/3 ® е_1 + у/4 ® е0 + г/5 ® е^ тривиальны при любых х, у и г. Но четвертая степень тривиальна только когда выполнены следующие два условия:

113199142406043г2уз:+8364725090414гу2г—100769834572357гух2+ + 23627394461844г4 - 8630938551ЗЗОх4 + 19356675441066-гх3-- 61414455761802г3х + 6482443092000гу3 - 36825460093935г3у+ + 30537799444590г2х2 - 14212281745251гУ - 4473567473199у2х2+

+ 24744925218897ух3 = 0

и

15125700548000у3х - 29119113398653у2х2 - 348344874742гу2х-- 4137379909497г2у2 + 33118385668059ух3 - 62914497312679гух2+ + 82557772718121 г2ух - 31872547787445г3у - 963234274851 Ох4+ + 13161672832302гх3 + 16647440738730г2х2 - 41620702262094г3х+

+183572484484682* = 0.

ш=5. Вычисление квадрата и куба Масси дают, что эти два препятствия тривиальны только когда х — г = 0. Но в этом случае квадрат Масси коцикла 5(/5<8>ео) тождественно равен нулю, т.е. бинарная операция

Ме»> ез) = [е»>е:) +

задает структуру алгебры Ли на Ьз при любом т=6. Квадрат Масси тривиален только когда х — у = 0. Но в этом случае квадрат Масси коцикла ¿(/е ® ео) тождественно равен нулю, т.е. бинарная операция

Ме»>€у) = [е^ е_,] + ^.¿е,

задает структуру алгебры Ли на при любом т=7. Квадрат Масси нетривиален при всех х и у не равных нулю

одновременно. т=8. Квадрат Масси нетривиален.

Глубокая нетривиальность ситуации с коциклами степени 3 и 4 не имеет аналога в алгебрах и

В Главе 3 решается задача о деформациях алгебры Ли 7/(2) полиномиальных гамильтоновых полей на плоскости. Эта алгебра имеет следующее описание:

Н(2) = (х'У :г + У> 0), [х'У, хУ] = (И - jk)xi+k-lyi+^-1.

Градуировка задана правилом: deg1(x,J/•,) = i + j — 2. Алгебра //(2) имеет градуирующий элемент ху, который вводит вторую градуировку с^^ху) = г —j. Поэтому нетривиальными являются только те (ко)циклы с, для которых deg2(c) = 0. Основные результаты главы содержатся в следующих двух теоремах.

Теорема 6. ё1т7/2(//(2),//(2)) = 1. При этом нетривиальный коцикл с — образующий элемент пространства Н2(Н(2), Н(2)) имеет следующее описание. Рассмотрим дифференциальный оператор

D на пространстве функций четырех переменных Х\, х2, у\, D(f) =

fZi* - /«2V»- ПУсть a>b € Я(2)' шогс?а

с(а,Ь) = jD3(a(x1)j/1)b(x2,y2))|:r1=xa=i,ja=y2=ry-

То-есть мы вычисляем значение оператора D3 на произведении Vi)b{x2,Уг)> а затем полагаем х\ = х2 = х и у\ = у2 — УНа вопрос о продолжаемости коцикла с до деформации отвечает вторая теорема.

Теорема 7. Коцикл с задает нетривиальную деформацию, которая может быть описана бесконечным рядом

h(a,b,t) = [a,i>] + 2^ ^ + (п(Д1,У1ЖД2, y2))Ui=»i>=*.in=»=y

В Главе 4 рассматриваются деформации супералгебры Н(0,п) - нечетного аналога гамильтоновой алгебры. Элементами алгебры Я (0, п) являются линейные комбинации мономов .. .fijk от п нечетных переменных £1,..., f„, при этом моном fi... £„ алгебре не принадлежит. Градуировка определена правилом deg(^il ...&J = к — 2. Перестановка двух переменных приводит к изменению знака монома. Моном т = .. . четен, если к четно, и нечетен в противоположном случае. Через р(т) мы будем обозначать четность монома (р(т) = 0, если т четен, и p(m) = 1, в противоположном случае). Скобка двух мономов определяется так

На элементы алгебры Н(0,п) скобка продолжается по линейности. Основным результатом Главы 4 является следующая теорема.

Теорема 8. сНтН2(Н(0,п),Я(0,га)) = 1. Нетривиальный коцикле — базисный элемент пространства Н2(Н(0,п),Н(0,п)), задается формулой

с(ттьтт2) = (-1)р(тт,)т!т2,

где тп, тпу, т2 — мономы, причем с^ т = 1. Коцикл с задает деформацию

Н (тх,т2^) — [т1,т2]+4с(тп1,т2)+^с2(т1,тп2)+«3с3(т1,т2)4----,

где

если т не содержит & если & стоит в тп на 1-м месте

где коцепь Ci определяется так:

Ci(mum2) = {-l)p(mi)m\m'2, если т\ = mm', т2 = ттп^ и deg m = 2i + 1.

