Проблемы исчисления дифференциальных форм на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ии>344е355 На правах рукописи

Шведов Игорь Александрович

ПРОБЛЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

01 01 01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2008 _ - _,,

2 2 СЕН 2008

003446355

Работа выполнена в Институте математики им С Л Соболева СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор физ -мат наук, профессор Зарелуа Александр Владимирович доктор физ -мат наук, профессор Родионов Евгений Дмитриевич доктор физ -мат наук, профессор Тарханов Николай Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 5 декабря 2008 г в 16-30 часов на заседании диссертационного совета Д 003 015 03 при Институте математики им С Л.Соболева СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, пр Академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А Е

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Тематика диссертации. Теория дифференциальных форм является одной из важнейших частей математического языка и аппарата современного естествознания, по существу это — современное интегро-дифференциальное исчисление Классический векторный анализ был полностью поглощен теорией дифференциальных форм Использование дифференциальных форм привело к важным результатам в алгебраической топологии Ярко проявляется значение внешних форм при исследовании оператора Лапласа и теории эллиптических дифференциальных комплексов

Сформулируем главные понятия диссертации На римаиовом многообразии М пространство состоит из дифференциальных ¿-форм с интегрируемым в степени р модулем Определим пространство IV= {ш е Ьр | ¿ш € Символы Ср и УУр,д обозначают формы, локально лежащие в Ьр (соответственно, в Положим также ]¥р = И7^ Последовательность • И—> Шр{М)

образует комплекс де Рама Гомологии этого комплекса называются Ьр-когомологиями многообразия М и обозначаются Н^(М) В настоящей диссертации решен ряд задач, возникающих при исследовании Ьр-комплексов де Рама дифференциальных форм

Актуальность темы можно продемонстрировать, очень кратко указав связь с результатами других авторов

В главе 1 получены результаты, которые могут быть интерпретированы как решение проблемы, поставленной Уитни построение теории интегрирования Ьр-форм по /с-мерным поверхностям В диссертации разработан аппарат обобщенной теории интегрирования в смысле Лебега А;-форм по компактным /с-мерным поверхностям, включающей с, себя как теорию Уитни [10], так и теорию вложения Соболева (при к = п мы получаем теорию интегрирования Лебега в пространстве Мп)

Часть результатов главы 2 являются обобщениями результатов Доджика [15] об изоморфизме де Рама

Главы 3-4 посвящены 1/р-когомологиям, изучаются возникающие при этом вопросы, связанные с нормальной и компактной разрешимостью оператора внешнего дифференцирования Вопросами, относящимися к нормальной и компактной разрешимости краевой задачи для уравнения йи — /, занимались, например, Сакс [8], Телеман [27], Берхин [1], Хилсум [21] Общий подход к серии краевых задач для оператора <1 позволил получить и интерпретировать результаты Ко-даиры [24], Длффд и Спенсера [16], Дезина [4] Задачи, которыми для р = 2 занимались, в частности Чигер [13], Доджик [14], Мюллер [25], оказались частными случаями задач про Ьр-формы на искривленных цилиндрах (такие цилиндры естественно возникают в качестве концов многообразий) Результаты исследования компактной разрешимости оператора (I для /с-форм обобщают критерий А Бай-дера [12] дискретности спектра оператора Лапласа для функций на римановом многообразии

Результаты главы 5 об аппроксимации дифференциальных форм естественным образом обобщают как результаты Соболева |9] о плотности гладких финитных функций в функциональном пространстве 1р(Жп), так и результаты Масленниковой и Боговского [5], [6| об аппроксимации соленоидальных векторных полей соленоидальными финитными векторными полями В этом же ключе могут быть интерпретированы и результаты Хейвуда [20] Некоторые результаты можно рассматривать, как обобхцения результатов Гаффни [19] и Чи-гера [13] Часть результатов близка к результатам О В. Бесова [2] и Р Ойиарова (см [7])

> В главе 6 исследуется одно из важнейших свойств функториаль-нопи ¿р-когомологий — формула Кюннета Вариант этой формулы был установлен Цукером в [28] при дополнительных по сравнению с

нашими предположениях

Глава 7 посвящена исследованиям гомологического характера об абстрактных дифференциальных комплексах Часть результатов является обобщением результатов Киченассами [22]

В главе 8 получены достаточные условия дискретности спектра оператора Лапласа на многообразии с цилиндрическими концами Для нуль-форм, т е для функций соответствующие результаты имеются у Регины Кляйн [23] Полученные аддиционные теоремы для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа можно рассматривать, как принцип расщепления, см Эйхорн [18]

Научная новизна Результаты диссертации являются новыми Основные результаты диссертации.

В главе 1 установлен естественный топологический изоморфизм между пространствами локально бемольных форм по Уитни [10] и дифференциальными формами класса УУ^ то Установлена теорема, аналогичная теореме вложения функций Соболева для форм И^ и построено интегральное представление интеграла дифференциальной формы по ^-поверхности X в римановом многообразии У

В главе 2 строится и изучается изоморфизм де Рама в случае комплекса 1/р-форм. Указаны условия на триангуляцию К многообразия М, при выполнении которых топологические векторные пространства когомологий Нр(М) и Нр(К) изоморфны

В главе 3 исследована зависимость (для некомпактных многообразий) /^-когомологий от параметра р Приведены примеры подкомплексов 11^2 (X), позволяющие интерпретировать результаты о краевых задачах для оператора (1 Изучены £р-когомологии цилиндров [а, Ь) х X, снабженных римановой метрикой искривленного произведения (¿.в)2 = (сИ)2 + р{{){<1д)2 Получены результаты о плотности финитных к-форм в соответствующих пространствах, обобщающие результаты Соболева о плотности гладких финитных функций

в функциональном пространстве /р(М") Результаты также являются обобщением результатов Масленниковой и Боговского [5], [6] об аппроксимации соленоидальных векторных полей соленоидальными финитными векторными полями Разработаны адциционпые методы вычисления редуцированных когомологий

В главе 4 найдены условия нормальной и компактной разрешимости оператора ¿г на подпространстве Г С IVр (М), заданном некоторыми краевыми условиями Построены примеры граничных условий Г на компактном многообразии, для которых оператор с1г не является нормально разрешимым, а также примеры условий Г, для которых оператор с?г нормально, но не компактно разрешим Найдены как необходимые, так и достаточные условия нормальной разрешимости оператора <1 на искривленном цилиндре

