Идеалы тождеств ассоциативных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Специализированный совет Д 002.23.01

На правах рукописи

КЕМЕР Александр Робертович

УДС 512.552.4

ВДЕАЛН' ТОЖДЕСТВ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР

01.01,06 - математическая логика алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

•) .

Новосибирск - 1968

Работа выполнена в Алтайском политехническом институте им. И.И.Поязунова

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук,профессор А.Е.Залесский доктор физико-математических наук,профессор В.Н.Латышев доктор физико-математических __ наук,профессор А,В.Яковлбв

' Ведущая организация - Нютитут математики АН МССР

Защита состоится * ' " 196 года в

часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу; 630090,Новосибирск,90,Университетский проспект,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института

математики СО АН СССР. .

»

Автореферат разослан " " К г.

Ученый секретарь специализированного совета •

доктор физико-математических 1 *ук Е.А.Палютин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучением ассоциативных алгебр с нетривиальным тождеством (Р1-алгебр) занимались и занимаются многие советские и зарубежные математики. Некоторые результаты стали уже классическими и вошли в учебники По теории колец и алгебр.

Большую роль в развитии теории Р1-алгебр сыграла пробле- ' ма А.Г.Куроша , поставленная в 1941 году:"Будет ли. всякая алгебраическая алгебра локально-конечной?" Н.Дкекобсон £23] в

1945 году решил положительно эту проблему для алгебраических

/

алгебр ограниченного индекса (эти алгебры являются Р1-алгебрами ) , Затем в 1948 году И.Капланский £24] решил проблему Куроша для Р1-алгебр над полем. Отрицательное решение общей проблемы Куроша следует из известной теоремы Е.С,Голода - И.Р, Шафаревича, Отметим, что с точки зрения структурной теории . условие Р1 является своеобразна.! условием конечности,

В 1у5? году А.И.Ширщов £193 доказал принципиально новое комбинаторное утверждение - теорему о высоте» Из этой теоремы следует решение проблемы Куроша для ассоциативных Р1-Е гебр над коммутативным кольцом, а также для альтернативных и специальных ^ордановых алгебр. Теорема Шчршова о высоте указывает на некоторую близость конечнопорожденных Р1-алгебр к ко/

нечномерным алгебрам.

Вторая важная проблема, теории Р1-алгебр была поставлена В.Шпехтом [,43 , [¡¿б] в 1950 году:"Будат ли всякая'ассоциа-

тивная алгебра над полем характеристики нуль иметь конечный базис тождеств?"

^ .Проблема конечной базируемости связана с классификацией айгёбр на языке тождеств и имеет 'смысл не только для алгебр нЩ пблЫ,- но и для.колец, групп и вообще любых алгебраический систем'.- Проблема конечной базируемости для групп была решена отрицательно' А>Ю.-Олшанским $153 . Для алгебр Ли 'над полем конечной' характеристики ата проблема также решена отри- • цательно ( М.Воон-Ли В.тЦренски $5Л , В 1973 году

Р.Крузе £253 И И.В.Львов £121 доказали конечную базируёмоеть тождеств конечного кольца.

Проблеме Шпехта для'ассоциативных алгебр йад Полей' характеристики нуль было посвящено довольно много работ* Ёол'ыг й: цикл работ по этой проблеме принадлежит В.Н.Латышеву 18 * 133»

В. 1982 году А.В.Яковлев анонсировал следующий результат!.пол-

»

ныв алгебры матриц любого порядка имеют конечный базис тождеств. Проблемой Шпехта также занимались Г.Генов: [ЗЭ ,А.Попов СГб] , М.Гаврилов Х23 «

В 1957 году ШДмицур £20] доказал, что радикал конечнопо-рожденной Р1-алгебры является ниль-идеалом. ата теорема еще раз подтвердила, что условие Р1 является своеобразным условием конечности и позволила Б,Н,Латышеву поставить довольно смелую по тем временам проблему: "Еуде1. ли радикал конечнопорож-денной Р1-ал,"ебры нильпотентен?" 143 . Большой клад в решение этой проблемы внес Ю.П,РЬзшслов 1183 . Для алгебр над полем характеристики нуль проблема В.'-*.Латышева была решена в 1960 году автором СбЗ , а в 1982 году А.Браун £21} решил эту проблему для алгебр над произвольным полем. Структурная теория Р1-алгебр в настоящее время хорошо развита. Этому способство-

вала, в частности, теорема Размыслова-Форманека , £223 о существовании центрального полинома.

