Почти вполне разложимые группы и связи с их кольцами эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

00305214В

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.541

БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ Екатерина Анатольевна

ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ И СВЯЗИ С ИХ КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2007

003052148

Работа выполнена на кафедре высшей математики физико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор ФОМИН Александр Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор АРТАМОНОВ Вячеслав Александрович

доктор физико-математических наук, профессор КОЖУХОВ Сергей Федорович

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ Аскар Аканович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится " 6 " апреля 2007 года в 16 час 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, Главное здание, ауд. 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан .... 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук профессор

В.Н. ЧУБАРИКОВ

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Абелевы группы традиционно являются бурно развивающейся в мире областью фундаментальной алгебры, в основания которой внесли свой вклад выдающиеся русские алгебраисты Л.Я. Куликов, А.Г. Курош, А.И. Мальцев, JI.C. Понтрягин, чьи традиции успешно продолжены в России работами И.С. Беккера, С.Я. Гриншпона, С.Ф. Кожухова, ПА. Крылова, А.П. Мишиной, A.A. Фомина, A.B. Яковлева, что отражено в обзорных публикациях1,2.

В последние десятилетия теория почти вполне разложимых групп выделилась в самостоятельную ветвь общей' теории абелевых групп. Её истоки следует искать в давних результатах, которыми было открыто существование абелевых групп без кручения, не являющихся прямыми суммами групп ранга 1. Александр Геннадьевич Курош в своей знаменитой книге3 писал: "Мы увидим позже, что вполне разложимыми группами далеко не исчерпываются все абелевы группы без кручения". Класс почти вполне разложимых групп по своему определению является наиболее близким к классу вполне разложимых групп конечного ранга, так как состоит из групп, содержащих вполне разложимую группу в качестве подгруппы конечного индекса. Интерес к нему определяется многими обстоятельствами, в частности тем, что в нем реализуется все многообразие неизоморфных прямых разложений, выраженное в терминах натуральных чисел (обозначающих ранги неразложимых слагаемых и их число в различных разложениях одной и той же группы), которое существует в классе всех абелевых групп без

'A.B. Михалев, А.П. Мишина. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты, Фундаментальная и прикладная математика, том. 1, вып. 2, стр. 320 - 375, 1995.

2 A. Fomin. Abelian groups in Russia, Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 32, no. 4,1161-1180, 2002.

3А.Г. Курош. Теория групп. Изд-е третье. Издательство "Наука" , Москва, 1967.

кручения конечного ранга. Это показано в работах4'5,6'7'8,9, результаты которых нашли отражение в монографии10 А. Мадера как содержащие решения проблем 67, 68 из книги11 Л. Фукса. В недавно вышедшей монографии12 её авторы, П.А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев, систематизировали широкий спектр результатов, относящихся ко всем направлениям теории абелевых групп, в том числе абелевых групп без кручения, и представлены они в тесной взаимосвязи с их кольцами эндоморфизмов, что выделяет эту книгу из ряда других по теории групп.

Связанная с этой книгой методикой совместного рассмотрения групп и их колец эндоморфизмов, диссертация при этом имеет более узкий предмет изучения, почти вполне разложимые группы, как и упомянутая выше монография А. Мадера, и, таким образом, вплетается в ткань современных исследований абелевых групп. Она посвящена установлению взаимозависимостей между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов, лричем при изучении последних упор делается на их групповые свойства (кольцевые свойства колец эндоморфизмов групп без кручения отражены в ряде работ13'14 П.А. Крылова). Важными групповыми характеристиками любой почти

4Е. А. Благовещенская, A.B. Яковлев. Прямые разложениях абелевых групп конечного ранга без кручения. Алгебра и Анализ, т. 1, вып. 1, с. 111-127,1989.

5Яковлев А. В. Абелевы группы конечного ранга без кручения и их прямые разложения, Зап. научи, сем. ЛОМИ, т. 175, стр. 135-153, 1989.

6 Яковлев. О прямых разложениях абелевых групп конечного ранга без кручения, Зал. научн. сем. ЛОМИ, т. 160, стр 272-285, 1987.

7Е. А. Благовещенская Разложения абелевых групп конечного ранга без кручения в прямые суммы неразложимых групп Алгебра и Анализ, т. 4, вып. 2, с. 62-69, 1992.

8Е. А. Благовещенская. О прямых разложениях абелевых групп без кручения конечного ранга Зап. научн. семинаров ЛОМИ, т. 132, с. 17-25,1983.

®Е. А. Благовещенская. Графическое истолкование некоторых абелевых групп без кручения конечного ранга. Прикладная Математика, Труды С. Петербургского Политехнического Университета, # 461, с. 53-59, 1996.

10A. Mader. Almost completely decomposable abelian groups, Gordon and Breach, Algebra, Logic and Applications, Vol. 13, Amsterdam, 2000

11 Л. Фукс. Бесконечные абелевы группы, т. 2, М.: Мир, 1977.

"П.А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, Москва, Факториал, 2006.

13П.А. Крылов. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения, Абелевы группы и модули, вып. 11, 12, с. 99-120, Томск, 1994.

14П.А. Крылов. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения, Матем, сб., 95, вып. 2, с. 214 - 228, 1974.

вполне разложимой группы X являются ее регулятор R(X), однозначно определенная вполне разложимая вполне характеристическая подгруппа конечного индекса, и регуляторный фактор X/R(X).

Основой взаимопроникновения теории групп и теории колец в данном случае служит то обстоятельство, что кольца эндоморфизмов почти вполне разложимых групп по отношению к операции сложения также являются группами из этого класса. Этот факт определяет новое направление исследований, во-многом реализованное в представленной работе, а именно, исследование почти вполне разложимых колец (групповая характеристика кольца относится к его аддитивной группе, как и принято).

В этой связи следует отметить книгу15 И.Х. Беккера и С.Ф. Кожухова, в которой рассматриваются условия того, что автоморфизм регулятора продолжается до автоморфизма всей почти вполне разложимой группы. Здесь открываются широкие возможности для применения методов линейной алгебры, имеющих интересные приложения в различных областях, о чем, в частности, свидетельствует книга16 В.А. Артамонова и В.Н. Латышева.

Действенным инструментом исследования абелевых групп является двойственный подход к различным классам групп. К наиболее красивым и эффективным можно отнести двойственную конструкцию17 A.A. Фомина, а также категориальную двойственность.18 Открытая в диссертации двойственность определения почти вполне разложимых структур (групп и их колец эндоморфизмов) дает способ доказательства ряда важных результатов.

Данный подход переносится на введенный в последней главе диссертации класс локально почти вполне разложимых групп, состоящий из групп счетного ранга, все вполне характеристические

15И.Х. Веккер, С.Ф Кожухов. Автоморфизмы абелевых групп без кручения, Томск, 1988.

1вВ.А. Артамонов, В.Н. Латышев. Линейная алгебра и выпуклая геометрия, Москва, Факториал Пресс, 2004.

"А.А.Фомин, Инварианты и двойственность в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга, Алгебра и логика, 26, № 1, стр 63-83,1987.

1ВА.А. Fomin and W.J.Wickless, Quotient divisible abeiian groups, Proceedings of the Amer.Math.Soc., vol. 126, no. 1, pp. 45-52,1998.

сервантные подгруппы которых конечного ранга являются почти вполне разложимыми группами. Сложность проблемы классификации групп без кручения даже конечного ранга хорошо известна, и наиболее ярким свидетельством этого является известный результат19 A.B. Яковлева. Возникшее в связи с этим понятие почти изоморфизма20,21 распространяется в диссертации на группы счетного ранга для осуществления их классификации.

Цель работы.

1) Установить связи (в том числе, двойственные) между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов для выявления групповой структуры последних и распространения специальных методов теории почти вполне разложимых групп на кольца.

2) Определить новые классы групп без кручения счетного ранга, являющихся почти вполне разложимыми в локальном смысле, и на основе полученных закономерностей распространить на них теорию почти вполне разложимых групп.

3) Ответить на традиционные для алгебры вопросы теоремами классификации групп и колец, реализации колец, теоремами об определяемое™ групп их кольцами эндоморфизмов (аналог теоремы22,23 Бэра-Капланского), об идентичности прямых разложений почти изоморфных групп счетного ранга (аналог теоремы24 Арнольда), критериями неразложимости групп и колец.

Процесс совместного исследования почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов естественным образом распадается на этапы, сводящиеся к решению отдельных задач:

19А.В. Яковлев К проблеме классификации абелеых групп без кручения конечного ранга, Зап. научн. семинаров ЛОМИ, т. 57, с. 171-175, 1976.

20L. Lady. Almost completely decomposable torsion-free abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc. 35, pp. 41 - 47,1974.

21L. Lady. Nearly isomorphic torsion-free abelian groups, J. Algebra, 35, pp. 235 - 238, 1975.

22 R. Baer. Automorphism rings of primary abelian operator groups, Ann. Math. 44, pp. 192 - 227, 1943

231. Kaplansky. Infinite Abelian Groups, Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, 1954.

24D. Arnold. Finite rank torsion free abelian groups and rings, Lecture Notes in Mathematics, 931, Springer Verlag, 1982.

1. Исследовать почти вполне разложимые группы X с примарным регуляторным фактором совместно с их кольцами эндоморфизмов End X для получения групповых характеристик последних.

2. Установить связи между почти вполне разложимыми группами X с произвольным регуляторным фактором и их кольцами эндоморфизмов EndX. Исследовать группу автоморфизмов Aut(EndX) кольца EndX.

3. Построить теорию блочно-жестких почти вполне разложимых групп X с циклическим регуляторным фактором, включающую их классификацию, построение EndX и Aut(EndX), определение на группах кольцевых структур.

4. На класс локально почти вполне разложимых групп счетного ранга распространить теорию почти вполне разложимых групп, включающую обобщение понятия почти изоморфизма и доказательство аналога теоремы Арнольда о прямых разложениях.

Общая методика исследования. Используются методы теории абелевых групп, относящиеся к конечным группам и группам без кручения, а также специальные методы теории почти вполне разложимых групп, которые здесь распространены на почти вполне разложимые кольца. Вложение группы в её делимую оболочку приводит к эффективному использованию матричной техники. Определяющую роль в применении матричных методов играет традиционный подход линейной алгебры в комбинации с теорией чисел. Найден комбинаторный (графический) способ построения и классификации прямых разложений групп счетного ранга определенного класса. Развита новая техника параллельных перемещений групп без кручения в их общей делимой оболочке, что приводит к двойственности определений почти вполне разложимых структур и важным следствиям. Применяются общие методы теории колец и модулей.

