Обобщения функции расстояния римановых многообразий и двухточечная краевая задача для гироскопических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ершов Юрий Валерьевич

Обобщения функции расстояния римановых многообразий и двухточечная краевая задача

I

для гироскопических систем

01.01 04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ □ЗОВ 1411

Нижний Новгород — 2007

003061411

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры механико-математического факультета Нижегородского государственного университета имени Н И Лобачевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Яковлев Евгений Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Болсинов Алексей Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор

Голубятников Владимир Петрович

Ведущая организация:

Казанский государственный университет

Защита состоится 3 сентября 2007 года в 14 00 на заседании диссертационного совета Д 003 015 03 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр Академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан ^ ^_ июля 2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета * А Е Гутман

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть (В,Н)~ риманово многообразие, Г - замкнутая 2-форма на, В н и В —> М - гладкая функция Тогда четверку Г = (В, И, Р, и) называют натуральной механической системой с гироскопическими силами или гироскопической системой При этом В

- конфигурационное многообразие системы, к/2 - форма кинетической энергии, ^ - форма гироскопических сил, и - потенциальная энергия Если интеграл от формы Р хотя бы по одному двумерному сфероиду многообразия В отличен от нуля, то функционалы действия системы Г многозначны

Как показано С П Новиковым и И Шмельцером [8, 9, 10], к анализу экстремалей многозначных функционалов такого типа сводится ряд важных задач математической физики, например задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, движение которой потенциально и которая покоится на бесконечности, задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном, - в частности, постоянном

- гравитационном поле (волчок, гироскоп и др), задача о движении заряженной пробной частицы в магнитном иоле с монополями Дирака

Как известно, в задаче с закрепленными концами для многозначных функционалов За стандартные методы и результаты вариационного исчисления неприменимы [8] Поэтому для ее изучения потребовалось создание новых подходов

Первый подход основан на применении симплектической топологии Разработка и обсуждение этого подхода содержится в работах И А Тайманова [11], В В Козлова [6], В А Гинзбурга [4], В И Арнольда 12]

С П Новиковым [8, 9, 10] предложен аналог теории Морса для оценки числа стационарных точек (экстремалей) многозначных функций (функционалов) Данная теория была развита в работах С П Новикова,

М Ш Фарбера, А.В Пажитнова, И Шмельцера, И А Тайманова [8] - [10], [11] - [12] Кроме того, для отыскания критических точек многозначных и не всюду положительных функционалов указанного выше типа С П Новиковым был предложен метод перекидывания циклов [8|, использованный и продвинутый в работах И А Тайманова [10], [11] - [12] Данные методы были применены для исследования периодической задачи для многозначных или не всюду положительных функционалов

И А Таймановым получены результаты о существовании несамопересекающихся замкнутых экстремалей многозначных функционалов действия гироскопических систем с помощью предложенного им метода расширения теории Морса на пространства пленок [11]

Третий подход основан на существовании связи между гироскопическими системами на конфигурационном многообразиии В и главными расслоениями с базой В и структурной группой Тк, тотальные пространства которых снабжены римановыми метриками, инвариантными относительно действия группы Тк Данное обстоятельство обнаружено и описано в работах М П Харламова [13], Я Л Шапиро, В А Игошина, Е И Яковлева [5], [16] - [18], С В Болотина [3], частные случаи подобных конструкций рассматривались Б Н Шапуковым [15] и А В Аминовой [1] Оно позволило применить к исследованию динамики систем с многозначными функционалами действия метод геодезического моделирования

Основы теории геодезического моделирования дифференциальных уравнений второго порядка заложены в работах Я Л Шапиро [14], [5] Также Я Л Шапиро принадлежит идея использования римановых метрик типа Калуцы-0 Клейна для геодезического моделирования движений гироскопических систем с последующим применением моделей в двухточечной краевой задаче. Данная идея нашла существенное развитие в работах ЕИ Яковлева [16] - [18] Им было показано, что если индекс иррациональности формы гироскопических сил Р системы Г = (В, Н, Р, и) конечен, то с Г ассоциирован ряд конструкций топологического

и геометрического характера, включающий главные расслоения со структурной группой Тк над универсальным накрывающим пространством конфигурационного многообразия В, С-связноети, римановы метрики д, слоения и их связности Эресмана на тотальных пространствах Е Перечисленные объекты определены неоднозначно Тем не менее, их свойства характеризуют соответствующую гироскопическую систему, а сами они позволяют осуществить редукцию проблемы существования экстремалей многозначных функционалов 5г к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала длины риманова многообразия (Е,д) [16] - [18]

С помощью указанной редукции, в частности, удалось получить условия на систему Г, точки а и Ь многообразия В и гомотопический класс £) соединяющих а и Ь путей, при выполнении которых существует семейство принадлежащих И экстремалей, зависящих от параметра е, принимающего почти любое наперед заданное значение из интервала ./о = (ао> Ро), где \/2ао - точная нижняя грань длин путей из £> При этом было установлено, что если функционал й однозначен, то Д) = +оо, в противном случае Д) < +оо Но отмеченный результат выглядел неполным Поэтому автором статей [16]-[18] была высказана гипотеза, согласно которой для многозначных функционалов область определения параметра е должна не сжиматься до одного конечного интервала, а распадаться на бесконечную последовательность попарно непересекающихся промежутков

