Лиевы и йордановы гомоморфизмы ассоциативных колец с инволюцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

,7' ^ '! > л V

МОСКОВСКИЙ ОРДЧНА ЛЕНИНА,ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ Ч ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

механико-математическиП факультет

На правах рукописи УДК 512.552

ЛАГУТИНА Людмила Алексеевна

ЛИЕВЫ 11 ПОРДАНОВЫ ГОМОМОРФИЗМЫ АССОЦИАТИВНЫХ КОЛЕЦ С ИНВОЛЮЦИЕП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискачио ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва. 1902 г.

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел математического факультета Алтайского университета.

Научниа руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Ю.Н. Мальцев Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук К.И.Бейдар - доктор физико-математических наук А.А.Туганбаев Ведущая организация - Московский педагогически!!

государственны» университет

Защита диссертации состоится //^СО^иЯ 1992г.. в 16.СО. на заседании специализированного Совета Л.053.05.05. при Московском государственном университете им.И.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, МоскЕа, Ленинские гори, МГУ, аудитория 14-08.

С днссертациеп можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан У / 1992 г.

УченыП секретарь специализированного у/ Совета Д.053.05.05. при МГУ, доктор ///-к '

I/ X I

физико-математических наук» профессор Й;'Н|Чу0арчкоБ

Актуальность темы. Характеризацил аддитивных отображения ассоциативных колец, берущая начало в 40-е годи из задач проективной геометрии, является актуальным направлением современно» алгебры. В 1961 г. И.Н.ХерстеПн сформулировал ряд проблем по теории колец,среди которых были вопросы по изучению лиевых и иордановых гомоморфизмов ассоциативных колец с инволюцией.Обзор результатов, полученных в исследованиях по кольцам с ннволшиеп и аддитивным отображениям, определенным, п частности, па ассоциативных кольцах с инволюцией. можно найти в его монографиях [1],[2]. а также в докладе профессора В.Мартнндейла на конференции по теории колец ( Ohio University.197б)[3].

Для произвольной ассоциативно!! алгебри R над полем F с инволюцией *: R - R определим множество симметрических относительно инволюции * элементов IHR,*)-(r*P./r' -г} и множество ко-сосимметрическнх относительно инволюции * элементов K(R, R/r"--г}. Оба множества являются F-подмодулчми алгебры R, но не являются подалгебрами ассоциативной алгебры R.

Если на R ввести операции симметризованного пропзведечия х » y-xytух,коммутирования [x,yj=xy-yx для произвольных x,y«R, то F-модуль H(R.«) является йордановой алгеброй относительно

1. Herstein I.N. Rings with involution. Chicago Lectures in mathematics. Chicago and London: the University of Chicago Press. 1976.

2. Kerstein I.II. Topics in ring theory. Univ. of Chicago Press. 1969.

3. Martindale W.S. Lie and Jordan mapping in associative rings.// Pros, of the Ohio Univ. con', ring theory. -New-York: Marsel Dekker, 1976.

операции симметризованного произведения, a F - модуль K(R,») является алгеброй Ли относительно операции коммутирования [х,у]- ху-ух.Таким образом; с ассоциативной алгеброй R связанц неассоциативпые алгебры H(R,*) и K(R,*).

В данной диссертации изучается вопрос, в какой мере строение ассоциативной алгебры R определяется его множествами ко-сосимметрических и симметрических элементов? А именно: пусть R И S - ьссоциатквные алгебры с инволюциями 'Г и С соответственно, причем H(R.3r)^H(S.T) ( как Пордановы алгебры). Будут ли изоморфны ассоциативные алгебры R и S? Аналогично можно сформулирозать вопрос в случае изоморфизма алгебр Ли кососим- . метрических элементов.

Пусть-J - подпространство ассоциативной алгебры R, замкнутое относительно операции х<>у-ху+ух. Назовем линейное отображение f:J - S, где S - ассоциативная алгебра,

а) йордановым гомоморфизмом, если f(xy+yx)-f(x)f(y) + f(y)î(x):

б) йордановым дифференцированием, если f(xy+yx)-fx(y)+f(y)y► + yf(x) ♦ f{y)x для произвольных элементов x,y«J.

