Проективно-групповые свойства 6-мерных теорий типа Калуцы-Клейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

Проективные преобразования.

1.1 Основные определения и понятия.

1.2 Обзор литературы.

1.3 Косонормальный репер

ГЛАВА

Уравнения Эйзенхарта в пространстве-времени V

2.1 Канонические значения д^ и Щв пространстве-времени Vе

2.2 Уравнения Эйзенхарта в косонормальном репере в V

ГЛАВА

6-мерные жесткие h-пространства

3.1 h-пространства Леви - Чивиты

3.2 h-пространства типов [21111], [2211]

3.3 h-пространства типов [3111], [321], [33]

3.4 h-пространства типа [411].

3.5 h -пространства типа [51]

ГЛАВА

6-мерные h-пространства в случае кратных элементарных делителей

4.1 h-пространства типов [4(H)], [(41)1], [(411)], [(51)]

4.2 h-пространства типа [(21. 1)(21. 1). (1. 1)]

4.3 h-пространства типов [3(21)], [(32)1], [(321)], [(33)]

ГЛАВА

Проективно - групповые свойства

6-мерных жестких /г- пространств.

5.1 Условия постоянства кривизны жестких h- пространств.

5.2 Свойства определяющей функции проективного движения в жестких h - пространствах

5.3 Ковариантно постоянный симметрический тензор в жестких h- пространствах

5.4 Проективно-групповые свойства жестких h - пространств.

Диффеоморфизм / псевдориманова многообразия М на себя является проективным преобразованием относительно проективной структуры, индуцированной на М римановой связностью V , тогда и только тогда, когда он преобразует метрику д в проективно эквивалентную метрику д', то есть в метрику д' с соответствующими геодезическими. Другими словами, проективное преобразование / есть геодезическое преобразование в М.

Псевдоримановы многообразия, допускающие непрерывные группы преобразований, сохраняющих геодезические, рассматривались Аминовой А. В. [А1]-[АЗ] в случае 4-мерных лоренцевых пространств, определяемых полями тяготения в теории гравитации Эйнштейна.

В последние годы значительно возрос интерес к геометрическим свойствам многомерных пространств, в частности, 6-мерных пространств. Это связано с одной из важнейших нерешенных проблем современной теоретической физики - проблемой объединения всех четырех известных физических взаимодействий. Многие специалисты, работающие над этой задачей, обращаются к многомерным единым теориям, в которых дополнительные размерности связываются с гравитационными, электромагнитными, слабыми и сильными взаимодействиями. Впервые попытка объединить гравитационные и электромагнитные взаимодействия была сделана Т. Калуцей [К] и О. Клейном [К1]. Известно, что гравитационное поле описывается компонентами 4-метрики дТ1Х. В [К] Т. Калуца предложил описывать электромагнитное поле с помощью компонент 5- метрики G$T , G55 .

Позднее была создана модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама, которая объединила электромагнитные и слабые взаимодействия в рамках калибровочной теории, основанной на произведении двух групп: SU(2) и U( 1), а затем было выяснено, что геометрическую теорию гравитационного и электрослабого взаимодействий, включающую в себя модель Вайнберга-Салама в специальной унитарной калибровке, можно построить в пространстве-времени шести измерений с сигнатурой [Н------] см. [VI] и ссылки в ней).

В последнее время в многомерных теориях действие выбирается так, чтобы одно из решений классических уравнений движений определяло факторизованное пространство Е = М х I, где М-обычное четырехмерное пространство-время, а I- шестимерное внутреннее пространство или пространство дополнительных измерений, тип которого зависит от выбора компактифицирующих полей многомерной теории и ее действия ( см. [V], [DNP], [SS], [AVI], [ST] и ссылки в них). В частности, в модели гетероидной струны с группой Е$ х .Eg, которая, как отмечено И. П. Воло-буевым, претендует на роль единой теории всех взаимодействий, пространство / является многообразием Калаби-Яу ( см. [V] и ссылки в ней). Если в компактификации, помимо бозонных полей, участвуют и нетривиальные конденсаты фермионных полей, то многообразие I является 6-мерным однородным пространством [GJ], причем при компактификации в однородные пространства существенным является наличие проективных преобразований в форме изометрий, что упрощает задачу интерпретации многомерной теории в терминах 4-мерных полей [V].