Диссертационная работа посвящена доказательству сформулированной гипотезы Для решения этой задачи потребовались построение и исследование новой конструкции - бесконечной серии функций от пары точек риманова многообразия, во многом аналогичных по свойствам обычной римановой функции расстояния Их определение существенно использует группы гомологий пространства путей, соединяющих выбранные точки Поэтому мы называем построенные объекты функциями //¿-расстояния

Цель диссертационной работы — развитие геометрических и топологических методов исследования двухточечных краевых задач для гироскопических систем с многозначным функционалом действия

Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы дифференциальной геометрии, алгебраической топологии, теории гладких расслоений и вариационного исчисления в целом

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми

Результаты, выносимые на защиту заключаются в следующем

1 С помощью групп гомологий пространств путей построено семейство {¿.к} функций //(¿-расстояния риманова многообразия (М,д).

2 Доказано, Что для любого допустимого номера к и произвольных точек V и ад полного риманова многообразия (М, д) найдется соединяютцая эти точки геодезическая х длины С{х) — Найдены достаточные условия реализуемости величин <1ю) как критических значений функционала длины £, соответствующих некоторым классам гомологий пространства соединяющих V и ги путей

3 Установлено, что в случае нетривиальности групп гомологий пространства универсального накрытия полного риманова многообразия (М,д) хотя бы в одной размерности ] > 1 для произвольной пары точек V, ю £ М семейство (¿4 (у,»)} содержит монотонно возрастающую бесконечную последовательность

4 Доказана новая теорема существования решений двухточечной краевой задачи для гироскопически^ систем с многозначным функционалом действия, усиливающая соответствующий результат Е И Яковлева

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях динамики систем с гироскопическими силами, геометрии и топологии римановых многообразий, в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались трижды на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения"(Казань, КГУ, 2003, 2005, 2006)

По теме диссертации были сделаны доклады на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук проф Е И Яковлев), семинаре "Геометрия, топология и их приложения "(рук чл -корр РАН И А. Тайманов), семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им С Л Соболева СО РАН (рук. академик РАН Ю Г Решетняк), городском геометрическом семинаре г. Казань (рук. проф В В Шурыгин), а также на двух конференциях студентов и аспирантов механико-математического факультета ННГУ (2004, 2006)

Исследования по теме диссертации поддержаны грантом № 06-01-00331-а Российского Фонда Фундаментальных Исследований, проект "Двухточечные краевые задачи для гироскопических систем и ассоциированные геометрические и топологические конструкции "(руководитель проф ЕИ Яковлев)

Публикации и вклад соискателя. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы Объем диссертации составляет 92 страницы Список литературы состоит из 52 наименований

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы основные результаты и кратко описано ее содержание В конце приведен список публикаций автора по теме диссертации

Глава 1 носит в основном реферативный характер. Автором доказаны лишь несколько технических утверждений, используемых в дальнейшем в работе В параграфе 1 мы напоминаем основные результаты теории Морса в применении к исследованию топологии пространств кусочно-гладких путей риманова многообразия, а также к оценке числа экстремалей функционала длины риманова многообразия

В параграфе 2 приводятся определения систем с гироскопическими силами и их функционалов действия 5«

В работе всюду предполагается, что гироскопическая система Г = (В,Ь,Р,и) удовлетворяет следующим условиям риманово многообразие (В, к) полно, функция и положительна, форма гироскопических сил имеет представление F = <9Ф, где в € К, Ф - замкнутая 2-форма, причем /с Ф е Ъ для всех двумерных кусочно-гладких сфероидов с многообразия В

Рассмотрим точки а,Ь е В В каждом гомотопическом классе £> е тг0(П(£?, а, £>)) зафиксируем некоторый опорный путь хц • I —> В Для произвольного пути х • / —+ В из В существует кусочно-гладкая гомотопия сх, связывающая пути хр и х Рассмотрим число 5 € К, путь х 6 О, положим х = йх/йэ и

Тогда формулой = ¿¿(х, ст) + 5вЪ определен функционал Бц

В параграфах 3 и 4 напоминаются теоремы, сводящие поиск экстремалей функционалов к, отысканию геодезических многообразия (Е,д), и теорема существования движений гироскопических систем,

1

П(В,а,Ь) -* Ж/86Ъ

полученные в [16] - [18]

Глава 2 посвящена построению функций Нк-расстояния и исследованию основных свойств этих функций

Пусть (М,д) - полное риманово многообразие и £ - его функционал длины Обозначим символом К*(М) множество таких неотрицательных целых чисел к, что К.) ^ 0 Выберем к € К*(М) и ненулевой класс

а е Тогда число 1„ — т£Бир£(а;), где |с| - носитель

с€<г хб|с|

сингулярного цикла с, называется критическим уровнем функционала отвечающим гомологическому классу а [7]

