Методы F-моногенных функций в теории дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I. Об интегральных свойствах гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова.

§1.1. Об одном обобщении формулы Коши душ гилеркомплексных Г-моногенных функций

§ 1.2. Об одном аналоге интегральной формулы Коши для аналитической функции двух комплексных переменных.

§ 1.3. Об одном аналоге интеграла типа Коши

§ 1.4. Об интегральном представлении рнаоногенных гиперкомплекснух функций

ГЛАВА 2. Методы функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова, в теории дифференциальных уравнений.

§ 2.1. Моногенные двойные функции

§ 2.2. Решение одной системы дифференциальных уравнений в частных производных с помощью Г-моногенных двойных функций

§ 2.3. Матричные Г-моногенные функции и их применение к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.

§ 2.4. О преобразовании системы дифференциальных уравнений в частных производных

§ 2.5. Решение специальных систем дифференциальных уравнений в формальных производных.

§ 2.6. Об одном способе исследования систем дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка с пошщыо шногенных гиперкомплексных функций.

§ 2.7. Общий вид юногенных матричных дуальных функций

§ 2.8. Об одной гиперкомплексной системе дифференциальных уравнений в частных производных.

§ 2.9. Об интегральном представлении решений одной системы дифференциальных уравнений в частных производных.

§ 2.10.Моногенность Г и некоторое обобщение полигарюнических функций.

§ 2.II.Решение одной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами . ЮО

§ 2.12.Об одном обобщении системы дифференциальных уравнений - условий моногенности в смысле

В.С.Федорова.Ю

ЭДАВА 3. Об интегральном представлении решений некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных,

§ 3.1. Об интегральном представлении функциональноинвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в; пустоте (случай = I).ПО

§ 3.2. Об интегральном представлении функциональноинвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте (случай Л = -I).ИЗ

§ 3.3. Структура функционально-инвариантных решений

§ 3.4. Об интегральном представлении функциональноинвариантных вектор-аналитических функций . П

§ 3.5. О некоторых гиперкомплексных интегральных уравнениях.I

Везде в настоящей работе пользуемся следующими обозначениями: ( Ф, R, ) ( (3)Д) ) - класс всех действительных комплекс-нозначных функций действительных переменных X,,. ,Ха однозначно определенных в некоторой односвязной области D евклидова пространства Еа(Х,,., х^ , где ;

ЛЯХЮ (СК(ФДУ) ~ множество всех функций класса (3)Д)((9)Д^ непрерывно дифференцируемые К - раз в области 3) (случай

К'0 соответствует функциям, непрерывным в & ; Алгебра д - всякая ассоциативная и коммутативная алгебра с единицей (обозначаемой j ) над полем действительных чисел (если нет оговорок) или над полем комплексных чисел (если это оговорено) и с конечным базисом: •••, (е,=0, где т>/г шгтка ; (3),А) - класс всех гиперкомплексных функций вида:

Р-. (1) где все jKe(D,H) (если нет оговорок), либо jK€(&9JC) (если оговорено).

С^С0Д) (С£(3)Д)) - множество всех матриц для данного натурального числа Л/ , элементы которых - действительные (комплекснозначные) функции действительных переменных oc1f., обладающие непрерывными частными производными до К -го порядка включительно в области 3)

СЧ3),А) - класс всех функций вида (I), где все С%Х>, R-) (если нет оговорок) или все ^ИД) (если оговорено, что имеем алгебру J) над полем комплексных чисел).

C^CSJ)- множество всех матриц для данного натурального числа у , элементы которых принадлежат классу с am

Основные результаты

Значительный теоретический интерес и важные практические приложения теории аналитических функций одной и нескольких комплексных переменных вызвали еще в конце 19 века стремление построить аналогичную теорию гиперкомплексных функций, заменяя алгебру обыкновенных комплексных чисел иной линейной алгеброй. Начало этому положили работы Шэфферса [j,2,3] , в которых понятие аналитической функции комплексного переменного jc-k ^ распространялось на случай гиперкомплексного переменного m где jc1f., - действительные независимые переменные, - база какой-нибудь линейной алгебры.