Как правило, дополнительные измерения считаются пространственными, однако в последнее время все чаще обсуждаются теории с дополнительными времениподобными координатами [Ch], [Yn], (см. также ссылки в [AVI], [AV2], [VT]).

Интерес к теориям типа Калуцы-Клейна связан также с развитием суперсимметричных теорий (теорий с симметрией между бозонами и фермионами) и теории супергравитации, объединившей суперсимметрию и калибровочный подход. Как известно, в основе суперсимметричных теорий лежит увеличение размерности используемого многообразия.

Важно отметить, что шестимерные пространства применяется при решении ряда задач астрофизики и космологии. В последние годы было установлено соответствие между струнами и определенными типами черных дыр и показано, что проблема сингу-лярностей кривизны во многих экстремальных дилатонных черных дырах может быть решена переходом к многомерной теории гравитации [Р], [GHT]. В частности, на основе 6-мерной теории супергравитации были найдены u{1)e х u{1)m неэкстремальные решения черных дыр [Par], Множество работ посвящено исследованию многомерных космологических моделей. Цель этих работ -установить, как далеко можно продвинуться в объяснении свойств 4-мерной Вселенной с помощью геометрических величин дополнительных измерений. В частности, с этой целью в работе [Т] построена 6-мерная теория гравитации: теория пространства - времени - материи - заряда.

Как известно, пространственно-временные симметрии порождают законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. В частности, инфинитезимальные проективные и аффинные преобразования приводят к фундаментальным полевым и механическим законам сохранения в форме квадратичных первых интегралов уравнений геодезических (см. [А4] и ссылки в ней).

В работах [А5]-[А9] симметрии дифференциальных уравнений рассматриваются как автоморфизмы некоторых геометрических структур, в частности, как автоморфизмы проективных структур, т. е. проективных преобразований. Следовательно, изучение проективно-групповых свойств многомерных пространств будет вносить вклад в геометрию дифференциальных уравнений.

Таким образом, изучение геометрических свойств многомерных пространств, в частности, проективно - групповых свойств 6-мерных пространств, является актуальной задачей, имеющей важное теоретическое и прикладное значение.

Целью данной диссертационной работы является определение всех классов 6-мерных h-пространств, т. е. псевдоримановых пространств V6, допускающих нетривиальные решения уравнения

Эйзенхарта, сигнатуры [+ + ----], и исследование проективногрупповых свойств 6-мерных жестких h- пространств указанной сигнатуры. Сигнатура [ + + ----] определяет пространство-временные многообразия с двумя времениподобными координатами в теориях типа Калуцы-Клейна.

Решение задачи основано на предложенной А. В. Аминовой технике интегрирования в косонормальном репере и развитом ей общем подходе к нахождению и исследованию проективных преобразований псевдоримановых многообразий. В основе этого подхода лежит рассмотрение алгебраической структуры производной Ли Lx9ij метрического тензора в направлении инфинитезимального проективного преобразования X. Алгебраическая структура задается характеристикой Сегре билинейной формы Lxg%j и определяет тип h- пространства.

В диссертации решаются следующие основные задачи:

1) определение всех классов 6-мерных ft,-пространств сигнатуры [+ + ----];

2) нахождение квадратичных первых интегралов уравнений геодезических в 6-мерных жестких h- пространствах;

3) получение необходимых и достаточных условий постоянства кривизны 6-мерных жестких h-пространств;

4) исследование структуры проективной алгебры Ли 6-мерных жестких h -пространств.

Научная новизна работы. Впервые детально исследованы проективно-групповые свойства шестимерных пространственно -временных многообразий с двумя времениподобными координатами. В частности, в работе

1) определены все классы 6-мерных h -пространств сигнатуры +----];

2) для каждого 6-мерного жесткого ^-пространства с двумя времениподобными координатами указан явный вид квадратичных первых интегралов уравнений геодезических;

3) найдены необходимые и достаточные условия постоянства кривизны 6-мерных жестких h-пространств;

4) доказано, что если 6-мерное жесткое Л,-пространство допускает негомотетическую проективную алгебру Ли Рг, то эта алгебра содержит подалгебру инфинитезимальных гомотетий размерности г — 1.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из пяти глав. В первой главе приведены основные определения и факты теории проективных преобразований псевдоримановых многообразий, дан краткий обзор литературы и описание метода косонор-мального репера.