Далее будут использоваться сокращенные формы записи: "пвр-группа" (почти вполне разложимая группа) и "црф-группа" (пвр-

группа с циклическим регуляторным фактором); под "пвр-кольцом" и "црф-кольцом" понимаются кольца с соответствующими аддитивными структурами.

Рассматриваемые пвр-группы считаются группами кольцевого типа, то есть все прямые слагаемые ранга 1 их регуляторов изоморфны подгруппам группы рациональных чисел, являющимся кольцами с единицей.

Для определенности считаем, что пвр-группа X имеет регулятор А, естественно, ранги этих групп совпадают, rk(X) = гк(Л). Слово "фактор" всегда означает регуляторный фактор, то есть конечную группу Х/А. Её экспонента, е = ехр Х/А, наименьшее натуральное число е со свойством е(Х/А) — 0, называется регуляторной экспонентной группы X. Известно, что EndX С End А.

Основными результатами работы являются следующие:

1. Установлено, что кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-групп также являются почти изоморфными пвр-группами.

2. Для блочно-жесткой пвр-группы X доказано, что любой автоморфизм кольца End-X" однозначно продолжается до автоморфизма кольца End А Для случая р-примарного фактора получено разбиение кольца End А на I + 1 непустые попарно дизъюнктные области инвариантности по отношению ко всем В € Aut(EndX), где ехр Х/А = р1. В случае циклического фактора построена группа автоморфизмов кольца EndX.

3. Для блочно-жесткой пвр-группы X, содержащей вполне разложимую подгруппу А (не обязательно являющуюся регулятором), такую что р — ещ>(Х/А) для некоторого простого р, получено наилучшее из возможных необходимое условие неразложимости, связанное только с числом тк(Х/А).

4. Решена проблема классификации для блочно-жестких црф-групп и полуправильных коммутативных црф-колец с единицей, найден

критерий неразложимости, решена проблема определения кольцевых структур данного вида на группах. Для правильных колец получена теорема реализации.

5. Установлены двойственные связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов, дающие эффективный способ доказательства важных результатов как для групп конечного ранга (в Главе 4), так и счетного ранга (в Главе 5).

6. Определено понятие почти изоморфизма для групп без кручения счетного ранга и доказан аналог теоремы Арнольда о прямых разложениях блочно-жестких локально почти вполне разложимых групп, в случае обобщенно циклического регуляторного фактора для них построена графическая теория прямых разложений.

7. В классах блочно-жестких црф-групп (конечного ранга) и групп из п. 6. (счетного ранга) с обобщенно циклическим фактором доказана их определяемость кольцами эндоморфизмов с точностью до почти изоморфизма (теоремы типа Бэра-Капланского).

Таким образом, в диссертации основано и развито новое направление исследований: совместное изучение почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов. В качестве приложений получены эффективные методы исследования почти вполне разложимых коммутативных колец с единицей и обосновано распространение построенной теории на группы, почти вполне разложимые в локальном смысле (имеющие счетный ранг).

При этом доказан ряд теорем классификации, реализации для колец, типа Бэра-Капланского для групп, получены критерии неразложимости групп и колец.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Установленные в ней связи между почти

вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов расширяют представления об аддитивных структурах. Разработан общий подход, снимающий ограничения, связанные с конечностью рангов, и сформирован новый взгляд на прямые разложения, реализованный для локально почти вполне разложимых групп счетного ранга. Структурирована теория коммутативных пвр-колец с единицей, выяснено, что существование неизоморфных прямых разложений пвр-групп проявляется в многозначности определения на них кольцевых структур данного вида, причем сами кольца являются однозначно разложимыми.

Разработанные методы могут быть использованы в дальнейшем развитии теории абелевых групп, а также колец и модулей как в целом, так и при исследовании колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов (в том числе, кольцевых), в частности, модулей над дедекиндовыми кольцами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международном семинаре "Компьютерная алгебра и информатика" в Московском Государственном Университете (2005), на Международных алгебраических конференциях в Москве (2000, 2004), С. Петербурге (1997, 2002), Екатеринбурге (2005), Новосибирске (1989), на Международной конференции по алгебраической комбинаторике во Владимире (1991), на Всероссийском Симпозиуме по Абелевым группам в Бийске (2005), на алгебраическом семинаре в МГУ (2005), на Всероссийской конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" в С. Петербургском Государственном Политехническом Университете (2006), на 4-ом Европейском математическом конгрессе (Швеция, 2004), на Европейских и международных алгебраических конференциях в Германии (1998, 1999, 2002), Италии (2002), на специальных конференциях по абелевым группам, кольцам и модулям в Германии (1993), Италии (1994, 1999), Ирландии (1998), а также на регулярных алгебраических семинарах в университетах Германии (Нюрнберг-Эрланген 2002, Эссен 2000), Швеции (Стокгольм 1998, Упсала 1998),

Австралии (Сидней 1999, Перт 1999), США (Коннектикут 1999), на Нью-Йоркском семинаре по теории групп (1999).

Некоторые результаты диссертации вошли в книги: A. Mader. "Almost completely decomposable abelian groups" , 2000, П.А. Крылов, A.B. Михалев и A.A. Туганбаев "Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов" , 2006,

P. Krylov, A. Mikhalev and A. Tuganbaev "Endomorphism Rings of Abelian Groups" , 2003.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 15 работ [1] - [15].

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 273 страницах и состоит из введения, пяти глав, разделенных на 20 параграфов, и списка литературы, который содержит 98 наименований.

Содержание диссертации.

Во введении содержится общая характеристика диссертации, анализируются результаты, предшествующие появлению представленной работы, дается краткое содержание глав.

Глава 1 является вводной в теорию почти вполне разложимых групп, содержит базовые определения и важные известные результаты, составляющие фундамент данной работы. В этой главе устанавливается используемая далее система обозначений, в частности, EndX+ всегда обозначает аддитивную группу кольца эндоморфизмов пвр-группы X, которая также является почти вполне вполне разложимой.

Все рассматриваемые группы — абелевы и редуцированные (не имеющие ненулевых делимых подгрупп), так как теория абелевых групп без кручения сводится к редуцированному случаю. Рангом абелевой группы без кручения X, обозначаемым rkX, называется размерность ее делимой оболочки QX = X <g> Q (Q всегда обозначает поле или группу рациональных чисел).

Как обычно, V С X означает, что V — подгруппа группы X, а V* — {д € X : существует п € N, для которого пд € V-} обозначает

сервантную оболочку подгруппы V в группе без кручения X. Подгруппа V сервантна в X, если V* = V. Подгруппа V называется вполне характеристической подгруппой группы X, если ограничения на неё всех эндоморфизмов группы X являются эндоморфизмами группы V.

Любая почти вполне разложимая группа X ранга п содержит единственным образом определенную вполне разложимую подгруппу Я(Х) конечного индекса (прямую сумму групп ранга 1), которая является ее вполне характеристической подгруппой и называется регулятором в X. В большинстве случаев А обозначает регулятор ЩХ), тогда Х/А — регуляторный фактор группы X.

Если в прямом (однозначно определенном с точностью до изоморфизма) разложении регулятора А = ф,=1 п Аг в прямую сумму слагаемых ранга 1 любые две различные группы Ак и А] (к ф либо изоморфны, либо удовлетворяют условию

Нот(Л^, Ай) = А к) = 0, то группы X и А называются блочно-

жесткими, если при этом реализуется только вторая возможность, то X и А называются жесткими группами. Множество различных типов (классов изоморфизма) слагаемых Аг ранга 1 называется множеством критических типов, Т^А), группы А и определяет ее разложение А — фтбГсг(У4) Ат на т-однородные компоненты, определенные однозначно для блочно-жесткой группы А. Всегда считается, что Тс-(А) состоит из идемпотентных типов, то есть X — пвр-группа кольцевого типа.

Пусть е = ПреР Р1р ~~ каноническое разложение регуляторной экспоненты е = ехр Х/А пвр-группы X (Р — некоторое конечное множество простых чисел).

Если Х/А является циклической группой, то X называется почти вполне разложимой группой с циклическим регуляторным фактором; если, в другом частном случае, Х/А — примарная группа, то X называется почти вполне разложимой группой с примарным регуляторным фактором, и для нее Р состоит из одного элемента.

В любой периодической (конечной) группе б её р-примарная компонента обозначается как (С%.

Традиционно, групповые характеристики, примененные к кольцу Ь,

относятся к его аддитивной группе Ь+, и только для случая "вполне разложимых колец" делается исключение и считается, что такое кольцо Ь является прямой суммой идеалов ранга 1, а не только группа Ь+ представляется в виде прямой суммы подгрупп ранга 1. Нам понадобятся блочно-жесткие почти вполне разложимые кольца Ь (по отношению к операции сложения), в том числе те, которые имеют вполне разложимые подкольца <3 конечного индекса (то есть Ь+ /С+ — конечная группа и С? — прямая сумма идеалов ранга 1). Регулятором пвр-кольца называется регулятор его аддитивной группы. Прямое произведение колец Ь; записывается в виде П^х А-

Хорошо известно, что пвр-группа имеет примарно-факторное представление

* = а)

реР

в виде суммы пвр-групп Х^ с одним и тем же регулятором А и р-примарными регуляторными факторами Х^/А. С другой стороны,

Епс1Х = рЕпаХ^).

реР

Это означает, что изучение групп с примарным регуляторным фактором и их колец эндоморфизмов является необходимым шагом в исследовании почти вполне разложимых групп в целом.

Отметим их уровневую структуру. Фиксируем р, и пусть р1 = ехрХ(р)/А для некоторого натурального I. Обозначим У = Х^ и введем 0>А = А ® 0>, делимую оболочку групп А и У. Отождествляем А с А ® 1 = {а ® 1 : а £ А} и для любого натурального к обозначаем подгруппу А <Э р = {а ® -р : а € А} группы А как ф. Ясно, что Р1$ = АкАсУс£. Тогда подгруппы У* = УП^, к = 0,1,...,1 составляют уровневую цепь

У = У1 э У5-1 э У1-2 э 3 ... э У2 о Ух э У0 = А

пвр-группы У = Х(р) с примарным регуляторным фактором.