В главе 5 решен ряд аппроксимационных задач типа задач Соболева и Хейвуда для дифференциальных /с-форм на многообразии с цилиндрическими концами

В главе 6 доказана формула Кюннета, связывающая ¿р-когомо-логии искривленного произведения с Ьр-когомологиями сомножителей Исследованы условия, при которой эта формула справедлива

В главе 7 для (полу)точной последовательности комплексов банаховых пространств выяснено, как нормальная (компактная) разрешимость дифференциалов одного из комплексов влияет на свойства дифференциалов остальных двух комплексов Предложен аналог вложения Киченассами для банаховых комплексов, в частности для дифференциальных эллиптических комплексов на замкнутом многообразии

В главе 8 найдены условия, при которых дифференциалы эллиптического комплекса, действующие в весовых £р-прострап( твах, компактно разрешимы Установлена аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа, где вопрос о

сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий сводится к вопросам о компактной разрешимости операторов <1 Получен также критерий дискретности спектра оператора Шредингера

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер Результаты могут использоваться в исследованиях по функциональному анализу и римановой геометрии Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на Ленинградской международной топологической конференции (1982), на V Тираспольском симпозиуме по общей топологии и ее применениям (1986), на международней топологической конференции (Баку, 1987), на Советско-Японском симпозиуме по теории размерности (Хабаровск, 1989), на научных семинарах в университетах Бар-Илан (Тель-Авив) и Бен-Гуриона (Беер-Шева) в 1996 г, на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетняка (Новосибирск, 2004), а также неоднократно докладывались на различных научных семинарах в Институте математики им С Л Соболева СО РАН

Публикации. Результаты опубликованы в работах 29-49. Результаты совместных публикаций, выносимые на защиту, получены в процессе неразделимой творческой деятельности соавторов

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав и списка литературы (88 наименований) Объем диссертации — 314 стр

КРАТКИЙ ОБЗОР ГЛАВ ДИССЕРГАЦИИ

Глава 1 Исчисление дифференциальных форм соболевского типа

§ 1 1 Дифференциальные формы на липшицевом лтогообразии На римановом многообразии М пространство Ьр(М) образовано дифференциальными ¿¡-формами с модулем, интегрируемым в сте-

пени р, \У^Ч{М) - {ш € Ьр | е Ькя+1} Символы Ср и УУР,7 обозначают пространства форм, локально лежащих в Ьр (соответственно, в IVрл) Коэффициенты внешнего дифференциала ¿ш формы и являются некоторыми линейными комбинациями частных производных коэффициентов самой формы ш. Классы дифференциальных форм УУ* д оказываются инвариантными относительно билипшице-вых замен координат и поэтому могут быть определены на любом липшицевом многообразии

Условие суммируемости коэффициентов формы (ко проявляется в свойствах формы ш, связанных в основном с интегрированием В связи с построением геометрической теории интегрирования Уолф и Уитии [10] рассматривали класс бемольных форм, инвариантный при липшицевых отображениях Оказывается, что дифференциальные формы класса УУ^ ^ — это в точности локально бемольные формы В последнем пункте классы форм 9 использованы для переноса теории Чженя — Вейля, описывающей характеристические классы расслоения в дифференциально-геометрических терминах, на случай расслоений над липшицевым многообразием

§12 интегрировании дифференциальных форм класса УУ*^ Классы д дифференциальных форм на липшицевых многообразиях, введенные в § 1 1, представляют аналог функциональных классов Соболева ИР* ]ос для случая дифференциальных форм В частности, формы класса — это просто функции класса 1ос Функция / из IV* 1ос(Кп), вообще говоря, определена в Кп лишь почти всюду и может быть разрывной Согласно теореме вложения Соболева при р > п функцию / из И£1ос(Щ можно так переопределить на множестве меры 0, чтобы она стала непрерывной В § 1 2 предлагается аналогичная теорема для дифференциальных форм классов УУ* д. В таком варианте теоремы вложения роль значений функции / в точках пространства К" играют интегралы А;-мерной формы и

по ориентированным ¿-мерным поверхностям в Кп Непосредственно определение интеграла дифференциальной формы ш степени к, заданной на К™, по ¿-мерной поверхности в К", параметризованной липшицевым отображением д в К" области из сводится к определению формы д*ш — айх А А ¿х^ и интегрированию функции а по области и

Такой интеграл определен не для каждой поверхности, поскольку не для всех липшицевых отображений д и форм ш £ УУ*^ форму д*(ш) можно определить В этом параграфе для достаточно больших р и д определен интеграл /ди> произвольной формы и £ по произвольной ¿-мерной поверхности, параметризованной липшицевым отображением д Этот новый интеграл совпадает с непосредственным интегралом для почти всех поверхностей Интеграл / и> непрерывно зависит от формы ш € И7^, а также (в определенном смысле) от области интегрирования.

Теория интегрирования дифференциальных форм классов УУ* ^ в случае р = ц = оо развита в книге Уитни [10], где изучаются бемольные формы Совпадение класса УУ^, ^ с классом локально-бемольных форм установлено в § 1 1 Таким образом, интегрирование Уитни оказывается частным предельным случаем интегрирования форм классов УУр]9 Существенное отличие случая р < оо, ^ < оо от случая р — д = оо заключается в том, что для любого липшицева отображения д и —> М" и С 1' и формы и 6 УУ^,)00(ИП) интегрирование по поверхности в Кп, параметризованной отображением д, сводится к интегрированию в смысле Лебега некоторой ограниченной измеримой функции на V В § 12 показано, что интегрирование форм класса УУ* при р, ? < оо не может быть сведено к интегрированию в смысле Лебега и приведены соответствующие примеры Установлен ряд свойств интеграла в частности теорема Сгокса и теорема о замене переменной интегрирования

§ 1 3 Интегральное представление интеграла дифференциальной формы Пусть X — гладкая /г-мерная компактная поверхность, лежащая в к. + т-мерном римановом многообразии У Оказывается, на У существуют такие дифференциальные формы т степени ш и <р степени гп — 1, что для гладких ограниченных форм ш на У

Для форм степени 0 это представление совпадает с известным представлением Соболева функций

Глава 2 Изоморфизм де Рама 1,р-когомологий некомпактных римановых многообразий

Классическая теорема де Рама устанавливает изоморфизм между когомологиями многообразия и гомологиями комплекса дифференциальных форм на этом многообразии В этой главе аналогичный изоморфизм строится в случае комплекса дифференциальных форм класса Ьр на римановом многообразии

