δ-дифференцирования простых йордановых и лиевых супералгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

004693099

На правах рукописи

КАЙГОРОДОВ Иван Борисович

¿-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПРОСТЫХ ЙОРДАНОВЫХ И ЛИЕВЫХ СУПЕРАЛГЕБР

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Новосибирск-2010

004608099

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Желябин Виктор Николаевич кандидат физико-математических наук; доцент Пожидаев Александр Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Бардаков Валерий Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Михаил Владимирович

Ведущая организация:

Сибирский федеральный университет

Защита диссертации состоится 16 сентября 2010 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 15 августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Н. Ряскин

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Понятие дифференцирования алгебры обобщалось многими математиками в самых различных направлениях. Так, в [14] можно найти и определение дифференцирования подалгебры в алгебру, и определение (sj, 52)-дифференцирования из одной алгебры в другую, где si,s2 — некоторые гомоморфизмы алгебр. Напомним, что линейное отображение j является йордановым дифференцированием, если выполняется условие

j(xy + ух) = j(x)y + xj{y) + yj(x) + j{y)x.

В свое время йордановы дифференцирования первичных ассоциативных колец характеристики р ^ 2 рассматривал И. Н. Херстейн [4]. Им было показано, что йорданово дифференцирование такого кольца является обычным дифференцированием. В дальнейшем, Дж. Кусак [3] и М. Брешар [1] обобщили данный результат на случай полупервичного кольца.

Результаты Дж. Кусака и М. Брешара получили обобщение в работе Ч. Ланского [10], который рассматривал обобщение дифференцирований на кольцах с выделенными эндоморфизмами ф и в. Отметим, что аддитивное отображение d: R—> R, удовлетворяющее условию

d(xy) = cj>(x)d{y) + с1{хЩу),

называется (ф, #)-дифференцированием. Было доказано, что йорданово (ф, #)-дифференцирование полупервичного кольца характеристики отличной от 2, с автоморфизмами ф и 9, будет являться (ф, 9)-дифференцированием.

Антидифференцирования, то есть такие линейные отображения /х, что выполняется

ФУ) = ~Ф)у - хц{у), возникают и рассматриваются в работах [2,5,16]. Так, у Р. Б. Брауна и Н. С. Хопкинс антидифференцирования возникают при изучении некоторых некоммутативных йордановых алгебр в [2], также Н. С. Хопкинс были получены примеры ненулевых антидифференцирований на простой трехмерной алгебре Ли si 2 и показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на простых конечномерных центральных алгебрах Ли большей размерности при некоторых ограничениях на характеристику основного поля.

3 \ 1

\

ч

Результаты Н. С. Хопкинс получили широкое обобщение в работах В. Т. Филиппова. Он рассматривал понятие ¿-дифференцирования, то есть такого линейного отображения ф, где для фиксированного элемента 5 из основного поля верно

ф(ху) = 6{ф{х)у + хф{у)).

Данное отображение является одновременно обобщением дифференцирования и антидифференцирования. В результате, В. Т. Филиппов дал описание ¿-дифференцирований первичных альтернативных, лиевых и мальцевских алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом с | [17-19]. А именно, им было доказано, что первичные альтернативные и мальцевские нелиевы алгебры не имеют нетривиальных 6-дифференцирований; первичные алгебры Ли не имеют ненулевых ¿-дифференцирований при 5 ф- —1,0, 1; первичные алгебры Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеют нетривиальных ¿-дифференцирований; а также, были приведены примеры нетривиальных ^-дифференцирований для простой бесконечномерной алгебры Ли \¥г. Результаты В. Т. Филиппова получили широкое обобщение в работе [11], где рассматривались квазидифференцирования алгебры А, то есть такие линейные отображения /, что существует линейное отображение £>(/) е Еп<1(А) и выполняется условие

П(/)(ху)^/(х)у + х/(у).

В дальнейшем, автором были о писаны ¿-(супер) дифференцирования простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и полупростых конечномерных йор-дановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2. Результаты автора были продолжены П. Зу-смановичем в [13], где он показал, что первичные супералгебры Ли над полем характеристики отличной от 2 не имеют нетривиальных <5-(супер)дифференцирований при 6 ф -1,0, 1.

Тернарным дифференцированием алгебры А, называется тройка (<*ь<*2,<*з) ё Епс1(А)3, с условием

с1г(ху) = (1г{х)у + хйъ{у).

