Числовые характеристики некоторых многообразий линейных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Рацеев Сергей Михайлович

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЛИНЕИНЫХ АЛГЕБР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 6 ОКТ 2014

щи шт..............Ульяновск - 2014

005553471

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления в ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет»

Научный консультант: Мищенко Сергей Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», заведующий кафедрой алгебро-геометрических вычислений

Официальные оппоненты: Белов Алексей Яковлевич,

доктор физико-математических наук, ФГАОУ ВПО «Московский физико-технический институт (государственный университет)», профессор кафедры дискретной математики;

Михалев Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова», профессор кафедры математического анализа;

Тронин Сергей Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», профессор кафедры алгебры и математической логики.

Ведущая организация: ФГБУН «Институт математики им. С.Л. Соболева

Сибирского отделения РАН»

Защита состоится 24 декабря 2014 г. в Ю00 на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет» по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru. С авторефератом — на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан 7 IО ._2014 г.

Ученый секретарь /у

диссертационного совета Д 212.278.02 Л/^г

к.ф.-м.н., доцент /у /г/ Волков М. А.

г/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена изучению числовых характеристик многообразий алгебр Лейбница, многообразий ассоциативных алгебр, многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница-Пуассона.

Обозначим через К{Х} (абсолютно) свободную линейную алгебру от счетного множества свободных образующих X = {xi, х2,...} над полем К. Пусть А — некоторая .пГ-алгебра. Полином f{xi,..., хп ) G К{Х) называется тождеством алгебры А, если /(ai,..., ап) = 0 для любых элементов ai,..., a„ € А. Алгебра А, удовлетворяющая ненулевому тождеству, называется PI-алгеброй. Обозначим через Id(A) множество всех тождеств алгебры А. Множество Id(A) является идеалом свободной алгебры К{Х}. При этом данный идеал замкнут относительно всех эндоморфизмов алгебры К{Х}. Идеалы, обладающие таким свойством, называются вербальными идеалами (Т-идеалами). Нетрудно видеть, что любой вербальный идеал I является идеалом тождеств некоторой алгебры, например алгебры К{Х}/1.

Многообразием линейных алгебр над полем К называют класс всех алгебр над этим полем, в которых выполнен некоторый фиксированный набор тождеств. Между вербальными идеалами и многообразиями алгебр существует взаимно однозначное соответствие. Задание набора тождеств может быть неявным. Например, можно рассматривать многообразия, порожденные некоторым классом алгебр M над произвольным фиксированным полем К, тогда var(M) — наименьшее многообразие алгебр над полем К, содержащее М. В частности, M может состоять из одной линейной алгебры А. В данном случае алгебра А будет называться носителем многообразия. Независимая система тождеств, определяющая некоторое многообразие V, называется базисом тождеств многообразия V. Если V — некоторое многообразие, определенное некоторой системой неассоциативных многочленов из К{Х}, Id(V) — идеал тождеств многообразия V, то свободной алгеброй многообразия V называют фактор-алгебру К(Х, V) = K{X}/Id(V). Исследованию многообразий линейных алгебр посвящена обширная литература1,2,3,4,5,6.

Для произвольного натурального п обозначим через Р„ подпространство в К{Х}, состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных х\у .., хп. Пусть А — некоторая алгебра над полем К. Обозначим

Рп(А) = Рп/(Рп П Id(A)), Сп(А) = dim Рп(А).

1 Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с.

2 Разьгыслов Ю.П. ТЪждества алгебр и их представлений. М.: Наука. 1989. 432 с.

3 Kemer A.R. Ideal of Identities of Associative Algebras. Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs. Vol. 87. 1991.

4 Drensky V. EVee algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra. Singapore: Springer-Verlag. 2000.272 p.

5 Giambruno A., Zaicev M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence R.I. 2005.

6 Rowen L.H., Kenel-Belov A. Computation Aspects of Polynomial Identities. Wellesley, Massachusetts. 2005.

Например, для свободной алгебры К{Х} выполнено равенство

сп(К{Х}) = ^.п[, п

Сп-1

где С* — число сочетаний из п по к, 2"~2 — n-е число Каталана. Для свободной

п

ассоциативной алгебры А{Х) и свободной алгебры Ли L(X) выполнены такие равенства: Сп(А(Х)) = п\, Cn(L(X)) = (п — 1)!. Понятно, что если в if-алгебре В выполнены все тождества if-алгебры А, то Id(A) С Id{B) и Сп(В) Сп(А), п>1.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр над полем нулевой характеристики и <т £ Sn, где Sn — симметрическая группа степени п. Действие a(xj) = xa(i) естественным образом продолжается до автоморфизма свободной алгебры К{Х, V) многообразия V. Пространство Pn(V) = Р„/(Р„ П Id(V)) становится при этом ^„-модулем. Модуль Pn(V) является вполне приводимым, разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:

■Хп(У) = x(Pn(V)) = £ mA(V)XA. (1)

Al-n

Xn(V) называется тг-м кохарактпером многообразия V. Кохарактеры содержат информацию о структуре представления симметрической группы на пространстве Pn(V). Величину Zn(V) = Хльп mA(V) назовем тг-й кодлиной многообразия V. По каждому разбиению А можно построить диаграмму Юнга, которая представляет собой таблицу из к строк, где г-я строка состоит из А* клеток. Скажем, что диаграмма Юнга лежит в крюке H(i,j), если Aj+i < j.

Хорошо известно, что в случае основного поля нулевой характеристики идеал тождеств произвольного многообразия V порождается совокупностью полилинейных тождеств данного многообразия, т.е. последовательность P„n/d(V), п > 1, полностью определяет /rf(V). Поэтому одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {cn(V)}nSäl, Cn(V) — dim P„(V), которая называется последовательностью коразмерностей многообразия V. Асимптотическое поведение'данной последовательности называют ростом многообразия V. Рост многообразия служит своеобразной оценкой количества тождеств, которым удовлетворяет та или иная алгебра. Пусть d\ — размерность соответствующего разбиению А неприводимого Sn-модуля. Так как Cn(V) = Х)аЬп m\{V)d\, то кохарактеры представляют собой более тонкую характеристику тождеств многообразия.

Пусть /(п) и д(п) — две функции натурального аргумента. Будем обозначать /(n) « д(п), если lim^«, = 1.

В случае многообразий ассоциативных алгебр А. Регевым7 показано, что рост любого нетривиального многообразия экспоненциально ограничен: для

7 Regev A. Existence of identities in А® ВЦ Israel J. Math. 1972. Vol. 11. P. 131-152.

многообразия ассоциативных алгебр V над произвольным полем, в котором выполнено нетривиальное тождество степени то, выполнено неравенство CnCV) < (m — I)2", гг ^ 1. В.Н. Латышев8 привел более простое доказательство теоремы А. Регева, заметив, что она является простым следствием леммы Дилворса о частично упорядоченных множествах.

Для случая основного поля нулевой характеристики С.А. Амицуром, А. Бе-релем и А. Регевым9'10 получен результат для кохарактеров полиномиальных ассоциативных алгебр (из которого, в частности, следует экспоненциальность роста): для нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики верны следующие утверждения:

(г) найдется такой крюк H(k, I), что Xn(V) С Н(к, 1), п ^ 1;

(гг) последовательность кодлин {Z„(V)}n^i ограничена полиномом.

М.В. Зайцевым и А. Джамбруно11 приведена более тонкая оценка для кохарактеров полиномиальных ассоциативных алгебр, используя понятие «существенных» крюков.

Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижнюю и верхнюю экспоненты:

Exp(V) = lim vQV), = 1ШТ vQv).

П-+00 "-*00

Если имеет место Exp(V) = Exp(V), то эту величину обозначим через Exp(V) и будем называть экспонентой многообразия V.

Опираясь на результат А. Регева12, С.А. Амицур выдвинул следующую гипотезу.

Гипотеза (С.А. Амицур). Для любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики Exp(V) существует и является целым числом.

Гипотеза С.А. Амицура была усилена А. Регевым.

Гипотеза (А. Регев). Для любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики найдутся такие целые d,t и такая константа С, что c„(V) Cn^ti™.

M.B. Зайцев и А. Джамбруно13,14 в 1999 году доказали гипотезу С.А. Амицура, доказав более сильный результат: для любого нетривиального многообразия

8 Латышев В.Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр// YMH. 1972. Т. 27, № 4. С. 213-214.

9 Amitsur S.A., Regev A. P.I. algebras and their cocharacters// J. Algebra. 1982. Vol. 78. P. 248-254.

10 Berele A., Regev A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras// J. Algebra. 1983. Vol. 82. P. 559-567.

11 Giambruno A., Zaicev M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence R.I., 2005.

12 Regev A. Codimensions and trace codimensions of matrices are asymptotically equal// Israel J. Math. 1984. Vol. 47. P. 246-250.

13 Giambruno A., Zaicev M.V. On codimention growth of finitely generated associative algebras// Adv. Math.

1998. Vol. 140. P. 145-155.

14 Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate// Adv. Math.

1999. Vol. 142. P. 221-243.

ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики существует такое неотрицательное целое число d и такие константы А, В, а и ß, причем А Ф О, что

Апа<Р < c„(V) < .

M.B. Зацевым15 в 2002 году подтвержден аналог гипотезы С.А. Амицура для конечномерных алгебр Ли. Гипотеза А. Регева была подтверждена сначала для некоторых частных случаев12,16'17, а затем в 2008 году А. Регев и А. Берел доказали гипотезу А. Регева для любой ассоциативной Р/-алгебры с единицей18'19.

