Группы с нильпотентным коммутантом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАПШИНА ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА

ГРУППЫ С НИЛЬПОТЕНТНЫМ КОММУТАНТОМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск — 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры и логики Иркутского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Блудов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Копытов кандидат физико-математических наук Г.Т. Козлов

Ведущая организация: Омский государственный

университет им. Ф.М. Достоевского

Защита состоится 28 апреля 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.174.01 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан 19 марта 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.174.01, кандидат физико-математических наук

7 А.Д. Больбот

юз ws/j

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию групп с нильпотентным коммутантом1. Основные вопросы, рассматриваемые в диссертации, — это оценка примитивной ширины свободных групп многообразий разрешимых групп и некоторых их подмногообразий и вопросы упорядочиваемое™ групп многообразий 9ТС21 и

Примитивная ширина свободной в некотором многообразии группы является естественным обобщением вербальной ширины. Изучению примитивной и вербальной ширины посвящались работы Ф. Холла, Ю.И. Мерзлякова, В.А. Романько-ва, А. Ремтуллы. В 1996 году Е.Г. Смирновой были получены оценки для примитивной ширины свободных метабелевых групп 2. В диссертации изучается вопрос примитивной ширины групп из многообразий разрешимых групп, полинильпотент-ных групп и групп из многообразий 1 и 219^.

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это упорядочиваем ость групп. Теория упорядочиваемых групп берет свое начало с характеристики архимедово упорядочиваемых групп, полученной Гельдером в начале двадцатого столетия. Дальнейшие результаты уже датируются концом сороковых годов прошлого века, когда К. Ивасава и А.И. Мальцев независимо друг от друга получили описание структуры упорядоченных групп в терминах выпуклых подгрупп. В тоже время А.И. Мальцев и Б. Нейман доказали, что упорядоченные группы вкладываются в упорядоченные поля частных. С тех пор теория упорядочен-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант X' 03-01-

2Smirnova Е G. On a decomposition of an element of a free metabelian group as a product of primitive elements // Вестник Омского Университета, 1996 j 2 С 8-10.

00320

ных групп привлекает к себе большое внимание и развивается быстрыми темпами. Особый вклад в развитие теории линейно упорядоченных групп внесли А.И. Кокорин, Д.М. Смирнов, В.М. Копытов, В.В. Блудов, Н.Я. Медведев, А. Гласс, А. Рем-тулла и другие.

Одной из основных задач теории упорядочиваемых групп является изучение взаимосвязи между свойствами упорядочиваемое™ и теоретико-групповыми условиями, такими как нильпотентность, разрешимость, конечность ранга и т.д. В этом направлении были получены результаты об упорядочиваемое ти нильпотентных групп без кручения, метабелевых и центрально-метабелевых групп без Г -кручения, а также других классов групп 3 4.

А. Ремтуллой было доказано, что отсутствие Г-кручения — необходимое условие упорядочиваемости всякой группы — является также достаточным для группы с нильпотентным коммутантом конечного ранга5. Будет ли упорядочиваема группа без Г-кручения с нильпотентным коммутантом произвольного ранга оставалось до сих пор неизвестным. В диссертации строится пример неупорядочиваемой группы с двуступенно нильпотентным коммутантом без Г-кручения. и тем самым вопрос получает отрицательный ответ.

Что касается доупорядочиваемости групп, из теоремы Ре-месленникова 6 следует, что свободные нециклические группы многообразий 9ТС21, с > 1 недоупорядочиваемы. Будут ли доупорядочиваемы свободные группы многообразий 2l9tfc; к > 1 пока неизвестно. Отметим, что мноообразия OîcStplSWlfc содержат многообразия метабелевых и нильпотентных групп,

3Кокорин А И , Копытов В M Линейно упорядоченные группы - M Наука, 1972

4Mura R , Rhemtulla A H Orderable groups LN in Pure and Appl Math Marcel Dekker Inc , N Y., Basel, 1977

5см примечание 4, Lemma 4.1.4

6см примечание 3, Следствие 4, гл VI, § 1

чьи свободные группы, как было получено, доупорядочиваемы. Отсюда естественно возникает вопрос о доупорядочиваемости I групп без Г-кручения из этого пересечения многообразий.