В Главе 5 обсуждается метод доказательства абсолютной жесткости (т.е. тривиальности группы И2(А, А)) градуированной (су-пер)алгебры А. Метод состоит в следующем. Предположим, что А содержит градуирующий элемент е степени 0 (это верно для всех (супер)алгебр Ли векторных полей), тогда нетривиальными будут только коциклы, принадлежащие нулевому собственному подпространству (по отношению к действию е на пространстве коцепей). Рассмотрим теперь подалгебры А (Л) и L-i(A), где — это линейная оболочка однородных элементов отрицательной степени. Используя спектральную последовательность, найдем группы H2{Li(A),Li(A)) и H2(L-i(A),L~i(A)). Предположим, что все нетривиальные однородные коциклы из этих групп имеют степени, отличные от нуля. Рассмотрим теперь нетривиальный коцикл с £ Н2(А, А). Так как deg с = 0, то ограничение с на А (Л) и на L-i(A) будет коциклом степени 0 на L\(Л) и на L-\(Л). Но, по предположению, с тривиален на Li(A) (¿^(Л)). Поэтому существует коцикл с € Я2(Л,Л), эквивалентный коциклу с, такой, что с(а1,а2) = О, если степени ai,a2 одновременно или обе положительны, или обе отрицательны.

Коцикл с весьма специфичен, поэтому в некоторых случаях его можно выписать явно и доказать его тривиальность. Основным результатом этой главы является следующая теорема.

Теорема 9. H2{W, W) = #2(V, V) - 0, где W - это алгебра Вит-та, а V — алгебра Вирасоро.

Публикации автора по теме диссертации

[1 J Кочетков Ю.Ю. Гомологии нильпотентных подалгебр супералгебры Ли if (1,1) // Функц. анал. и его прил. — 1991. - 25(4). - С. 86-87.

[2 ] Кочетков Ю.Ю., Пост Г.Ф. Деформации бесконечномерной нильпотентной алгебры Ь2 // Функц. анал. и его прил. — 1992. - 26(4). - С. 90-92.

[3 J Hijligenberg N., Kochetkov Yu., Post G. Deformations of 5(0, n) and H{0,n) // Int. J. of Algebra and Computation. — 1993. — 3(1). - C. 57-77.

|4 ] Кочетков Ю.Ю. Деформации гамильтоновой алгебры Ли Я(2) // Функц. анал. и его прил. — 1994. — 28(3). — С. 77-79. [5 ] Hijligenberg N., Kochetkov Yu., Post G. Deformations of Vector Fields and Hamiltonian Vector Fields on Plane // Mathematics of Computation. - 1995. - 64(211). - C. 1215-1226. [6 J Hijligenberg N., Kochetkov Yu. The Absolute Rigidity of the Neveu-Schwartz and Ramond Superalgebras //J. Math. Phys.

- 1996. - 37(11). - 5858-5868.

(7 ] Кочетков Ю.Ю. Соотношения и деформации нечетных га-мильтоновых супералгебр // Мат. заметки. — 1998. — 63(3).

- С. 391-401.

(8 I Кочетков Ю.Ю. Гомологии нильпотентных подалгебр супералгебры Ли К(1,1). 2 // Успехи мат. наук. — 2000. — 55(6). - С. 143-144. [9 ] Кочетков Ю.Ю. Гомологии нильпотентных подалгебр супералгебры Ли /ф, 1). 3 // Мат. заметки. — 2002. — 72(6).

- С. 882-891.

Отпечатано на ризографе Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14

Введение Стр. 2.

Глава 0.

Основные понятия. Стр. 13.

Глава 1.

Алгебра К(1,1). Стр. 20.

Дополнение А.

Деформации Ь\. Стр. 34.

Глава 2.

Деформации алгебры Ь2(]У) Стр. 38.

Актуальность темы. Гомологическая теория градуированных алгебр и супералгебр Ли насчитывает более 30 лет интенсивного развития. За это время были разработаны основные методы изучения гомологий и найдены гомологические характеристики многих важных и интересных объектов [21]. Выявились, однако, и принципиальные трудности теории: однообразие и относительная элементарность используемых методов и высокая комбинаторная сложность доказательств. Часто (например, в случае Ьх-подалгебр алгебры Витта \¥ или супералгебры К( 1,1)) поведение размерностей групп гомологий совершенно очевидно, но доказательство казалось бы очевидного утверждения трудно или вообще неизвестно.

