Примитивные элементы алгебр шрайеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 1ШСШ1 М. В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 512.534

Чеповский Александр Андреевич

Примитивные элементы алгебр шрайеровых 005001659 многообразий.

Специальность 01.01.00 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискшше ученой стсимш кандидата фтико-математнчоеких наук

1 О НОЯ 2011

Москва 2011

Работа выполнена на кафедре Высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Михалёв Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Михалёв Александр Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев Аскар Аканович доктор физико-математических наук, профессор Кожухов Игорь Борисович

Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н.Толстого

Защита диссертации состоится 25 ноября 2011 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Р.Ф., 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 октября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Мпогообразис линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло в теории групп: в 1920 - х годах Нильсен1 и Шрайер2 доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош3 доказал, что подалгебры свободных неасеоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов4 показал, что многообразие itcex алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен и Виттом5, где также было доказано, что многообразие всех р— алгебр Ли является шрайеровым).

А. И. Ширшов6 показад, что подалгебры свободных неасеоциативных коммутативных и свободных неассоциативных аптикоммутативпых алгебр свободны. Таким образом, многообразие всех коммутативных алгебр (всех аптикоммутативпых алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалёв7 и А. С. Штерн8 показали, что мпогообразис супералгебр Ли является шрайеровым. А. А. Михалёв9 получил этот результат для цветных р— супералгебр Ли. А. И. Корспанов10 доказал, что подалгебры свободных суперкоммута-тивиых неасеоциативных алгебр свободны. В. К. Харченко11 получил обобщение теоремы Ширшова - Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизпедспи-см. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков12 доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны.

'Nielsen J., Die homorphismengruppe der freien Gruppe. Math. Ann., D. 91, S. 169—209, (1924).

2Schreier 0., Die Untergrup¡)en der freien Gruppen Abh. Math. Sein. Univ. Hamburg., B. 3. S. ICI—183, (1927).

3Kyj)oui А. Г.. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. Мат. Сб., 20, С. 239-262, (1947).

''Шпршов А. П., Подалгебры свободных лие.вых алгебр. . Мат. сб.. Т. 33, .V2, С. 441-452, (1953).

'Witt Е. Die Unterringe der freien Lieschen Ringe. Math. Z., B. 64., S. 195—216, (1956).

^Ширшов А. П., Подалгебры соободшлх коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр . Маг. Сб., 34, С. 81-88, (1954).

7 Михалёв А. А., Подалгебры свободна, цветных супералгебр Ли. Мат. заметки, Т. 37, Ж5, С. 653-661, (1985).

"Штерн А. С., Свободные супералгебры Ли ■ Сиб. мат. жури., Т. 27, .VI, С. 170-174, (1980).

9Мнхалев А. А., Подалгебры свободных р- с°упсра.<1гебр Ли . Мат. заметки, Т. 43, JV»2, С. 178-191, (1988).

10КореШ1[ЮВ А. И., Свободные неассоцгштивпые суперкоммутативные алгебры. Фупдамеит.и прикл.

мат., Т. 9, Ж). С. 103-109, (2003).

"Kharchenko V. К., Braided version of Shirshov- Witt theorem., J.Algebra, vol. 294, jV'l, P. 196-225, (2005).

"Shestakov I. P., Uruirbaev U. U., Free Akhris algebras, primitive elements, and hypcratgebnu. J. Algebra,

vol 250, P. 5.33-548. (2002).

У. У. Умирбаев13'14 получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеровым, и построил новые примеры шрайеровых многообразий. Подалгебры свободных алгебр многообразий линейных П— алгебр рассматривались в различных работах15,16'17, шрайеровы многообразия п- лиевых алгебр описаны Ю. А. Кашиной18, шрайеровы многообразия тернарных алгебр изучались А. Д Уадиловой.19

Группы автоморфизмов конечного ранга свободных алгебр порождены элементарными автоморфизмами (для алгебр Ли этот результат был получен П. Коном20, а для свободных алгебр шрайеровых многообразий конечного ранга любых однородных шрайеровых многообразий — Ж. Левином21). У. У. Умирбаев22 получил описание группы автоморфизмов свободной алгебры конечного ранга шрайерова многообразия алгебр в терминах образующих и определяющих соотношений.