Обе темы исследований — примитивная ширина относительно свободных групп и вопросы упорядочиваемости групп — ' связаны единым объектом исследований, в основном, это груп-

пы с нильпотентным коммутантом, а также единой методикой исследований, вычислением коммутаторных соотношений.

Цели работы:

• оценка и вычисление примитивной ширины относительно свободных групп из многообразий 91с21 и 210^;

• исследование вопроса об упорядочиваемости (доупорядочиваемости) групп без Г-кручения из многообразия

адгда*;

• исследование вопроса о упорядочиваемости (доупорядочиваемости) групп без Г-кручения из многообразия 9ТС21.

Методика исследования. Использованы методы теории упорядочиваемых групп и комбинаторной теории групп.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп, при чтении специальных курсов лекций по алгебре и при написании монографий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на Международной конференции по теории групп (Екатеринбург, 2001), Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2002), Международной конференции "Алгебра, логика и кибернетика"(Иркутск,

2004), II Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 2003), а также неоднократно докладывались на семинарах Иркутского государственного университета и Иркут- ^ ского государственного педагогического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубли- {

кованы в работах [1] — [6].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 8 параграфов, заключения и списка литературы (29 названий), занимает 50 страниц текста, набранного в системе ЖС^Х. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе — номер теоремы, леммы, следствия или примера.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К основным результатам диссертации относятся теоремы 2.3, 2.4, 3.2 и 4.1.

Во введении дается обоснование актуальности темы исследований.

Первая глава является вводной. В первом параграфе

поясняется терминология и основные обозначения, принятые в работе. Во втором параграфе дается определение примитивной ширины относительно свободной группы и приводятся известные оценки примитивной ширины свободных метабеле-вых и свободных абелевых групп, получающие обобщение во второй главе. Третий параграф посвящен изложению основных понятий и некоторых известных результатов по теории упорядоченных групп, тематике исследований третьей главы диссертации.

Во второй главе исспедуется примитивная ширина относительно свободных групп из многообразий 9ТГ21 и Первый параграф носит вспомогательный характер. Во втором

параграфе доказываются первые два основных результата диссертации (теоремы 2.3 и 2.4)

Теорема 2.3 Для любого многообразия групп И свободные группы одинаковых рангов многообразий 9ТС.Ц, с Е N и 2Ш- имеют одинаковую примитивную ширину.

Мы используем эту теорему и известные оценки примитивной ширины свободных абелевых и метабелевых групп, чтобы получить оценки примитивной ширины нильпотентных групп и групп с нильпотентным коммутантом, отраженные в

Следствие 2.2 Примитивная ширина свободной нильпо-тентной группы N конечного ранга п, п > 2 равна 2.

Следствие 2.3 Примитивная ширина свободных групп ранга п многообразий с £ N не превосходит четырех,

а примитивная ширина свободных групп ранга два из таких многообразий равна трем.

В теореме 2.4 указана связь примитивной ширины группы из многообразия 21Д с рангом и оценкой примитивной ширины относительно свободных групп из многообразия И:

Теорема 2.4 Если примитивная ширина свободной группы ранга п многообразия И ограничена числом т > 2, то примитивная ширина свободной группы ранга п многообразия 2111 не превосходит числа т + п — 1.

Эта теорема позволяет нам оценить примитивную ширину относительно свободных групп из многообразия

Следствие 2.4 Примитивная ширина свободных групп ранга п многообразий ¿с С N ограничена сверху числом

п + 1

Кроме того, как следствие из теорем 2 3 и 2.4, мы получаем оценки примитивной ширины полинильпотентных, в частности, разрешимых групп-

Следствие 2.5 Примитивная ширина свободной поли-нилъпотентной группы ранга п и класса (1, к-2, - - ■ Д6), й > 2 ограничена сверху числом 4 + (б' — 2){п— 1)

Следствие 2.6 Примитивная ширина свободной разрешимой группы ранга п и ступени в >2 ограничена сверху числом 4 + (й — 2)(п — 1).

Следствие 2.7 Примитивная ширина свободной поли-нильпотентной группы ранга п и класса (кх,..., к3), $ > 2 ограничена сверху числом 2 + — 1)(п — 1).