Наиболее значительный результат в исследовании йордановых гомоморфизмов в случае ассоциативных колец с инвол циея принадлежит В.Мартиндейлу [4].

Теорема А. Пусть R - кольцо с инволюцией ». содержашее три ортогональных симметрических идемпэтента е,, , е, таких, что e,*ei-keJ-l и Re^R-R, i-1,2,3. Если V- иорианов гомоморфизм H(R.*) в ассоциативное кольцо S, то V единственным образцы может быть расширен до гомоморфизма R в S.

4. Vartindale W.S. Jordan .ho.uomorphisnis of the symmetric elements of a ring with involution // J. Algebra. 1Do7, -V.5., p. 232 - 24&.

В качестве следствия Получена теорема о продолжении пор-данова дифференцирования d: II(R, *) R до дифференцирования в R. если R удовлетворяет условиям предыдущей теорем». . Но наличие трех иДемпоТентов является достаточно сильным ограничений!.! на кольцо R.

В Связи с перечисленными выше результатами B.C. МартиндеЛ-лом были сформулированы следующие вопроси 15]:

Вопрос 1. а) Нельзя лп ослабить условия на идемио-тенти d теореме А ? б) Возможно лп вообще отказаться от наличия идемпотелтов в теореме А, предположив при зтом, что кольца R и S являются Простыми ? в) Можно ли доказать теорему Л только при условии, что правы!) анпулятор каждого из идеалов Re^R. 1-1.2.3, равен нулю ?

В о п р о с 2. Пусть R - простое кольцо с инволюцией ♦ : R •* R (достаточно большой размерности над центром). Верно ли, что всякое дифференцирование d: H{R,*) -» R продолжается до дифференцирования в R?

Отметим , что большой интерес и сложность представляет также изучение аналогичных вопросов о том, насколько ассоциативная алгебра R с инволюцией *: R R определяется алгеброй Ли кососимметрических элементов K(R,»)?

Целью работы является изучение возможности приближения йорданова гомоморфизма симметрических элементов и лиева Гомоморфизма кососимметрических элементов ассоциативными гомоморфизмами.

Методы исследования. В диссертации используются комбинаторные методы теории ассоциативных и неас-

5. Martlndals W.S. Lie and Jordan mappings.// Cuntemp. Math., 198Я. - V.13.- p. 173 - 178.

социативных колец и, в частности, метод Е.И.Зельманова, предложенный в работах [6-8], посвященных классификации первичных Пордановых алгебр и тройных Порданових систем.

Научная новизна. Все результаты диссератции являются новыми н заключаются в следующем:

1).Существенно расширен класс алгебр,для которых справедлива теорема Мартиндейла о продолжаемости гомоморфизма порданових подалгебр симметрических элементов ассоциативных алгебр с инволюцией до гомоморфизма ассоциативных алгебр. (Теорема 1.Ы)

2).Теорема Мартиндейла о продолжаемости йорданова дифференцирования симметрических элементов ассоциативно!! алгебры с инволюциеп до дифференцирования всей алгебры расширена на класс простых алгебр без условия на идемпотеиты. (Теорема 1.3.1)

3).Доказано .что тройной Йорданов гомоморфизм алгебр кососимметрических. элементов ассоциативных алгебр с инволюцией продолжается до ассоциативного гомоморфизма в случае простых алгебр (достаточно большой размерности над центром).(Теорема 2.1.1)

4).Для простои ассоциативной алгебры с инволюцией и нетривиальным идемпотентом найдена форма приближения лиева автоморфизма алгебры кососимметрических элементов автом.рфизиом всей алге бри. (Ге орема 3,1.1)

Теоретическая и практическая ценность. Работа носнт теоретический характер. Ее ре-

6. Зельманов Е.И. О первичных йсрдановых алгебрах, II.//

Сиб. матем. 1983. - т.24, N 1. - С. 85 -104. ?. Зельманор Е.И. О первичных lire. II.// Сиб. матеч. ж.,

1984. - г. 25. N 5. - с.50 - 61. -8. Зельчанов E.II. О первичных Птс III.// Сиб. матем. х.. 19В5. - т. 26, К 1. - с. ?< - 82.