Во второй главе определены все возможные типы h- пространств, то есть типы билинейной формы Lx9ij , определяемые характеристикой А-матрицы (hij — Xgij) в пространстве V6 с двумя времениподобными координатами и выписаны соответствующие канонические значения тензоров h(j и д^ (см. параграф 1.3). С помощью найденных канонических значений тензоров h%j и составлены и разрешены относительно коэффициентов связности 7^ уравнения Эйзенхарта в косонормальном репере для каждой допустимой характеристики билинейной формы Ъц .

В третьей главе проинтегрированы уравнения Эйзенхарта в случае жестких h-пространств, т. е. h-пространств с различными базисами элементарных делителей Л-матрицы. Найдены тензоры hij , gij и функция ср, удовлетворяющие в V6 уравнениям Эйзенхарта. Для каждого решения h уравнения Эйзенхарта в рассматриваемом случае выписан соответствующий квадратичный первый интеграл уравнений геодезических.

Четвертая глава посвящена интегрированию уравнений Эйзенхарта в косонормальном репере в случае h -пространства с кратными базисами элементарных делителей Л - матрицы (h^ — Ад^). Для каждого допустимого типа h -пространств определены явные выражения для метрического тензора д^ , тензора h^ и определяющей функции (р, а также найдены соответствующие квадратичные первые интегралы уравнений геодезических.

В пятой главе получены необходимые и достаточные условия постоянства кривизны жестких h- пространств. Определены свойства определяющей функции инфинитезимального проективного преобразования и ковариантно постоянного симметрического тензора в жестких Л,-пространствах. Полученные результаты дают важную информацию о строении проективной алгебры Ли Рг в жестком h -пространстве.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при построении и изучении физических теорий в рамках многомерных моделей Калуцы-Клейна, теории струн, квантовой теории поля, общей теории относительности, а также в теории симметрии дифференциальных уравнений.

Результаты работы докладывались и обсуждались в Казанском государственном университете на семинаре теории относительности и гравитации под руководством проф. В. Р. Кайгоро-дова (1997 г.), на научном семинаре, руководимом проф. А. В. Аминовой (1995-1997 гг.), на геометрическом семинаре под руководством проф. Б. Н. Шапукова (2000 г.), на геометрическом семинаре Университета Ямагаты под руководством проф. К. Мацу-мото (2000 г.), на научном семинаре Московского института экспериментальной и теоретической физики под руководством проф. А. Д. Миронова (2001 г.), на семинаре теории относительности и гравитации под руководством проф. А. Б. Балакина (2001 г.). Материалы диссертации были представлены также на международных конференциях " Геометризация физики-IP (Казань, 1995 г.), " Геометризация физики-Ill" (Казань, 1997 г.), " Геометризация физики-IV" (Казань, 1999 г.), на международном геометрическом семинаре им. Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей" (Казань, 1997 г.), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга-Х" (Казань, 1998 г.), "Волга-ХР (Казань, 1999 г.), "Волга-XIII" (Казань, 2001 г.) и на X Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999 г.).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты N 9601-01301, N 99-01-00261, N 01-02-17682) и INTAS-00-334.

Структура работы. Работа изложена на 130 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

Публикации Результаты диссертационной работы опублико

Заключение

В данной диссертационной работе получены следующие результаты:

1) определены все 6-мерные h -пространства сигнатуры [+ +

2) для каждого 6-мерного жесткого h -пространства с двумя времениподобными координатами указан явный вид квадратичных первых интегралов уравнений геодезических;

3) найдены необходимые и достаточные условия постоянства кривизны 6-мерных жестких h- пространств;

4) доказано, что если 6-мерное жесткое h-пространство допускает негомотетическую проективную алгебру Ли Рг, то эта алгебра содержит подалгебру Нг-\ инфинитезимальных гомотетий размерности г — 1.

1. А2. Аминова А. В. // О полях тяготения, допускающих группы проективных движений. ДАН СССР. 1971. Т. 197. N 4. С. 807-809.

2. A3. Аминова А. В. // О бесконечно малых преобразованиях, сохраняющих траектории пробных тел. Препринт ИТФ АН УССР. 1971. N 71-85Р. Киев. 21 с.

