Аппроксимативные свойства гладких множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

Р Г Б О ^ЕХАНИК0"МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.982.256

КАРЛОВ Михаил Иванович

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ГЛАДКИХ МНОЖЕСТВ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор С. Б. Стечкин

доктор физико-математических наук, доцент И.Г. Царьков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Гаркави

кандидат физико-математических наук, доцент С. А. Богатый

Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского отделения РАН.

Защита состоится 6 июня 1997 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться б библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 6 мая 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи о приближениях нелинейными множествами в линеИных нормированных пространствах относятся к числу центральных в теории приближений. Начало исследованию такого рода задач было положено П.Л. Чебышёвым [1], который изучал приближение непрерывных на отрезке функций рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Естественным шагом при переходе к нелинейным аппроксимациям явилось рассмотрение задач о приближениях конечномерными поверхностями и многообразиями.

В пространстве функций непрерывных на отрезке задача о наилучшем приближении элементами конечномерных поверхностей была впервые рассмотрена Юнгом [2], который получил ряд результатов, касающихся характеризации, существования и единственности элементов наилучшего приближения. Его исследования были продолжены Моц-киным [3], Торнхеймом [4], М.И. Морозовым [5] и Райсом [6]. Последний рассматривал эту задачу уже в произвольном линейном нормированном пространстве. Методы исследования, предложенные Райсом, нашли

[1] ЧЕБЫШЁв П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функции // (1859), Соч., т. II, с. 151-235.

[2] young J.W. General theory of approximations by functions involving a given number of arbitrary parameters // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. V. 8. P. 331-344.

[3] Motzkin T.S. Approximation by curves of a unisolvent family // Bui. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55. P. 789-793.

[4] tornheim L. On n-parameter families of functions and associated convex functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 69. P. 457-467.

[5] Морозов М.И. О некоторых вопросах равномерного приближения непрерывных функций посредством функций интерполяционных классов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1952. Т. 16. С. 75-100.

[6] RlCE J.R. Best approximations and interpolating functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101. P. 477-498.

свое развитие в работах [7], [8], [9]. В этих работах было установлено, в частности, что наложение дополнительных требований типа гладкости на рассматриваемые множества влечет улучшение их аппроксимативных характеристик. Этот факт имеет большое значение, поскольку во многих конкретных задачах теории приближений гладкость приближающего множества можно гарантировать изначально. В ряде работ [10], [11], [12] отмечалось, что существует также и обратная зависимость: некоторые аппроксимативные свойства множества гарантируют его гладкость. В связи с этим возникает вопрос об описании аппроксимативных свойств приближающего множества в зависимости от его гладкости.

Еще более общими среди задач о нелинейных аппроксимациях являются задачи о приближениях произвольными множествами. Наиболее актуальными среди них оказываются задачи об исследовании структуры чебышёвских множеств, т.е. множеств для которых каждая точка пространства имеет ровно один элемент наилучшего приближения. В работах Кли, Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина, Л.П. Власова и др. (см. обзоры [13], [14]) были заложены основы теории чебышёвских множеств в линейных нормированных пространствах. В дальнейшем свойства

[7] СНШ С.К., smith P.V. Unique best nonlinear approximation in Hilbert spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 49. P. 66-70.

[8] ChUI C.K., RoZEMA E.M., Smith P.V., Ward J.D. Metric curvature, following and unique best approximation // SIAM J. Math. Anal. 1976. Vol. F, № 3. P. 436-499.

[9] AbaTZOGLOU T. Unique best approximation from a C2-manifold in Hilbert space // Pacific J. Math. 1980, vol. 87, № 2, p. 233-244.

[10] Federer H. Curvature measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1959, v. 93. № 3. p. 418-491.

[11] Ferry S. When e-boundaries are manifolds // Fund. Math. 1976. V. 90. P. 199210.

[12] howland J.G.F. Tubular neighbourhood in euclidean spaces // Duke. Math. J., 1985, v. 52, № 4. P. 1025-1046.

[13] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // УМН. 1973. Т. 28. К» 6. С. 3-66.

[14] балаганский B.C., власов Л.П., Проблема выпуклости чебышёвских множеств // УМН, 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 125-188.

чебышёвскнх множеств исследовались также в различных классах метрических пространств (см. монографию Зингера [15] и цитированную там литературу). Важным классом метрических пространств являются римановы многообразия. В связи с этим этим возникает вопрос об исследовании структуры чебышёвских множеств на римановых многообразиях.