В параграфе 1 мы изучаем множества критических уровней функционала С, порожденных ненулевыми классами а € //¿(П(Д/, V, и>), К), для фиксированного к В частности, доказаны

Лемма 2.3 Пусть к € М*(М), V, и) - произвольные точки многообразия М, а 6 Нь(П(М, и,го),Е)\{0} Тогда для любого числа А е М\{0} классам а и А<т соответствует один критический уровень 1а Лемма 2.4. Пусть к £ М*(М), у,ги - произвольные точки многообразия М, а2 - линейно независимые к-мерные классы гомологий пространства П(М, V, ъи) Пусть критические уровни 1„х, 1аг, отвечающие этим классам, различны Тогда для любых ненулевых действительных чисел Ах, Аг критический уровень, отвечающий классу АхСх + АгОг, равен максимальному из значений 1а1 и 1а2

Лемма 2.5. Для любого конечномерного подпространства V пространства Нь(£1(М,ь,и))) существует базис сьог, ,сгт такой, что 1а 6 {1а1,., 1ат} для всех а € V \ {0}

В параграфе 2 вводится следующее определение Пусть к € №*(М) Тогда отображение ¿к МхМ-»К, задаваемое формулой

а£Нк(П(М,ь,иО,к)\{0}

будем называть функцией //¿-расстояния на многообразии М

Заметим, что с1о(у, ги) есть обычное риманово расстояние между точками

V и и).

Теорема 2.1. Для всех к е М*(М) и и,ад>,и/ е М имеют место соотношения*

1. <1к(и,ги) > до(у, ю) (неотрицательность),

2 (и, го) — ^(ги, и) (симметрия);

3 (¿¿.(г>, ъи') ^ «¿^(г», ги) + ^о(ги,го') (сильное неравенство треугольника)

Кроме того, функция в.1 непрерывна

Из свойств 1 и 3 следует и обычное неравенство треугольника с1к(и,-ш') < <1и(ь,и)) + <4 {и), и)')

Леммы 2 3, 2 4, 2 5 позволяют получить достаточные условия реализуемости величин ¿к{V, ад) как критических уровней функционала £, отвечающих некоторым к-мерным классам гомологий пространств путей Данные условия сформулированы в следующей теореме. Теорема 2.2. Пусть к € №(М) uv,w - произвольные точки многообразия М. При выполнении хотя бы одного из условий (1) точки V и и> не сопряжены ни на одной геодезической, их соединяющей, (2) группа Ях.(0(М,г),оо),М) конечно порождена, - существует элемент <г € Я^-(0(М,и,гу),К) такой, что <4(г!,го) = 1а

Следствие 2.2. Если группы Нп(М,Ш) конечно порождены при всех п 6 М, то для произвольной размерности к 6 Ш*(М) и любой пары точек £ М существует класс а 6 #ЦО(М,у,и;),М) такой, что Лк(ь,ги) - 1а

В пункте 2.2 параграфа 2 нами доказан аналог утверждения Хопфа-Ринова о существовании геодезической, длина которой совпадает с "расстоянием"между ее концевыми точками

Теорема 2.3. Для любого к € М*(М) и любой точки (и,ги) е М х М Яд-расстояние ¿¿.(и, ги) является критическим значением функционала длины С П(М,г;,ги)

В невырожденном случае это утверждение можно усилить. Теорема 2.4. Пусть точки v,w Е М не сопряжены ни на одной геодезической, их соединяющей Тогда для любого номера к € N*(М) существует геодезическая индекса к, соединяющая точки v и w, длина которой равна Щ-расстоянию dk(v,w)

Пункт 2.3 параграфа 2 посвящен доказательству утверждения о возрастании значений функции <4 при возрастании номера к G N*(М) Теорема 2.5. Пусть v М —> М - универсальное накрытие и Hj(M,R) ф 0 для некоторого j > 1. Тогда множество N*(M) бесконечно и для произвольных ß € R, ß > 0, и v, w е М найдется строго монотонно возрастающая последовательность натуральных чисел {fcn}n>o, обладающая свойствами-

1 fco = 0 и {кп}пеП С W(M),

2 dk„+l{v, w) > dk„(v, w) + ß для всех n > 0.

В параграфе 3 приводится конструкция некоторой многозначной непрерывной функции на многообразии МхМ, позволяющей задействовать все множество критических значений функционала длины, порожденных гомологическими классами пространств путей

Глава 3 посвящена исследованию экстремалей функционалов действия Ss натуральной гироскопической системы Г = (B,h,F,u) Используется построенная в [18] конструкция почти главного расслоения, ассоциированного с системой Г, а также новая конструкция - семейство функций //¿-расстояния - определенная и изученная в главе 2

Пусть Т1 = R/Z Тогда существует почти главное расслоение р = (E,p,B,G) с проекцией р Е В, структурной группой G = ^i(B) х Т1 и характеристическим классом [Ф] € Н2(В) На его пространстве Е определены G-связность Н с формой связности cj и формой кривизны р*Ф и полная риманова метрика g = (02/2(иор))и.'0ш + р*1г Они инвариантны относительно действия группы Т1 и всех локальных действий группы К\{В)

