7-мерная геометрическая модель грави-электрослабых взаимодействий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Методы калибровочной и геометрической теорий

§1.1 Бозонный сектор модели электрослабого взаимодействия Вайнберга - Салама.

§1.2 Фермионный сектор модели электрослабого взаимодействия Вайнберга - Салама.

§1.3 Массовый сектор модели электрослабого взаимодействия Вайнберга - Салама.

§1.4 Основные идеи и методы 7 - мерной модели

Глава 2. Бозонный сектор

§2.1 Компоненты метрического тензора

§2.2 Физико - геометрические тензоры и лагранжиан векторных бозонов

§2.3 Условия на бозонные коэффициенты и их анализ

§2.4 Переход к б - мерной геометрической модели

§2.5 Случай времениподдбных координат х4,ж5 или х6.

Глава 3. Фермионный сектор

§3.1 Операторы триадного дифференцирования и физический смысл гармоник

§3.2 Фермионы в 7 - мерной модели

§3.3 Фермионная часть лагранжиана.

§3.4 Сопоставление с моделью Вайнберга - Салама

Глава 4. Массы бозонов в Т - мерных геометрических моделях

§4.1 Геометрическое описание хиггсовских скалярных бозонов

§4.2 Масса нейтрального скалярного поля

§4.3 Массы векторных бозонных полей и значения угла Вайнберга в канале Калуцы

§4.4 Массы векторных бозонных полей и значения угла Вайнберга в канале ККФР.

§4.5 Дополнительные вклады к массам

- бозонов

Глава 5. Массы фермионов в 7 - мерных геометрических моделях

§5.1 Массовые части в фермионном секторе

§5.2 Массовые вклады, обусловленные коэффициентами вращения Риччи

§5.3 Вариант с конформным преобразованием спиноров

§5.4 Анализ трех вариантов описания масс фермионов .:.

Появление представлений о многомерных пространствах (с п > 3) следует рассматривать как важную веху в развитии учения о структуре физического пространства - времени. Трудно сказать, кому здесь принадлежит приоритет. Вполне отчетливо идеи многомерности были сформулированы в работах математиков прошлого века: Б. Римана (1826 - 1866) [1, 2], Г. Грассмана (1809 - 1877) [3], А. Кэли (1821 - 1895) [4] и других. Ж. Лагранж (1736 - 1813) уже рассматривал в механике 4 - мерные конфигурационные пространства [5]. А в 1891 году Ф. Клейн (1849 - 1925), обсуждая работы Гамильтона по оптике и механике, обращал внимание на представимость механических задач о движении материальной точки в виде задач оптики в соответствующих средах в пространстве высшего (п > 3) числа измерений [6].

Идея многомерия оказалась необходимой для создания специальной теории относительности, но не в духе увеличения числа пространственных измерений, а в смысле объединения трех пространственных и одного временного измерений в рамках одного 4 - мерного многообразия. Здесь несомненна заслуга Г. Минковского (1864 - 1909) [7].

Основополагающий шаг в развитии многомерных геометрических моделей физических взаимодействий был сделан уже в 1919 году сразу же после создания ОТО. Т. Калуцей была предложена геометризация электромагнитного поля в духе эйнштейновской теории тяготения с помощью увеличения на единицу числа пространственных координат. Предполагалось, что 5 - мерное многообразие искривлено, и компоненты электромагнитного векторного потенциала А^ представляются через компоненты 5 - метрики G^, как гравитационное поле описывается компонентами 4 - метрики дfiV. Работа Калуцы была опубликована в конце 1921 года [8].

Затем в 20 - х годах 5 - мерную единую теорию гравитации и электромагнетизма развивали вслед за Т. Калуцей О. Клейн [9, 10], JI. де Бройль [11], А. Эйнштейн [12 - 17] и другие.

Из отечественных физиков единой 5 - мерной теорией поля первыми стали заниматься В. А. Фок [18] и Г. А. Мандель [19]. В этот период был уточнен ряд элементов 5 - мерной теории, вскрыты ее основные достоинства и недостатки.

В 30 - х годах одной из важнейших проблем теоретической физики считался поиск единой теории гравитации и электромагнетизма. Наряду с другими вариантами (Вейля, Эддингтона и других) многократно анализировалась 5 - мерная теория. Делались настойчивые попытки преодолеть недостатки ее первых вариантов, в частности, выяснить физический смысл пятой координаты или обосновать причины ее отсутствия в используемых уравнениях. Здесь следует выделить работы А. Эйнштейна и П. Бергмана [15] и А. Эйнштейна, В. Баргмана и П. Бергмана [16]. В них было ослаблено условие цилиндричности (независимости) метрики по пятой координате. Вместо него было предложено условие периодичности по х5 для компонент метрического тензора. Полагалось, что мир замкнут по пятой координате с очень малым периодом по сравнению с макроскопическими масштабами. По этой причине зависимость от хъ в привычных масштабах не наблюдается.