Отметим, что тернарные дифференцирования можно рассматривать как обобщения ¿-дифференцирований и квазидифференцирований. Тернарные дифференцирования изучались в работах [6,7].

Основные результаты диссертации. В диссертации дается описание ¿-(супер)дифференцирований простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и полупростых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории колец: структурная теория простых конечномерных йордановых супералгебр и супералгебр Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международной конференции «Алгебра и её приложения», Красноярск, 2007; Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева, Санкт-Петербург, 2007; Российской конференции «Математика в современном мире», Новосибирск, 2007; Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008; Летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Самара, 2009; Международной Конференции «Алгебра и смежные вопросы», Гуанчжоу (Китай), 2009; Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2010; Международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2006, 2008, 2009, 2010; Международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию А. В. Яковлева, Санкт-Петербург, 2010; Международной конференции «Алгебра, логика и приложения», Красноярск, 2010. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах «Теория колец» в Институте математики СО РАН и «Алгебра и логика» в Новосибирском гос. университете.

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в форме статей в ведущих отечественных журналах [4042], входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 3 глав и списка литературы. Она изложена на 100 страницах, библиография содержит 40 наименований.

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Леммы, теоремы, следствия и замечания имеют двойную нумерацию: первое число — номер главы, второе — номер утверждения в текущей главе.

Глава 1 содержит введение.

Пусть б — алгебра Грассмана над Р, заданная образующими ■ • • • ■ • и определяющими соотношениями: = 0, £¿£7 = Элементы 1, .. -СгцЧ < г'г < ■ • • < образуют базис алгебры над Р. Обозначим через Сц и С?у подпространства, порожденные соответственно произведениями четной и нечетной длинны; тогда б представляется в виде прямой суммы этих подпространств: С? = С^ЭСу, при этом справедливы соотношения С^Су С г, .7 е 2г- Иначе говоря, С — Z2-гpaдyиpoвaннaя алгебра (или супералгебра) над Р.

Элементы супералгебры А = Арф Ау из множества А* = /%и А у будем называть однородными. Для однородного элемента х супералгебры А будем считать р(х) = г, если х & А--, а для элемента х £ А через Х{ обозначим проекцию на Ау.

Пусть теперь А — ф Ау — произвольная супералгебра над Р. Рассмотрим тензорное произведение б ® А. Его подалгебра

(7(А) = Сд <8 А5 + <2у <8> Ау

в тензорном произведении С ® А называется грассмановой оболочкой супералгебры А.

Пусть р — некоторое многообразие алгебр над Р. Супералгебра А = А^ ф Ау называется р-супералгеброй, если ее грассманова оболочка С (А) является алгеброй из р. В частности, А — Ад © Ау называется йордановой (лиевой) супералгеброй, если ее грассманова оболочка С(А) является йордановой (лиевой) алгеброй.

Напомним, что коммутативная алгебра называется йордановой, если выполненно тождество

(Ж22/)Ж = ж2(ух).

Антикоммутативная алгебра называется алгеброй Ли, если выполненно тождество Якоби, то есть

(ху)г = (хг)у + х(уг).

Для фиксированного элемента (5 из основного поля, под ¿-дифференцированием алгебры А мы понимаем отображение ф € Еп4(А), которое при произвольных х,у £ А удовлетворяет условию

ф(ху) = 5{ф(х)у +хф(у)).

Центроидом алгебры А называется множество Г(А), где Г(А) ={хё Епс1(А)\х(аЬ) = Х(а)Ъ = аХ(Ь)Уа,Ь е А).

Заметим, что 1-дифференцирование является обычным дифференцированием; О-дифференцированием является произвольный эндоморфизм ф алгебры А такой, что ф(А2) = 0. Ясно, что любой элемент центроида алгебры является —дифференцированием.

Ненулевое ¿-дифференцирование ф будем считать нетривиальным, если 6 ф 0,1 и ф <£ Г(А).

Под суперпространством мы понимаем ^-градуированное пространство. Однородный элемент ф суперпространства Епс1(А) называется супердифференцированием, если

ф(ху) = ф{х)у + {~1)р{хШ]хф{у).