Поскольку почти вполне разложимые группы входят в более широкий класс Батлеровских групп, допускающих неизоморфные прямые

разложения, они в большинстве случаях классифицируются только с точностью до почти изоморфизма — эквивалентности, которая слабее изоморфизма, но достаточно полно отражает свойства прямых разложений в отличие от квазиизоморфизма:

Определение. Пусть G и Н — группы конечного ранга без кручения. Тогда G и Н почти изоморфны (G =„г Н), если и только если для каждого простого р существуют мономорфизмы фр : G —> Н и ■фр : Н —> G, для которых группы H/G<t>p и С/Нфр конечны и (Я/ G(f>p)p = 0 = ((?/ Нфр)р. □

Теорема (Д.Арнольд, 1982). Если G и Н — почти изоморфные абелевы группы без кручения конечного ранга и G — G\ ® Gz, то Н = Hi © #2 для некоторых групп Hi =nr Gi, #2 =Пг □

Глава 1 заканчивается обоснованием необходимости отдельного рассмотрения пвр-групп с примарным регуляторным фактором, что и составляет содержание следующей главы.

Глава 2, как и все последующие, состоит из результатов автора

Вводится класс Л пвр-групп X, содержащих в качестве регулятора фиксированную вполне разложимую группу А, в этой главе дополнительно предполагается, что Х/А — примарная группа. Важной является

Теорема 2.1.3 Пусть X, X' G А и Х/А, Х'/А — примарные конечные группы. Если X =nr X', то End X и End X' почти изоморфны как абелевы группы. □

Её обобщение на группы счетного ранга позволит в последней главе доказать для них аналог теоремы Арнольда.

Из того, что А является вполне характеристической подгруппой в X и X С QA, следует, что EndX С End Л для групп X € Л, поскольку любой эндоморфизм на X определяется образами элементов

из А. Необходимым шагом в исследовании аддитивной структуры колец

/

эндоморфизмов EndX пвр-групп X является нахождение регулятора ii(EndX+), что подготовлено Теоремой 2.2.5, из которой вытекает

Следствие 2.2.6 Пусть X G А является блочно-жесткой пвр-группой с р-примарным регуляторным фактором Х/А и р1 = ехр Х/А Тогда

R(EndX+) = Eom{X,A)+ и регуляторная экспонента группы End Х+ равна р1. □

Отсюда, на основе классического результата из книги25 Джекобсона о том, что любой автоморфизм полного матричного кольца над Q является внутренним, и с использованием предварительно доказанной с помощью матричной техники Леммы 2.3.4, предопределяющей многие дальнейшие результаты, получается

Теорема 2.3.5 Пусть X — блочно-жесткая почти вполне разложимая группа кольцевого типа с регулятором А = ©теТсг(Л) Ат и р-примарным регуляторным фактором Х/А. Если В G Aut(EndX), то В € П^егсг(Л) Aut(End Ат), т.е. В продолжается до (кольцевого) автоморфизма кольца £А = End А. □

Эта теорема является центральной во всем проведенном исследовании как имеющая самостоятельную значимость, так и во-многом определившая ход последующих рассуждений. В частности, в этой же главе на ее основе раскрывается уровневая структура группы End Х+ и исследуется действие кольцевых автоморфизмов на End X следующими теоремами:

Теорема 2.5.4 Пусть X является блочно-жесткой пвр-группой кольцевого типа с регулятором А и р1 = ехр (Х/А) для некоторого простого числа р, и пусть £ = End X, £а = End Л. Предположим, что для каждого целого к из интервала [О, I] группы Х'к и Xk определяются как Х'к = +Х и Хк = fi, где Хк = ф ПХ.

Тогда существует цепь

£ = £А® с £л{1'1) С £a«-V С ... С £л(1) с £л(0) = SA, в которой £аМ = Нот(Х'к,Хк), и

р1~к£АМ =р1~к£АП£.

25Н. Джекобсон. Теория Колец, Москва, 1947.

□

Теорема 2.5.6 Пусть X является блочно-жесткой пвр-группой кольцевого типа с регулятором А и р1 = ехр{Х/А) для некоторого простого числа р, и пусть £ = EndX, 6а = End Л. Предположим, что = HompS^.Xfc) для любого целого к £ [О, I], где Х'к = + X,

хк = ф%ихк = фпх.

Тогда

£л = (£/0) \ €/») и (г:/1) \ £*<*>) и... и \ £А<») и

есть объединение попарно дизъюнктных непустых подмножеств, таких что ограничение любого В € Aut(£) на каждое из них устанавливает взаимно однозначное соответствие между его элементами. □

В конце главы доказывается теорема, дающая для групп некоторого специального вида наилучшее из возможных необходимое условие неразложимости (в том смысле, что при его нарушении группа может оказаться как разложимой так и неразложимой, в зависимости от других ее характеристик, что подтверждается специально подобранными примерами). Известно, что вопрос о том, является ли вполне разложимая подгруппа конечного индекса регулятором в пвр-группе, довольно сложен, и в данном случае важно, что в условии этого требования нет, что облегчает применение полученной теоремы:

Теорема 2.6.20 Пусть X является блочно-жесткой пвр-группой ранга га, содержащей вполне разложимую подгруппу А, максимальный ранг однородной компоненты которой равен т. (m 2), и пусть Х/А — элементарная р-группа ранга t. Тогда, если X неразложима, то т < п/2 Tum^t^n — т. □

В ее доказательстве используется матричный подход, согласующийся с тем, который применен в работе26 С.Ф. Кожухова.

Следующим в порядке усложнения групповой структуры

2вС.Ф. Кожухов. Почти вполне разложимые абелевы группы без кручения с примарными факторами, Абелевы группы и модули, вып. 5, с. 42-55, Томск, 1985.

рассматривается класс групп с циклическим регуляторным фактором и начинается

Глава 3. На всем ее протяжении действует ограничение на регулятор А, который считается блочно-жесткой группой.

В Теореме 3.2.11 получена классификация блочно-жестких црф-групп кольцевого типа с точностью до изоморфизма, согласующаяся с классификацией27, полученной A.B. Влаженовым для некоторого класса модулей, к которому можно отнести рассматриваемые группы, но применительно к группам данная формулировка выглядит более предпочтительной. Она позволяет выделить из каждого класса почти изоморфизма некий особый класс изоморфизма, состоящий из правильных црф-групп. Это используется в последней части главы при классификации некоторого класса колец с почти вполне разложимой аддитивной структурой, так как оказалось, что все они являются правильными, рассматриваемые как группы.

Далее, применение теоремы 2.3.5 (которую мы назвали центральной), а точнее, ее следствия 2.3.6, приводит к матричному представлению группы автоморфизмов кольца End X для блочно-жесткой црф-группы X в Теореме 3.3.7.

Для црф-групп получены также матричные представления других предшествующих конструкций, в том числе, уровневой структуры.

Но есть результат, который имеет место только для групп конечного ранга, рассматриваемых в этой главе, — это теорема типа Бэра-Капланского (ей предшествует доказательство того, что почти изоморфизм групп из этого класса влечет изоморфизм их колец эндоморфизмов):

Теорема 3.5.14 Пусть X и Y — блочно-жесткие црф-группы кольцевого типа. Если EndX S End У, то X =nr Y. □

В отношении групп без кручения определяемость кольцами эндоморфизмов до сих пор была установлена только в случае вполне

27А.В. Блаженов. Роды и сокращение модулей конечного ранга без кручения, Алгебра и Анализ, т. 7, вып. 6, с. 33-78, 1995.

разложимых28 и векторных групп. Рассматриваемые в доказательстве этой теоремы кольца эндоморфизмов жестких црф-групп имеют правильную аддитивную структуру и относятся к классу коммутативных црф-колец с единицей.

В структурировании их общей теории (в последней части главы) возникли два направления, связанные с наличием или отсутствием в кольце К вполне разложимого подкольца (прямой суммы идеалов ранга 1) конечного индекса. Если такое подкольцо существует и как множество совпадает с регулятором группы К+, то кольцо К называется правильным, а класс всех таких коммутативных колец с единицей обозначается К.. Отождествляя К с его изоморфной копией в Епс1(Л'+), подкольцом, состоящим из умножений (слева) на элементы из К, имеем вложение К С Епс1(Аг+), которое называется регулярным представлением кольца К. Для правильных колец получена

Теорема реализации 3.6.4 Пусть К € К. — кольцо с регулярным представлением К С Епс1(К+), и пусть Л — регулятор в К+. Тогда существует единственное разложение = Щ на слагаемые ранга

1, такое что К = Епс1(/Г+) Л П Егк}(Дг+). □

¿ех

Для правильных и даже относящихся к более широкому классу К полуправилъных колец получены представления некоторыми подкольцами колец эндоморфизмов их регуляторов, из которых выведены критерии изоморфизма и неразложимости (Теоремы 3.6.9, 3.6.18, 3.6.19).

Кроме того, доказывается необходимое и достаточное условие изоморфизма аддитивных групп колец из класса К. (в частности, из /С), которым решается проблема определения различных кольцевых структур данного вида на одной и той же группе (Следствие 3.6.17).

Следующая Глава 4 является последней, в которой обсуждаются группы конечного ранга, а именно, пвр-группы из класса А с одним и тем

28А,М Себельдин. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручевия с изоморфными кольцами эндоморфизмов, Матем. заметки, том 11, вып. 4, с. 403-408, 1972.

же регулятором А, произвольной вполне разложимой группой кольцевого типа, и регуляторным фактором, не являющимся примарным.

Из упомянутого примарно-факторного представления пвр-группы

х = 12х<р)

реР

в виде суммы групп Х^ с р-примарными регуляторными факторами, легко получается, что

£=f\Sp,

реР

где £ = EndX и £р = End Х^ для каждого р е Р. Этот факт используется в доказательстве Теоремы 4.1.1, обобщающей теорему 2.1.3 на группы с произвольным регуляторным фактором.

Этот же подход приводит к построению двух булевых алгебр, ассоциированных с X, атомами которых являются группы Х^), и, соответственно, кольца £р, и в них определены операции П и + в теоретико-групповом смысле. Тогда отображение Х^ —> £р, р G Р, определяет антиизоморфизм29 этих алгебр.

Ключевым результатом этой главы является установление двойственного подхода к почти вполне разложимым структурам, который заключается в том, что группу можно рассматривать как пересечение групп, изоморфных -Х"(р), а ее кольцо эндоморфизмов, наоборот, как сумму структур, аддитивно изоморфных соответствующим £р, р £ Р:

Теорема двойственности 4.3.1 Пусть X = ]СреР^(р) е -А-Канонические цепи

д

А С X С — и е£А С £ С £А,

е

совпадают со следующими,

П*ы с = Ет » <2>

ЈРреР РеР р реР р

MS. Koppelberg. Handbook on Boolean Algebras, North-Holland, 1989.