на Е Многообразие (Е,д) в этом случае называется многообразием типа Калуцы-О Клейна ([16] - [18])

Обозначим символами ЩЕ, V, Сь) и £ЦВ, а, Ь) пространства кусочно-гладких путей в Е и в В, соединяющих точку V со слоем а также точки а и Ь соответственно

В параграфе 1 изложены результаты, касающиеся связей топологических свойств пространств путей на многообразиях В и Е, а также выяснено строение £1(Е,ь,Сь) А именно, доказаны следующие утверждения

Предложение 3.1 Пространства £1(Е,ь,Сь) иЩВ,а,Ь) гомогпопически эквивалентны

Предложение 3.2. Пространство С1(Е, у, Сь) гомотопически эквивалентно произведению Сь х К, где К - компонента связности пространства £1(Е,у,и)), ги - любая точка слоя Оь — р_1(Ь)

В параграфе 2 доказана теорема существования экстремалей многозначных функционалов действия гироскопических систем

Пусть О £ щ(С1(В,а,Ь)) - гомотопический класс путей пространства П(В,а,Ь) Для пути х 6 £> положим Дц(х) == /Ф + Z, где сх • I2 В -

Сг

кусочно-гладкая гомотопия, связывающая х с опорным путем Хо Данное равенство корректно определяет отображение Ад V —» Ж/Ъ

Символом Кг{П) обозначим множество критических значений функционала длины Со В Ж риманова многообразия (В, к), а символом К (ДI) - множество геодезических из £> длины I £ Кг (И) Теорема 3.1. Пусть а,Ь € В, Э 6 щ{П{В,а,Ь)) и для любого I & Кг {О) справедливо неравенство /)) ф Ж/Ъ Тогда существуют

последовательности действительных чисел {с*п}пеКи{0} и {А»}пеМи{0}> обладающие свойствами

1 ап ^ < ап+1 для всех п> О,

2 ап, рп —» +оо, при п —> оо,

3 каждому номеру п > 0 соответствует континуум пар (6, ж) G R х D таких, что 6 yi 0, х - экстремаль функционала и 62и(х) +-(1/2)Л(а:,®) G [а

ßn]

Кроме того, показана непрерывная зависимость чисел а„, ß„ от точек конфигурационного многообразия В

Теорема 3 1 является усилением теоремы 6 работы [16], где доказано существование интервала (qo, ßo)

Список литературы

[1] Аминова, А В Поверхность вращения как динамическая модель лагранжевой системы с одной степенью свободы / А В Аминова // Гравитация и теории относительности - Казань Изд-во КГУ, -1985 -Вып 22 С 12 - 30

[2] Арнольд, В И Математические методы классической механики / В И Арнольд -М Наука, -1989

[3] Болотин, С В Замечание о методе Рауса и гипотезе Герца / С В Болотин//Вестник МГУ, сер Матем-мех -1986, вып 5 - С 51-53.

[4] Гинзбург, В А Новые обобщения геометрической теоремы Пуанкаре / В А Гинзбург // Функц анализ и его приложения -1987 -Т 21, вып 2 -С 16-22

[5] Игошин, В А Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка / В А Игошин, Я JI Шапиро, ЕИ Яковлев // Матем заметки -1985 -Т38, вып 3 -С 429 - 439

[6] Козлов, В В Вариационное исцисление в целом и классическая механика / В В Козлов // УМН - 1985 -Т 40, вып 2, -С 33 - 60

[7] Люстерник, Л А Топология и вариационное исчисление / Л А Люстерник // УМН - 1946, вып 1 - С 30-56

[8] Новиков, С П Периодические решения уравнения Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ) I / С П Новиков, И Шмельцер // Функц анализ и его приложения -1981 -Т 15, вып 3 -С 54-66

[9] Новиков, С П , Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса / С П Новиков // УМН -1982 -Т 37, вып 5 -С 3 -49

[10] Новиков, С П Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов /СП Новиков, И А Тайманов // ДАН СССР -1984 -Т 274, № 1. -С 26 - 28

[11] Тайманов, И А Принцип перекидывания циклов в теории Морса-Новикова / И.А Тайманов // ДАН СССР- 1983- Т 268, № 1 - С 46-50

[12] Тайманов, И А Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов / И А Тайманов // Изв АН СССР Сер Мат - 1991 - Т 55, № 2 -С 367 -383.