3. А4. Аминова А. В. // Алгебры Ли инфинитезимальных проективных преобразований лоренцевых многообразий. УМН. 1995. Т. 50. N 1. С. 69-142.

4. А5. Аминова А. В. // Проективные преобразования как симметрии дифференциальных уравнений. Казан, гос. ун-т.-Казань, 1991.- 18 е.- Библиограф. : 26 назв.- Деп. в ВИНИТИ 22. 04. 91, N 1707 В91.

5. Аб. Аминова А. В. // Проективные преобразования псевдоримановых многообразий как симметрии дифференциальных уравнений. Лобачевский и соврем, геом. : Междунар. науч. конф., Казань, 18 22 авг., 1992: Тез. докл. Ч. 2.- Казань, 1992. С. 6 - 7.

6. А7. Аминова А. В. // Проективные преобразования и симметрии дифференциальных уравнений. Мат. сб. 1995. 186, N 12, С. 21- 36.

7. А8. Аминова А. В. // Автоморфизмы геометрических структур как симметрии дифференциальных уравнений. Изв. вузов. Мат.- 1994,- N 3.- С. 3-10.

8. А9. Aminova А. V. // Group-invariant methods in the theory of projective mappings of space-time manifolds. Tensor (N. S). 54(1993), Vol. 11, 90-100.

9. A 10. Aminova A. V. // On geodesic mappings of Riemannian spaces. Tenzor. 1987. V. 46. P. 179-186.

10. All. Аминова А. В. // Об интегрировании ковариантного дифференциального уравнения первого порядка и геодезическом отображении римановых пространств произвольной сигнатуры и размерности. Изв. вузов. Математика. 1988. N 1. С. 3-13.

11. А12. Аминова А. В. // Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. УМН. 1993. Т. 48. N 2. С. 107-164.

12. А13. Аминова А. В // О проблеме Ли, проективных группах двумерных римановых поверхностей и солитонов. Изв. вузов. Математика. 1990. N 6. С. 3-10.

13. А 14. Аминова А. В. // О конциркулярных движениях в римановых пространствах. Гравитация и теория относи-тельн. 1975(1976). N 10-11. С. 127-138.

14. А 15. Аминова А. В. // О косоортогональных реперах и некоторых свойствах параллельных тензорных полей на римановых многообразиях. Изв. вузов. Математика. 1982. N 6. С. 63-67.

15. А 16. Аминова А. В. // О проективно-групповых свойствах римановых пространств лоренцевой сигнатуры. Изв. вузов. Математика. 1984. N 6. С. 10-21.

16. А 17. Аминова А. В.// Алгебры Ли проективных движений пространств У(0) лоренцевой сигнатуры. Изв. вузов. Математика. 1990. N 2. С. 3-5.

17. А18. Аминова А. В. // О к пространствах и пространствах V(K). Изв. вузов. Математика. 1990. N 11. С. 75-78.

18. А19. Аминова А. В. // Алгебры Ли проективных движений пространств v(k) лоренцевой сигнатуры. Изв. вузов. Математика. 1991. N 9. С. 3-5.

19. А20. Аминова А. В. // Проективные преобразования как обобщенные движения Н. X. Ибрагимова. Казан, гос. ун-т. Казань. 1991. 7 с. Библиограф. : 5 назв. Деп. в ВИНИТИ 22. 04. 91, N 1706 В91.

20. А21. Аминова А. В. // Группы преобразований римановых многообразий. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. ВИНИТИ. 1990. 22. С. 97-165.

21. АК. Аминова А. В., Калинин Д. А. // #-проективно эквивалентные 4-мерные келлеровы связности. Изв. вузов. Математика. 1994. N 8. С. 11-20.

22. AV1. Арефьева И. Я., Волович И. В. // УФН. 1985. Т. 146. Вып. 4. С. 655-681.

23. AV2. Aref'eva I. Ya., Volovich I. V. // Phys. Lett. B. 1985. Vol. 164, N 4, 5, 6. P. 287-292.

24. Ch. M. Chaichian and A. B. Kobakhidze. // Mass hierarchy and localization of gravity in extra time, Phys. Lett. В 488 (2000) 117.

25. Dl. Даныпин А. Ю. // Инфинитезимальные проективные преобразования в касательном расслоении финслеровых многообразий. Изв. вузов. Математика. 1995. N 7. С. 1221.