зультати и методы уже находят применение в научных исследованиях и могут быть использованы в подготовке монографии, учеб' ных пособия, а также при чтении алгебраических специальных курсов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на У1-м Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулеП (Львов, 1990г.), VI-« школе по многообразиям алгебраических систем (Магнитогорск, 1990г.). Международной конференции по алгебре памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991г.), алгебраических семинарах Алтапского, Новосибирского, Московского государственных университетов (1985г.-1992г.). семинаре "Теория колец" ИМ СОАН (1985г.-1990г).

Публикации. По теме диссертации имеется 5 публикации, в том числе 2 - тезисы выступлении; 3 журнальных статьи.

О «I ъ е м работы. Диссертация изложена на 00 страницах, состоит из введения и трех глав. Бнблйогр&фия содержит 41 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении описывается история вопроса и дается обьор результатов, полученных предшественниками диссертанта. Заесь же Формулируются главные результаты диссертации и упоминаются основные идеи доказательства.

Глава I настоящей диссертации посвящена исследований Порданова гомоморфизма, определенного на йордаковоп алгебре симметрических элементов ассоциативной алгебры с инволюции!*, над ассоциативным коммутативным кольцом с 1/2.

Ассоциативная алгебра И над полем Р с ипволюциеП »: - Я называется инволютивно первичной, если для любых двух ее йену-

левых * - инвариантных идеалов 1,»1г имеет место соотношение: I, 12

Если M - подмножество ассоциативной алгебры R, то через <!■!> обозначим подалгебру алгебры R, порожденную множеством 1.1.

Основным результатом главы I является

Теорема 1.1.1. Пусть R и S - ассоциативные алгеОры с инволюциями Т,: R -R и V S •'S соответственно, причем алгебра S инволютивно первична Тогда либо произвольны!! пррданов эпиморфизм У: H(R,f() + H(S,t£) продолжается до гомоморфизма- алгебры <H(R, Т,)> в S, либо S-центральниП порядок в простоя 13-мерноП над центром алгебре н шшолюциа симплектического типа.

Таким образом, из теоремы 1.1.1 , следует положительное решение вопроса 1 В.Ыартиндепла.

В качестве следствия из теоремы 1,1.1 получена •

Теорема 1,3.1. Пусть R - ассоциативная алгебра с инволю* циеп *: R ч- R и пусть R инволютивно первична. Тогда, либо всякое йорданово дифференцирование d: H(R,*) -» R продолжается до дифференцирования из <H(R,*)> в R, либо R - центральный порядок в простоя 16-мерной над центром алгебре,

Если R - простое кольцо с инводюциеЯ * past,: арности над центром > 64, то из георемы 1.3.1 получаем ответ на вопрос 2, т.к, в этом случае R»<H(R,«)>,

Ключевым моментом доказательства является »пользование понятия идеала KJ) специальной йордановоД алгебры J. вреденно-ого Е.И.Зельмановыы в работе [6].

Пусть SJ<X> - свободная Порданова алгебра от счетного множества оЗразуюцнх X-{x,,Xj....}. Рассмотри).; з ней вполне характерис-.'ичгсклп идеал, порожденный многочленов:

* ас

• ([х, Л*; .xj3.lx<:.i!j]>[xj.[x:.xi3.[xi.xj]t[x>:fx J3)

и всеми его частичными лпнеарнэациями [6]. Обозначим его через T(SJ).

Рассмотрим в J убывающую непочку идеалов [6]:

It] ' ¡.nil lm-n -3

Т (J) - T(J).....T (J) - (T (J)) .

Напомним, что йорданова алгебра J называется специальной, если существует вложение где R -некоторая ассоциатив-

ная алгебра. Алгебра <f(J)> при этом набивается ассоциативной обертывающей алгеброй йордановой алгебры J.

Пусть J - специальная йорданова алгебра, R - ее ассоциативная обертывающая алгебра," T(J) - множество всех значений идеала T(SJ) на алгебре J.

