Обобщенные примитивные элементы свободных алгебр шрайеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Климаков Андрей Владимирович

Обобщенные примитивные элементы свободных алгебр шрайеровых многообразий

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

I и ФЕВ 2014

Москва 2014

005545242

005545242

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова".

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Михалёв Александр Васильевич; доктор физико-математических наук, профессор Михалёв Александр Александрович.

Официальные оппоненты: Кожухов Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО "Национальный исследовательский университет "МИЭТ";

Туганбаев Аскар Аканович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО "Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова".

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Тульский государственный педагогический университет ' имени Л. Н. Толстого".

Защита диссертации состоится 14 марта 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8 этаж.

Автореферат разослан И февраля 2014 года.

Учёный секретарь диссертационного //7/7

совета Д 501.001.84, созданного на базе МГУ, у^ЦЦ^^/ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена примитивным и почти примитивным элементам свободных алгебр шрайеровых многообразий. В диссертации доказаны критерии и построены алгоритмы распознавания однородных почти примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли. Построены новые примеры почти примитивных элементов в этих алгебрах.

Актуальность темы. Многообразие линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло п теории групп: в 1920-х годах Нильсен1 и Шрайер2 доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош3 доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов4 показал, что многообразие всех алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен также Виттом5, где также было доказано, что многообразие всехр-алгебр Ли является шрайеровым).

А. И. Ширшов6 показал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и свободных неассоциативных антикоммутативных алгебр свободны. Таким образом многообразие всех коммутативных алгебр (всех антикоммутативных алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалёв7 и А. С. Штерн8 показали, что многообразие супералгебр Ли является шрайеровым. А. А. Михалёв9 получил этот результат для цветныхр-супералгебр Ли. А. И. Корепанов10 доказал, что подалгебры свободных суперкоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В. К. Харченко11 получил обобщение теоремы Ширшова-Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизве-дением.

'Л. Nilsen, Die Isomorphismengrvppe der freien Gruppe. Math. Ann. 91 (1924), 161-183.

20, Schreier, Die Untergruppen den freien Gruppen. Ahh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 161-183.

3A. Г. Курош, Неассоциативные свободные алгебры и свободные проилведенил алгебр. Мат. сб. 20 (1947), 239-262.

4А. И. Ширшои, Подалгебры свободных лиевых алгебр. Мат. сб. 33 (1953), № 2, 441-452.

5Е. Witt, Die Unterringe der freien Lieschen Ringe. Math. Z. 64 (1956), 195-216.

sА. И. Ширшов, Подалгебры свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр. Мат. сб. 34 (1954), № 1, 81-88.

7А. А. Михалёв, Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли. Мат. зам. 37, № 4, (1985), 653-661

аА. С. Штерн, Свободные супералгебры Ли. Сиб. мат. журн. 27 (1886), № 1, 170-174.

"А. А. Михалёв, Подалгебры свободных р-супералгебр Ли. Мат. зам. 43, № 2, (1988), 178-191.

ША. И. Корепанов, Свободные неассоциативные суперкоммутативные алгебры. Фунд. и прикл. мат.

9 (2003), № 3, 103-109.

"V. К. Kharchcnko, Braided version of Shirshov-Witt theorem. J. Algebra 294 (2005), № 1, 196-225.

У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков12 доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны. У. У. Умирбаев13 14 получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеро-вым, и построил новые примеры тпрайеровых многообразий. Подалгебры свободных алгебр многообразий линейных П-алгебр рассматривались в работах15 16 17, шрайеровы многообразия га-лиевых алгебр описаны Ю. А. Ка-шиной18.

Подмножество М ненулевых элементов свободной алгебры J- шрайе-рова многообразия называется примитивной системой элементов, если существует множество свободных образующих алгебры J7, содержащее подмножество М. Используя свободное дифференциальное исчисление, критерии распознавания примитивных систем элементов для свободных (р-) алгебр Ли и свободных (р-) супералгебр Ли были получены А. А. Золотых и А. А. Михалёвым19 20, для свободных неассоциативных алгебр — А. А. Михалёвым, У. У. Умирбаевым и J.-T. Yu21. Алгоритмы распознавания примитивных систем элементов и построение дополнения до множества свободных образующих для свободных неассоциативных, свободных (анти-) коммутативных неассоциативных алгебр были построены (в том числе с компьютерной реализацией) в работах22 23 24.

Ненулевой элемент свободной алгебры ¿F называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры Т, но является примитивным элементом в любой содержащей его собственной подалгебре алгебры Т. Почти примитивные элементы в свободных группах изу-

laI. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, Free Akivis algebras, primitive, elements, and hyperatgetras. ,T. Algebra 250 (2002), 533-548.

,3У. У. Умирбаев, О шрайреровых многообразиях алгебр. Алг. и Лог. 33 (1994), № 3, 317-340.

14U. U. Umirbaev, Universal derivations and subalgebras of free algebras. Algebra(Kra.snoyarsk, 1993). Berlin: Walter de Gruyter, 1996, pp. 255-271.

,5B. А. Артамонов, M. С. Бургин, Некоторые свойства подалгебр в многообразиях линейных П-алгебр. Мат. сб. 87 (1972), № 1, 67-82.

!вТ. М. Баранович, М. С. Бургин, Линейные П-алгебры. Усп. мат. наук, 30 (1975), № 4, 61-106

,ТМ. С. Бургин, Шрайеровы многообразия линейных íl-алгебр. Мат. сб. 93 (1974), № 135, 554-572.

18Ю. А. Катина, Шрайеровы многообразия п-лиевых алгебр. Сиб. мат. журн., 32 (1991), № 2, 197-199.