р] ёр£р С = Р) £Р С Ер соответственно, (3)

рбР рбР рбР р€Р

где ер = ехр Х(р), ер = П,ея, е? для каждого ре Р. □

Отсюда получается обобщение центральной теоремы 2.3.5 из Главы 2 на группы с произвольным регуляторным фактором:

Теорема 4.3.2 Пусть X = Ylpep-^ip) является блочно-жесткой пвр-группой кольцевого типа. Тогда любой автоморфизм кольца £ — End X однозначно продолжается до автоморфизма кольца 8а = End Л, более того, Aut£ = р|реР Aut£p. □

Этим завершается построенная в работе теория, связывающая почти вполне разложимые группы и кольца конечного ранга, которая будет распространена в последней главе на группы счетного ранга.

В Главе 5 сформулировано определение почти изоморфизма для групп произвольного ранга, которое совпадает с изоморфизмом, если рассматриваемые группы вполне разложимы, и совпадает с традиционным почти изоморфизмом в случае групп конечного ранга:

Определение 5.1.2 Пусть G и Н — абелевы группы без кручения. Тогда G и Н называются почти изоморфными, G =nr Н, если для любого простого р существуют мономорфизмы Фр : G —» Н и Фр : Н —> G, такие что

1. группы H/G&p и G/ЯФр являются периодическими;

2. (Н/СФР)Р = 0 = (С/Я3др;

3. для любых сервантных подгрупп конечного ранга G' С G и Я' С Я фактор-группы {G'%)1?/G'% и (Я'ФР)?/Я'ФР являются конечными. □

Вводится класс С' блочно-жестких локально почти вполне разложимых групп счетного ранга (все вполне характеристические сервантные подгруппы которых конечного ранга являются пвр-группами), и для него доказывается аналог теоремы 2.1.3 из Главы 2. Отсюда получается

Теорема 5.2.4 (Главный результат о прямых разложениях локально почти вполне разложимых групп)

Пусть X и У — почти изоморфные группы из класса С'. Если X — ®{е1Х{, то существует разложение У — ф такое что X,- =пг Уг для всех г е1. □

И в завершение, для блочно-жестких локально почти вполне разложимых групп счетного ранга с обобщенно циклическим регуляторным фактором (все вполне характеристические сервантные подгруппы которых конечного ранга являются црф-группами) доказывается Теорема 5.3.14 об их определяемое™ кольцами эндоморфизмов с точностью до почти изоморфизма. При этом используются результаты глав 2, 3 и теоремы 4.3.1 и 4.3.2.

Также для таких групп строится комбинаторная (графическая) теория прямых разложений, из которой непосредственно вытекает известная теорема30 Корнера.

Таким образом, совместное использование теорем 2.1.3, 2.3.5, 4.3.1, 4.3.2 составляет новый подход к исследованию групп и колец, имеющих почти вполне разложимую .структуру (или почти вполне разложимую структуру в локальном смысле), который применен в последней главе.

Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту профессору Александру Александровичу Фомину за постоянное внимание к работе и данные им полезные советы.

За введение в проблематику теории абелевых групп, связанную с их прямыми разложениями, и руководство кандидатской диссертацией автор искренне благодарит профессора Анатолия Владимировича Яковлева.

30А. L. S. Corner. A note on rank and decomposition of torsion-free abelian groups, Proceedings Cambridge Philos. Soc. 57, pp. 230 - 233, 1961; 66, pp. 239 - 240, 1969.

Важным стимулирующим фактором в работе явилась возможность содержательного обсуждения современного состояния теории групп, колец и модулей с профессором Самуилом Яковлевичем Гриншпоном, профессором Петром Андреевичем Крыловым, профессором Александром Васильевичем Михалевым, доцентом

Анной Петровной Мишиной , профессором Тони Корнером

профессором Ласло Фуксом, общение с которыми всегда вспоминается с удовольствием и большой благодарностью.

Отдельно благодарю всех тех, с кем была связана совместная работа над статьями, Анатолия Владимировича Яковлева, Адольфа Мадера, Рюдигера Гобеля, Филла Шультца, Джорджа Иванова, за интересное и полезное взаимодействие в исследовании абелевых групп.

Все основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Е. Благовещенская. Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жестких почти вполне разложимых групп // Фундаментальная и прикладная математика, т. 10, вып. 2, с. 23 - 50, 2004.

2. Е. Благовещенская. Двойственная структура почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов // Успехи матем. наук, т. 61, вып.2, с. 159-160, 2006.

3. Е. Благовещенская. Теоремы реализации и классификации для одного класса колец без кручения конечного ранга // Успехи матем. наук, т. 61, вып.4, с. 183-184, 2006.

4. Е. Благовещенская. Почти вполне разложимые группы с примарным регуляторньш фактором и их кольца эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика, т. 12, вып. 2, с. 17 -38, 2006.

5. Е. Благовещенская. Двойственность теории почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов // Научно-технические ведомости СпбГТУ, 1, с. 69-72, 2006.

6. Е. Благовещенская. Почти вполне разложимые группы и кольца // Фундаментальная и прикладная математика, т. 12, вып. 8, с. 3 -27, 2006.

7. Е. Благовещенская. Определяемость абелевых групп без кручения счетного ранга некоторого класса их кольцами эндоморфизмов // фундаментальная и прикладная математика, т. 13, вып. 1, с. 31 -43, 2007.

8. Е. Благовещенская. Двойственные связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов // Современная математика и ее приложения, т. 13, Алгебра, 2004 (пер. Journal of Mathematical Sciences, Kluwer Academic/Plenum Publishers, vol. 131, issue 5, pp. 5948 - 5961, 2005).

9. E. Благовещенская. Прямые разложения локально почти вполне разложимых групп счетного ранга // Чебышевский сборник, т. 6. вып. 4. с. 24-47, 2005.

10. Е. Благовещенская. Графическое истолкование некоторых абелевых групп без кручения конечного ранга // Прикладная Математика, Труды С. Петербургского Политехнического Университета, # 461, с. 53-59, 1996.

11. Е. Blagoveshchenskaya. Classification of a class of almost completely decomposable groups // Rings, Modules, Algebras and Abelian Groups (Lecture notes in pure and applied mathematics series/236), pp. 45 - 54, 2004.

12. E. Blagoveshchenskaya. Direct decompositions of almost completely decomposable abelian groups // Abelian Groups and Modules (Lecture notes in pure and applied mathematics series/182), pp. 163-179, 1996.

13. E. Blagoveshchenskaya, A. Mader. Decompositions of almost completely decomposable abelian groups // Contemporary Mathematics, 171, pp. 21-36, 1994.

14. E. Blagoveshchenskaya, R. Gobel. Classification and direct decompositions of some Butler groups of countable rank // Comm. in Algebra 30, # 7, pp. 3403 - 3427, 2002.

15. E. Blagoveshchenskaya, G. Ivanov, P. Schultz. The Baer-Kaplansky theorem for almost completely decomposable groups // Contemporary Mathematics, 273, pp. 85 - 93, 2001.

Из работы [13] в диссертацию включены только результаты о прямых разложениях, принадлежащие лично автору, которые распространены в [14] на случай групп счетного ранга, будучи до этого аннонсированными в тезисах [22] (совместным результатом работы [14] является характеризация групп рассматриваемого класса). В [15] доказательство теоремы типа Бэра-Капланского для жестких пвр-групп получено первым автором, инициировавшим данное исследование, этот результат распространен на блочно-жесткие группы совместно с другими авторами.

Содержание докладов отражено в опубликованных тезисах:

16. Е. Благовещенская. Связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума (2006), с. 9-10.

17. Е. Благовещенская. Почти вполне разложимые группы и их кольца эндоморфизмов // Фундаментальные исследования в технических университетах. Материалы X Всероссийиской конференции по проблемам науки и высшей школы (2006), с. 82-84.

18. Е. Благовещенская. Почти изоморфизм для абелевых групп без кручения конечного ранга // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума (2005), с. 7-9.

19. E. Blagoveshchenskaya. Automorphisms of endomorphism rings of a class of torsion-free abelian groups of finite rank // Международная алгебраическая конференция (2005), Екатеринбург, с. 84-85.

20. Е. Blagoveshchenskaya. Classification of almost completely decomposable groups of some class // Международная алгебраическая конференция памяти З.И. Боревича, С. Петербург, (2002), с. 83-84.

21. Е. Blagoveshchenskaya. Combinatorial structure theory of some torsionfree abelian groups // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (2000), p. 11, Moscow, Russia.

22. E. Благовещенская. Direct decompositions of torsion-free abelian groups of countable rank // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К. Фаддеева (1997), С. Петербург, с. 28-29.

23. Е. Blagoveshchenskaya. Direct decompositions of torsion-free almost completely decomposable abelian groups of finite rank // Международная конференция по алгебре памяти А.И. Мальцева, Новосибирск (1989), с. 17.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им. М.В. Ломоносова.

Подписано в печать 2 У. 02.0?

Формат 60 х 90 1 / 16 . Усл. печ. л. {,Ь

Тираж 100 экз. Заказ

Введение.

1 Общие сведения о почти вполне разложимых группах

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Предварительные сведения.

2 Почти вполне разложимые группы с примарным регуляторным фактором и их кольца эндоморфизмов

2.1 Кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-групп с примарным регуляторным фактором.

2.2 Регулятор группы Епс1Х+ блочно-жесткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором.

2.3 Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жесткой пвр-группы с примарным регуляторным фактором.

2.4 Цепи из групп и их колец эндоморфизмов.

2.5 Уровневая структура кольца Епс1Х блочно-жесткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором

2.6 Прямые разложения ивр-групп с регуляторным фактором — элементарной р-группой.

3 Почти вполне разложимые группы с циклическим регуляторным фактором и их кольца эндоморфизмов

3.1 Общие сведения о пвр-группах с циклическим регуляторным фактором.

3.2 Классификация блочно-жестких почти вполне разложимых групп с циклическим регуляторным фактором.

3.3 Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жесткой црф-группы

3.4 Уровневая структура кольца EndX блочно-жесткой црф-группы X с примарным фактором.

3.5 Теорема Бэра-Капланского для блочно-жестких почти вполне разложимых групп с циклическим регуляторным фактором

3.6 Теоремы реализации и классификации для блочно-жестких коммутативных црф-колец с единицей.

