Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр и групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

§ I. Формулировки результатов и предварительные сведения

§ 2. Доказательство теоремы i'

ГЛАВА II

§ I. Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения.

§ 2. Теорема 21 : редукция

§ 3. Доказательство леммы 2.

ГЛАВА III

§ I. Формулировка и обсуждение реультата, предварительные сведения.

§ 2. Доказательство теоремы

§ 3. Доказательство леммы 3.

Теория многообразий алгебр Ли и теория многообразий групп -сравнительно молодые области современной алгебры, изучающие алгебры Ли и группы с точки зрения тождеств, которые выполняются в них. Время появления теории многообразий групп относится к 30-м годам текущего столетия, а период наиболее интенсивных исследований в этой области охватывает последние 20-25 лет. Первые работы, посвященные собственно теории многообразий алгебр Ли, появились в 1967-1968 годах, хотя отдельные крупные результаты, которые можно отнести к этой теории, были получены раньше.

Как в теории многообразий алгебр Ли, так и в теории многообразий групп одно из центральных мест занимает вопрос о конечной базируемости тех или иных многообразий, иногда формулируемый также как вопрос о конечности базиса тождеств определенных алгебр Ли или групп. Приведем некоторые из полученных в связи с этим в теории многообразий алгебр Ли результатов. Первые примеры многообразий алгебр Ли над полем характеристики , не являющихся конечно базируемыми, построил М.Воон-Ли В указанных им многообразиях каждая алгебра Ли центрально-метабелева. В.С.Дренски и Ю.Г.Клейман (не опубликовано) независимо обобщили результат М.Воон-Ли на случай, когда основное поле имеет произвольную конечную характеристику. Ими были построены примеры многообразий алгебр Ли с нильпотентным ступени р коммутантом над полем характеристики р , не являющихся конечно базируемыми. Отметим, что вопрос о существовании многообразий алгебр Ли над полем характеристики 0 , не допускающих конечного базиса тождеств, на настоящий момент остается открытым.

Если В.С.Дренски JV] и Ю.Г.Клейман обобщили результат М.Воон-Ли [VJ, то И.Б.Воличенко jj3j недавно существенно уточнил его. И.Б.Воличенко указал в многообразии центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики оЬ подмногообразие, не допускающее конечного базиса тождеств и являющееся наименьшим среди центрально-метабелевых многообразий с -этим свойством, ото подмногообразие - первый известный пример почти конечно базируемого многообразия алгебр Ли ^т.е. многообразия, не допускающего конечного базиса тождеств, все собственные подмногообразия которого, однако, конечно базируемы) .

В.С.Дренски £2J построил пример конечномерной алгебры Ли с нильпотентным коммутантом над бесконечным полем конечной характеристики, не имеющей конечного базиса тождеств. В случае бесконечного поля характеристики й такой пример содержится и в работе М.Воон-Ли . Отметим, что конечномерная алгебра Ли над конечным полем конечна, а потому в силу известного результата Ю.А.Бахтурина и А.Ю.Ольшанского J имеет конечный базис тождеств.

Наряду с указанными, были получены результаты и иного характера. М.Воон-Ли заметил, что результат Д.Коэиа о конечной базируемости метабелевых многообразий групп может быть перенесен на метабелевы многообразия алгебр Ли. Затем также М.Воон-Ли . доказал, что тождества любого многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики Ф ^ имеют конечный базис. Позже Р.Брайнт и М.Воон-Ли jVj показали, что над полем характеристики Ф % тождества каждой алгебры Ли с нильпотентным ступени ^ коммутантом также имеют конечный базис. Последний результат был обобщен Г. Б.Шейной j~8 J на алгебры Ли над полем характеристики S , имеющие нильпотентный коммутант и одновременно являющиеся расширением нильпотентной ступени 4 Э алгебры Ли с помощью нильпотентной. Отметим, что статьи и [8] близки по методу доказательства появившейся ранее работе

I>] •

Важное наблюдение, касающееся многообразий алгебр над полем характеристики 0 , удовлетворяющих всем тождествам некоторой конечномерной алгебры, было сделано Ю.П.Размысловым J. Оказалось, что такие многообразия могут быть заданы тождествами от конечного, не превышающего размерности указанной алгебры, числа переменных. 5то наблюдение было использовано Ю.П.Размысловым, в частности, для доказательства конечной базируемости многообразий алгебр Ли над полем характеристики 0 , в которых выполнены все тождества простой трехмерной алгебры Ли [io] .