19А. А. Золотых, А. А. Михалёв, Ранг элемента свободной (р-) супералгебры Ли. Доклады АН, 334 (1994), № 6, 690-693.

20 A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh, Bank and primitimty of elementi of free color Lie (p-) superalgebras. Intern. J. Algebra Comput. 4 (1994), 617-656.

21 A. A. Mikhalev, U. U. Umirbaev, J.-T. Yu, Automorphic orbitn of elements of free non-associative oige.bras. J. Algebra 243 (2001), 198-223.

22K. Шампаньер, Алгоритмы реализации ранга и примитивности систем элементов свободных неассоциативных алгебр. Фундамент, и прикл. мат. 6 (2000), № 4, 1229-1238.

"А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Чеповский, К. Шампаньер, Примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр. Фундамент, и прикл. мат. 13 (2007), № 5, 171-192.

24А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Чеповский, Примитивные элементы свободных коммутативных и антикоммутативных неассоциативных алгебр. Вестн. Ночосиб. гос. ун-та. Сер.: Мат., мех., инфор. 10 (2010), № 4, 62-81.

чались в работах25 26 27 28 29 30. Изучение почти примитивных элементов свободных алгебр было начато в работе А. А. Михалёва и Дж. Т. Ю31. В частности были построены примеры почти примитивных элементов в свободных неассоциативных алгебрах, свободных (р-) алгебрах Ли и (р-) супералгебрах Ли малых рангов. Используя свойства свободного произведения свободных алгебр, были построены серии примеров для свободных алгебр произвольного ранга. В работе А. В. Михалёва, У. У. Умирбаева, Дж. Т. Ю32 рассматривались свободные алгебры Ли и было доказано, что элемент им = (ada;)*^) + (x)(Ady)1, где (adu)(v) = и * v = (u)(Adv) и * является операцией умножения, в свободной алгебре Ли L(x,y), является почти примитивным при к, I ^ 2 и к ф I.

Цель работы. Построение критериев и алгоритмов распознавания почти примитивных однородных элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий, а также построение новых примеров почти примитивных элементов основных типов шрайеровых многообразий.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Введено понятие ранга примитивности элемента свободной алгебры шрайерова многообразия, исследованы его свойства, доказаны формулы для ранга примитивности суммы элементов для свободного произведения алгебр шрайеровых многообразий.

2. Исследованы почти примитивные элементы свободной неассоциативной алгебры, свободной (а,нти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли малых рангов. Получены критерии и построенны алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в этих алгебрах.

3. Исследована связь почти примитивности элемента и почти примитивности его старшей части в свободных алгебрах шрайеровых многообразий, построены новые серии примеров почти примитивных элементов, старшая часть которых не является почти примитивной.

4. Введено понятие р-числа однородного элемента свободной алгебры

25А. M. Brimner, R„ G. Burns, and S. Oat,es-Williams, On almost primitive elements of free groups with an application to Fuchsian groups. Can. J. Math. 45 (1993), 225-254.

2eL. P. Comerford, Generic elements of free groups. Arch. Math. (Basel) 65 (1995), № 3, 185-195.

"B. Fine, G. Rosenberger, D. Spellman, and M. Stille, Test words, generic, elements and almost primitimty. Pacific J. Math. 190 (1999), 277-297.

28G. Rosenberger, Alternierende Produkte in freien Gruppen, Pacific Л. Math. 78 (1978), 243-250.

2"G. Rosenberger, Uber Darstellungen von Elementen und Untergruppen in freien Produkten, Springer Lect,. Notes Math. 1098 (1984), 142-160.

•™G. Rosenberger, A property of subgroups of free groups. Bull. Austral. Math. Soc. 43 (1991), 269-272.

'"A. A. Mikhalev, J.-T. Yu, Primitive, almost primitive, test, and Д-primitive elements offres algebras with the Nielsen-Schreier property. J. Algebra 228 (2000), 603-623.

32A. A. Mikhalev, U. U. Umirbaev, J.-T. Yu, Generic, Almost primitive and test elements of free Lie algebras. Proc. AMS 130 (2002), № 5, 1303-1310.

произвольного ранга, исследованы его свойства, получены критерии и построены алгоритмы проверки почти примитивности элемента степени более 2 в терминах /э-числа, а также алгоритм вычисления р-числа. Получен критерий почти примитивности однородного элемента степени 2 в терминах ранга элемента.

5. Усилены ранее известные результаты про почти примитивность суммы почти примитивных элементов свободных алгебр шрайеровых многообразий в свободном произведении.

Методы исследования. В работе применяется техника символьных вычислений, свободного дифференциального исчисления, методы теории неассоциативных алгебр, методы работы с примитивными системами элементов для свободных алгебр шрайеровых многообразий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы позволяют алгоритмически решать задачу проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных, в свободных (анти-) коммутативных и в свободных алгебрах Ли.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва, МГУ, Москва, 2010 г.;

• на международной математической конференции, посвященной 70-летию профессора В. В. Кириченко, Николаев, Украина, 2012 г.;

• на конференциях "Алгебра, Комбинаторика, Динамика и Приложения", Белфаст, UK, 2012, 2013 гг.;

• на конференции "Алгебры Ли и Приложения", Уппсала, Швеция,

2012 г.;

• на семинаре "Алгебра и Криптография", CUNY, Нью-Йорк, США,

2013 г.;

• на международной конференции "Алгебра и Логика, Теория и Приложения", посвященной 80-летию В. П. Шункова, Красноярск, 2013

г.;

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры, 2011-2013 гг., неоднократно;

• на семинаре "Избранные вопросы алгебры", 2009-2013 гг., неоднократно;

• на семинаре "Теория колец", 2009-2013 гг., неоднократно;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[6], из них первые две — в журналах из перечня ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 13 разделов, и списка литературы. Библиография содержит 66 наименований. Текст диссертации изложен на 70 страницах.