Цель работы. Исследовать зависимость между гладкостью множеств и их аппроксимативными характеристиками. Изучить структуру чебышёвских множеств на полных конечномерных римановых многообразиях.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены необходимые условия и достаточные условия на гладкость вложенного в гильбертово пространство многообразия, у которого существует чебышёвский слой заданной величины.

2. Найден правильный показатель гладкости вложенного в гильбертово пространство многообразия, для которого множество неединственности нигде не плотно.

3. Получены конструктивные характеристики чебышёвских множеств на многообразиях со сферическим местом среза и на двумерных связных компактных многообразиях без края.

Методы исследования. В работе используются методы нелинейного анализа, геометрической теории приближений и дифференциальной геометрии.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в

[15] Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces, Grundlehren math. Wiss. 171, Springer — Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970, Bucharest, Acad. RSR, 1970. - 416 c.

задачах приближения функции различными конкретными нелинейными множествами и в других экстремальных задачах.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций и приближений в МГУ (под руководством проф. С.Б. Стечкина, под руководством чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова, под руководством проф. Т.П. Лукашенко и проф. В.А. Скворцова) и МИРАН (под руководством проф. С.Б. Стечкина и проф. С.А. Теляковского), на Международных школах по теории приближений под руководством С.Б. Стечкина в 1993-1995 годах и на школе памяти С.Б. Стечкина в 1996 году, на 7-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1994 г.), на 22-й Воронежской зимней школе по теории функций (1995 г.), а также на Чебышёвских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышёва (1996 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ (список публикаций приведен в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-5.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Объем диссертации — 86 страниц. Список литературы содержит 62 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведен обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается следующая задача: охарактеризовать гладкие множества, которые обладают чебышевским слоем заданной величины. (Всюду ниже под гладкими множествами понимаются гладкие многообразия конечной размерности, вложенные в гильбертово пространство.)

Пусть X — метрическое пространство, наделенное метрикой р. Множество М С X называется чебышёвским, если для каждого х G X множество

Рмх = {у G А/ I р{х, у) = р(х, М) = inf р{х, г)}

2 6 Л/

его ближайших элементов из М состоит из одной точки. В первой главе рассматриваются множества, являющиеся обобщениями чебышёвских: так называемые множества с чебышёвским слоем.

Пусть М — непустое множество в X. Положим

Т(М) := {я G А" | множество Рмх одноточечно}.

Для любого г > 0 обозначим

Ог{М) := {а: £ X \ р(х, М) < г}.

Будем говорить, что М обладает чебышёвским слоем (величины г), если Ог(М) С Т(М) для некоторого г > 0 (в случае г = +оо, М — чебышёвское множество).

В качестве исходного множества М рассматривается замкнутое конечномерное многообразие (возможно имеющее непустой край дМ), вложенное в гильбертово пространство Н. В случае, когда М — вложение класса С1 предполагается, что на М задана индуцированная вложением риманова метрика д. При этом считается, что на каждой связной компоненте М' многообразия М с помощью д стандартным образом определено расстояние рм(х,х') между точками х и х' на М' как точная нижняя грань длин путей от х до х'.

Пусть М — многообразие класса С1, вложенное в Н. Для любой точки х £ М обозначим через Т(х) касательную n-мерную плоскость к М в точке х (n = dimM), Т(х) — подпространство в Н, полученное параллельным переносом Т(х) в 6ц (нулевую точку пространства Н). Пусть г > 0. Будем говорить, что М является многообразием

класса rHlC1, вложенным в Н, если для любых точек xi,:r2i принадлежащих одной и той же связной компоненте М,

d(f(xi),T(x2)) < rpM(xi,x2),

где

d(f{x1),T(x2))=max{ sup p(u,S ПТ(х2)), sup p(v, S П T(xi))}

uesnT(ri) uesnf(xj)

— раствор между T(xi) и T(x2) (5 — единичная сфера пространства Н). (Если М имеет непустой край дМ, будем считать, что дМ — (п — 1)-мерное многообразие той же гладкости rHlCl.)

Параграф 1.1 содержит доказательство теоремы 1.1.1, описывающей достаточные условия на гладкость вложенного в гильбертово пространство конечномерного многообразия, у которого существует чебышёвский слой заданной величины (здесь С{М) — множество всех связных компонент многообразия М, diam(M') — диаметр компоненты М' G £{М) в метрике рм):

Теорема 1.1.1. Пусть М — конечномерное вложенное в Н многообразие класса (г > 0) и пусть diam(M') < ж г для любой М' 6 С{М), infx'gAf, х"ем" — ^ 2г для любых различных М',М" 6 С{М). Тогда Ог(М) С Т(М).

