Индекс и коциклическая сопряженность полугрупп эндоморфизмов W* -факторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

на правах рукописи

Амосов Григорий Геннадьевич

ИНДЕКС И КОЦИКЛИЧЕСКАЯ СОПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛУГРУПП ЭНДОМОРФИЗМОВ И^-ФАКТОРОВ

01.01.01 Математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент Булинский А.В.

МОСКВА 1998

Содержание

Введение 4

Глава 1. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное расширение. Случай произвольного И/*-фактора 11

1.1 Расширение на В(Н) *-эндоморфизма а И^*-фактора М. С В{%) вполне совместимого с точным нормальным состоянием.......................... 11

1.2 Минимальная дилатация а до нормального *-автоморфизма........................ 19

1.3 Индекс Пауэрса-Арвесона ^о-полугруппы а, вполне совместимой с точным нормальным состоянием. Система-произведение, ассоциированная с а....... 21

Глава 2. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное расширение квазисвободных полугрупп 24

2.1 Продолжение на B(7i) квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов. Семейство изометрий выполняющее квазисвободный эндоморфизм......... 24

2.2 Индекс Пауэрса - Арвесона квазисвободной Ед-полу-группы на гиперфинитном факторе. Система - произведение, ассоциированная с квазисвободной полугруппой. 28

2.3 Аналог разложения Вольда для *-эндоморфизма, вполне совместимого с точным нормальным состоянием. . . 32

Глава 3. Внутренние квазисвободные автоморфизмы и ко-циклическая сопряженность на гиперфинитных факторах типа I, II и III 36

3.1 Критерий внутренности квазисвободного автоморфизма. Коциклическая сопряженность квазисвободных эндоморфизмов и £о-полугрупп на гиперфинитных факторах.............................. 36

3.2 Аппроксимация изометрических операторов в гильбертовом пространстве...................... 42

3.3 Аппроксимация полугрупп изометрических операторов

в гильбертовом пространстве................ 45

3.4 Квазисвободные сдвиги и £о-полугруппы сдвигов на гиперфинитных факторах и их классы коциклической сопряженности.......................... 54

Приложение. Алгебра канонических антикоммутационных соотношений и ее представления. Модулярные объекты и коммутант гиперфинитного фактора 58

Заключение 62

Литература 64

Введение

В предлагаемой работе исследуются условия и инварианты коцик-лической сопряженности однопараметрических полугрупп униталь-ных нормальных *-эндоморфизмов t at 6 End{M), t £ Т, на И^-факторе М. В качестве Т мы рассматриваем Z+ = N® {0} и R+ = [0, +00) для дискретных и непрерывных полугрупп соответственно. Свойства дискретной полугруппы полностью определяются *-эндоморфизмом ai = а, так что az+ = (an)nez+- Для полугрупп aR+ = (ai)i€R+ всюду дальше предполагается выполненым условие непрерывности функций г)(щ(х)) по t при любых фиксированных г) € A4*, х € М, при выполнении которого o;r+ называется Голоду группой. Основное отличие нашего исследования от ранее проводившихся в том, что рассматриваемые нами факторы неизоморфны алгебре всех ограниченных операторов B{l-L).

Теория ТУ*-алгебр или алгебр фон Ноймана появилась в 30-40-ые годы XX века (см. [1]). Дж. фон Нойман доказал существование С*-алгебр, замкнутых в слабой топологи ( = ty*-алгебр ), неизоморфных алгебре всех ограниченных операторов В(Н) в сепарабельном гильбертовом пространстве %. Им, совместно с Мюрреем, была дана классификация И^*-факторов ( то есть Ж*-алгебр A4, пересечение которых с их коммутантом в ß{%) содержит лишь операторы, кратные единице ) на типы 1,11 и III. К типу I относятся, в точности, И^-факторы, изоморфные В{%). В 70-ые годы возникла модулярная теория, установившая тонкую классификацию И^*-факторов типа III (см. [2-6]). Важнейшим понятием в модулярной теории является коциклическая сопряженность так называемых "модулярных" групп автоморфизмов VP-алгебры. С другой стороны, определение коциклической сопряженности естественным образом возникает при

исследовании возмущений непрерывных однопараметрических групп (см. [16]). В частности, группы автоморфизмов, генераторы которых отличаются на ограниченное дифференцирование алгебры, коцикли-чески сопряжены. Коциклическая сопряженность групп автоморфизмов исследовалась как с помощью структурных свойств алгебры (см. [11-12]), так и свойств самих групп (см. [13-15]). В дальнейшем понятие коциклической сопряженности было перенесено на полугруппы эндоморфизмов в теории индекса (см. ниже).