Содержание работы

Глава 1 имеет вспомогательный характер. В ней даётся краткий исторический обзор и формулируются основные результаты диссертации.

Глава 2 содержит определения основных рассматриваемых объектов и ряд результатов о примитивных элементах. В разделе 2.1 вводятся необходимые понятия и обозначения для работы с примитивными и почти примитивными элементами свободных шрайеровых алгебр. Пусть К

— поле, X — непустое множество свободных образующих, Т(Х) — свободный группоид неассоциативных одночленов без единичного элемента в алфавите X : X С Г(Х); если и,ь € Г(Х), то и • V £ Г(Х), где и ■ V

— формальное произведение неассоциативных слов. Рассмотрим линейное пространство Р(Х) над полем К с базисными элементами из множества Г(Х) и умножением

(аа)-ЦЗЬ) = (аР)(а-Ъ)

для всех а./З € К, а,Ь е Г(Х). Тогда Fpf) — свободная неассоциативная алгебра. А. Г. Курош33 доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны.

Пусть ТУ0 = Г(Х), алгебра 11(Р(Х)) — универсальная мультипликативная обертывающая алгебры Е(Х). Тогда и(Г(Х)) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих ¿о = I ю £ Щ, где 1Ю и гш — универсальные операторы умноже-

ния слева и справа соответственно:

Ь ■ 1а = (ас! а)(Ь) = аЬ, Ъ-га — (Ь)(А<1 а) = Ьа.

Рассмотрим двусторонний идеал Л свободной неассоциативной алгебры Р'(Х), порожденный множеством {аЪ — Ьа \ а, Ь € F(X)}. Тогда факторал-

33А. Г. Курот, Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. Мат. сб. 20 (1947), 239-262.

гебра А-(Х) = F(X)/J\ является свободной неассоциативной коммутативной алгеброй с множеством свободных порождающих X.

Предположим множество Г(Х) вполне упорядочено таким образом, что для о,6 6 Г(Х) если d(a) > d(b), то а > Ъ, где d(a) — степень элемента а. Построим индуктивно множество Wi всех регулярных коммутативных одночленов: X С W\ и w € Wi, если w = uv, и и v — регулярные коммутативные одночлены ии^в.

Тогда смежные классы с представителями из множества W\ образуют линейный базис факторалгебры = F(X)/Ji. Кроме того, универсальная мультипликативная обертывающая алгебра U(A-(X)) алгебры А-(Х) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих S\ = {rw | w e Wi}. А. И. Ширшов34 доказал, что подалгебры свободных коммутативных неассоциативных алгебр свободны.

Рассмотрим двусторонний идеал J2 свободной неассоциативной алгебры F(X), порожденный множеством {ab + ba | a,b £ F(X)}. Тогда факторал-гебра = F(X)/J2 является свободной неассоциативной антикомму-

тативной алгеброй с множеством свободных порождающих X.

Построим индуктивно множество W2 всех регулярных коммутативных одночленов: X с W2 и w € W2, если w = uv, и и v — регулярные антикоммутативные одночлены и и> v.

Тогда смежные классы с представителями из множества W2 образуют линейный базис факторалгебры А+(Х) = F(X)/J2. Кроме того, универсальная мультипликативная обертывающая алгебра U(A+(X)), алгебры А+(Х) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих S2 = {rw | w € W2}. А. И. Ширшов34 доказал, что подалгебры свободных антикоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В дальнейшем мы будем рассматривать свободные (анти-) коммутативные алгебры над полем К характеристики char К ф 2.

Рассмотрим двусторонний идеал I алгебры F(X), порожденный элементами {a2, (ab)c + (be)а + (ca)b | а, Ъ, с е F(X)}. Тогда факторалгебра L(X) = F(X)/I является свободной алгеброй Ли с множеством свободных порождающих X. Умножение в этой алгебре будем обозначать лиевым коммутантом [,] и использовать запись в левонормированной форме: [х, у, z] = [[ж, у], г]. А. И. Ширшов35 доказал, что подалгебры свободных алгебр Ли свободны. Универсальной обертывающей алгебры Ли L(X) является свободная ассоциативная алгебра F(X) о линейным базисом S(X) ассоциативных одночленов.

Построим индуктивно множество W всех регулярных одночленов для

'"А. И. Ширшов, Подалгебры свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр. Мат. сб.

34 (1954), № 1, 81-88.

35А. И. Ширшов, Подалгебры свободных лиевых алгебр. Мат. сб. 33 (1953), № 2, 441-452.

алгебры Ь(Х): X С ги е IV, если ю = [и, и], и и V — регулярные одночлены и и > V, если и = [«1,^2], то иг ^ V. Тогда IV — базис Ь(Х) как линейного пространства.

Далее под алгеброй Т понимается одна из рассмотренных выше алгебр Р(Х), А-(Х), Ь(Х). А под линейным базисом алгебры ? и множе-

ством свободных порождающих алгебры II(Т) понимаются соответственно Wi и

Подмножество М алгебры Т называется независимым, если М является множеством свободных образующих подалгебры а^{М} С Т, порожденной подмножеством М. Подмножество М = {с^} ненулевых элементов алгебры Т называется редуцированным, если для любого г старшая часть а- элемента щ не принадлежит подалгебре алгебры Т7, порожденной множеством {а] | ] ф г}. Рангом множества Яс7 = 3~{Х) называется минимальное число свободных образующих из X, от которых может зависеть образ <р{Н), где <р пробегает группу автоморфизмов алгебры Т (другими словами, гапк(Я) — наименьший ранг свободного фактора алгебры Т7, содержащего множество Я).