[13] Харламов, М П Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела /МП Харламов -Л ЛГУ -1988

[14] Шапиро, Я Л Геодезическое поле направлений в целом /ЯЛ Шапиро // Изв вузов. Математика Вып 4 -1970 С 103 - 111

[15] Шапуков, Б Н Редукция гамильтоновых систем с циклическими координатами и проектируемость в расслоениях / Б Н Шапуков // Тр геом семин Вып 23 -1997. -С 165 - 174

[16] Яковлев, Е И Двуконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов / Е И Яковлев // Функц анализ и его приложения - 1990 - Т 24, вып 4 - С 63-73

[17] Яковлев, Е И Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов / Е И Яковлев //Функци анализ и его приложения -1996 -Т 30, вып 1.-С 89-92

[18] Яковлев, Е И Почти главные расслоения / Е И Яковлев // Матем сборник - 1999 - Т 10, № 9 - С 151-176

Публикации автора по теме диссертации

1 Ершов, Ю В Группы гомологий пространств путей некоторых лоренцевых многообразий / Ю В Ершов // Труды математического центра им НИ Лобачевского Казань Изд-во Казанского матем общества - 2003 - Т 21 - С 107-108

2 Ершов, Ю В Пространства путей некоторых расслоенных многообразий / Ю В Ершов // Вестник ННГУ им Н.И Лобачевского Сер Математика - 2005 Вып 1(3)

3 Ершов, Ю В Обобщения функции расстояния риманова многообразия / Ю В Ершов // Вестник ННГУ им НИ Лобачевского Сер Математика - 2006. Вып 1(4) - С 29-37

4 Ершов, Ю В Обобщения функции расстояния риманова многообразия и их применения / Ю В Ершов // Труды математического центра им Н И Лобачевского Казань . Изд-во Казанского матем общества -2005 - Т 31 - С 64-66

5 Ершов, Ю В Функции Яй-расстояния и движения гироскопических систем / Ю В Ершов / / Труды математического центра им НИ Лобачевского Казань Изд-во Казанского матем общества - 2006 - Т 34 - С 92-94

Подписано к печати /6 .07. 07г< Бумага газетная Формат 60x90 1/16 Печать трафаретная Усл. печ л 0,8 . Тираж 100 экз. Заказ № 2.6$_

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 603950, Н Новгород, Ильинская, 65

Полиграфцентр ННГАСУ, 603950, Н Новгород, Ильинская, 65

Введение

1 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЦЕЛОМ И

ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Пространства путей и основы вариационной теории геодезических.

1.1. Пространства кусочно-гладких путей.

1.2. Теория Морса

1.3. Принцип минимакса Биркгофа

1.4. Примеры.

§ 2. Гироскопические системы и многозначные функционалы.

2.1. Гироскопические системы.

2.2. Функционал действия.

2.3. Экстремали и уравнения движения.

§ 3. Двухточечная краевая задача для гироскопических систем.

3.1. Многообразия типа Калуцы-О. Клейна.

3.2. Теорема редукции.

3.3. Теорема существования решений

2 ОБОБЩЕНИЯ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ РИМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ

§ 1. Свойства критических уровней функционала длины, порожденных гомологическими классами

1.1. Исследование множеств £&(М, v, w).

1.2. Сдвиг концевых точек и его применения

§ 2. Функции Я^-расстояния

2.1. Построение и основные свойства.

2.2. Классы гомологий, реализующие Щ-расстояние

2.3. Связь с геодезическими.

2.4. Зависимость от номера к.

§ 3. Некоторые обобщения.

§ 4. Примеры.

3 НОВЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУХКОНЦЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 1. Пространства путей базы и тотального пространства почти главного расслоения.

§ 2. Теоремы существования экстремалей для натуральной системы с гироскопическими силами.

2.1. Экстремали в общем случае.

2.2. Случай несопряженных точек.

§ 3. Гироскопические системы с двумерным конфигурационным многообразием.

Актуальность темы Пусть (В, h) - риманово многообразие, F - замкнутая 2-форма на В и и : В R - гладкая функция. Тогда четверку Г = (B,h,F,u) называют натуральной механической системой с гироскопическими силами или гироскопической системой. При этом В - конфигурационное многообразие системы, /г/2 - форма кинетической энергии, F - форма гироскопических сил, и - потенциальная энергия. Если интеграл от формы F хотя бы по одному двумерному сфероиду многообразия В отличен от нуля, то функционалы действия Ss системы Г многозначны.

Как показано С.П. Новиковым и И. Шмельцером [24, 25, 26], к анализу экстремалей многозначных функционалов такого типа сводится ряд важных задач математической физики, например:

1) задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, движение которой потенциально и которая покоится на бесконечности;

2) задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном, - в частности, постоянном -гравитационном поле (волчок, гироскоп и др.);

3) задача о движении заряженной пробной частицы в магнитном поле с монополями Дирака.

Как известно, в задаче с закрепленными концами для многозначных функционалов Ss стандартные методы и результаты вариационного исчисления неприменимы [24]. Поэтому для ее изучения потребовалось создание новых подходов.

Первый подход основан на применении симплектической топологии. Разработка и обсуждение этого подхода содержится в работах И.А. Тайманова [34], В.В. Козлова [21], В.А. Гинзбурга [10],

B.И. Арнольда [3].

С.П. Новиковым [24, 25, 26] предложен аналог теории Морса для оценки числа стационарных точек (экстремалей) многозначных функций (функционалов). Данная теория была развита в работах

C.П. Новикова, М.Ш. Фарбера, А.В. Пажитнова, И. Шмельцера, И.А. Тайманова [24] - [28], [34] - [37]. Кроме того, для отыскания критических точек многозначных и не всюду положительных функционалов указанного выше типа С.П. Новиковым был предложен метод перекидывания циклов [24], использованный и продвинутый в работах И.А. Тайманова [28], [34] - [37]. Данные методы были применены для исследования периодической задачи для многозначных или не всюду положительных функционалов.