4 Связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов

4.1 Кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-групп.

4.2 Булевы алгебры почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов.

4.3 Двойственность определений почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов.

5 Локально почти вполне разложимые группы

5.1 Почти изоморфизм абелевых групп без кручения счетного ранга

5.2 Прямые разложения почти изоморфных локально почти вполне разложимых групп.

5.3 Локально почти вполне разложимые группы с обобщенно циклическим регуляторным фактором.

Актуальность темы

Абелевы группы традиционно являются бурно развивающейся в мире областью фундаментальной алгебры, в основания которой внесли свой вклад выдающиеся русские алгебраисты JI.C. Понтрягин, Л.Я. Куликов, А.И. Мальцев, А.Г. Курош, чьи традиции успешно продолжены в России работами И.С. Беккера, С.Я. Гриншпона, С.Ф. Кожухова, ПА. Крылова, А.П. Мишиной, А А. Фомина, A.B. Яковлева и др., см. [46].

В последние десятилетия теория почти вполне разложимых групп выделилась в самостоятельную ветвь общей теории абелевых групп. Её истоки следует искать в давних результатах, в которых было открыто существование абелевых групп без кручения, не являющихся прямыми суммами групп ранга 1. В то время Александр Геннадьевич Курош в своей знаменитой книге "Теория групп" [18], писал: "Мы увидим позже, что вполне разложимыми группами далеко не исчерпываются все абелевы группы без кручения". Класс почти вполне разложимых групп, безусловно, является наиболее близким к классу вполне разложимых групп конечного ранга, так как состоит из групп, содержащих вполне разложимую группу в качестве подгруппы конечного индекса. Но, в отличие от вполне разложимых групп, однозначно с точностью до изоморфизма представимых в виде прямых сумм неразложимых слагаемых ранга 1, в классе почти вполне разложимых групп реализуется все многообразие неизоморфных прямых разложений, выраженное в терминах рангов слагаемых, которое существует в абелевых группах без кручения конечного ранга, см. [29], [30], [37], [39], [69]-[74], [93].

К первым известным примерам групп с неизоморфными прямыми разложениями относятся группы, построенные Йонсоном в конце 60-ых годов прошлого века в [52, 53], и, таким образом, была отвергнута возможность изоморфных продолжений для любых двух прямых разложений произвольной абелевой группы без кручения конечного ранга, которая до этого являлась предметом обсуждения, что видно из работы Л.Я. Куликова [17]. Возникло новое направление исследований — изучение прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга, и в связи с этим появилось большое число примеров неизоморфных разложений, которые часто именовались патологическими разложениями.

Характерным для большинства примеров являлось то, что в них, часто не будучи так названными, рассматривались именно почти вполне разложимые группы. Значимость этого класса групп конечного ранга отражена в обзоре A.B. Михалева, А.П. Мишиной "Бесконечные абелевы группы: методы и результаты" [20], в котором также прослеживаются связи между различными понятиями эквивалентности и большое внимание уделено проблеме классификации абелевых групп без кручения и их прямых разложений. Невозможность классификации с точностью до изоморфизма привела к понятию почти изоморфизма в работах Леди [58] и [59], а затем к его развитию в новых, эквивалентных формулировках в книге Арнольда [32]. В отличие от квазиизоморфизма (см. В. Jonsson [52],[53], A.A. Фомин [26]), который стирает границы между разложимыми и неразложимыми группами (если последние не являются сильно неразложимыми), и потому не подходит для исследования прямых разложений, почти изоморфизм является удобным инструментом для их классификации. Свойство сильной неразложимости для абелевых групп и модулей, естественно, связано со строением их колец эндоморфизмов, см. A.A. Туганбаев [24]. Следует отметить, что теория некоторых классов модулей близка к теории абелевых групп, свидетельством чего является книга П. А. Крылова и А.А.Туганбаева "Модули над областями дискретного нормирования" , [9], а также ряд других публикаций, например, [21], [33], [45],

148].

Одними из самых емких и по-прежнему стимулирующих появление новых идей, реализованных, например, в [67], [97], остаются примеры прямых разложений групп конечного и счетного рангов, принадлежащие А. Корнеру, [43], [28, Теоремы 91.1, 91.2]. Наиболее общие выводы о прямых разложениях почти вполне разложимых групп были сделаны в работах Леди [57] и [58], но тем не менее картина их прямых разложений в целом представлялась хаотической.

Важную направляющую роль в общем процессе исследований абелевых групп сыграла монография Л. Фукса "Бесконечные абелевы группы" [28], и, в частности, четкие формулировки поставленных в ней проблем. Среди тех, которые были впоследствии успешно решены, оказались проблемы 67 и 68, касающиеся возможных рангов неразложимых слагаемых, а также их числа в различных прямых разложениях одной и той же абелевой группы без кручения конечного ранга. Сформулированные в терминах натуральных чисел, эти проблемы решены теоремами, в формулировках которых используются тоже только натуральные числа, однако сами условия имеют сложную структуру и здесь не приводятся.

Теорема 0.0.1 (к проблеме 67)

Пусть 1 < щ < П2. < п8 < п — натуральные числа. Для того, чтобы существовала абелева группа без кручения ранга п, допускающая разложения в прямую сумму п\ неразложимых слагаемых, щ неразложимых слагаемых, . п8 неразложимых слагаемых, необходимо и достаточно, чтобы п\ ^ q, где q = q(n, ns) — некоторое натуральное число, определяемое числами п и ns.

Точная формулировка Теоремы 0.0.1 содержится в работе Е.А. Благовещенской [74].

Теорема 0.0.2 (к проблеме 68)

Пусть п = г\ + Г2 +. + rs = 1\ + ¿2 +. + It, 1 < s,t < п,— два разбиения натурального числа п в суммы натуральных слагаемых, содержащие соответственно s' и t' единиц. Для того, чтобы существовала абелева группа без кручения ранга п, допускающая как разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых рангов г\, Г2,., rs, так и разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых рангов I2,., It, необходимо и достаточно, чтобы Ti ^ г для всех г ^ s и lj ^ I для всех j ^ t, где г = r(n, t), I = 1{п, s', s) — некоторые натуральные числа.

Точная формулировка Теоремы 0.0.2 содержится в работе Е.А. Благовещенской, A.B. Яковлева [73].

Теоремы справедливы для класса абелевых групп без кручения конечного ранга, но при доказательстве достаточности условий были построены группы из меньшего класса почти вполне разложимых групп, обладающие требуемыми прямыми разложениями. Изучение почти вполне разложимых групп приобрело особую важность, так как выяснилось, что этот класс содержит весь возможный спектр свойств прямых разложений, которые, естественно, связаны со свойствами колец эндоморфизмов представителей этого класса.

С другой стороны, эти группы являются частным случаем так называемых Батлеровских групп, то есть групп, которые являются эпиморфными образами вполне разложимых групп конечного ранга, [41], и они на протяжении уже ряда десятилетий приковывают внимание многих математиков ([63], [65]). В частности, в [35] было показано, что группы Батлера являются сервантными подгруппами вполне разложимых групп. Внутри теории Батлеровских групп сформировалась самостоятельная теория почти вполне разложимых групп (almost completely decomposable groups). Она базируется на результатах теории вполне разложимых групп и теории конечных групп, и, таким образом, в своем развитии соединяет в себе две области абелевых групп, группы без кручения и периодические группы. Комбинация различных методов, в том числе, теории чисел и теории колец и модулей, также оказывается полезным инструментом исследования.

Достигнутый уровень развития теории почти вполне разложимых групп зафиксирован в книге Адольфа Мадера, которая так и называется "Почти вполне разложимые группы" ("Almost completely decomposable groups"). В частности, в нее [60, Глава 13] вошла теория почти вполне разложимых групп специального вида, с циклическим регуляторным фактором, построенная в работе [93]. Уже после выхода в свет этой книги было показано, что при некоторых дополнительных предположениях эти группы с точностью до почти изоморфизма определяются своими кольцами эндоморфизмов, что показано в работе Е.А. Благовещенской, Г. Иванова, Ф. Шультца [98]. Эта теорема вошла в монографии П.А. Крылова, A.B. Михалева и A.A. Туганбаева "Абеле-вы группы и их кольца эндоморфизмов" , [7, Теорема 25.12] и "Endomorphism Rings of Abelian Groups" , [56], в которых, как и в другой книге этих же авторов "Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов" [8], предлагается иной ракурс для рассмотрения абелевых групп. В них дается широкий охват результатов, относящихся ко всем ветвям теории абелевых групп, в том числе абелевых групп без кручения, и представлены они в тесной взаимосвязи с их кольцами эндоморфизмов. Основой взаимопроникновения теории групп и теории колец в данном случае служит то обстоятельство, что кольца эндоморфизмов групп без кручения по отношению к операции сложения также являются группами без кручения. Аналогичный факт оказался верным и для более узкого класса, почти вполне разложимых групп, что показано в настоящей работе и по сути заложило ее фундамент. В этой связи следует отметить книгу И.Х. Беккера и С.Ф. Кожухова "Автоморфизмы Абелевых Групп без Кручения" , [2], в которой, в частности, рассматриваются условия, при которых автоморфизм регулятора (однозначно определенной вполне разложимой вполне характеристической подгруппы конечного индекса) порождает автоморфизм всей почти вполне разложимой группы.

Данное исследование относится к бурно развивающейся в последние десятилетия области алгебры, почти вполне разложимым группам, что подтверждается выходом в свет книги А. Мадера [60] в 2000 году, и методологически связано с монографией П.А. Крылова, A.B. Михалева, A.A. Туганбаева [7], появившейся в 2006 году и отражающей современный уровень исследований абелевых групп в целом. Настоящая работа посвящена установлению взаимозависимостей между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов, причем при изучении последних упор делается на их групповые свойства (кольцевые свойства колец эндоморфизмов групп без кручения в целом наиболее полно отражены в ряде работ П.А. Крылова [10]—[13]).

Имеется много примеров исследования абелевых групп с помощью двойственных подходов к различным классам групп. К наиболее красивым и эффективным можно отнести двойственные конструкции А.А.Фомина, [25], [27], а также категориальную двойственность, [47]. Открытая в диссертации двойственность определения почти вполне разложимых структур (групп и их колец эндоморфизмов) дает способ для доказательства ряда важных результатов.