Рассмотрим супералгебру Ли А с умножением [.,.] и зафиксируем элемент х 6 АТогда отображение их : у —> [х, у] является супердифференцированием супералгебры А и его четность р(их) = г.

Для фиксированного элемента ¿ из основного поля, под ¿-супердифференцированием супералгебры А — Ад Ф мы будем понимать однородное линейное отображение ф : А —» А, для однородных х,у € А удовлетворяющее условию

ф(ху) = 6(ф(х)у+(-1Г^Р^хф(у)).

Суперцентроидом супералгебры А называется множество Г,, (А), где ГДА) = {Хе Епс1р{х)(А)\х(аЪ) = Х(а)Ь = Уа, Ь € А*}.

Заметим, что 1-супердифференцирование является обыкновенным супердифференцированием; О-супердифференцированием является произвольный эндоморфизм ф супералгебры А такой, что ф(А2) = 0.

Ненулевое ¿-супердифференцирование ф будем считать нетривиальным, если 6 ф 0,1 и ф $ Г ДА).

Глава 2 содержит описание ¿-дифференцирований и ¿-супердифференцирований простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

Основным результатом главы является следующая

Теорема 2.27. Простая конечномерная супералгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль не имеет нетривиальных 5-дифферепцировапий и 8-супердифференцирований.

Результаты данной главы опубликованы в работах [41,42].

Глава 3 содержит описание ¿-дифференцирований полупростых конечномерных йордановых алгебр; ¿-дифференцирований и ¿-супердифференцирований простых супералгебр йордановых скобок, которые в общем случае не являются конечномерными, и полупростых конечномерных йордановых супералгебр.

Описание ¿-дифференцирований полупростых конечномерных йордановых алгебр дает следующая

Теорема 3.7. Полупростая конечномерная йорданова алгебра А над полем характеристики отличной от 2 не имеет нетривиальных 6-дифференцирований.

Напомним определения основных йордановых супералгебр.

Дубль Кантора [15]. Пусть Г = Г^+Гу — ассоциативная суперкоммутативная супералгебра с единицей 1и{,}:ГхГ->Г - суперкосо-симметрическое билинейное отображение, которое мы будем называть скобкой. Рассмотрим ./(Г, {,}) = Г © Гж — прямую сумму пространств, где Гх — изоморфная копия пространства Г. Для элементов а, Ь 6 Г^иГу операция умножения • на J(Г, {, }) определяется как

а ■ Ь = аЬ, а • Ьх = (аЪ)х, ах ■ Ь = ■ Ьх = (-1)р(Ь){а, Ь}.

Положим ({, }))о = Го + Гтх, (./(Г, {, }))т = Гт + Г^.

Скобка {,} — йорданова, если ./(Г, {, }) — йорданова супералгебра.

Супералгебра векторного типа J(T,D). Пусть Г — ассоциативная суперкоммутативная супералгебра с ненулевым четным дифференцированием Б. Определим на Г скобку {,} полагая

{а,6} = 0(а)Ь — аП(Ь). Хорошо известно, что такая скобка является йордановой.

Супералгебра У\/2О). Пусть 2 — ассоциативно-коммутативная Р-алгебра с единицей е, дифференцированием О и условиями ¡) ^ не имеет собственных £)-инвариантных идеалов, И) О обнуляет только элементы вида Ее.

Рассмотрим векторное пространство Ух/2(2, Б) = 2 + 2х, где 2х изоморфная копия алгебры 2. Тогда 2 и 2х — соответственно четная и нечетная части Ц/гС^ Щ- Умножение ■ зададим следующим образом

а ■ Ь = аЬ,а ■ Ьх = аЬ)х,ах ■ Ьх = 0(а)Ь — аБ(Ь),

для произвольных элементов а, Ь 6 2.

Основным результатом описания ¿-(сунер)дифференицирований простых супералгебр йордановых скобок является следующая

Теорема 3.34. Пусть 3 — 7(Г, {,}) — простая униталъная супералгебра йордановых скобок над полем характеристики отличной от 2. Тогда либо 3 не имеет нетривиальных 5-(супер)дифференцирований, либо 3 — супералгебра векторного типа. Если 3 — супералгебра векторного типа, то при 5 ф \ супералгебра 3 не имеет нетривиальных 6-дифференцирований и 5-супердифференцирований. Каждое дифференцировапие является четным супердифференцированиелг и множество супердифференцирований совпадает с Ь*(3) = {Ег\г € Гц и Г]-}) причем при -О(-г) ф 0 отображение Ьг будет являться нетривиальным ^-супердифференцированием.