Подмножество М ненулевых элементов свободной алгебры А шрайерового многообразия называется примитивной системой элементов, если существует множество свободных образующих алгебры А, содержащее подмножество А/. Критерии распознавания примитивных систем элементов для свободных р- супералгебр Ли были получены А. А. Золотых и А. А Михалёвым23'24, для свободных неассоциативных алгебр — А. А Михалёвым, У. У. Умирбае-вым и Л.-Т. Уи25.

"Umirbaev U. U. Universal derivations and subalgebras of free algebras. Algebra (Krasnoyarsk. 1993). Berlin: Walter lie CruytCT, P. 255—271, (19DG).

"Умирбаев У. У., О шрейреровых многообразиях алгебр . Алгебра и Логика, 33, JWJ, С. 317-340, (1994).

'"Бараиович Т. М., Бургин М. С., Линейные П- алгебры. Успехи мат. наук., Т. 30, ДЧ, С. 61-106, (1975).

"Бургин М. С., Шрайеровы мпогоообртия линейных П- алгебр. Мат. сб.. Т 93(133) -V4 С 554-57'' (1974).

Артамонов В. А., БуришМ. С., Некоторые. свойства подалгебр о м>ю?.ооб]Х1лиях лиисСошх П- алгебр. Мат. сб., Т. 87, ЛМ, С. 67-82, (1972).

"Кашина Ю. А., Шрайеровы многообразия п- лиевых алгебр. Сиб. мат. жури., Т. 32, №2, С 197-199 (1991).

19Уадилова А. Д., Перечисление, тернарных алгебр и Оеревьео: Автореферат, канд. физ-мат. наук УлГУ, (2008).

2°Cohn Р. М. Subalgebras of five associative algebras Prix:. London Math. Soc. (3)., Vol. 14. P. 618- 632 (1964).

21 Lewin .!., On Schreier varieties of linear algebras. Trans. Amor. Math. Soc., Vol. 132., P. 553-562, (1908).

22Umirbaev U. U., Defining relations for automorphism groups of free algebms., J. Algebra, vol 314 Ж P. 209-225, (2007).

-''Затотых А. А., Михалёв А. А., Ганг элемента евибодпой цветной {р-)супе[шлгебры Ли. Доклады Академии Наук, 334, №6, С. 690-4393, (1994).

2 'Mikhalev A. A. and Zolotykh A. A., Rank and primitivitg of elements of free colour Lie (p-)superalqebras . Intern. J. Algebra Comput., 4, P. G17-656, (1994).

•"'Mikhalev A. A., Umirbaev U. U., and J.-T. Yu, Automorphie orbits of elements of five non-associative algebras . J. Algebra, 243, P. 198-223, (2001).

Цель работы

Целью работы является построение и реализация алгоритмов распознавания и дополнения примитивных систем элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий, а также подсчет числа примитивных элементов данной степени в свободных алгебрах основных типов шрайеровых многообразий над конечными полями.

Научная новизна

Основные результаты диссертации:

1. Обоснованы, построены и реализованы усовершенствованные алгоритм реализации ранга однородного элемента свободной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга элемента свободной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга системы элементов свободной неассоциативной алгебры.

2. Построен и реализован алгоритм дополнения системы примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры. Доказана правильность работы построенного алгоритма.

3. Обоснованы, построены и реализованы усовершенствованные алгоритм реализации ранга однородных элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга системы элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной аптиком-мутативной неассоциативной алгебры.

4. Построен и реализован алгоритм дополнения систем примитивных элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры. Доказана правильность работы построенного алгоритма.

5. Найдено число примитивных элементов степеней 1, 2 и 3 для свободных псаесоциативпых алгебр над конечным полем. Получена оценка для этих величии через число автоморфизмов.

Методы исследования

В работе применяется техника свободного дифференциального исчисления, методы теории неассоциативпых алгебр, методы компьютерной алгебры, используются методы работы с примитивными системами элементов.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы позволяют алгоритмически решать задачи реализации ранга и поиска дополнения к системам примитивных элементов в свободных нсассоциатнвных и свободных (анти) коммутативных неассоциативных алгебрах.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры Высшей алгебры МГУ;

• на семинаре «Избранные вопросы алгебры» кафедры Высшей алгебры МГУ;

• на V всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», Москва. 2008г.;

• на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, МГУ, 2008г.;

• па Мальцсвских чтениях в г. Новосибирск, 2009г.;

• на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалева, МГУ, 2010г.;

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приводится в конце библиографии.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав (первая из которых является сводной), заключения и библиографии (38 наименований). Общий объем диссертации составляет 65 страниц. Структура работы отражена в оглавлении.