Этот подход распространяется на введенный в последней главе класс локально почти вполне разложимых групп, состоящий из групп счетного ранга, все вполне характеристические сервантные подгруппы которых конечного ранга принадлежат классу почти вполне разложимых групп. Отметим, что локально почти вполне разложимые группы специального вида, не будучи так названными, обсуждались в упомянутой работе А. Корнера [43], (1969), в связи с их неизоморфными прямыми разложениями, полное описание которых получено только теперь с помощью нового комбинаторного (графического) метода. Важное для классификации почти вполне разложимых групп понятие почти изоморфизма также распространено на случай таких групп счетного ранга.

Прежде, чем описать цель работы, полезно обсудить (в отдельных случаях пока избегая громоздких строгих формулировок) некоторые известные факты, из которых естественным образом возникло данное направление исследования в теории почти вполне разложимых групп.

Итак, в данной работе рассматриваются почти вполне разложимые группы. То, что прямая сумма групп без кручения ранга 1 называется вполне разложимой группой объясняет название основного рассматриваемого здесь класса групп, поскольку почти вполне разложимой группой называется любая абелева группа X без кручения конечного ранга, которая содержит вполне разложимую подгруппу А так, что Х/А является конечной группой.

Любая почти вполне разложимая группа X ранга п содержит единственную вполне разложимую подгруппу ЩХ) конечного индекса, изоморфную А или даже с ней совпадающую, которая является ее вполне характеристической подгруппой и называется регулятором в X. В большинстве случаев А будет обозначать регулятор Я(Х). Иногда удобно рассматривать почти вполне разложимую группу X как расширение вполне разложимой группы А при помощи некоторой конечной группы С = Х/А. Группы расширений абелевых групп имеют как самостоятельное значение, так и приложения в качестве эффективного метода исследования групп, чем объясняется большое количество связанных с этим результатов, например, в работе П.А. Крылова [14].

Если в прямом (однозначно определенном с точностью до изоморфизма) разложении регулятора А = фг-=1 пА{ в сумму слагаемых ранга 1 любые две различные группы Л* и А^ (к ф либо изоморфны, либо удовлетворяют условию Нот(Ак,А^ = = 0, то группы X и А называются блочно-жестшмщ если при этом реализуется только вторая возможность, то X и А называются жесткими группами.

Для пвр-группы X вводится регуляторная экспонента е = ехрХ/А, наименьшее натуральное число е со свойством е(Х/А) — 0, и используется его каноническое разложение е = Др£Рр1р (Р — некоторое конечное множество простых чисел).

Если Х/А является циклической группой, то X называется почти вполне разложимой группой с циклическим регуляторным фактором, и для нее [X : А] = ехр Х/А, где [X : А] — индекс регулятора; если, в другом частном случае, Х/А — примарная группа, то X называется почти вполне разложимой группой с примарным регуляторным фактором, и для нее Р состоит из одного элемента.

Будут часто использоваться сокращенные формы записи: "пвр-групна" (англ. асй-дгоир) — почти вполне разложимая группа, "пвр-группа с црфактором" или просто "црф-группа" (англ. crq-group) ~ пвр-группа с циклическим регуляторным фактором; под "пвр-кольцом" и "црф-кольцом" понимаются кольца с соответствующими аддитивными структурами. Под словом "фактор" всегда подразумевается регуляторный фактор X/R(X), если это не оговорено отдельно. Ранг любой абелевой группы С всегда обозначается rk С.

Групповые характеристики, примененные к кольцу, относятся к его аддитивной группе. Нам понадобятся блочно-жесткие почти вполне разложимые кольца, в том числе те, которые содержат подкольца конечного индекса, являющиеся прямыми суммами идеалов ранга 1. Хорошо известно, что пвр-группа = £*<■.) (!) р€Р является суммой пвр-групп Х^) с одним и тем же регулятором А и р-примарными регуляторными факторами Х^/А, точнее ехр[Х^/А) = р1р. Будем называть такое представление пвр-группы X её примарно-факторным представлением. С другой стороны,

EndX = р| EndX{p). реР

Это означает, что изучение групп с примарным регуляторным фактором и их колец эндоморфизмов является необходимым шагом в исследовании почти вполне разложимых групп в целом.

Отметим их уровневую структуру. Фиксируем р, и пусть р1 = ехр Х^/А, I £ N. Обозначим Y = Х^ и введем QF, делимую оболочку A (g) Q групп А и Y. Отождествляем Ас А®1 = {а®1 : а £ А} и для любого натурального к обозначаем подгруппу А® \ — {а® \ : а € А} группы как 4. Ясно,

Р р у что р1^ = А и А С У с Тогда подгруппы Ук = У П ф, к = 0,1,. ,1 составляют уровпевую цепь

У = У1ЭУ1-1Э¥1-2ЭУ1-3Э.Э¥2ЭУ1ЭУ0 = А пвр-группы У = Х(р) с примарным регуляторным фактором.

Поскольку почти вполне разложимые группы входят в более широкий класс Батлеровских групп, допускающих неизоморфные прямые разложения, см. [43, 44, 67, 72, 73, 74, 95, 96], они в большинстве случаях классифицируются только с точностью до почти изоморфизма — эквивалентности, обозначаемой =пг, которая слабее изоморфизма, но достаточно полно отражает свойства прямых разложений в отличие от квазиизоморфизма.

Теорема 0.0.3 (Д. Арнольд , [32, 12.9 (Ь), с. 144])

Если X и У — почти изоморфные абелевы группы без кручения конечного ранга и X = Х\ ф Х2, то У = У\®У2 для некоторых групп У\ =ПТ Х\,

У2 =пг Х2.

В этой связи следует отметить важный результат Т. Фатикони и Ф. Шульт-ца, в котором установлена единственность прямых разложений на неразложимые слагаемые с точностью до почти изоморфизма для пвр-групп с примарным регуляторным фактором.

Теорема 0.0.4 (Т.Фатикони, Ф. Шультц ([44, Теорема 3.5]) Почти вполне разложимые группы с примарным регуляторным фактором имеют единственное с точностью до почти изоморфизма разложение в прямую сумму неразложимых групп.

Из [60, Теорема 9.2.8] следует, что пвр-группы являются почти изоморфными (и, значит, имеют согласованные прямые разложения в смысле Теоремы

Арнольда 0.0.3), тогда и только тогда, когда слагаемые, соответствующие одному и тому же простому числу в их представлениях (1), почти изоморфны. Это по сути означает, что прямые разложения группы X полностью определяются разложениями пвр-грунп Х^ с примарными факторами. Поэтому вопрос о том, является ли пвр-групп с примарным фактором разложимой или неразложимой, относится к числу вопросов первостепенной важности при изучении произвольных пвр-групп, см. С.Ф. Кожухов [15].

Поскольку свойства прямых разложений групп заложены в их кольцах эндоморфизмов, возникает вопрос о совпадающих характеристиках колец эндоморфизмов для почти изоморфных пвр-групп.

Из перечисленных результатов следует, что "патологические" прямые разложения одной и той же группы, как их принято называть (то есть не допускающие существования подходящей перестановки неразложимых слагаемых, приводящей к установлению почти изоморфизма между слагаемыми с одинаковыми номерами) имеют место только в случае групп, для которых ре-гуляторный фактор Х/А не является примарным. Об этом свидетельствуют теоремы из книги JI. Фукс [28, Теоремы 90.1, 90.2, 90.3], а также многочисленные результаты А. Мадера [60, 13.1], А. Корнера [43], Д. Рейда [67], A.B. Яковлева [29], [30], а также [69]—[74]. Полное описание прямых разложений с точностью до почти изоморфизма получено для класса так называемых блочно-жестких пвр-групп с циклическим регуляторным фактором, см. [74] и [96]. Этот класс заслуживает особого внимания как источник новых идей, а также ввиду того, что допускает лаконичные формулировки многих результатов.

Часть результатов, полученных для групп специального вида, распространяется на пвр-группы с произвольным регуляторным фактором (не циклическим и не примарным). Кроме того, устанавливаются некоторые двойственные связи между пвр-группами и их кольцами эндоморфизмов.

Интересным представляется описание новых классов групп счетного ранга, допускающих неизоморфные прямые разложения, а также введение подходящего отношения эквивалентности, обобщающего известный почти изоморфизм, для осуществления классификации в этих группах.

Поскольку кольца эндоморфизмов пвр-групп сами являются пвр-группами, рассматриваемые как аддитивные структуры, факт существования таких колец рождает проблему, связанную с возможностью определения кольцевой структуры на пвр-группах. Изучение колец сопряжено с проблемой реализации, то есть установления изоморфизма между ними и определенными подкольцами колец эндоморфизмов некоторых групп (или с самими кольцами эндоморфизмов групп). В связи с классическими результатами (см. [38], [54]) представляет интерес выявление новых классов групп, определяемых своими кольцами эндоморфизмов.

И, наконец, традиционно важной в алгебре является проблема описания группы автоморфизмов кольца Епс1(Х), в данном случае, для пвр-группы X. При этом из известного включения Епс1(Х) С Епс1(Л) возникает вопрос о возможности продолжения кольцевого автоморфизма с Епс1(Х) на Епс1(А).

Теперь стало возможным сформулировать

Цель работы

1) Установить связи (в том числе, двойственные) между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов для выявления групповой структуры последних и распространения специальных методов теории почти вполне разложимых групп на кольца.

2) Определить новые классы групп без кручения счетного ранга, являющихся почти вполне разложимыми в локальном смысле, и на основе полученных закономерностей распространить на них теорию почти вполне разложимых групп.

3) Ответить на традиционные для алгебры вопросы теоремами классификации для групп и колец, реализации колец, теоремами об определяемое™ групп их кольцами эндоморфизмов (аналог теоремы Бэра-Капланского), об идентичности прямых разложений почти изоморфных групп счетного ранга (аналог теоремы Арнольда), критериями неразложимости групп и колец.

Процесс совместного исследования почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов естественным образом распадается на этапы, сводящиеся к решению отдельных задач:

1. Исследовать пвр-группы X с примарным регуляторным фактором совместно с их кольцами эндоморфизмов Егк1(Х) для получения групповых характеристик последних.

2. Установить связи между пвр-группами X с произвольным регуляторным фактором и их кольцами эндоморфизмов Епс1(Х). Исследовать группу АЫ(Епа(Х)).

3. Построить теорию блочно-жестких пвр-групп X с циклическим регуляторным фактором, включающую их классификацию, построение Епс1(Х) и Аи1(Епс1(Х)), определение на группах кольцевых структур.