Пользуясь описанием полупростых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2, изложенном в [12], мы получаем основную теорему третьей главы.

Теорема 3.48. Пусть полупростая конечномерная йорданова супералгебра 3 = ф®=1 (Зц © ■ • • ф /¿г, + 1)® 3\® ■ ■ ■ ® 31 над алгебраически замкнутым полем характеристики р ф 2 имеет нетривиальное 8-дифференцирование или 6-супердифференцирование. Тогда р > 2 и существует г, такое что 3\ является либо супералгеброй векторного типа 3(В(т, п), {, }) либо супералгеброй Ух/2(2, Щ-

Отметим, что в тексте диссертации приводится полное описание нетривиальных ¿-(супер)дифференцирований простых унитальных супералгебр векторного типа 3(В(т, п), {,}) и супералгебр Уг/2(2, -СО-Результаты третьей главы содержатся в работах [40,42,44,45].

Автор выражает, искреннюю благодарность своим научным руководителям Виктору Николаевичу Желябину и Александру Петровичу Пожидаеву за проявленное внимание, активное участие в формировании научного мировоззрения, помощь и всестороннюю поддержку. Пользуясь случаем, автор выражает благодарность всему отделу алгебры Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН, в частности, Павлу Сергеевичу Колесникову и Евгению Петровичу Вдовину.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.419), РФФИ 09-01-00157-А, Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракты №02.740.11.0429, №02.740.11.5191), интеграционного проекта СО РАН №97, Лаврентьев-ского гранта для коллективов молодых учёных СО РАН, постановление Президиума СО РАН №43 от 04.02.2010.

Литература

[1] Bresar М., Jordán derivations оп semiprime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 104 (1988), №4, 1003-1006.

[2] Brown R. В., Hopkins N. C., Noncommutative matriz Jordán algebras, Cayley-Dicson algebras, and Schafer's theorem, Comm. Algebra, 23 (1995), №1, 373-397.

[3] Cusack J. M., Jordán derivations on rings, Proc. Am. Math. Soc, 53 (1975), №2, 321-324.

[4] Herstein I. N., Jordán derivations of prime rings, Proc. Am. Math. Soc., 8 (1957), 1104-1110.

[5] Hopkins N. C., Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras, Nova J. Math. Garae Theory Algebra, 5 (1996), №3, 215-224.

[6] Jimenez-Gestal C., Perez-Izquierdo J. M., Ternary derivations of generalized Cayley-Dickson algebras, Comm. Algebra, 31 (2003), №10, 5071-5094.

[7] Jimenez-Gestal С., Perez-Izquierdo J. M., Ternary derivations of finite-dimensional real division algebras, Linear Algebra Appl., 428 (2008), №8-9, 2192-2219.

[8j King D., McCrimmon K., The Kantor construction of Jordan Superalgebras, Comm. Algebra, 20 (1992), №1, 109-126.

[9] King D., McCrimmon K., The Kantor doubling process revisited, Comm. Algebra, 23 (1995), №1, 357-372.

[10] Lanski C., Generalization derivations and nth power maps in rings, Comm. Algebra, 35 (2007), №11, 3660-3672.

[11] Leger G., Luks E., Generalized Derivations of Lie Algebras, J. of Algebra, 228 (2000), №1, 165-203.

[12] Zelmanov E., Semisimple finite dimensional Jordan superalgebras, in: Y. Fong, A. A. Mikhalev, E. Zelmanov (Eds.) Lie Algebras and Related Topics, Springer, New York, 2000, 227-243.

[13] Zusmanovich P., On S-derivations of Lie algebras and superalgebras, arXiv:0907.2034v2.

[14] Джекобсон H., Алгебры JIu, M., Мир, 1964.

[15] Кантор И. JI., Иордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона, в сб. «Алгебра и анализ», Томск, изд-во ТГУ (1989), 55-80.

[16] Филиппов В. Т., Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-ой степени, Алгебра и логика, 34 (1995), №6, 681-705.

[17] Филиппов В. Т., О 5-дифференцированиях алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 39 (1998), №6, 1409-1422.

[18] Филиппов В. Т., О 8-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 40 (1999), № 1, 201-213.