И.А. Таймановым получены результаты о существовании несамопересекающихся замкнутых экстремалей многозначных функционалов действия гироскопических систем с помощью предложенного им метода расширения теории Морса на пространства пленок [35, 36].

Третий подход основан на существовании связи между гироскопическими системами на конфигурационном многообразии В и главными расслоениями с базой В и структурной группой Тк, тотальные пространства которых снабжены римановыми метриками, инвариантными относительно действия группы Тк. Данное обстоятельство обнаружено и описано в работах М.П. Харламова [40], Я.Л. Шапиро, В.А. Игошина, Е.И. Яковлева [20], [45] - [49], С.В. Болотина [7]; частные случаи подобных конструкций рассматривались Б.Н. Шапуковым [44] и А.В. Аминовой [1, 2]. Оно позволило применить к исследованию динамики систем с многозначными функционалами действия S$ метод геодезического моделирования.

Основы теории геодезического моделирования дифференциальных уравнений второго порядка заложены в работах Я.Л. Шапиро [42, 43], [20]. Также Я.Л. Шапиро принадлежит идея использования римановых метрик типа Калуцы-О.Клейна для геодезического моделирования движений гироскопических систем с последующим применением моделей в двухточечной краевой задаче. Данная идея нашла существенное развитие в работах Е.И. Яковлева [45] - [49]. Им было показано, что если индекс иррациональности формы гироскопических сил F системы Г = (B,h,F,u) конечен, то с Г ассоциирован ряд конструкций топологического и геометрического характера, включающий главные расслоения со структурной группой Тк над универсальным накрывающим пространством конфигурационного многообразия J5, G-связности, римановы метрики д1 слоения и их связности Эресмана на тотальных пространствах Е. Перечисленные объекты определены неоднозначно. Тем не менее, их свойства характеризуют соответствующую гироскопическую систему, а сами они позволяют осуществить редукцию проблемы существования экстремалей многозначных функционалов Ss к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала длины риманова многообразия (Е,д) [45] - [49].

С помощью указанной редукции, в частности, удалось получить условия на систему Г, точки а и Ь многообразия В и гомотопический класс D соединяющих а и b путей, при выполнении которых существует семейство принадлежащих D экстремалей, зависящих от параметра е, принимающего почти любое наперед заданное значение из интервала Jo = (ao,j3Q), где л/2а^ - точная нижняя грань длин путей из D. При этом было установлено, что если функционалы Ss однозначны, то Д) = +оо, в противном случае

А) < +00.

Но отмеченный результат выглядел неполным. Поэтому Е.И. Яковлевым была высказана гипотеза, согласно которой для многозначных функционалов область определения параметра е должна не сжиматься до одного конечного интервала, а распадаться на бесконечную последовательность попарно непересекающихся промежутков.

Настоящая работа посвящена доказательству сформулированной гипотезы. Для решения этой задачи потребовались построение и исследование новой конструкции -бесконечной серии функций от пары точек риманова многообразия, во многом аналогичных по свойствам обычной римановой функции расстояния. Их определение существенно использует группы гомологий пространства путей, соединяющих выбранные точки. Поэтому мы называем построенные объекты функциями Н расстояния.

Цель диссертационной работы - развитие геометрических и топологических методов исследования двухточечных краевых задач для гироскопических систем с многозначным функционалом действия.

Методы исследования В диссертации применяются результаты и методы дифференциальной геометрии, алгебраической топологии, теории гладких расслоений и вариационного исчисления в целом.

Научная новизна Все результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми и заключаются в следующем:

1. С помощью групп гомологий пространств путей построено семейство {dk} функций ^-расстояния риманова многообразия (М,д).

2. Доказано, что для любого допустимого номера к и произвольных точек v и w полного риманова многообразия (М,д) найдется соединяющая эти точки геодезическая х длины С(х) = dk(v,w). Найдены достаточные условия реализуемости величин dk(v,w) как критических значений функционала длины С, соответствующих некоторым классам гомологий пространства соединяющих v и w путей.

3. Установлено, что в случае нетривиальности групп гомологий пространства универсального накрытия полного риманова многообразия (М,д) хотя бы в одной размерности j > 1 для произвольной пары точек v,w £ М семейство {dk(v, w)} содержит монотонно возрастающую бесконечную последовательность {dkn(v,w)}.

4. Доказана теорема существования новых решений двухточечной краевой задачи для гироскопических систем с многозначным функционалом действия, усиливающая соответствующий результат Е.И. Яковлева.

Теоретическая и практическая значимость Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях динамики систем с гироскопическими силами, геометрии и топологии римановых многообразий, в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе.

Апробация Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: трижды на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения" (Казань, КГУ, 2003, 2005, 2006).