Нельзя сказать, что этот период исследований многомерия (20 - 30 -е годы) оказался бесплодным, как утверждали некоторые авторы. В частности, в конце 30-х годов был развит метод 1 + 4 -расщепления 5 - мерного многообразия [15, 20], который впоследствии был переложен (или переоткрыт) в рамках 4 - мерия (метод 1 + 3 -расщепления) для описания систем отсчета в ОТО.

Для развития отечественных исследований в области многомерных теорий большое значение имел цикл исследований Ю. Б. Румера 50-х годов, затем оформленный в виде единственной монографии на эту тему (до 80-х годов) на русском языке [21]. Румер исследовал вариант 5 - мерия, называемый 5 - оптикой, соответствующий идее Ф. Клейна прошлого века. Массивные частицы в 4 - мерном мире рассматривались в 5 - мерии как движущиеся по изотропным ("световым") геодезическим. Приведя к ряду интригующих результатов, это направление исследований попало в тупик. Как видно с позиций сегодняшнего дня, это объясняется ограничением лишь пятью измерениями. В многообразиях большего числа измерений трудности 5 - оптики устраняются [22]. Кроме того, следует отметить, что соображения оптики, то есть постулирование изначального отсутствия масс покоя у частиц, сейчас широко используется в теоретической физике, например, в модели электрослабых взаимодействий Вайнберга -Салама (до спонтанного нарушения симметрии) и в теории сильных взаимодействий. Характерной чертой исследований Румера является интерпретация пятой (дополнительной) координаты через классическое действие.

Следует обратить внимание на тот факт, что под термином теория Калуцы - Клейна кроются два различных канала 5 - мерной теории. В канале Т. Калуцы [8] строилось 5 - мерное обобщение эйнштейновской общей теории относительности (ОТО) с целью описания электромагнитного взаимодействия, тогда как работы по 5 - мерию О. Клейна [9, 10], В. А. Фока [18] и Ю. Б. Румера [21] были нацелены на введение масс частиц. Напомним, что в упомянутых работах О. Клейна и В. А. Фока впервые было введено релятивистское 4 - мерное волновое уравнение для массивных частиц (уравнение Клейна - Фока), исходя из безмассового 5 - мерного волнового уравнения 0, (0.0.1) при следующей зависимости функции Ф от дополнительной 5-ой координаты ж4: гДе ф - общепринятая волновая функция, зависящая от классических четырех координат ж0, ж1, ж2, ж3; т - масса частицы (электрона). Значение массы частицы может быть выбрано в согласии с наблюдаемым значением. В (0.0.1) Gab - метрический тензор 5 - мерного многообразия, V^ - оператор ковариантного дифференцирования; заглавные латинские индексы пробегают значения: 0, 1, 2, 3, 4. В этом канале 5 - мерия дополнительная координата х4 имеет физический смысл классического действия.

В 5 - мерном обобщении ОТО Т. Калуцы дополнительная координата, обозначим ее через х5, вводилась для описания взаимодействия частиц с электромагнитным полем. В этом канале 5 - мерия постулировалось, что волновые функции заряженных полей следующим образом зависели от дополнительной координаты: где опять /ф(х(М) - общепринятая 4 - мерная волновая функция, е - электрический заряд частицы (электрона), - целочисленная гармоника, соответствующая заряду частицы в единицах е, к - ньютоновская гравитационная постоянная. Значение электрического заряда частицы может быть выбрано в согласии с наблюдаемым значением. Очевидно, зависимости от дополнительных координат в формулах (0.0.2) и (0.0.3) различны.

В канале 5 - мерия Калуцы известна трудность со значениями масс заряженных частиц. Из формулы (0.0.3) следует вклад в массу покоя заряженной частицы т = ~ 10 ^г. Это очень большое значение, порядка планковской массы (тр/ = ^Не/к ~ 10~5г); чтобы получить наблюдаемые значения приходится применять специальные методы "перенормировки" планковских масс [23].

Из изложенного следует вывод, что теорией Калуцы - Клейна следовало бы назвать б - мерный вариант геометрической теории, в которой присутствуют две дополнительные координаты ж4 и ж5 с физическими смыслами двух каналов 5 - мерных теорий. В такой теории сохранялась трудность с планковскими значениями масс.

В связи с вышеизложенным в диссертации будут параллельно развиваться два канала 7 - мерной геометрической модели грави - электрослабых взаимодействий, именуемые впредь каналом Калуцы и каналом Калуцы - Клейна - Фока - Румера (канал ККФР). Причины такого наименования выяснятся по ходу диссертации.