Большой интерес представляют вопросы о представимости алгебр матрицами конечного порядка над расширением основного поля или над коммутативной алгеброй. Впервые представимые алгебры стал изучать А.И.Мальцев £13} в 1943 году. Крупные результаты в этом направлении получены А.З.Ананьиным £13 и Н.Г.Нестеренно £143. ' .

Цель работы. 1%.бота посвящена изучению строения товдеств- и многообразий ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Целью работы является: решение проблемы Шпехта, выявление связи между многообразиями алгебр и конечно-. порожденными супералгебрами, доказательство представимости приведенно - свободных к'онечнопоровденных Р1 - супералгебр.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер» Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории Р1-алгебр. Они также- могут быть использованы при чтении алгебраическйх специальных курсов и'подготовке учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертация докладывались на 16-й и 19-й.Всесоюзных, алгебраически, конференциях (Ленинград, 1981; Львов, 1937 }, на 4-м и 5-м Всесоюзных симпозиумах по теории колецвалгебр и модулей (Кишинев,. 198С^ Новосибирск» 1982 на 1-й„ 2-й и 3-й Всесоюзных йколах по теории многообразий алгебраических систем {Ба^лаул,- 1979,1981; Омск, 1983 I , на Сибирской школе по алгебре и анализу { Кемерово, 1967 } . Результаты таете докладывались на семинаре им.

•Л.Й.Ширпюва "Теория колец", на семинаре кафедры высшей алгебр^ МГУ, на алгебраическом семинаре ЛОМИ, на Минском городском алгебраическом семинаре, на семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственном унйверситете ш. Ленинского комсомола» на Омском городском алгебраическом семинаре, на XXI семестре в международном математическом центра им. С.Банаха в Варшаве, •

П у б л и к а ц и и . По теме диссертации опубликовано 9 работ; t28-363 .

Объем, работы. Работа изложена на 126 странницах и состоит из введения и двух глав. Библиография содергси® 78 наименований,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Алгебра А над полем F называется 2д-градуированной алгеброй или супералгеброй, если в Д наделены два подпространства Дс, А, , удовлетворяющие условиям?

А=A0t А, ; # -h0; А.А„ЛЛ'9

Пара {Ад>А«) называется градуировкой супералгебры .

Пусть fr - супералгебра Грассмана счетного ранга со стандартной градуировкой » Подалгебра Д^б^А^^ алгебры А & называется грассмановой оболочкой супералгебры А . В главе I выявлена связь мевду многообразиями (обычных V алгебр и конечнопорожденными супералгебрами.

В § I доказаны технические утверждения, использующие теорию представлений симметрической группы.

" § 2 доказан один из основных результатов главы.

, ТЕОРЕМА I.I. Произвольное собственное многообразие ассо-

циативных алгебр над полем характеристики нуль пороядается грассмановой оболочкой некоторой конечнопорожденной Р1-супер-алгебры.

Из теоремы IЛ.немедленно вытекает СЛЕДСТВИЕ 1,1. Для любого собственного многообразия «ТС найдется натуральное число м» такое, что

Ш я

Собственное многообразие алгебр 'ШЬ ' назовем первичным, если для любых Т-идеалов Г^ , Г^ приведенно-свободной алгебры счётного ранга многообразия из равенства вытека-

ет либо либо Г^* (о} . Собственное многообразие"Щ1

назовем полупервичным, если приведенно-свободная алгебра счетного ранга этого многообразия не имеет ненулевых нильпотент-ных Т-идеалов,

Пусть - натуральные числа, Через'

^Цт* 0^°значим грассманову оболочку матричной супералгебры №с градуировкой ис*, . где

о а\

0... о

ТГТ ♦ »