Краткое содержание работы

В первой главе, которая является вводной, даётся краткий исторический обзор и формулируются основные результаты диссертации.

Во второй главе приводятся необходимые понятия и обозначения. Пусть F — поле, причем char(F) ^ 2, X = {ц,..., хп} — множество свободных порождающих, Г(Х) — свободный группоид нсассоциативных одночленов без

едининичного элемента в алфавите X: X С Г(Х); если и. v € Г(Х), то u-v € Г(Х), где и - V — формальное умножение псаесоциативиых одночленов.

Рассмотрим линейное пространство F(X) над F с базисом, состоящим из 1 и элементов множества Г(Х), где задано умножение

(аа) ■ (/36) = (а/3)(а • Ь)

a, ¡i 6 F,a,b € Г(Х). Тогда F(X) — свободная пеассоциативная алгебра. А. Г. Курош20 доказал, что подалгебры свободных нсассоциативных алгебр свободны.

Пусть Wq = Г(Х), А = F(X). Тогда U(A), универсальная мультипликативная обертывающая алгебра алгебры А, — свободная ассоциативная алгебра с множеством свободных порождающих Sq = {rw¡lw\w 6 ГДС lw и rw — универсальные операторы умножения слева и справа соответственно:

6 • la = ab, Ь • га = Ьа

Рассмотрим I — двусторонний идеал свободной пеассоциативной алгебры F(X), порожденный множеством {ab — ba\a,b € F(X)}. Тогда факторал-гебра А = F(X)/I — свободная коммутативная пеассоциативная алгебра с миожсегвом свободных порождающих X.

Считаем, что группоид Г(Х) вполне упорядочен так, что а > b для а, 6 € Г(Х), если степень элемента а больше степени элемента Ь. Построим индуктивно множество W\ всех коммутативных правильных не ассоциативных одночленов без единичного элемента в алфавите X. А именно: X С Wi и U>e Wu если w — uv (где « и v — коммутативные правильные одночлены) и выполнено, что u ^ v.

Тогда смежные классы с представителями из множества Wj образуют линейный базис факторалгебры А = F(X)/I, a U{A), универсальная мультипликативная обёртывающая алгебра алгебры А, — свободная ассоциативная алгебра с множеством свободных порождающих S\ = {rM|w €Е W^}. А. И. Ширшов2' доказал, что подалгебры свободных коммутативных нсассоциативных алгебр свободны.

Рассмотрим J — двусторонний идеал свободной пеассоциативной алгебры F+(X) без единицы, порожденный множеством {аа|а 6 F(X)}. Тогда фак-торалгебра А = F+(X)/J — свободная антикоммутативиая пеассоциативная алгебра с множеством X свободных порождающих.

-fJКурош А. Г., Неассоциативные свободные олгебры к свободные произведения алгебр. Мат. СО-, '20, С. '239-262, (1947).

Ширшов A. II., Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр . Мат. С п., 34, С. 81-88, (1904).

Строим индуктивно множество И'2 всех антикоммутативных правильных неассоциативных одночленов без единичного элемента в алфавите X: X С Щ и XV € \У2, если ги = иу (где и и V — антикоммутативные правильные одночлены) и выполнено, и < V.

Тогда смежные классы с представителями из множества 1У2 образуют линейный базис факторалгебры А = а 1/(А), универсальная мультипликативная обертывающая алгебра алгебры А, является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих 52 = {г№|ш € И^}. А. И. Ширшов 28 доказал, что подалгебры свободных антиком мутативпых неассоциативных алгебр свободны.

Далее под А понимается одна из рассмотренных выше алгебр F(/f) ПА")//, РЦХ)/3. А под линейным базисом алгебры А и множеством свободных порождающих алгебры и {А) понимаются соответственно и б",-.

Пусть 1л — свободный правый [/(Л)-модуль с базисом уи...,уп,

1А = У1и{А)®...®упи{А).

Линейное отображение V : А -> /д, заданное формулами

Щх{) = уи г = 1,.... п, V{ab) = 1Щгь + V(b)la,

где а,Ь € А, является универсальным дифференцированием алгебры А. Частные прронзводные ^ элемента / 6 А однозначно определяются соотношением

¿=1

Система элементов алгебры А называется примитивной, если она является подмножеством некоторой системы свободных порождающих и А. Рангом множества Я С А (обозначение: ганк(Я)) называется минимальное число порождающих из X, от которого может зависеть образ <р(Н) при автоморфизме <р € АЫ(А).