В 70 - х годах интерес к многомерию возрос во всём мире в связи с развитием теории калибровочных полей, предложенной Янгом и Милл-сом. Как известно, в основе этого направления лежит теория групп. Различные физические поля связываются с зависимостью групповых параметров от координат (локализация групп). Сначала рассматривались абелевы группы - таким образом можно прийти к теории электромагнитного поля. Затем были рассмотрены неабелевы калибровочные теории и поля, позволившие построить модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама, а затем перейти к хромодинамике -модели сильных взаимодействий. Довольно быстро было осознано, что многомерные теории типа Калуцы - Клейна можно понимать как геометризацию теорий калибровочных полей [24, 25]. Можно даже сказать, что в ряде отношений эти два вида теорий представляют собой два разных языка, описывающих одну и ту же физическую реальность. Однако существенное отличие состоит в том, что геометрические представления всегда рассматривались более фундаментальными, нежели вводимые на их основе физические конструкции. Теперь уже оказался прёодолённым барьер, ограниченный пятью измерениями. Широко стали использоваться многообразия большего числа измерений.

В настоящее время в русле многомерия ведутся исследования группой П. Вессона [26]. Утверждается, что одной дополнительной размерности достаточно, чтобы объяснить феноменологические свойства классической материи. В отличие от теорий типа Калуцы - Клейна не налагается ограничений, типа условий цилиндричности или компактификации, на 5 - мерное риманово многообразие, в связи с чем в окончательных выражениях явно наличествует дополнительная 5-я координата, обуславливающая дополнительные эффекты 5 - ме-рия. Пропагандируется теория индуцированной материи, согласно которой 5 - мерные полевые уравнения постулируются в виде:

Яав^О или Дав-^авД = 0. (0.0.4)

В 4 - мерии, как известно, полевые уравнения записываются следующим образом:

Да/5 - \gafiR = ^Тар. (0.0.5)

А/ С

Согласно известной теореме Кэмпбела: любое аналитическое N - мерное риманово многообразие может быть локально вложено в (Ы + 1) -мерное риччи - плоское риманово пространство. Поэтому 4 - мерные полевые уравнения с источниками можно локально вложить в 5 - мерные полевые уравнения без источников. Применительно к космологии это означает, что наша Вселенная может рассматриваться либо как 4 - мерие, искривленное материей, либо как 5 - мерное риччи - плоское пустое пространство. В общем случае 15 уравнений поля (0.0.4) всегда разбиваются на три набора, имеющие физический смысл, если метрика зависит от дополнительной координаты х4. Эти наборы состоят из 4-х законов сохранения электромагнитного типа, одного уравнения на скалярное поле волнового типа и 10 - ти уравнений полей и материи гравитационного типа (эйнштейновские уравнения ОТО с материей, индуцируемой дополнительной размерностью). Главным неудобством такого подхода является то, что, несмотря на большую общность, не фиксируя топологию и калибровку, трудно избежать громоздкости, и не видно практических приложений. Поэтому везде, где это можно, для конкретного счета фиксируется конкретная калибровка и зависимость компонент метрики от координат.

В работах [27, 28, 29, 30] группы Ю. С. Владимирова исследовались б - мерные геометрические модели грави - электрослабых взаимодействий. Было показано, что в рамках 6 измерений удаётся построить реалистическую модель, объединяющую эйнштейновскую ОТО и модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама. Было предложено два способа такого объединения. Сначала был предложен торсионно - метрический способ [27, 28], когда электромагнитное поле и 2 - бозон геометризовывались посредством компонент метрического тензора, тогда как заряженные - бозоны описывались компонентами 6 - мерного торсионного тензора. Потом была предложена чисто метрическая версия [29, 30], когда компоненты б - мерного метрического тензора описывали все четыре векторных поля.

Отметим, что ранее в работах [31, 32] исследовались 7 - мерные геометрические модели грави - электрослабых взаимодействий с торсионным введением заряженных Ш± - бозонов. В работах [33, 34] предпринимались попытки метрического определения заряженных И^ - бозонов. В частности, следует отметить работы А. О. Мирошника [35], сделавшего на основе 7 - мерия ряд численных оценок характеристик элементарных частиц. В работах В. Р. Гаврилова по сходной тематике [36] был предложен интересный канал по непосредственному переложению результатов калибровочных теорий на многомерие.

Из отечественных физиков, занимающихся в последнее время многомерной тематикой, следует упомянуть цикл работ С. С. Кокарева, В. Н. Мельникова, К. А. Бронникова, В. Д. Иващука, М. А. Гребенюка и других [37].