*... Р1

В § 3 доказана

ТЕОРЕМА 1.2. Любое собственное многообразие т- мозшо представить в виде • -

где Л/^ - многообразие нильпотентных алгебр индекса & К , ^ - наибольшее полупервичное многообразие, содержащееся в

ЯП . Многообразие полупервично тогда и только тогда, когда

Р*

где - первичные многообразия. Многообразие ¿3 первично 1 тогда и только тогда, когда где

или ' ■

Теорема 1,2 применяется для обобщения известной теореш Дубнова - Иванова - Нагатн - Хигмана,

Пусть ЯХ> - свободная ассоциативная алгебра, порожденная счетным множеством X 8 Через Ш будем обозначать Т-ндеал (т.е. вполнэ характеристический вдеал алгебры

) , порожденный полиномом § . Теорема Дубнова'- Иванова - Нагаты - Хигмана утверждает, что из товдестЕа следует тождество Хл.<2у/ гг 0 для некоторого № , т.е. /ж'У'з Будем говорить, что полином является Н -полиномом, если для любого натурального ч. ,;ла РЬ найдется натуральное число /V такое, что

игтт '. Следующая теорема показывает, что Н - полиномов довольно много и дает их полное описание. . .

ТЕОРЕМА 1,3.. Для любого полинома {¿РОО существует нату- ' ральное число такое, что £ ~ И - полином. Полином £ является Н - полиномом тогда и только тогда, когда для некоторого тождество выполняете? на алгебре ^ но не выполняется на алгебре Мц^(Р) .

Нетривиальным примером Н - полинома является полином

_В главе 2 получены главные результаты работы, Разобьем счетное множество переменных X на два счетных непересекающихся подмножества У'и 2 . Через ^ обозначим

подпространство свободной алгебры (Порожденное исномаш

четной степени по переменишь из 2 , а через обозначим подпространство, порожденное мономами нечетной степени по Ж . Очевадно, что - градуировка алгебры о Алгебру

с градуировкой назовем свободной супералгеброй,

пусть ^ б У . бу-

дем говорить, что супералгебра Аудовлетворяет градуированному тождеству , если для любых • '•,4т а алгебра 4 выполняется равенство Множество всех полиномов

таких, что_супералгебра /1 удовлетворяет градуированному тождеству /=0 образует иде&л алгебры Р ОФ , который называется идеалом градуированных тождеств супералгебры А и обозначается через Тд£А] , Идеал алгебры , являющийся идеалом градуированных тождеств некоторой супералгебры6 называется Т^ -идеалом»

Теорема 1.1 сводит изучение тождеств обычных алгебр к изучению градуированных тождеств конечнопорожденных Р1-супор-алгебр.

Конечномерную простую супералгебру Р над полем Р назовем классической, если либо

градуировкой

(см. (I)} , либо Р^Йа градуировкой (Р} Ш / ¿ибо где Е=:( Р*С Р . с градуировкой (М^Р), Конеч-

номерную" супералгебру Л назовем конечномерной классической супералгеброй С к.к,с. алгеброй} , если

А = 1

где - градуированная подалгебра, являющаяся прямой суммой конечного семейства классических простых супералгебр. Если основное поле Я алгебраически замкнуто, то любая конечномерная супералгебра является к.к.с.алгеброй.

В § I главу 2 введены числовые характеристики к.к.с» алгебр и Т^с'^еалов.

- Пусть Д - к.к.с, алгебра. Введем обозначение..А > если Л - алгебра с единицей$ А** А* » алгебра /3 с внешне присоединенной единицей, если 4 - алгебра без единицы.' Алгебра 4 будет также к.к.с. алгеброй. Имеем разложения

А**

где полупроотые части супералгебр А и А соответ»

ственно, Далее где - простые классические

супералгебры; где либо Е*Р , твоЕ*+Р*С-Р,

С г~1 . Положим

- емкость алгебры н 8

и Ю$чИте % , ^ ¿ЦД,

сШ- индекс нильпотентности радикала алгебры 4 . Набор

сзпШ = (а Щ Ш, 4 ЩсШ

казоьоа сложностью алгебры Д .