После появления работ В.С.Дренски и Ю.Г.Клеймана, Р.Брайнта и М.Воон-Ли j? J , ГО.П.Размыслова jjoJ и Г.В.Шейной £ 8J возрос интерес к вопросу о конечности базиса тождеств алгебр Ли с нильпотентным коммутантом над полем характеристики

О . Этот интерес стимулировался и тем, что в теории многообразий ассоциативных алгебр близкая проблема была успешно решена Г.К.Геновым £llj и В.Н.Латышевым jj2 J , одновременно и независимо доказавшими, что над полем характеристики 0 тождества алгебры с нильпотентным (в ассоциативном смысле) лиевым коммутантом имеют конечный базис. Однако после появления работы Г.В.Шейной [j3J новых результатов в связи с этим вопросом получить не удавалось.

В диссертации доказывается, что в отличие от случая, когда основное поле имеет конечную характеристику, над полем характеристики 0 тождества любой алгебры Ли с нильпотентным коммутантом имеют конечный базис (теорема . Отсюда следует, в частности, что над полем характеристики 0 тождества любой конечномерной разрешимой алгебры Ли имеют конечный базис, что также, как указывалось выше, неверно в случае бесконечного поля конечной характеристики.

Пусть Li - свободная алгебра многообразия ил ть ь всех алгебр Ли с нильпотентным ступени 4 с коммутантом над полем 'й характеристики 0 , свободно порожденная 11 элементами.

Хорошо известно, что многообразие ]f(/r0L порождается алгеброй Ли всех верхнетреугольных матриц порядка С, поэтому в силу указанного выше наблюдения Ю.П.Разшслова [9J теорема I эквивалентна утверждению об обрыве (при любом натуральном С^) возрастающих цепей вербальных идеалов в L, ^ для достаточно большого натурального Т1 , зависящего от О .Из индукционных соображений следует, что при этом можно ограничиться цепями вербальных идеалов, лежащих в

ПЛ. - последнем Нетривиальна (Сг) . ном члене нижнего центрального ряда коммутанта алгебры L ^ .

Пусть fv - подкольцо в кольце ЕЕтис^ (CL»,*, у \ порожденное ' \ 4 иСс) ограничениями на \ I—t ^ всевозможных эндоморфизмов алгебры

Ли )—j ^^, ~ ^ Г^/ кольЦ° многочленов ОТ С переменных над полем , IS^" подалгебра симметрических многочленов в . Фактически в диссертации вопрос о нетеровости

-модуля (L ^)^сводится к вопросу о нетеровости как -модуля. Поскольку вербальные идеалы алгебры , лежащие в (1д „ Л , являются 15 -подмодулями в ГL> ) ^ .

П u Сс) q 4 iWCc) а то, что к,. - нетеров к>Л-модуль, хорошо известно, отсюда

1 2L следует справедливость теоремы I.

При доказательстве теоремы очень полезными оказываются вербальные сплетения алгебр Ли, введенные А.Л.Шмелькиным в и доказанная им в той же работе теорема вложения. В целом метод доказательства теоремы I отличается от методов, примененных как в [6]- jV) , так ив [II]- [l2] . Отметим, что впоследствии-В.В.Стовба (не опубликовано} обобщил теорему I. В.В.Стовба доказал, что над полем, содержащим не менее р элементов, любое многообразие, определяемое тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных, каждая алгебра Ли.которого является расширением нильпотентной алгебры ступени не выше р — i с помощью нильпотентной, конечно базируемо.

Как уже указывалось выше, вопрос о конечности базиса тождеств занимает одно из центральных мест и в теории многообразий групп. Приведем те из полученных в связи с этим вопросом результатов, которые теснее других связаны с результатами, полученными в диссертации.

