Новые методы в технике Бохнера и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

г .. На правах рукописи

■ ' I

СТЕПАНОВ СЕРГЕЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

НОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕХНИКЕ БОХНЕРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-Математических наук

КАЗАНЬ 199В

КАЗАНСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СТЕПАНОВ СЕРГЕЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

НОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕХНИКЕ БОХНЕРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора фнзико-маТематических наук

КАЗАНЬ 1998

Работа выполнена на кафедре геометрии Владимирского государственного педагогического университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е. В. Шпкин

доктор физико-математических наук, профессор В. Ю. Ровенский

доктор физико-математических наук, { профессор 10. Г. Игнатьев

Ведущая организация - Всероссийский Институт Научной и

Технической Информации (ВИНИТИ) Российской Академии Наук

Защита состоится 2 апреля 1998 года в 14 часов 30минут на заседании Диссертационного совета Д 053.29.07 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18, корп. 2, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета (г. Казань, ул. Кремлёвская, 18).

Автореферат разослан " " февраля ¡998 года.

Учёный секретарь

Диссертационного совета Д 053.29.07, кандидат физико-математических наук,

доцент М. А. Малахальцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В заглавие диссертации вынесено название одного из основных аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии. Этот метод является общим для доказательства vanising theorems, в которых констатируется обращение в нуль некоторых топологических или геометрических инвариантов ( таких, как числа Бетти или размерность векторного пространства Кнллинга ) на замкнутом ( то есть компактном без границы ) рнмановом многообразии при определённых ограничениях на его кривизну. В основе метода лежит вывод "формул Вейценбёка" (см. [ 2, с. 77 - 83 ] ), сравнивающих лапласианы на тензорных полях. Впервые такие формулы были получены С. Бохнером ( см. [ 15 ]) для гармонических векторных полей и дифференциальных форм с целью найти условия на .кривизну замкнутого риманова многообразия, препятствующие их существованию и, как следствие этого, гарантирующих обращение в нуль чисел Бетти.

В каждом из трёх ( см. [ 18 ]; [ 24 ] и [ 33 ] ) опубликованных обзоров работ, выполненных с использованием "техники Бохнера", список литературы превышал 70 единиц. "Технике" посвящены монографии К. Яно и С. Бохнера [ 15 ], Б. Шифмана и А. Соммеса [ 31 ], К. Яно [ 35 ], а также отдельные главы и параграфы в монографиях А. Бессе [ 2 ] и [ 3 ], Ш. Кобаяси [ 5 ], Ш. Кобаяси и К. Номндзу [ 6 ], К. Морена [ 10 ], К. Япо [ 37 ] и других авторов.

Исследования с использованием "техники Бохнера"* ведутся постоянно и подтверждением этому могут служить столь разноплановые, но объединённые одним методом работы последних лет [ 17 ]; [ 21 ]; [ 32 ] и [ 34 ].

Подчёркивая современное значение "техники Бохнера", известный американский математик X. By в предисловии к своему обзору [ 33 ] писал: "By now this technique has achived the status of being part of the basic vocabulary of every geometer".

К сожалению, отечественная наушая литература содержит буквально единицы статей, выполненных с использованием классической "техники Бохнера", и при этом вообще отсутствуют работы, направленные на её развитие.

Степень разработанности темы. Алализ опубликованных к настоящему времени работ зарубежных авторов, которые выполнены с использованием "техники Бохнера", позволяет выделить три особенности в получении результатов.

Во-первых, задача применения "техники Бохнера" всегда решалась персонифицированно: для каждого изучаемого объекта выводилась своя формула Вейценбёка, и

лишь затем повторялись предписываемые "техникеIV шаги. Это очевидно ограничивало возможности её использования.

Однако при первой же попытке самого автора вывести "универсальную" формулу Вейценбёка для исследования внешних дифференциальных форм был обобщён остававшийся неизменным с 1968 года результат Т. Кашивады ( см. [ 23 ]). Дальнейшие наши исследования глобальной геометрии дифференциальных и симметрических форм, римановых структур почти произведения и отображений римаиовых многообразий привели к многочисленным новым результатам и обобщениям уже известных к этому времени фактов теории и тем самым подтвердили правильность выбранного метода.

Во-вторых, "техника Бохнера" применялась до последнего временя для исследования объектов на замкнутых и компактных с краем римановых многообразиях ( см. об этом [ 33 ] и [ 35 ] ), и только недавно наметилась тенденция к расширению области применения "техники" за счёт переноса уже известных результатов на комплексные, полные римановые и лоренцевые многообразия ( см., например, [ 16 ]; ( 31 ] и [ 32 ]).

К этому ряду статей относятся работы и самого автора, в которых разрабатывается "аффинный аналог" техники Бохнера'с последующим приложением его к глобальной лоренцевой геометрии.

В-третьих, несмотря на предпринятые усилия по расширению области применения "техники Бохнера", она продолжает обслуживать внутренние потребности дифференциальной геометрии. При этом за рамками исследований остаются многочисленные задачи смежных наук.

К исключениям можно отнести кларсическуго теорему С. Бохнера об обращении в нуль чисел Бетти на замкнутом римановом многообразии; теорему К. Яно ( см. [ 35 )), распространяющую результат С. Бохнера на компактные римановы многообразия с краем, и две работы [ 19 ] и [ 25 ] физического плана, в которых из полученного К. Яно ещё в 1952 году интегрального уравнения ( см. [ 15, с. 44 - 45 ]) выводятся простые следствия для гармонических и кшишнговых векторных полей на замкнутых псевдоримано-рых многообразиях.

В отличие от перечисленных в работах автора "техника Бохнера" используется в общей теории относительности для описания динамики релятивистской жидкости и геометрии ( 3 + 1 ) - расщепленного пространства-времени.

Целью дпссертанлоиной работы является выработка метода, основанного на теории представлений групп и дифференциальных операторов, позволяющего выводить формулы Вейценбёка в общем виде, пригодном к одновремешюму изучению "в целом" различных сечений наперёд заданного тензорного расслоения над компактными

многообразием с лилейной связностью и ( псевдо ) римановым многообразием.

Кроме решения основной проблемы в диссертации даны приложения нового метода и полученных с его помощью формул Вейценбёка для описания локальной и глобальной геометрий

a) пространств сечении касательного расслоения, расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над многообразием с линейной связностью или ( псевдо) римановым многообразием,

b) структур почти произведения и ( псевдо ) римановых структур почти произведения,

c) отображений и, в частности, субмёрсий римановых многообразий, а также для изучения следующих объектов релятивистской физики:

a) уравнений Эйнштейна и Максвелла,

b) тензоров энергии импульса и электромагнитных колебаний в орентирован-ном во времени пространстве-времени,

c) динамики релятивистской жидкости,

с]) геометрии (3+1 )-расщепления пространства-времени.

Методика исследований опирается на теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя классическую "технику Бохлера".

Научная новизна работы. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми, обобщающими и дополняющими ставшими уже фактами теории результаты К. Яно и С. Бохлера, К. Номидзу и Ш. Исихары, Н. С. Сингокова и Е. Н. Синюковой, Т. Кашивады, Ж. - П. Бургиньона, А. Навейры и других.

В частности, в работе

1) введено понятие фундаментального дифференциального оператора первого порядка на пространстве сеченнн тензорного расслоения над т-мерным многообразием М с линейной связностью V и ( псевдо ) римановым многообразием М; найдены все т?-кие операторы на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоений внешних дифференциальных ДпМ и симметротеских БрМ р-фэрм ( 1 5 р 5 ш );

2) дана геометрическая интерпретация ядра каждого из найденных фундаментальных дифференциальных операторов, что позволило

a) выработать единый подход к изученшо внешних дифференциальных и симметрических форм, провести их частичную классификацию и изучить геометрию каждого класса, что существенно пополнило теорию новыми фактами,

b) провести частичную классификацию уравнений Эйнштейна, указав для боль-

шинства выделенных классов уравнении их решения,

с) выделить и изучить ранее неизвестный класс уравнений Максвелла релятивистской электродинамики;

3) выведен целый ряд "универсальных" формул Веценбёка для сечений расслоений ТМ, ДрМ и БрМ над ш-мерныы с линейной связностью компактным многообразием М с краем и римановым компактным мнргообразием М с краем, которые связывают значения выделенных фундаментальных операторов на соответствующих сечениях, тензоры Венля и Риччи, скалярную кривизну многообразия со второй фундаментальной формой края многообразия;

4) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены но и существенна дополнены результаты С. Бохнера и К. Яно (см. [ 15 ] и [ 35 ]), Т. Кашивады ( см. [23 ]), М. Берже и А. Грэя ( см. [ 2 , с. 591; 613] ) и других ( см., например, [ 18 ] и [ 33 ]) по глобальной геометрии векторных полей, дифференциальных и симметрических форм, чего нельзя было сделать с помощью "классической техники Бохнера";

5) на основе известной задачи теории представлений полной и ( псевдо ) ортогональной групп о разложении тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты получены поточечно неприводимые разложения

a) ковариантной производной фундаментального тензора структуры почти произведения на многообразии с линейной связностью и (псевдо ) римано-вом многообразии,

b) определенной в диссертации второй фундаментальной формы субмерсин риманова многообразия,

c) тензоров энергии импульса и электромагнитного поля и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости;

6) дана геометрическая интерпретация каждой из неприводимых компонент полученных разложений, что позволило

a) провести частичные классификации структур почти произведения и псевдо-римановых структур почти произведения, которые включили в себя известные классификации А.П. Нордена и А.М. Навейры (см. [ 11 ] и [ 26 ]), и существенно пополнить теорию таких структур новыми фактами;

b) выработать подходы к изучению и классификации субмерсий римановых многообразий, позволившие выделить новые виды субмерсий и описать их геометрию;

c) установить, что выведенные из физических соображений представления тензора энергии импульса и ковариантной производной единичного поля ско-

ростей релятивистской жидкости (см., например, [ 8, с. 58 J) являются следствием их поточечно неприводимого разложения;

d) получить неизвестное ранее поточечно неприводимое разложение тензора электромагнитного поля заряженной релятивистской жидкости на "электрическую" и "магнитную* компоненты;

7J на основании поточечно неприводимых разложений получены "универсальные" формулы Вейиенбёка на компактной ( псевдо ) римановом многообразии с краем, которые связывают

a) тензор кривизны многообразия и неприводимые компоненты разложений коварпантной производной фундаментального тензора римановой структуры почти произведения со скалярным произведением вектора Йордела структуры и единичного вектора нормали края многообразия;

b) тензор кривизны и неприводимые компоненты разложения второй фундаментальной формы субмерсни риманова многообразия;

c) тензор Рнччи и неприводимые компоненты разложения коварпантной производной единичного поля скоростей релятивисткой жидкости со второй фундаментальной формой края многообразия;

8) с помошыо полученных формул Вейцебёка не только обобщены, но и существенно дополнены результаты

a) A.M. Навейры и А.И. Рокаморы (см. [ 27 J и [ 29 ]), А. Ранжана (см. [ 30 ]), П. Вальчака ( см. [ 34 ]), П. Куятоиа ( см.[20 ] ) и других по глобальной геометрии римановых структур почти произведения;

b) К. Яно и Ш. Исихары( см. { 36 ]), Т. Норе ( см. [ 28 J), Е. Н. Сишоковой (см. [ 13 )) и других по глобальной геометрии отображений римановьгх многообразий;

c) по динамике течения релятивистской жидкости и проблеме ( 3 + 1) - расцепления пространства - времени, выраженные в известных теоремах С. Хокин-га (см. [ 12 , с. 164)), Г. Галовэйя (см. [22]) и других, чего нельзя было сделать с помошыо "классической техники Бохнера".