К началу 90-х годов были описаны (ко) гомологии алгебры полиномиальных векторных полей от п переменных Шп и некоторых ее подалгебр. Гомологические свойства подалгебр Ь^ этих алгебр были изучены лишь для алгебры (т.е. для алгебры Витта Ш): описание Я*(1^), к > 1, было дано в работах Л.Гончаровой [2] и Ф.Вайнштейна [1], а описание Н*{Ь\,М), где М — т.н. дифференциальный модуль, в работе Фейгина-Фукса [20]. Кроме того, был достигнут существенный прогресс в описании гомологий с тривиальными коэффициентами и деформаций конечномерных супералгебр векторных полей [13].

Нерешенными остались задачи описания (ко) гомологий с нетривиальными коэффициентами алгебр Ли векторных полей с числом переменных ^ 2, описания (ко) гомологий подалгебр Ь^ таких алгебр и описания (ко) гомологий с нетривиальными коэффициентами подалгебр Ьк С И7!, к > 2, а, также некоторые задачи о конечномерных супералгебрах Ли векторных полей. Задача вычисления (ко) гомологий подалгебр Ьк алгебр 1¥п представляется безнадежной уже для алгебры И^- Для ее подалгебры гамильтоновых векторных полей на плоскости доказана лишь частичная теорема конечности [22]. Но для К( 1,1) — супералгебры Ли формальных векторных полей от одной четной и одной нечетной переменной — задача представляется более доступной.

Суммируя, можно сказать, что первоочередные задачи гомологической теории (супер) алгебр Ли векторных полей — это описание гомологий с тривиальными коэффициентами подалгебр Ь^ алгебр Ли формальных векторных полей от двух переменных и описание деформаций таких алгебр, а также описание (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами (в том числе деформаций) подалгебр Ьк С И7!. Недавно Д.Фукс и А.Фиаловски [18] дали полное описание деформаций подалгебры С И^.А в своей следующей работе [19] они предложили процедуру построения базы миниверсальной деформации данной алгебры Ли. Применение этой техники к алгебре 1/1 С позволило дать более прозрачное доказательства основного результата их предыдущей работы. Следующий по сложности объект — это подалгебра Ь2 С ]¥\. Однородные деформации (т.е. деформации, отвечающие однородным в смысле градуировки коциклам) были впервые изучены автором и Постом [10]. В недавней работе Поста и Фиаловски [15] были обобщены результаты работы [10] и была предпринята попытка дать описание базы миниверсальной деформации алгебры Ь2- Эту попытку нельзя считать вполне удачной: описание базы столь громоздко, что понять геометрию базы из этого описания нельзя. Этот результат показывает, что надежды, возлагавшиеся на метод Фиаловски-Фукса, вряд ли обоснованы.

В приложениях особенно важны три задачи: задача о соотношениях, задача об одномерных центральных расширениях и задача о деформациях. Среди задач о когомологиях с нетривиальными коэффициентами задача о деформациях самая важная, в том числе и потому, что алгебры Ли векторных полей играют заметную роль в физике, и деформации таких алгебр имеют отчетливый физический смысл. Задача о соотношениях сводится к вычислению второй группы гомологий с тривиальными коэффициентами, задача об одномерных центральных расширениях — к вычислению второй группы когомологий с тривиальными коэффициентами, задача о деформациях — к вычислению второй группы когомологий с коэффициентами в присоединенном представлении. Описание соотношений позволяет понять структуру бинарной операции — скобки в алгебре Ли, т.е. насколько алгебра отличается от свободной. Центральные расширения и деформации позволяют строить новые алгебры Ли, интересные для приложений (как, например, алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Витта И^).

Особый интерес вызывает изучение гомологических свойств ниль-потентных подалгебр градуированных алгебр Ли (т.е. линейных оболочек однородных элементов степени > к, к ^ 1). Во-первых нильпотентность позволяет изучать бинарную операцию в "чистом" виде, следя за образующими и игнорируя элементы неположительной степени; во-вторых знание (ко)гомологий ниль-потентной подалгебры позволяет находить гомологии самой алгебры с нетривиальными коэффициентами, используя спектральные последовательности. Как отмечал Ф.Вайнштейн [1], вычислить группу Щ(Ьк) — задача той же сложности, что и вычислить все группы Нп(Ьк). Чисто комбинаторные рассуждения, которых достаточно для вычисления групп Н2(Ьк,-), не работают в случае высших (ко)гомологий.

Цель работы.

Целью работы является вычисление гомологий и изучение деформаций ряда классических (супер) алгебр Ли формальных векторных полей и их подалгебр.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 80 страницах и состоит из введения и шести глав. Библиография включает 23 наименования.