Нильпотентные алгебры близкие к коммутативным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/'! СУ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Т7

На правах рукописи СТРОГОВИЧ Кирилл Александрович

УДК 512.8

НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ БЛИЗКИЕ К КОММУТАТИВНЫМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена на кафедре Высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор ЯКОВЛЕВ Анатолий Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

ПАНИН Иван Александрович, кандидат физико-математических наук НЕСТЕРОВ Владимир Викторович.

Ведущая организация — Российский государственный педагогический университет имени А. И. Герцена.

Защита состоится « Ъъ»сииимI 1997 г. в ¿, у- часов на заседании Диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф. Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал заседаний 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « 2А. * 1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Р. А. ШМИДТ

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение структур, имеющих коммутативный закон умножения, является одной из наиболее важных задач алгебры с очень широким крутом приложеппп. Ввиду этого полезно рассмотреть класс алгебраических объектов близких по своим свойствам к коммутативным, с одной стороны перенося на него результаты коммутативного случая, а с другой - получая более общий подход к ряду классических вопросов. Настоящая диссертация, посвящйнная нильпотентным алгебрам и линейным многообразиям матриц, слунот выполнению указанной программы. Отметим при этом, что исследование цпльпотенпгых структур оказывается особешго полезным в теории шпротных алгебр и многообразий, поскольку к выяспенгао их свойств сводится решение многих задач общего случая.

Изучение коммутативных матричных алгебр было начато з работах классиков Фробенпуса, Шура [16] и Жордава ¡13] как ввиду самостоятельного интереса п большой важности дайной темы, так н благодаря её связям с другими попросамн математики. Полученные ими результаты развивались в дальнейшем во многих направлениях с использованием различных методов. Применение теории колец и модулей, осуществлённое Н. Дэкекобсоиом [12], было продолжено рядом авторов [8], [9], [ 11]. А. И. Мальцев |4] с помощью систем корней распространил теоремы Шура о коммутативных подалгебрах полной матричной алгебры на все простые алгебры Ли. В последнее время найдены связи матричных многообразий различные типов с монокомпозицношшми алгебрами, изученные А. Т. Гайповым [1|. Автором настоящей диссертации были применены методы линейной алгебры, использование которых началось в работах М. Ф. Кравчука [2], [3] и продолжено Д. А. Супруненко и его школой |5], |6|, [7]. Матричпые методы

дали возможность решить ряд новых задач и получить иные подходы ко многим важным вопросам, среди которых особо выделим использование данной методики применительно к физическим теориям [14], [15], [17]. В целом наличие интересных н многообещающих проблем, а также обширного спектра приложений, делает данную тсматиху весьма актуальной для изучения.

Цель работы

Целью диссертации является изучение абстрактных и матричных ннльпотснтных алгебр и многообразий близких по своим свойствам к коммутативным, включающее решение задач об изоморфизме, сопряжённости и размерности объектов этого типа.

Основные результаты работы

Главными результатами диссертации являются решение задачи о верхней границе размерности для введённых в работе аннуляторяых подалгебр полной матричной алгебры, решение проблемы Шура -Мальцева о коммутативных нилыютеигных и антикоммутативных матричных многообразиях различных типов наивысшей размерности, а также описание с точностью до изоморфизма ангикоммутативных ассоциативных алгебр размерности с1 ^ 6 и описание с точностью до сопряженности максимальных антикоммутативных подмногообразий полной матричной алгебры М(п, К) при п<,1 (случаи <1 = 6 и п = 7 рассмотрены для квадратически замкнутого поля К).

и

Методика исследований

В работе попользованы методы линейной алгебры, теории алгебр и теории классических групп.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методика её исследований применимы в линейной алгебре, алгебраической геометрии, теории алгебр, теории групп я некоторых вопросах теоретической физнкн.

Апробация результатов диссертации

Результаты работы докладывались на научно-технической конференции 1993 года в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете и алгебраическом семинаре имени Д. К. Фадеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук

Публикации

По теме диссертации автором опубликованы четыре работы 118|. [19], [201, [211.

Объём и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделённых на 7 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 42 позиции. Нумерация формул, лемм и теорем, а также параграфов ведётся отдельно для каждой главы. Диссертация занимает 135 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении к диссертации даСтся кратюп! обзор ей результатов и сделаны некоторые пояснения.