[19] Филиппов В. Т., О 5-дифференцированиях первичных альтернативных и малъцевских алгебр, Алгебра и Логика, 39 (2000), № 5, 618-625.

Тезисы конференций

[20] Кайгородов И. Б., 5-супердифференцирования полупростых конечномерных йордановых супералгебр, Международная конференция «Алгебра, Логика и приложения», Красноярск (2010), с. 37-38.

[21] Желябин В. Н., Кайгородов И. Б., О 5-супердифференцированиях простых супералгебр йордановой скобки, Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию А. В. Яковлева, Санкт-Петербург (2010), с. 29-33.

[22] Желябин В. Л,, Кайгородов И. Б., О 5-супердифференцированиях простых супералгебр йордановой скобки, Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 70-летию со дня рождения Ю. Л. Ершова, Новосибирск (2010), с. 110.

[23] Кайгородов И. Б., О 6-дифференцированиях алгебр и супералгебр, «Проблемы теоретической и прикладной математики», Тезисы 41-ой Всероссийской молодежной школы-конференции, Екатеринбург (2010), с. 27-33.

[24] Кайгородов И. Б., Новые примеры нетривиальных 5-супердиффе-ренцирований, Материалы IV международного конгресса студентов и молодых ученых "Мир науки"(г. Алматы, 19-22 апреля 2010 г.), Алматы, Изд. КазНУ (2010), с. 39.

[25] Желябин В. Н., Кайгородов И. Б., О 8-супердифференцированиях простых супералгебр йордановой скобки, Материалы ХЬУШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск (2010), с.10-11.

[26] Кайгородов И. Б., 8-супердифференцирования полупростых конечномерных йордановых супералгебр, Материалы ХЬУШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск (2010), с.12.

[27] Кайгородов И. Б., 8-дифференцирования простых конечномерных супералгебр, Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского. Том 39, Лобачевские чтения - 2009, Казанское математическое общество (2009), с.253-255.

[28] Кайгородов И. Б., 8-супердифференцирования простых конечномерных супералгебр Ли, Международная конференция «Мальцев-

ские чтения», посвященная 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, Новосибирск (2009), с.122-123.

[29] Kaygorodov I., 5-superderivations of simple finite-dimensional Lie and Jordan superalgebras, International Conference on Algebra and Related Topics (ISSA), Guangzhou (2009), p.26.

[30] Кайгородов И. Б., S-супердифференцирования простых конечномерных супералгебр, Летняя школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Самара (2009), с.25.

[31] Кайгородов И. Б., 5-супердифференцирования классических супералгебр Ли, Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск (2009), с.71-72.

[32] Кайгородов И. Б., 5-дифференцирования простых конечномерных супералгебр лиева и йорданова типов, X Белорусская математическая конференция, Минск (2008), с.34.

[33] Кайгородов И. Б., 5-дифференцирования классических супералгебр Ли, Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета: Сборник тезисов (Томск, 22-25 сентября 2008 г.) - Томск: ТГУ (2008), с. 48-49.

[34] Кайгородов И. Б., S-дифференцирования классических супералгебр Ли, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва (2008), с. 132-133.

[35] Кайгородов И. Б., 5-дифференцирования классических супералгебр Ли, Материалы XLVI научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск (2008), с.13.

[36] Кайгородов И. Б., S-дифференцирования простых конечномерных йордаповых супералгебр, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д. К. Фадцеева, Санкт-Петербург (2007), с. 39-41.

[37] Кайгородов И. Б., 5-дифференцирования простых конечномерных йордановых супералгебр, Математика в современном мире. Российская конференция, посвященная 50-летию ИМ СО РАН: Тез. Докладов, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2007, с. 32-33.

[38] Кайгородов И. Б., 5-дифференцирования простых конечномерных йордановых супералгебр, Международная конференция «Алгебра и её приложения», Красноярск (2007), с. 65-67.

[39] Кайгородов И. Б., 6-дифференцирования простых конечномерных йордановых супералгебр, Материалы ХЬУ научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск (2007), с. 10-11.

Основные публикации в журналах из переченя ВАК

[Работы автора доступны на http://math.nsc.ru/~kaygorodov/]

[40] Кайгородов И. Б., О 6-дифференцированиях простых конечномерных йордановых супералгебр, Алгебра и Логика, 46, 2007, №5, 585605.