Подмножество М различных ненулевых элементов алгебры Т(Х) называется примитивным, если существует такое множествоУ свободных образующих алгебры ^(Х), Р(Х) = ^(У), что М СУ. Если X = {хь... ,х„}, Т(Х) = У — множество свободных образующих алгебры 3~(Х), то

|У| = = п. Соответственно, элемент и алгебры 3~(Х) называется примитивным, если он является элементом некоторого множества свободных образующих алгебры 3~{Х). Ненулевой элемент и алгебры Т(Х) называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры X), но является примитивным в любой собственной подалгебре Н С Т(Х), содержащей его, и £Н.

В разделе 2.2 приводятся основные критерии и способы проверки примитивности элементов (на основе символьного вычисления, дифференциального исчисления, факторизации и свободного произведения) и строится важный пример непримитивного элемента.

Предложение 2.12. Элемент и= х\ + /(х\,..., хп), где. / является элементом степени с?(/) ^ 2 и всякий одночлен элемента f за,висит от Х\, не является примитивным элементом, в свободной алгебре ^(Х).

В разделе 2.3 вводится понятие ранга примитивности элемента свободной алгебры шрайерова многообразия, изучаются его комбинаторные свойства и доказывается теорема о ранге примитивности суммы элементов в свободном произведении алгебр.

Определение 2.13. Рангом примитивности элемента го £ Р(Х)

называется

7г(ш) = min (гапк(Я) \ w £ II С F{X) и w не примитивен в Н} . Если не существует ни одной такой подалгебры Н, то ж(т) = оо.

Теорема 2.20. Пусть Т(Х) является свободным произведением двух собственных подалгебр А и В, Т(Х) = А* В, элементы а £ А, b £ В. Тогда 71>(х)(а + 6) = 7гл{а) + пв{Ь) (считаем, что оо + к = оо + оо = к + оо = оо).

Глава 3 посвящена почти примитивным элементам. В разделах 3.13.3 изучаются почти примитивные элементы свободных шрайеровых алгебр малых рангов: свободных неассоциативных алгебрF(x), F(x,y) ранга 1 и 2 соответственно, свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр А-(х), А-(х,у), А+(х,у) и свободных алгебр Ли Ь(х,у). Доказаны критерии и построены алгоритмы распознавания однородных почти примитивных элементов в этих алгебрах. Построены новые примеры почти примитивных элементов в этих алгебрах.

Теорема 3.3. Однородный элемент и £ F(х) степени d(u) = т ^ 2 является почти примитивным элементом тогда и только тогда, когда в разложение и = и(х) входит одночлен вида х ■ А{х) или вида В(х) ■ х, где А(х), В(х) — одночлены степени d(A) = d(B) = т — 1.

Теорема 3.10. Однородный элемент и £ F(x,y) степени d(u) 3, имеющий каноническое представление

и = и(х, y) = Yl ЪЬ^з + (хА* + УАу + Nxx + Nyy),

где ($j(x,y), $j{x,y)) — различные пары одночленов степени ¿(Ф^-) ^ 2, di^j) 2, d^j) + = т, Ax,Ay,Nx>Ny — однородные элементы

степени d{Ax) = d(Ay) = d(Nx) = d(Ny) = m - 1 или нулевые элементы, коэффициенты jj £ К, является почти примитивным тогда и только тогда, когда не существует такого коэффициента пропорциональности в £ К, что Ах ~ Ау, Nx ~ Ny (Ах = вАу, Nx = 6Ny или 19АХ = Ау, вЫх =

Ny).

Теорема 3.15. Однородный элементи е А-(х) степени d{u) — является почти примитивным элементом тогда и только тогда, когда в разложение элемента и = и{х) входит одночлен вида А ■ х, где А — регулярный одночлен степени d(A) = т — 1.

Теорема 3.18. Однородный элемент и £ А(х, у) степени d(u) =т ^ 3, имеющий каноническое представление

u=J2 -Yj^j + (Ахх + АуУ),

7^0

где (Ф¡{х,у), ^¡{х,у)) — различные пары, регулярных одночленов степени > 2, с£(Ф;) > 2, <1{Ф^) + ¿(Ф;) = т; АХ,АУ — однородные элементы степени <1(АХ) = с1(АУ) = т — 1 или нулевые элементы, 7-,- 6 К, является почти примитивным тогда и только тогда, когда не существует такого коэффициента пропорциональности 9 £ К, что Ах ~ Ау (т.е. Ах — 9АУ или вАх = Ау).

Теорема 3.22. Однородный элемент и е Ь(х, у) степени й(и) = т ^ 3, имеющий каноническое представление

и = (2 + А + IV 2/],

где Ф£ IV — регулярные одночлены со степенями^

2, Ф,-) ^ 2 и с1{[Ф^х,у),Ч!^х,у)}) = + £*(Ф;) = т, АХ,АУ -

однородные элемент,ы, степени (¿(Лж) = д,(Ау) = т — 1 или нулевые элементы,е К, является почти примитивным тогда и только тогда, когда не существует решения уравнения

= + [Ау>У) = и,1]

относительно однородных переменных /, I € Ь(х,у) степени =

т — 1, (1(1) = 1 соответственно, где а — проекция элемента а па

линейное пространство с базисом то есть линейная комбинация,

регулярных одночленов из входящих в каноническое представле-

ние элемента а.