А именно, Шефферс обозначает через j (X) гиперкомплексную функцию от и ставит для нее проблему дифференцируем)сти гп по переменной х = ХДК6К , понимая под этой дифференцируемо-стью существование двух функций: }(Х> и ^(Х) , независимых от- dj1tdxz,., djcn и удовлетворяющих условию: dfa)=f(X)cbc = c/xJa); (2) где dicx)' fi ;di=£ еМк •

1 КН К К"»

В дальнейшем, если ограничиться только ассоциативно-коммутативной алгеброй с единицей над полем действительных или комплексных чисел с конечным, вообще говоря, базисом, условие (2) сводится к одному уравнению df(o>f(x)cbc

2')

Начиная с 1946 г. В.С.Фёдоров опубликовал ряд рабог [4,5, 6,7,8,9,10], в которых обобщил это определение Шефферса, заменив уравнение (2') уравнением вида для данных функций ^ и If действительных независимых переменных JC,,., ха и со значениями в линейной ассоциатинно-ком-мутативной алгебре с единицей над полем комплексных или действительных чисел и ранга ш ; причем в отличие от Шэфферса имеем: IU ^ а или rn< п , а не только |Т1а ft . Кроме того, , вообще, не линейная функция от а,,. ОС п . Таким образом, функция j(ОС,,,.,ЗСЛ) называется мэногенной в смысле В.С.Фёдорова ( F - моногенной) в области 3) по функции: ifCX!,., Ха) * если существует такая функция $'(. ■, , что имеет место уравнение (3) для всех точек ( эс,,., оса) € D . Исследования В.С.Фёдорова были продолжены румынскими математиками Гр.Мойсилом [11,12, IS, 14], М.Рошкулецом 115,16], Д.Паскали [17,181, О.Георгиу 119] и другими, а также советскими математиками И.А.Моревым[20,21,221, К.Д.Затуловской [23,241, В.А.Гусевым [25,26], Н.Т.Стельмашуком [27,28,291, Л.Н.Кусковским [30], которые указали также применение указанных моногенных функций к ряду задач классического математического анализа и математической физики.

Так в работе [13] Гр.К.Мойсил показывает, что из системы уравнений плоского движения несжимаеюй вязкой жидкости

3) УС к М. н sp0* и ту; где (v. X - компоненты напряжения, Ц,1/ -компоненты д* скорости, р - давление, со - вихрь, JUL - некоторая постоянная, следует F -моногенность функции j-по функции /=X+jij в случае алгебры Л с базой J,j>j\jb:> где j удовлетворяет условию U^j^O и,наоборот, если компоненты любой функции ^ » Up ■+ ■+ U4 j* + U4 jь , p -моногенной no ? = ^ » записать в виде то придем к системе (4).

М.Яковахе 131] доказала, что система уравнений об упругом равновесии тел с поперечной изотропией:

Ml К п К , bJ

1>уU~u' 1)Х 1JL ъУ ijuji К Ж n ^ + л некоторые постоянные) есть необходимый и достаточный признак f -моногенности функции j - -<L+: ( - V где a'**4- , по функции в алгебре Л с базой jb и 0 законом умножения i м it

Укажем также на работы В.С.Фёдорова 15,8,9,10], М.Рошкулеца

15], В.А.Гусева[25,261, Н.Т.Стельмашука[27,28,29], Д.Паскали [18]о приложениях функций, мэногенных в смысле В.С.Федорова, к нахождению решений дифференциальных уравнений в частных производных и систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Так, например, Д.Паскали доказал [18], что класс всех комплексных функций ИДХу)£ С (3)Д)» моногенных в смысле В.С.Фёдорова по Са(5)Д)» (ссод) - класс функций от ОС,у непрерывно дифференцируемых в области 2) и удовлетворяющих условию Гельдера с показателем JL ) совпадает с классом решений известного уравнения Бельтрами. ^ если рассматривать все решения уравнения Бельтрами, найденные К.Н.Векуа[32]. Укажем также на работы М.Б.Балка [33,34] об отображениях с помгощью так называемых бианалитических функций,тесно связанных с ода им частным видом F -шногенных функций: [35,36].

F-моногенные функции применяются также и в некоторых других физических исследованиях, например, в работе В.Ю.Ломоносова [37]. Широко использовались функции, мэногенные в смысле В.С.Фёдорова, Н.Т.Стельмашуком [ 38,39,40,4Цдля нахождения функционально-инвариантных решений системы известных уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте.

В настощей работе автор изучает свойства некоторых видов F -шногенных функций и дает приложения этих функций для изучения и построения решений систем дифференциальных уравнений в частных производных, включая и известную систему уравнений Максвелла.