Теоретическая и практическая значимость работы подчёркивается эффективностью разработанных методов и широким спектром их приложений, что и демонстрируется как в классической области применения "техники Бохнера" - геометрии векторных полей, симметрических и дифференциальных форм, так и в теории структур почти произведения, геометрии отображений римановых многообразий и в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 статьях, одной коллективной монографии и 12 тезисах. Работы [ 35 ] - [ <12 ] выполнены в соавторстве, и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на IX Всесоюзной геометрической конференции ( г. КишИнёв,41988 г. ); Республиканской конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г. Тарту, 1990 г.); III Всесоюзной школе "Понтрягинскне чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ." ( г. Кемерово, 1990 г.); Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( г. Казань, 1992 г.); V Всесоюзной школе "Понтрягинскне чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ" ( г. Воронеж, 1994 г. ); Всероссийской школе - коллоквиуме "Стохастические методы геометрии и анализа" ( г. Абрау - Дюр-со, 1994 г. ); Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и её приложения", посвященном 100 - летию со дня рождения П.А. Широкова ( г. Казань, 1995 г. ); VII Международной школе - семинаре "Современные проблемы теоретической и математической физики" ( Казань, 1995 г. ); Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В. Ефимова ( г. Абрау - Дюрсо, 1996 г. ); Международных геометрических семинарах имени Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических по лей" ( г. Казань, А - б февраля 1997 г-) и "Проблемы современной геомет-рии"( г. Казань, 2 - 5 декабря 1997 г. ). Тезисы доклада были представлены Международной конференции по дифференциальной геометрии ( Будапешт, 1996 г.) и опублико-зан в её трудах.

Основные результаты диссертации'неоднократно докладывались и обсуждались ia семинарах : по векторному и тензорному анализу в МГУ ( рук. акад. РАН А.Т. Фо-ленко ); по геометрии "в целом" в МГУ ( рук. проф. Э.Г. Позняк, проф. Е.В. Шнкин и 1роф. И.Х. Сабитов ); кафедры геометрии КГУ ( рук. проф. Б.Н. Шапуков ); по геомет-)ии в МИСиС ( рук. проф. М.А. Акивис); кафедры геометрии ХГУ ( рук. проф. Ю.А. Аминов ); кафедры reo метрии МПГУ ( рук. проф. В.Т. Базылев и проф. В. Ф. Кнрнчен-:о ); по дифференциальным уравнениям в ВлГПУ ( рук. проф. В.В. Жиков ).

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, писка литературы, содержащего 126 наименований, и занимает 289 страниц машино-[исного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, ставятся цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

Глава I "Техника Бохнера в глобальной геометрии расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм" посвящена разработке алгебраических и дифференциально геометрических методов, необходимых для вывода формул Вейценбёка в общем виде, а также применению этих формул для исследовании вопросов существования некоторых классов векторных полей, внешних дифференциальных и симметрических форм на замкнутых и компактных с краем многообразиях.

В первом параграфе излагаются необходимые понятия и факты из теории векторных расслоений и дифференциальных операторов на векторных расслоениях, а также необходимые элементы теории О - структур.

Во втором параграфе определяются фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоении внешних дифференциальных ЛпМ к симметрических Б^М р - форм ( 1 < р <, ш ) над т - мерным многообразием М с линейной связностью V как операторы, чьи главные символы являются проекторами па поточечно ш, И ) - неприводимые подрасс-лоения тензорных расслоений Т'М ® ТМ, Т'М ® АРМ и Т'М ® БрМ соответственно. При этом копярнантиая производная сечения каждого такого расслоения разлагается в сумму действий фундаментальных дифференциальных операторов. Доказаны

Теорема 23. Пусть М - многообразие т измерений с линейной связностью V и Л М - расслоение дифференциальных р-форм над М для / <р £ т - I. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве

С"ЛР М сечений расслоения ЛГ М . Этими операторами будут £!/ = —^— г/ и О] - V -

р +1

--^— <1. Ядром первого служат замкнутые, а ядром второго - киплипговые р-формы,

/7+1

составляющие два подпространства ' ( М, /? ) и К ' ( М, Я ) векторного пространства дифференциальных р - форм Л'Г М, Я ).

Теорема 2.4. Пусть М - многообразие т измерений с линейной связностью V и 5*М - расслоение симметрических р-форм над М. Существуют два фундаментальных

дифференциальных оператора первого порядка на пространстве С" 5?М сечений расслоения Этими операторами будут £>; = —-— 5* и 0-> - V---— 8*. Ядром

р + 1 р + 1

первого служат кгшинговые, а ядрам второго - кодаццевы симметрические р-формы. составляющие два подпространства (л (М.Я) и

<?( М . Я ) векторного пространства аш-

метрическихр - форм ФР( М. X ) .

В случае пространства сечений касательного расслоения также найдено два

фундаментальных оператора = - — И • с!* и Ог = V + — 1(1 • (1* и выделено два

т т

пространства соленоидальных и специальных конциркулярных векторных полей, составляющих ядра указанных операторов.

Затем на многообразии М была задана эквиаффшшая структура ( т), V ) такая, что г)е С"Л" М и Уг| = 0. Инвариантным образом выделены два класса структур: Риччи - плоские и проективно - ееюшдовые. Определён аффинный аналог оператора Ходжа * : ЛрТМ Лт РТ*М, задаваемый ш - формой т| структуры, и изучены его свойства. В частности справедлива

Лемма 2.8. Пусть па т-мерном многообразии М с эквиаффинной структурой (г} .V) существует т-р для 0< р< т линейно независимых специальных конциркулярных

векторных полей ^ (Рц).....£ („,) . Тогда р - форма *а>, дуальная ( О, ш - р)-тен-

зорномупото А11 ( <8>% (щ) )■ будет кшлинговой.

На основании леммы 2.8 доказывается следующая

Теорема 2.9. На т-мерном многообразии М с эквипроективиой структурой / г-*! . да!

(г), V) существуют, по меньшей мере, - лииеино независимых киллинговых р-

р\(т — р)\

р /л!

-форм, т. е. Шт К ( М, Я ) > - .

р1(т-р)1

В отличие от классических результатов С. Бохнера и К. Яно ( см. [ 15 ]; [ 35 ] и [ 3? ]), в которых находятся классы римановых многообразий, не допускающих киллинговых дифференциальных р-форм, здесь указаны примеры киллинговой р-формы и многообразия, несущего такие формы.

Сформулированные результаты важны ещё и потому, что вопросы существования и строения юишинговых р-форм постоянно привлекают интерес физиков и математиков, изучающих общую теорию относительности (см., например, (8 , с. 340 - 342)).

Отметим, что доказанные в ri ара графе'утверждения являются новыми не только для римановой, но й для аффинной дифференциальной геометрии.

Л .

В третьем параграфе разрабатывается "аффинный аналог" техники Бохнера. Так, в частности, для векторного поля заданного на компактном многообразии M и касающегося его края ЭМ, получена интегральная формула

JM ( Ric(4,Ç) + Tr(D2y2 ~(m- I )Tr(D,Ç)4 л = \m Q'ß. J-)*!',

связывающая тензор Рнччи Rie линейной связности V, найденные ранее два фундаментальных дифференциальных оператора D| и D2 на СТМ со второй фундаментальной формой Q' края ЗМ.

На основе данной формулы доказаны утверждения, аналогичные известный теоремам С. Бохнера и К. Яно о специальных конциркулярных, юшшнговых, гармонических векторных полях и киллингопых дифференциальных формах на компактных римановых многообразиях ( см. [ 15 ]; ( 35 ] и [ 37 ] ). Примером характерного результата может служить

Теорема 3-5. Пусть M • компактное т-мерное ( m ¿2 ) многообразие с экви-аффинной структурой (tj, V) ,âM- его граница, а го - киллинговая (т - 1)-форма, заданная на M и трансверсальная âM . Если для векторного поля Ç - *со вдоль SM справедливо неравенство Q'(Ç) > 0 и всюду на M ( 1) Дк( (,, Ç) <0. то Va =0 ;

( 2) Rief £ Ç) <0и хотя бы h одной точке Ric( Ç, Ç) <0, то œ может быть только нулевой формой.

Псевдорнмановое многообразие M с метрикой g и связностью Леви-Чивита V допускает эквиафнннуго структуру ( т|, V ) для r\ = ^|det(g)| dx1 л ... л dxm, поэтому на

основе уже доказанных в параграфе утверждений получены непосредственные обобщения теорем К. Яно и С. Бохнера ( см. [ 15 ] и [ 35 ] ) о киллинговых и гармонических векторных полях на случай лорениевых многообразий. Так, например, доказывается

Теорема 3.9. Лореицевое т-мерпое многообразие M не допускает времениподоб-ного векторного поля Киплинга £, если в M существует ориентируемое т-мерное подмногообразие М'с пространственноподобной ортогональной Е, границей âM'такое, что во всех его точках Rie( Ç, £,) SO за исключением хотя бы одной точки, где Rief £ /;) < 0.