В разделе 3.4 рассмотрена связь между почти примитивностью старшей части элемента и почти примитивностью самого элемента в свободных алгебрах шрайеровых многообразий. Доказано, что элементы вида (... ((ая^хг) • • -)хп + х 1 являются почти примитивными в свободной (коммутативной) неассоциативной алгебре, старшая часть которых не почти примитивна.

Теорема 3.26. Пусть п > 2, X = {ж!,..., хп}. Тогда

1. Пусть элемент и £ Р{Х) не является примитивным элементом в Р(Х), но старшая часть и° является примитивным элементом в любой собственной подалгебре, порожденной однородными образующими, и° £ Н° С Т(Х), Тогда элемент и является почти примитивным элементом в Р{Х);

2. В обратную сторону утверждение 1 верно для однородных элементов;

3. Существуют неоднородные элементы в Р(х,у), для которых в обратную сторону утверждение 1 неверно.

В разделе 3.5 вводится понятие р-числа однородного элемента свободной алгебры шрайерова многообразия и изучаются его комбинаторные свойства.

Определение 3.30. Пусть П° = а^{/гь..., Нк) С Т(Х) - подалгебра Т(Х) с редуцированным множеством Н = {Ль ... однородных свободных образующих. Всякий однородный элемент и ЕН° степени ^ 3, в представление которого не входит линейно никакая, свободная образующая 1ц, имеет следующий вид (считаем, что операция умножения в алгебре 7Г(X) записывается как а-Ь):

и = и(/ц,...,Л0 = + ^ 7(г,Р)ЛрСр+ ^ 7(г,?)АЛ.

7,^0 ЛХ<М=1 <1х(кч)=1

Обозначим через

иАВ = (У^-у^вХ и=( £ 1(1,р)КСр+ £ (1)

' ч«г*(ЛР)=1 <г*(А,)=1 '

где (ЛД/и,..., Л*), ... , Л*)) — различные пары регулярных одно-

членов степени йх{А¡) > 2, йх{В^ ^ 2, йх{А^) + йх(Ву) = д,х(и), СР(Н 1,..., Нь), £79(/ц,..., Нк) — однородные элементы степени. <1Х(СР) = ¿Х{ВЧ) = <1х(и) — 1. Обозначим через множество (возможно пустое) различных свободных образующих /гр степени 1, участвующих в сумме и в представлении (1), через — аналогичное множество свободных образующих Л9. Определим J{u) = Jp\J Jq а Н как множество свободных образующих степени 1, участвующих в представлении элемента и, в качестве множителей некоторых слагаемых "левой" или "правой" скобочной структуры.

Определение 3.31. Если всякая свободно,я образующая подалгебры Н° = а%{/11,..., /ц.}, и Е Н°, где Н = {Л1(..., /ц} — редуцированное множество однородных образующих, не входит линейно в представление старшей части и", то определим рн(и) = И, в противном случае Рн(и) = +оо. Определим рПо (и)

как минимальное значение рн(и), где Н пробегает все редуцированные множества однородных образующих алгебры Н°. Отметим, что р-н°{и)<рн{и) е {0,1,... ,п,+оо}.

Определение 3.32. Для однородного элемента и € Р(Х) степени Лх{и) ^ 3 определим р-число в обозначениях предыдущих определений

следующим образом:

р(и)= тш рн'Ы,

и£Н°СР{Х)

где минимум берется по всем подалгебра,м'И.0 С Р(Х), имеющим редуцированное множество однородных образующих и содержащим однородный элемент и.

В разделе 3.6 доказывается критерий почти примитивности однородного элемента свободной алгебры произвольного ранга шрайерова многообразия в случае степени элемента больше 2 в терминах р-числа элемента, в случае степени элемента равной 2 в терминах ранга элемента. Строятся алгоритмы проверки почти примитивности однородного элемента в обоих случаях.

Теорема 3.34. Пусть и € X) — однородный элемент степени ¿{и) — т > 3. Тогда элемент и является почти примитивным в Т(Х), если и только если р{и) = п= |Х|.

Теорема 3.42. Однородный элемент и 6 Р{Х), X = {жь..., хп}, степени д(и) = 2 является почти примитивным тогда и только тогда, когда элемент и имеет максимальный ранг, то есть гапк(и) = п.

В разделе 3.7 доказывается почти примитивность суммы почти примитивных элементов свободных алгебр шрайеровых многообразий в их свободном произведении, что является усилением ранее известного результата для однородных почти примитивных элементов и аналогом классической теоремы из теории свободных групп.

Теорема 3.42. Пусть Т{Х) является свободным произведением двух собственных подалгебр А и В, Т = А* В. Пусть также а и Ъ являются почти примитивным,и элементами А и В, соответственно. Тогда элемент а + Ь является, почти примитивным элементом Т{Х).

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: д.ф.-м.н., профессору механико-математического факультета МГУ Александру Васильевичу Михалёву и д.ф.-м.н., профессору механико-математического факультета МГУ Александру Александровичу Михалёву за помощь в выборе темы исследования, постановки задач, внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности и поддержку, а также профессору Владимиру Шпильрайну и профессору Елене Игоревне Буниной за ценные советы и обсуждения. Автор благодарен всему коллективу кафедры высшей алгебры за тёплую атмосферу и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] А. В. Климаков, Почти примитивные элементы свободных неассоциативных (анти)коммутативных алгебр малых рангов. Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, матем. мех. 5 (2012), 19-24. Перевод: Almost primitive elements of free nonassociative (anti) commutative algebras of small rank. Moscow Univ. Math. Bulletin 67 (2012), № 5-6, 206-210.