[41] Кайгородов И. Б., О д-дифференцированиях классических супералгебр Ли, Сиб. матем. ж., 50, 2009, №3, 547-565.

[42] Кайгородов И. Б., О 5-супердифференцированиях простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр, Алгебра и Логика, 49,

2010, №2, 195-215.

[43] Кайгородов И. Б., Об обобщенном дубле Кантора, Вестник Самарского гос. университета, 2010, №4.

[44] Желябин В. #., Кайгородов И. В., О 5-супердифференцированиях простых супералгебр йордановых скобок, Алгебра и Анализ, 23,

2011.

[45] Кайгородов И. Б., О 6-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр, Математические заметки, 88, 2011.

Кайгородов Иван Борисович

5-дифференцирования простых йордановых и лиевых супералгебр

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1.0 Тираж 100 экз.

Подписано в печать 12.07.10 Печать офсетная Заказ №107

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр.Лаврентьева, 6.

1 Введение

1.1 Обозначения и основные определения.

1.2 Предварительные результаты

2 й-супердифференцирования супералгебр Ли

2.1 6-супердифференцирования классических супералгебр Ли.

2.2 5-супердифференцирования картановских супералгебр Ли.

3 5-супердифференцирования йордановых супералгебр

3.1 ^-дифференцирования полупростых конечномерных йордановых алгебр

3.2 5-супердифференцирования простых конечномерных йордановых супералгебр над нолем нулевой характеристики.

3.3 5-супердифференцирования простых супералгебр йордановых скобок

3.4 J-супердифференцирования простых конечномерных йордановых супералгебр над полем положительной характеристики.

3.5 5-супердифференцирования полупростых конечномерных йордановых супералгебр.

Понятие дифференцирования алгебры обобщалось многими математиками в самых различных направлениях. Так, в [24] можно найти и определение дифференцирования подалгебры в алгебру, и определение (si, ^-дифференцирования из одной алгебры в другую, где Si,S2 ~~ некоторые гомоморфизмы алгебр. Напомним, что линейное отображение j является йордановым дифференцированием, если выполненно j(x2) = j(x)x + xj(x).

В свое время йордановы дифференцирования первичных ассоциативных колец характеристики отличной от 2 рассматривал И. Н. Херстейн [5]. Им было показано, что йорданово дифференцирование такого кольца является обычным дифференцированием. В дальнейшем, Дж. Кусак обобщил данный результат на случай полупервичного кольца [4].

В последствии, результаты И. Н. Херстейна получили широкое обобщение в работе М. Брешара и Дж. Вукмэна, которые рассматривали обобщение дифференцирований на кольцах с выделенными эндоморфизмами ф кв. Отметим, что аддитивное отображение d : R —У R, удовлетворяющее условию d(xy) = <t>{x)d{y) + d(x)d(y), они называл (ф, #)-дифференцированием. В [1] было показано, что йорданово ф, 0)-дифференцирование первичного кольца, с автоморфизмами ф ив, будет являться (ф, 0)-дифференцированием. В дальнейшем, условие первичности было ослаблено до полупервичности в работе Ч. Ланского [15].

Антидифференцирования, то есть такие линейные отображения /х, что выпол-ненно ц(ху) = ~[i(x)у - X/Jt(y), возникают и рассматриваются в работах [2,6,29]. В работе [2] антидифференцирования возникают при изучении некоторых некоммутативных йордановых алгебр, также Н. С. Хопкинс были получены примеры ненулевых антидифференцирований на простой трехмерной алгебре Ли s/2 и показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на простых конечномерных алгебрах Ли с нулевым центром и размерности строго выше 3 при некоторых ограничениях на характеристику основного поля.

Результаты Н. С. Хопкинс получили широкое обобщение в работах В. Т. Филиппова, где он рассматривал понятие ^-дифференцирования. То есть такого линейного отображения ф, где для фиксированного элемента 5 из основного поля верно ф(ху) = 8(ф(х)у + хф{у)).