Предположим, что задана гладкая триангуляция т \К\ —> М многообразия М В пространстве коцепей симплициального комплек-

са К введем норму ЦсЦс-(к') = Пространство Ср(К)

состоит из /¿-мерных коцепей с, у которых \\с\\с-{к) < °°

Комплекс К называется звездно-ограниченным, если количество симплексов в звезде каждой вершины комплекса К равномерно ограничено Если комплекс К звездио-ограничен, то кограничный оператор й переводит С*(К) в С*+1(К), причем й С*(К) С$+1(К) -ограниченный оператор Обозначим Нр(К) когомологии комплекса

В главе 2 указаны условия на триангуляцию т, при выполнении которых топологические векторные пространства ) и II^ (К)

изоморфны Следствием этого изоморфизма является изоморфизм

{с;(к),с!}

_д. _£

пространств Нр(М) и Нр(К) Последний изоморфизм был ранее установлен Доджиком [15] при р — 2 и дополнительных ограничениях на радиус инъекгивности и тензор кривизны многообразия М Метод Доджика существенно использует эти ограничения и пригоден (что отмечено в [15]) только для отделимых когомологий II р Наш метод основан на другой конструкции

Глава 3 1,р-когомологии римановых многообразий § 3 1 называется так же, как и глава 1,р-когомологии компактного многообразия X не зависят от р и совпадают с его обычными кого-мологиями II*(X, К) Ьг-когомологии римановых многообразий и, в частности, искривленных цилиндров изучали, в частности, Доджик [14], Мюллер [25], Чигер [13] Последний подробно рассмотрел ¿2"к» гомологии многообразий с коническими особенностями Для некомпактных многообразий 1/р-когомологии могут зависеть от р В § 3 1 исследована эта зависимость для конуса над римановым многообразием Приведены примеры подкомплексов И^А'), позволяющие интерпретировать результаты о краевых задачах для оператора <1, полученные ранее Кодаирой [24], Даффом и Спенсером [16], Дези-ным [4]

В § 3 2 (редуцированные Ьр-когомологии искривленных цилиндров) и §3 3 (Ьр-когомологии. искривленных цилиндров) изучаются 1/р-когомологии цилиндров [а,Ь)хХ, снабженных римановой метрикой искривленного произведения (дв)2 — (ей)2 + /2(£)(йс/)2

В § 3 2 описываются редуцированные £р-когомологии искривленных цилиндров Результаты обобщают на случай произвольною р результат Доджика про поверхности вращения из [14], результаты о цилиндрах являются новыми и для р = 2

Приведем один из результатов параграфа 3 2 Рассмотрим в пространстве Мп+1 полярные координаты £ = \у\, х — у/\у\ € 5П Обозначим риманово многообразие, получающееся в результате за-

дания в Rn+1 римаиовой метрики, совпадающей вне некоторого шара с метрикой искривленного произведения (ds)2 = (dt)2 + f2(t)(dx)2 Такие метрики могут быть охарактеризованы как метрики, которые в окрестности бесконечности инвариантны относительно группы вращений SO (п + 1)

Теорема 3.2.5 Пусть ко = [п/р\ + 1 Тогда

1) Яр(К?+1) =0 прик<£ {0,k0,n + l},

2) Яр°(М?+1) ф 0 тогда и только тогда, когда

ос оо

J< 00, У f-Wp'(t)dt < со ^1 + 1 = 1^,

а а

в этом случае 7fp{M.nf+1) = = 0 и dimHkp°{Rnf+1) = оо,

3) если vo№?+1 < то, тео Н°Р(Щ+1) = Я^Ж^1) 2 К, если volR?+1 = оо, то Н°р(Щ+1) = Яр+1(Ж?+1) = О

§3 4 Аддиционные формулы для редуцированных Ьр-когомоло-гий. Гармонические fc-формы на компактном многообразии М изоморфны ¿-мерным когомологиям М Для некомпактного М Атья в [11] предложил описывать гармонические ¿2-формы при помощи редуцированных Ьг-когомологий Чигер в [13] установил, что Ь-2-когомологии и редуцированные Ьг-когомологии компактного псевдомногообразия совпадают В общем случае применение аддицион-ных методов вычисления редуцированных когомологий затруднено неточностью соответствующих когомологических последовательностей В § 3 4 предлагается способ преодоления этих трудностей Полученные результаты применяются для вычисления редуцированных Lp-когомологий многообразий специального вида, которые могут быть охарактеризованы как многообразия, квазиизометричные вне некоторого компакта искривленному цилиндру Lp-когомологии таких многообразий выражаются с помощью гомологических после-

дователыюстей в зависимости от ограниченности или неограниченности следующих интегралов, которые играют важную роль и в следующих главах Для цилиндра [а, Ь) х/ X они таковы (аг — веса ь

на [а,Ь) С Ж) 1к = ¡(/п/р~к(тк)рИ при 0 < к < п, 1к = оо

а

Ь

при к > п + 1 1к = 0 при к < 0, Зк = ¡(/п/р-к~1ак)-р' сИ при

а

1 < к < п + 1, ./¿, = оо при к < 0, Зк = 0 при к > п + 1 Результаты носят исчерпывающий характер в том смысле, что в пей учтены все комбинации значений констант 1к, 1к-\ Некоторые частные случаи были установлены в [14], [13], [25], [26], [35]

Гллвл 4 Нормальная и компактная разрешимость оператора внешнего дифференцирования

Замкнутый оператор Т X —* У, действующий на банаховых пространствах, нормально (компактно) разрешим, если непрерывен (компактен) "обратный" оператор из 1тТ в с^тГ/кегТ Замкнутость образа Т эквивалентна нормальной разрешимости Т, поэтому пространство II^(М) совпадает с пространством Нр{М) в юм и только в том случае, когда оператор внешнего дифференцирования Ьр(М) нормально разрешим § 4 1 О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях

Здесь найдены условия нормальной и компактной разрешимости оператора ¿г на подпространстве Г, заданном некоторыми краевыми условиями, УР(М) С Г С \Ур(М) (символ УР(М) обозначает замыкание в \¥р(М) множества форм с компактными носителями, зануля-ющимися на крае М) Задача на компактном М сводится к окрестности края, те к цилиндру / х дМ Построены примеры граничных условий Г на компактном многообразии, для которых оператор в,г не является нормально разрешимым, а также примеры условий Г, для которых оператор ¿г нормально, но не компактно разрешим