В теории ассоциативных алгебр очень важную роль играет бесконечно порожденная алгебра Грассмана А и алгебра верхнетреугольных матриц порядка 2, которую обозначим через UT2. Из работы А.Р. Кемера20 следует, что в случае основного поля нулевой характеристики многообразие ассоциативных алгебр V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда Л ^ V, UT2 £ V. Интересным объектом являются многообразия почти полиномиального роста — это многообразия, рост которых не является полиномиальным, но такие, что всякое собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост. Из результата А.Р. Кемера следует, что существует только два многообразия ассоциативных алгебр почти полиномиального роста: шг(А), var{UT2). Также из данного результата следует, что при char К = 0 произвольное многообразие ассоциативных алгебр V либо имеет полиномиальный рост, либо c„(V) > 2n_1 для любого п. В случае унитарных ассоциативных алгебр B.C. Дренски и А. Регев21 показали, что это свойство распространяется на случай произвольного поля. При этом если многообразие V имеет полиномиальный рост, то в случае поля нулевой характеристики найдется такое рациональное q и целое к, что22 Cjj(V) sa qnk. Это утверждение верно и для многообразий ассоциативных алгебр с единицей над произвольным полем21, при этом

(-!)'' 1

1 к

¿=2

)

где е — основание натурального логарифма. Заметим, что Д. Jla Маттиной23

15 Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли// Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 3. С. 23-48.

16 Giambruno A., Zaicev M.V. Codimension growth and minimal superalgebras// Tirans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355. P. 5091-5117.

17 Gordienko A.S. Regev's conjecture and codimensions of P.I. algebras// Acta Appl. Math. 2009. Vol. 108, № 1. P. 33-55.

18 Berele A. Properties of hook Schur functions with applications to P.I. algebras// Adv. in Appl. Math. 2008. Vol. 41, № 1. P. 52-75.

19 Berele A., Regev A. Asymptotic behaviour of codimensions of P.I. algebras satisfying СареШ identities. IVans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360, № 10. P. 5155-5172.

20 Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей// Сиб. матем. журн. 1978. Т. 19, № 1. С. 54-69.

21 Drensky V., Regev A. Exact asymptotic behaviour of the codimention of some P.I. algebras// Israel J. Math. 1996. Vol. 96. P. 231-242.

22 Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals// Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math. 1992. Vol.' 131, part 2. P. 285-300.

23 Mattina D. La. Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties// Manuscripta Math.

полностью описаны все подмногообразия в гаг (Л) и ^аг([/Тг).

В отличие от ассоциативных алгебр существуют нетривиальные многообразия алгебр Ли со сверхэкспоненциальным ростом (т.е. сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли А^, определяемое тождеством (хгх2хз)(х4х5хв) = О24'25. Для коразмерностей последовательности {«^(А^)}^! выполняется такое равенство28:

при этом рост произвольного собственного подмногообразия в А^ ограничен экспоненциальной функцией24. Рассматривая более общий случай, В.М. Петроградский26 получил формулу для коразмерностей любого полинильпо-тентного многообразия алгебр Ли:

Несмотря на существование многообразий алгебр Ли сверхэкспоненциального роста, Ю.П. Размысловым27 показано, что для произвольного нетривиального многообразия алгебр Ли V функция C(V, z) является целой функцией комплексного аргумента. В.М. Петроградским26,28 была предложена шкала типов сверхэкспоненциального роста и доказан следующий аналог теоремы А. Регева: для многообразия алгебр Ли V, удовлетворяющего нетривиальному тождеству степени m > 3, существует такая бесконечно малая, зависящая только от т, что

Вопрос описания всех многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста остается до сих пор открытым, за исключением того, что С.П. Мищенко найдены все разрешимые многообразия, обладающие данным свойством.

2007. Vol. 123, № 2. Р 185-203.

24 Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[xj,х2,аг3], [х4, х5,а:а]] = 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журн. 1984. Т. 25, № 3. С. 40-54.

28 Воличенко И.Б. О многообразиях алгебр Ли A.Vj над полем характеристики нуль// ДАН БССР. 1981. Т. 25, № 12. С. 1063-1066.

26 Петроградский В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции// Матем. сборник. 1997. Т. 188, № 6. С. 119-138.

27 Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука. 1989. 432 с.

28 Петроградский В.М. О типах сверхэкспоненциального роста тождеств в PI-алгебрах Ли// Фунд. и прикл. математика. 1995. Т. 1, № 4. С. 989-1007.

29 Мшценко С.П. Рост многообразий алгебр Ли// Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, № 6. С. 25-45.

cvl(AN2) = VS!(l + o(l))n>

где х = 1п(1п« х), 1п(1)а: = 111х.

Для произвольного многообразия V определим функцию сложности

П=1

Также в отличие от ассоциативных алгебр в случае многообразий алгебр Ли при нулевой характеристики основного поля имеются примеры многообразий,

ЧП

экспоненты которых не являются целыми ' ' .

В теории алгебр с тождествами важную роль играет проблема конечной базируемости систем тождеств. Многообразие алгебр называется шпехтовьш, если в нем выполняется условие обрыва возрастающих цепей для вербальных идеалов. Одним из главных вдохновителей исследований, связанных с проблемой Шпехта, стал В.Н. Латышев, положительно решивший проблему Шпехта в некоторых важных случаях33. Полное решение проблемы Шпехта для многообразий ассоциативных алгебр в случае основного поля нулевой характеристики положительно решена А.Р. Кемером34. Для многообразий алгебр Ли данная проблема остается нерешенной, за исключением частных случаев. Например, в случае основного поля нулевой характеристики любое многообразие алгебр Ли с нильпотентным коммутантом35, а также любое многообразие алгебр Ли полиномиального роста36 являются шпехтовыми.

Заметим, что над полями положительной характеристики имеется ряд примеров бесконечно базируемых многообразий. Первые примеры бесконечно базируемых многообразий алгебр Ли построены Воон-Ли37 и B.C. Дренски38. В ассоциативном случае первые примеры бесконечно базируемых многообразий построены А.Я Беловым39, A.B. Гришиным40, В.В. Щиголевым41.

В 1965 г. A.M. Блох42 ввел в рассмотрение неантикоммутативные алгебры Ли, которые определяются тождеством Лейбница

(xy)z = (xz)y + x(yz)

и носят название алгебр Лейбница, Тождество Лейбница представляет собой следующее условие; оператор правого умножения на любой элемент алгебры

30 Mishcheriko S. P., Zaicev М. V. Ail example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent// Journal of Mathematical Sciences (New York). 1999. Vol. 93, X' 6. P. 977-982.

31 Веревкин A.B., Зайцев M.B., Мищенко С.П. Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. Т. 66, № 2. С. 36-39.

32 Мищенко С.С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. Т. 66, № 6. С. 44-47.

33 Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр. Дис.... д-ра физ.-мат. наук. Москва, 1977.

34 Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр// ДАН СССР. 1988. Т. 298, № 2. С. 273-277.

35 Красильников A.H. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли// Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 2. С. 34-38.

38 Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Веоц АН БССР: Сер. фЬ. матем. наук. 1980. №3. С. 5-10.

37 Vaughan-Lee М. R. Varieties of Lie algebras// Quart. J. Math. Oxford Ser. 1970. Vol. 21, №. 83. P. 297-308.

38 Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли// Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 3. С. 265-290.

39 Белов А.Я. О непшехтовых многообразиях// Фунд. и прикл. математика. 1999, Т. 5, № 1. С. 47-66.

40 Гришин A.B. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2// Фунд. и прикл. математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 101-118.

41 Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов// Фунд. и прикл. математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 307-313.

42 Блох A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 18, № 3. С. 471-473.

является дифференцированием. Если в алгебре Лейбница выполняется тождество Xх — 0, то она будет являться алгеброй Ли. Позже эти алгебры возникли в работе Ж.-Л. Лодея и Д. Куиллена43 при изучении свойств циклических гомо-логий и гомологий Хохшильда алгебр матриц. Более активно алгебры Лейбница стали изучаться в 90-х годах, начиная с работы Ж.-Л. Лодея44. Ж.-Л. Лодей и Т. Пирашвили45 исследовали свободные алгебры Лейбница также и с комбинаторной точки зрения. A.A. Михалев и У.У. Умирбаев46 доказали финитную отделимость подалгебр свободных алгебр Лейбница.

Данные алгебры связаны естественным образом с дифференциальной геометрией, гомологической алгеброй, классической алгебраической топологией и некоммутативной геометрией44. В последние годы алгебры Лейбница активно исследуются47'48'49'50'51'52,53'54'55 математиками России и ряда зарубежных стран.

Наряду с ассоциативными и лиевыми алгебрами естественным образом в-некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физике и т.д. возникают и алгебры Пуассона. Векторное пространство А над полем К с двумя /^-билинейными операциями умножения • и {,} называется алгеброй Пуассона, если относительно операции • пространство А является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} — алгеброй Ли, и данные операции связаны правилом Лейбница:

{а • Ь, с} = а • {Ь, с} + {а, с} •b, a,b,cG А.

С использованием свободных алгебр Пуассона и пуассоновых скобок У.У,

43 Loday J., Quillen D. Cyclic homology and. the Lie algebra homology of matrices// Comment. Math. Helw. 1984. Vol. 59. P. 565-591.

44 Loday J.-L. Une version non commutative des algebres de Lie: lea algèbres de Leibniz// Enseign. Math. 1993. Vol. 39. P. 269-293.

45 Loday J.-L., Pirashvili T. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology// Math. Ann. 1993. Vol. 296. P. 139-158.