[2] А. В. Климаков, Однородные почти примитивные элементы свободных неассоциативных (анти)коммутативных алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, матем. мех. 6 (2013), 50-54.

[3] А. В. Климаков, А. А. Михалёв, Почти примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр малых рангов. Фундамент, и прикл. мат. 17 (2012), № 1, 127-141. Перевод: Almost primitive elements of free nonassociative algebras of small ranks. J. Math. Sci. 185 (2012), № 3, 430-439. А. В. Климакову принадлежат основные результаты работы. А. А. Михалёву принадлежит введение и общая редакция работы.

[4] А. В. Климаков, Почти примитивные элементы свободных алгебр Ли малых рангов. Фундамент, и прикл. мат. 18 (2013), № 1, 63-74.

[5] А. V. Klimakov, Almost primitive elements of free Lie algebras of small ranks. International Mathematical Conference On occasion the 70th year anniversary of Professor Vladimir Kirichenko, June 13-19, 2012, Mykolayiv, Ukraine, pp. 103-104 (2012).

[6] A. V. Klimakov, Homogeneous almost primitive elements of free non-associative algebras. Международная конференция, посвященная памяти В. П. Шункова "Алгебра и Логика: Теория и Приложения", 21-27 Июля, 2013, Красноярск, Россия, с. 161-163 (2013).

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ICO экз. Заказ №

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Климаков Андрей Владимирович

Обобщенные примитивные элементы свободных алгебр шрайеровых многообразий

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Александр Васильевич Михалёв, доктор физико-математических наук, профессор Александр Александрович Михалёв.

На правах рукописи УДК 512.554

04201458500

ДИССЕРТАЦИЯ

Содержание

1 Введение 3

1.1 Шрайеровы многообразия алгебр....................................3

1.2 Примитивные и почти примитивные элементы....................4

1.3 Краткое описание работы............................................4

2 Примитивные элементы и ранг примитивности 12

2.1 Основные определения и примеры.................12

2.2 Критерии примитивности элемента в свободных алгебрах шрай-еровых многообразий ........................14

2.3 Ранг примитивности и его свойства ................21

3 Почти примитивные элементы 26

3.1 Случай свободной неассоциативной алгебры малого ранга ... 26

3.2 Случай свободной неассоциативной (анти-) коммутативной алгебры малого ранга..........................37

3.3 Случай свободной алгебры Ли малого ранга...........42

3.4 Почти примитивность элемента и его старшей части.......50

3.5 р-число однородного элемента свободной алгебры произвольного ранга.........................55

3.6 Критерии почти примитивности однородного элемента.....56

3.7 Почти примитивные элементы свободного произведения свободных алгебр ............................62

Заключение 64

Список литературы 65

1 Введение

1.1 Шрайеровы многообразия алгебр

Многообразие линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло в теории групп: в 1920-х годах Нильсен [50] и Шрайер [55] доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош [11] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов [22] показал, что многообразие всех алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен также Виттом в [60], где также было доказано, что многообразие всех р-алгебр Ли является шрайеровым).

А. И. Ширшов в [21] показал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и свободных неассоциативных антикоммутативных алгебр свободны. Таким образом многообразие всех коммутативных алгебр (всех антикоммутативных алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалев [13] и А. С. Штерн [23] показали, что многообразие супералгебр Ли является шрайеровым. А. А. Михалев [14] получил этот результат для цветныхр-супералгебр Ли. А. И. Корепанов [9] доказал, что подалгебры свободных суперкоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В. К. Харченко [36] получил обобщение теоремы Ширшова-Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизведением. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков [56] доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны.

У. У. Умирбаев в [17,58] получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеровым, и построил новые примеры шрайеровых многообразий. Подалгебры свободных алгебр многообразий линейных Л-алгебр рассматривались в [1,3,4], шрайеровы многообразия п-лиевых алгебр описаны в [8].

Группы автоморфизмов свободных алгебр конечного ранга шрайеровых многообразий порождены элементарными автоморфизмами (для алгебр Ли этот результат был получен П. Коном [32], а для свободных алгебр шрайеровых многообразий — Ж. Левиным [37]). У. У. Умирбаев [57] получил описание группы автоморфизмов свободной алгебры конечного ранга шрайерова многообразия алгебр в терминах образующих и определяющих соотношений.

1.2 Примитивные и почти примитивные элементы

Подмножество М ненулевых элементов свободной алгебры Т шрайерова многообразия называется примитивной системой элементов, если существует множество свободных образующих алгебры Т, содержащее подмножество М. Используя свободное дифференциальное исчисление, критерии распознавания примитивных систем элементов для свободных (р-)алгебр Ли и свободных (р-)супералгебр Ли были получены в [6,49], для свободных неассоциативных алгебр — в [43]. Алгоритмы распознавания примитивных систем элементов и построение дополнения до множества свободных образующих для свободных неассоциативных, свободных (анти-) коммутативных неассоциативных алгебр были построены (в том числе с компьютерной реализацией) в [15,16,18].