Пусть Р - идеал' градуированных тождеств некоторой ко-начнояорожденной Р1-супералгебры, Нетрудно показать, что ЭТ^ЕД] для некоторой к.к.с. алгебры Л „ В лемма 2.1 доказано, что идеал ^¿/Цсодершт все полинома вида

л.' /У~ ч

Щъ Т(2и...,Х%1 - произвольный полилинейный полином, ША1 , ,, , 'У , Через

обозначим минимальное Я Я , для которого найдется такое, что идеал Т^Ш содержит любой полином вида (2 г , где / - полилинейной полином из Р . Очевидно, что_ Д

/тля ^ а а)

Пусть' } - Х^&РСО, А - конечный упорядочен-

ный набор переменных из X ° Введем обозначение

если »и полином / линеен по каждой пере-

менной из Л | во всех остальных случаях. В лемме 2.2

доказано, что идеал 7^/11, а, значит и Г , содержит любой полином вида - " '

где Ац" непересекающиеся наборы, переменных, удовлетворяющие УСЛОВИЮ! ДЛЯ ЛЮбОГО Ь ЛИбО д У , 1 » либо 5 Через /«(/^Ш) (соответственно §4 (Г^ЛА]) } обозначим минимальное число

для которого найдется ЮО такое, что идеал Т^Щ содержит все полинома вида (3) , где А^У » ¡-¿, >1 ;

Пусть . Через (Г) обозначим Т^ - здеал,

порожденный всеми полиномами вида (31 , где Р, Д{г..<Дг? ~ непересекающиеся наборы переменных» удовлетворяющие условию г для любого 4 либо „ ¡А^йН „ либо §

Из определения параметров Т^Ш) вытекает,

что-для некоторого Ш^о имеет место включение

Минимальное К. с таким свойством обозначим через

Относительной слолэдосгью - идеала Р над^Шназо- , вем набор . . 1

* (4 адш,

На множестве сложностей определим частичный порядок, считая, что (Л^^Л,,) $ в том-и только том слу-

чае, когда либо для всех »^¿а.ф^/ДД^» .

. И ■'■

либо ^-яД-при ¿Щ , < р.. . Очевидно, что и>т(1х17^СЛЗ) £ ^Сом(А).

Основным результатом § а является теорема о разложении - идеалов

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Г - - вдеал, А - к.к.с.алгебра, Р27^1X1. Тогда найдутся к.к.с.алгебры А™.», А"** такие,что I) сот (А и>) & сем (Р, Тг Ш), «*1ги

Г /1(Я Т^А^-Т^А}.

Положив в теореме '¿Л Г^РОО получим СЛЕДСТВИЕ 2.1. Для любой к.к,с, алгебра Д найдутся к.к.с.алгебры А')'-., /V"" такие, что сою

ОТЛА^ТЖ

+84 *

В § 3 доказаны технические утверждения, использующие понятие тождества со следом.

В § 4 доказана главная теорема главы ТЕОРЕМА 2.2. Многообразие супералгебр, порожденное конеч-нопорожденной Р1-супералгеброй, порождается конечномерной супералгеброй.

Таким образом любая конечнопорожденная Р1-супералгебра имеет те же градуированные тождества, что и некоторая конечномерная алгебра, т.е. на языке тождеств нельзя отличить конеч-нопорожденныэ Р1-супералгебры от конечномерных. Из теоремы 2.2 и результатов главц! вытекает ТЕОРЕМА 2.3, Любое собственное многообразие алгебр порождается грассмановой оболочкой некоторой конечномерной супералгебры. Если многообразие не содержит алгебру Грассмана, то оно также порождается некоторой- конечномерной алгеброй. Из теоремы 2.3 немедленно вытекает - СЛЕДС1БИЕ 2.3. Приведенно-свободные Р1-алгебры любого

ранга вложимы в алгебры матриц конечного порядка над алгеброй, удовлетворяющей тождеству •

Ранее,среди специалистов обсуждался вопрос о представимости кокечнопорожденннх прнведенно-свободных алгебр. Из теоремы 2.2 вытекает положительный ответ на этот вопрос даже для супералгебр.