Далее сформулированы и доказаны:

Алгоритм реализации ранга однородного элемента (Алгоритм А). Пусть ц — функционал и а — ^однородный элемент алгебры А. Строится такой /х-одпородпын автоморфизм <р алгебры А, что элемент р(а) зависит от к =гаик(а) порождающих из X.

-8Ширшов А. П., Подалгебры свободных коммутативных и свободных аптиколшутапшвных а.агсбр Мат. Сб., 34, С. 81-88, (1054).

Алгоритм реализации ранга элемента (Алгоритм Б) Пусть а £ Л. Строится такой автоморфизм ц> алгебры Л, что элемент (а) зависит от к =гапк(а) порождающих из X.

Алгоритм реализации ранга системы элементов (Алгоритм В)

Пусть а\,... ,аг 6 Л. Строится такой автоморфизм ¡р алгебры Л, что система элементов {^(<21),.... '¿>(аг)} зависит от к =гапк({аь .... аг}) порождающих из X.

Алгоритм дополнения примитивной системы элементов до множества свободных образующих (Алгоритм Д). Пусть {аь...,аг} — примитивная система элементов алгебры Л. Строится такой рекурсивный автоморфизм р алгебры Л, что <р(щ) 6 X, г = 1,.... г, предполагая, что у нас есть такой автоморфизм для любой примитивной системы, состоящей менее чем из г элементов.

Третья глава посвящена конструктивным алгоритмам, основанным на алгоритмах из второй главы, описаны некоторые особенности реализации данных алгоритмов. Описаны:

Алгоритм проверки примитивности элемента (Алгоритм 1), основанный на виде канонического базиса левого идеала.

Вспомогательный алгоритм для си-однородного элемента (Алгоритм 2), основанный на алгоритме Б.

Алгоритм поиска дополнения (Алгоритм 3). Каждый шаг этог о алгоритма заключается в выделении старшей однородной (по текущему линейному функционалу) компоненты и построении такого автоморфизма алгебры Л, что данная компонента зависит от меньшего числа канонических образующих Хг- Затем, происходит изменение линейного функционала, с целью выделения повой старшей однородной компоненты и построения нового автоморфизма. В итоге, композиция данных автоморфизмов переводит исходный элемент в один из канонических образующих. Применив к остальным каноническим образующим алгебры Л автоморфизм, обратный к этой композиции, находится дополнение исходного элемента до множества свободных порождающих.

Далее в этой главе приведены примеры применений алгоритмов в конкретных случаях.

Четвертая глава посвящена подсчету количества примитивных элементов в неаесоциативных алгебрах над конечным полем. Пусть — конечное ноле, X = {х1,....,хп} — множество свободных порождающих. Пусть 1(и) — максимальная длина пеассоцииативпого одночлена в многочлене и 6 Л. Число примитивных элементов Л с /(/г) = I в свободной пеасеоциативпой алгебре Л = Р{Х), обозначим через С помощью техники свободного

дифференциального исчисления получены критерии примитивности элемента свободной неассоциативной алгебры Fq(X) для п — 2 и / = 2, 3. Доказано, что 5|(2) = (g-l)V + 9) и 3) = q2{q-l)2(q+1)2. В конце главы, используя вид элементарных автоморфизмов, для случая 1 = 3 получена верхняя оценка Sq2{3) SC q2(q - 1 )2{q + 1)((? - I)2 + 2).

Благодарности

Автор благодарит д.ф-м.п., профессора мехапнко-матсматического факультета МГУ Александра Васильевича Михалёва и д.ф-м.и., профессора механико-математического факультета МГУ Александра Александровича Михалёва за помощь в выборе темы исследования, внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

|1| Чсповский А. А. Число примитивных элементов длины 1 и 2 в свободных неассоциативных алгебрах над конечным полем . Вестник Новосиб. гос. ун-та. Серия: Математика, механика, информатика., Т. 11, вып. 2, стр. 119-122, (2011).

[2] Михалев А. А., Михалёв А. В., Чсповский А. А. Примитивные элементы свободных коммутативных и аитико.ммутативных нсассоциатпив-иых алгебр. Вестник Новосиб. гос. ун-та. Серия: Математика, механика, информатика., Т. 10, вып. 4, стр. 62-81, (2010).