46 Mikhalev A.A., Umirbaev U.U. Subalgebras of free Leibniz algebras// Commun, algebra. 1998. Vol. 26, № 2. P. 435-446.

47 Drensky v., Cattaneo G.M.P. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras// J. Algebra and its applications. 2002. № 1. P. 31-50.

48 Абдыхалыков A.T. Проблема вхождения для свободных разрешимых алгебр Лейбница// Вестник Каз-ГУ. Сер. матем. мех информ. 2000. Т. 23, № 4. С. 19-25.

49 Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth// J. Pure Appl. Algebra. 2005. Vol. 202, № 1-3. P, 82-101.

80 Abanina L.E., Mishchenko S.P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = 0// Serdica Math. J. 2003. Vol. 29, № 3. P. 291-300.

51 Мшценко С.П., Череватенко О.И. Необходимые и достаточные условия полнномиальности роста многообразия алгебр Лейбница// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 8. С. 207-215.

52 Колесников П.С. Конформные представления алгебр Лейбница// Снб. матем. журн. 2008. Т. 49, № 3. С. 540-547.

53 Фролова Ю.Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница// Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. Л"' 3. С. 63-65.

84 Скорая Т.В., Фролова Ю.Ю. О многообразии 3N алгебр Лейбница и его подмногообразиях// Чебышев-ский сборник. 2014. Т. 15, № 1. С. 155-185.

55 Аюпов Ш.А., Омиров Б.А. О некоторых классах нильпотентных алгебр Лейбница// Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, Jft 1. С. 18-29.

Умирбаевым и И.П. Шестаковым56 была решена известная проблема H агаты57 о существовании диких автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры с тремя порождающими над полем нулевой характеристики.

Д. Фаркашом58,59 было начато исследование полиномиальных алгебр Пуассона, А. Джамбруно, С.П. Мищенко, В.М. Петроградским, А. Регевым60'61 также исследовался рост полиномиальных алгебр Пуассона.

Объектом исследования в работе являются многообразия линейных алгебр и их числовые характеристики. Предметом исследования являются основополагающие принципы теории роста многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница-Пуассона; оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом; исследование многообразий алгебр Ли с экстремальными свойствами.

Целью работы является исследование числовых характеристик многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом, многообразий ассоциативных алгебр, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц, многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница-Пуассона. Основные методы исследования. В работе используются методы структурной и комбинаторной теории колец, теория многообразий линейных алгебр, теория представлений симметрических групп, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем.

1. Получены принципиальные результаты теории роста многообразий алгебр Пуассона. В частности, в случае нулевой характеристики основного поля получены критерии полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона и показано, что существует только два многообразия почти полиномиального роста. Построено два класса минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста и показано, что эти два класса многообразий полностью исчерпывают все подмногообразия имеющихся двух многообразий алгебр Пуассона почти полиномиального роста. В случае произвольного поля доказано, что рост любого многообразия алгебр Пуассона либо ограничен полиномом, либо не ниже показательной функции 2п~1, причем коразмерности многообразия полиномиального роста асимптотически вычисляются как значения конкретного полинома.

2. В случае произвольного поля предложены новые конструкции алгебр

56 Shestakov I.P., Umirbaev U.U. The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables// J. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 17., № 1. P. 197-227.

67 Nagata M. On the automorphism group on k[x,y]// Lect. in Math. Tokyo: Kyoto Univ. 1972.

58 Farkas D.R. Poisson polynomial identities// Comm. Algebra. 1998. Vol. 26, № 2. P. 401-416.

69 Farkas D.R. Poisson polynomial identities II// Arch. Math. (Basel). 1999. Vol. 72, № 4. P. 252-260.

60 Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras// Transactions of the American Mathematical Society. 2007. Vol. 359, № 10. P. 4669-4694.

61 Giambruno A., Petrogradsky V.M. Poisson identities of enveloping algebras// Arch. Math. 2006. Vol. 87. P. 505-515.

Пуассона на основе ассоциативных и лиевых алгебр. С помощью данных конструкций можно, в частности, из любой алгебры Ли с экстремальными свойствами относительно последовательности коразмерностей построить алгебру Пуассона с экстремальными свойствами относительно последовательности собственных коразмерностей.

3. В случае нулевой характеристики основного поля получены асимптотические оценки роста последовательностей коразмерностей customary- и extended customary-пространств произвольного многообразия алгебр Пуассона. Также получены эквивалентные условия полиномиальности роста данных пространств. Данные пространства важны тем, что любое тождество из свободной алгебры Пуассона имеет свои следствия во всех customary-пространствах Qm для всех достаточно больших п.

4. Введено понятие алгебры Лейбница-Пуассона как обобщение алгебры Пуассона. Получены основополагающие результаты теории роста Р1-алгебр Лейбница-Пуассона. Предложены и исследованы конструкции алгебр Лейбница-Пуассона на основе ассоциативных алгебр, алгебр Ли и алгебр Лейбница.

5. В случае произвольного поля разработан метод получения асимптотических оценок роста многообразий алгебр Ли с нильпотентным коммутантом и многообразий ассоциативных алгебр, идеалы тождеств которых содержат тождество, являющееся произведением некоторого количества коммутаторов длины два. Используя этот метод доказан ряд новых результатов. Кроме того, построено два класса многообразий алгебр Ли с нильпотентным коммутантом с экстремальными свойствами в случае основного поля нулевой характеристики.

Все эти результаты получены автором самостоятельно. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться при исследовании многообразий линейных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором

— на научно-исследовательских семинарах по алгебре кафедры Алгебро-геометрических вычислений УлГУ;

— на следующих научных конференциях:

XIV ежегодной научно-практической конференции молодых ученых УлГУ (Ульяновск, 2004); международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2005» (Казань, 2005); V международной конференции по алгебре в Украине (Одесса, 2005); V международной научной конференции «Ломоносов - 2006» (Севастополь, 2006), VII международной конференции по алгебре в Украине (Харьков, 2009); международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань, 2011); международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения С.М. Черникова (Киев, 2012); III международной школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», посвящцнной 75-летию Э.Б. Винберга (Тольятти, 2012); международной

заочной конференции «Проблемы современного математического образования в высшей школе» (Ульяновск, 2012); международной конференции «Алгебра и Логика: Теория и Приложения», посвященной памяти В.П. Шункова (Красноярск, 2013); 45-й международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященной 75-летию В.И. Бердышева (Екатеринбург, 2014).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 работ, в том числе 23 статьи в журналах из перечня ВАК РФ. Список работ помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов) и списка литературы. Полный объем диссертации — 208 страниц, библиография включает 123 наименования, из которых 35 — публикации автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем, предложений и следствий в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Договоримся опускать скобки при их левонормированной расстановке, т.е. ((ab)c) = abc.

Глава 1 посвящена исследованию многообразий алгебр Лейбница с нильпо-тентным коммутантом. Большая часть полученных здесь результатов является новой и для случая алгебр Ли.

В § 1.1 приводятся конструкции алгебр Лейбница на базе ассоциативных и лиевых алгебр. Также приводится базис полилинейной части Рп, п ^ 1, свободной алгебры Лейбница счетного ранга.

В § 1.2 приводятся необходимые сведения и определения из теории представлений симметрических групп. Также приводится формула размерности неприводимого модуля, записанная через компоненты Ai,..., Ль разбиения А числа п, и асимптотическое поведение размерностей неприводимых 5п-модулей, соответствующих диаграммам Юнга с некоторыми ограничениями.

В § 1.3 приводится понятие тп-алгоритма выделения возрастающего набора цепочек, определенного В.М. Петроградским62, и некоторые его свойства. Данный алгоритм понадобится в параграфе § Ы_для комбинаторных оценок.

Определим многообразие алгебр Лейбница NSA тождеством

(XiX2) - • - (X2s+lZ2s+2) =

Пусть NSA — подмногообразие в NSA, определенное тождеством х2 = 0. В.М. Петроградский62'63, используя разработанный им так называемый метод оже-

62Петроградский В.М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли// Матем. сб. 1999. Т. 190, № 6. С. 111-126.

63Petrogradsky V.M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral// Serdica Math. J. 2000. Vol. 26, » 2. P. 167-176.

релий, доказал, что в случае произвольного поля экспоненты всех подмногообразий в var(UTs), а также подмногообразий в NSA существуют и являются целыми числами. Этот результат интересен тем, что в нем нет ограничений на основное поле, а также тем, что в случае алгебр Ли имеются примеры алгебр с дробной экспонентой64'65,66.

В § 1.4 с помощью доработанной и усовершенствованной техники метода ожерелий приводятся более точные оценки роста и обобщение их со случая алгебр Ли на случай алгебр Лейбница.

Теорема 1.4.1. Для любого подмногообразия V в N„A над произвольным полем существуют такие константы N, а, ß и такое целое d, 0 ^ d ^ s, что для любого n ^ N выполнено двойное неравенство

па<Г- < Cn{V) < nß<P.

С учетом работы67 из теоремы 1.4.1 получается такое

Следствие 1.4.1. Не существует многообразий алгебр Лейбница, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным, если характеристика основного поля не равна двум.

В § 1.5 исследуются кохарактеры многообразия NSA. Показано, что последовательность кодлин многообразия NSA ограничена полиномом. Также_гго-казано такое интересное свойство кохарактеров подмногообразий V в NgA: для любого подмногообразия V в NSA найдутся такие целые р, р ^ s, и С, С < 3s — 1, что для любого t = 1,2,... ,р и любого п найдется такая диаграмма Юнга степени п, которая содержит прямоугольник с боковой стороной t, при этом число клеток вне прямоугольника не более чем С и эта диаграмма соответствует ненулевому неприводимому 5п-модулю многообразия V.