Отметим следующее. Следствие 2.7 для групп из многообразий 21дает нам ту же оценку, что и следствие 2.4. Следствие 2.5 ограничивает примитивную ширину свободных мета-беяевых групп и групп с нильпотентным коммутантом сверху 4, но нам уже известны более точные оценки, представленные в теоремах 1.4, 1.5 и следствии 2.3. Примитивную ширину по-

линильпотентной группы класса (1,^2____; к3) можно оценить

с помощью следствий 2.5 и 2.6, причем последнее дает более точную оценку, если число порождающих п > 3. При п — 3 оценки совпадут.

Третья глава посвящена вопросу доупорядочиваемости групп из многообразия 9ТС21П . Исходя из известных признаков доупорядочиваемости, для доказательства доупорядочиваемости группы (7 из данного многообразия нам достаточно будет показать, что элементы ее нормальной абелевой подгруппы А, фактор-группа по которой нильпотентна ступени не выше к, удовлетворяют некоторому свойству. Это свойство может быть сформулировано в терминах групповых эндоморфизмов. Таким образом, мы переходим к рассмотрению кольца эндоморфизмов нормальной абелевой подгруппы, порожденного внутренними эндоморфизмами группы (7. В первом параграфе доказывается, что мультипликативная полугруппа указанного кольца нильпотентна по Мальцеву Во втором параграфе, используя это свойство, доказываем третий основной результат диссертации'

Теорема 3.2 Группа С из многообразия 219Т/Г доупо-

рядочиваема тогда и только тогда, когда она без Г-кручения.

В четвертой главе строится пример неупорядочиваемой группы с нильпотентным коммутантом без Г-кручения, и тем самым доказывается четвертый основной результат диссертации:

Теорема 4.1 В многообразии групп с нильпотентным коммутантом I, с > 2 существуют неупорядочиваемые группы без Т-кручения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

На защиту выносятся следующие результаты.

1 Для любого многообразия групп U свободные группы одинаковых рангов многообразий Otcil, с 6 N и Ш1 имеют одинаковую примитивную ширину.

2. Если примитивная ширина свободной группы ранга п многообразия Н ограничена числом m > 2, то примитивная ширина свободной группы ранга п многообразия 21U не превосходит числа m + n- 1.

3 Группа G из многообразия П доупорядочивае-ма тогда и только тогда, когда она без Г-кручения.

4. В многообразии групп с нильпотентным коммутантом существуют неупорядочиваемые группы без Г-кручения.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Блудов В.В., Лапшина Е.С. Вопросы упорядочения групп с нильпотентным коммутантом//Межд конф. "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. — Красноярск, 2002. — С. 19-20.

2. Блудов В.В., Лапшина Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом// Сиб. мат жур - 2003. - Т. 44, № 3. - С. 1-8.

3. Лапшина Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом// Вестник Иркутского Университета. Специальный выпуск: Материалы ежегодн. научн.-теор. конф. молодых ученых. — Иркутск: ИГУ, 2001. — С.79.

4. Лапшина Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом// Межд. семинар по теории групп, посвященный 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина.: Тез. докл. — Екатеринбург: Ин-т мат. и мех. УрО РАН; Изд-во Урал. Ун-та, 2001. - С. 128-129.

5. Лапшина Е.С. О примитивной ширине относительно свободных групп// "Чебышевский сборник", Т. IV. Вып. 1(5).:Труды V Межд. конф. "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2003. - С. 94-100.

6. Лапшина Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом// "Алгебра, логика и кибернетика- материалы межд. конф.": Тез. докл. — Иркутск, 2004. — С. 64-

65.

Формат бумаги 60 х 84 1/16. Объем 0,7 п.л. Заказ 10. Тираж 75 экз. Отпечатано в ОКИС ЦНИТ ИГУ 664003, Иркутск, б. Гагарина, 20

It

РНБ Русский фонд

2005-4 42016

ч

\

wt J •

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общие понятия.

1.2 Примитивные элементы и примитивная ширина группы.

1.3 Упорядочиваемые группы.

Глава 2. Примитивная ширина относительно свободных групп

2.1 Вспомогательные результаты.2С

2.2 Оценки примитивной ширины групп из многообразий тд.