Диссертация посвящена исследованию следующих задач:

1. Изучение интегральных свойств F -моногенных гиперкомплексных функций.

2. Изучение и построение решений некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных с комплексными и кватер-нионными коэффициентами с помощью Г -моногенных функций.

3. Построение интегральных представлений решений отдельных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В первой главе излагаются результаты, полученные при рассмотрении первой задачи. Получен новый, отличный от ранее известных [7,42], аналог формулы Коши для гиперкомплексных функций, шногенных в смысле В.С.Фёдорова по отношению к двум другим таким функциям. Построено интегральное представление для F -моногенных гиперкомплексных функций относительно трех таких функций. Получен новый аналог интегральной формулы Коши для аналитической функции двух комплексных переменных, а также аналитической функции трех комплексных переменных.

Вторая глава посвящена рассмотрению второй задачи. Исследования проводятся при помощи некоторых специальных "формальных производных", введенных В.А.Гусевым [ 25].

В § 2 главы второй исследуется система дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка u+C V

Da '

Ш Wn п+г 1Г (5) которая является обобщением системы

Ш )v п

Dx Dy

Ш п

DX ' выражающей признак моногенности в смысле В.С.Фёдорова двойной функции U+ei/Ce24, U~UCX,y),t7= t/СЭС,у> ) подвойной переменной JC у . Для исследования этой системы применяются двойные функции, то есть функции вида Ц+ei/ , где Ц,1/ -действительные или комплексные функции, заданные в некоторой области 2) плоскости a,tj , t,C - база алгебры двойных чисел, причем С ~ 1 . Поэтому в § I главы второй изучаются F -мэноген-ные двойные функции, установлена структура двойник функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова. Во втором параграфе с помощью двойных р-моногенных функций получены формулы общего решения системы (5) с использованием некоторых интегральных операторов в случае, когда искомые функции 1К2,у ),t70C,ij) и известные функции СЦэс^С^СХ,^)( i = U2 ) -г аналитические функции от действительных переменных JC,t| в области 2) . Рассматривается также случай, когда коэффициенты в системе (5) постоянные. Параграф 3 главы второй посвящен решению системы вида (5), но с кватернион-ными неизвестными функциями и кватернионными коэффициентами.

В § 4-5 второй главы дается приложение Г -моногенных функций к исследованию системы дифференциальных уравнений в частных производных вида:

55с3

- V^u^u^C^ , (6) где , ML, J^i > Fl , El , Ci С U., IT ) - известные (искомые) комплексные функции от СКН,.- ,4; 1=1,2) класса Показано, что система дифференциальных уравнений в частных производных (6) эквивалентна системе где j и if линейные функции от U.U с коэффициентами класса cxd),* dk ,6К. Cj ( КН,.,4; ) -известные функции того же класса; f>, ^ - некоторым образом подобранные комплексные функции, при необходимом и достаточном условии

Ь, К ~ ЬгЬ5 i- \ (Ьл + Ь«)2, и к виду I . 1 (8) при необходимом и достаточном условии j 2 fy Е>4 ~ - +во.

Получены условия, при которых система (7) эквивалентна гиперкомплексному уравнению в формальных производных f-ilF^F2, О) а система (8) уравнению где + Я , b ~ бикомплексные известные функции; = ; f\it известные дуальные функции; £2=о . Выводится при некоторых условиях формула общего решения уравнений (9) и (10).

В параграфе 6 главы второй с помощью моногенных в смысле В.С.Фёдорова бикомплексных и дуальных функций находятся решения некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка.

В восьюм параграфе главы 2 изучается один вид так называемой Т-параболической по А.А.Дезину[431 системы дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка с кватернионными неизвестными функциями и кватернионными коэффициентами, т.е. система вида: N с \ц>

1>х Dy

II) где искомые функции j , if> имеют вид:

L, j, К - кватернионные единицы; ^(ЭС.уХ^СЭС^ХКНДЗ/)-принадаежат классу С^ЙЭДОили СХЗ)Д) ; a,B,C,d - постоянные кватернионы. С помощью матричных функций, мо но генных в смысле В.С.Фёдорова, получено общее решение системы.