26. D2. Даныпин А. Ю. // Инфинитезимальные проективные преобразования в касательном расслоении общего пространства путей. Изв. вузов. Математика. 1997. N 9. С. 8-12.

27. DNF. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. // Современная геометрия. Геометрия и топология многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998, - 280 с.

28. DNP. Duff М. J., Nilsson В. Е. W., Pope С. N. //Phys. Rept. С. 1986. Vol. 130, N 1, 2. P. 1-142.

29. Е2. Егоров И. П. // Движения в пространствах аффинной связности. Казань : Изд-во Казан, ун-та, 1965.

30. Ez. Эйзенхарт JI. П. // Риманова геометрия. М. : ИЛ,1948.

31. Pub. Fubini G. // Sui gruppi transformazioni geodetiche. Mem. Acc. Torino. CI. Fif. Mat. Nat. 1903. V. 53. N2. P. 261-313.

32. G. Голиков В. И. // О геодезическом отображении полей тяготения общего вида. Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. XII М. 1963.

33. GHT. Gibbens G., Horowitz G., Townsend P. // Higher-dimensional resolution of dilatonic black-hole singularities. Class, and Quantum Grav. 1995. 12, N 2, 297-317.

34. GJ. Govindarajan T. R., Joshipura A. S., Rindani S. D., Sarkar U. // Goset space as alternativea to Calabi-Yau spaces in the presence of gaugino condensation. Preprint ICTP IC/86/170. Triest, 1986.

35. К. Калуца Т. К. // К проблеме единства физики. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М. : Мир, 1979, С. 529534.

36. Kl. Klein О. // Quantentheorie und fiinfdimensionale Relativi-tatstheorie. Zeits. f. Physik, 1926, Bd 37, S. 875.

37. KM1. Yamanchi Kazunari, Hashiguchi Masao // On invariant tensors of projective or conformal changes of Finsler metrics. Sci. Repts Kagoshima Univ. 1989. N 38. C. 57-66.

38. KM2. Yamanchi Kazunari // On infinitezimal conformal transformation of Finsler spaces. Sci. Repts Kagoshima Univ. 1990. N 3. C. 13-21.

39. KobN. Кобаяси III., Номидзу К. // Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. М. : Наука, 1981.

40. Krl. Кручкович Г. И. // Уравнения полупроводимости и геодезическое соответствие пространств Лоренца. Труды Всесоюз. заочн. энергетич. ин-та. 1963. Вып. 24. С. 74-87.

41. Кг2. Кручкович Г. И. // О пространствах v(k) и их геодезических отображениях. Труды Всесоюз. заочн. энергетич. ин-та. 1967. Вып. 33. С. 3-18.

42. КгЗ. Кручкович Г. И. // К теории римановых пространств v(k). Сиб. матем. журн. 1961. Т. 2. N 3. С. 400-413.

43. KS. Кручкович Г. И., Солодовников А.С. // Постоянные симметрические тензоры в римановых пространствах. Изв. вузов. Математика. 1959. N 3. С. 147-158.

44. Levi-Civita Т. // Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche. Ann. di Mat. 1896. V. 24. N2. P. 255-300.

45. Mat. Matsumoto Makoto. // Theory of expended point trasformation of Finsler spaces. II. Fundamental theorems of projective motion. Tensor. 1988. 47, N 3. C. 203-214.

46. Mikl. Микеш Й. // О геодезических и голоморфно проективных отображениях обобщенно т - рекуррентных римановых пространств. Ред. Сиб. мат. ж. Новосибирск. 1991. 14 с. Библиогр.: 11 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ 12.03.91, N 1059- В91.

47. Mik2. Микеш И., Молдобаев Д. // О распределении порядков групп конформных преобразований римановых пространств. Изв. вузов. Математика. 1991. N 12. С. 24-29.

48. Mik3. Микеш Й. // О геодезических отображениях т -симметрических и обобщенно полусимметрических пространств. Изв. вузов. Математика. 1992. N 8. С. 42-46.

49. Nik. Никитин Н. Д. // Об аффинных и проективных движениях в общих пространствах путей. Движения в обобщенных пространствах. Пенз. гос. пед. ин-т. Пенза. 1991. С. 141-145.