2.2 Оценки примитивной ширины групп из многообразий Шк.

Глава 3. Доупорядочиваемость групп без Г-кручения из многообразия П

3.1 Нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов Епс1(С, Л).

3.2 Основной результат.

Глава 4. Пример неупорядочиваемой группы без Г-кручения с двуступенно нильпотентным коммутантом

Диссертация посвящена исследованию свойств групп с пиль-потентным коммутантом и групп, являющихся расширениями абелевых групп с помощью нильпотентных. При этом рассматриваются вопросы оценки примитивной ширины свободных групп многообразий с G N, и ШЛд., к £ N, и вопросы упорядочиваемости и доупорядочиваемости групп с ниль-потентным коммутантом.

Понятие примитивной ширины свободной в некотором многообразии группы было введено В.А. Романьковым в связи с проблемой автоморфной сопряженности элементов группы. Эта проблема связана с более широкой проблемой строения групп автоморфизмов относительно свободных групп, исследование которой нашло отражение в ¡заботах С. Андреадакиса, С. Ба-хмута, P.M. Брайента, К. Гупты, Н. Гупты, О.Н. Мацедонской, Ф. Левина, В.А. Романькова, В. Шпильрайна и др. (см. [22, 24, 25, 27, 30, 37, 38]). Ученицей В.А. Романькова Е.Г. Смирновой были получены оценки примитивной ширины свободных абелевых и метабелевых групп (см. [3G]).

В диссертации по оценке примитивной ширины были получены следующие результаты. Примитивная ширина свободных нильпотентных нециклических групп равна 2 (следствие 2.2), примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразий с е М, не превышает четырех, а примитивная ширина свободных двухпорожденных групп таких многообразии равна трем (следствие 2.3). Примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразий 2101а-, к Е М, ограничена сверху числом 2 и, примитивная ширина свободных групп ранга?? > 2 многообразия 210^2 ограничена сверху числом п + 1 (теорема 2.4). Также получены оценки примитивной ширины свободных по-линильпотентных групп многообразий с, Л: Е N (следствие 2.4).

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопросы упорядочиваемости групп. Теория упорядочиваемых групп берет свое начало с характеристики архимедово упорядочиваемых групп, полученной Гельдером в начале двадцатого столетия. Дальнейшие результаты уже датируются концом сороко-' вых годов прошлого века, когда К. Ивасава и А.И. Мальцев независимо друг от друга получили описание структуры упорядоченных групп в терминах выпуклых подгрупп. В тоже время А.И. Мальцев и Б. Нейман доказали, что упорядоченные группы вкладываются в упорядоченные поля частных. С тех пор теория упорядочиваемых групп привлекает к себе большое внимание и развивается быстрыми темпами. Особый вклад в развитие теории линейно упорядоченных групп внесли А.И. Кокорин, Д.М. Смирнов, В.М. Копытов, В.В. Блудов, Н.Я. Медведев, А. Гласс, А. Ремтулла и другие.

Одной из основных задач теории упорядочиваемых групп является изучение взаимосвязи между свойствами упорядочиваемости и теоретико-групповыми условиями, такими как нильпотентность, разрешимость, конечность ранга и т. д. В этом направлении были получены результаты об упорядочиваемости нильпотентных, метабелевых, центрально-метабелевых и других классов групп (см. [8, 35]). Одним из важных направлении в исследованиях по теории упорядочиваемых групп является изучение роли нильпотентности и ее обобщений (центральные системы выпуклых подгрупп, энгелевость и др.). С.А. Гурчен-ков (см. [4]) доказал теорему о вложении линейно упорядоченных групп в линейно упорядочение группы с полной нормальной локально нильпотентной подгруппой. U.K. Ким и А.Х. Рем-тулла (см. [32]), основываясь на работе Н.Я. Медведева (см. [19]), доказали нильпотентность ограниченно энгелевых линейно упорядоченных групп. Отметим также работы В.М. Копы-това и Н.Я. Медведева (см. [9]), В.В. Блудова, A.M.У. Гласса и А.Х. Ремтуллы (см. [26]), в которых изучались линейно упорядоченные группы с центральной системой выпуклых подгрупп.