Также Т -параболическая по А.А.Дезину система дифференциальных уравнений с формальными производными ~= =

I) | ГЪ . ) \ х PZ 2 ИЦ/ и = и (5икомплвксными известными и неизвестными функциями г }г > (12)

Й • -ч • где Z-jc4(j,Z-JC4lj; + аналогично для а, Ь ); j2-4, ; принадлежат классу CX2),JO » рассматривается в девятом параграфе данной главы. С помощью функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова, получено гиперкомплексное интегральное уравнение, эквивалентное системе (12). Доказана фред-гольмовость этого уравнения; для некоторых видов коэффициентов.

В § 10 исследуется уравнение у \г где - ^ 4 7 ( ^ ^ - известные (искомая) действительные функции двух действительных переменных X,tj класса С2Г1(® Ю t которое, очевидно, обобщает уравнение вида: дЧ-о, у у где Д = + - оператор Лапласа. Найдены формулы общего решения уравнения

S4-D.

В § II главы второй изучается система дифференциальных уравнений в формальных производных = ~ ^ 1нр И h'Kix^) м

Г S? 'nz где Л,В,J^, 5i - константы действительные или комплексные; ^ , - искомые функции действительных переменных ОС, Lj класса сщх) Найдены решения данной системы (13) с использованием р-моногенных функций.

В третьей главе излагаются результаты, которые были получены; при рассмотрении задачи 3.

В § 1-2 главы третьей получено интегральное представление функционально-инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте. В § 4 построено интегральное представление функционально-инвариантных вектор-аналитических функций.

В § 5 третьей главк объектом исследования являются следующие две канонические системы дифференциальных уравнений: %=АА. + &,Ц,*С,и2 (М) где йу , С К = 0,1 , 2 ) - комплексные или действи \ \ тельные функции класса С (D) i = т( тттЛ >

5ik U ^ + >г **

4z\ Da 1 и где *t e tC ) - заданная действительная или комплексная функция класса С CD) ; ^ = ~ t "|х ® в области J) ; ж I /ЖDt К i/M.)?.!!!4)?l

С пошщью F-моногенных функций получены гиперкомплексные интегральные уравнения, эквивалентные системам (14) и (14/) соответственно, доказана фредгольмовость этих уравнений для некоторых видов коэффициентов йк,&к,Ск ( К = 0,1,2).

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Аналог формулы Коши для гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова по отношению к двум другим таким функциям.

2. Структура двойных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова.

3. Формулы общего решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (5) в случае, когда искомые и известные функции - аналитические функции: от действительных переменных X, у области В .

4. Построение решений системы вида (5) с кватернионными неизвестными функциями и кватернионными коэффициентами.

5. Интегральное представление функционально-инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте и интегральное представление функционально-инвариантных вектор-аналитических функций.

1. Scheffers Gr. - Sur la generalisation des fonctions analy-tigues. - C.R.Acad.Sci.Paris, 1893, 116, 1.I4-IH7.

2. Scheffers Cr. Theoremes relatifs ause fonctions analyti-gues a n dimensions.-C.R.Acad.Sci.,Paris,1893,116,1242-1244.Scheffers Cr.- Verallgemeinerung der Crundlagen der gewan-lich complexen Funktionen.- Ber.Sachs Akad.Wiss.Leipzig, 1894, II, 46, 120-134.

3. Фёдоров B.C. Моногенность. - Математический сборник, 1946, т, 18, Щ, с.357-378.

4. Фёдоров B.C. 0 моногенности гиперкомплексных функций. -Математический сборник, 1953, т.32, Ш, с. 249-254.

5. Фёдоров B.C. 0 моногенных функциях. - Труды третьего Всесоюзного математического съезда, 1956, т. I, с.108-109.

6. Фёдоров B.C. Об одном обобщении интеграла типа Кош в многомерном пространстве, - Известия вузов. Математика, 1957, №1, с. 227-233.

7. Фёдоров B.C. Основные свойства обобщенных моногенных функций. - Известия вузов. Математика, 1958, №6, с.257-265.

8. Фёдоров B.C. Уравнения с частными производными и шноген-ные гиперкомплексные функции. Украинский математический журнал, 1959, т. II. М, с.450-455.

9. Moisil Gr.C.- Despre functiilor monogene in sensul lui V.S.Feodorov.- Bul.St.Aoad.R.P.R., 1950, 2,7, 545-556.

10. Moisil Gr.C. Metoga functiilor de variabila ipercomp-lexa in idrodinamica plana. - Studii CercetariM Matemati-ce, 1950, I, 9-39.