В дачной работе Чеповскому A.A. принадлежит построение и реализация конструктивного алгоритма реализации ранга примитивных элементов свободной ?^ассоциативной коммутативной и свободной неассоциативной антико.ммугпатиииой алгебр, конструктивного алгоритма реализации ранга системы элементов свободной неассоциативной коммутативной и свободной неассоциативной анти,коммутативной алгебр, конструктивного алгоритма дополнения примитивной системы элементов свободной неассоциативной коммутативной и свободной неассоциативной антикоммутативной алгебр. В диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.

[3] Михалёв А. А., Михалёв А. В., Чеповский А. А., Шампаньер К. Примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр.. Фундаментальная и Прикладная математика, 13, №5, 171-192, (2007).

В данной работе Чеповскому A.A. принадлежит построение и реализация конструктивного алгоритма реализации ранга примитивного элемента свободной неассоциативной алгебры, конструктивного алгоритма реализации ранга системы элементов свободной нсассоциативиой алгебры, конструктивного алгоритма дополнения примитивной системы элементов свободной нсассоциативиой алгебры. В диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.

Перевод: Mikhalev A. A., Mikhalev А. V., Cliepovskiy A. A., Champagnier К. Primitive elements of free nonassociativc algebras. Journal of Mathematical Sciences, vol.156 no. 2 (2009), pp. 320-335.

[4] Чеповский А. А. Алгоритмы дополнения примитивных систем свободных неассоциативных алгебр до свободных порождающих множеств.. Труды V Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», М.: Вузовская книга, стр. 125-126, (2008).

Подписано в печать 19.10.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1150 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. А-102

1 Введение

1.1 Шрайеровы многообразия алгебр.

1.2 Цель работы

1.3 Научная новизна.

1.4 Основные методы исследования

1.5 Теоретическая и практическая ценность работы.

1.6 Апробация работы.

1.7 Публикации.

1.8 Структура и объем диссертации.

1.9 Краткое содержание работы.

1.10 Благодарности.

2 Системы примитивных элементов

2.1 Основные определения.

2.2 Однородный случай.

2.3 Общий случай

3 Реализация алгоритмов проверки примитивности, реализации ранга и поиска дополнения к примитивной системе элементов в свободной неассоциативной, свободной неассоциативной (анти)коммутативной алгебрах и примеры применения

3.1 Техническое описание алгоритмов проверки примитивности, реализации ранга и дополнения примитивной системы

3.2 Описание алгоритма проверки примитивности элемента

3.3 Описание вспомогательного алгоритма для однородного элемента

3.4 Описание алгоритма дополнения примитивной системы

3.5 Примеры применения алгоритма распознавания примитивности

3.6 Примеры применения алгоритма дополнения примитивной системы

4 Подсчет числа примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр над конечным полем

4.1 Случаи длины 1 и 2.

4.2 Случай длины

4.3 Оценка через автоморфизмы.

1.1 Шрайеровы многообразия алгебр

Многообразие линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло в теории групп: в 1920 - х годах Нильсен [29] и Шрайер [30] доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош [8] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов [14] показал, что многообразие всех алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен и Виттом в [32], где также было доказано, что многообразие всехр— алгебр Ли является шрайеровым).

А. И. Ширшов в [15] показал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и свободных неассоциативных антикоммутативных алгебр свободны. Таким образом, многообразие всех коммутативных алгебр (всех антикоммутативных алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалёв [9] и А. С. Штерн [16] показали, что многообразие супералгебр Ли является шрайеровым. А. А. Михалёв [10] получил этот результат для цветных^— супералгебр Ли. А. И. Корепанов [7] доказал, что подалгебры свободных суперкоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В. К. Харчепко [22] получил обобщение теоремы Ширшова - Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизведением. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков [31] доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны.

У. У. Умирбаев в [11, 33] получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеровым, и построил новые примеры шрайеровых многообразий. Подалгебры свободных алгебр многообразий линейных $7— алгебр рассматривались в [3, 4, 2], шрайеровы многообразия п— лиевых алгебр описаны в [6], шрайеровы многообразия тернарных алгебр изучались в [12].