Первая глава состоит нз двух параграфов. В первом параграфе введены понятия левоаннуляторных и правоаннулягорных алгебр. Прежде чем сформулировать их, скажем, чго множество элементов произвольной алгебры N, удовлетворяющих условию aN = 0. называется левым аннулятором алгебры N и обозначается Ann, N. Соответственно множество элементов b е N, удовлетворяющих условию Nb = 0, называется правым аннулятором алгебры N и обозначается Ann г N.

Определение. Ассоциативная алгебра N называется левоаннулягорной, если она нильпотеетна и Ann, N с Annr N. Если выполняется обратное включение, то алгебра N называется правоаинуляторной.

Д анное понятие аннуляторносги является в ннльпотенпюм случае обобщением коммутативности. К аннуляторным алгебрам относятся нилыюгентые коммутативные, антикоммутативные и другие важные типы алгебр. На аннуляторные подалгебры полной матричной алгебры М(п, К) нами перенесены результаты для коммутативных нильпотентиых матричных подалгебр, полученные в статьях М. Ф. Кравчука (2), (3) и весьма полно освехц£нные в книге [5]. Прн помощи методов этих работ и наших собственных для аннулягориых матричных подалгебр введена нормальная форма аналогичная форме Кравчука коммутативного случая и изучены её свойства. С использованием этой формы доказана следующая теорема

Теорема. Размерность левоаннуляторной или правоаинуляторной подалгебры алгебры М(п. К) для

произвольного поля К не превосходит чиста [—], где [ J

4

обозначает целую часть числа. Эта грапвцз достпгается при любом п2 2.

Данный результат (составляющий теорему 4 главы перзой п её следствие) является наиболее шпрохпм обобщением теоремы Шура длл коммутативных пплыютеоттшх матрнчпых подалгебр о том, что пх разнерпость пе прегосходкт указанной границы

п2

[—]. Эта важная тгсрема, сперзиз доказанная в статье [ 16],

с£сбщалгсь и пгргдоказиЕалась в ряде работ до самого последнего гремеяп [3], {9], £101, [11] пря помощи матричных н тсо|кггшз>г.ольц£гых методов.

В параграф2 2 газ^кготся аптнкоммутатиБнке матршшые алгсбрн и шюгсобразиз. Jlnnsifeoe многообразие N пад прогпполышм ггаяш К тазькаетсл Э1гппсо?хмутатзш1гым, если определено про:гзкдепне его элемеотоз и выполнено расепст) а2 = 0 для л!обого а m N. Условге а2 = 0 влечёт равенство ab = - ba для всех а и b пз N. На аптпкоммутатшшке подмшгшбраззи алгебры М(п, К) перенесена нормальная фор?,»а Кравчука, с помощью которой доказана теорема (теорема 10 главы 1) о том, что размерность этих подешегообразпй не

У!

пгесосходит числа [ — I. Данная гранита явлаггея точной при 4

любом п > 2. Указанная оценка существенно уточняется в теореме 11 главы 1.

Теорема. Размерность аипшшмутапгоного псямкогосбразпя N алгебры М(п, К) класса нильпотентности k ä 3 не

(п-2к~1 +2)2 прегесходит числа [---J + 2 -2.

Для к = 3. 4 эта оценка, как показано дальше в первой главе, оказывается точной.

Глава 2 посвящена изучению ассоциативных антикоммутативных алгебр как абстрактных, так и матричных. Отметим, что ассоциативная антикоммутаг ивная алгебра N над полем К характеристики не равной двум, удовлетворяет равенству N3 = 0, то есть - класс её нильпотентности не превышает трёх.

В первом параграфе второй главы рассматриваются регулярные представления абстрактных ангикоммутативных алгебр и определены свойства этих представлений. Далее в параграфе 2 доказаны теоремы о том, что над бесконечным полем К характеристики отличной от 2 и 3 существует бесконечное число неизоморфных ассоциативных антикоммутативных алгебр размерности d, если d > 10, и бесконечное число несопряжёиных максимальных антикоммутативных подалгебр алгебры М(п, К) при n > 11 (теоремы 5 и 6 главы 2 соответственно). Это является перенесением на антикоммутативный случай результатов Д А. Супруненхо из работы [5] о коммутативных ннльпотеитньхх алгебрах. С другой стороны в этом же параграфе построен конечный список всех неизоморфных ассоциативных ангикоммутативных алгебр размерности d<6 класса нильпотентности 3 над полем К любой характеристики (при d = 6 поле К предполагается квадратически замкнутым, что означает разрешимость в поле К уравнения х* = а для любого элемента а из К). В третьем параграфе при помощи указанных результатов второй главы найдены с точностью до сопряжённости все максимальные антнкоммутативные подалгебры алгебры М(п. К) при п < 7 ятя поля К произвольной характеристики (при п = 7 ноле К предполагается квадратически замкнутым). Список этих подалгебр конечен с точностью до сопряжённости. Согласно результатам главы I при п ¿7 класс нильпотентности антикоммутативных подмногообразий алгебры М(п. К) не превышает трёх Отсюда вытекает, что данная классификация