В четвёртом параграфе определяются фундаментальные дифференциальные опе-

риторы первого порядка на пространствах сеченяй расслоений Л^М и S2M над nceaao-j римановым m - мерным многообразием M как операторы, чьи главные символы являются проекторами на поточечно неприводимые относительно действия псевдоортогональной группы подрасслоения тензорных расслоений Т'М ® ЛРМ и Т*М ® S2M соответственно. В первом случае доказана

Теорема 4.3. Пусть M - ( псевдо ) римановое многообразие m измерений с метрикой g и связностью Леей - Чиеита V. Существуют три фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве С"Л 'M сечений расслоения ЛГМ внешних дифференциальных р-форм ( \ < р < т-1) над М. Этими операторами

будут Di - —d, D-> =-?- g О d* и D3 = V--— d--!- g О d*.

p+1 m-p + l p+l m-p+l

Ядром первого оператора служат замкнутые, второго - козамкнутые. третьего - кон-

формно-киплинговые р-формы, образующие три подпространства D "( M. R). F "( M. R )

и Tf( M, R ) векторного пространства дифференциальных р - форм П"( M.R).

Эта же задача, но для риманова многообразия M решалась Ж. - П. бургиньо-ном, Им было выделено только два оператора и сказано ( см. ( 3, с. 265 ] ) : "Имеется ещё один фундаментальный оператор.... Помимо случая р= I, он иё имеет простой геометрической интерпретации".

Как видно из теоремы 4.3, в диссертации найден вид этого оператора и показано, что его ядром служат открытые ещё в 1969 г. конформно-киллинговые р-формы ( см. [231).

Козамкнутые конформно-киллингоаые р-формы образуют известное уже пространство киллинговых р-форм Кр ( M, R ), а замкнутые образуют ещё не изученное в литературе пространство плоских р-форм Р ' ( M, R ). Вместе с четырьмя другими они

N

составят семь подмодулей R-модуля Qp( M, R ), принадлежащих ядрам одного, двух и сразу трёх фундаментальных дифференциальных операторов на С~ЛрМ.

В случае расслоения S2M выделено два фундаментальных дифференциальных оператора и соответственно два пространства конформпо-килмтговых и конформно-кодащевых 2- форм, принадлежащих ядрам этих операторов. Установлено, что каждая симетрическая конформно-киллингова 2-форма задаёт квадратичный первый интеграл движения изотропных геодезических. Здесь же построен пример конформно-кодаццевой 2- формы.

Подобная же задача, но для расслоения бесследовых симметрических 2- форм

Б; М над римановым многообразием решалась Ж. - П. Бургиньоном. Было выделено три фундаментальных оператора н установлено, что ядро одного составляют симметрические бесследовые бездивергентные 2-формы, а далее сказано ( см. [ 3, с. 277 ]) : "ядра двух (других - авт. ) фундаментальных операторов не имеют простой геометрической интерпретации".

Как это показано в диссертации для случая псевдориманова многообразия, ядрами этих операторов будут конформно-киллинговые и конформно-кодаццевые симметрические бесслеяовЫе 2-формы, первые из которых хорошо известны в общей теории относительности ( см. [ 8, с. 339 - 340 ] ), а определение вторых дано в диссертации, как обобщение известных в литературе кодаццевых 2-форм ( см. [ 2 , с. 590 - 598 ]).

В пятом параграфе подробно изучена локальная геометрия пространств дифференциальных форм, составляющих ядра выделенных в предыдущем параграфе фундаментальных дифференциальных операторов. В частности, доказана

Теорема 5.1. На т - мерном ( псевдо ) римановом многообразии М Я - модули плоских р - форм Р р( М, Я ) и киллинговых ( т - р ) - форм Кт-<'( М, Я ) являются *-- изоморфными.

Из этой теоремы выводится следствие, которое является аналогом известного факта * - изоморфизма И-модулей № ( М, К ) и Нга"р ( М, К ) гармонических форм.

Следствие 5.7. На т - мерном римановом многообразии М постоянной непулевой секционной кривизны К -модули Тр( М, Я ) и Тт'р( М, Я ) являются *- изоморфными. Также доказана следующая

Теорема 5.10. Пусть а) и а)' суть плоская и киллипговая р - формы на т • мерном локально плоском ( псевдо ) римановом многообразии М. Тогда существует окрестность I/ каждой точки х е М, где компоненты форм имеют следующий вид:

для декартовой системы координат х .....х т в II

и постоянных компонент "//....( , В'/, Iг . Л () I^ и В, ] I^ кососимметрических тензоров па и.

На основании теоремы 5.10 построены примеры плоской и киллинговой дифференциальных р-форм на гиперсфере евклидова пространства Ет.

Эти и другие установленные в параграфе факты существенно дополняют локальные результаты К. Я но и С. Бохнера ( см. [ 15 ] и [ 35 ] ), Т. Кашивады ( см. [ 23 ]) и многих других ( см. [ 2, с. 590 - 598; 612 - 614) и [ 8, с. 339 - 340 ]) о геометрии внешних

дифференциальных и симметрических форм.

В тестом параграфе как обобщение классической формулы Вейценбёка

/м { 9Гр(ш)+Ч1' ш V,, ,, ...^-У^"5"1' ...1р } п =0,

полученной К. Яно ещё в 1952 году ( см. [ 15, с. 58 ]) для внешней р - формы со на замкнутом римановом многообразии М и используемой без изменений до настоящего времени (см., напр, [ 17 ]), выведена интегральная формула

(м СИ,(в>) +2,(«а) - <ИГ,(<в)-р(р+13|0|«а|» - (т-р)|02ш|2 +

+ фзозр } л = I Ч'

для внешней р-формы ш на компактном римановом многообразии М, касающейся его края 5М. Здесь & р( а) - И р(т) + 2)>((й)-'И^/,(со) - неприводимое относительно действия ортогональной группы разложение квадратичной формы 'Iр : Лр М ® Лр М

И, коэффициенты которой известным образом выражаются через компоненты тензоров кривизны и Риччи; 0|, Г>г и Бз фундаментальные дифференциальные операторы на н р • © Лр3 М —> - квадратичная форма с коэффициентами из компонент второй фундаментальной формы края д М многообразия М. Здесь же выведена интегральная формула Вейценбёка

Г { Я,(ф) + |5-ф|» - - |6ф|Мп = (Ф)П'--

'М 'о М

для симметрической р - формы ср на компактном римановом многообразии М с краем дМ как обобщение полученных в разное время ( см., например, [ 2, с. 591 - 592 ]) интегральных формул для симметрических 2- форм на замкнутых многообразиях.

В седьмом параграфе на основе выведенных в предыдущем параграфе интегральных формул доказываются утверждения, обобщающие известные до этого теоремы С. Бохнера и К. Яно, Т. Кашивады, Г. Битиса, М. Берже, А. Грэя и других о внешних дифференциальных и симметрических р-формах на замкнутом римановом многообразии (см. [2, стр. 591 - 592; 613 ];[ 15 ];[ 18 ]; [23 ];[ 33 ] и [35 ]). Вкачестве примера характерных результатов этого параграфа приведём следующие два утверждения.

Теорема 7.10. Пусть т - мерное компактное ориентированное римановое многообразие М с краем дМ несёт симметрическую киллинговую 2- форму <р , касающуюся его края дМ. Если многообразие М имеет

( 1 ) непалоэ/сителъную секционную кривизну и выпуклый край, то либо локально М явля-

ётся'м/фгообразием раманова произведения, либо tp-Xg для Я - must: (2) каазиотрицательпую секционную кривизну и выпу/спый край, то <p = Xg для X- const;

( 3 ) неположительную секционную кривизну и почти строго выпуклый край, то <р = 0.

Следст вие 7.13. Пусть т - мерное компактное ориентированное риманово многообразие М с краем оМ несёт касающуюся е)М внешнюю конформно-киллинговую ( киллин-говую или плоскую ) р - форму со для 1 £ р < т - I. Если многообразие М имеет ( 1 ) неположительную секционную кривизну и выпуклый край, то / со ¡— const и либо локально Л/ является многообразием раманова произведения, либо а) удовлетворяет равенствами ( 7.12 );

( 2 ) квазиотрицательную секционную кривизну и выпуклый край, то в) удовлетворяет равенствам ( 7.12 ) ;

( 3 ) неположительную секционную кривизну и почти строго выпуклый край, то о) — 0.

Уточним, что в формулировке следствия 7.13 равенство (7.12) имеет следующий вид: со,, , 1,1 = —]co|!g.. для |ю|г = const.

'2' Р 1 ТП

Заметим также, что все известные до этого времени результаты ( см. [ 15 ]; [ 17 ]; [ 33 ] и [ 35 ] ) выражают условие препятствия существованию киллинговых р-форм на замкнутом и компактном с краем римаиовых многообразиях в виде требования отрицательной определённости квадратичной формы W г (со ), геометрический смысл которой ещё не до конца ясен ( см. об этом [ 33, с. 985 - 987 ]).

С точки зрения приложений будет интересным и такое

Следствие 7.И. Пусть 2т-мерное замкнутое римапово многообразие М несёт копформпо-киллинговую ( соответственно киллинговую или плоскую ) 2-форму а> максимального ранга. Если выполняется одно из следующих двух условий: ( 1 ) всюду на М секционная кривизна УС< 0;

( 2 ) всюду на М секционная кривизна JCsO, и локально М не является многообразием ри-мапова произведения,

то М будет почти эрмитовым (соответственно приближённо кзлеровым или кэлеропым) многообразием с фундаментальной 2-формой ( 42т /а)/)'1 со.

Глава II "Техника Бохнера в теории 0( Н ) х 0( V ) - структур на компактных многообразиях" призвана проиллюстрировать новые методы в "технике Бохнера", разработанные в первой главе диссертации, для изучения одного хорошо известного (см.,

например, [ 5, с, 22 ]) класса G - структур.