В § 1.6 исследуется вопрос поиска значений d из теоремы 1.4.1 для произвольного подмногообразия в NSA. Для упрощения некоторых записей, элементы, содержащие кососимметрический набор, будем записывать без знака суммирования, помечая переменные этого набора чертой, волной или двумя чертами сверху. Например,

ухх1у2х2 .. ■ упхп - {-^Уу^ЫФ^*® • • • Упхс{п)-

creSn

Теорема 1.6.1. Пусть V — подмногообразие в NSA над полем нулевой характеристики ud — некоторое неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны:

64 Mishchenko S. P., Zaicev М. V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent// Journal of Mathematical Sciences (New York). 1999. Vol. 93, 6. P. 977-982.

65 Веревкин A.B., Зайцев M.B., Мищенко C.IX. Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. Т. 66, № 2. С. 36-39.

66 Мищенко С.С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. Т. 66, № 6. С. 44-47.

67 Мшценко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста// Вестн. СамГУ. Есте-стаеннонаучн. сер. 2006. Т. 32, № 9. С. 19-23.

1) Exp{V)

2) ExpCVnNd+iA) _

3) существует такое целое р > 0, что в многообразии V П Nj+jA выполнено полилинейное тождество вида

(У1У2Х11Х12 ...Sip) {узу 1X21X22 ...х2р)... ^ ^2)

• • • (y2d+l2/2d+2^(d+l)l%+l)2 • ■ ■ %+1)р) =

4) существует такое целое р^О, что в многообразии V выполнено полилинейное тождество вида-(2);

5) существует такая константа С - C(V), что в сумме (1) гггл(У) = О в случае, если выполнено условие п — (Ai + Л2 + .. - + Ad) > С;

6) существует такая константа С = C(V П Nd+1A), что в сумме (1) mA(VnNd+iA) = О в случае, если выполнено условие п—(А1+А2+.. .+Ad) > С.

Следствие 1.6.2. Пусть для некоторого многообразия алгебр Лейбница V над полем нулевой характеристики и некоторого неотрицательного целого d выполнено равенство ExpÇV П Nd+iA)j= d. Тогда для любого целого s > d будет выполнено равенство Exp(V П N5A) = d.

В § 1.7 исследуются многообразия алгебр Лейбница Wa, s > 1, каждое из которых определяется тождеством

x0{xix2){x3xi)... (x2s-lX2s) = 0.

С.П. Мищенко и А. Валенти68 показали, что в случае основного поля нулевой характеристики многообразие W2 имеет почти полиномиальный рост.

В следующей теореме найдена точная формула функции сложности и точная формула для коразмерностей многообразия Ws, s ^ 1, при этом на основное поле никаких ограничений не накладывается.

Теорема 1.7.1. Для многообразия Wa над произвольным полем верны следующие утверждения:

1) Ws имеет следующую функцию сложности:

С(W„ z) = jZ- ((l + (z- 1 )exp(z)Y - l) ;

2) коразмерности многообразия Ws вычисляются по следующей формуле:

*cw.) = ± уЕcícu-if-^k-^

k=1 1=0 v ''

где С* — число сочетаний из п по к;

3) Cn(W4) и nssn~3, п -> оо.

В § 1.8 рассматривается вопрос конечной базируемости идеала тождеств любого подмногообразия в NSA.

68 Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth// J. Pure Appl. Algebra. 2005. Vol. 202, № 1-3. P. 82-101.

Теорема 1.8.1. Многообразие алгебр Лейбница NaA над полем нулевой характеристики является шпехтовьш.

Следствие 1.8.2. Любое многообразие алгебр Лейбница полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

В § 1.9 приводятся алгебры Ли с экстремальными свойствами. Обозначим чрез J = J2í=i e¿,¿+i квадратную матрицу порядка к, которая на диагонали, проходящей выше главной диагонали, содержит единицы, а все остальные элементы равны нулю, вц — матричные единички. Рассмотрим следующую подалгебру в UTk над полем К, которая была введена в работе69:

Nk = (Е, J, J2,..., Jk~2; е12, ете1к)к,

где Е — единичная матрица. Пусть также — алгебра Грассмана с единицей и 2к образующими элементами {ei,..., e2j¡J. На декартовых квадратах Rk = Nk X Nk, G = A X A, G2k = A2k x Mk определим операции сложения и' умножения элементов, а также операцию умножения на элементы поля К:

{Х1,Х2) + (У1,У2) = (Х1+У1,Х2 + У2)>

(Х1,х2)(уиу2) = ([xi,yi],xiAy2-yiAx2),

a(xi, х2) = {ахи ах2),

где [a?i, 2/i] = А у\ — yi А хь a е К. Тогда полученные алгебры Rk, G, G2k будут являться алгебрами Ли.

Под lin будем подразумевать полную линеаризацию полинома. Теорема 1.9.2. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Ли G2k, k ^ 1, верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Id(G2k) порождается тождествами

{Х1Х2ХЪ){ХАХЪХ&)= 0, (а;1а:2)(жзХ4)(а;1Хз) = 0, {хт){х2у2) ■.. (хк+2ук+2) = 0;

2) для любого п ^ 2/с + З полилинейные элементы от переменных х\,... ,х„

Xjj . . . Xi^XfrXjj) . . . (Zj2,-ixj3s)>

r + 2s = n, il > i2 < ... < ir, ji < h < ■ ■ ■ < 32 S, o^s^k, r ^ 3, образуют базис пространства Pn[G2k);

3) коразмерности вычисляются по следующей формуле:

Г (п - 2)2"-2, 3 < п < 2к + 2,

сп^гн) - I _ 2i _ 1)C2ij n>2k + Z,

причем для любого п ^ 2к + 3

n2fc+i

Cn(G2k) = cn{G2k—2) + {п-2к - 1 )Cf и -щ, п-юо, где С* — число сочетаний из п по к;

69 Giambruno A., Mattina D.La., Petrogradsky V.M. Matrix algebras of polynomial codimention growth// Israel J. Math. 2007. Vol. 158. P. 367-378.

4) для кохарактеров верно следующее равенство:

Хп{<^2к) - <{ ^2к+1 , ^24+1 ^ 9г о

причем для любого п ^ 2к + 3

Хп(С2А;) = Хп(<32к-2) + Х(п-2к,1") + Х(п-2Ь-1,12*+1) + Х^-гМ,!2*"2) + Х(п-2*-1,2,12*-1);

5) для любого п > + 3 пространство РП(С2^) имеет следующее разложение на неприводимые Бп-модули:

2к+1 2к+1

¿=1 1=2 причем элемент Х\Х™~%~1Х2 • • .хн-ъ 1 ^ г ^ 2/с + 1, соответствует разбиению (п — г, Г), элемент Х2Х™~г~1Х1Х2 ■ ■ -Щ, 2 < г < 2к + 1, соответствует разбиению (п — г, 2,1г-2);

6) если "\¥ — некоторое собственное подмногообразие в тг^Сгк), для которого Сп(\У) и то д, < 2к + 1.

Теорема 1.9.3. 5 случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Ли Ик, к 3, верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Ы{И.к) порождается полилинейными тождествами

(^1X2){Х3Х4)(Х5Х6) = 0, (хгх2 ■ ■.хк)(у№ ■■■Ук)= 0;

2) для любого п ^ 1 полилинейные элементы от переменных Х\,... ,х„

х^х^... Х{п, Й > г2 < ... < г„, (х^х^ ... ... х

5 £ = ¿1 > ¿2 < ... < ¿а, 31>32<---<Эи —2, (5 = г =>• ¿2 < ^г), 5 <

образуют базис пространства Р„(Як);

3) коразмерности вычисляются по следующей формуле:

Г (п - 1)!, 1 < п ^ 4,

с^Д*) = (п- 1)(2"-3(п - 4) + 2), 5 < п ^ 2к - 2,

I (п - 1) + - 1)(п - * - 1)С£, и > 2А - 1,

причем для любого п^2к — 1

СпШ = + (Й - 2)(п - я п оо;

4) если W — некоторое собственное подмногообразие в иаг^И^), для

к — 3

которого с„(\У) « дп!1, то д <

(А; — 1)!'

Глава 2 посвящена исследованию роста подмногообразий многообразия из, где из — многообразие ассоциативных алгебр, которое определяется тожде-

ством

[Х1Х2\...[Х23-1,Х23] = 0В § 2.1 приводятся оценки роста подмногообразий в иа.

Теорема 2.1.1. Для любого подмногообразия V в и8 над произвольным полем существуют тате константы Ы, а, ¡3 и такое целое число <1, О < й ^ в, что для любого п ^ N будет выполнено следующее двойное неравенство:

пасР ^ Сп{V) < П^Г.

В § 2.2 доказывается несколько вспомогательных лемм, которые понадобятся в параграфе 2.4.

В § 2.3 исследуются многообразия ассоциативных алгебр слабого роста. В случае алгебр Ли известен такой результат С.П. Мищенко70: если характеристика основного поля не равна двум и для некоторого многообразия алгебр Ли

V существует такое п, что выполнено неравенство Сп{V) < 2^1, где квадратные скобки означают целую часть числа, то коммутант многообразия V будет нильпотентным. В следующем предложении показано, что подобный результат имеет место и в случае ассоциативных алгебр.

Предложение 2.3.3. Пусть V — некоторое многообразие ассоциативных алгебр и характеристика основного поля не равна двум. Если для некоторого п выполнено неравенство с„(У) < 2®, то существует такое целое число в, что V является подмногообразием в ия.