50. Р. Peterson Ivars. // Strings and webs tying black holes to elementary particles in sting theory. Sci. News. 1995. 148. 140-141.

51. Par. Jaemo Parkt // Black hole solutions of Kaluza-Klein supergravity theories and string theory. Class. Quantum Grav. 15(1998). 775-785.

52. Petl. Петров A. 3. // О геодезическом отображении римановых пространств неопределенной метрики. Уч. зап. Казан. ун-та. 1949. Т. 109. N 3. С. 7-36.

53. Pet2. Петров А. 3. // К теореме о главных осях тензора. Изв. физ.-матем. общ. (Казань). 1949. Т. 14. 3. С. 37-51.

54. РР. Pinde Н. D., Pandey J. Р. // Some theorems on special projective motion in a special symmetric Finsler spaces. Istanbul. Univ. fen fak. mecm. A. 1989. 46. C. 55-60.

55. PR. Pottman Helmut, Rath Wolfgang // Ebene konvexe Affinzwanglaufe. Cas. pestov, mat. 1989. 114, N 13. C. 279288.

56. SI. Солодовников А. С. // Пространства с общими геодезическими. ДАН СССР. 1956. Т. 108. N 2. С. 201-203.

57. Солодовников А. С. // Геодезические классы пространств v(k). ДАН СССР. 1956. Т. 111. N 1. С. 33-36.

58. Солодовников А. С. // Пространства с общими геодезическими. Труды семин. по вект. и тенз. анализу. М. : Москов. ун-т. 1961. Вып. 11. С. 43-102.

59. Солодовников А. С. // Проективные преобразования ри-мановых пространств. УМН. 1956. N 11. С. 45-116.

60. Shi. Широков А. П. // Об одном свойстве ковариантно постоянных аффиноров. ДАН СССР. 1955. Т. 102. N 3. С. 461-464.

61. Sh2. Широков П. А. // Избранные труды по геометрии. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. С. 383-389.

62. Sh3. Широков П. А. // Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. Изв. Казанск. физ.-мат. общ. 1925. Т. 25. N 2. С. 86-114.

63. Sinl. Синюков H. С. // О геодезическом отображении римановых пространств на симметрические римановые пространства. ДАН СССР. 1954. Т. 98. N 1. С. 21-23.

64. Sin2. Синюков H. С. // Нормальные геодезические отображения римановых пространств. ДАН СССР. 1956. Т. 111. N 4. С. 266-267.

65. Sin3. Синюков Н. С. // Эквидистантные римановы пространства. Научн. ежегод. Одесса. 1957. С. 133-135.

66. Sin4. Синюков Н. С. // Об одном инвариантном преобразовании римановых пространств с общими геодезическими. ДАН СССР. 1956 Т. 137. N 6. С. 1312-1314.

67. Sin5. Синюков H. С. // Почти геодезические отображения аффиносвязных и римановых пространств. ДАН СССР. 1963. Т. 151. N 4. С. 781-782.

68. Sin6. Синюков Н. С. // К теории геодезического отображения римановых пространств. ДАН СССР. 1966. Т. 169. N 4. С. 770-772.

69. Sin7. Синюков Н. С. // Геодезические отображения римановых пространств. М. : Наука, 1979.

70. Sin8. Синюков Н. С. // Почти геодезические отображения аффиносвязных и римановых пространств. Проблемы геометрии. Т. 13 ( Итоги науки и техники). Т. 1982. М. : ВИНИТИ. С. 3-26.

71. Sr. Srivastava Lai Si // Motion in a special projective symmetric Finsler space. Acta Cien. Indica. Math. 1990. N 3. C. 293-304.

72. SS. Salam A., Strathdee J. // On Kaluza-Klein theory. Ann. of Phys., 1982, vol. 141, p. 316-352.

73. St. Степанов С. E. // О проективных субмерсиях и иммерсиях в целом. Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 1993. N 24. С. 97-101.

74. ST. Сорокин Д. П., Ткач В. И. // ЭЧАЯ. 1987. Т. 18. Вып. 5. С. 1035-1079.

75. Sul. Султанов А. Я. // Инфинитезимальные проективные преобразования расслоений линейных реперов со связностью полного лифта. Лобачевский и соврем, геом. : Междунар. науч. конф. Казань, 18-22 авг. 1992 : Тез. докл. Ч. 1. Казань. 1992. С. 96-97.