Группы автоморфизмов конечного ранга свободных алгебр порождены элементарными автоморфизмами (для алгебр Ли этот результат был получен П. Коном [21], а для свободных алгебр шрайеровых многообразий конечного ранга любых однородных шрайеровых многообразий — Ж. Ле-вином [23]). У. У. Умирбаев [34] получил описание группы автоморфизмов свободной алгебры конечного ранга шрайерова многообразия алгебр в терминах образующих и определяющих соотношений.

Подмножество М ненулевых элементов свободной алгебры А шрайеро-вого многообразия называется примитивной системой элементов, если существует множество свободных образующих алгебры А, содержащее под-мнодество М. Критерии распознавания примитивных систем элементов для свободных р— супералгебр Ли были получены в [5, 27], для свободных неассоциативных алгебр — в [28].

1.2 Цель работы

Целью работы является построение и реализация алгоритмов распознавания и дополнения примитивных систем элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий, а также подсчет числа примитивных элементов в свободных алгебрах основных типов шрайеровых многообразий над конечными полями.

1.3 Научная новизна

Следующие результаты диссертации являются основыми.

1. Обоснованы, построены и реализованы усовершенствованные алгоритм реализации ранга однородного элемента свободной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга элемента свободной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга системы элементов свободной неассоциативной алгебры.

2. Обоснован, построен и реализован алгоритм дополнения системы примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры.

3. Обоснованы, построены и реализованы усовершенствованные алгоритм реализации ранга однородных элементов свободной коммутативной пеас-социативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, алгоритм реализации ранга системы элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры.

4. Обоснован, построен и реализован алгоритм дополнения систем примитивных элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры;

5. Найдено число примитивных элементов степеней 1, 2 и 3 для свободных неассоциативных алгебр над конечным полем. Получена оценка для этих величин через число автоморфизмов.

Заключение

В диссертации рассмотрены примитивные системы элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий. Обоснованы, построены и реализованы конструктивные алгоритмы реализации ранга однородного элемента свободной неассоциативной алгебры, реализации ранга элемента свободной неассоциативной алгебры, реализации ранга системы элементов свободной неассоциативной алгебры, дополнения системы примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры, реализации ранга однородных элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, реализации ранга элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, реализации ранга системы элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры, дополнения систем примитивных элементов свободной коммутативной неассоциативной алгебры и свободной антикоммутативной неассоциативной алгебры. Кроме этого, найдено число примитивных элементов степеней 1, 2 и 3 для свободных неассоциативных алгебр над конечным полем. Получена оценка сверху для этих величин через число автоморфизмов.

Диссертация имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы могут быть использованы в научных исследованиях, а также могут быть включены в системы символьных вычислений в неассоциативных алгебрах.

1. Артамонов В. А., Михалёв А. А., Михалёв А. В., Автоморфизмы свободных алгебр шрайеровых многообразий. Современные проблемы математики и механики, издательство Московского университета, том IV, Математика, №3, С. 39-57, (2009).

2. Артамонов В. А., Бургин М. С., Некоторые свойства подалгебр в многообразиях линейных алгебр. Мат. сб., Т. 87, №1, С. 67-82, (1972).

3. Баранович Т. М., Бургин М. С., Линейные О,— алгебры. Успехи мат. наук., Т. 30, №4, С. 61-106, (1975).

4. Бургин М. С., Шрайеровы мпогоообразия линейных О,— алгебр. Мат. сб., Т. 93(135), №4, С. 554-572, (1974).

5. Золотых А. А., Михалёв А. А., Ранг элемента свободной цветной (р—) супералгебры Ли. Доклады Академии Наук, 334, №6, С. 690-693, (1994).

6. Кашина Ю. А., Шрайеровы многообразия п— лиевых алгебр. Сиб. мат. журн., Т. 32, №2, С. 197-199, (1991).

7. Корепанов А. И., Свободные неассоциативные суперкоммутативные алгебры. Фундамент.и прикл. мат., Т. 9, №3, С. 103-109, (2003).

8. Курош А. Г., Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. Мат. Сб., 20, С. 239-262, (1947).

9. Михалёв А. А., Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли Мат. заметки, Т. 37, №5, С. 653-661, (1985).

10. Михалёв А. А., Подалгебры свободныхр— супералгебр Ли . Мат. заметки, Т. 43, №2, С. 178-191, (1988).