Следует отметить цикл работ В. Г. Кречета [38, 39], посвященных, в частности, 5 - мерным геометрическим моделям грави - электрослабых взаимодействий в пространствах с кручением. В них получен ряд интересных результатов, однако идеология этого цикла работ отличается от идеологии данной диссертации, опирающейся на метрический вариант теории.

Данная диссертация выполнена в русле работ, развиваемых в группе Ю. С. Владимирова.

Имелись ряд доводов в пользу исследования на прежних принципах нового варианта 7 - мерной геометрической модели. Среди них отметим следующие:

Во - первых, в метрическом (без кручения) варианте б - мерной модели некоторые смешанные компоненты метрического тензора оказывались комплексными. Возникал вопрос, можно ли получить вещественную метрику путём увеличения размерности?

Во - вторых, в рассматриваемых моделях фермионная материя описывалась 8 - компонентными комплексными спинорами, тогда как с точки зрения алгебр Клиффорда над полем вещественных чисел для 6 - мерного многообразия с использованной сигнатурой (-1------) спиноры должны быть кватернионными, то есть использовались спиноры, соответствующие 7 - мерному многообразию с сигнатурой (-|-------). Впрочем заметим, что в стандартной электродинамике в 4 - мерном пространстве - времени используются дираковские 4 - компонентные комплексные спиноры, с точки зрения указанного подхода соответствующие 5 - мерной теории, то есть имеет место аналогичное обстоятельство.

Однако наиболее важным доводом в пользу увеличения размерности является то, что реляционная теория пространства - времени и физических взаимодействий (бинарная геометрофизика) [40, 41] приводит к 7 - мерному варианту геометрической модели.

В настоящей работе предыдущие результаты обобщены и модифицированы на случай 7 - мерной модели грави - электрослабых взаимодействий с метрическим введением заряженных Цт± - бозонов. При этом получен ряд новых результатов на основе разработанных в диссертации методов исследования.

Для построения многомерной геометрической модели грави - электрослабых взаимодействий, необходимо было решить следующие задачи:

1. Показать геометрическую природу четырёх векторных полей: Вц и триплета (в = 1, 3), являющихся переносчиками электрослабых взаимодействий в модели Вайнберга - Салама.

2. Показать, что нелинейность выражений для тензоров напряженности векторных полей, соответствующая неабелевости 5^7(2) - преобразований, возникает естественным образом в геометрической модели.

3. Показать, что из многомерной скалярной кривизны можно получить все составные части лагранжевой плотности четырёх векторных полей, известные из модели Вайнберга - Салама.

4. Дать адекватное геометрическое истолкование двух квантованных зарядов, именуемых гиперзарядом У и проекцией изотопического спина Гз

5. Описать фермионный дублет полей - нейтрино и электрона (для одного поколения лептонов).

6. Показать, что стандартные методы описания спиноров в искри

10 влённом пространстве - времени приводят к известным выражениям в лагранжевой плотности взаимодействия фермионного дублета с промежуточными векторными бозонами.

7. Указать геометрический аналог известного механизма Хиггса для введения масс покоя элементарных частиц.

Решению перечисленных вопросов в рамках 7 - мерной геометрической модели и посвящена данная диссертация.

Кратко охарактеризуем содержание диссертации. В главе 1 изложен самый необходимый минимум использованных в даннной работе основных идей и методов геометрических и калибровочных теорий. Во 2-й главе обсуждён бозонный сектор 7 - мерной модели грави - электрослабых взаимодействий, в котором решаются первые три из перечисленных выше задач. Следующие три задачи решаются в 3 - й главе, в которой изложен фермионный сектор 7 - мерной модели грави - электрослабых взаимодействий. Решению последней задачи посвящены две последние главы диссертации: 4-я глава, в которой обсуждается введение масс бозонных полей; и 5 - я глава, в которой дан анализ массового сектора 7 - мерной модели грави - электрослабых взаимодействий для фермионов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог изложенному в диссертации, можно утверждать, что модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама в унитарной калибровке без учёта массовых слагаемых довольно полно вкладывается в 7 - мерную геометрию без кручения и с внешней спинорной материей (с фиксированной топологией и калибровкой). При этом на геометрической основе достигается естественное совмещение ряда идей и вариантов объединения взаимодействий: а) 5 - мерной теории гравитации и электромагнетизма Калуцы -Клейна; б) модели электрослабых взаимодействий Вайнберга - Салама; в) теории спиноров в многомерных многообразиях.