А.Ю.Ольшанский |l4] показал, что существуют многообразия групп, не являющиеся конечно базируемыми, причем такие многообразия встречаются уже среди многообразий разрешимых ступени 5 групп. Несколько позже С.И.Адян р5J , а затем М.Воон-Ли jj6j построили бесконечные системы групповых тождеств, не эквивалентные никакой конечной системе (две системы тождеств называются эквивалентными, если они определяют одно и то же многообразие) . В связи с этим усилился интерес к проблеме отыскания достаточно широких классов групп, тождества которых обладают конечным базисом, и особенно к проблеме конечности базиса тождеств полициклических групп (см., например, 17 , проблема 1.8б). Так как каждая полицшслическая группа содержит подгруппу конечного индекса, имеющую нильпотентный коммутант, это, в свою очередь, стимулировало изучение вопроса о конечной бази-руемости многообразий групп с нильпотентным коммутантом. Отметим, что еще задолго до появления работы А.Ю.Ольшанского £l4TJ Р.Линдон [ЗВ] доказал, что тождества любого нильпотентного многообразия тлеют конечный базис. Позже Д.Коэн j , используя разработанную Г.Хигменом р9] комбинаторную технику, получил аналогичный результат для метабелевых многообразий. Обобщая результаты Р.Линдона и Д.Коэна, М.Воон-Ли [20 J доказал конечную базируемость многообразий, каждая группа которых является расширением абелевой группы с помощью нильпотентной и одновременно расширением нильпотентной группы с помощью абелевой. (конечную базируемость всех подмногообразий многообразия, определяемого тождеством гр- -л г -Л р, fl-JJ =f независимо доказал также И.Д.Иванюта [^21J ) . Следующий шаг был сделан С.Макки [22 J , доказавшей конечную базируемость всех многообразий центрально-метабелевых групп, и, более того, конечную базируемость многообразий, удовлетворяющих тождеству

Ц?"/ > -Х'ч]' Х-5 } <гъ \ ~ i при некотором (jipn получаем многообразие центрально-метабелевых групп). В этой же работе С.Макки доказала конечную базируемость многообразий групп с нильпотентным ступени ^ % коммутантом, имеющих конечный аксиоматический ранг, т.е. определяемых тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных. Определенное обобщение результата С.Макки [^22j о центрально-метабелевых шогообразиях было получено Г.В. Шейной [23 J . Наконец, Р.Брайнт и М.Ньюмен [24J , несколько упростив и усовершенствовав технику С.Макки, доказали конечную базируемость многообразий, каждая группа которых тлеет нильпо-тентный коммутант и одновременно является расширением нильпо-тентной ступени 4 % группы с помощью нильпотентной. В частности, была доказана конечность базиса тождеств произвольного многообразия групп с нильпотентным ступени 4 2/ коммутантом.

Как обнаружено в [25J , техника Р.Брайнта и М.Ньюмена [24] может быть успешно применена для доказательства конечной бази-руемости многообразий групп, являющихся расширениями нильпотент-ных групп с помощью абелевых конечного периода. Из результата [25J , в частности, следует конечность базиса тождеств произвольной сверхразрешимой группы. Что же касается проблемы конечности базиса тождеств произвольной группы с нильпотентным коммутантом, то здесь, как и в аналогичной проблеме для алгебр Ли, в последние годы сдвигов не было. Оставалось даже неясным, являются ли конечно базируемыми многообразия групп с нильпотентным коммутантом, определяемые тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных, т.е. имеющие конечный аксиоматический ранг. Оказалось, что с помощью метода, предложенного для доказательства теоремы I, можно дать утвердительный ответ на последний вопрос (теорема 2) .