В результате, В. Т. Филиппов дал описание 5-дифференцирований первичных альтернативных, лиевых и мальцевских алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом с g [30-32]. А именно, им было доказано, что первичные альтернативные и мальцевские нелиевы алгебры не имеют нетривиальных 5-дифференцирований; первичные алгебры Ли не имеют ненулевых «^-дифференцирований при 5 ф —1,0, |,1; первичные алгебры Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеют нетривиальных й-дифференцирований; а также, были приведены примеры нетривиальных ^-дифференцирований для простой бесконечномерной алгебры Ли И^. Результаты В. Т. Филиппова получили широкое обобщение в работе [16], где рассматривались квазидифференцирования, то есть такие линейные отображения /, что существует линейное отображение D(f) и выполнение»

D(f)(xy) = f(x)y + xf(y).

Отметим, что квазидифференцирования являются обобщением дифференцирований и ^-дифференцирований. Дж. Ладжер и Е. Лаке показали, что пространство квазидифференцирований простой конечномерной алгебры Ли ранга выше 1 совпадает с прямой суммой пространства дифференцирований и центроида алгебры. В дальнейшем, исследования в области (^-дифференцирований продолжили автор и П. Зусманович. Автором были описаны <5-(супер)дифференцирования простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и полупростых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2. П. Зусманович в [?] показал, что первичные супералгебры Ли над полем характеристики отличной от 2 не имеют нетривиальных S-(супер)дифференцирований при 5 ф —1,0, 1, а также, в случае положительной характеристики поля, им был дан положительный ответ на вопрос В. Т. Филиппова о существовании делителей нуля в кольце ^-дифференцирований первичной алгебры Ли сформулированный в [31].

Под тернарными дифференцированиями алгебры А мы понимем такие тройки (di,d,2,d3) е End(A)3, что выполняется di(xy) = d2{x)y + xd3{y).

Отметим, что тернарные дифференцирования являются обобщениями ^-дифференцирований и квазидифференцирований. Тернарные дифференцирования рассматривались в работах [7,8].

В диссертации дается описание ^-дифференцирований полупростых конечномерных йордановых алгебр над полем характеристики отличной от 2 [теорема 3.7]; (^-дифференцирований и 5-супердифференцирований простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль [теорема 2.27], простых супералгебр йордановых скобок над полем характеристики отличной от 2 [теорема 3.34], которые в общем случае не являются конечномерными, полупростых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2 [теорема 3.48]. Приводятся новые примеры нетривиальных —дифференцирований и |-супердифференцирований для йор-дановых супералгебр [теорема 3.34, леммы 3.42-3.43].

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям Виктору Николаевичу Желябину и Александру Петровичу Пожидаеву за проявленное внимание, активное участие в формировании научного мировоззрения, помощь и всестороннюю поддержку. Пользуясь случаем, автор выражает благодарность всему отделу алгебры Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, в частности, Павлу Сергеевичу Колесникову и Евгению Петровичу Вдовину.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.419), РФФИ 09-01-00157-А, Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракты №02.740.11.0429, №02.740.11.5191), интеграционного проекта СО РАН №97, Лаврентьевского гранта для коллективов молодых учёных СО РАН, постановление Президиума СО РАН №43 от 04.02.2010.

1. Bresar М., Vukman J., Jordan (9, ф)-derivations, Glasnik Mat., 26 (1991), №3, 13-17.

2. Brown R. В., Hopkins N. C., Noncommutative matrix Jordan algebras, Cayley-Dicson algebras, and Schafer's theorem, Comm. Algebra, 23 (1995), №1, 373-397.

3. Cheng S. J., Кае V. G., A new N=6 superconformal algebra, Comm. Math. Phys., 186 (1997), №1, 219-231.

4. Cusack J. M., Jordan derivations on rings, Proc. Am. Math. Soc, 53 (1975), №2, 321-324.

5. Herstein I. N., Jordan derivations of prime rings, Proc. Am. Math. Soc., 8 (1957), 1104-1110.

6. Hopkins N. C., Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras, Nova J. Math. Game Theory Algebra, 5 (1996), №3, 215-224.

7. Jimenez-Gestal C., Perez-Izquierdo J. M., Ternary derivations of generalized Сayley-Dickson algebras, Comm. Algebra 31 (2003), №10, 5071-5094.

8. Jimenez-Gestal C., Perez-Izquierdo J. M., Ternary derivations of finite-dimensional real division algebras, Linear Algebra Appl., 428 (2008), №8-9, 21922219.

9. Кас V. G., Lie superalgebras, Advances in Math, 26 (1977), №1, 8-96.