Кратко сформулируем основные выносимые на защиту результаты работы:

1. Из условия совпадения векторной части геометрической плотности лагранжиана с бозонным (векторным) сектором модели Вайнберга - Салама получена система девяти удивительно совместных уравнений на коэффициенты при векторных полях. Анализируя полученную систему уравнений, досконально изучен произвол в их выборе (для конфигурационного пространства одного поколения лептонов). Особо проанализирован сингулярный случай а2 = Ъ2. Отдельно рассмотрен случай вещественности всех коэффициентов.

2. Произведён переход к ранее рассматривавшейся 6 - мерной геометрической модели. Показано, что автоматически осуществляется случай а2 = Ь2 и выражения и условия для коэффициентов при векторных полях совпадают с приведёнными в работе [29]. Показано, что в случае вещественности все коэффициенты выражаются через один параметр а. С учётом этого записано явное выражение для компонент метрики (метрического тензора).

3. Произведён анализ вариантов 7 - мерной модели с иной сигнатурой, причём отдельно-были рассмотрены случаи: а) временипо-добных дополнительных размерностей, от которых нет циклических зависимостей в компонентах метрики, б) вариант изменения сигнатуры той размерности, от которой введена зависимость (в данном случае координаты х6). Любопытно, что в случае вре-мениподобных координат х4 и х5 сингулярный случай (а2 = Ь2) невозможен.

4. Сопоставление операторов триадного дифференцирования с удлинённой производной модели Вайнберга - Салама помимо придания физического смысла гармоникам £4, £5, £б через гиперзаряд У и проекцию изоспина Т3 позволяет выяснить, что в 7 - мерной геометрической модели грави - электрослабых взаимодействий осуществляется сингулярный случай а2 = б2. Также получен ряд соотношений между константами модели.

5. Учитывая физический смысл гармоник, предложен конкретный вариант зависимости спинорных функций от дополнительных координат. Показано, что стандартные методы описания спиноров в искривлённом пространстве - времени приводят к известным выражениям в лагранжевой плотности взаимодействия фермион-ного дублета с промежуточными векторными бозонами.

6. Путем прямого сопоставления спинорной части лагранжевой плотности 7 - мерной модели с фермионным сектором модели Вайнберга - Салама получены выражения для коэффициентов при нейтральных векторных полях, совпадающие с выражениями, полученными из сопоставления удлинённой производной с операторами триадного дифференцирования, что снова, уже из фермионного сектора, позволяет сделать вывод о том, что в 7 - мерной геометрической модели грави - электрослабых взаимодействий осуществляется сингулярный случай а2 — Ъ2. Также получены дополнительные условия на фермионные и бозонные (при заряженных векторных полях) коэффициенты, которые в случае вещественности всех коэффициентов при векторных полях и конкретном выборе фермионных коэффициентов образуют с уже полученными в бозонном секторе условиями замкнутую систему уравнений. Приведено решение этой системы.

7. В массовом секторе 7 - мерной модели указан геометрический аналог известного механизма Хиггса для введения масс покоя, как нейтральных и заряженных векторных бозонов, так и фермионного дублета, в двух каналах геометрической модели. Дана геометрическая интерпретация значения угла Вайнберга и отклонения

72 экспериментального значения угла Вайнберга от тридцати градусов через нарушение симметрии между двумя векторами триады. Явно новым способом подсчитаны дополнительные вклады в массы заряженных векторных бозонов. Получено обобщение т. н. массовой теоремы для массы электрона. Снят произвол в выборе бозонных коэффициентов, выражающихся через один параметр а модели.

На основании проведённого исследования можно утверждать, что увеличение размерности с 6 до 7 не позволяет устранить такую особенность метрического варианта 6 - мерной геометрической модели грави - электрослабых взаимодействий как комплексный характер, по крайней мере одной, векторной составляющей метрического тензора. Таким образом, описание заряженных Ж± - бозонов в метрическом варианте многомерной теории типа Калуцы - Клейна (с топологией тора) возможно лишь в обобщённых геометрических моделях с комплексной метрикой. При построении ОТО и 5-мерной теории типа Калуцы - Клейна оказалось достаточным римановой геометрии с вещественной метрикой лишь благодаря тому, что ими описываются нейтральные бозонные поля.

Следует подчеркнуть, что изложенная здесь 7 - мерная модель не заменяет собой модель электрослабых взаимодействий Вайнберга - Са-лама, а, скорее, представляет собой рассмотрение её содержания под иным, геометрическим углом зрения.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико - математических наук Ю. С. Владимирову за предложенную тему, руководство работой и плодотворное сотрудничество. Также выражаю благодарность всем своим коллегам за ценные советы и полезные замечания, сделанные в ходе обсуждения диссертации на научных семинарах.

1. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии // Сборник "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". М.: Мир, 1979, с. 18 - 33.

2. Риман Б. Сочинения. М. Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.

3. Грассман Г. "Учение о протяженности .". Ч. 2, 1862.

4. Cayley A. A sixth Memoire on Quantics (Шестой мемуар о формах),1859.

5. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1 2. М. - Л.: Гостехиз-дат, 1950.

6. Клейн Ф. О новых английских работах по механике // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, I960.

7. Минковский Г. Пространство и время. // Принцип относительности. / Под ред. Тяпкина А. А. М.: Атомиздат, 1973, с. 167 180.

8. К aluza Т. К проблеме единства физики / / Сборник " Альберт Эйнштейн и теория гравитации". М.: Мир, 1979, с. 529 535.

9. Klein О. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitäts theorie. // Zeit, für Physik., 1926, bd. 37, s. 895 906.

10. Klein О. Zur fíinfdimensionalen Darstellung der Relativitäts theorie. // Zeit, für Physik., 1927, bd. 46, s. 188 208.

11. De Broglie L. L'Univers a cin^jdimensions et la mecanique ondulatoire. // Journ. Phys. Rad., 1927, ser. 6, v. 8, p. 65 73.

12. Эйнштейн А., Громмер Я. Доказательство несуществования всюду регулярного центрально симметричного поля в теории поля Т. Калуцы. (1923) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1966, с. 130 - 133.

13. Эйнштейн А. К теории связи гравитации и электричества Калуцы. (1927) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1966, с. 190 196.

14. Эйнштейн А., Майер В. Единая теория гравитации и электричества. (1931) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1966, с. 347 348; с. 366 - 395.

15. Эйнштейн А., Бергман П. Обобщение теории электричества Ка-луцы. (1938) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1966, с. 492 513.

16. Эйнштейн А., Баргман В., Бергман П. О пятимерном представлении гравитации и электричества. (1941) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1966, с. 543 554.

17. Эйнштейн А., Паули В. Несуществование регулярных стационарных решений релятивистских уравнений поля. (1943) // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1966, с. 560 567.

18. Фок В. А. Zur Schrödingerishen Wellenmechanik. // Zeits. für Physik., 1926, bd. 38, H. 3, s. 242 250.

19. Mandel H. Zur Herleitung der Feldgleichungen in. der algemeinen Relativitätstheorie. // Zeit, für Physic., 1929, bd. 56, s. 838 844.

20. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности. М.: ИЛ, 1947.

21. Румер Ю. Б. Исследования по 5 оптике. М.: ГИТТЛ, 1956.

22. Владимиров Ю. С.} Козленков А. А. 6-оптика и единая теория гравитации и электромагнетизма // Известия вузов. Физика, 1984, No 12, с. 36 40.

23. Владимиров Ю. С. Планковские массы и многомерные теории поля. // Сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц". М.: Энергоатомиздат, 1986, вып. 17, с. 66 74.

24. Salam A., Strathdee J. On Kaluza Klein theory // Ann.of Phys., 1982, vol. 141, p. 316 - 352.

25. Салам А. Унификация сил // Сб. "Фундаментальная структура материи". М.: Мир, 1984, с. 173 203.

26. Wesson P. S. Space Time - Matter (Modern Kaluza - Klein Theory). // World Scientific, 1999 (and ref - s there in).

27. Владимиров Ю. С. 6 мерное объединение теории Калуцы - Клейна и модели Вайнберга - Салама. Препринт физ. ф - та МГУ, М.: 1985, No 16/1985.

28. Владимиров Ю. С. Размерность физического пространства времени и объединение взаимодействий. М.: Издат. Моск. ун - та,1987.

29. Vladimirov Yu. S., Mamontov S. I. Symmetry in a 6 dimensional geometric model of gravi - electroweak interactions. // Gravitation and (&) Cosmology. Vol. 2 (1996), No 3 (7), p. 235 - 243.

30. Мамонтов С. И. 6 мерная модель грави - электро - слабых взаимодействий. // Дисс. . канд. физ. - мат. наук. Ярославль, 1996.

31. Владимиров Ю. С. Нейтральные векторные поля в 7 мерной теории грави - электро - слабых взаимодействий. Препринт физ. ф - та МГУ, No 16/1986.

32. Владимиров Ю. С., Гаврилов В. Р. Заряженные векторные поля в 7 мерной теории грави - электро - слабых взаимодействий. // Гравитация и электромагнетизм: Сборник статей. Минск: Изд - во "Университетское", 1987, с. 9 - 14.

33. Владимиров Ю. С., Мирошник А. О. SU(2) х U(l) х U(l) симметричная 7 - мерная модель грави - электро - слабых взаимодействий с метрическим определением W - бозонов. Препринт физ. ф - та МГУ, М.: 1987, No 25/1987.