Обозначим через . ,

„ М

Ann(R,T (J) - { Х'Р. / хТ (J) - Т (J)x - О

для некоторого га ) двусторонний идеал в R. Основу доказательства теоремы 1.*.1. составляет

Теорема 1.2.1. (Условие продолжаемости йорданова гомоморфизма) Пусть R.S - ассоциативные алгебры, R -* R - инполюцня и пусть V: ¡UR,») - S - Йорданов гомоморфизм. Тогда если

00 If

Ann(S ,Т (И (R,»)))«0, то V продолжается до гомоморфизма <H(R, »)> в S.

Во второй главе диссертации изучается линейное отображение f, определенное на алгебре кососимметрических элементов K(R,») лростоП ассоциативной алгебры с инволюцией, такое, что l(xyx)~t(x)t(y)t(x) для всех >:,уi£К(R,*). HasoteM такое отображение тройным аордановим гомоморфизмом. Основный результатом главы 2 является Теорема 2.1.1. Пусть R и S - простые ассоциативные алгебры (над полей F характеристики ¿2) размерностей кat l«h7рами . бсльое 25 q инв;.:юпиям;; Г,; R - К и С: S - 2 ооо-.-.^тстацн^.

Пусть, далее,К(1<. Т,) К{5, - тройной иорданов эпиморфизм. Тогда либо V,либо (-'У) продолжается до ассоциативного гомоморфизма И в Б.

Доказательство теоремы 2.1.1. базируется на доказательстве следующего утверждения.

Пусть И - ассоциативная алгебра с инволюцией *: И -» R такая, что Н-<К(И,»)>; обозначим через К„ множество элементов а^К таких, что а представим в виде:

&-Е Иц . • .к ¡.н; • П)

П; - чинные числа, £ К(Р.,»). Эта запись неоднозначна.

Очевидно, что И0 является подалгеброй в Я. Через обозначим множество элементов а^И таких, что а представим в виде:

й

п^- нечетныэ числа, к;е«К(К,*). Запись также неоднозначна и не обязательно подалгебра, но И, Н,£ И1•

Теорема 2.2.1. Пусть И,Б - ассоциативные алгебры, удовлетворяющие условно теоремы 2.1.1, ♦: Я - Я - инволюция в К, й- <К(Й,»)> и V: К(Я,») -»Б -тройной йорданов гомоморфизм. Тогда

1) отображение а- £ ки ...ки!;• • У/Ын;), где п;-четние числа, определено корректно и является гомоморфизмом ассоциативных алгебр И ■» Б.

2) отображение а- ¿7к]( .. .к^■--'-» . •'■/¡'к,)т;) .где 013- нечетные числа, определено корректно.

Центральную роль в доказательстве данного результата играют идеал С(Т) и его свойства, определенные в работах

и

[7-8] Е.Н.Зельмаяова. Случай, когда С{Т)~Т независимо исследован в [9].

В главе 3 исследуется вопрос о приближении лиева автоморфизма алгебри кососнмметрических элементов простой ассоциативной алгебры К с инволюцией автоморфзмом всей алгебри И.

Пусть 1 - произвольное подпространство ассоциативной алгебри К, замкнутое относительно операции коммутирования [х.у]-ху-ух. Линейное отображение Г: I - Я, где Б - ассоциативная алгебра, называется лиевым гомоморфизмом, если Г(ху-ух) --Г(хН(у)-Г(у)Г(х) для произвольных элементов х.у

Сформулмруем основной результат по исследованию лиевых изоморфизмов простых ассоциативных колец с инволюцией, принадлежащий В.Мартиндейлу и имеющий непосредстенную связь с результатами главы 3 [5).

Пусть 2 - центр просто!! ассоциативной алгебри I* с инволюцией *: ■» И, 10-(гь1/г -г) - множество неподвижны:: относительно инволюции * элементов центра. Если 2-2е , то инволюция * называется инволюцией I рода. В противном слу«£.е, инволюция называется инволюцией II рода.

Теорема В (В.Нартиндепл, [5]). Пусть й и Т - простое кольца с инволюцией первого рода, и Р. удовлетворяет условиям:

(1) +1,4.9,16,25,54.