По теме диссертации были сделаны доклады на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. проф. Е.И. Яковлев), семинаре "Геометрия, топология и их приложения"(рук. чл.-корр., д.ф.-м.н. И. А. Тайманов), семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. академик РАН Ю.Г. Решетник), городском геометрическом семинаре г. Казань (рук. проф. В.В. Шурыгин), а также на двух конференциях студентов и аспирантов механико-математического факультета ННГУ (2004, 2006).

Исследования по теме диссертации поддержаны грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект "Двухточечные краевые задачи для гироскопических систем и ассоциированные геометрические и топологические конструкции", руководитель Е.И. Яковлев, № 06-01-00331-а).

Публикации и вклад автора Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце введения.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и подразделы, списка литературы. Объем диссертации составляет 92 страницы. Список литературы состоит из 54 наименований.

1. Аминова, А.В. Поверхность вращения как динамическая модель лагранжевой системы с одной степенью свободы. / А.В. Аминова // Гравитация и теории относительности. - Казань: Изд-во КГУ, -1985. - Вып. 22 С. 12 - 30.

2. Аминова, А.В. Группы преобразований римановых многообразий. / А.В. Аминова // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. -М.: ВИНИТИ, -1990. -Т.22. С. 97 165.

3. Арнольд, В.И. Первые шаги симплектической топологии /B.И. Арнольд // Успехи матем. наук. -1986. -Т. 41. вып. 6. -С. 3-18.

4. Бессе, А. Многообразия с замкнутыми геодезическими / А. Бессе. М.: Наука, 1981.- 328 с.

5. Бишоп, P. J1. Геометрия многообразий / P. JI. Бишоп, Р. Дж. Криттенден- М.: Мир, 1967 336 с.

6. Биркгоф, Дж. Д. Динамические системы / Дж.Д. Биркгоф. -М. -Л: ОГИЗ-ГИТТЛ, -1941. -408 с.

7. Болотин, С.В. Замечание о методе Рауса и гипотезе Герца /C.В. Болотин // Вестник МГУ, сер. Матем.-мех. -1986, вып. 5. С. 51-53.

8. Ботт, Р. Многообразия, на ктороых все геодезические замкнуты / Р. Ботт // Расслоенные пространства и их приложения. М.: ИЛ, 1958,- С. 9 - 98.

9. Вишневский, В.В., Структуры на гладких расслоениях / В.В. Вишневский, Б.Н. Шапуков, А.П. Широков, В.В. Шурыгин // Фундам. проблемы мат. и мех.: Математика ч.1. М.: МГУ. 1994. -С. 168 - 169.

10. Гинзбург, В.А. Новые обобщения геометрической теоремы Пуанкаре / В.А. Гинзбург // Функ. анализ и его приложения. -1987. -Т. 21, вып. 2. -С. 16 22.

11. Гликлих, Ю.Е. Об одном обощении теоремы Хопфа-Ринова / Ю.Е. Гликлих // Успехи мат. наук. -1974. -Т. 29, вып. 6. -С. 161 162.

12. Гликлих, Ю.Е. Двухточечная краевая задача в геометрической механике систем с ограниченным силовым полем / Ю.Е. Гликлих // Воронежский ун-т. Воронеж. -1977. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 25.05.77. №2217-77 Деп.

13. Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы теории гомологий. / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. -М.: Наука, 1984. -344 с.

14. Ершов, Ю.В. Группы гомологий пространств путей некоторых лоренцевых многообразий / Ю.В. Ершов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань : Изд-во Казанского матем. общества. 2003. - Т. 21. -С. 107-108.

15. Ершов, Ю.В. Пространства путей некоторых расслоенных многообразий / Ю.В. Ершов // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математика. 2005. Вып. 1(3).

16. Ершов, Ю.В. Обобщения функции расстояния риманова многообразия / Ю.В. Ершов // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математика. 2006. Вып. 1(4) - С. 29-37.

17. Ершов, Ю.В. Обобщения функции расстояния риманова многообразия и их применения / Ю.В. Ершов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань : Изд-во Казанского матем. общества. 2005. - Т. 31. - С. 64-66.

18. Ершов, Ю.В. Функции Я^-расстояния и движения гироскопических систем / Ю.В. Ершов / / Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань : Изд-во Казанского матем. общества. 2006. - Т. 34. - С. 92-94.

19. Зейферт, Г., Вариационное исчисление в целом / Г.Зейферт, В.Трельфаль. -М.: -ИЛ. -1947. -160 с.

20. Игошин, В.А. Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка. / В.А. Игошин, ЯЛ. Шапиро, Е.И. Яковлев // Математические заметки. -1985. -Т.38, вып. 3. -С. 429 439.

21. Козлов, В.В. Вариационное исцисление в целом и классическая механика / В.В. Козлов // Успехи матем. наук. -1985. -Т. 40, вып. 2, -С. 33 60.

22. Люстерник, Л.А. Топология и вариационное исчисление / Л.А. Люстерник // Успехи матем. наук. -1946, вып. 1, №1. -С. 30 -56.