Следствие 2.3.2 (теоремы 2.1.1 и предложения 2.3.3). Если характеристика основного поля не равна двум, то не существует многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным.

В § 2.4 приводятся эквивалентные условия для нахождения экспонент подмногообразий в иа.

Теорема 2.4.1. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики ид, — некоторое неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ехр{Упи^-О

2) для любого целого в > й выполнено неравенство Ехр(V П из) < й;

3) существует такое неотрицательное целое р, что в многообразии

V П 1^+1 выполнено полилинейное тождество

ХПХ12,---^1Р[У1,У2,Х21,Х22,---,Х2Р]--- _ ^

• ■ • [У2<г-ъ У2с1, %+1)1> £((¿+1)2) • • •! ^(<г+1)р! = 0;

4) для любого целого в > й существует такое неотрицательное целое р = р(в), что в многообразии V П "Ц, выполнено тождество (3);

70 Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей// Вести. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 5. С. 63-66.

5) существует такая константа С, что в сумме (1) 77гд(У П Ud+i) = 0 в случае, если выполнено условие п — (Ai + Л2 + • • ■ + A<j) > С/

6) для любого целого s>d существует такая константа С = C(s), что в сумме (1) mA(V П U3) = О в случае, если выполнено условие п - (Ai + А2 + ... + Ad) > С.

Глава 3 посвящена исследованию числовых характеристик PI-алгебр Пуассона.

В § 3.1 приводится несколько примеров и конструкций алгебр Пуассона.

Пусть L(X) - свободная алгебра Ли, F(X) — свободная алгебра Пуассона, где X = {хь х2, ■ ■ •} - счетное множество свободных образующих. Обозначим через Рп пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных хъ..., хп, а через Вп - пространство полилинейных элементов степени п в свободной алгебре Ли L{X). Также обозначим через Гп подпространство в Р„, являющееся линейной оболочкой элементов вида

{xh,... .а*.} •... • {xh,... ,xjt}, s > 2,..., t > 2.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона, Id(V) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим

P„(V) - Р„/(Р„ Л W(V)), r„(V) = Г„/(ГП П Id(V)), Cn(V) = dim P„(V), 7n(V) = dim r„(V).

В § 3.2 приводится базис пространства Р„, п > 1. Для произвольного многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем строится базис пространства P„(V) на основе имеющихся базисов пространств rfc(V), k = 2,...n. Показано, что в случае поля нулевой характеристики последовательность пространств {Г„ П Id(V)}n>i полностью определяет идеал тождеств Id(V).

В § 3.3 приведены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона над произвольным полем и показана шпехтовость многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики.

Теорема 3.3.1. Для многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем следующие условия эквивалентны:

(г) последовательность {cn(V)}n5>i ограничена полиномом;

(гг) для некоторого т ^ 2 в V выполнены полилинейные тождества

{ц,..., хт} = 0, {хъ yi} ■... • {zm, Ут} = 0;

(ш) найдется такое N, что для любого п > N выполнено равенство 7n(V) = 0;

(iv) найдется такое N, что для любого n > N будет выполнено равенство

N

k=2

Теорема 3.3.2. В случае основного поля нулевой характеристики произвольное многообразие алгебр Пуассона полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

В данном параграфе также показано, что последовательность коразмерностей любого многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем либо ограничена полиномом, либо не ниже показательной функции 2"-1. При этом если данная последовательность ограничена полиномом, то найдется таг кой многочлен R{x) с рациональными коэффициентами, что Cn(V) = R(n) для всех достаточно больших п. Приводится нижняя и верхняя границы для многочленов R(x) произвольной фиксированной степени.

Теорема 3.3.3. Пусть V — нетривиальное многообразие алгебр Пуассона над произвольным полем. Тогда либо

1) c„(V) ^ 2п~1 для любого п, либо

2) найдется такой многоч^ген a^xN + ... 4- а\Х + ао степени N ^ 0 из кольца <Q>[x], что для любого п ^ N будет выполнено равенство-

Cn(V) — a^nN + ... + а\п + ао, ajv Ф О,

причем

п(п —1)

либо 2а) c„(V) ^ Н----, п > 1, и

1 . Л (-1)* к=2

либо 26) Cn(V) = 1 для любого п.

В § 3.4 приводятся конструкции алгебр Пуассона на базе ассоциативных и лиевых алгебр и исследуется взаимосвязь между полученными алгебрами Пуассона и исходными ассоциативными алгебрами. На основе полученных конструкций приводятся два класса минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста, т.е. последовательность коразмерностей любого такого многообразия растет как полином некоторой степени к, но последовательность коразмерностей любого собственного подмногообразия растет как полином строго меньшей степени чем к.

Предложение 3.4.1. Пусть Al — некоторая ненулевая алгебра Ли с лиевым умножением [,] над произвольным полем К. Рассмотрим векторное пространство А — Ai©K, в котором определим операции • и {,} следующим образом:

(a + a)-(b + ß) = {ßa + ab)+aß, ^

{a + a,b + ß} = [a,b], a,beAL, a,ß&K. Тогда полученная алгебра (А, +, {,}, К) будет являться алгеброй Пуассона, причем будут выполнены следующие условия:

1) Id{A£) = Id(A) П и в алгебре Пуассона А выполнено тождество

{xux2}-{x3,xi} = 0;

2) Г„(Л) = Вп{А) = Вп(Аь) для любого п > 2, где равенства приведены с

точностью до изоморфизма векторных пространств;

3) для любого п выполнено равенство

п

cn(A) = l + ^C^dimBk(AL). к=2

Предложение 3.4.2. Пусть R — некоторая ненулевая ассоциативная PI-алгебра над произвольным полем К. В векторном пространстве А = [R] ф К определим операции (4), где [,] — операция коммутирования. Тогда полученная алгебра (А, +, •, {,}, К) будет являться алгеброй Пуассона, причем будут выполнены следующие условия:

1) найдется такая константа а, что для всех п ^ 1 выполнены неравенства 7„(Л) < ап, Сп(А) < (а + 1)п;

2) если характеристика поля К равна нулю, то кохарактеры Хп(А), п ^ 1, лежат в крюке Н(к, I) для некоторых констант к и I, а последовательности кодлин {1ЦА)}п> 1, {1п(А)}п>1 ограничены полиномом.

Следуя работе71, будем говорить, что многообразие V является минимальным многообразием полиномиального роста степени к, если c^V) и qnk для некоторых g > 0, fc > 1 и для любого собственного подмногообразия W С V, Сп(W) « rns, следует строгое неравенство s < к.

Пусть PNk = [Nk] ® К — алгебра Пуассона, построенная с помощью предложения 3.4.1, где ассоциативная алгебра Nk определена выше.

Теорема 3.4.1. Для алгебры Пуассона PNk, к > 3, над полем нулевой характеристики верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Id{PNk) порождается тождествами

{xi,...,xk} = 0, {{zi,22},{:r3,a:4}} = 0, {хъх2} ■ {x3,Xi} = 0;

2) для любого п < к полилинейные элементы

{xn,xi,xi,...xi,...,xn-i}, г = 1,... ,n- 1,

образуют базис пространства Tn(PNk), ~ означает, что элемент пропущен;

3) тn{PNk) = п - 1 для любого п<к, 7n(PNk) = 0, п ^ к;

4) х1(РЩ = X(n-i,i)i п < к;

5) для любого n ^ к — 1 справедливы следующие соотношения

cniPNk) = 1+£ с fa -1)«п

6) алгебра PNk порождает минимальное многообразие полиномиального

71 Mattina D. La. Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties// Manuscripta Math. 2007. Vol. 123, № 2. P 185-Ц203.

роста степени к — 1.

Введем в бесконечномерной алгебре Грассмана Л два новых умножения:

а ■ Ь = ^(о Л Ъ + Ь Л а), {а,Ь} = а ЛЬ — Ь Ла, а, Ь А,

где Л — операция умножения в алгебре Л. Точно также определим операции • и {,} в алгебре Л2ь Нетрудно проверить, что алгебры (Л, +,-,{,}) и (Лгь +, {,}) будут алгебрами Пуассона, которые обозначим соответственно С и в2к.

Теорема 3.4.2. Для алгебры Пуассона к > 1, над полем нулевой характеристики верны следующие утверждения:

1) полилинейные тождества

{х, у, г} = 0, {хи ш} ■ • ■ • • {^¡Ь+Ь Ук+1} = О порождают идеал тождеств алгебры С?2к!

2) Г2л((?2ь) = ({2:1,2:2} •... • {х2п-и Х2п})к, п ^ к;

3) 72п(С2*) = 1 72„(С2 к) = 0 ,п> к;

4) Х2П(С2к) = п ^ к;

5) для любого п~^2к

с^См) = 1 + ]Г С^ « ^п2*, п оо;

6) алгебра С-¿к порождает минимальное многообразие полиномиального роста степени 2к.

Следствие 3.4.1. В случае основного поля нулевой характеристики будут верными следующие утверждения:

1) шг(Р./У3) = иаг(С2) = V;

2) тождества

{х1,х2,х3} = 0, {хьх2} • {х3,х4} = О порождают идеал тождеств многообразия V;

3) Г2(У) = <{35!,х2})к, ъ(Ю = 1, 7п(У) = о, п > 2, Сп(Ч) = 1 + П(П~ Ч 2;

4) если некоторое многообразие алгебр Пуассона имеет полиномиальный рост, то УС Ж, /е^) С /(¿(V).

В § 3.5 рассматриваются лиево нильпотентные алгебры Пуассона.

§ 3.6 посвящен исследованию пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона. Выделим в пространстве Р2п подпространство (^2п, порожденное элементами вида

{ха1, ха2} • {хаз, Хал} • ... • {^а2п_1, з;а21>}.