рсшаст такие вопрос о списке несопрюкйдаых максимальных антпкоммугатнвных подмногообразий полных матричных алгебр порядка не выше семя.

В третьей гласе, которая состоит пз даух параграфов, изучаются шльпотепткые многообразия матриц, элементы которых сохраняют снмметрнчпую или кососнммггрячную

форму J, то есть удовлетворяют равенству aJ = ± Ja г, где а -

т

матрица из многообразия, а - матрица транспонированная по

отношению к а, ]т = ± J. В случае когда aJ - Ja 7 = 0, матрица

т

а называется J-стшетрячной, в случае же равенства aJ + Ja = = 0, матрица а называется J-кососнмметрнчной. Матрица Q

называется J-ортогональиой, если QJQ 7 = J. В дальнейшем многообразия матриц, сохраняющих ферму J, будем называть многообразнямн J-матриц. Всюду в третьей главе форма J предполагается невырождепной.

В параграфе 1 главы 3 показано, что для нильпогептпого шюгообразня N J-матриц выполнено равенство Ann , N= = Aim r N, то есть N является аинулягорным многообразием. Далее на произвольные нильпотенгные многообразия J-матриц перенесены результаты главы 1 об аннуляторкых алгебрах н многообразиях. А именно, получена нормальная форма, соответствующая нормальной форме Кравчука, для нилыютегггных многообразий J-матриц и доказаны теоремы, определяющие свойства этой формы. При помощи данных результатов в следующем параграфе найдены точные верхние границы размерности коммутативных иилыютенгных и антиком мутативных подмногообразий J-матриц атгебры М(п, К), а также решён вопрос о числе несопряженныч между собой подмногообразий, имеющих наивысшую возможную размерность (поле К предполагается алгебраически замкнутым полем характеристики не равной двум) Как уже говорилось.

И. Шурой была найдена точная верхняя граница размерности пнлыюшгтной коммутативной подалгебры алгебры М(п, К). А. И. Мальцев решил задачу нахождения коммутативных кплъшпжгаых подалгебр Еаюшсшей размераостн для всех простых алгебр Лн над алгебраически замкнутым шлем харахгервспвш ноль при помощи исследования систем корней и указал их число с точностью до сопряжённости. Мы, используя матричные методы, обобщаем эти результаты Шура - Мальцева в нескольких направлениях для классического случая. А именно, рассматриваем как коммутативные многообразия, изученные Шуром н Мальцевым, так и аягикоммутатпвньш, »роме того, наши результаты относятся кг только к J-кососнмметрачньш многообразиям, соответствующим случаю алгебр Ли [4], но таше к ]-с1Шыегрцчиьт многообразнш наггрвц. Пересечение указанных исследований с нашими в случае коммутативных алгебр Лн вмест место лишь для полей нулевой характеристики, в то время как результаты диссертации относятся к полям произвольной харастеркстнка не равной двум, так что и здесь получено обобщение теоремы Шура - Мальцева. Далее в параграфе два указывается метод, позволяющий уточнить данные результаты, распространяя их на нняьпотенпше подмногообразия J-иатрнц заданного класса нильпотентности. Основной результат главы 3 может быть сформулирован следующим образом.

Теорема. Существует единственное с точностью до J-ортогональной сопряжённости ннльпотентное коммутативное илн аиггакоммутатшшое подмногообразие J-штрцц алгебры М(п, К), имеющее наивысшую размерность. Здесь форма J предполагается везырожденпой, поле К алгебраически замкнуто и имеет характеристику отличную от двух, п £ По и По зависит от типа рассматриваемых подмногообразий, ко во всяком случае теорема справедлива при п > 10 (случаи малых п исследованы отдельно).

-п-

Данпая теорема объединяет сохкрлапне теорем 6, 7. 9,11 главы 3.