Приводится пример (пример 1.1.1), показывающий, что ограничения на диаметр связных компонент для £НХС1 многообразия в теореме 1.1.1 являются существенными.

В § 1.2 получены необходимые условия гладкости вложенного в гильбертово пространство конечномерного многообразия, обладающего че-бышёвским слоем заданной величины.

Теорема 1.2.1. Пусть М — конечномерное С0-многообразие, вложенное в Н, и Ог(М) С Т(М) для некоторого г > 0. Тогда М\дМ — многообразие класса , вложенное в Н, и mix'^M^ И1'-х"|| ^ 2г для любых различных М', М" G £(М).

При этом, как показывает пример 1.2.1, край многообразия М не обязан быть гладким.

Во второй главе диссертации рассматривается следующая задача: исследовать зависимость между гладкостью многообразия и плотност-ными свойствами его множества неединственности.

Для непустого М С X множество всех точек х £ X, для которых Рмх содержит более одной точки, называется множеством неединственности и обозначается R(M).

В качестве исходного множества М рассматривается замкнутое конечномерное многообразие (возможно имеющее непустой край), вложенное в гильбертово пространство.

В § 2.1 устанавлены достаточные условия на гладкость многообразия, у которого множество неединственности нигде не плотно:

Теорема 2.1.1. Пусть М — вложенное в Н замкнутое конечномерное С2-многообразие. Тогда R(M) нигде не плотно в Я.

При ослаблении требований на гладкость М множество int(i?(M)) может оказаться непустым, как видно из теорем, доказанных в § 2.2.

Теорема 2.2.1. Пусть г > 0, тг 6 N. Тогда найдется замкнутое п-мерное ^Н1 С1 -многообразие М, вложенное в Н, такое, что

Н\Ог{М) С R{M).

(Как показывают результаты главы 1, int (^R{M)j = 0 для

Н'С1 -гладкого многообразия М.)

Теорема 2.2.2. Пусть п £ N. Тогда найдется компактное п-мерное С1-многообразие М, вложенное в Н, такое, что

ЩМ) = Н.

(Н1С1-гладкость многообразия М в данном случае недопустима, что также видно из результатов главы 1.)

Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств че-бышёвских множеств на римановых многообразиях. Рассматриваются

вопросы выпуклости, связности и солнечности чебышёвскнх множеств. Изучается топологическое строение чебышёвских множеств на многообразиях со сферическим местом среза и на компактных двумерных многообразиях без края.

Рассматривается конечномерное полное связное рнманово многообразие (М,д), т.е. наделенное римановой метрикой д многообразие М, на котором с помощью д определено расстояние причем М явля-

ется полным метрическим пространством относительно рм. Однако в третьей главе (М, д) выступает уже не в роли исследуемого множества, а в качестве исходного метрического пространства.

Пусть ТХ(М) — касательное пространство к М в х £ М. Для точки х £ М, единичного вектора Т £ ТХ(М) и геодезической г, г(0) = х, т(0) = Т, положим

Гх(т) = гх{Т) := зир{( > О I рм (х, т(0) = ¿}.

Для точек х,у 6 М посредством Seg(a;,7/) будем обозначать множество всех нормально параметризованных геодезических 5 таких, что в(0) = х, «(/>«(*> У)) =У-

Множество N С (М, д) называется выпуклым, если для любых х,у £ ЛГ, я е Бе^(х,у) выполнено в(Л) £ N при 0 ^ А ^ рм(х,у).

В М" каждое чебышёвское множество выпукло и является солнцем (множество N в линейном нормированном пространстве X называется солнцем, если для любого х £ М существует у £ Рд/х, удовлетворяющий условию у £ Рм(1 - Х)у + \х для всех А > 0). В § 3.4 рассматривается вопрос о том, насколько свойства выпуклости и солнечности произвольных чебышёвских множеств сохраняются при переходе от Кп к (М,д). Приводится пример (пример 3.4.1) многообразия (М,д), на котором существует семейство чебышёвских множеств, для каждого из которых пересечение с любым открытым подмножеством М невыпукло или пусто.