76. T. Fukui Такао // Physical properties of the 6D STMS Universe. Gen. Relativ. and Gravit. 1996. 28. N 4. 471-480.

77. V. Волобуев И. П. и др. // Размерная редукция симметричных калибровочных полей, модели Хиггса и спонтанная компактификация. ЭЧАЯ. 1989. Т. 20. Вып. 3. С. 561627.

78. VI. Владимиров Ю. С. // Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий. М. : Изд-во МГУ, 1987.

79. VT. Волков Д. В., Ткач В. И. // ТМФ. 1982. Т. 51, N 2. С. 171-180.

80. Ya. Яблоков Д. М. // О конформных преобразованиях в пространстве Финслера. Изв. вузов. Математика. 1989. N 7. С. 53-59.

81. Yn. F. J. Yndurain.// Disappearance of matter due to causality and probability violations in theories with extra timelike dimensions, Phys. Lett. В 256 (1991) 15.

82. ZA1. Закирова 3. X., Аминова А. В. // Геометрия 6-мерных h- пространств специального типа. Первые интегралы уравнений геодезических. Труды межд. конф. " Геометризация физики II", Казань, октябрь 1995, С. 229-232.

83. ZA2. Закирова 3. X., Аминова А. В. // Проективные симметрии 6-мерных теорий Калуцы-Клейна. Труды межд. конф. " Геометризация физики II", Казань, октябрь 1995, С. 233-235.

84. Z1. Закирова 3. X. // Первые интегралы уравнений геодезических h- пространств типа 51]. Труды геом. семинара:

85. Межвуз. темат. сб. науч. тр. Казань, 1997. Вып. 23. С. 57-64.

86. Z2. Закирова 3. X. // 6-мерные h- пространства специального типа. Междунар. геом. семин. им. Н. И. Лобачевского "Соврем, геом. и теория физ. полей", Казань, 4-6 февр., 1997: Тез. докл.- Казань, 1997.- С. 52.

87. Z3. Закирова 3. X. // Проективные движения h- пространств специального типа. Междунар. геом. семин. им. Н. И. Лобачевского "Соврем, геом. и теория физ. полей", Казань, 4-6 февр., 1997: Тез. докл.- Казань, 1997.-С. 53.

88. Z4. Z. Zakirova // A metric of h- space of type 4(11)]. Prog. Int. Conf. "Geometrization of Physics III", Kazan State University, Kazan, october 1997, p. 187-190.

89. Z5. Закирова 3. X. // Геометрия h- пространств 6-мерных теорий Калуцы-Клейна. Тез. докл. X межд. летней школы-семинара по теор. и матем. физике, Казань, КГУ, 22 июня-2 июля, 1998, С. 61.

90. Z6. Закирова 3. X. // 6-мерные h- пространства типа (41)1]. "Новейшие проблемы теории поля. 1998". Под ред. А. В. Аминовой,- Казань, 1998. С. 98-103.

91. Z7. Закирова 3. X. // Проективные векторные поля 6-мерных пространств специального типа. Тез. докл. X Росс, гравитац. конф., Владимир, 20-27 июня, 1999, С. 110.

92. Z8. Закирова 3. X. // Инфинитезимальные проективные преобразования 6-мерных h- пространств типа 22(11)].

93. Тез. докл. XI межд. летней школы-семинара по совр. пробл. теор. и матем. физики, Казань, 5-16 июля, 1999, С. 12-13.

94. Z9. Закирова 3. X. // Первые интегралы уравнений геодезических h- пространств типа 411]. Изв. вузов. Математика. N9(448), 1999, С. 78-79.

95. Z10. Z. Zakirova // Projective-group properties of the h- space of the special type. Prog. Int. Conf. " Geometrization of Physics IV", Kazan State University, Kazan, 1999, p. 294296.

96. Zll. Закирова 3. X. // Об одном решении уравнения Эй-зенхарта. "Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000". Под ред. А. В. Аминовой.- Казань, 2000. С. 104-109.

97. Z12. Закирова 3. X. // О проективно-групповых свойствах qd н-пространств специального типа. Тез. докл. XIII межд. летней школы-семинара по совр. пробл. теор. и матем. физики, Казань, 22 июня-3 июля, 2001, С. 62-63.