Вопросы нормальной и компактной разрешимости краевой задачи для уравнения ¿и = /, близкие к теме § 4 1, рассматривались в работах [17], [4], [8], [27], [1], [21], из них можно извлечь доказательство компактной разрешимости и

В § 4 2 (нормальная разрешимость оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре) и § 4 3 (о нормалъной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях) найдены как необходимые, так и достаточные условия нормальной разрешимости оператора на искривленном цилиндре. Сходные вопросы возникали, например, у Нигера [13], он доказал нормальную разрешимость операторов £¿2 м на многообразиях М, которые можно получить из замкнутых псевдомногообразий удалением особенностей В частности, в параграфе 4 3 предлагается метод получения ненулевых элементов Ьр-когомологий, позволивший к тому же получить ряд необходимых условий нормальной разрешимости оператора А на искривленном произведении Для ри-манова многообразия X и двух весовых функций г и £ на X мы определяем коцепной комплекс (Щ,(Х,т,£),д)

Я1р(Х,т,0 = Ь,~1(Х,т) х дК,^) = (и2 -

Вота! = {(ал,а;2)е^(Х1г)0 с^-с^еЬ1р(Х,т), сЬ26Ьгр+1(Х,0}

Найдены некоторые условия нормальной разрешимости оператора д Щ,{Х, т, £) —> Яр4"1 {X, т, £), построена точная последовательность, связывающая когомологии комплекса Лр(Х,т,£) с. когомологиями комплексов де Рама Ьр(Х,т) и ЬР(Х, £), вычислены когомологии и редуцированные когомологии комплекса 11Р{Х, г, £) для X = [а, Ь) Установлена связь вопроса о нормальной разрешимости оператора й на искривленном цилиндре [а, Ь) х / У с теоремами вложения весовых пространств Соболева на полуинтервале [а, Ь)

§ 4 4 О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования Здесь найдены разнообразные условия компактной разрешимости оператора ¿, действующего в пространствах (М, а) Полученные условия для искривленных цилиндров и поверхностей вращения эффективны, те. их проверка сводится к вычислению и опенкам конкретных интегралов Наши исследования компактной разрешимости оператора (1 имеют прямое отношение к результатам А Байдсра [12] о дискретности спектра оператора Лапласа па рима-новом многообразии Рассмотрим оператор йр Ь\(Х,а) Ь\{Х,а)., область задания Бот (1-р — ^{Х) которого состой! из гладких финитных функций Пусть (1*р Ь\(Х,ст) —+ Ь°{Х,а) — оператор, сопряженный оператору д.т>, с(х) — гладкая функция на М, А — самосопряженное расширение по Фридрихсу оператора о ¿р + с и <1у — замыкание оператора д-р Спектр самосопряжешюго оператора дискретен тогда и только тогда, когда его ядро конечномерно и он компактно разрешим Используя это, нетрудно доказать, что при с(х) = 0 спектр оператора А дискретен тогда и только тогда, когда оператор ¿у компактно разрешим Условия компактной разрешимости оператора ¿у Ьр(Х,а) —* Ьр+1(Х, т) из теоремы 2 § 4 4 в частном случае к — 0 и р = 2 совпадают с критерием Байде-ра [12, теорема 2 2] дискретности спектра оператора А Решение задачи о компактной разрешимости оператора й, действующего в пространствах дифференциальных форм, позволяет указать условия дискретности спектра оператора Лапласа (Г о<1+<1о<1*, действующего в пространствах Щ (X, а) дифференциальных форм

Глава 5 Финитная аппроксимация дифференциальных форм

§5 1 Финитная аппроксимация .замкнутых дифференциальныт форм на римановых многообразиях специального вида Возможность аппроксимации в К™ потенциальных векторных полей градиентами

финитных функций вытекает из результатов Соболева [9) Аппроксимируемость в К" соленоидальных векторных полей финитными установлена Хейвудом в [20] Но потенциальные векторные поля можно трактовать как тонные дифференциальные формы степени 1, а со-леноидальные — как замкнутые формы степени п — 1 В § 5 1 мы исследуем задачи финитной аппроксимации в -норме замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях и предлагаем решение ряда алпроксимационных задач типа задач Соболева и Хейвуда для дифференциальных /г-форм на многообразии с цилиндрическими концами

§ 5 2 Финитная аппроксимация дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа Здесь мы изучаем, каким условиям должна удовлетворять форма ш, чтобы она принадлежала И^-замыкапию множества гладких финитных форм, те подпространству Ур С \УР Эти вопросы связаны с выполнением на многообразии М формулы типа Стокса А именно форма и> € \Ур{М,о) принадлежит подпространству Ур{М,а) тогда и только тогда, когда для каждой формы и € а'), равной 0 на дМ, выполне-

но равенство / с1(ш А и) = 0 Полученные в параграфе результаты м

можно рассматривать, как обобщения результатов Гаффни [19] и Чигера [13] При / = 1 задача о плотности финитных функций в весовых пространствах Соболева \Vp \M, а) для областей М евклидова пространства — это задача о совпадении пространств а) и Ур°(М, а) Мы получаем условия принадлежности формы подпространству Ур (М, <т) для искривленного цилиндра М — |а, 6) х / X над компактным X Наши результаты о финитной аппрокс имации в IУр(М,а) для случая к = 0 близки к результатам О В Бесова [2] и Р Ойнарова (см [7]) В § 5 2 усилены результаты В Н Масленниковой и М Е Боговского [6] об аппроксимации соленоидальных и потенциальных векторных полей

Глава 6 Формула Кюннета

§6 1 — формула Кюннета для редуцированных Ь2-ко?омологий

Для L/2-когомологий произведения выполнена формула Кюннета если У компактно, то Я| (ХхУ) = ф Нг2{Х)®Щ{У) Для искрив-

г+]=к

ленных произведений X х / У справедливо следующее если искривляющая функция / ограничена и для каждого 1 < j < п = dim У оператор dy L2~1(Y) —> L32(Y) нормально разрешим, то