В первом параграфе дано определение структуры почти произведения как G = = GL( Н ) х GL( V) - структуры на многообразии М, такой, что ТМ = 'Я® Yи :Н, = Н, % = V для любой точки х многообразия М. Приведено условие ее интегрируемости и построена GL( Н ) х GL( V ) - связность без кручения, которая согласно общей теории ( см. [ 5, с. 9 ]) должна существовать для интегрируемых G - структур. Кроме того, получено поточечно неприводимое относительно действия группы GL( Н ) х GL( V ) разложение ковариантной производной фундаментального тензора Р структуры почти произведения на многообразии VI с линейной связностыоУ. Далее проведена частичная классификация GL( Н ) х GL( V) - структур, когда классы структур выделяются за счет обращения в нуль различных неприводимых компонент разложения. Эта классификация включает в себя классификацию "композиций" А. П. Нордена (см. [I I, с. 128 -t29 ), в основе которой было понятие параллельного перенесения распределений 91 и V структуры. Приведены тензорные и геометрические характеристики структур каждого класса.

Во втором параграфе изучены G = O(H)x0(V) - структуры на ( псевдо ) ри-мановом многообразии М с метрикой g и связностью Леви - Чивита?. Было получено поточечно неприводимое относительно действия группы 0( Н ) х 0( V) разложение ковариантной производной фундаментальной формы П = g ( Р.,.) структуры и доказана

Теорема 2.2. Ковариантная производная VП фундаментальной формы О(Н) х х О (V ) • структуры на т -мерном ( псевдо ) ршшновом многообразии М разлагается в поточечно неприводимую относительно действий группы 0(11) xO(V ) сумму из шести компонент, представляющих собой следовые и бесследовые части вторых фундаментальных форм и тензоры интегрируемости распределений структуры.

Далее проведена частичная классификация 0( Н ) х 0( V) - структур на псевдо-римановом многообразии, когда классы структур выделяются за счет обращения в нуль различных неприводимых компонент разложения.

Данная классификация содержит то же число классов, что и известная классификация 0( n, R ) х 0( ш - n, R ) - структур на римановом многообразии А. Навейры ( см. [ 26 } ), но в отличие от последней каждая неприводимая компонента здесь имеет геометрическую характеристику.

В параграфе для некоторых структур даны тензорные характеристики и найдено стороение метрик, что дополнило в геометрической части исследования О. Гиль-Медрано, А. Монтесиноса ii других по геометрия римановых структур почти произве-

депия. В частости, доказана

Теорема 2.8. Для того, чтобы заданна)! на ( псевдо ) римановом многообразии Л/ 0(11) х О (У) - структура была интегрируемой омбилической необходимо и достаточно, чтобы ни многообразии М существовали две независимые, не имеющие пулей. I- формы <р к- ( (р л <с £ 0 ) такие, что

( ГО ) ( У. У. 2 ) = <р( Г)П(У. 2) + <р( 2 ) П( У. V) +

. + у( У)В(Х. г; + У;

для фундаментальной формы Л структуры и произвольных X, У, 7. е С" ТМ.

Если учесть, что описываемая в теореме структура задаёт на многообразии два ортогональных дополнительных вполне омбилических слоения, то из этой теоремы в качестве следствия выводится тензорый признак почти полуприводимых римановых лшо-

V-

гообразий Г.И. Кручковича ( см. [ 7 )).

Заметим здесь же, что используемое в общей теории относительности понятие искривлённого или скрещенного произведения псевдоримановых многообразий ( см., например, { 2, с. 363 - 373 )) возникло из практических соображений и не предполагало наличие развиваемой в этом параграфе теории 0( Н ) х 0( V ) - структур ла псевдорнмано-вом многообразии.

В труп,ем параграфе на основе полученных результатов выведен ряд формул ВсГщенбёка для изучения выделенных классом римановых структур почти произведения. Так, н частности, справедлива следующая

Теорема 3.1. Для 0( Н ) хО( V ) - структуры, глобально заданной на компактном ориентированном ршипювом многообразии М с краем дМ, справедлива интегральная формула

5 ( М ) - К( М ) + 2 }., (I Рг , V« р + I Рг , УП р ) п -

- 2 (. . ( I Рг , УПI2 + I Рг , УП р ) п -

- 2 ( п-1 ) {. . пч- „ УПГ- л + 2 ( т-п-! ) , | Рг л =

= ? ¡0М ё

связывающая скалярные кривизны з и IV многообразия и нормы 0( Н )хО( V ) - неприводимых компонент ковариантной производной Р'О фундаментальной формы структуры

со скалярным произведением вектора Йордена структуры п единичного вектора нормали края сМ.

Для (1|'т Н~ т - I данная интегральна формула принимает следующий вид: (.. ( 2 + | Рг , УП12 - | Рг , -

- (ш-2)| Рг ь УПР ) п = — Г к (5, Л) п' . ^ С"М8Ь®Г 1 16 ;зм 61 1

Эти и другие выведенные в параграфе формулы обобщают известные интегральные формулы ( см. [ 20 ], [ 27 ], ( 29 ], [ 30 ) и [ 34 ]) для 0( Н ) х 0( V ) - структур па замкнутом риманопом многообразии.

В четвёртом параграфе доказываются утверждения, которые выражают условия препятствия к существованию различных классов 0( Н ) х 0( V) - структур на компактном риманопом многообразии с краем и замкнутом римановом многообразии, обобщая многочисленные известные к этому времени аналогичные результаты ( см., например, [20], [ 27 ], [ 29 ), [ 30 ] и др.). Так, па основании первой из приведённой выше формул доказывается теорема 4.1, выражающая условие'препятствия к существованию на компактном многообразии с краем омбиличесокй О(Н) х О(У) - структуры. Из теоремь! Ьы-водится ряд следствии и, в частности, основной глобальный результат работы [ 27 ].

На основании второй из приведённых выше интегральных формул доказывается, например, следующий результат.

Теорема 4.9. Пусть па т - мерном ( т > 2 ) компактном ориентированном римановом многообразии М с краем дМ задана глобально 0( Н ) хО( V ) - структура с горизонтальным касающимся края дМ гиперраспределением Л. Если

( 1 ) < 0 и (0М ) - 0, то омбилическое гиперраспределение Я становится

имолютивпым с вполне геодезическими интегральными многообразиями, а край дМ- вполне геодезическим подмногообразием М ;

( 2 ) кривизна 3{!с квазиотрицательная и Ц (8М ) - 0 или Я* < 0 и ^ (<6М ) >0.

то гиперраспределение Л не может быть вполне'омбилическим.

Глава Щ "Техника Бохнеря в теории отображений римановых многообразий" рассматривает глобальную геометрию отображений компактных с краем, замкнутых и полных римановых многообразий на основе усовершенствованной "техники Бохнера".

В первом параграфе вводится в рассмотрение квадратичный дифференциал У Г.

отображения f : М -> N соответственно тип- мерных многообразии с линейными связностямн V и V без кручений для V = V © V". Исходя из свойств Vf. даются с единой точки зрения определения проективных ( см., например, [ 28 ] и [ 13 ] ), релятивно аффинных и аф<риниых ( см., [ 36 ) ), омбилических ( см. [ 28 ] ) и гармонических ( см. [ 36 ]) отображений, а также доказываются утверждения локального характера. В частности,

установлено, что для произвольных проективной иммерсии f: М -» Ы и омбилического

отображения f: М ~> N римановых многообразий с мериками g и g' симметрические 2-

формы ф = е f * g' для (Л = —!-In [ det (f * g')] и >|/ = f * g' - Tr ( f * g') g явдя-

2(m -t-1)

v ' • i

ются киллинговымн, а 2-формы <p ' = e 'f'g'n i/= =f' g' + — Tr ( f'g') g являются

коданиевыми. Выделим также следующее утверждение.

Теорема 1.2. Дли того, чтобы рнмановое многообразие М допускало проективное отображение постоянного ранга, меньшего своей размерности, необходимо и достаточно, чтобы локально М было многообразием скрученного произведения.

Данный результат закрывает проблему классификации римановых многообразий, допускающих локальные проективные отображения постоянного ранга, поскольку римановы многообразия, допускающие локальные проективные диффеоморфизмы, были изучены и классифицированы Н. С. Спшоковым и A.B. Аминовой ( см. [ I 1).

Во втором параграфе для произвольной субмерсии f: М N рнмаиова m - мерного многообразия М с метрикой g на риманово п - мерное ( п < m) многообразие N с метрикой g' определена её вторая фундаментальная форма р и доказана следующая

Лемма 2.1. Фундаментальная форма р субмерсии т-мерного риманова многообразия ¡V/ на п- мерное ( т> п ) рнмановое многообразие N разлагается в ортогональную сумму из шести компонент , пять из которых поточечно неприводимы относительно действий группы 0( Н ) х 0( V ) и являются следовыми и бесследовыми частями вторых фундаментальных форм и тензором интегрируемости распределений 0( Н ) х 0( V )-структуры, задаваемой на М данной субмерсией.

Как и в случае с ( псевдо ) римановыми структурами почти произведения, это разложение позволяет проводить классификацию субмерсий рнмановых многообразий. В частности, мы получили возможность определить два оставшихся до последнего времени вне поля зрения геометров вида субмерсий - конформных и эквиобъёмных. Данные субмерсии характеризуются, соответственно, конформным и эквиобъёмным отображе-

ниями евклидовых протранств (Кег Г.) * и ГвдЫ, индуцированными касательным отображением Г.: Т„М -> Т|(,)Ы в каждой точке х многообразия М. Здесь подробно изучены" свойства и пострены примеры обеих субмерснй. Так, например, доказана

Теорема 2.4. Пусть [: М N - конформная субмерсия риманова многообразия М с метрикой g на римановое многообразие N. тогда горизонтальное распределение 'Н -=( Кег /,)1 па М является омбилическим, а индуцированная на нём горизонтальная связность V является g Л - конформной.

Результаты данного параграфа будут тем более интересны, поскольку до последнего времени основной интерес геометров был сосредоточен на изучении глобальной и локальной геометрий римановых субмерсий ( см. [ 2, с. 325 - 379 ]). Так, например, риманова субмерсия является частным видом конформной субмерсин, а потому наследует все её свойства. В результате из сформулированной теоремы следует, что для рима-новой субмерсии горизонтальное распределение Л является вполне геодезическим ( см. [ 2, с.

338 |), а горизонтальная, связность V является # * - римйнивой, что и обосновывает выбранное для неё определение, но не было замечено ранее?