• В диссертации исследуется вопрос об упорядочиваемости и доуиорядочиваемости групп без Г-кручения из многообразий 0Тс21П2Шь с, к 6 N. Известно, что если некоторое многообразие Ш раскладывается в произведение двух нетривиальных многообразий: ЯЯ = 9Я\ • Ш?2 н при этом многообразие содержит некоммутативные группы, то нециклические свободные группы многообразия Ш недоупорядочиваемы (В.Н. Ремесленников, см. теорему 1.22). Тем самым нециклические свободные группы многообразий с > 1, недоупорядочиваемы. Будут ли доупорядочиваемы свободные группы многообразий к > 1, пока неизвестно. Отметим, что до настоящего времени было известно только два примера многообразии, чьи свободные группы доупорядочиваемы, - это многообразия нильпотентных групп любой заданной ступени нильпотентности (А.И. Мальцев, см. теорему 1.17) и многообразие метабе-левых групп (В.М. Кокорип, см. теорему 1.18). Поскольку пересечение многообразий 2191k и 9ТС21 содержит как многообразие метабелевых, и так и нильпотентных групп, то естественно возникли вопросы об упорядочиваемости и доупорядочива-емости групп без Г-кручения из этого многообразия. Этот вопрос решен в диссертации положительно: доказана доупорядо-чиваемость групп без Г-кручения из многообразий 01С21П2101^., с, к е N (теорема 3.2).

Отсутствие в группе Г-кручения является необходимым, а для некоторых классов групп (метабелевые, центрально-метабе-левые группы, (локально) нильпотентные группы) и достаточным условием упорядочиваемости группы. То, что это условие недостаточно в общем случае, показали примеры, построенные В.В. Блудовым и А. Ремтуллой (см. параграф 1.3). Вопрос о достаточности отсутствия Г-кручения для упорядочиваемости групп с нильпотентным коммутантом (групп из многооразий О?с21, с Е N) до сих пор оставался открытым. Многообразие центрально-метабелевых групп, для которых рассматриваемое условие является критерием упорядочиваемости, включается в каждое из многообразий с > 2, при этом ни одного примера неупорядочиваемой группы из этих многообразий без Г-кручения известно не было. В 1977 году А. Ремтулла доказал, что всякая группа конечного ранга с нильпотентным коммутантом без Г-кручения упорядочиваема (см. теорему 1.23). В диссертации показано, что для бесконечного ранга это неверно: построен пример неупорядочиваемой группы с двуступенно нильпотентным коммутантом без Г-кручения.

Обе темы исследований — примитивная ширина относительно свободных групп и вопросы упорядочиваемости групп — связаны единым объектом исследований, в основном, это группы с нильпотентным коммутантом, а также единой методикой исследований, вычислением коммутаторных соотношений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказано, что для любого многообразия групп 11 свободные группы одинаковых рангов многообразий 97Д1, с Е N, и 2Ш имеют одинаковую примитивную ширину.

2. Получена оценка примитивной ширины свободных нециклических групп многообразий 9ТС21, с Е N. Вычислена примитивная ширина свободных групп ранга 2 многообразий тс%, с Е N.

3. Получена оценка примитивной ширины свободных нециклических конечнопорожденных групп многообразий 2191а-и ОТеОТь с Е N,k Е N.

4. Доказано, что отсутствие Г-кручения является необходимым и достаточным условием доупорядочиваемости группы из многообразий 2107а- Г)97с21, с, к Е N.

5. Построен пример неупорядочиваемой группы без Г-кручения, коммутант которой двуступенно нильпотентен.

1. Блудов В.В. Пример неупорядочпваемой грушш со строго изолированной единицей // Алгебра и логика. — 1972. — 11, № G. С. C19-G32.

2. Блудов В.В., Лапшина Е.С. Вопросы упорядочения групп с нильпотентным коммутантом // Тез. докл. межд. конф. "Алгебра и ее приложения", 5-9 авг. 2002 г. — Красноярск, 2002. С. 19-20.

3. Блудов В.В., Лапшина Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом // Снб. мат. жур. — 2003. — Т. 44, ^ 3. С. 1-8.