11. Moisil Gr.C. Sur les fonctions monogenes au sens de Feodorov. - Изв. Матем. Бълг. АН, 1959, 4,1, 25-34.

12. Pascal! D. Derivata F-areolara si F-medie. - Comun.R.P.R., I960, 10, 12, I083-1086.

13. Pascali D. Monogeneitatea F si ecuatia lui Beltrami.-Comun. R.P.R., 1962,12, 6, 631-634»

14. Gheorghiu 0. Extensiuni ale monogeneitatii lui V.S.Feodorov. - Comunic.Acad,R.P.R., 1952,2, 11-12, 673-676.

15. Морев И.A. Моногенные гиперкомплексные функции. - Украинский математический журнал, 1956, т.8, М, с.423-434.

16. Морев И.А. Об одном обобщении уравнений Коши-Римана и гармоничности моногенных гиперкомплексных функций. Известия вузов. Математика, 1958, № 3, с. 176-182.

17. Морев И.А. 0 решениях линейных дифференциальных систем с помощью моногенных гиперкомплексных функций. - Украинский математический журнал, 1958, т.10, М, с.59-69.

18. Затуловская К.Д. Об уравнениях в полных дифференциалах и моногенные функции в смысле В.С.Фёдорова. - Bull.Math.Soc. Roum.Sci.,1960,4,2,109-119.

19. Затуловская К. Д. Линейные дифференциальные уравнения в производных от гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова. - Bull.Math.Soc.Roum Sci., I960, 4, 3-4, II3-I26.

20. Гусев В.A. Об одном обобщении ареолярных производных. -Bul.Stiixit. si tehnical inst .Pol.Timisoara,I962,7,2, 223238.

21. Гусев В.А. О некоторых матричных дифференциальных операторах. Известия вузов. Математика, 1964, Л2, с.65-73.

22. Стельмашук Н.Т. 0 применении одного обобщения ареолярных производных к преобразованиям некоторых систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. -Bui. Inst.Politehnic Bucuresti, 1962, 24, 2, 13-35.

23. Стельмашук Н.Т. 0 некоторых линейных дифференциальных системах в частных производных. - Сибирский математический журнал, 1964, т.5, Ж, с. 166-173.

24. Стельмашук Н.Т. 0 некоторых линейных дифференциальных уравнениях в частных производных в дуальной и бикомплексной алгебрах. - Известия вузов. Математика, 1964, ЖЗ, с. 136142.

25. Кусковский Л.Н. 0 краевой задаче типа Римана-Гильберта.-Дифференциальные уравнения, 1975, т.II, Ш, с.523-532.

26. Jacovache М. Aplicarea functiilor monogene in sensulluiFeodorov la teoria clacticitatii corpurilov on izotropie transversa.-Rev.Univ.C.J.Parhon si,Polit .Buc. ,1952,1,58-60.

27. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. Moсква: Физматгиз, 1959. - 628 с.

28. Балк М.Б. Вырожденные бианалитические отображения. - Известия АН Арм.ССР. Сер. физ.-мат.наук, 1964, т.17, $2,

29. Балк М.Б. 0 бианалитических функциях с неизолированными точками. - Известия АН Арм.ССР. Сер. физ.-мат.наук,1964, т. 17, Ш,

30. Затуловская К.Д. Полианалитические функции и функции, моногенные в смысле В.С.Фёдорова. - Смоленский математический сборник, 1939, т.2, вып. 20, с. 20-27.

31. Гусев В.А. Интеграл типа Коши для полианалитических функций. - Известия вузов. Математика, 1967, i£5, с. 22-27.

32. Ломоносов В.Ю. Электромагнитное поле двухпроводной линии. -Сб.научных трудов Ивановского энергетического института, 195I, вып. 4, с. 223-247.

33. Стельмашук Н.Т. Об одном исследовании системы Максвелла с помощью F -моногенных функций. - Журнал вычислительной математики и математической физики, 1967, т.7, №2, с.431-436.

34. Стельмашук Н.Т. Об одном методе исследования решений системы Максвелла. - Украинский математический журнал, 1972, т. 24, вып. I, с.117-120.