СЩДСТВШ 2.3. Конечнопороядекныв приведенио-свободкыэ Р1- (супер) алгебры представит" матрица*«! конечного порядка над расширением основного пата.

СЛЕДСТВИЙ 2.4. Если многообразие нз содержи? алгебру . Грассиана, то приводенно-своСодкае алгебры любого ранга из птого многообразия представши матрицами конечного порядка над расширением основного поля*

В § 5 из теоремы 2.3 выводится положительное решение проблемы Ипехта,

ТЕОРЕМА 2.4. Любая ассоциативная алгебра над полем характеристики пуль ткет конечный базис тсздеств.

Из теореш 2,4 вытекает положительное решение градуированного варианта проблема Шпехта для конечнспорояденных Р1-супералгебр.

СЛЕДСТВИЕ 2,5. Конечнопорозденная Р1-супералгебра над по-■ леи характеристики нуль имеет конечный базис градуированных тождеств.

Шестой параграф является иллюстрацией вдей и методов изложенных ранее. В § б описаны асимптотические базисы тождеств алгебр с единицей, удовлетворяющих стандартному тоздеетву четвертой степени > у j ~

, дадим необходимые определения, Полилинейный полином называется унитарным, если он представляется в виде линейной ком-

гбинации полиномов, каждый из которых является произведением длинных коммутаторов."Пусть Р, , - Т-идеалы, порожденные унитарными полиномами. Будем говорить, что Т-идеалн Г,, Г^ асимптотически равны, если найдется натуральное число И» тако% что, для всех М>л множества унитарных полиномов степени /V , содержащихся в Г^ и совпадают. Изучение Т-идеалов с точностью до асимптотического равенства представляется весьма естественным.

В § б доказана ,

ТЕ0Ш1А 2.5» Предположим, что Д. - алгебра с единицей, Удовлетворяющая стандартному тождеству четвертой степени {это условие выполняется, например, когда .'Тогда

идеал тождеств алгебры А асимптотически равен либо Т-идеалу

либо Т-идеалу

для некоторого Ук. .

! ' Л И Т Е Р А Т У Р.А "

Г

1. Ананьин А.З. Представимые многообразия 'алгебр/ Ред. журн."Сиб.мат.журн."-Новосибирск,19Вб.-21 с.-Деп. в ВИНИТИ

'13.05.86,№ 3471.

2. Г^врилов М.Б. О некоторых Т-идеалах в.свободной ассо-

- 'циативной алгебрз// Алгебра и-логика,- 1968,- Т.8?№ 2»-С, 172179.

3. Генов Г.К. Некоторые шпехтовы многообразия ассоциативных алгебр// Плиска.-1981.-Р й.-С. 30-40. -

4.Днестровская тетрадь! оперативно-информационный сборник,- 3-е изд.-Новосибирскj изд.. Ин-та мат, СО АН CCCP!i3S82(r~ • 72 с.

5. Дрэнски B.C.. О тождествах в алгебрах Ли// Алгебра » логика,- I974.-T.I3,P 3..-С.' 265-290»

6» Кемер А,Р. Тождества Капэлли и нильпотентность радикала коиечнопорсгаденной PI-алгебрн// Докл. АН СССР.-I960,-Т, 255 s

» 4,-С. 793-797.

• ?, Курой А.Г. Проблеш теории колец,связанные с проблемой Еернсайда <у периодических группах//. Кзв.АН СССР.Сер.мат,-I9fb.J£J5JB 1,-0.233-240.

8^ Латыше» В»Н„ Конечная базируемость некоторых колец// Урпехи мат;.наук»- 1977„-Т.32„вцп.4.-С, 259-262»

9. Его же» Не'атрютные шгогсобразия ассоциативных алгебр: "Дис... докт.фиэ-.->от.наукг 01»01ЛЗб.-М. »1977.-150 с,

10. Его не. О некоторых-ггногоойразиях ассоциативных алгебр // Изв.АН CCCPXsp.MaT»-i973,~f5„-С>1010-1037«,

11. Его ке» 0 ransxTOBocTir наюиюра» шегообраэ-яй ассоциативных алгебр// Алгебра и логика,- &»-CU5604>?3w

12. Львов И. В. О многообразиях гссщтитгшх колец,!// Алгебра и логика,- 1973.-ТЛ2,№ З.-С.269-297»

13. Мальцев А, И. Q представлениях бесконечных алгебр// Маг'.сб* -I943.-T.I3,P 5?ч-С.263-286.