В третьем параграфе выведены две формулы Вейценбёка обшего вида. Первая интегральная формула

1М »-1 - 1М 8' 1( - = = 19М + &(Гё').Л-) л'

связывает тензоры кривизн многообразий М н N с квадратичным дифференциалом отображения. Вторая

-(n-l)lPr „ ю 13 - ( m - n - I ) | Рг

- связывает тензор кривизны компактного многообразия М, нормы неприводимых компонент второй фундаментальной формы р субмерснй со скалярным произведением векторного поля Йордена S = n5h-t-(m-n)J;\ индуцируемой субмерспей 0(H)*0(V)-

-структуры, и единичного вектора ~Y нормали края дМ.

В четвёртом параграфе доказаны утверждения, описывающие глобальную геометрию проективных, омбилических и гармонических отображений и, в частности, суб-iiepciin замкнутых, компактных с краем и полных рнмановых многообразии на основе полученпых выше формул. Так, в частности, на основе первой из приведёт« выше интегральных формул доказывается

Теорема 4.3. Пусть М - зймкнутое ориентированное рилшновое многообразие и <V -римановое многообразие неположительной секционной кривизны размерностей тип соот-ветствено, a J: М —> /V - проективное отображение постоянного ранга г < min ( т, п }. Тогда если ( ,

( 1 ) 9lic > 0. то / - постоянное отображение ;

( 2 ) 9tic £ 0 и знак равенства достигается, то г — I и ранг тензора Риччи многообразия М не превосходит dim М -1.

Хорошо известно, что произвольное ш- мерное ( m > 2 ) риманово.многообразие М постоянной кривизны С и только оно допускает локальное проективное отображение на евклидово m - мерное пространство. Из предложения 4.3, в частности, следует, что "в целом" для замкнутого риманова многообразия М постоянной секционной кривизны С > 0 проективного отображения постоянного ранга г < min { ш, п }на евклидово п-мерпое пространство не существует.

На основании второй из приведённых формул доказывается, в частности, Теорема 4.4. Пусть М и N суть римановы многообразия и f: М —> ¿V - проективное отображение постоянного ранга г < dim М. Если М удовлетворяет одному из следующих условий :

( I ) полное многообразие с 9С > 0; ( 2 ) замкнутое ориентированное многообразие с К i О, то локально М является многообразием риманова произведения листов шшолютив-ныхраспределений Кет/, и ( Kerf.)1.

Сформулированные здесь и другие, имеющиеся в диссертации утверждения, дополняют результаты E.H. Сишоковой, Й. Микеша и других по глобальной геометрии проективных диффеоморфизмов (см., например, [ 13 ]).

Следует также отметить, что применению "техники Бохнера" к теории отображений ( отличных от диффеомрфизмов ) посвящена только одна работа ( см. [ 36 ]), где рассматривалось гармоническое отображение компактного риманова многообразия.

Это связано с трудностями, возникающими при выводе формул ВеГшенбёка для отображений ( см., например. [ 28 ] ). Предложенный метод позволил их преодолеть.

Глава IV "Техника Бохнера в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике" рассматривает возможность приложения разработанных в диссертации методов к изучению объектов релятивистской физики.

В первом параграфе опираясь на отработанные во втором, четвёртом и пятом параграфах первой главы методы изучения пространства сечений расслоений симметрических форм, проведён групповой анализ уравнений Эйнштейна, а результате выделены семь классов уравнений Эйнштейна и найдены решения уравнений для большинства классов.

Заметим, что конструкция пространств - времён ( частные решения с группами изометрий или общие решения ) так же, как изучение их свойсгв и физических следствий, является предметом активного изучения ( см., например, [ 8 ) ).

Основной результат сформулирован с использованием понятия фундаментальных операторов.

Теорема 1.2. Эйнштейновские пространства - времена, чей тензор энергии импульса Т принадлежит ядру фундаментального оператора

( 1) D!, характеризуются условием S^ f Ries g ) = 0, свидетельствующим, что ( Rie - 3~' s g ) - симметрическая киллинговая 2- форма, задающая первый квадратичный интеграл уравнений геодезических : (2 ) £>,. исчерпываются лоренцевымимногообразиями с бездивергентными тензорами Вейля ;

(3) Dj, исчерпываются лоренцевыми многообразиями постоянной скалярной кривизны;

(4) D2 и D3, исчерпываются лоренцевыми многообразиями с бездивергентными тензорами кривизны.

Для ориентированного во времени m-мерного лоренцева многообразия M получено поточечно неприводимое разложение'ковариантной производной VÇ мнимоеди-ничного векторного поля и произвольного поля симметрических 2-тензоров Т : g(Vx4,Y)=»(X, Y) + o(X,Y)-(m-l)-' 0 g* (X, Y ) + g X) g( V.Ç, У ),

T(X,Y)=T<hX,hY) + T($.ç)g(4.X)g(ÇIY)-

-[T(tiX,Ug(4.Y)+ T(hY,Ç)g(Ç,X)J,

где h: TM Ç1 означает оператор ортогонального проектирования, а X, Y и Z суть произвольные векторные поля на М.

Известны ( см., например, [8, с. 58 ) и ( 9, с. 219 - 220 ] ) строения тензора Т энер-

гни импульса и коварнантной производной единичного поля ^ скоростей релятивистской вязкой жидкости с теплопроводностью, которая движется через -t-мерное пространство-время. Эти выражения были получены на основе физических представлений, но в диссертации доказано, что они являются следствием приведённых выше разложений. В космологии ( см. [ 9, с. 219 ]) компоненты разложения а, о и в обозначают соответственно 2-форму вращения, тензор сдвига и расширение жидких мировых линий.

Во втором параграфе опираясь на отработанные во втором, четвёртом к пятом параграфах первой главы методы изучения пространствасечении расслоений внешних дифференциальных форм, проведён групповой анализ уравнений Максвелла релятивистской электродинамики.

Известно, что 2-форма со электромагнитного' поля является замкнутой. На основании этого « принадлежит D ' ( М, R) и в равной мере может быть элементом как векторного подпространства 11г ( М, R ), так и подпространства Р2 ( М, Н ). Тогда уравнениям Максвелла "в свободном от заряда пространстве" сГсо = 0 соответствует случай, когда со б Н!( М, R). Случай же, когда <а е Р 1 ( М, R ), приводит к следующим специальным уравнениям Максвелла:

(Vxm)(Y,Z) = у [g(X,Z)g(J,Y) - g (X, Y ) g (J, Z) ]

для 4-вектора тока J, метрического тензора g и любых X,Y,Z бСТМ Из них автоматически следуют уравнения Максвелла при наличии заряда d'w = - 4 л g (J,. ).

Далее изучена геометрия пространства-времени, допускающего такое электромагнитное поле, и найдены на основе теоремы 5.10 первой главы интегралы специальных уравнений Максвелла в плоском пространстве-времени.

Для ориентированного во времени ш-мерного лоренцева многообразия получено поточечно неприводимое разложение произвольного поля кососимметрических -2--тензоров F, на основе которого дано неизвестное ранее в 4-мерном пространстве-време ни разложение тензора электромагнитного поля заряженной жидкости

F(X,Y) = F (liX, hY ) +-[8U.X)g(VtS.Y) - g ( í. Y ) g ( V^, X ) ],

q

на "магнитную" и "электрическую" компоненты. Это разложение аналогично представлению F в плоском пространстве-времени с использованием векторов напряжённости электрического и магнитного полей Е и В.

В заключении параграфа сформулировано

Предложение 2.6. Проекция F* тензора электромагнитного паля Fuá любое прос-

транственноподобное омбилическое сечеиие ( случай а) - а = 0 ) будет подчиняться спе-циалъным уравнениям Максвелла, если сам тензор Р подчиняется зпии< уравнениям.

В третьем параграфе с помошью "техники Бохнера" изучены глобальные аспекты геометрии простраистпа-времепп, связанные с вопросами его ( 3 + I ) - расщепления, а также вопросы гидродинамической модели Вселенной.

Вопросы существования иространственноподобных гиперповерхностей и расслоения лорепцевых многообразий иа их I-параметрическое семейство до сих пор актуальны. Но получение глобальных результатов с условиями на знакоопределённость кривизны Рнччн и замкнутость многообразия, как это принято в "классической технике Бохнера", здесь осложнено рядом условий. Одним из них является известный результат ( см. [ 22 ]), согласно которому замкнутое т-мерное ( т > 3 ) лоренпепо многообразие, удовлетворяющее условию ( X, X ) > 0 для единичных времеииподобных векторов X, не допускает замкнутых пространственноподобных гиперповерхностей. Для преодоления этого, за образен была принята известная (см. ( 12, с. 164) доказанная С. Хокнигом

Теорема . Следующие требования на пространство-время М несовместимы: ( I) существует замкнутая пространственноподобноя гиперповерхность М'; ( 2 ) сИу „Г ¿0для единичного векторного поля „Гнормалей А/': ( 3 ) Як ( 4-^)20 для каждого времепиподобпого вектора %;

( 4 } М полно относительно времеииподобных геодезических, направленных в проиаое.

Р. Пенроуз ( см. там же ) в комментариях теоремы условия ( I ) и ( 2 ) рассматривает как утверждения о том, что "Вселенная является ( или была ) пространствеимоком-пактной и расширяющийся." В этой трактовке теорема С. Хокннга выражает условия препятствия к ( 3 + I )-расщеилетпо прострапстпа-времепн.

В параграфе на основе поточечнр неприводимого разложения ковариантнои производной мнимоединичиого векторного поля ); получены следующие формулы Вейценбёка:

[., [ - I (о |1 + |о - - 0г)П = - [ Мл- П'

и 2 3 2 }ди

для релятивистской жидкости, текущей через область Ц пространства-времени и ортогонально пересекающую её замкнутую пространствснноподобную границу Ш, и

1и [уИсС^Д) - 1«|2 + 1« I1 - | 04л = \ |аи 044.$) п\

для релятивистской жидкости, текущей через область и пространства-времени и ка-

саюшейся её замкнутой времениподобной границы 51!.