Тогда данное пространство есть линейная оболочка следующих элементов: Qln - ({^(1)1 хт{2)} • {^r(3), хт(4)} • • • • • {хт(2п-1), хт{2п)} | T G S^,,

т(1) < t(2), r(3) < r(4),.. .,r(2n-l) < r(2n),r(l) < r(3) < ... < т(2п-1))*.

Q2n носит название customary-пространства. Пусть T2n — множество перестановок т из 5гП) которые удовлетворяют указанным выше свойствам. Пространства Q2n были введены Д. Фаркашом72,73.

Определим также подпространство Rn в Рп, порожденное элементами вида

хаг} • {хаз, Ха4} • . . • • {ха2т-и xa2m} ■ Xa2m+x ' ■ ■ ■ ' хап-Тогда Rn является линейной оболочкой элементов следующего вида:

Rn = {{хт(1)>хт(2)} ■ {хт(3),хт(4)} • . . . • {хт(2т-1),хг(2т)} ' хт(2т+1) ' • ■ • 1 хт{п) |

reSn, 0^2m<n, r(l) <r(2), r(3) <r(4),...,r(2m-l) <r(2m),

r(l) < r(3) < ... < r(2m - 1), r(2m + 1) < r(2m + 2) < ... < т(п))я-.

назовем extended customary-пространством. Для произвольного многообразия алгебр Пуассона V обозначим

Q2n(V) = Q2n/{Q2n П Id{V)), q2n{V) = dimQ2n(V),

= rn(V) = dimRn(V).

Введем в рассмотрение полиномы такого вида:

Stim - St2m(xU . . •, X2m) = (~^У{Хг{ 1)' Хт(2)} ' • • • ' {®т(2т-1)> хт(2т)}-

теГ2т

В работе74 доказано, что для любого нетривиального многообразия алгебр Пуассона Exp®(V) = lim^oo существует и является целым числом.

В следующей теореме усилены оценки роста последовательности {<72n(V)}n?1.

Теорема 3.6.2. Для произвольного нетривиального многообразия алгебр Пуассона V над полем нулевой характеристики существуют такие целые константы d, N, а и /9, зависящие от V, что для любого п > N будет выполнено двойное неравенство

nad2n < g2n(V) < n0d2n.

В следующей теореме приводятся эквивалентные условия полиномиально-сти роста последовательности {92n(V)}n>i-

Теорема 3.6.3. Для многообразия алгебр Пуассона V над полем нулевой характеристики следующие ус,ювия эквивалентны:

1) последовательность {q2n(V)}n^i ограничена полиномом;

72 Farkas D.R. Poisson polynomial identities// Comm. Algebra. 1998. Vol. 26, № 2. P. 401-416.

73 Farkas D.R. Poisson polynomial identities II// Arch. Math. (Basel). 1999. Vol. 72, 4, P. 252-260.

74 Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regov A. Poisson PI algebras// Transactions of the American Mathematical Society. 2007. Vol. 359, № 10. P. 4669-4694.

2) ненулевые подмодули в (¿2П(У) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток вне первого столбца ограничено некоторой константой, не зависящей от п;

3) существует такое ./V, что в многообразии V выполняются тождества = 0 и ¿"¿2лг = О;

4) существует такое N и такой многочлен /(я) € <0![:с], что для любого

выполняется равенство д2п(У) = /(2п).

Теорема 3.6.5. Пусть V — многообразие алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики, в котором выполнено нетривиальное тождество. Тогда существует такое целое число р > 1 и такие константы Лг, а и ¡3, что для любого п^ N будет выполняться следующее двойное неравенство:

причем р = с1 + 1, где д. — значение экспоненты для многообразия V из теоремы 3.6.2.

Теорема 3.6.6. Для многообразия алгебр Пуассона V в случае основного поля нулевой характеристики следующие условия эквивалентны:

1) пос.гедовательностъ {гп("У)}п^1 ограничена полиномом;

2) существует такое число Ы, что <72п("У) = 0 для любого п ^ ЛГ;

3) существует такое ЛГ, что в многообразии V выполнены тождества = 0 и St2N = О;

4) существует такая константа С, что в сумме

= х(Яп(У)) = Х>а(У)ха (5)

АЬп

тп\(У) = 0 в случае, если выполнено условие п — Х\> С;

5) существует такое N и такой многочлен f(x) € 13 [х], что для любого п > N выполнено равенство г„(У) = ${п);

6) последовательность кодлин = ~ 1'2>---' ограничена некоторой константой, где т\(У) определяются из разложения (5).

В § 3.7 рассматриваются многообразия алгебр Пуассона, идеалы тождеств которых содержит тождества вида

{{Х1,у1},...,{ят,2/т}} = 0, {х1,у1}-...-{хт,ут} = 0. (6)

Так как гипотеза Амицура не верна для случая алгебр Пуассона (будет показано в § 3.9 диссертации), то актуальным является вопрос об описании классов многообразий алгебр Пуассона с целыми экспонентами. В следующей теореме приводится один из таких классов, при этом на основное поле не накладывается никаких ограничений.

Теорема 3.7.1. Пусть V — многообразие сиггебр Пуассона над произвольным полем, идеал тождеств которого для некоторого числа т содержит тождества вида (б). Тогда существуют такие константы И, а, (3 и такое

целое число d, что для любого тг > N будет выполнено следующее двойное неравенство:

па(Р < Сп(У) < п^сГ.

Также в данном параграфе приводятся эквивалентные условия для значений экспонент d.

§ 3.8 посвящен получению эквивалентных условий для многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики.

В работе75 показано, что рост многообразия var(G), порожденного алгеброй Пуассона G, является почти полиномиальным, причем идеал тождеств алгебры G порождается тождеством {xi, х2, £3} = 0. При этом многообразие var(G) является наименьшим многообразием алгебр Пуассона, в котором не выполняется ни одно тождество вида St2m = 0. Из данных фактов и теоремы 3.4.2 вытекает такое

Следствие 3.8.1. Пусть характеристика основного поля равна нулю и V — некоторое собственное подмногообразие в var(G). Тогда для некоторого k ^ 0 выполнено равенство V = var(G2k).

Обозначим через L^2(Х) подпространство свободной алгебры Ли L{X), являющееся линейной оболочкой элементов вида [х^,..., аs ^ 2.

Пусть, как и ранее, UT2 — алгебра верхнетреугольных матриц порядка два, [UT2] — алгебра Ли относительно операции коммутирования. Обозначим через U2 алгебру Пуассона [UT2] © К, построенную с помощью предложения 3.4.1.

Теорема 3.8.2. Для алгебры U2 над полем нулевой характеристики верны следующие утверждения:

1) полилинейные тождества

{хи х2} ■ {z3, Xi} = 0, {{zi, х2}, {я3, х^} = 0

порождают идеал тождеств алгебры Пуассона U2;

2) для любого п > 2 полилинейные элементы от переменных х\, ..., хп

{xh, xi2..., xin}, ¿1 > г2 < ... < in,

образуют базис пространства Tn(U2);

3) j£(U2) = X(n-i,i), n ^ 2;

4) полилинейные элементы от переменных х\, ..., хп

{>i,, Xj2, . . . , Xia} • Xj1 • Xfo •... • Xjt>

s +1 = n, 0 < s < n, s ф 1, h > i2 < ... < is, ji< ... <jt,

образуют базис пространства Pn(U2);

5) рост многообразия var(U2), порожденного алгеброй U2, является почти полиномиальным, причем для любого п ^ 2 выполнено равенство

75 Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras// Transactions of the American Mathematical Society. 2007. Vol. 359, № 10. P. 4669-4694.

^([/г) = 2"-!(n-2) +2;

Следствие 3.8.2. Пусть характеристика основного поля равна нулю и V — некоторое собственное подмногообразие в var(U2). Тогда для некоторого k ^ 2 выполнено равенство V = var(PNk).

Следствия 3.4.1, 3.8.1, 3.8.2 показывают, что следующие два строго возрастающие ряда подмногообразий в var(U2) и var(G) являются неуплотняе-мыми и описывают все подмногообразия в var(U2) и var(G), а многообразие var(PN3) = var(G2) является (единственным) наименьшим многообразием алгебр Пуассона полиномиального роста:

var(PN2) С var(PN3) С var(PN4) С var(PN5) С ...

II II

var(G0) С var(G2) С var(Gi) С var(G6) С ...

Следующая теорема показывает, что в случае алгебр Пуассона алгебры U2 и G играют ту же роль, что и алгебры UT2 и А в ассоциативном случае.

Теорема 3.8.3. Для многообразия алгебр Пуассона V в случае основного поля нулевой характеристики следующие условия эквивалентны:

(г) последовательность {cn(V)}n^i ограничена полиномом;

(и) U2 i V, G £ V;

(iii) существует такая константа С, что в сумме

X.(V) = 5>A(V)X Д Ahn

тд(У) = 0 в случае, если выполнено условие п — \\ > С;

(iv) последовательность кодлин {/n(V)Wi ограничена константой.

Следствие 3.8.4. В случае основного поля нулевой характеристики существует только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста: var(G) uvar(U2).

В § 3.9 исследуются алгебры Пуассона с полилинейным тождеством

{2:1, а;2} • {xz-.xi} = 0.

Обозначим через Id({x 1, х2} • {х3, а;4}) идеал тождеств в свободной алгебре Пуассона F(X), порожденный элементом {xi,x2} • {£3,2:4}. В данном параграфе исследуется взаимосвязь многообразий алгебр Пуассона с тождеством {xi, х2} ■ {13,2:4} = 0 с многообразиями алгебр Ли. В частности, показано, что из любой алгебры Ли можно построить алгебру Пуассона с похожими свойствами исходной алгебры.