14. Нестеренно Н.Г. Представимость алгебр треугольными! матрицами :Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.01 .Об.-Новосибирск^

Д967.- 78 с.

15. Ольшанокий А«Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах// Изв.АН СССР.Сер.мат.-1970.-Т.34,1Р 2,-0.376-384,

16. Попов А.П, О шлехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр// Плиска.-1981.-!Р 2.-С.41-53,

17. Йазмыслов С.П. О проблеме Капланского// Изв.АН СССР» Свр.«ат.-19?3.- Т.37,№ 3,-0.483-501,

18. Его же» 0 радикале Дкекобсона в Р1-алгебрах// Алгебра

и логика.-1974,-Т.13,® 3,-С.337-360,

• • -

19. Ширшов А,И. О кольцах с тоадественныыи соотношениями // Мат ,сб . -1957, -Т. 43,1? й.-С.277-283,

.20. АвнЬт $. к йшыи^т 6$ НШеЖ -'

ЫьНА&.-тг-Ш^гРли-т. 21. Ытш к, 7Ъе ¿п^яЩ отг&Ы

22» £огп&шк В. Се4ы£рв£им>т1й& ^огтЫк гсн^ //

23. ^&со£$оя ¿/.¿¿гас/иге /*>г о&^е&аз

$ &ипс!Ы Ж^гее Шт. МаМгШМ. Ц - Р. Ш-т.

24. Карвамк^ I. Шпр т'М ро^пома / //ВаСС

25. Кгме 4* & гиун?

'¡. Щека- №3~ И>£ Ц 1/1,- Й ¿32-312.

26. Зр&И Ш. (гебеЫе ¡* Цоуе/гЛ#¿гШ. -УМ, 3.

•¿7о Уйч^йщ-¿>ее.МЛ. ШиеПа

га

Работы автора по тема диссертации

28. Кемер А.Р. О нематричных многообразиях// Алгебра » ло-. гика.-1960.-Т.19,!Р 3.-С.255-283.

'¿9. Его же. О разложении многообразий// 4 Всёсот,дида по-теории колец,алгебр и модулей. Кишинев,сент.1980• г, 5ТвЗ'^цогог. - Кишинев,1980.-С.4?.

30. Его же, 0 разложении многообразий// Алгебра и логика.--1961,-Т.20,Р 4,-0.395-418.

31. Его же. Изложение многообразий// 16 Всеооюз.алгебр, конф..Ленинград,сен?.1961 г.УГез.докл.-Л.,.1981.-0,6!?.

32. Ета же. Многообразия и ¿.¡¡, -градуированные алгебры// 5 Есесоюз.симп.по теории, колец,алгебр и модулей,Новосибирск, . сент.1962 г,?Тез, докл.-Новосибирск,Д962»-С*6б.

33. Его же» Многообразия и -градуированные: алгебры// Иэв.АЯ СССР.Сер.мат.-1984.-Т.48,Р 5.-С.1042-Ю59. "

34. Его же. Конечная базируемоеть тождеств ассоциативных : алгебр// Алгебра иг логика.-1987.-Т»2б,Р 5.-С.597-641»

35. Его же. Конечная базируемоеть тождеств ассоциативных алгебр// 19 Всесоюз,алгебр.конф.,Львов,сент.1967 г.: Тез. докл.- Львов,IS67.-C.I23.

36. Его же. Представимость приведенно-свободных алгебр// Алгебра И логика,-19б8.-Т.27,№ 3,-С.И74-И94,

Подписано к печати 20.07.88г. МН 09574 Формат бумаги 60x8% 1/16. Объем I п.л., I уч.изд.л. Заказ 241 , Тираж 100 экз. ■

Отпечатано на рот?принте ИМ СО АН СССР 630090, Новосибирск, 90 .