Н%(Х XjY)= 0 W2{X,r'2-\W{Y)) i+j=k

Эта формула, выражающая Ьг-когомологии искривленного произведения X Xf У через вес овые koi омологии многообразия X с весами

p/2-j

и коэффициентами в гильбертовых пространствах HJ(Y), была установлена С Дукером в [28] при некотором дополнительном предположении об области задания оператора dx у. ¡Y Без этого дополнительного ограничения формула доказана в [37], причем в случае Lp-когомологий при 1 < р < оо Топологический изоморфизм индуцирует изоморфизм редуцированных Ьг-когомологий

Hk2(XxfY0 Я;(Х,Г^,Я;2(У)) i+j=k

Цель данного параграфа — доказать последнюю формулу в случае ограниченной искривляющей функции /, не требуя нормальной разрешимости dy Доказательство использует спектральную теорему для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве и поэтому не переносится на случай Lp-когомологий при р ф 2

§ 6 2 Ьр-когомологии искривленных произведений липшицевых ри-маповых многообразий Пусть X и У — римановы многообразия размерностей тип соответственно, / — гладкая положительная функция на X Пусть р(х) и ст(у) — весовые функции на X и У В работе [37] доказано, что если р е (1, оо), функция / ограничена и

-комплекс де Рама ЬР(У, а, К) расщепляем (т е подпространства 1т в? и кег^+1 дополняемы в пространстве ЬР(У, а, К) при ] 6 И), то имеет место векторный топологический изоморфизм

Нкр(Хх}У,раЛ)= ф Н;(Х,РГ/р-',Щ(У,а,Щ)

l+J=k

Там же было установлено, что Ьр-комплекс де Рама гладкого компактного многообразия расщепляем, если 1 < р < оо Нам неизвестно, расщепляем ли этот комплекс при р £ [1, оо] Кроме того даже если комплекс де Рама многообразия У расщепляем, метод доказательства формулы Кюннета, предложенный в [37], не переносится на случай р 6 [1,оо], так как пространства дифференциальных форм при р е {1, оо} нерефлексивны Метод, развитый в настоящем параграфе, позволяет установить формулу Кюннета для любого р 6 [1, оо) в том случае, когда либо многообразие У компактно, либо его ¿р-комплекс де Рама расщепляем Более того, стало возможным отказаться от условия гладкости многообразий, заменив его предположением о том, что X и У — липшицевы римановы многообразия

Глава 7 Банаховы комплексы и дифференциальные формы Банахов комплекс — это коцепной комплекс банаховых пространств и замкнутых линейных операторов

В §7.1 (гомологические аспекты теории банаховых комплексов) изучаются последовательности комплексов Одна из задач — выяснить, как нормальная (компактная) разрешимость одного из комплексов влияет на свойства остальных дифференциалов

Для банахова комплекса А — (Аг,Т1)г^г и целого числа к определены топологическое векторное пространство гомологий НкА и

_к

банахово пространство редуцированных гомологий Н А Пространства IIкА и Н А совпадают тогда и только тогда, когда оператор Тк~Л нормально разрешим

Короткой точной последовательности банаховых комплексов

соответствуют точная последовательность гомологий

— Н'-'С5^ 1ГА^ НгС (2)

и полуточная последовательность редуцированных гомологий

_>Ж'1 с ^Та^Жв^Же (з)

Мы выясняем, как сказывается на поведении последовательностей (2) и (3) предположите о том, что один из дифференциалов комплексов А, В и С нормально разрешим

Другая задача, с которой мы имеем дело, состоит в том, чтобы выяснить, как влияет предположение о нормальной (компактной) разрешимости одного из дифференциалов комплексов А, В и С, образующих короткую точную последовательность (1), на свойства других дифференциалов этих комплексов

Методы банаховых комплексов оказываются полезными в § 7 2 (теорема компактности для дифференциальных форм) при исследовании свойств вложений комплексов дифференциальных форм Пусть М — замкнутое ориентируемое гладкое п-мерное многообразие Киченассами [22] доказал, что если 1<р<оо, 1<д<оо, ^ — ^ < то пространство ИГ£(М) компактно вложено в потоки с нормой 1п£ {||ш - г, + |М|/,Л В §7 2 установлено, что конструкция Киченассами связана со свойством рефлективности подкатегории банаховых комплексов с непрерывными дифференциалами в категории всех банаховых комплексов Предложен аналог вложения Киченассами для банаховых комплексов, в частности для дифференциальных эллиптических комплексов на замкнутом многообразии

Глава 8 Эллиптические дифференциальные комплексы

и многообразия с цилиндрическими концами

§ 8 1 Компактная разрешимость дифференциалов эллиптического дифференциального комплекса Интерес к компактно разрешимым операторам вызван, в частности, тем, что дифференциалы эллиптического дифференциального комплекса на компактном многообразии без края являются компактно разрешимыми операторами Кроме того, свойство компактной разрешимости оператора имеет прямое отношение к дискретности спектра этого оператора, а именно самосопряженный оператор Т, действующий в гильбертовом пространстве, имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда он компактно разрешим и с1ипКегТ < оо.

Если дифференциальный эллиптический комплекс задан на некомпактном многообразии, то его дифференциалы не обязательно компактно разрешимы Простейший пример — оператор дифференцирования, действующий в 1,2 (®0 Компактная разрешимость дифференциалов эллиптического комплекса на компактном многообразии с краем зависит от выбора граничных условий

В § 8 1 найдены условия, при которых компактно разрешимы дифференциалы эллиптического комплекса, действующие в весовых Ьр-пространствах Детально разобран случай дифференциала в? комплекса де Рама на многообразии с цилиндрическими концами Наши результаты позволяют исследовать некоторые вопросы дискретности спектра оператора Шредингера Для нуль-форм, те для функций соответствующие результаты имеются у Регины Кляйн [23]

§ 8 2 Аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа Пусть риманово многообразие X разбито поверхностью У на две области Х+ и Представляет интерес задача о том, как соотносятся между собой спектральные свойства операторов Лапласа, действующих в пространствах дифференциальных

форм на многообразиях X, Х+ и В случае 0-форм эта задача тесно связана с так называемым принципом расщепления в качественной спектральной теории дифференциальных операторов [3]

В качестве лапласианов в указанной задаче естественно рассматривать самосопряженные расширения минимального оператора порожденного дифференциальной операцией Ак Если многообразие X полно (без края), то расширение единственно В общем случае это не так Поэтому нужно указывать, какие именно лапласианы, действующие на многообразиях X, Х+ и Х_, имеются в виду Мы рассматриваем операторы Ак = D*oD, D — замкнутый оператор, порожденный дифференциальной операцией dx5, d — операция внешнего дифференцирования, 5 — операция кодифференцирования