11. Умирбаев У. У., О шрейреровых многообразиях алгебр . Алгебра и Логика, 33, №3, С. 317-340, (1994).

12. Уадилова А. Д., Перечисление тернарных алгебр и деревьев: Автореферат. канд. физ-мат. наук. УлГУ, (2008).

13. Шампаньер К., Алгоритмы реализации ранга и примитивности систем элементов свободных неассоциативных алгебр . Фундаментальная и Прикладная Математика, 6, №4, С. 1229-1238, (2000).

14. Ширшов А. И., Подалгебры свободных лиевых алгебр. . Мат. сб., Т. 33, №2, С. 441-452, (1953).

15. Ширшов А. И., Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр . Мат. Сб., 34, С. 81-88, (1954).

16. Штерн А. С., Свободные супералгебры Ли. Сиб. мат. журн., Т. 27, №1, С. 170-174, (1986).

17. Cohn P. M., On a generalization of the Euclidean algorithm . Proc. Cambridge. Philos. Soc., 57, P 18-30, (1961).

18. Cohn P. M., Free ideal rings . J. Algebra, 1, P. 47-69, (1964).

19. Cohn P. M., Free Rings and Their Relations . 2nd Ed. Academic Press, (1985)

20. Cohn P. M. Subalgebras of free associative algebras Proc. London Math. Soc. (3)., Vol. 14. P. 618- 632, (1964).

21. Kharchenko V. K., Braided version of Shirshov-Witt theorem, J.Algebra, vol. 294, №1, P. 196-225, (2005).

22. Lewin J., On Schreier varieties of linear algebras. Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 132., P. 553-562, (1968).

23. Lewin J., On Schreier varieties of linear algebras . Trans. Amer. Math. Soc., 132, P. 553-562, (1968).

24. Lewin J., Free modules over free algebras and free group algebras: the Schreier technique . Trans. Amer. Math. Soc., 145, P 455-465, (1969).

25. Mikhalev A. A., Shpilrain V., and J.-T. Yu, Combinatorial Methods. Free Groups, Polynomials, and Free Algebras . Springer New York, (2004).

26. Mikhalev A. A. and Zolotykh A. A., Rank and primitivity of elements of free colour Lie (p-)superalgebras . Intern. J. Algebra Comput., 4, P. 617-656, (1994).

27. Mikhalev A. A., Umirbaev U. U., and J.-T. Yu, Automorphic orbits of elements of free non-associative algebras . J. Algebra, 243, P. 198-223, (2001).

28. Nielsen J., Die Isomorphismengruppe der freien Gruppe. Math. Ann., B. 91, S. 169-209, (1924).

29. Schreier O., Die Untergruppen der freien Gruppen Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg., B. 5. S. 161-183, (1927).

30. Shestakov I. P., Umirbaev U. U., Free Akivis algebras, primitive elements, and hyperalgebras. J. Algebra, vol 250, P. 533-548, (2002).

31. Witt E. Die Unterringe der freien Lieschen Ringe. Math. Z., B. 64., S. 195— 216, (1956).

32. Umirbaev U. U. Universal derivations and subalgebras of free algebras. Algebra (Krasnoyarsk, 1993). Berlin: Walter de Gruyter, P. 255—271, (1996).

33. Umirbaev U. U., Defining relations for automorphism groups of free algebras., J. Algebra, vol. 314, №1, P. 209-225, (2007).

34. Публикации автора по теме диссертации

35. Чеповский А. А. Число примитивных элементов длины 1 и 2 в свободных неассоциативных алгебрах над конечным полем. Вестник Новосиб. гос. ун-та. Серия: Математика, механика, информатика., Т. 11, вып. 2, стр. 119-122, (2011).

36. Михалёв А. А., Михалёв А. В., Чеповский А. А. Примитивные элементы свободных коммутативных и антикоммутативных неассоциативных алгебр. Вестник Новосиб. гос. ун-та. Серия: Математика, механика, информатика., Т. 10, вып. 4, стр. 62-81, (2010).

37. Михалёв А. А., Михалёв А. В., Чеповский А. А., Шампаньер К. Примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр. Фундаментальная и Прикладная математика, 13, №5, 171-192, (2007).

38. Перевод: Mikhalev A. A., Mikhalev А. V., Chepovskiy А. А., Champagnier К. Primitive elements of free nonassociative algebras. Journal of Mathematical Sciences, vol.156 no. 2 (2009), pp. 320-335.