Множество N на рнмановом многообразии (М,д) будем называть солнцем, если для любого х £ N найдутся у € Р^х, в € Seg(г/,a•), удовлетворяющие условию у € Р,уя(А) для всех А, 0 ^ А ^

Для С°°-гладких многообразий удается установить солнечность че-бышёвских множеств:

Теорема 3.4.1. Пусть N — чебышёпское множество на конечномерном полном связном рнмановом многообразии (М, д) без края. Тогда N является солнцем.

Как и в случае линейных нормированных пространств, свойство солнечности чебышёвских множеств на многообразиях может служить в качестве технического средства, позволяющего исследовать структуру чебышёвских множеств. В данном случае удается описать чебышёвские множества на многообразиях, имеющих сферическое место среза в каждой точке (такими многообразиями являются, в частности, компактные симметрические пространства ранга 1, снабженные канонической структурой риманова многообразия).

Говорят, что многообразие (М,д) имеет сферическое место среза в точке х £ М, если для каждого единичного вектора Т € ТХ{М), гх(Т) конечно и не зависит от Т.

Тривиальными будем называть одноточечные либо совпадающие со всем многообразием чебышёвские множества.

Теорема 3.4.2. Пусть конечномерное полное связное риманово многообразие (М, д) без края имеет сферическое место среза в каждой точке. Тогда на (М,д) существуют только тривиальные чебышёвские множества.

В следующей теореме рассматривается связное компактное топологическое многообразие М без края, на котором введена (не обязательно указанным выше способом) метрика ри, которая индуцирует топологию, совпадающую с топологией М.

Теорема 3.4.3. Пусть N — нетривиальное чебышёвское множество на связном компактном многообразии (М, р) без края. Тогда N связно, компактно и имеет пустую внутренность.

В § 3.5 изучается топологическое строение чебышёвских множеств на двумерных компактных связных римановых многообразиях (М, д) без края (при этом требуется С3-гладкость М). Примеры, приведенные в § 3.3, показывают, что на таких многообразиях могут существовать чебышёвские множества, гомеоморфные отрезку либо тору Т1. Оказывается, что этими двумя случаями исчерпывается топологическая классификация чебышёвских множеств на исследуемых многообразиях, причем в последнем случае возникают ограничения на топологию многообразия М:

Теорема 3.5.1. Пусть (М,д) — двумерное связное компактное ри-маново многообразие без края и пусть N — нетривиальное чебышёвское множество на (М, д). Тогда N — одномерное связное компактное многообразие гладкости С1.

Теорема 3.5.2. Пусть (А/, д) —двумерное связное компактное рима-ново многообразие без края, N — чебышёвское множество на (М,д) и пусть N гомеоморфно Т1. Тогда М гомеоморфно Т2.

Автор глубоко благодарен научному руководителю ныне покойному доктору физико-математических наук, профессору С.Б. Стечкину и научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту И.Г. Царькову, под руководством которого диссертация была закончена.

Работы автора по теме диссертации

1. Карлов M.II. Аппроксимативные свойства кривых в гильбертовом пространстве // Труды Т-it Саратовской зимней школы, 30 января - 4 февраля 1994 года (памяти профессора A.A. Привалова). Межвузовский сборник научных трудов. Часть 3. Изд-во Саратовского ун-та, 1995. с. 13-16.

2. Karlov M.I. Nontrivial Chebyshev sets on compact connected manifolds // East J. on Appr. 1995. Vol. 1, № 4. P. 527-542.

3. Karlov M.I. Approximative properties of C2-manifolds in Hilbert space. // East J. on Appr. 1996. Vol. 2. №. 2. P. 197-203.

4. Карлов М.И. Многообразия с чебышёвским слоем в гильбертовом пространстве // Материалы международной конференции и Чебышёвских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышёва. Том 1. М.: Издательство механико-математического факультета МГУ, 1996. с. 184-185.

5. Карлов М.И. Чебышёвские множества на многообразиях // Труды Института математики и механики. 1996. Т.4. Екатеринбург: УрО РАН С. 23-27.

6. Карлов М.И. Чебышёвские множества на многообразиях // Воронежская зимняя математическая школа, 1995. Тезисы докладов школы, с. 114. Воронеж: 1995.

7. Карлов М.И. Аппроксимативное свойство компактных (^-многообразий в гильбертовом пространстве // Международная конференция по теории приближения функций, посвященная памяти профессора П.П. Коровкина, Калуга, 26-29 июня 1996. Тезисы докладов. Т. 1. С. 112-113. Калуга, 1996.