Ключевой момент в исследовании — следующий факт спектр оператора D* о D дискретен тогда и только тогда, когда оператор D компактно разрешим и dim Ker D < оо Это позволяет свести вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий к аналогичным вопросам о компактной разрешимости операторов внешнего дифференцирования и па этой основе найти условия, при выполнении которых дискретность спектра оператора Лапласа на многообразии X равносильна дискретности спектров соответствующих операторов Лапласа на обоих многообразиях Х- и Полученные аддиционные теоремы для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа можно рассматривать как принцип расщепления, см Эйхорн [18]

Все результаты параграфа о спектре операторов относятся к самосопряженным операторам, действующим в гильбертовом пространстве В то же время вспомогательные результаты о компактной разрешимости относятся к операторам, действующим в банаховых пространствах Нам представляется, что в этой большей общности вспомогательные результаты приобретают самостоятельное значение

Список литературы

[1] Берхин П Н Самосопряженная краевая задача для системы * ¿и + Ли = / // Докл АН СССР 1975 Т 222, № 1 С 15-17

[2] Весов ОБО плотности финитных функций в весовом пространстве С Л Соболева /,/ Тр Мат ин-та им В А Стеклова АН СССР 1983 Т 161 С 29-47

[3] Глазман И М Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов М Физматгиз, 1963

[4] ДезинА А Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи // Тр мат ин-та им В А Стеклова АН СССР 1962 Т 68 С 3-88

[5] Масленникова В Я , Боговский М Е Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей // Сиб мат журн 1983 Т 24, №5 С 140-171

[6] Масленникова В Я, Боговский М Е Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики // Дифференциальные уравнения с частными производными Новосибирск Наука, 1986 С 129-137

[7] Мынбаев К Т, Отелбаев М О Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов М Наука, 1988

[8] Сакс Р С Нормальные разрешимые и нетсровы краевые задачи для системы уравнений Максвелла в случае установившихся процессов // Докл АН СССР - 1983 - Т 272, № 2 - С 308-312

[9] Соболев С Л Плотность финитных функций в пространстве^"1' (Еп) Ц Сиб мат журн 1963 Т 4, № 3 С 673-682

[10] Уитни X Геометрическая теория интегрирования М Изд-во иностр лит-ры, 1960 534 с

[11] Atiyah M F Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras Analise et topologie // Astérisque 1976 V 32/33 P 43-72

[12] Baider A Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // I Differential Geom 1979 V 14, M 1 P 41-58

[13] Cheeger J On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds // Proc Symp Pure Math 1980 V 36 P 91-146

[14] Dodziuk J ¿^-harmonic forms on rotationally symmetric Riemannian manifolds // Proc Amer Math Soc 1979 V 77, X» 3 P 395-401

[15] Dodziuk J Sobolev spaces of differential forms and de Rham — Hodge isomorphism // 7 Different Geom 1981 V 16 P 63-73

[16] Duff G F, Spencer D C Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann Math 1952 V 56 P 118-157

[17] Duff G F, Spencer D C Harmonic tensors on Riemannian manifolds (generalized potential theory) // Ann Math 1949 V 50 P 587-665

[18] Eichhorn J Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmetrischen Metrik // Math Nachr 1983 Bd 144 S 23-51

[19] Gaffncy M P A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds // Ann of Math 1954 V 60, № 1 P 140-145

[20] Heywood J G On uniqueness questions m the theoiy of viscous flow // Acta Math 1976 № 1-2 P 61-102

[21] Hilsum M Signature operator on Lipschitz manifolds and unbounded Kasparov bimoduls Berlin etc Springer, 1985 P 254-288 (Lecture Notes in Math , 1132)

[22] Kichenassamy S Compactness theorems for differential forms // Comm Pure Appl Math 1989 V 42, № 1 P 47-53

[23] Kleme R Discreteness conditions for the Laplacian on complete,' non-compact Riemannian manifolds // Math Z 1988 Dd 198, N 1 S 127141

[24] Kodaira К Harmonic fields in Rimanian manifolds (generalized potential theory) // Ann Math 1949 V 50 P 587-665

[25] Muller W Spectral geometry and non-compact Riemannian manifolds // Proc Intern Congr of Mathematics, August, 16-24, 1983 Warszawa, 1984 VIP 565-587

[26] Rosenberg S Harmonic forms and Z/2-cohomology on manifolds with cylinders // Indiana Umv Math J 1985 V 34, A'2 P 355-373

[27] Teleman N The index of signature operators on Lipschitz manifolds // Publ IHES 1983 V 58 P 39-78

[28] Zucker S L2-cohomology of warped product and arithmetic groups // Invent Math 1982 V 70, № 2 P 169-218

Работы автора по теме диссертации

[29] Гольдштейн В М , Кузьминов В И , Шведов И А Дифференциальные формы на липшицевом многообразии // Сиб маг жури 1982 Т 23, № 2 С 16-30

[30] Гольдштейн В М , Кузьминов В И , Шведов И А Об интегрировании дифференциальных форм классов // Сиб мат журн 1982 Т 23, К» 5 С 63-79

[31] Гольдштейн В М, Кузьминов В И , Шведов И А Интегральное представление интеграла дифференциальной формы /'/ Функциональный анализ и математическая физика // Новосибирск Ин-т математики СО АН СССР, 1985 С 53-87

[32] Гольдштейн В M, КузъмиповВИ, Шведов И А Lp-когомологии римановых многообразий // Исследования по i еометрии и математическому анализу Тр Ин-та математики /АН СССР Сиб отд-ние Новосибирск Наука, 1987 Т 7 С 101-116

|33] Голъдшгпейн В M , Кузьминов В И , Шведов И А О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб мат журн 1987 Т 28, № 4 С 82-96

[34] ГолъдштейнВ М, Кузьминов В И, Шведов И А Изоморфизм де Рама Lp-когомологий некомпактных римановых многообразий // Сиб мат журн 1988 Т 29, Л* 2 С 34-44

[35] Гольдштейн В M, Кузьминов В И, Шведов И А Редуцированные Lко гомологи и искривленных цилиндров // Сиб мат журн 1990 Т 31, jV 5 С 10-23