(2) И содержит ненулевые ортогональные симметрические идемгто-тенты е4 л е2 такие, что 'е^е*.-!.

Тогда любой лиев изоморфизм СК.К] на [Ь.Ь] (где К и I -множества кососкмыетрических элементов колец й и Т соответственно) единственный образом может сыть распиреи до изомср-

9. D'Amour A.Jordan triple hotmorphisms oi associative structures.// J. Algèbre» 1991, - V.47, -p.422-433

фиэма И в Т.

Известно [10], что в случае малых размерностей, когда И-Т--Ся, С - поле комплексных чисел, с инволюцией транспонирования, существует лиев автоморфизм кососимметрнческих элементов, который не может Сыть продолжен до автоморфизма К.

Указанный пример иллюстрирует существенность условия (1) теоремы В.

Присутствие по сути трех ортогональных ндемгтотеитов, как и в случас порданоьа гомоморфизма, определенного на алгебе симметрических элементов (см. теорему А) существенно определяет метод доказательства. Возникает гипотеза о возможности доказать теорему В при ослабленных условиях на пдемпотенты, либо совсем отказаться от наличия ндемпотентбв. Главным результатом главч 3 является

Теорема 3.1.1. Пусть И - простая ассоциативная алгебра над полем Р' характеристики +2 с ннволюцией Я * И,удовлетворяющая условиям:

(1) [1?:г]>6<;, где Ъ - центр И,

(2) И содержит ненулевой идемпонейт е такой, что е+е"-1,.

« » о

ее - -е е>0.

Тогда любой лиев автоморфизм V: К -» К может быть представлено в виде: Ч'-СПк + Т, где б"- автоморфизм алгебры В, ЯГ- линейное отображение К ь Центр К и Т([К,К])-0.

Таким образом, доказан аналог теоремы В при ослабленном условии на идемпотенты, а именно, в случае, когда алгебра И содержит нетривиальный идемпотент е такой, что е+е*-1.

10. Jacobson. N. lie algebras.//Interscience tracts in pure and implied math.,по.10, Interscience, New York, 1962.

Для инволюции второго рода доказана

Теорема 3.1.2. Пусть R - простая ассоциативная алгебра (нал полем F, char F 2) с инволюцией R •* R второго рода, удовлетворяющая условиям:

(1) [R:ZJ>4.

(2) R содержит ненулевой идемпонент е такой, что е+е*-1, ее*-

е'е-0,

Тогда имеет место утверждение теореми 3.1.!. Доказательство теореми 3,1.1 сводится к исследовании тройного йорданового гомоморфизма алгебры кососимметрических элементов.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Ю.Н.Мальцеву за внимание и поддержку и выражает глубокую признательность профессору Е.П.Зельманову за многочисленные полезные обсуждения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лагутина Л.Л.. Иордановы гомоморфизмы колец с инволюци-

еп.// Тезисы сообщении XIX Всесоюзной алгебраической конференции. Ч.П., - Львов, 1987. - с. 158.

2. Лагутина Л.А. Иордановы гомоморфизмы ассоциативных алгебр

с инволюцией.// Алгебра и логика, 198S. - т.27, ¡1 4. -с.402 - 417.

3. Лагутина Л.А. Иордановы тройные. гомоморфизмы

ассоциативных колец -г. инволюцией.// Алгебра н логика, 1991. - т.30. Л 3. с. 306 - 319.

4. Лагутина Л.А. Лиевы автоморфизмы простых ассоциативных

алгебр с инволюцией.// Тезисы сообщений Международной конференции по алгебре памяти А.И. Ширшова. - Барнаул, 1991. - с.68.

5. Лагутина Л.А. Лиевы автоморфизмы простых ассоциативных

г.лгебр с инволюцией II рода.// УМН.-Т.47, N 6.-е. - .

Подписано в печать ¡¿8.10.1992.Формат 60x90/16. Бумага для множительных алпаратов. Почать офсетнал. Усл.поч.л.1,0. Уч.- изд. л.О,8. Тираж 100 экз. Заказ 914. Бесплатно. Алтайский государственный университот, лаборатория множительной техники: Барнаул, ул.Димитрова, 66.