34. Владимиров Ю. С., Мирошник А. О. Метрический вариант 7 мерной теории грави - электро - слабых взаимодействий. // Сб. "Гравитация и электромагнетизм". Минск: "Университетское",1988, с. 37 44.

35. Мирошник А. О. Исследование единых многомерных метрических моделей физических взаимодействий. // Дисс. . канд. физ. мат. наук. Москва, 1989 (и куча ссылок там же).

36. Krechet V. G. Geometrization of physical interactions, 5 dimensional theories and the many world problem. // Grav. & Cosm., 1995, v. 1, No 3, p. 199 - 204.

37. Кречет В. Г. Пятимерная геометрическая модель грави электрослабых взаимодействий. //Сб. "Гравитация и электромагнетизм", вып. 6, Минск, "Университетское", 1998.

38. Владимиров Ю. С. Реляционная теория пространства времени и взаимодействий. Ч. 1. Теория систем отношений. М.: Изд - во Моск. ун - та, 1996.

39. Владимиров Ю. С. Реляционная теория пространства времени и взаимодействий. Часть 2. Теория физических взаимодействий. М.: Изд. МГУ, 1998.

40. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1981.

41. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля. М.: Изд во Моск. ун - та, 1986.

42. Хуанг К. Кварки, лептоны и калибровочные поля. М.: Мир, 1985.

43. Боголюбов H. Н. и Ширков Д. В. Квантовые поля. М.: Наука, 1993.

44. Владимиров Ю. С. Системы отсчёта в теории гравитации. М.: Энергоиздат, 1982.

45. Ingraham R. L. Free field equations of conformal relativiti in Riemanian formalism. 1 - 2 // Nuovo Cim., 1982, v. 68 B, No 2, p. 203 - 217; 1982, v. 68 B, No 2, p. 218 - 234.

46. Pavsic M. Unified theory of gravitation and electromagnetism, based on conformal group S0^2 // Nuovo Cim., 1977, vol. 41 B, No 2, p. 397 427.

47. Михайловский Г. E. Биологическое время, его организация, иерархия и представление с помощью комплексных величин. // Сб. "Конструкции времени в естествознании: на пути к лониманию феномена времени". Изд во Моск. ун - та, 1996.

48. Salingaros N. On the classification of Clifford algebras and their relation to spinor in n dimensions // Journ. Math. Phys., 1982, vol. 23, No 1, p. 1 7. .

49. Владимиров Ю. С. Происхождение магнитного поля астрофизических объектов. // Вестник Московского ун та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000, No 2, с. 6 - 8.

50. Владимиров Ю. С., Минъков А. Г. 7 мерная геометрическая модель грави - электро - слабых взаимодействий // Тезисы международной конференции "Геометризация физики - 3", Казань, 1997, с. 26.

51. Минъков А. Г. 7 мерная геометрическая модель грави - электро - слабых взаимодействий. // Дипломная работа. МГУ им. М. В. Ломоносова, физ. фак - т, каф. теор. физики, 1998.

52. Владимиров Ю. С., Минъков А. Г. 7 мерная геометрическая модель грави - электро - слабых взаимодействий. // Синергетика: Труды семинара. Выпуск 1. М.: Изд. МГУ, 1998, с. 106 - 117.

53. Yu. S. Vladimirov and A. G. Minkov 7 dimensional geometric model of gravi - electroweak interactions. // Gravitation & Cosmology, vol. 4 (1998), No 2 (14), p. 103 - 106.

54. Владимиров Ю. С., Минъков А. Г. 7 мерная геометрическая модель грави - электрослабых взаимодействий. // Тезисы Всероссийской научной конференции "Фридмановские чтения". Пермь: Изд. Пермского ун - та, 1998, с. 10.

55. Губанов А. Н., Минъков А. Г. Многомерные геометрические модели физических взаимодействий. // Гравитация и электромагнетизм: Сборник статей. Выпуск 6. Минск: Изд. "Университетское", 1998, с. 77 83.

56. Yu. S. Vladimirov and A. G. Minkov Particle rest masses in multidimensional geometric models // Grav. & Cosm., vol. 5 (1999), No 2 (18), p. 121 126.

57. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных взаимодействий. // УФН, 1980, т. 132, No 2, с. 229.

58. Hodos А. // УФН, 1985, т. 146, No 4, с. 647.

59. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля, 7-е изд., М.: Наука, 1988.

60. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика, 3-е изд., М.: Наука, 1989.

61. Фейнман Р. КЭД странная теория света и вещества. Перевод с англ., М.: Наука, 1988.