Ненулевой элемент свободной алгебры Т называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры Тно является примитивным элементом в любой содержащей его собственной подалгебре алгебры Т. Почти примитивные элементы в свободных группах изучались в работах [28,33,35,52-54]. Изучение почти примитивных элементов свободных алгебр было начато в работе А. А. Михалева и Дж. Т. Ю [46]. В частности были построены примеры почти примитивных элементов в свободных неассоциативных алгебрах, свободных (р-)алгебрах Ли и (р-)супералгебрах Ли малых рангов. Используя свойства свободного произведения свободных алгебр, были построены серии примеров для свободных алгебр произвольного ранга. В работе А. В. Михалева, У. У. Умирбаева, Дж. Т. Ю [44] рассматривались свободные алгебры Ли и было доказано, что элемент= (&6.х)к(у)-\-(х)(Ав.у)1, где (аЛи)(у) = и * V = (г£)(Ас!г>) и * является операцией умножения, в свободной алгебре Ли Ь{х,у) является почти примитивным при /с, I ^ 2 и к ф I.

1.3 Краткое описание работы Актуальность темы

Классической задачей комбинаторной алгебры является задача распознавание различных комбинаторных свойств объектов. На протяжении последних ста лет проводится изучение свободных структур: свободных групп, свободных модулей, свободных алгебр, их подструктур, элементов, отображений. Исследованию свободных групп и подгрупп были посвящены первые работы Нильсена и Шрайера в 1920-х годах, вопросами неассоциативных свободных алгебр в 1940-60-е годы занимались А. Г. Курош, А. И. Ширшов, их ученики.

На текущий момент основными вопросами свободных шрайеровых алгебр (подалгебры этих алгебр также свободны) являются вопросы распознания примитивных элементов, почти примитивных элементов, автоморфизмов, изучение строений самих алгебр, распознавание комбинаторных свойств элементов. Данные задачи являются не только задачами абстрактной, комбинаторной алгебры, но и компьютерной алгебры.

В последнее время был достигнут значительный прогресс, в том числе за счет применения техники дифференциального исчисления для свободных алгебр, позволившей построить критерии и алгоритмы проверки некоторых свойств объектов, в том числе с последующей компьютерной реализацией. Тем не менее, ряд вопросов об алгоритмической разрешимости некоторых задач до сих пор открыт.

Цель работы

Целью работы является построение критериев и алгоритмов распознавания почти примитивных элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий, а так же построение новых примеров почти примитивных элементов основных типов шрайеровых многообразий.

Научная новизна

Научная новизна данной работы состоит в следующем:

1. Введено новое понятие ранга примитивности элементов свободной алгебры шрайерова многообразия, исследованы его свойства, доказаны формулы для ранга примитивности суммы элементов для свободного произведения алгебр шрайеровых многообразий.

2. Исследованы почти примитивные элементы свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли малых рангов. Получены критерии и построенны алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в этих алгебрах.

3. Исследована связь почти примитивности элемента и почти примитивности его старшей части в свободных алгебрах шрайеровых многообразий, построены новые серии примеров почти примитивных элементов, старшая часть которых не является почти примитивной.

4. Введено понятие р-числа однородного элемента свободной алгебры произвольного ранга, исследованы его свойства, получены критерии и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородного элемента степени более 2 в терминах р-числа, а также алгоритм вычисления /э-числа. Получен критерий почти примитивности однородного элемента степени 2 в терминах ранга элемента.

5. Усилены ранее известные результаты про почти примитивность суммы почти примитивных элементов в свободном произведении свободных алгебр шрайеровых многообразий.

Основные методы исследования

В работе применяется техника символьного вычисления, свободного дифференциального исчисления, методы теории неассоциативных алгебр, методы работы с примитивными системами элементов для свободных алгебр шрайеровых многообразий.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы позволяют алгоритмически решать задачу проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных, в свободных (анти-) коммутативных и в свободных алгебрах Ли.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ;

• на семинарах "Избранные вопросы алгебры", "Теория колец" кафедры высшей алгебры МГУ;

• на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалева, МГУ, Москва, 2010 г.;

• на международной математической конференции, посвященной 70-летию профессора В. В. Кириченко, Николаев, Украина, 2012 г.;

• на конференциях "Алгебра, Комбинаторика, Динамика и Приложения", Белфаст, UK, 2012, 2013 гг.;

• на конференции "Алгебры Ли и Приложения", У писала, Швеция, 2012 г.;

• на международном семинаре "Алгебра и Криптография", CUNY, Нью-Йорк, США, 2013 г.;

• на международной конференции "Алгебра и Логика, Теория и Приложения", посвященной 80-летию В. П. Шункова, Красноярск, 2013 г.;

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце библиографии.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 3 глав (одна из которых является вводной), заключения и библиографии (66 наименований). Общий объем диссертации составляет 70 страниц. Структура работы отражена в оглавлении.

Краткое содержание работы

В первой главе, которая является вводной, дается краткий исторический обзор и формулируются основные результаты диссертации.

Во второй главе (раздел 2.1) вводятся необходимые понятия и обозначения для работы с примитивными и почти примитивными элементами свободных шрайеровых алгебр. Пусть К — поле, X — непустое множество свободных образующих, Г(Х) — свободный группоид неассоциативных одночленов без единичного элемента в алфавите X : X С Г(Х); если и, v £ Г(Х), то и • v £ Г(АТ), где и ■ v — формальное произведение неассоциативных слов. Рассмотрим линейное пространство F(X) над полем К с базисными элементами из множества Г(Х) и умножением

(аа) • (рЬ) = (аР)(а • Ь)

для всех а, /3 £ К, а,Ь £ Г(Х). Тогда F(X) — свободная неассоциативная алгебра. А. Г. Курош [11] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны.

Пусть = Т(Х), алгебра II(Г(X)) — универсальная мультипликативная обертывающая алгебры F(X). Тогда II(Г(X)) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих 5о = {гш, \ ги Е И^о}, где 1Ю и гю — универсальные операторы умножения слева и справа соответственно:

Ъ • 1а — (ас1а)(&) = аЬ, Ь • га = (Ь)(А6.а) = Ьа.