С помощью данных формул изучены глобальные аспекты гидродинамической модели Вселенной. Так, например, доказана следующая

Теорема 3.2. Следующие требования для ориентированного и ориентированного во времени пространства - времени ( М. $ ) не совместимы :

( I ) существует область и с замкнутой пространственноподобной границей 31]; ( 2 ) для единичного направленного в будущее векторного поля ^Г нормалей ¿Л!

[ (¡¡v п' > о;

( 3 ) движение "космологической жидкости" в области V бессдвиговое ; ( 4 ) для поля д 4- скоростей жидкости ^

Также в параграфе найдены условия, препятствующие некоторым ( 3 + I ) - расщеплениям пространства - времени. Приведём пример результата

Следствие 3.6. Следующие требования для ориентированного и ориентируемого во времени пространства - времени ( М, % ) не совместимы :

( I ) существует область V с замкнутой пространственноподобной границей ЗИ; ( 2 ) для единичного направленного в будущее векторного поля нормалей ди

С Лу Л п' > 0;

( 3 ) ' существует (3+1 ) - расщеппеиие области с вполне омбилическими гиперповерхностями одновременности, 'одной из которых является граница области; (4) для поля £ единичных векторов нормалей омбилического слоения ^^

В противоположность принятому подходу в математической физике обшей теории относительности, когда выбранное пространствепноподобное сечение является носителем "начальных данных", чтобы при последующем "интегрировании вперёд по времени, определить эволюцию геометрии Вселенной" (см. [9, с. 171 - 187 ), в диссертации предложено подобные сечения рассматривать в качестве носителей условий препятствия для существования тех или иных полей. Это позволяет с успехом применять технику Бохнера римановой геометрии. Примером служит следующая

Теорема 3.11. Если в области пространства-времени, которая заполнена заряженной жидкостью, существует замкнутое пространствепноподобное вполне омбилическое сечение отрицательной скалярной кривизны, то а этой области электромагнитное попе не может описываться специальными уравнениями Максвелла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. И УМН. -1993.-Т. 48, Вып. 2.-С. 107- 164.

2. БессеА. Многообразия Эйнштейна, 'Г. I и Т. 2: Мер. с шил. - М.: Мир, 1990.

3. БессеА. Четырёхмерная риманооая геометрия: Пер с англ. - М.: Мир, 1985.

4. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная поренцена геометрия: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

5. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифферпциальиой геометрии: Пер. с англ.

- М.: Наука, 1986. :

6. Кобаяси 111., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, Т. I и Т. 2 : Пер. с

англ. - М.: Наука, 198).

7. Кручковнч Г.И. Признаки полуприводимых римапошх пространств. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - 1966, Вып. XIII. - С, 399 - 406.

8. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна: Пер. с англ. - М.: Энерго-издат, 1982.

9. МнзнерЧ.идр. Гравитация. Г. 2: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.

. > о

10. Морен Методы гильбертова пространства: Пер. с англ. - М.: Мир, 1965.

11. Нордеп А.П. Теория композиций. И Проблемы геометрии. - 1978. -Т. 10. - С. 117- 145.

12. Пенроуз Р. Структура пространства-времени : Пер. с англ. - М,: Мир, 1972.

13. Сишокова Е.Н. О геодезических отображениях некоторых специальных риманолых пространств. И Математические .заметки. - 1981. - Т. 30, № 6. - С. 889 - 894.

14. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, 1967. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. -С. 127- 188.

15. Яно К., Бохнср С. Кривизна и числа Бетти. : Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1957.

16. Berard P. A note on Bochner type theorems for complete manifolds. // Manuscr. math. -

- 1990. - Vol. 69, № 3. - C. 261 - 266.

17. Bitis G. Harmonic forms and killing tensor fields. // Tensor. - 1994. - Vol. 55, № 3. - P. 215-222.

18. Berard Pierre H. From vanishing theorems to estimating theorem : the Bochner technique reviiited. И Bull. Amcr. Math. Soc. - 1988. - Vol. 19, № 2. - P. 371 - 406.

19. Blau M. Symmetries andpsettdo- Riemarmian manifols. II Reports on Mathematical Physics. - 1988,- Vol. 25, № p. 109 - 116.

20. Coulloa P. An inixuriant formula for orthogonal dvsiributioru.il Ann. Global Anal. Geom.

- 1988. - Vol. 6, № 1. - P. 47- 54.

21. Fontenele F. Submanifolds with parallel mean curvature vector in pinched Riemannian manifold. II Pacif. J. Math. - 1997. - Vol. I. - P. 47-70.

22. Galloway Gr. J. Some global aspects of compact space-times. II Archiv der Mathematik.

- 1984. -Vol. 42, №2. -P. 168 - 172.

23. Kashiwada T. On conformal Killing tensor. // Natural Science Report, Ochanomizu University. - 1968. - Vol. 19, № 2. - P. 67 - 74.

24. Matthias W. Die Bochner-Methode und Sius starrlteitssatz.il Bonn. Math. Schr. - 1989. -№198.-P. 1-58. ^

25. Muzinich I J. Differential geometry in the large and. compactiftcation of higher- dimensional gravity. II ]. Math. Phys.- 1986. - Vol. 27, № 5. - P. 1393- 1397.

26. Naveira A.M. A classification on Riemannian almost product manifolds. H Rendiconti di matematica e delle sue applicazioni, 1983, Vol. 3, № 3. - P. 577 - 592.

27. Naveira A.M., Rocamora A.H. A geometricalobstrucdon to existence two totally umbilical complementaryfoliations. II Notes Math. - 1985.-№1139. P. 263 - 279.

28. Nore T. Second fundamental form of a map. II Ann. mat. pure ed appl. - 1987. - № 146. P. 281 -310.

29. Rocamora A.H. Some geometric consequences of Weitzenbock formula on Riemannian almost - product manifolds; weak - harmonic distribution.!. II Illinois Jornal of Math. -

- 1988. - Vol.32.-P. 655-671.'

30. RanjanA. Structural equations and an integral formula for foliated manifolds. II Geom. dedic. - 1986. - Vol. 20, № 1. - P. 85 - 91.

31. Shiffman B., Sommese A. - J. Vanishing theorems in complex manifolds. - Progress in Math., Vol. 56 - Boston: Birkhauser, 1985.

32. Sanchez M., Romero A. An integral inequality on compact Lorentz manifold1!, and its applications. II Bull. London Math. Soc. - 1996. - Vol. 28, №5. - P. 509 - 513.

33. Wu H. The Bochner technique. - Proc. Beijing Symp. Differ. Geom. and Differ. Equat. (Aug. 18-Sept. 21, 1980). - New York: Science - Press & Gordon - Breach, 1982, P. 929 -1071. -

34. Walczak P.G. .An integral formula for a Riemannian manifold with two ortogonal complementary dbtri^aions. II Colloqium mathematicum. - 1990. - Vol. 58, Fasc. 2. P. 244- 252.

35. Yano K.. Inti^al formulas in Riemannian geometry. - New York: Marcel Dekker, 1970.

36. Yano KL, IsFiiltfifa Sh. Harmonic and relatively affine mappings. H J. Differential Geometry. - 1975;- Vol. 10. P. 501 - 509.

37.

Yano K.. Differential geometry on complex and almost complex spaces. Pergamon Press, 1965.

Oxford:

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степанов С.Е. Сферическое распределение в евклидовом пространстве. II Известия вузов. Математика. - 1986. - № 9. - С. 76 - 78.

2. Степанов С.Е. Об одном классе римановых структур почти произведения. II Известия вузов. Математика. - 1989. - № 7. С. 40 - 46.

3. Степанов С.Е. Техника Бохпера в теории римановых структур почти произведения. И Матем. заметки. - 1990. - Т. 48, Кя 2. - С. 93 - 98.

4. Степанов С.Е. Вейлевы субшрсии. II Известия вузов. Математика. - 1992. - № 5.--С. 93-95.

5. Степанов С.Е. Симметрические тензоры на компактном римановом многообразии. II Матем. заметки. - 1992. - Т. 52, № 4. - С. 85 - 88.

6. Степанов С.Е. Техника Бохпера и космологические модели. II Известия вузов. Физика. - 1993. -№ 6. - С. 82 - 86.

7. Степанов С.Е. Интегральная формула для компактного многообразия с римаиовой структурой почти произведения. И Известия вузов. Математика. - 1994. - № 7. - С. 69 - 73.

8. Степанов С.Е. К теории отбражений римановых многообразий в целом. II Известия вузов. Математика. - 1994. - № 10. - С. 81 - 88.

9. StepanovS.E. An integral formula for a Riemannian almost - product manifold. II Tensor. - 1994. - Vol 55, №3. - P. 209 - 214.

10. Степанов С.Е. К глобальной теории проективных отображений. II Матем. заметки. - 1995.-Т. 58, № 1.-С. Ill - 118.

11. Степанов С.Е. 0( п ) х 0( т - п ) - структуры на т - мерных многообразиях и суб-мерсии. И Алгебра и Анализ. - 1995. - Т. 7, № 6. С. 188 - 204.

12. Stepanov S.E. On the global theory of some classes of mappings. II Annals of Global Analysis and Geometry. - 1995. - Vol 13, № 3. - P. 239 - 249.

13. Степанов С.Е. Об одном применении теории представлений групп в релятивистской эяекплродина.иике. II Известия вузов. Физика. -1996. -"jNb 5. - С. 90 - 93.

14. Степанов С.Е. Неприводимые представления ортогональной группы и геометрическая теория тяготения. II Лекционные заметки по теоретической и математи-

ческой физике, Т. I, Часть 2. - Казань: Казанский гос. ун-т, 1996. - С. 449 - 461.

15. Степанов С.Е. О применении одной теоремы П. А. Широкова в технике Бохнера. И Известия вузов. Математика. - 1996. - № 9. - С. 53 - 59.

16. Степанов С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Энштейна и Максвелла. II Теоретическая и математическая физика. - 1997. - Т. 111, Na 1. - С. 32 - 43.

17. Степанов С.Е. Скалярная кривизна римановой структуры почти произведения. И Тезисы докладов IX Всесоюзной геометрической конференции ( Кишинёв, 20 - 22 сентября 1988 года ). - Кишенёв: Штниниа, 1988. - С. 299.

18. Степанов С.Е. Компактноеричановс/многообразие почти произведения. //Тезисы докладов Республиканской конференцпн/'Проблемы теоретической и прикладной математики (Тарту, 21-22 сентября 1990 года ). - Тарту: Тартусский университет, 1990. > С. 72-74.