10. Kac V. G., Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras, Comm. Algebra, 5 (1977), №13, 1375-1400.

11. Kantor I. L., Connection between Poisson brackets and Jordan and Lie superalgebras, in «Lie Theory, Differential Equations and Representation Theory», publications in CRM, Montreal (1990), 213-225.

12. Kaplansky I., Graded Jordan algebras I, preprint.

13. King D., McCrimmon K., The Kantor construction of Jordan Superalgebras, Comm. Algebra, 20 (1992), №1, 109-126.

14. King D., McCrimmon K., The Kantor doubling process revisited, Comm. Algebra, 23 (1995), №1, 357-372.

15. Lanski C., Generalization derivations and nth power maps in rings,. Comm. Algebra, 35 (2007), №11, 3660-3672.

16. Leger G., Luks E., Generalized Derivations of Lie Algebras, J. of Algebra 228 (2000), Ж, 165-203.

17. Martinez C., Zelmanov E., Simple finite-dimensional Jordan superalgebras of prime characteristic, J. of Algebra 236 (2001), №2, 575-629.

18. Oehmke R. H., On flexible algebras, Annals of Math., 68 (1957), №2, 221-230.

19. Penkov I., Characters of strongly generic irreducible Lie superalgebra representations, Internat. J. Math. 9 (1998), №3, 331-366.

20. Racine M., Zelmanov E., Simple Jordan superalgebras, Nonassociative Algebra and its Applications, Ed. by E.Gonzalez. Kluwer Academic Publishers, (1994), 344-349.

21. Wall С. Т. C., Graded Brauer groups, J. Reine und angew. Math., 213 (1964), 187-199.

22. Zelmanov Е., Semisimple finite dimensional Jordan superalgebras, in: Y. Fong, A. A. Mikhalev, E. Zelmanov (Eds.) Lie Algebras and Related Topics, Springer, New York, 2000, 227-243.

23. Zusmanovich P., On 5-derivations of Lie algebras and superalgebras, arXiv:0907.2034v2.

24. Джекобсон П., Алгебры Ли, M., Мир, 1964.

25. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И., Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.

26. Кантор И. Л., Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона, в сб. «Алгебра и анализ», Томск, изд-во ТГУ (1989), 55-80.

27. Пожидаев А. П., Шестаков И. П., Некоммутативные йордановы супералгебры степени п>2, Алгебра и логика, 49 (2010), №1, 26-59.

28. Скосырский В. Г., Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры, в сб. «Исследования по теории колец и алгебр» (Тр. Ин-та матем. СО АН СССР, 16), Новосибирск, Наука, 1989, 131-163.

29. Филиппов В. Т., Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-ой степени, Алгебра и логика, 34 (1995), №6, 681-705.

30. Филиппов В. Т., О 6-дифференцированиях алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 39 (1998), №6, 1409-1422.

31. Филиппов В. Т., О 5-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 40 (1999), № 1, 201-213.

32. Филиппов В. Т., О 5-дифференцированиях первичных альтернативных и малъцевских алгебр, Алгебра и Логика, 39 (2000), К- 5, 618-625.

33. Шестаков И. П., Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики, Алгебра и логика, 36 (1997), №6, 701-731.

34. Херстейн И., Некоммутативные кольца, М., Мир, 1972.Работы автора по теме диссертации

35. Кайгородов И. Б., О 5-дифференцированиях классических супералгебр Ли, Сиб. матем. ж., 50 (2009), №3, 547-565. (Перевод Kaygorodov I. В., 5-derivations of classical Lie superalgebras, Siberian Mathematical Journal, 50, 3, 2009, 434-449.)

36. Кайгородов И. В., О 5-супердифференцированиях простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр, Алгебра и Логика, 49 (2010), №2, 195-215.

37. Желябин В. Н., Кайгородов И. Б., О 5-супердифференцированиях простых супералгебр йордановых скобок, Алгебра и Анализ, сдано в печать.

38. Кайгородов И. Б., О 8-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр, Математические заметки, сдано в печать.

39. Кайгородов И. Б., О 8-дифференцированиях алгебр и супералгебр, «Проблемы теоретической и прикладной математики», 41-ая Всероссийская молодежная школа-конференция 1 февраля 5 февраля 2010 г., сдано в печать.