Рассмотрим двусторонний идеал 3\ свободной неассоциативной алгебры Р(Х), порожденный множеством {аЪ — Ъа \ а, Ь 6 Р(Х)}. Тогда факторалгеб-ра А-(Х) = Е(Х)11\ является свободной неассоциативной коммутативной алгеброй с множеством свободных порождающих X.

Предположим множество Г(Х) вполне упорядочено таким образом, что для а, Ь 6 Г(Х) если <1{а) > (1(Ъ), то а > Ь, где ¿{а) — степень элемента а. Построим индуктивно множество всех регулярных коммутативных одночленов: X С И7! и ги Е если ги = иу, и и у — регулярные коммутативные одночлены и и ^ у.

Тогда смежные классы с представителями из множества \¥\ образуют линейный базис факторалгебры А-(Х) = F(X)/J1. Кроме того, универсальная мультипликативная обертывающая алгебра £/(А-(X)) алгебры А-(Х) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих ^х = | ги Е ТА. И. Ширшов [21] доказал, что подалгебры свободных коммутативных неассоциативных алгебр свободны.

Рассмотрим двусторонний идеал свободной неассоциативной алгебры ^(Х), порожденный множеством {аЬ + Ьа \ а, Ъ Е -Р(Х)}. Тогда факторал-гебра А+{Х) = F(X)/J2 является свободной неассоциативной антикоммутативной алгеброй с множеством свободных порождающих X.

Построим индуктивно множество И^ всех регулярных коммутативных одночленов: X С \У2 и ги Е И^, если ги = иу, и и у — регулярные антикоммутативные одночлены и и > у.

Тогда смежные классы с представителями из множества И^ образуют линейный базис факторалгебры А+(Х) = Р{Х)/12- Кроме того, универсальная мультипликативная обертывающая алгебра 11(А+(Х)) алгебры А+{Х) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих £2 = | и) Е И^}. А. И. Ширшов [21] доказал, что подалгебры свободных антикоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В дальнейшем мы будем рассматривать свободные (анти-) коммутативные алгебры над полем К характеристики сЬаг К ^ 2.

Рассмотрим двусторонний идеал I алгебры Р(Х), порожденный элемен-

тами {а2, (аб)с-Ь (Ъс)а + (са)Ъ | а, 6, с £ ^(Х)}. Тогда факторалгебра Ь{Х) = Р{Х)/1 является свободной алгеброй Ли с множеством свободных порождающих X. Умножение в этой алгебре будем обозначать лиевым коммутантом [,] и использовать запись в левонормированной форме: [х,у,г\ = [[ж,?/], г]. А. И. Ширшов [22] доказал, что подалгебры свободных алгебр Ли свободны. Универсальной обертывающей алгебры Ли Ь(Х) является свободная ассоциативная алгебра -Р(Х) с линейным базисом 8(Х) ассоциативных одночленов.

Построим индуктивно множество IV всех регулярных одночленов для алгебры Ь{Х)\ X С Ж; т £ если ги = [и, у], и и у — регулярные одночлены и и > у, если и = [^1,^2], то и2 ^ у. Тогда V/ — базис Ь{Х) как линейного пространства.

Далее под алгеброй Т понимается одна из рассмотренных выше алгебр F(X), А+(Х), Ь{Х). А под линейным базисом алгебры Т и множе-

ством свободных порождающих алгебры и^Т7) понимаются соответственно

щ и

Подмножество М алгебры Т называется независимым, если М является множеством свободных образующих подалгебры а^{М} С Т7, порожденной подмножеством М. Подмножество М = {а^} ненулевых элементов алгебры Т называется редуцированным, если для любого г старшая часть а? элемента (Хг не принадлежит подалгебре алгебры Т, порожденной множеством {а? | ] Ф г}. Рангом множества Н С Т — 3~{Х) называется минимальное число свободных образующих из X, от которых может зависеть образ ф(Н), где ф пробегает группу автоморфизмов алгебры Т (другими словами, тапк(Н) — наименьший ранг свободного фактора алгебры Т, содержащего множество Я).

Подмножество М различных ненулевых элементов алгебры Р{Х) называется примитивным, если существует такое множество У свободных образующих алгебры Т{Х), Т{Х) = Т{У\ что М С У. Если X — {х\,..., хп},

X) = ^(У), У — множество свободных образующих алгебры ^(Х), то |У| = |Х| = п. Соответственно, элемент и алгебры ^(Х) называется примитивным, если он является элементом некоторого множества свободных образующих алгебры Т{Х). Ненулевой элемент и алгебры Т{Х) называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры ^{Х), но является примитивным в любой собственной подалгебре % С ^(Х), содержащей его, и ЕИ.

Далее (раздел 2.2) разбираются основные критерии и способы проверки примитивности элементов (на основе символьного вычисления, дифференциального исчисления, факторизации и свободного произведения). Строится

важный пример не примитивного элемента специального вида (Предположение 2.12). Затем (в разделе 2.3) вводится понятие ранга примитивности элемента свободной алгебры, изучаются его комбинаторные свойства и доказывается Теорема 2.20 о ранге примитивности суммы элементов при свободном произведении алгебр. В процессе доказывается Лемма 2.19 о строении критических подалгебр свободного произведения, которая пригодится далее в вопросе изучения почти примитивных элементов.

Первая часть третьей главы (разделы 3.1—3.3) посвящена исследованию свободных шрайеровых алгебр малых рангов: идет накопление примеров и свойств почти примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр -Р(я), Р(Х->У) ранга 1 и 2 соответственно, свободных к