Важнейшим источником примеров И^*-факторов разных типов является С*-алгебра канонических антикоммутационных соотношений А(1С) над сепарабельным гильбертовым пространством К. Приводимые ниже факты, касающиеся Л(1С), более подробно изложены в приложении. Оператор Л, 0 < Л < /, в пространстве К определяет квазисвободное состояние шц на А (1С). Представление ГНС 7Гд, отвечающие порождает гиперфинитный Ж*-фактор Мя = 7гл(Л(/С));/, при этом состояние иц на А(К) порождает векторное состояние на Мд, которое мы будем также обозначать соц. Исследование факторов Мд и квазисвободных отображений на них инициировано Пауэрсом в [19]. Пауэре рассмотрел случай Я = 1/1, 0 < ^ < 1/2. Им была доказана принадлежность фактора МI к типу Щ и факторов Ми, 0 < и < 1/2, к типу III. Позднее Конн уточнил классификацию Пауэрса, установив принадлежность Ми к типу 1Щ, Л = (см. [6]). Общая классификация факторов А4л, в зависимости от спектральных свойств оператора Я, установлена в [29]. Любой изометрический ( сжимающий ) оператор в /С порождает, с помощью "квазисвободного подъема", эндоморфизм ( вполне положительное отображение ) С*-алгебры А(К,) и И^*-фактора называемое квазисвободным. В [30,23] исследованы дифференциальные уравнения на А(К), решениями которых являются полугруппы квазисвободных отображений. Решения квантовых стохастических дифференциальных уравнений на А(К),

возникших первоначально на С*-алгебре канонических коммутационных соотношений (см. [83,85-87]), удовлетворяют условию для коцикла (см. [84,88]).

В конце 80-ых годов, благодаря работам Пауэрса [34] и Арвесона [41] появилась теория индекса полугрупп *-эндоморфизмов алгебры всех ограниченных операторов В (Tí). Согласно этой теории каждой полугруппе ау, Т = Z+ или R+, удовлетворяющей условию "про-странственности" (см. ниже), приписывалась числовая характеристика, индекс indar 6 Z+. Отметим, что indaz+ = 1 ( indar+ = 0 ) тогда и только тогда, когда az+ ( ü;r+ ) состоит из автоморфизмов. Как было показано, индекс имеет одинаковое значение у коцикличес-ки сопряженных полугрупп. Более того, Арвесон в [41] показал, что при накладовании на класс рассматриваемых Ёо-полугрупп некоторых условий регулярности, при выполнении которых они называются "вполне пространственными", полугруппы из этого класса с одинаковыми индексами коциклически сопряжены. Последовавшие работы развивали теорию как в абстрактном случае (см. [35-38,42-48,6972]), так и для случая квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов (см. [39,64-68]), введенных Пауэрсом в [19]. Используя процедуру минимальной дилатации до *-эндоморфизма, Бхат в [48] развил теорию индекса для динамических полугрупп, состоящих из вполне положительных сжатий В(%). Еще в первой работе [34], Пауэре указал на возможность введения индекса полугрупп эндоморфизмов на 1У*-факторе Л4 отличном от В(Ж). Им был предложен метод введения индекса Е'о-полугруппы на гиперфинитном факторе типа Их.

Пауэре в [34] поставил задачу о построении для любого натурального числа п такой £о-полугруппы а, на И^-факторе М, названной им потоком сдвигов, что r\n€z+atn(M) = Cl, t > 0, и inda = п. Там же приведено решение этой задачи в случаях, когда М является алгеброй всех ограниченных операторов и гиперфинитным фактором

типа Iii. Арвесон в [41] доказал, что потоки сдвигов Пауэрса на В{%) являются вполне пространственными .^-полугруппами. Таким образом, индекс характеризует класс коциклической сопряженности потоков сдвигов Пауэрса на В(Н). Булинский в [51-52] показал, что на любом гиперфинитном факторе типа Шд существуют потоки сдвигов Пауэрса с заданным индексом. В [51-52] была установлена связь потоков сдвигов с K-потоками, определенными в [49]. В этой связи, Булинским было указано, что потоки сдвигов естественнее называть полупотоками.

В [41] было показано, что любой нормальный *-эндоморфизм В (К) "выполняется" некоторым семейством изометрических операторов. Индекс Пауэрса эндоморфизма (и отвечающей ему дискретной полугруппы) есть число изометрических операторов в этом семействе (см. [69,71]). Исследование структуры семейства изометрических операторов, выполняющего квазисвободный эндоморфизм, проводилось Бинненхаем в [33].

Мы рассматриваем полугруппы ат на И^-факторе М, для которых предполагается выполненым условие полной совместимости с точным состоянием ш Е М* (A.B. Булинский).