[36] Гольдштейн В M , Кузьминов В И , Шведов И А Lp-когомологии искривленных цилиндров // Сиб мат журн 1990 Т 31, Л'« 6 С 55-63

[37] Гольдштейн В M , Кузьминов В И, Шведов И А О формуле Кюн-нета Д1я £р-когомотогий искривленных произведений // Сиб мат жури 1991 Т 32, № 5 С 29-42

[38] Кузьминов В И , Шведов И А О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре // Сиб мат журн 1993 Т 34, № 1 С 85-95

[39] Кузьминов В И , Шведов И А О финитной аппроксимации замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях специальною вида // Сиб мат журн 1993 Т 34, № 3 С 102 117

[40] Кузьминов В И , Шведов И А О финитной аппроксимации дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа // Сиб мат журн 1993 Т 34, № 6 С 91-112

[41| Куаьманов В И, Шведов И А Аддиционные формулы для редуцированных Ьр-когомологий // Сиб мат журн 1994 Т 35, №2, С 380-388

[42] Кузьминов В И , Шведов И А О формуле Кюннета для редуцированных ¿¿-когомологий // Сиб мат журн 1995 Т 36, >1, С 102— 110

[43] Кузьминов В И, Шведов И А О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб мат журн 1996 Т 37, № 2 С 324-337

[44] Кузьминов В И, Шведов И А О компактной разрешимое ги оператора внешнего дифференцирования // Сиб мат журн 1997 Т 38, № 3 С 573-590

[45] Сторожук К В , Шведов И А ¿р-когомологии искривленных произведений липшицевых римановых многообразий // Сиб мат журн 1998 Т 39, № 3 С 633—649

|46| Кузьминов В И, Шведов И А Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб мат журн 1999 Т 40, №4 С 893-904

[47] Кузьминов В И, Шведов И А К теореме компактности для дифференциальных форм // Сиб мат журн 2003 Т 44, № 1 С 132-142

[48] Кузьминов В И, Шведов И А О компактной разрешимости дифференциалов эллиптического дифференциального комплекса // Снб мат журн 2003 Т 44, № 6 С 1280-1294

[49] Кузьминов В И, Шведов И А Аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа // Сиб мат журн 2006 'Г 47, № 3 С 557-574

Шведов Игорь Александрович

Проблемы исчисления дифференциальных форм на римановых многообразиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктор.» физико-математических наук

Подписано в печать 26 08 08 Формат 60x84 1/16 | поч л 1 Г) Уч-пзд л 1,5 Тираж 100 эк? Заказ №147

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090 Новосибирск, пр Лаврентьева, 6

Введение

Краткий обзор глав.

Подробное описание результатов диссертационного исследования.

1 Исчисление дифференциальных форм соболевского типа

1.1 Дифференциальные формы на липшицевом многообразии.

1.1.1 Классы дифференциальных форм в R".

1.1.2 Отображения, сохраняющие классы W*g.

1.1.3 Дифференциальные формы на липшицевом многообразии. Теорема де Рама.

1.1.4 Теория Чженя — Вейля для расслоений над липшицевым многообразием

1.2 Об интегрировании дифференциальных форм классов W*

1.2.1 Основное неравенство.

1.2.2 Интегрирование липшицевых форм.

1.2.3 Интегрирование форм из W*¡q.

1.2.4 О теореме де Рама.

1.3 Интегральное представление интеграла дифференциальной формы.

1.3.1 Необходимые сведения о пространствах W£q.

1.3.2 Интегральное представление.

1.3.3 Интегрирование по некомпактным многообразиям.

1.3.4 Примеры.

2 Изоморфизм де Рама £р-когомологий

2.1 ¿?,-когомологии звездно-ограниченных симплициальных комплексов

2.2 Изоморфизм когомологий Н*(М) и H*(S*(K))

3 I/p-когомологии римановых многообразий

3.1 Lp-когомологии римановых многообразий

3.1.1 Гомологии банаховых комплексов.

3.1.2 Двойственность Пуанкаре

3.1.3 Устранимые особенности.

3.1.4 Lp-когомологии конуса.

3.1.5 Примеры комплексов Г.

3.2 Редуцированные Lp-когомологии искривленных цилиндров.

3.2.1 Оператор гомотопии.

3.2.2 Lp-когомологии пары и точная когомологическая последовательность

3.2.3 Редуцированные когомологии цилиндра и С[ЬХ и пространства Rnf+1.'.

3.3 Lp-когомологии искривленных цилиндров.

3.3.1 Условия Lp-ацикличности.

3.3.2 Весовые Lp-когомологии полуинтервала [а, Ь).

3.3.3 Lp-когомологии цилиндра С[ЬХ.

3.4 Аддиционные формулы для редуцированных Lp-когомологий.

3.4.1 Лемма.

3.4.2 Обозначения.

3.4.3 Точные последовательности.

Теория дифференциальных форм является одной нз важнейших частей математического языка и аппарата современного естествознания, по существу это — современное интегро-дифференциальное исчисление. Классический векторный анализ был полностью поглощен теорией дифференциальных форм. Использование дифференциальных форм привело к важным результатам в алгебраической топологии. Ярко проявляется значение внешних форм при исследовании оператора Лапласа и теории эллиптических дифференциальных комплексов.

В настоящей диссертации решен ряд задач, возникающих при исследовании Ьр-комплексов де Рама дифференциальных форм на римановых многообразиях. Прежде, чем изложить результаты работы, проиллюстрируем ее актуальность, очень кратко указав связь с результатами других авторов.

В главе 1. получены результаты, которые могут быть интерпретированы, как решение проблемы, поставленной Уитни: построение теории интегрирования Ьр-форм по ¿-мерным поверхностям. В диссертации разработан аппарат обобщенной теории интегрирования в смысле Лебега ¿-форм по компактным ¿-мерным поверхностям, включающей с себя как теорию Уитни [31], так и теорию вложения Соболева (при ¿ = п мы получаем теорию интегрирования Лебега в пространстве К").

Результаты главы 2 обобщают результаты Доджика [41] об изоморфизме де Рама.