19. Степанов С.Е. Кривизна и распределение' II Тезисы докладов III Всесоюзной школы "Понтрягинскне чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ" ( Кемерово, 24 сентября - 3 октября 1990 года ). - Кемерово: Кемеровский гос. ун - т, 1990.

- С. 73.

20. Степанов С.Е. Геометрическое препятствие к существованию вполне омбилического распределения на компактном многообразии. II Ткани и квазигруппы. - Калинин: Калининский гос. ун - т, 1990. - С. 135 - 137.

21. Степанов С.Е. Минимальное гиперраспределение на компактном многообразии. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1991.-№22. - С. 101 - 104.

22. Степанов С.Е. Римановы структуры почти произведения и отображения постоянного ранга. II Геометрия и анализ. - Кемерово: Кемеровский гос. ун-т, 1991. - С. 39-41.

23. Степанов С.Е. Симметрические тензоры на компактном римановом многообразии. II Тезисы докладов Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( Казань, 18 - 22 августа 1992 года ). - Казань: Казанский гос. ун-т, 1992. -

- С. 94 - 95.

24. Stepanov S.E. Thesevencla3sesofalmostsymplecticstrulures.il Webs & Quasigroups.

- Tver': Tver' State University, 1992. - C. 93 - 96.

25. Степанов С.Е. Силшетрические тензоры с постоянным следом. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1992. - № 23. - С. 94 - 96.

26. Степанов С.Е. О проективных субмерсиях и иммерсиях в целом. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1993. - № 24. - С. 97 - 101.

27. Степанов С.Е. Вторая фундаментальная форма субмерсии. // Тезисы докладов V

Всероссийской школы "Поитрягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ" ( Воронеж, 25 - 29 апреля 1994 гола ). - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1994,- С. 132.

28. Степанов С.Е. Об одном классе замкнутых форм на римановом многообразии. II Тезисы докладов Всеросийской школы - коллоквиума по стохастическим методам геометр™ и анализа ( Абрау - Дюрсо, 25 сентября -2 октября 1994 года ). - М. : ТВП, 1996. - С. 110-111.

29. Степанов С.Е. О замкнутых пространственноподобпых гиперповерхностях. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1994. - № 25. С. 91 - 96.

30. Степанов С.Е. Гармонические отображения. //Тезисы докладов VI Всероссийской школы "Поитрягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ" ( Воронеж, 20 - 26 апреля 1995 года ): Тезисы докладов. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1995. - С. 72.

31. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные формы. И Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1995. - № 26. - С. 84 - 89.

32. Stepanov S.E. A class о/ closed forms and special Maxwell equations. II Abstracts of Con] on Differential Geometry (Budapest, July 27 - 30, 1996 ). - Budapest, 1996.-P. 113.

33. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные 2- формы и специальные уравнения Максвелла. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1996. -№27. -С. '"407 -111.

34. Степанов С.Е. Формы Киплинга на компактном многообразии с краем. Н Тезисы докладов Международного геометрического семинара имени Н.И. Лобачевского "Сов ременная геометрия и теория физических полей"( Казань, 4-6 февраля 1997 года ). -Казань: Казанский гос. ун-т, 1997. - С. 114.

35. Степанов С.Е., Родионов В.В. Дополнение к одной работе Ж.-П. Бургииьона. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1997. - № 28. - С. 68 - 72.

36. Stepanov S. Е., Tsyganok I.I. Vector /¡elds in manifolds with equiaffine connection. II Webs & Quasigroups. - Tver': Tver' State University, 1993. - C. 70 - 77.

37 Степанов С.Е. , Цыганок И.И. Техника Бохнера в аффинной дифференциальной геометрии. II Алгебраические методы в геометрии. - М.: Российский ун-т дружбы народов, 1992. - С. 50 - 55.

38 Степанов С.Е., Цыганок И.И. Векторное поле налоренцевом многообразии. II Известия вузов. Математика. - 1994. - № 3. - С. 81 - 83.

39 Степанов С.Е., Цыганок И.И. Оператор Ходжа на многообразии с зквиаффинной структурой. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1996. -№27.

-С. IN-II7.

40. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Единичное пюрсообршунпцее векторное поле. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 1995. - № 26. - С. 103 - 107: *■

41. Степанов С.Е., Цыганок И.И. Векторное поле на лоренцевом многообразии. II Тезисы докладов Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия ( Казань, 18-22 августа 1992 года ). - Казань: Казанский гос. ун-т, 1992. -С. 108.

42. Степанов С.Е., Цыганок. И .И. Оператор Ходжа в аффинной дифференциальной геометрии. II Тезисы докладов Международной геометрической школы-семинара памяти Н.В. Ефимова ( Абрау-Дюрсо, 27 сентября - 4 октября 1996 года ). - Ростов на Дону: НПП Корал - Микро, 1996. - С. 66 - 68.

CjJÜUUUUBLU-X^r-.,

Подписано в печать "¿0" января 1998 года. Формат 60x84, 1.16. Объём 2 п.л. Тираж 100 экз. Бесплатно. Типография завода "Автоприбор" г. Владимир

13 Л.

резидиум ¿5Ал\ России 06 -£л

Г к «

№

'.Г> г* /че-ную степень ДОК1

ТУ"

У

_наук

Р7 На^альник'у пр авлекия ВАК России

/

Л / | / I А 4 ч .»

/ ,Г * /I -1? \/

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СТЕПАНОВ СЕРГЕЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

НОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕХНИКЕ БОХНЕРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико - математических наук

Владимир - 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

ОГЛАВЛЕНИЕ.....................................................................................................................2

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................................4

ГЛАВА I. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЛОБАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ РАССЛОЕНИЙ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И СИММЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ

§ 1. Обозначения и определения.................................................................................. 36

§ 2. Представления полной линейной группы в геометрии тензорных расслоений

над многообразием с линейной связностью........................................................46

§ 3. Техника Бохнера в глобальной геометрии тензорных расслоений над многообразием с линейной связностью......................................................................... 68

§4. Представления ортогональной группы в геометрии тензорных расслоений ^

над (псевдо) римановьш многообразием...........................................................81

§ 5. Векторные пространства дифференциальных форм над (псевдо ) римано-

вым многообразием...............................................................................................97

§ 6. Формулы Вейценбека для дифференциальных и симметрических форм на

компактном римановом многообразии с краем.................................................112

§ 7. Теоремы бохнеровского типа в глобальной геометрии расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над римановым многообразием ................................................................................................................124

ГЛАВА II. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЛОБАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 0( Н ) х 0( V ) - СТРУКТУР

§ 1. ОЦ Н ) х ОЦ V) - структуры на дифференцируемом многообразии.............148

§2. 0( Н ) х 0( V ) - структуры на (псевдо) римановом многообразии................160

§ 3. Формулы Вейценбека для 0(Н)х0(У)- структур на комнактном рима-

новом многообразии с краем..........................................................................176

§ 4. Теоремы бохнеровского типа в глобальной геометрии 0( H ) х 0( V ) -

структур.............................................................................................................. 185

ГЛАВА III. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЛОБАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ОТОБРАЖЕНИЙ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

§ 1. Векторозначные формы и специальные виды отображений........................... 194

§ 2. Представления ортогональной группы в теории субмерсий римановых

многообразий...................................................................................................... 209

§ 3. Формулы Вейценбека для отображений компактных римановых многообразий с краем........................................................................................................220

§ 4. Теоремы бохнеровского типа в глобальной геометрии отображений

римановых многообразий...................................................................................226

ГЛАВА IV. ТЕХНИКА БОХНЕРА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ

И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ § 1. Применение представлений ортогональной группы в геометрической

теории тяготения..................................................................................................250

§ 2. Применение представлений ортогональной группы в релятивистской

электродинамике..................................................................................................262

§ 3. Теоремы бохнеровского типа в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике...............................................................................270

ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................................279

ВВЕДЕНИЕ

В заглавие диссертации вынесено название одного из основных аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии. Этот метод является общим для доказательства vanising theorems, в которых констатируется обращение в нуль некоторых топологических или геометрических инвариантов ( таких, как числа Бетти или размерность векторного пространства Киллинга ) на замкнутом (то есть компактном без границы ) римановом многообразии при определённых ограничениях на его кривизну. В основе метода лежит вывод "формул Вейценбёка" ( см., напр., [ 2 ], стр. 77 - 83 ), сравнивающих лапласианы на тензорных полях. Впервые такие формулы были получены С. Бохнером ( см. [ 36 ] ) для гармонических векторных полей и дифференциальных форм с целью найти условия на кривизну замкнутого риманова многообразия, препятствующие их существованию и, как следствие этого, гарантирующих обращение в нуль чисел Бетти.

Актуальность темы. В каждом из трёх (см. [ 40 ]; [ 55 ] и [ 74 ]) опубликованных обзоров работ, выполненных с использованием "техники Бохнера", список литературы превышал 70 единиц. "Технике Бонера" посвящены монографии К. Яно и С. Бохнера [ 36 ], Б. Шифмана и А. Соммеса [ 68 ], К. Яно [ 78 ], а также отдельные главы и параграфы в монографиях А. Бессе [ 2 ] и [ 3 ], Ш. Кобаяси [11], Ш. Кобаяси и К. Но-мидзу [ 12 ] и [ 13 ], К. Морена [ 19 ], К. Яно [ 82 ] и других авторов. Успех метода базируется на целой серии результатов ( см., напр., [ 6 ], [ 38 ], [ 49 ], [ 54 j и [ 77 ]), в которых утверждается существование метрик на полных, замкнутых и компактных с краем многообразиях с тем или иным наперёд заданным условием на кривизну.

Исследования с использованием "техники Бохнера" ведутся постоянно, и подтверждением этому могут служить столь разноплановые, но объединённые одним методом работы последних лет [ 39 ]; [ 44 ]; [ 69 ] и [ 76 ].

Подчёркивая современное значение "техники Бохнера", известный американский математик X. By в предисловии к своему обзору [ 74 ] писал: "By now this technique has achived the status of being part of the basic vocabulary of every geometer".

К сожалению, отечественная научная литература содержит буквально единицы статей, выполненных с использованием классической "техники Бохнера", и при этом вообще отсутствуют работы, направленные на её развитие.