4. На класс локально почти вполне разложимых групп счетного ранга (все вполне характеристические сервантные подгруппы которых конечного ранга принадлежат классу почти вполне разложимых групп) распространить теорию пвр-гругш, включая обобщение понятия почти изоморфизма и доказательство аналога теоремы Арнольда о прямых разложениях.

Как видно из перечисленного, для достижения прогресса в некоторых случаях пришлось ограничиться рассмотрением блочно-жестких групп. Также в большинстве случаев, если не оговорено противное, рассматриваются пвр-группы кольцевого типа, то есть имеющие регулятор, каждое прямое слагаемое которого ранга 1 изоморфно подгруппе рациональных чисел О, являющейся аддитивной группой некоторого кольца с единицей.

Общая методика исследования

Используются методы теории абелевых групп, относящиеся к конечным группам и группам без кручения, а также специальные методы теории почти вполне разложимых групп, которые здесь распространены на почти вполне разложимые кольца. Вложение группы в её делимую оболочку приводит к эффективному использованию матричной техники. Определяющую роль в применении матричных методов играет традиционный подход линейной алгебры в комбинации с теорией чисел. Найден комбинаторный (графический) способ построения и классификации прямых разложений групп счетного ранга определенного класса. Развита новая техника параллельных перемещений групп без кручения в их общей делимой оболочке, что приводит к двойственности определений почти вполне разложимых структур и важным следствиям. Применяются общие методы теории колец и модулей.

Научная новизна

Все основные результаты работы являются новыми. К ним можно отнести следующие.

1. Установлено, что кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-групп также являются почти изоморфными пвр-группами.

2. Для блочно-жесткой пвр-группы X доказано, что любой автоморфизм кольца End X однозначно продолжается до автоморфизма кольца End А. Для случая р-примарного фактора получено разбиение кольца End А на / + 1 непустые попарно дизъюнктные области инвариантности по отношению ко всем В € Aut(EndX), где ехр Х/А = р1. В случае циклического фактора построена группа автоморфизмов кольца End X.

3. Для блочно-жесткой пвр-группы X, содержащей вполне разложимую подгруппу А (не обязательно являющуюся регулятором), такую что р = ехр (Х/А) для некоторого простого р, получено наилучшее из возможных необходимое условие неразложимости, связанное только с числом rk(Х/А).

4. Решена проблема классификации для блочно-жестких црф-групп и полуправильных коммутативных црф-колец с единицей, найден критерий неразложимости, решена проблема определения кольцевых структур данного вида на группах. Для правильных колец получена теорема реализации.

5. Установлены двойственные связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов, дающие эффективный способ доказательства важных результатов как для групп конечного ранга (в Главе 4), так и счетного ранга (в Главе 5).

6. Определено понятие почти изоморфизма для групп без кручения счетного ранга и доказан аналог теоремы Арнольда о прямых разложениях блочно-жестких локально почти вполне разложимых групп, в случае обобщенно циклического регуляторного фактора для них построена графическая теория прямых разложений.

7. В классах блочно-жестких црф-групп (конечного ранга) и групп из п. 6. (счетного ранга) с обобщенно циклическим фактором доказана их опре-деляемость кольцами эндоморфизмов с точностью до почти изоморфизма (теоремы типа Бэра-Капланского).

Таким образом, в диссертации основано и развито новое направление исследований: совместное изучение почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов. В качестве приложений получены эффективные методы исследования почти вполне разложимых коммутативных колец с единицей и обосновано распространение построенной теории на группы, почти вполне разложимые в локальном смысле (имеющие счетный ранг).

При этом доказан ряд теорем классификации, реализации для колец, типа Бэра-Капланского для групп, получены критерии неразложимости групп и колец.

Таким образом, в диссертации основано и развито новое направление исследований: совместное изучение почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов. В качестве приложений получены эффективные методы исследования почти вполне разложимых коммутативных колец с единицей и обосновано распространение построенной теории на группы, почти вполне разложимые в локальном смысле (имеющие счетный ранг).

При этом доказан ряд теорем классификации (Теоремы 3.2.1, 3.2.11, 3.6.8, 3.6.18, 5.3.5), реализации для колец (Теорема 3.6.4), типа Бэра-Капланского для групп (Теорема 3.5.6, 5.3.14), получены критерии неразложимости групп и колец (Теоремы 3.6.9, 3.6.19, 5.3.6).

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Установленные в ней связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов расширяют представления об аддитивных структурах. Разработан общий подход, снимающий ограничения, связанные с конечностью рангов, и сформирован новый взгляд на прямые разложения, реализованный для локально почти вполне разложимых групп счетного ранга. Структурирована теория коммутативных пвр-колец с единицей, выяснено, что существование неизоморфных прямых разложений пвр-групп проявляется в многозначности определения на них кольцевых структур данного вида, причем сами кольца являются однозначно разложимыми.

Разработанные методы могут быть использованы в дальнейшем развитии теории абелевых групп, а также колец и модулей как в целом, так и при исследовании колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов (в том числе, кольцевых), в частности, модулей над дедекиндовыми кольцами.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Международном семинаре "Компьютерная алгебра и информатика" в Московском Государственном Университете (2005), на Международных алгебраических конференциях в Москве (2000, 2004), С. Петербурге (1997, 2002), Екатеринбурге (2005), Новосибирске (1989), на Международной конференции по алгебраической комбинаторике во Владимире (1991), на Всероссийском Симпозиуме по Абелевым группам в Вийске (2005), на алгебраическом семинаре в МГУ (2005), на Всероссийской конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" в С. Петербургском Государственном Политехническом Университете (2006), на 4-ом Европейском математическом конгрессе (Швеция, 2004), на Европейских и международных алгебраических конференциях в Германии (1998,1999, 2002), Италии (2002), на специальных конференциях но абелевым группам, кольцам и модулям в Германии (1993), Италии (1994, 1999), Ирландии (1998), а также на регулярных алгебраических семинарах в университетах Германии (Нюрнберг-Эрланген 2002, Эссен 2000), Швеции (Стокгольм 1998, Упсала 1998), Австралии (Сидней 1999, Перт 1999), США (Коннектикут 1999), на Нью-Йоркском семинаре по теории групп (1999).

Содержание докладов отражено в опубликованных тезисах [75] - [83].

Некоторые результаты диссертации вошли в книги: A. Mader. "Almost completely decomposable abelian groups" , 2000, П.А. Крылов, A.B. Михалев и A.A. Туганбаев "Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов" , 2006,

P. Krylov, A. Mikhalev and A. Tuganbaev "Endomorphism Rings of Abelian Groups" , 2003.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 15 статей [84] - [98].

Краткое содержание работы

Все рассматриваемые группы — абелевы и редуцированные, так как теория абелевых групп без кручения сводится к редуцированному случаю.

1. В. А. Артамонов, В.Н. Латышев. Линейная алгебра и выпуклая геометрия. М. : Факториал Пресс, 2004.

2. И.Х. Ветер, С.Ф. Кожухов. Автоморфизмы Абелевых Групп без Кручения. Томск, 1988.

3. A.B. Блаженов. Роды и сокращение модулей конечного ранга без кручения // Алгебра и Анализ, 7, N. 6, 33-78, 1995.

4. С.Я. Гриншпон, А.М Себельдин. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов // Матем. заметки, 57, N. 5, 663-669, 1995.

5. Н. Джекобеон. Теория Колец, Москва, 1947.

6. Ф. Каш. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.

7. П.А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М. : Факториал Пресс, 2006.

8. П.А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев. Связи Абелевых Групп и их Колец Эндоморфизмов. Томск, 2002.

9. П.А.Крылов, А.А. Туганбаев. Модули над областями дискретного нормирования. М. : Факториал Пресс, 2007.

10. П.А. Крылов. Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Изв. Высш. уч. зав., Математика, 11, (210), 26-33, 1979.

11. П.А. Крылов. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы // Алгебра и логика, 43 (1), 60-76, 2004.

12. П.А. Крылов. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения // Абелевы группы и модули, N 11-12, 99-120, Томск, 1994.

13. П.А. Крылов. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем, сб., 95, вып. 2, с. 214 228, 1974.

14. П.А. Крылов. О двух проблемах, касающихся груп расширений абелевых групп // Матем, сб., 185, N. 1, 75 94, 1994.

15. С.Ф. Кожухов. Почти вполне разложимые абелевы группы без кручения с примарными факторами // Абелевы группы и модули, 5, 42-55, Томск, 1985.

16. С.Ф. Кожухов. Об одном классе почти вполне разложимых абелевых групп без кручения // Изв. вузов. Математика, 10, 29-36, 1983.

17. Л.Я. Куликов О прямых разложениях групп // Укр. матем. ж., 4, 230 -275, 342 372, 1952.

18. А.Г. Курош. Теория групп. Изд-е третье. Издательство "Наука Москва, 1967.

19. И. Ламбек. Кольца и Модули, Москва, "Мир 1971.

20. A.B. Михалев, А.П. Мишина. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты // Фундаментальная и прикладная математика, 1, N. 2, 320 375, 1995.

21. A.B. Михалев. Изоморфизмы колец эрдоморфизмов модулей, близких к свободным // Вестник Моск. унив. Сер. I, Матем. Мех., 4, 20 27, 1989.

22. А.М Себелъдин. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки, 11, N. 4, 403-408, 1972.

23. А.М Себелъдин. Определяемость векторных групп полугруппами эндоморфизмов // Алгебра и логика, 26, N. 4, 422-428, 1994.

24. A.A. Туганбаев. Кольца эндоморфизмов строго неразложимых модулей // Успехи матем. наук, 53, N.2, 207-208, 1998.

25. A.A. Фомин. Инварианты и двойственность в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга // Алгебра и логика, 26, N. 1, 63-83, 1987.

26. A.A. Фомин. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма // Международная конференция по алгебре памяти А.И. Мальцева, Новосибирск (1989), 128.

27. A.A. Фомин. Двойственность в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга // Сибирск. матем. ж., 27 , 117 127, 1986.

28. JI. Фукс. Бесконечные абелевы группы, тт. 1, 2, М.: Мир, 1974, 1977.

29. А. В. Яковлев. Абелевы группы конечного ранга без кручения и их прямые разложения // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 175, 135-153, 1989.

30. А. В. Яковлев. О прямых разложениях абелевых групп конечного ранга без кручения // Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 160, 272 285, 1987.