Заключение содержит описание результатов автора по теме диссертации, которые не вошли в неё.

Литература

1. Гайвоз А. Т. Ангакоммупфующпв штрпцы н их праяшяеипе к мотокомпознцяоняым алгебрам // Стгб. мат. ух,- 1939. - Т. 30, №6. С. 58 - 64.

2. Кравчук M Ф. О группах перестапогочяых матриц // Сосбд. Харьков, мат. о-ва Сер. 2.-1914,- Т. 2. №4,- С. 163 - 176.

3. Кравчук М. Ф. О структуре пересгашгочпьк групп штрпц// Тр. 2-го Всесоюзн. мат. съезда. -1934.-Т.2 - С. 11 -12.

4. Мальцев А. П. Коммупгппшые подалгебры полунроешх алгебр Ля // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1945,- Т. 9,- С. 291-300.

5. Супруиенко Д. А. О машшальных коммутативных подалгебрах полной линейной алгебры // УМН.- 1956,- Т. 2,-Бып. 3(69).- С. 181 - 184.

6. Супрупепко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрацы. Минск: Наука и техника, 1966.

7. Фам Вьет Хунт. Верхняя граница для размерности коммутативных ннльпотенпшх подалгебр алгебры матриц // Изв. АН БССР. Сер. фаз,- мат.- 1987,- №3,- С.110 -111.

8.Cowsik R. A short noie on the Shur - Jacobson theorem // Proc. Amer. Math. Soc.- 1993,- V.U8, №2. - P. 675 -676.

9. Gustafson W. On maximal commutative algebras // J. Algebra. -1976,- V. 42, т.- P. 557 - 563.

10. Hart R. A note on algebras of nilpotent matrices // Arch. Math.-1961,- V.12.-P. 324 - 329

11. Herzer A.. Huppert В. Ein Satz von I. Schur über vertausebbaren Matrizen// Lin. Alg. and Appl.- 1985 - V. 71,- P. 151 - 158.

-1212. Jacobson. N. Schubs theorems on commutative matrices // Bull. Amer. Math. Soc.-1944,- V. 50, №6,- P. 431 - 436.

13. Jordan C. Reduction d'un réseau de formes quadratiques ou bilinéaiies H J. de Math..-1906,- V. 2. - P. 403 -438.

14. Kalnins E., Winternitz P. Maximal abelian subalgebras of complex Euclidean Lie algebras // Can. J. Phys.- 1994,- V. 72, №7-8,-P. 389 - 404.

15. Olmo M., Rodriguez M., Winternitz P., Zassenhaus H. Maximal abelian subalgebras of pseudounitaiy Lie algebras // Lin. Alg. and AppL- 1990,- V. 135,-p. 79-151.

16. Schur 1. Zur Theorie der vertauschbaren Matrizen // J. Crelle.-1905.-Bd. 130- S.66 - 76.

17. 7assenhaus R, Winternitz P. Maximal abelian subalgebras of real and complex symplectic Lie algebras // J. Math. Phys.- 1983 -V. 24, №8,-P. 1973 - 1985.

Работы автора по теме диссертации

18. Строгович К. А. О размерности антнкоммутативных матричных алгебр // Ред. ж. Веста. С.- Петерб. гос. ун-та. Сер. мат., мех., астрой,- С.-Петербург, 1995.- 7 е.- Деп. в ВИНИТИ 22. 06. 95, №1802- В95.

19. Строгович К А О бесконечных семействах антнкоммутативных матричных алгебр // Ред. ж. Веста. С -Петерб. гос. ун-та. Сер. мат., мех., астрон,- С.-Петербург, 1995 - 6 с. -Деп. в ВИНИТИ 22. 06. 95, №1803- В95.

20. Строгович К. А. Об одном обобщения теоремы Шура // Ред. ж. Вести. С.- Петерб. гос. ун-та. Сер. мат., мех., асгрон,-С.-Петербург, 1995,- 7 е.- Деп. в ВИНИТИ 22.06. 95, №1804-В95.

21. Строгович К. А. Максимальные антакоммутативные подалгебры алгебры М(п, К), n S 6 // Ред. ж. Вестн. С.- Петерб. гос. ун-та. Сер. мат., мех., астрой.- С.-Петербург. 1995,- 12 с.-Деп. в ВИНИТИ 22. 06. 95, №1805- В95.

ИЦСПБГМТУ Зак. 852 тир. 100 14. 03. 97