Главы 3-4 посвящены Ьр-когомологиям, изучаются возникающие при этом вопросы, связанные с нормальной и компактной разрешимостью оператора внешнего дифференцирования. Вопросами, относящимися к нормальной и компактной разрешимости краевой задачи для уравнения йи = /, занимались, например, Сакс [26], Телеман [59], Берхин [3], Хил сум [49]. Общий подход к серии краевых задач для оператора й позволил получить и интерпретировать результаты Кодаиры [53], Даффа и Спенсера [42], Дезина [12]. Задачи, которыми для р — 2 занимались, в частности Чигер [39], Доджик [40], Мюллер [54], оказались частными случаями задач про Ьр-формы на искривленных цилиндрах (такие цилиндры естественно возникают в качестве концов многообразий). Результаты исследования компактной разрешимости оператора й для ¿-форм обобщают критерий А. Байдера [38] дискретности спектра оператора Лапласа для функций на римановом многообразии.

Результаты главы 5 об аппроксимации дифференциальных форм естественным образом обобщают как результаты Соболева [27] о плотности гладких финитных функций в функциональном пространстве так и результаты Масленниковой и Боговского [19], [20] об аппроксимации соленоидальных векторных полей соленои-дальными финитными векторными полями. В этом же ключе могут быть интерпретированы и результаты Хейвуда [48]. Некоторые результаты можно рассматривать, как обобщения результатов Гаффни [45] и Нигера [39]. Часть результатов близка к результатам О. В. Бесова [5] и Р. Ойнарова (см. [21]).

В главе 6 исследуется одно из важнейших свойств функториальности Ьр-когомо-логий — формула Кюннета. Вариант этой формулы был установлен Цукером в [61] при дополнительных по сравнению с нашими предположениях.

Глава 7 — исследования гомологического характера об абстрактных дифференциальных комплексах. Часть результатов обобщает результаты Киченассами [50].

В главе 8 получены достаточные условия дискретности спектра оператора Лапласа на многообразии с цилиндрическими концами. Для нуль-форм, т.е. для функций соответствующие результаты имеются у Регины Кляйн [51]. Полученные аддицион-ные теоремы для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа можно рассматривать, как принцип расщепления, см. Эйхорн [44].

Краткий обзор глав

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Верхин П. Н. Самосопряженная краевая задача для системы *йи + \и = / // Докл. АН СССР. 1975. Т. 222, № 1. С. 15-17.

4. Весов В. В., Ильин В. П., Никольский С. Н. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975.

5. Весов О. В. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 161. С. 29-47.

6. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1975. 220 с.

7. Водопьянов С. К., ГольдштейнВ. М. Критерий устранимости множеств для пространств И^, квазиконформных и квазиизометрических отображений // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18, № 1. С. 48-68.

8. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.

9. Годемаи Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.: ИЛ. 1961.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: Мир, 1966. Т. 2.

11. Де Рам Ш. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956.

12. ДезинА. А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1962. Т. 68. С. 3-88.

13. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975.

14. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

15. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.16.^азъяВ. Г. Пространства С. JL Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

16. Масленникова В. Н., Боговский M. Е. О плотности финитных соленоидальных I векторных полей // Сиб. мат. жури. 1978. Т. 19, № 5. С. 1092-1108.

17. Масленникова В. Я., Боговский M. Е. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1986. С. 129-137.

18. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.I

19. Ремпелъ Ш., Шулъце Б. В. Теория индекса эллиптических задач. М.: Мир, 1986.

20. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. 282 с.

21. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1.

22. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

23. Сакс Р. С. Нормальные разрешимые и нётеровы краевые задачи для системы уравнений Максвелла в случае установившихся процессов // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 272, № 2. - С. 308-312.

24. Соболев С. Л. Плотность финитных функций в пространстве LpU\En) // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 3. С. 673-682.

25. Степанов В. В. Sur les conditions de l'existence de la différentielle totale // Мат. сб. 1924. T. 30. С. 487-489.

26. Тарханов H. H. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука, 1990.

27. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

28. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 534 с.

29. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

30. Хёрмандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987.

31. Хирш M. Дифференциальная топология. M.: Мир, 1979.

32. Чженъ Шэн-шэнъ. Комплексные многообразия. М.: ИЛ. 1961.

33. Шварц Л. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения. М.: Мир, 1964.

34. Atiyah M. F. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras. Analise et topologie // Astérisque. 1976 .V. 32/33. P. 43-72.

35. В aider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra //J. Differential Geom. 1979. V. 14, № 1. P. 41-58.

36. Cheeger J. On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds // Proc. Symp. Pure Math. 1980. V. 36. P. 91-146.

37. Dodziuk J. Inharmonic forms on rotationally symmetric Riemannian manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. V. 77, № 3. P. 395-401.

38. Dodziuk J. Sobolev spaces of differential forms and dc Rham — Hodge isomorphism // J. Different. Geom. 1981. V. 16. P. 63-73.

39. Duff G. F., Spencer D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann. Math. 1952. V. 56. P. 118-157.

40. Duff G. F., Spencer D. G. Harmonic tensors on Riemannian manifolds (generalized potential theory) // Ann. Math. 1949. V. 50. P. 587-665.

41. Eichhorn J. Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmctrischen Metrik // Math. Nachr. 1983. Bd 144. S. 23-51.

42. Gaffney M. P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds // Ann. Math. 1954. V. 60, № 1. P. 140-145.

43. Gaffney M. P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds // Ann. Math. 1954. V. 60, № 1. P. 140-145.

44. Gaffney M. P. The harmonic operator for exterior differential forms // Proc. Nat. Acad. Sci. 1951. V. 37. P. 48-50.

45. Heywood J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow // Acta Math. 1976. № 1-2. P. 61-102.

46. Hilsum M. Signature operator on Lipschitz manifolds and unbounded Kasparov bimoduls. Berlin etc.: Springer, 1985. P. 254-288. (Lecture Notes in Math.; 1132).

47. Kichenassamy S. Compactness theorems for differential forms // Comm. Pure Appl. Math. 1989. V. 42, № 1. P. 47-53.

48. ГолъдштейнВ. М., Кузьмипов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 4. С. 82-96.

49. Голъдштейн В. М., Кузъминов В. И., Шведов И. А. Редуцированные Ьр-когомо-логии искривленных цилиндров // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, JY2 5. С. 10-23.

50. Кузъминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 85-95.

51. Кузъминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях специального вида // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 3. С. 102-117.

52. Кузъминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 6. С. 91-112.

53. Кузъминов В. И., Шведов И. А. Аддиционные формулы для редуцированных Lp-когомологий // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №2, С. 380-388.