31. А. В. Яковлев. К проблеме классификации абелеых групп без кручения конечного ранга // Зап. научн. семинаров ЛОМИ,57, 171 175, 1976.

32. D. Arnold. Finite rank torsion free abelian groups and rings, Lecture Notes in Mathematics, 931, Springer Verlag, 1982.

33. D. Arnold. Endomorphism rings and submodules of finite rank torsion- free abelian groups // Rocky Mountain Journal of Mathematics, 32, N. 2, 241256, 1982.

34. D.M.Arnold. A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank // Pacific J Math., 42, 11-15, 1972.

35. D. V. Arnold, C. Vinsonhaler. Pure subgroups of finite rank completely decomposable groups II // Lecture notes in Math., 1006, 97 143, SpringerVerlag, 1984.

36. D.M.Arnold, C. Vinsonhaler. Duality and invariants for Butler groups 11 Рас. J. Math. 148, 1-10, 1991.

37. D.M.Arnold, L. Lady. Endomorphism rings and direct sums of torsion-free abelian groups // Transact. Amer. Math. Soc., 211, 225 237, SpringerVerlag, 1975.

38. R. Baer. Automorphism rings of primary abelian operator groups // Ann. Math. 44, 192 227, 1943.

39. R. Benabdallah, 0. Mutzbauer. On direct decompositions of torsion-free abelian groups of rank 4 // Lecture notes in Math., 874, 62 69, 1981.

40. R. Bowshell and P. Schultz. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 228, 197 214, 1977.

41. M.C.R. Butler. A class of torsion-free abelian groups of finite rank // Proc. London Math. Soc., 40, 680 698, 1965.

42. R. Burkhardt. On a special class of almost completely decomposable groups, I // Abelian groups and Modules, Proceedings of the Udine Conference , CISM Courses and Lecture Notes 287, 141 150, 1984.

43. A. L. S. Corner. A note on rank and decomposition of torsion-free abelian groups // Proceedings Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 230 233, 66, (1969) 239 - 240.

44. T. Faticoni, P. Schultz, Direct decompositions of ACD groups with primary regulating index // Abelian Groups and Modules (Lecture notes in pure and applied mathematics series/ 182), 233 241, 1996.

45. T. Faticoni. Categories of modules over endomorphism rings // Memories of the Amer. Math. Soc. 103, N. 492, 1993.

46. A.A. Fomin. Abelian groups in Russia // Rocky Mountain Journal of Mathematics, 32, N. 4, 1161-1180, 2002.

47. A. A. Fomin, W.J. Wickless. Quotient divisible abelian groups / / Proceedings of the Amer.Math.Soc., 126, N. 1, 45-52, 1998.

48. B. Goldsmith. Endomorphism rings of torsion-free modules over a complete discrete valuation ring // J. London Math.Soc. (2), 18, N. 3, 464-471, 1978.

49. J. Hansen, C.E. Praeger, P. Schultz. Most abelian p-groups are determined by the Jacobson radical of their endomorphism rings // Math. Z. 216, N. 3, 431-436, 1994.

50. J. Hansen, J.A. Johnson. Determining abelian p-groups by the Jacobson radical of their endomorphism rings //J. Algebra, 174 N.l, 217-224, 1995.

51. G. Ivanov, Generalizing the Baer-Kaplansky Theorem, Journal of Pure and Applied Algebra // 133, 1998, 107-115.

52. В. Jonsson. On direct decompositions of torsion-free abelian groups // Math. Scand, 7, 361 371, 1959.

53. B. Jonsson. On direct decompositions of torsion-free abelian groups // Math. Scand, 5, 230 235, 1957.

54. I. Kaplansky. Infinite Abelian Groups. Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, 1954.

55. S. Koppelberg. Handbook on Boolean Algebras. North-Holland, 1989.

56. P. Krylov, A. Mikhalev and A. Tuganbaev. Endomorphism Rings of Abelian Groups. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2003.

57. L. Lady. Summands of finite rank torsion-free abelian groups //J. Algebra, 32, 51 52, 1974.

58. L. Lady. Almost completely decomposable torsion-free abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc. 45, 41 47, 1974.

59. L. Lady. Nearly isomorphic torsion-free abelian groups //J. Algebra, 35, 235 238, 1975.

60. A. Mader. Almost completely decomposable abelian groups, Gordon and Breach, Algebra, Logic and Applications, Vol. 13, Amsterdam, 2000.

61. A. Mader. Almost completely decomposable abelian groups // photocopied notes, Montreal 1992.

62. A. Mader, P. Schultz. Endomorphism rings and automorphism groups of almost completely decomposable groups // Comm. in Algebra, 28, 51 68, 2000.

63. A. Mader. Almost completely decomposable torsion-free abelian groups // Abelian Groups and Modules, Eds. A. Facchini and C. Menini, Mathematics and its Applications 343, Kluwer Academic Publishers, 343 366, 1995.

64. A. Mader, L. Striingmann. Bounded essential extensions of completely decomposable abelian groups //J. Algebra, , 229, pp. 205-233, 2000.

65. К. C. O'Meara and C. Vinsonhaler Separative cancellation and multiple isomorphism in torsion-free Abelian groups // Journal of Algebra, 221, 536550, 1999.

66. A. V. Mirhalev. Isomorphisms and antiisomorphosms of endomorphism rings of modules // In: First International Tainan-Moscow Algebra workshop, 69122, 1996.

67. J. Reid. Some matrix rings associated with ACD groups // Abelian Groups and Modules: international conference in Dublin, August 10-14, 1998.

68. P. Schultz. The endomorphism ring of the additive group of a ring //J. Aust. Math. Soc., 15, 60 69, 1973.

69. E. А. Благовещенская, А.В. Яковлев. Прямые разложения абелевой группы без кручения конечного ранга. // XVIII Всесоюзная алгебраическая конференция, Кишинев (1985). Тезисы сообщений, Часть 1, с. 55.

70. Е. А. Благовещенская. Об одном классе абелевых групп без кручения // XVII Всесоюзная алгебраическая конференция, Минск (1983). Тезисы сообщений, Часть 1, с. 27.

71. Е. А. Благовещенская, А.В. Яковлев. Об изоморфизме прямых сумм абелевых групп без кручения конечного ранга //IX Всесоюзный симпозиум по теории групп, Москва (1984). Тезисы докладов, с. 138.

72. Е. А. Благовещенская. Разложениях абелевых групп конечного ранга без кручения в прямые суммы неразложимых групп // Алгебра и Анализ, 4, N 2, 62-69, 1992.

73. Е. А. Благовещенская, А.В. Яковлев. Прямые разложениях абелевых групп конечного ранга без кручения // Алгебра и Анализ, 1, 111-127, 1989.

74. Е. А. Благовещенская. О прямых разложениях абелевых групп без кручения конечного ранга // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 132, 17-25, 1983.

75. Е. Благовещенская. Связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума (2006), 9-10.

76. Е. Благовещенская. Почти вполне разложимые группы и их кольца эндоморфизмов // Фундаментальные исследования в технических университетах. Материалы X Всероссийиской конференции по проблемам науки и высшей школы (2006), 82-84.

77. Е. Благовещенская. Почти изоморфизм для абелевых групп без кручения конечного ранга // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума (2005), 7-9.

78. Е. Blagoveshchenskaya. Automorphisms of endomorphism rings of a class of torsion-free abelian groups of finite rank // Международная алгебраическая конференция, Екатеринбург, (2005), 84-85.

79. Е. Blagoveshchenskaya. Dual structure of a class of torsion-free abelian groups and their endomorphism rings // Международная алгебраическая конференция, Москва, (2004), 165 -166.

80. Е. Blagoveshchenskaya. Classification of almost completely decomposable groups of some class // Международная алгебраическая конференция памяти З.И. Боревича, С. Петербург, (2002), 83-84.

81. Е. Blagoveshchenskaya. Combinatorial structure theory of some torsion-free abelian groups // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (2000), p. 11, Moscow, Russia.

82. E. Благовещенская. Direct decompositions of torsion-free abelian groups of countable rank // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К. Фаддеева (1997), С. Петербург, 28-29.

83. Е. Благовещенская. Автоморфизмы колец эндоморфизмов блочно-жестких почти вполне разложимых групп // Фундаментальная и прикладная математика, 10, N 2, 23 50, 2004.

84. Е. Благовещенская. Двойственная структура почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов // Успехи матем. наук, 61, N 2, 159160, 2006.

85. Е. Благовещенская. Теоремы реализации и классификации для одного класса колец без кручения конечного ранга // Успехи машем, наук, 61, N 4, 183-184, 2006.

86. E. Благовещенская. Почти вполне разложимые группы с примарным ре-гуляторным фактором и их кольца эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика, 12, N 2, 17 38, 2006.

87. Е. Благовещенская. Двойственность теории почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов // Научно-технические ведомости СпбГ-ТУ, 1, 69-72, 2006.

88. Е. Благовещенская. Почти вполне разложимые группы и кольца // Фундаментальная и прикладная математика, 12, N 8, 3 27, 2006.

89. Е. Благовещенская. Определяемость абелевых групп без кручения счетного ранга некоторого класса их кольцами эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика, 13, N 1, 31 43, 2007.

90. E. Благовещенская. Прямые разложения локально почти вполне разложимых групп счетного ранга // Чебышевский сборник, 6. N 4. 24-47, 2005.

91. Е. Благовещенская. Графическое истолкование некоторых абелевых групп без кручения конечного ранга // Прикладная Математика, Труды С. Петербургского Политехнического Университета, 461, 53-59, 1996.

92. Е. Blagoveshchenskaya. Classification of a class of almost completely decomposable groups // Rings, Modules, Algebras and Abelian Groups (Lecture notes in pure and applied mathematics series/236), 45 54, 2004.

93. E. Blagoveshchenskaya. Direct decompositions of almost completely decomposable abelian groups // Abelian Groups and Modules (Lecture notes in pure and applied mathematics series/182), 163-179, 1996.

94. E. Blagoveshchenskaya, A. Mader. Decompositions of almost completely decomposable abelian groups // Contemporary Mathematics, 171, 21-36, 1994.

95. E. Blagoveshchenskaya, R. Gobel. Classification and direct decompositions of some Butler groups of countable rank // Comm. in Algebra 30, N 7, 3403 3427, 2002.

96. E. Blagoveshchenskaya, G. Ivanov, P. Schultz. The Baer-Kaplansky theorem for almost completely decomposable groups // Contemporary Mathematics, 273,85 93, 2001.