Степень разработанности темы. Анализ опубликованных к настоящему времени работ зарубежных авторов, которые выполнены с использованием "техники Бохнера", позволяет выделить три особенности в получении результатов.

Во-первых, задача применения "техники Бохнера" всегда решалась персонифицированно: для каждого изучаемого объекта выводилась своя формула Вейценбёка и лишь затем повторялись предписываемые "техникой" шаги. Это очевидно ограничивало возможности её использования.

Однако при первой же попытке самого автора вывести "универсальную" формулу Вейценбёка для исследования внешних дифференциальных форм (см. [ 96 ]) был обобщён остававшийся неизменным с 1968 года результат Т. Кашивады ( см. [ 52 ] ). Дальнейшие наши исследования глобальной геометрии дифференциальных и симметрических форм ( [ 99 ]; [ 115 ] и [ П8 ] ), римановых структур почти произведения ( см. [ 88 ]; [ 89 ]; [104 ] и [ 108 ]) и отображений римановых многообразий (см. [ 106 ]; [ 109 ]; [111]и[112]) привели к многочисленным новым результатам и обобщениям уже известных к этому времени фактов теории и тем самым подтвердили правильность выбранного метода.

Во-вторых, "техника Бохнера" применялась до последнего времени для исследования объектов на замкнутых и компактных с краем римановых многообразиях ( см. об этом в [ 74 ] и [ 78 ]), и только недавно наметилась тенденция к расширению области применения "техники" за счёт переноса уже известных результатов на комплексные,

полные римановые и лоренцевые многообразия ( см., напр., [ 37 ]; [ 68 ] и [ 69 ]).

К этому ряду статей относятся работы и самого автора [ 119 ]; [ 120 ]; [ 122 ] и [ 125 ], в которых разрабатывается "аффинный аналог" техники Бохнера с последующим приложением его к глобальной лоренцевой геометрии (см. также [ 121 ]; [ 123 ] и [ 124 ]).

В-третьих, несмотря на предпринятые усилия по расширению области применения "техники Бохнера", она продолжает обслуживать внутренние потребности дифференциальной геометрии. При этом за рамками исследований остаются многочисленные задачи смежных наук.

К исключениям можно отнести классическую теорему С. Бохнера об обращении в нуль чисел Бетти на замкнутом римановом многообразии; теорему К. Яно (см. [ 78 ]), распространяющую результат С. Бохнера на компактные римановы многообразия с краем и две работы [41 ] и [ 59 ] физического плана, в которых из полученного К. Яно ещё в 1952 году интегрального уравнения ( см. [ 36 ] , стр. 44 - 45 ) выводятся простые следствия для гармонических и киллинговых векторных полей на замкнутых псевдори-мановых многообразиях.

В отличие от перечисленных в работах автора [ 101 ]; [ 106 ]; [ 122 ] и [ 124 ] "техника Бохнера" используется в общей теории относительности для описания динамики релятивистской жидкости и (3 + 1) - расщепления пространства-времени.

Целью диссертационной работы является выработка метода, основанного на теории представлений групп и дифференциальных операторов, позволяющего выводить формулы Вейценбёка в общем виде, пригодном к одновременному изучению "в целом" различных сечений наперёд заданного тензорного расслоения над компакным многообразием с линейной связностью и (псевдо ) римановым многообразием.

Кроме решения основной проблемы в диссертации даны приложения этого метода и полученных с его помощью формул Вейценбёка для описания локальной и глобальной геометрий

a) пространств сечений касательного расслоения, расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над многообразием с линейной связностью или (псевдо) римановым многообразием,

b) структур почти произведения и (псевдо) римановых структур почти произведения,

c) отображений и, в частности, субмерсий римановых многообразий,

а также для изучения ( с возможностью практического применения ) следующих объектов релятивистской физики:

a) уравнений Эйнштейна и Максвелла,

b) тензоров энергии-импульса и электромагнитных колебаний в орентирован-ном во времени пространстве-времени,

c) динамики релятивистской жидкости,

ё) геометрии (3+1 )-расщепления пространства-времени.

Методика исследований опирается на теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя классическую "технику Бохнера".

Научная новизна работы. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми, обобщающими и дополняющими ставшие уже фактами теории результаты К. Яно и С. Бохнера, К. Номидзу и Ш. Исихары, Н. С. Синюкова и Е. Н. Синюковой, Т. Кашивады, Ж. - П. Бургиньона, А. Навейры и других.

В частности, в работе

1) введено понятие фундаментального дифференциального оператора первого порядка на пространстве сечений тензорного расслоения над ш-мерным многообразием М с линейной связностью V и (псевдо) римановым многообразием М; найдены все такие операторы на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоений внешних дифференциальных АрМи симметрических 8рМр-форм ( 1 < р < ш );

2) дана геометрическая интерпретация ядра каждого из найденных фундамен-

тальных дифференциальных операторов, что позволило

a) выработать единый подход к изучению внешних дифференциальных и симметрических форм, провести их частичную классификацию, изучить геометрию каждого класса, что и существенно пополнило теорию новыми фактами,

b) провести частичную классификацию уравнений Эйнштейна, указав для большинства выделенных классов уравнений их решения,

c) выделить и изучить ранее неизвестный класс уравнений Максвелла релятивистской электродинамики;

3) выведен целый ряд "универсальных" формул Веценбёка для сечений расслоений ТМ, ЛрМ и 8рМ над т-мерным с линейной связностью компактным многообразием М с краем или римановым компактным многообразием М с краем, которые связывают значения выделенных фундаментальных операторов на соответствующих сечениях, тензоры Вейля и Риччи, скалярную кривизну многообразия со второй фундаментальной формой края многообразия;

4) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены но и существенно дополнены результаты С. Бохнера и К. Яно ( см. [ 36 ] и [ 78 ]), Т. Кашивады ( см. [ 52 ]), М. Берже и А. Грэя ( см. [ 2 ], стр. 591 и 613 ) и других (см., напр., [ 401 и [ 74 ]) по глобальной геометрии векторных полей, дифференциальных и симметрических форм на замкнутых римановых многообразиях, чего нельзя было сделать с помощью "классической техники Бохнера";

5) на основе известной задачи теории представлений полной и (псевдо ) ортогональной групп о разложении тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты получены поточечно неприводимые разложения

а) ковариантной производной фундаментального тензора структуры почти произведения на многообразии с линейной связностью и (псевдо) римано-вом многообразии,

b) определенной в диссертации второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразия,

c) тензоров энергии импульса и электромагнитного поля и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости;

6) дана геометрическая интерпретация каждой из неприводимых компонент полученных разложений, что позволило

a) провести частичные классификации структур почти произведения и псевдо-римановых структур почти произведения, которые включили в себя известные классификации А.П. Нордена и А.М. Навейры (см. [ 21 ] и [ 60 ]), и существенно пополнить теорию таких структур новыми фактами;

b) выработать подходы к изучению и классификации субмерсий римановых многообразий, позволившие выделить новые виды субмерсий и описать их геометрию;

c) установить, что выведенные из физических соображений представления тензора энергии-импульса и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости ( см., напр., [ 15 ], стр. 58 и [ 18 ], стр. 219 -

- 220 ) являются следствием их поточечно неприводимого относительно действия ортогональной группы разложения;

<1) получить неизвестное ранее поточечно неприводимое разложение тензора электромагнитного поля заряженной релятивистской жидкости на "электрическую" и "магнитную" компоненты;

7) на основании поточечно неприводимых разложений получены "универсальные" формулы Вейценбёка на компактном ( псевдо ) римановом многообразии с краем, которые связывают

а) тензор кривизны многообразия и неприводимые компоненты разложений ковариантной производной фундаментального тензора римановой струк-

туры почти произведения со скалярным произведением вектора Йордена структуры и единичного вектора нормали края многообразия;

b) тензор кривизны и неприводимые компоненты разложения второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразия;

c) тензор Риччи и неприводимые компоненты разложения ковариантной производной единичного поля скоростей релятивисткой жидкости со второй фундаментальной формой края многообразия;

8) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены, но и существенно дополнены результаты

a) A.M. Навейры и А.Н. Рокаморы (см. [ 61 ] и [66 ]), А. Ранжана ( см. [ 67 ]), П. Вальчака (см. [ 76 ]), П. Култона (см. [ 43 ]) и других по глобальной геометрии римановых структур почти произведения;

b) К. Яно и Ш. Исихары( см. [ 79 ]), Т. Норе (см. [ 63 ]), 3. Хар Эля (см. [ 51 ]), Е. Н. Синюковой ( см. [ 27 ]), Й. Микеша (см. [ 58 ]) и других по глобальной геометрии отображений римановых многообразий;

c) по динамике течения релятивистской жидкости и проблеме (3 + 1) - ращеп-ления пространства - времени, выраженные в известных теоремах С. Хокин-га (см. [ 25 ], стр. 164), Г. Галовэйя ( см. [ 46 ]) и других,

чего нельзя было сделать с помощью "классической" техники Бохнера.

Теоретическая и практическая значимость работы подчёркивается эффективностью разработанных методов и широким спектром их приложений, что и демонстрируется как в классической области применения "техники Бохнера" - геометрии векторных полей, симметрических и дифференциальных форм, так и в теории структур почти произведения, геометрии отображений римановых многообразий, а также в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 статьях,

одной коллективной монографии и 12 тезисах (см. [ 86 ] - [ 126 ]). Работы [ 120 ] - [ 126 ] выполнены в соавторстве, и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на IX Всесоюзной геометрической конференции ( г. Кишинёв, 1988 г. ); Республиканской конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г. Тарту, 1990 г.); III Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ." (г. Кемерово, 1990 г. ); Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( т. Казань, 1992 г.); У Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ" ( г. Воронеж, 1994 г. ); Всероссийской школе - коллоквиуме "Стохастические методы геометрии и анализа" ( г. Абрау - Дюр-со, 1994 г.); Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и её приложения", посвященном 100 - летию со дня рождения П.А. Широкова ( г. Казань, 1995 г.); VII Международной школе - семинаре "Современные проблемы теоретической и математической физики" ( Казань, 1995 г. ); Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В. Ефимова ( г. Абрау - Дюрсо, 1996 г.); Международных геометрических семинарах име