35. Стельмашук Н.Т. 0 функционально-инвариантных решениях системы Максвелла. - Bull.Math.Soc.Sci.math.phys.R.P.R., 1964, 6, 1-2, 97-106.

36. Стельмашук Н.Т. Построение функционально-инвариантных решений системы Максвелла для электромагнитного поля в пустоте. - Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-мат.навук, 1974,№ 4,с.35-39.

37. Морев И.А. Об некоторых интегральных свойствах моногенных гиперкомплесных функций. - Известия вузов. Математика,1963, № 6, с. 116-122.

38. Дезин А.А. Граничные задачи для некоторых симметричныхлинейных систем первого порядка. Математический сборник, т. 49, №4, с. 459-484.

39. Морев И.А. Об одном обобщении понятия моногенных функций. - Математический сборник, 1957, т. 42, № 2, с. 197206.

40. Морев И.А. Об одном классе моногенных функций. - Математический сборник, I960, т. 50, №2, с. 233-240.

41. Стельмашук Н.Т. 0 моногенных комплексных и бикоиндексных ФУНКЦИЯХ. - Bull.Math.Soc.Sci. math. phys. R.P.R.

42. Гусев В.A. Обобщение ареолярных производных и ряд Тейлора. - Известия вузов. Математика, 1964, №6, с.41-45.

43. Стельмашук Н.Т. Обобщенные решения некоторых линейных дифференциальных систем в частных производных 1-го порядка. - Anal, stiint. Univ. Iasi, 1966, 12, 2, 287-292.

44. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. - M.-JT.: Физмат-гиз, 1935.

45. Bers L. Partial sifferential equations and generalized analytic functions. - Proc.Nat.Ac.Sc.,USA,1951,37, N I, 42-47.

46. Фёдоров B.C., Затуловская К.Д. Моногенные матричные функRev. Roum. de Math. Pur. et.Appl., 1968, 13, 9, 1297-1306.

47. Стельмашук Н.Т. Аналоги формул Грина, Стокса, Остроградского в формальных производных для гиперкомплексных функций и их приложения. - В сб.'"Математика", Мн., 1974,с. 40-49.

48. Фёдоров B.C., Затуловская К.Д. Об одном классе гиперкомплексных мэ но генных функций. - Учёные записки Ивановского государственного пед. института, 1966, т.44, с.93-100.

49. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.З, ч.1,2. Москва:Гостехиздат, 1957. 1002 с.

50. Еругин Н.П. Функционально-инвариантные решения уравнений второго порядка о двумя независимыми переменными. -Учёные записки ЛГУ. Сер. физ.-мат .наук, 1949, вып. 16, с. 142-166.

51. Котляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. - Москва: Физматгиз, 1962. - 767 с.

52. Смирнов М.М. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения. - Доклады АН СССР, 1949, т. 67, & 6,с. 977-980.

53. Reinich G.Y. Analitic functions and math, physics. -Bull.Amer.Math.Soc., 1931,37, 689-714.

54. Стельмашук H.T. 0 вектор-аналитических функционально-инвариантных функциях. - Тезисы докладов итоговой научно-технической конференции Ивановского энергетического института им. В.И.Ленина, 1967, с. 35.

55. Стельмашук Н.Т. 0 вектор-аналитических функциях. - В сб.: "Некоторые дифференциальные уравнения математической физики и теории колебаний", Иваново, 1970, с. 57-63.

56. Стельмашук Н.Т. Интегральное представление решений одной системы уравнений в частных производных. - Смоленский математический сборник, 1970, т. 3, вып. 23, с. 33-38.

57. Стельмашук Н.Т. 0 некоторых гиперкомплексных интегральных уравнениях. - Весц1 Ш БССР. Сер. ф1з.-мат.навук, 1978, №2, с. 122.

58. Шилинец В. А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных решений. - В сб. : "Линейные функционально-дифференциальные соответствия", Минск, 1984, с. 81-84.

59. Шилинец В.А., Стельмашук Н.Т. Об одном обобщении формулы Коши для гиперкомплексных F -моногенных функций, - Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук, 1984, к 4, с. 40-45,

60. Шилинец В.А, 0 некоторых гиперкомплексных интегральных уравнениях. (Редколлегия журнала "Дифференциальные уравнения"). Минск, 1984, 15 е., библ.: с. 15 (6 назв.). рукопись депонирована в ВИНИТИ 12 ноября 1984 г. Jfc 7238-84 ДЕП.