Определение. Эндоморфизм а называется совместимым с точным состоянием и Е М.*, если выполнено условие

(a) ша = ш (инвариантность и относительно действия а); в случае если дополнительно выполнено условие

(b) Ода = aoR (коммутативность с модулярной группой, отвечающей íü),

а называется вполне совместимым с и.

Полугруппа ат называется (вполне) совместимой с ш, если эндоморфизмы o¿t (вполне) совместимы с ш при любом t Е Т.

Условие (а) гарантирует существование полугруппы изометрических операторов Vt, сплетающей полугруппу ат в смысле c¿t{x)Vt =

Ц.х, х Е М, 4 6 Г. Полугруппы а?, Для которых найдется сплетающая полугруппа изометрий, называются пространственными (Р.Т. Пауэре).

Пусть М - Ж*-фактор типа 1П\, 0 < Л < 1. Фиксируем £ = Предположим, что выполнено одно из следующих эквивалентных

условий (см. [7], С.439): - < = /<*;

— алгебра неподвижных элементов сгш является фактором;

— 8р(Аш) = Г(сга;), где Аш - модулярный оператор;

тогда мы будем говорить, что сгш удовлетворяет условию Е. В случае, когда М имеет тип Щ мы считаем выполненым условие Е для модулярной группы <7Ш, отвечающей следовому состоянию и на

М.

В диссертации изучаются объекты, относительно которых предполагаются выполнеными следующие условия:

В первой главе мы исследуем полугруппы нормальных эндоморфизмов абстрактного И^-фактора М., вполне совместимые с состоянием ш, для которого удовлетворяет условию Е. Во второй главе исследуются квазисвободные полугруппы на факторе Л4д, вполне совместимые с состоянием шд, для которого оШк не удовлетворяет, вообще говоря, Е. В третьей главе мы исследуем модельный случай квазисвободных отображений на гиперфинитных факторах М.у типа П1 и Шд ( 0 < V < 1/2 ), вполне совместимых с состоянием Для модулярной группы , 0 < V < 1/2, условие Е выполняется всегда.

Изложим кратко изучаемые в диссертации вопросы: В главе 1 доказывается выполнимость семейством изометрических операторов нормального *-эндоморфизма а 1¥*-фактора Л4, отличного от В(Т-С). Это позволяет нам установить "регулярное расширение" полугруппы ат на М до полугруппы (5т на В(Н) = М V М!.

Применение указанной процедуры для ^-полугруппы а на М позволяет получить Ео-полугруппу ¡3 на В (71), являющуюся регулярным расширением а. Мы вводим индекс а как индекс Пауэрса-Арвесона /3. Определенный таким образом индекс является инвариантным относительно коциклической сопряженности полугрупп. В главе 2 мы применяем технику, развитую в главе 1, для исследования квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов Л4д. Отметим, что для модулярной группы аШн, Я ф у1, не выполняется, вообще говоря, условие £. В случае квазисвободных £о-полугрупп на А4д ~ В [Ж) доказано, что индекс полностью характеризует класс коциклической сопряженности полупотоков сдвигов Пауэрса. Кроме того, мы исследуем класс всех квазисвободных расширений (а не только "регулярного" , введенного в главе 1) квазисвободного эндоморфизма а гиперфинитного фактора Му, 0 < и < 1/2, на В{%) = У М!у. Далее, мы предлагаем аналог разложения Вольда для нормальных эндоморфизмов. В главе 3 исследуются условия коциклической сопряженности квазисвободных эндоморфизмов и ¿^"Полугрупп в модельной ситуации 1У*-факторов Ми, 0 < V < 1/2. Используя полученные условия, мы вводим определение аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Изометрическим операторам (Со-полугруппам изометрических операторов) V и V, аппроксимирующим друг друга в смысле нашего определения, отвечают коциклически сопряженные квазисвободные эндоморфизмы (.Ео-полугруппы) В(и) и В(у), полученные подъемом V и V. Мы решаем задачу об аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве вполне неунитарными изометрическими операторами и полугруппами вполне неунитарных изометрических операторов соот-ветсвенно. Это позволяет нам описать классы коциклической сопряженности сдвигов и полупотоков сдвигов Пауэрса на гиперфинитных

факторах типа Iii и П1д.

Мы обозначаем символами В(%) - алгебру всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве И; М - РК*-фактор действующий в % с циклическим и отделяющим вектором Q,; М! - коммутант М; М V Я - минимальную VP-алгебру, содержащую И^-алгебры М. и 7V; ш, как правило, обозначает вектороное состояние (П,-П); а и ß - нормальные унитальные эндоморфизмы или полугруппы эндоморфизмов Л4; s2, || • Ц2, 5оо и || • || обозначает класс операторов Гильберта-Шмидта, норму Гильберта-Шмидта, класс вполне непрерывных операторов в % ж норму в В(%) соответственно.