23. Милнор, Дж. Теория Морса / Дж. Милнор.- М.: Мир, 1965.184 с.

24. Новиков, С. П., Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса / С.П.Новиков // ДАН СССР. -1981. -Т. 260, № 1. -С. 31 34.

25. Новиков, С. П., Вариационные методы и периодические решения уравнений типа Кирхгофа. II / С.П.Новиков // Функциональный анализ и его приложения. -1981. -Т. 15, вып. 4. -С. 37 52.

26. Новиков, С. П., Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса / С.П.Новиков // Успехи матем. наук. -1982. -Т. 37, вып. 5. -С. 3 49.

27. Новиков, С. П. Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов / С.П.Новиков, И.А.Тайманов // ДАН СССР. -1984. -Т. 274, № 1. -С. 26 28.

28. Петров, А.З. Моделирование физических полей / А.З. Петров // Гравитация и теория относительности. Казань: Изд-во КГУ. Вып. 4-5. -1968. -С. 7 21.

29. Постников, М. М. Введение в теорию Морса / М. М. Постников. М.: Наука, 1971.- 568 с.

30. Постников, М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. / М. М. Постников. М. Наука, 1986.- 496 с.

31. Постников, М. М. Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомотопий / М. М. Постников.- М.: Наука, 1984.- 416 с.

32. Серр, Ж.-П. Сингулярные гомологии расслоенных пространств / Ж.-П. Серр // Расслоенные пространства и их приложения. М.: ИЛ, 1958.- С. 9-98.

33. Тайманов, И.А. Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях / И.А. Тайманов // Успехи матем. наук.- 1992.Т. 47, вып. 2. -С. 143 185.

34. Тайманов, И.А. Принцип перекидывания циклов в теории Морса-Новикова / И.А. Тайманов // ДАН СССР.- 1983.- Т. 268, № 1. С. 46 - 50.

35. Тайманов, И.А. Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов / И.А. Тайманов // Известия АН СССР. Сер. Мат. 1991.- Т. 55, № 2. -С. 367 - 383.

36. Тайманов, И.А. Замкнутые несамопересекающиеся экстремали многозначных функционалов / И.А. Тайманов // Сибирский математический журнал. 1992.

37. Харламов, М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией / М.П. Харламов // Механика твердого тела 8. Киев. -1976. -С. 4 18.

38. Харламов, М.П. Характеристический класс расслоения и существование глобальной функции Рауса /М.П. Харламов // Функ. анализ и его приложения 11. Вып. 1. -1977.

39. Харламов, М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела / М.П. Харламов. -Д.: ЛГУ. -1988.

40. Хаусдорф, Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. -М. -1937, 305 с.

41. Шапиро, Я.Л. Геодезические поля направлений и проективные системы путей / Я.Л. Шапиро // Матем. сборник 36. Вып. 1. -1955. -С. 125 148.

42. Шапиро, Я.Л. Геодезическое поле направлений в целом. / Я.Л. Шапиро // Изв. вузов. Математика. Вып. 4. -1970. С. 103 111.

43. Шапуков, Б.Н. Редукция гамильтоновых систем с циклическими координатами и проектируемость в расслоениях. / Б.Н. Шапуков // Тр. геом. семин. Вып. 23. -1997. -С. 165 174.

44. Яковлев, Е.И. Двуконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов / Е.И. Яковлев // Функциональный анализ и его приложения.- 1990.- Т.24, вып. 4,- С. 63-73.

45. Яковлев, Е.И. Секционные кривизны многообразий типа Калуцы-Клейна / Е.И. Яковлев / / Известия ВУЗов, Математика. 1997. - № 9(424).- С. 75-82.

46. Яковлев, Е.И. Многообразия Калуцы-Клейна и динамика систем с гироскопическими силами. / Е.И. Яковлев //Лекционные заметки по теоретической и математической физике.- 1999. Т. 2, Ч. 1.- С. 231-292.

47. Яковлев, Е.И. Почти главные расслоения / Е.И. Яковлев // Матем. сборник.- 1999,- Т. 190, № 9.- С. 151 176.

48. Яковлев, Е.И. Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов / Е.И. Яковлев // Функциональный анализ и его приложения. -1996. -Т. 30, вып. 1. -С. 89 92.

49. Яковлев, Е.И. Двухточечные краевые задачи в релятивистской динамике / Е.И. Яковлев // Математические заметки. -1996. -Т. 59, вып.З. -С. 437 449.

50. Яковлев, Е.И. О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа / Е.И. Яковлев // Алгебра и анализ. -1997. -Т. 9, вып. 2. -С. 256 271.

51. Яковлев, Е.И. Некоторые двухточечные краевые задачи для дифференциальных уравнений 2-го порядка с предельными пульверизациями. / Е.И. Яковлев // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвузовский сборник научных трудов. -1988. -С. 19 22.

52. Bott, R., Morse Theory and its application to homotopy theory. Lecture notes by A. van de Ven (mimeographed) / R. Bott // University of Bonn, -1960. P.61-71.

53. Dirac P.A.M., Proc.Roy.Soc.Lond. 133 A (1931) P.61-71.