Теорема 3.9.2. Пусть Vi — некоторое многообразие алгебр Ли над произвольным полем К, определенное системой тождеств

{fi = 0\iei,fi£L>2(X)}. Пусть также V — многообразие алгебр Пуассона, определенное тождества-

ми /< = 0, г е I, и {хих2} • {а:3, = о. Тогда будут верны следующие утверждения.

1) Г„(У) = Вп(V) = Вп{у1) для любого п^2, где равенства приведены с точностью до изоморфизма векторных пространств.

2) Пусть элементы

<(хь ...,хп), 5 = 1,...,с£(УД

образуют базис пространства Вп(Уь), п^2. Тогда полилинейные элементы

XI ■ ■ ■ ■ ■ хп, ...■ х{п_к •

к = 2,...,п, 5 = 1,...,4(УЬ), к <...<Ч-к, к < ... < Эк, будут образовывать базис пространства Рп{У)-

3) Для любого п выполнено равенство

п

Сп(У) = 1 + ^Сп-<ИтВк(У1). к=2

4) Если существует Ехр{Уь), то Ехр{V) = Ехр(Уь) + 1, более того, если найдутся такие действительные числа что для всех достаточно больших п выполнено двойное неравенство

па(Р < с£(У£) < п0сГ,

то найдутся такие 7 ид, что для всех достаточно больших п будет выполнено такое двойное неравенство:

5) Если поле К бесконечно и некоторая алгебра Ли Аь порождает многообразие У1, то алгебра А = Аь& К, построенная с помощью предложения 3.4.1, будет порождать многообразие У.

6) Если поле К бесконечно, |/| < +оо и многообразие У£ является шпех-товым, то многообразие У также будет являться шпехтовым.

7) Пусть поле К бесконечно и — некоторое собственное подмногообразие в У. Тогда идеал тождеств М(У/) П Ь>2(Х) определяет некоторое собственное подмногообразие в Уь-

8) Многообразие Уь нильпотентно тогда и только тогда, когда рост многообразия У ограничен полиномом.

Обозначим через многообразие алгебр Пуассона, порожденное полилинейным тождеством

{яъ 2/1} • • ■ • • {Хт, Ут) = о.

Из теоремы 3.9.2 следует, что рост многообразия является сверхэкспоненциальным, причем для многообразия \Уг над произвольным полем для любого

n¿>2 выполнено

Cn(W2) = 1 + ¿Cj • (fc - 1)! ^ [(n - 1)! • e].

k=2

Из данных соотношений видно, что в отличие от случая алгебр Ли существуют многообразия алгебр Пуассона, чьи функции сложности не являются целыми функциями комплексного аргумента. Например, такими многообразиями являются многообразия Wm, т ^ 2.

Теорема 3.9.3. В случае основного поля нулевой характеристики многообразие алгебр Пуассона, определенное тождествами

{{х\, х2, £з}, ^б}} = 0, {£1,2:2} • -¡>3,2:4} = О,

имеет почти экспоненциальный рост.

В § 3.10 приведены некоторые алгебры Пуассона с экстремальными свойствами последовательности коразмерностей.

Глава 4 посвящена исследованию алгебр Пуассона с неантикоммутативной операцией {,}, которые будем называть алгебрами Лейбница-Пуассона. Более точно, векторное пространство А над полем К с двумя ЛГ-билинейными операциями умножения • и {,} называется алгеброй Лейбница-Пуассона, если относительно операции • пространство А является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} — алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами

{а ■ Ь, с} = а ■ {Ь, с} + {а, с} -Ь, {с,а-Ъ} = а- {с, 6} + {с, а} • Ь,

где а, Ь, с € А. Некоторые результаты предыдущей главы со случая алгебр Пуассона переносятся на случай алгебр Лейбница-Пуассона. Рассмотрим здесь только те результаты, которые верны только для алгебр Лейбница-Пуассона.

В § 4.1 строится базис полилинейной части свободной алгебры Лейбница-Пуассона. Также приводится следующая полезная конструкция алгебр Лейбница-Пуассона на базе алгебр Лейбница.

Пусть Al — некоторая ненулевая алгебра Лейбница с умножением [, ] над бесконечным полем К. Рассмотрим векторное пространство А — Аь © К, в котором определим операции • и {,} следующим образом:

(.a + a)-{b+p) = {fia + ab) + ap, ^

{а + а,Ь + Р} = [в,Ь], a,beAL, aje К. Нетрудно заметить, что полученная алгебра {А, +,-,{,}, К) будет являться алгеброй Лейбница-Пуассона.

В § 4.2 приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста. Рассмотрим двумерную алгебру Лейбница Ь2 над полем К с базисом а, Ъ и таблицей умножения [а,Ь] = а, [а, а] = [6, Ь] = [Ь, а] = 0. Обозначим через А2 алгебру Лейбница-Пуассона L2 Ф К с операциями (7).

Теорема 4.2.3. Для алгебры Лейбница-Пуассона А2 в случае основного по-

ля нулевой характеристики верны следующие утверждения:

1) полилинейные тождества {хг,х2} • £4} = 0, {^1, {х2, 2:3}} = О порождают идеал тождеств алгебры А2;

2) полилинейные элементы

{а'«1) • • • ! ' Х}1 ' • • • "

s + t = n, О < Й < п, ¿2 < • ■ • < га, ]1 < ,.. <

от переменных Х\,..., хп образуют базис пространства Рп(А2);

3) рост многообразия иаг(А2), порожденного алгеброй А2, является почти полиномиальным, причем для любого натурального п выполнено равенство

сп(А2) = п-2п-1 -п + 1.

Обозначим через многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, порожденное полилинейным тождеством

{х1,у1}-...-{хт,ут} = 0.

Формула для вычисления значений коразмерностей многообразия получается более красивой, нежели для многообразия алгебр Пуассона что показывает следующее

Предложение 4.2.1. Для многообразия "\Уг над бесконечным полем для любого выполнено равенство с„(\У2) = [п! • е] — п.

В следующем предложении приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти экспоненциального роста.

Предложение 4.2.2. В случае основного поля нулевой характеристики многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, определенное тождествами

{Х1,{Х2,ХЗ,Х4.}} = О, {Х1,Х2} ■ {£3,^4} = О,

имеет почти экспоненциальный рост.

В § 4.3 приводятся эквивалентные условия полиномиального роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона над полем нулевой характеристики. Пусть и2 — алгебра Пуассона, описанная выше.

Теорема 4.3.2. В случае основного поля нулевой характеристики для произвольного многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V следующие условия эквивалентны:

(г) последовательность {сп(У)}п^1 ограничена полиномом;

(и) и2 £ V, А2 0 V и для некоторого в ^ 2 выполнено включение V С

(ггг) существует такая константа С, что в сумме

Хп(У) = $>л(У)хл

АНя

шл(У) — 0 в случае, если выполнено условие п — Х\ > С.

Следствие 4.3.2. В классе многообразий алгебр Лейбница-Пуассона с

тождеством {х1, •... • {хт, ут} = 0 существует только два многообразия с почти полиномиальным ростом, а именно, паг{и2) и иог(^4г)-

В § 4.4 приводятся некоторые многообразия алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами относительно последовательности коразмерностей.

В § 4.5 строятся носители многообразий алгебр Лейбница-Пуассона, которые определятся тождествами вида {хь х2}-{хз, = 0, {х\,..., хп} = 0. При этом носители строятся на основе следующей важной конструкции.

Предложение 4.5.1. Пусть А — некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения А над произвольным полем К. Рассмотрим декартово произведение С = А х А х К, в котором определим операцию сложения и две операции умножения ■ и {,} элементов множества С:

(х1,Х2,а) + (уиУ2,Р) = (х1 + У1,х2 + У2,а + Р), (хь х2, а) ■ (уи у2, Р) = (Рх 1 + ауъ Рх2 + ау2, а/3), {(х1,х2,а),{уьу2,Р)} = ([х1,у1],х2лу 1,0), где [хх,ух] = хх Л ух - ух Л хх, (хх,х2,а), {ух,У2,Р) 6 С. Тогда полученная алгебра С будет являться алгеброй Лейбница-Пуассона, в которой выполнено тождество {хь х2} • {хз, 24} = 0.

В § 4.6 приводятся два класса алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами. Обобщим пространства ГП(У) со случая алгебр Пуассона до случая алгебр Лейбница-Пуассона. Важность изучения пространств ГП("У) основана на следующем обстоятельстве: в случае основного поля нулевой характеристики идеал тождеств /с/(У) произвольного многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V порождается последовательностью пространств ТпГ\ЫСУ), п ^ 1.

Пусть А2к и ЛТк — ассоциативные алгебры, определенные выше,

С?24 = Лгь х А2к х К, Кк = ЫкхЫкх К — алгебры Лейбница-Пуассона, построенные с помощью предложения 4.5.1.