С) нетривиальном члене нижнего центрального ряда коммутанта группы F . Пусть - подкольцо в Euci/ГF~ ^J' noPosWeHHoe

Фактически для доказательства теоремы 2 нужно показать, что в свободной группе F многообразия всех групп с нильпотент-ным ступени 4 С коммутантом, имеющей произвольный конечный ранг, обрываются возрастающие цепи вербальных подгрупп. Как следует из индукционных соображений, при этом можно ограничиться цепями вербальных подгрупп, лежащих в - последнем мутанта групг

I, порожденное г /t') ограничениями всевозможных эндоморфизмов группы г на [I , кольцо многочленов от С переменных над кольцом целых чисел . Так же, как и в доказательстве теоремы I, вопрос о нетеровости 5 -модуля CF (q^ сво~ дится к вопросу о нетеровости Q как модуля на^ некоторым по^кольцом после чего доказывается, что IQ,^ - нетеров

12 а -модуль. Так как каждая вербальная подгруппа группы р , I ч ^ЧХ лежащая в (г / (с) ' является ^ -модулем, отсюда следует справедливость теоремы 2.

При доказательстве теоремы 2 существенно используются вербальные сплетения групп, введенные А.Л.Шмелькиным [26] .Отметим, что если каждое многообразие алгебр Ли с нильпотентным ступени 4 С коммутантом над полем характеристики 0 может быть определено тождествами от Л/ переменных, где число J\/ зависит только от С , то для многообразий групп аналогичное утверждение места не имеет. Нетрудно показать, что число переменных в тождествах, необходимых для задания многообразия всех групп, являющихся ме-табелевыми и одновременно нильпотентными ступени 4 d , неограниченно возрастает с ростом .

Проблема конечности базиса тождеств групп с нильпотентным ступени ^ С коммутантом эквивалентна вопросу: обрываются ли в свободной группе счетного ранга F" многообразия всех групп с нильпотентным ступени ^ С коммутантом возрастающие цепи вербальных подгрупп. До сих пор, однако, не было даже известно, обрываются ли (при С > в F~ возрастающие цепочки изолированных вербальных подгрупп. В диссертации дается утвердительный ответ на последний вопрос (теорема 3") . В доказательстве теоремы 3 используется конструкция, примененная для дорсазатель-ства теоремы I, а также (с необходимыми усовершенствованиями) обычная в работах по данному вопросу техника Г.Хигмена £l9j .

Теорема 3 допускает и другую формулировку. Групповое тождество U- естественно называть следствием тождеств в категории групп без кручения, если Ur является тождеством в любой группе без кручения, где являются тождествами или, что эквивалентно, если лежит в изоляторе вербальной подгруппы, порожденной . По аналогии с определением базиса тождеств группы в классе всех групп естественно считать, что тождества -ufg,. группы без кручения Сг образуют базис тождеств Q в категории групп без кручения, если все остальные тождества группы Q являются следствиями (в категории групп без кручения) тождеств -US. у -uS . Отметим, что сб существуют группы без кручения, тождества которых в категории групп без кручения не допускают конечного базиса; это нетрудно вывести из существования групп, тождества которых не допускают конечного базиса в классе всех групп. Теорема 3, однако, утверждает, что тождества группы с нильпотентным коммутантом в категории групп без кручения имеют конечный базис.

В заключение подчеркнем, что выше были упомянуты далеко не все результаты, полученные в связи с вопросом о конечной базируемое™ в теории многообразий алгебр Ли и в теории многообразий групп, а лишь те, которые идут в том же направлении, что и полученные в диссертации результаты, или имеют к последним непосредственное отношение.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе диссертации доказывается, что тождества любой алгебры Ли с нильпотентным коммутантом над полем характеристики 0 имеют конечный базис. Вторая глава посвящена доказательству конечной бази-руемости многообразий групп с нильпотентным коммутантом, имеющих конечный аксиоматический ранг. В третьей главе диссертации показывается, что в категории групп без кручения тождества любой группы с нильпотентным коммутантом имеют конечный базис. В начале каждой главы приводятся определения и известные результаты, используемые в главе.

1. Vaughan - Lee M.R. Varieties of Lie algebras. -Quart. J. Math. ( 2), 21 ( 1970 ), 297 - 308

2. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли. - Алгебра и логика, 13 (1974), 265-290.

3. Воличенко И.Б. О многообразиях центрально-метабелевых алгебр Ли. - йн-т математики АН БССР, препринт. 1980, № 16/96.

4. Бахтурин Ю.А., Ольшанский АЛО. Тождественные соотношения в конечных кольцах Ли. - Мат. сб., 96 (1975), 543-559.