62. Гоффман Б. Корни теории относительности. Пер. с англ., М.: Знание, 1987.

63. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство время. М.: Мир, 1987 (-88).

64. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т. 1 3. Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

65. Бергман П. Единые теории поля // УФН, 1980, т. 132, No 1, с. 177 190.

66. Владимиров Ю. С., Попов А. Д. Уравнение Дирака в 5 и б - мерных искривлённых пространственно - временных многообразиях // Вестник Моск. ун - та. Сер. физ. и астр., 1984, т. 25, No 5, с. 47 - 52.

67. Владимиров Ю.С., Попов А.Д. Многомерные модели физических взаимодействий типа теории Калуцы Клейна. // Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1991, с. 5 - 48.

68. Гаврилов В. Р. Многомерные геометрические теории с нетривиальной топологией. // Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация: Тезисы докладов Второго всесоюзного научного семинара. Тарту: ТГУ, 1988, с. 112 - 113.

69. Salingaros N. On the classification of Clifford algebras and certain physically important groups and algebras // Journal Math. Phys., 1981, v. 22, No 2, p. 226 232.

70. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 1984.

71. Каменев А. В. Некоторые аспекты объединения взаимодействий в рамках теории типа Калуцы Клейна. // Дипломная работа. МГУ им. М. В. Ломоносова, физ. фак - т, каф. теорет. физики, 1987.

72. Percassi С. About Kaluza Klein theories. // Journ. Math. Phys., 1983, v. 24, No 4, p. 807 - 814.

73. Кислое В. ВТаранов И. В. Объединение гравитации с электрослабыми взаимодействиями в рамках теории Калуцы Клейна. // Гравитация и электромагнетизм: Сборник статей. Минск: Изд - во "Университетское", 1987, с. 47 - 54.

74. Bullinaria M. Chiral fermions in Kaluza Klein theory. // Nucí. Phys., 1986, v. B272, No 2, p. 266 - 280.

75. Wetterich С. Massless spinors in more then four dimensions. // Nucl. Phys., 1983, v. B211, No 1/2, p. 177 188.

76. Gremmer E., Sherk J. Spontaneous compactification of extra dimensions. // Nucl. Phys., 1977, v. B118, No 1/2, p. 61 75.

77. Witten E. Serch for a realistic Kaluza Klein theory. // Nucl. Phys., 1981, v. B186, No 3, p. 412 - 422.

78. Weinberg S. Charges from extradimensions. // Phys. Lett., 1983, v. 125 B, p. 265 268.

79. Chyba C. Kaluza Klein unified field theory and apparent four -dimensional space - time. // Am. J. Phys., 1985, v. 53, No 9, p. 863 - 872.

80. Cho Y Higher dimensional unification of gravitation and gauge theories. // J. Math. Phys., 1975, v. 16, No 10, p. 2029 - 2035.

81. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации. М.: Изд во МГУ, 1985.

82. Gell Mann M., Ne'eman Y. The Eightfold Way. N. Y.: W. A. Benjamin, 1964.

83. Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий. М.: Мир, 1975.

84. Yang С., Mills R. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invarience. // Phys. Rev., 1954, v. 96, No 1, p. 191 195.

85. Гаврилов В. P., Карнаухов А. В. О соответствии последних вариантов 5 мерных теорий. // Известия вузов. Физика., 1984, No 8, с. 45 - 50.

86. Мишаков А. В. Возможные эффекты скаляризма в многомеоных теориях физических взаимодействий. // Дисс. . канд. физ. мат. наук, Москва, 1993.

87. Гладуш В. Д. Ковариантное расщепление N + 1 мерного пространства и лагранжев формализм в общей теории относительности. // Препринт ИТФ - 78 - 64Р, АН УССР, Киев, 1978.

88. Гладуш В. Д. Пятимерная теория взаимодействующих скалярного, электромагнитного и гравитационного полей. // Известия ВУЗ ов, сер. Физика, No И, 1979.81

89. W. Drechsler Mass Generation by Weyl - Symmetry Breaking. // MPI PhT / 98 - 68.

90. M. J. Duff; В. E. W. Nilsson and C. N. Pope Kaluza Klein approach to the heterotic string. // Physics Letters, vol. 163 B, No 5, 6.

91. D. E. Liebscher, 77. Bleyer Kaluza - Klein Cosmology: Phenomenology and Exact Solutions with Three - Component Matter. I/ Preprint 20 - 10 - 84.

92. M. Хайдеггер Время и Бытие. // М. "Республика", 1993.

93. Barashenkov V. S. Electrodynamics in space with multi dimensional time. 11 Comm. JINR, E2 - 96 - 10, Dubna, 1996.