4. Гурченков С.А. О пополнении инвариантных локально нильпотентных подгрупп линейно упорядоченных групп // Матем. заметки. 1992.- 51, jV 2. - С. 35-39.

5. Каргаполов М. П., Мерзляков Ю. II. Основы теории групп AL: Наука, 1982. - 288 с.

6. G. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. — М: Наука, 1974. — 455 с.

7. Кокорин А.И. К теории доупорядочиваемых групп // Алгебра и логика. 19G3. - 2, jVG. - С. 15-20.

8. Кокорин А.II., Копытов B.AI. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972. - 200 с.

9. Копытов D.M., Медведей Н.Я. О линейно упорядоченных группах, система выпуклых подгрупп которых центральна // Матем. заметки. 1976. - 19, jV 1. - С. 85-90.

10. Копытов В.М., Медведев Н.Я. Правоупорядоченные группы. — Новосибирск: Научная книга, 199G. — 255 с.

11. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 19G7. — 648 с.

12. Лапшина Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом // Вестн. Ирк. ун-та. Специальный выпуск: Материалы ежегодн. научн.-теор. конф. молодых ученых. Иркутск: ИГУ, 2001. - С. 79.

13. Лапшина Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом // Тез. докл. межд. сем. по теории групп, посвященного 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина, 17-21 дек. 2001 г. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. С. 128-129.

14. Лапшина Е.С. О примитивной ширине относительно свободных групп // "Чебышевский сборник": Труды V Межд. конф. "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2003. — Т. IV, Вып. 1(5). С. 94-100.

15. Лапшина Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом // Тез. докл. межд. конф. "Алгебра, логика и кибернетика", 25-28 авг. 2004 г. Иркутск, 2004. - С. 64-65.1G. Линдон P., Шуип П. Комбинаторная теория групп. — М: Мир, 1980. 448 с.

16. Мальцев А.И. Ннльпотеитные полугруппы. Избранные труды. М.: Наука, 1976. - Т. I - С. 335-339.

17. Мальцев А.II. О доупорядочешш групп // Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1951. 38 - С. 173-175.

18. А1едведев Н.Я. Об о-анирокснмируемости ограниченно эн-гелевых ¿'-групп // Алгебра и логика. —1988.— 27. — С. 418-421.

19. Нейман X. Многообразия групп. — М.: Мир, 1969. — 264 с.

20. Романьков В.А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. — 1982. — 21, jV9 1. — С. 60-72.

21. Романьков В.А. Примитивные элементы свободных групп ранга 3 // Математический сборник. — 1992. — 182, Х°-7. — С. 1074-1085.

22. Холл М. Теория групп. М: Изд. Иностр. лит., 1962.- 468 с.

23. Andreadakis S. On the automorphisms of free groups and free nilpotent groups // Proc. London Math. Soc. — 1965. — 15, jV3. P. 239 - 268.

24. Bryant R.M., Macedonska 0. Automorphisms of relatively free nilpotent groups of infinite rank //J. Algebra. — 1989. — 121, jVs 2. P. 388-398.

25. Chehata C.G. On a theorem on ordered groups // Proc. Glasgow. Math. Assoc., 1958. 4. - P. 16-21.

26. Glass A.M.W. Partially ordered groups. Series in algebra, World Scientific Po. Co., Singapore, 1999. 7.

27. Gupta C.K., Levin F. Tame range of authomorphism groups of free polynilpotent groups // Comm. Algebra. — 1991.— 19. P. 2497-2500.

28. Gupta N.D., Rhemtulla A.H. On ordered gpoups // Algebra Universalis. 1971. - 1. - P. 129-132.

29. Y.K. Kim and A.H. Rhemtulla. Orderable groups satisfying an Engel condition. Ordered Algebraic Structures, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993. — P. 73-79.

30. Longobardi P., Maj M. and Rhemtulla A. On Solvable Regroups. (To appear).

31. Mura R., Rhemtulla A.H. Solvable R*-groups. // Math. Z. -1975. -142. P. 293-298.

32. Shpilrain V. Allelomorphisms of F/R' groups // Internat. J. Algebra Comput. 1991. - 1. - P. 177-184.

33. Shpilrain V. Non-commutative determinants and automorphisms of groups. // Comm. Algebra. — 1997. — 25. — P. 559-574.