5. Cohen D.E. On the laws of the metabelian variety.-J. Algebra, 5 9(1967),267 -273.

6. Vaughan -Lee M.R. Centre -by -metabelian Lie algebras.-J.Austr. Math. Soc., 15 (1973), 259 - 264.

7. Bryant R. 1.1., Vaughan -Lee M.R. Soluble varieties of Lie algebras. Quart. J. Math. (2), 23 ( 1972 ), 107 -112.

8. Шеина Г.В. О некоторых многообразиях лиевых алгебр. -Сиб. матем. ж., 17 (1976), 194-199.

9. Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PI -алгебрах. - Алгебра и логика, 13 (1974), 337-360.

10. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр. - Алгебра и логика, 13 (1974), 685-693.

11. Генов Г.К. О шпехтовости некоторых многообразий над полем характеристики 0. - Comptes rendus de l'Academie bulgare des scientes 29 ( 1976 ), 939 - 941.

12. Латышев B.H. Частично упорядоченные множества и нематричные тождества ассоциативных алгебр. - Алгебра и логика, 15 (1976), 53-70.

13. Шмелькин А.Д. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп. - Тр. Моск. матем. о-ва, 29 (l973), 247-260.

14. Ольшанский А.Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах. - Изв. АН СССР, сер. матем., 34 (1970), 378-384.

15. Адян С.И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств. - Докл. АН СССР, 190 (1970), 499-501.

16. Vaughan - Ъее M.R. Uncountable many varieties of groups. -Bull. London Math. Soc., 2 (1970), 280-286.

17. Коуровская тетрадь (нерешенные проблемы теории групп). - 8 изд., Новосибирск, 1982.

18. Lyndon R.C. Two notes on nilpotent groups. -Proc. Amer. Math. Soc.,3?( 1952 ), 579 - 583.

19. Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras.- Proc. London Math. Soc. (3), 2 (1952),326-336.

20. Vaughan - Lee M.R. Abelian by nilpotent varieties.-Quart. J. Math. (2), 21 (1970), 193-202.

21. Иванюта И.Д. Про в1дносно вхльнх групи, близьки до метабелевих. - Допов1Д1 АН УРСР, 1970, А, № 6, 490-493.

22. McKay S. On centre -by - metabelian varieties of groups.-Proc. London Math. Soc. (3), 24 (1972), 243 - 256.

23. Шеина Г.В. О конечности базиса тождеств некоторых многообразий групп. - Сиб. матем. ж., 14- (1973), 1356-1359.

24. Bryant R.M., Newman M.F. Some finitely bases varieties of groups.- Proc. London Math. Soc. (3), 28 (1974),237-252.

25. Красильников А.Н., Шмелькин A.JI. О шпехтовости и базисном ранге некоторых произведений многообразий групп. -Алгебра и логика, 20 (l98l), 546-554.

26. Шмелькин A.JI. Сплетения и многообразия групп. - Изв. АН СССР, сер. матем., 29 (1965), 149-170.

27. Bahturin Ju. A. Lectures on Lie algebras. - Berlin, Acad -Verl., 1978.

28. Шмелькин А.Л. Замечание к моей работе"Сплетения и многообразия групп". -Изв. АН СССР, сер. матем., 31 (1967), 443-444.

29. Magnus \V. On a theorem of Marshall Hall.-Ann. of Math. 40 (1939), 764 - 768.

30. Bachmuth S. Automorphisms of free metabelian groups.-Trans. Amer. Math. Soc., 118 (1965), 93-104.

31. Нейман X. Многообразия групп. - M., Мир, 1969.

32. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. -М., Наука, 1982.

33. Красильников А.Н. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли. - Вестник МГУ, сер. матем.мех.,1982, № 2, 34-38.

34. Красильников А.Н. О тождествах в группах с нильпотентным коммутантом. - ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция, тезисы сообщений, ч. I, с. 104.

35. Красильников А.Н. О тождествах в группах с нильпотентным коммутантом. - МГУ, Москва, 37 с. ( рукопись депонирована вВИНИТИ 25 августа 1983 года Ш 4644 - 83 Деп).