Теорема 4.6.1. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Лейбница-Пуассона С2к, к > 1, верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Ы(С2к) порождается тождествами

{2, {хь х2, х3}} = 0, {г, {х, у}, {х, у}} = 0, {¿г,{х1,у1},...,{хк+1,г/я-1}} = 0, {х1,х2}-{х3,х4} = 0;

2) для любого п ^ 1 полилинейные элементы от переменных хь..., х„

{хт,хк,..., Х{г, {х^,хл},..., г + 2з + 1 = п, ¿1 < ¿2 < .. • < гг, 31 < к < ■ ■ ■ < 32з, 0 ^ з < к, г > 0,

образуют базис пространства Гп

3) размерности пространств ГП(С2/;) вычисляются по следующей формуле:

(Г \ - / п2""2' 1 < п < 2Л + 1,

причем для любого п ^ 2к + 1

п2к+1

7n(G2k) = 7n(G2fc-2) + nCf_x « щр п оо,

где С* — число сочетаний из п по к;

4) если W — некоторое собственное подмногообразие в var{G2k), то найдется такой многочлен f(x) с рациональными коэффициентами, зависящий от W, что для всех достаточно больших п выполнено неравенство 7n(W) < f(n), причем deg f(x) <2k + l-

Теорема 4.6.2. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Лейбница-Пуассона Rk, к > 3, верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Id(Rk) порождается полилинейными тождествами

{z, {ii,х2},{хз>Xi}} — 0, {z,{xu...,xk}} = 0, {хих2} ■ {x3,x4} = 0;

2) для любого n ^ 1 полилинейные элементы от переменных х\,... ,хп

{хт, Х{г, . . . , xir, {Xjlt Xj2, . . • , Xja}}, r + S + l — n, ii<i2< ... <ir, jl> j2< ■•■ < js,

0 < fc-1, S^l, r^o,

образуют базис пространства Tn(Rk);

3) размерности пространств Tn(Rk) вычисляются по следующей формуле:

'ni, 1 < n ^ min{4, к},

-yn(Rk) = п(п - 3)2"-2 + 2п, 5 < тг < /г,

1 "(l + E^-l)^-:). п>к+1,

причем для любого n ^ к + 1

к — 2

7n(Rk) = 7n(tffc-i) + п(к - 2)С£г} « (-fe_1)fnfc, n оо;

4) если W — некоторое собственное подмногообразие в var(Rk), то найдется такой многочлен f(x) = ао + ... + &кХк с рациональными коэффициентами, зависящий от W, что для всех достаточно больших п выполнено

к-3

неравенство 7n(W) < f(n), причем ак < тг—тту-

(к — 1J.

Автор выражает благодарность своему научному консультанту, доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за внимание к работе.

Основные результаты и выводы.

В области алгебр Пуассона

В случае нулевой характеристики основного поля построено многообразие алгебр Пуассона почти полиномиального роста. Получены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона и показано, что

существует только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста. Построено два класса минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста: и показано, что эти два класса многообразий исчерпывают все подмногообразия имеющихся двух многообразий алгебр Пуассона почти полиномиального роста. Показана конечная базируемость идеала тождеств произвольного многообразия алгебр Пуассона полиномиального роста. Доказано, что в случае произвольного поля рост любого многообразия алгебр Пуассона либо ограничен полиномом, либо не ниже показательной функции 2™""1, причем коразмерности многообразия полиномиального роста асимптотически вычисляются как значения конкретного полинома. Предложены новые конструкции алгебр Пуассона на основе ассоциативных и лиевых алгебр. Построено многообразие алгебр Пуассона с почти экспоненциальным ростом и многообразие с дробной экспонентой. В случае нулевой характеристики основного поля получены асимптотические оценки роста последовательностей коразмерностей customary- и extended customary-пространств произвольного многообразия алгебр Пуассона и эквивалентные условия полиномиальности роста данных пространств.

В области алгебр Лейбница-Пуассона

В случае произвольного поля предложены новые конструкции алгебр Лейбница-Пуассона на основе ассоциативных алгебр, алгебр Ли и алгебр Лейбница. Построено многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста. Получены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона. Построено два класса многообразий алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами.

В области ассоциативных алгебр

Получены оценки роста многообразий ассоциативных алгебр над произвольным полем, идеалы тождеств которых содержат тождество, являющееся произведением некоторого количества коммутаторов длины два. Также получены эквивалентные условия для значений экспонент данных многообразий. Доказано отсутствие многообразий ассоциативных алгебр промежуточного роста между полиномиальным и экспоненциальным в случае, если характеристика основного поля не равна двум.

В области алгебр Ли и алгебр Лейбница

В случае произвольного поля получены оценки роста многообразий алгебр Ли с нильпотентным коммутантом и получены эквивалентные условия для значений экспонент данных многообразий в случае основного поля нулевой характеристики. В случае основного поля нулевой характеристики показана шпехто-вость многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом. Показана конечная базируемость идеала тождеств произвольного многообразия алгебр Лейбница полиномиального роста. Построено два класса многообразий алгебр Ли с нильпотентным коммутантом с экстремальными свойствами.

Публикации автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК

[1] Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 1. С. 68-88.

[2] Рацеев С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Матем. заметки. 2007. Т. 82, № 1. С. 108-117.

[3] Рацеев С.М. Взаимосвязь алгебр Пуассона и алгебр Ли на языке тождеств // Матем. заметки. 2014. Т. 96, №4. С. 567-577.

[4] Рацеев С.М. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 2. С. 416-429.

[5] Рацеев С.М. Алгебры Пуассона полиномиального роста // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54, » 3. С. 700-711.

[6] Рацеев С.М. Эквивалентные условия полиномиальности роста многообраг зий алгебр Пуассона // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2012. № 5. С. 8-13.

[7] Рацеев С.М. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Изв. вузов. Матем. 2014. № 3. С. 33-39.

[8] Ratseev S.M. On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {x, y} ■ {z,t} = 0 // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2013. Т. 6, № 1. С. 97-104.

[9] Рацеев С.М. Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2006. Т. 26, № 5. С. 125-135.

[10] Рацеев С.М. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2007. Т. 33, № 6. С. 12-16.

[11] Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2005. Т. 40, № 6. С. 36-50.

[12] Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2006. Т. 46, № 6/1. С. 70-77.

[13] Рацеев С.М. О росте некоторых ассоциативных алгебр и алгебр Лейбница // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2008. Т. 65, № 6. С. 177-184.

[14] Рацеев С.М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотент-ным коммутантом // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2010. Т. 78, № 4. С. 65-72.

[15] Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2012. Т. 94, № 3/1. С. 54-65.

[16] Рацеев С.М., Череватенко О.И. Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2013. Т. 104, № 3. С. 42-52.

[17] Рацеев С.М. Об экспонентах некоторых многообразий линейных алгебр // ПДМ. 2013. Т. 21, № 3. С. 32-34.

[18] Рацеев С.М. О тождествах специального вида в алгебрах Пуассона // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 2. С. 150-155.

[19] Рацеев С.М., Череватенко О.И. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. Т. 22, № 2. С. 57-59.

[20] Рацеев С.М., Череватенко О.И. О нильпотентных алгебрах Лейбница-Пуассона // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. Т. 29, № 4. С. 207-211.

[21] Рацеев С.М., Череватенко О.И. О метабелевых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. Т. 6., № 1. С. 72-77.

[22] Рацеев С.М. О некоторых алгебрах Пуассона с экстремальными свойствами // Научн. ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2013. № 5. С. 107-110.

[23] Рацеев С.М. Оценки роста некоторых многообразий алгебр Пуассона // Научн. ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2013. № 11. С. 93-101.

Прочие публикации автора по теме диссерации

[24] Ratseev S.M. Growth of some varieties of Leibniz-Poisson algebras // Serdica Math. J. 2011. Vol. 37, № 4. P. 331-340.

[25] Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлиной / / Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. 2004. Т. 14, № 1. С. 34-45.

[26] Рацеев С.М. Некоторые многообразия алгебр Лейбница с целыми экспонентами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.

31. Лобачевские чтения-2005. Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции, Казань, 14-16 декабря 2005 г. Казань: Казанское математическое общество, 2005. С. 133-135.

[27] Ratseev S.M. Exponents of varieties of Leibniz algebras with a nilpotent commutator subalgebra // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa, 20-27 July, 2005. P. 167-168.

[28] Ratseev S.M. On the growth of Poisson PI algebras // 7th International Algebraic Conference in Ukraine. Kharkov, 18-23 August, 2009. P. 114-115

[29] Рацеев C.M. О многообразиях алгебр Пуассона полиномиального роста // Международная конференция «Алгебра и математическая логика», посвященная 100-летию со дня рождения В.В. Морозова. Казань, 25-30 сентября, 2011. С. 156-157.

[30] Ratseev S.M. About Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth // Abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of the S.M. Chemikov. Kiev, 20-26 August, 2012. P. 126.

[31] Рацеев C.M. О многообразии алгебр Пуассона с тождеством {¡ЕьЯг} • {x3,xi} — 0 // Третья международная школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», посвященная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, 25-30 июня, 2012. С. 43-45.

[32] Рацеев С.М. О некоторых экстремальных многообразиях алгебр Пуассона/ / Международная заочная конференция «Проблемы современного математического образования в высшей школе». 14-15 декабря 2012 г. Тезисы докладов. Ульяновск: УлГПУ, 2012. С. 36-37.

[33] Рацеев С.М. Об экспонентах некоторых ассоциативных алгебр// Международная конференция «Алгебра и Логика : Теория и Приложения», посвященная памяти В.П. Шункова. 21-27 июля 2013 г. Тезисы докладов. Красноярск: СФУ, 2013. С. 104-105.

[34] Рацеев С.М. Об экспонентах некоторых алгебр Пуассона// 45-я международная молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященная 75-летию В.И. Бердышева. 02-08 февраля 2014 г. Екатеринбург. 2014. С. 44-45.

[35] Рацеев С.М. О пространствах специального вида многообразий алгебр Пуассона// Международная научная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения». 02-06 июня 2014 г. Казань. 2014. С. 124-125.

Подписано в печать 4.09.2014. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 120. Заказ № 86 13i5

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42