Глава 1. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное расширение. Случай произвольного И^-фактора

Всюду ниже мы обозначаем J и С модулярную инволюцию и положительный конус, ассоциированные с состоянием = (П, -Ü). Мы считаем, что модулярная группа аш удовлетворяет условию £ (см. введение).

1.1 Расширение на В(Н) *-эндоморфизма а И^-фактора М С В{%) вполне совместимого с точным нормальным состоянием.

1.1.1. Пусть (V¿)o<i<n5 n < +оо, - такое семейство изометрических операторов в что проекторы V¿V*, 0 < г < п, попарно ортогональ-

п

ны, причем £ V¿Vj* = I. i=О

Определение. Семейство (V¿)o<¿<n называется выполняющим эндоморфизм а, если

п

а{х) = Y,VíxV¡: хеМ. (А)

í=I

Замечание. В прямую проверяется, что любое отображение, определенное формулой (А), является *-эндоморфизмом. Д

Понятие о семействе изометрий, выполняющем эндоморфизм введено Арвесоном, который показал в [41], что для любого *-эндоморфизма И^*-фактора В (К) найдется выполняющее его семейство изометрий. Пауэре в [34] ввел индекс inda нормального *-эндоморфизма а алгебры В(Н). Пусть а представим в в виде (А), тогда inda — п (см. подробнее в [34,69,71]). В работах [69-72] исследуется связь свойств семейства изометрий, выполняющего *-эндоморфизм

В{Н), со свойствами этого эндоморфизма. Для этой цели исследуется алгебра Кунтца [75], порожденная изометриями семейства.

Предположим, что унитальный нормальный эндоморфизм a W*-фактора М. представим в виде (А). Операторы Vi сплетают а в смысле a(x)Vi = Vix, х G M,1 < i < п. Таким образом, для нахождения семейства изометрических операторов, выполняющего а, требуется найти в некотором смысле полное семейство изометрических операторов, сплетающих а. Для *-эндоморфизма а, вполне совместимого с точным нормальным состоянием и;(-) = (О, -П), формула TxVt = a(x)fl, х G Л4, определяет изометрический оператор Т, сплетающий а. Свойства а оказываются в этом случае близкими к свойствам изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Исследованию аналогии между *-эндоморфизмами, вполне совместимыми с точным нормальным состоянием и изометрическими операторами посвящены работы [53-58].

W-фактор М. естественным образом вложен в W-фактор В{%) = М V М'. Возникает вопрос о расширении а до *-эндоморфизма (5 ТУ*-алгебры В{Н). Такой вопрос был поставлен в работе [30], где для динамической полугруппы ¡3 = (Pt)t>о, состоящей из унитальных сжатий Л4, было доказано существование расширения для случая, когда Л4 является фактором типа I. Пусть а есть *-эндоморфизм комму-

71 71

танта М!. Тогда формула /3(Е Х{х'^) = £ а(хг)а(х[), Xi G М,х\ G

г=1 i=1

М-', 1 < г < п < +оо, корректно задает алгебраический *-морфизм С*-алгебры А, порожденной замыканием по норме линейных ком-

п

бинаций элементов х G М, х' G М', поскольку Е хгх'г = 0 влечет

i= 1

71

Е a(xi)a(x'i) = 0 (см. [1]). Следовательно, ||/?(ж)|| < ||а?||, х,у G А.

г=1

С*-алгебра А является плотной в B(l-t) в любой слабой топологии, но /3 может не иметь расширения на В{Н) и не является, вообще говоря, нормальным *-эндоморфизмом. Для нормального *-эндоморфизма

/3 И^-алгебры В(Н) найдется семейство изометрических операторов, выполняющее (3 (см. [41]). Следовательно, в случае когда расширение на В(Н) существует, для а найдется выполняющее его семейство изометрических операторов, и наоборот, если для а найдется выполняющее его семейство изометрических операторов, он имеет расширение на В(%). Таким образом, задача о расширении *-эндоморфизма а И^*-фактора М С В{%) на И^*-алгебру В(Н) совпадает с задачей построения семейства изометрий, выполняющего а.

1.1.2. Предложение. Для любого *-эндоморфизма а, совместимого с ш существует расширение (3, являющееся нормальным *-эндоморфизмом В{%) = М V М', причем (3(х)Т = Тх, х £ В (И).

Доказательство.

Мы докажем, что для любого ^-эндоморфизма а фактора Л4, совместимого с и, сущ