Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях

Обуховский, Андрей Валерьевич

Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Обуховский, Андрей Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях»

Автореферат диссертации на тему "Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях"

На правах рукописи

ОБУХОВСКИЙ АНДРЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Гликлих Юрий Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Климентов Сергей Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич

Ведущая организация — Российский университет дружбы народов им. П. Лумумбы.

Защита состоится "30" ноября 2004 г. в 15.40 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете, 394006, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные включения (иными словами — дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) естественным образом возникают в различных прикладных и теоретических разделах математики и в настоящее время активно изучаются. Укажем, например, что при описании дифференциальных уравнений с управлением используется естественный переход к дифференциальному включению — в этом случае в правой части уравнения рассматривают множество значений скорости или силы при всех допустимых значениях управляющего параметра. Другой широко известный случай возникновения дифференциальных включений — когда включениями заменяют дифференциальные уравнения, у которых правая часть существенным образом разрывна. Для этого разработан уже ставший стандартным прием, предложенный А.Ф. Филипповым. В связи с большим прикладным и теоретическим значением дифференциальных включений с 50-х годов прошлого века началось бурное развитие этой теории. Укажем, например, современное монографическое изложение различных ее аспектов, принадлежащее J.P. Aubin и A. Cellina, К. Deimling, A.A. Толстоногову, А.Ф. Филиппову и др.

Задачи с управлением и с разрывными правыми частями на гладких многообразиях также исследовались методами теории дифференциальных включений (M.L.J. Hautus, G. Stefani и P. Zecca, Б.Д. Гельман и Ю.Е. Гликлих, G. Grammel и др.). Они описывают системы на нелинейных конфигурационных и фазовых пространствах, и их исследование существенно использует геометрические идеи. Однако из-за значительно более сложного аппарата включения на многообразиях были изучены в меньшей степени, чем в линейных пространствах.

В последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работ Э.Д. Конвея, Ж.П. Обена и Дж. Да Прато активно развивается теория стохастических дифференциальных включений. Заметную роль здесь играют представители польской школы (М. Киселевич, Е. Мотыль, М. Михта и др.). Наиболее часто в приложениях стохастические дифференциальные включения возникают из стохастических дифференциальных уравнений аналогично нестохастическому случаю.

Изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях было начато работой Ито 19fttLr.. и к настоящему времени

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ |

БИБЛИОТЕКА С.Пе 09

получило большое развитие (имеется монографическое изложение в книгах К.Д. Элворти, Ю.Л. Далецкого и Я.И. Белопольской, Ю.Е. Гликлиха, М. Эмери, Э. Хсу и др.). Отметим, что даже изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях является существенно более сложной задачей, чем в линейных пространствах, и требует значительно более сложной техники, основанной на современной геометрии многообразий. Поэтому стохастические дифференциальные включения на многообразиях ранее практически не исследовались несмотря на то, что они естественно возникают во многих задачах.

Одним из наиболее важных для приложений классов дифференциальных включений являются дифференциальные включения второго порядка, которые имеют физический смысл механических систем с многозначной силой. В терминах подобных включений описываются системы с управляющей силой или с разрывными силами (движение в сложных средах, в присутствии сухого трения и т.д.). Подобные системы на многообразиях позволяют включить в рассмотрение случай нелинейных конфигурационных пространств. В работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. были разработаны новые геометрические методы и получены важные результаты о качественном поведении решений подобных включений, учитывающие геометрические и топологические свойства конфигурационного пространства. Однако в этой работе рассматривались только полунепрерывные сверху многозначные силы с выпуклыми образами. Для других типов многозначных сил, также встречающихся в приложениях, подобное исследование не проводилось.

Отметим, что качественное поведение решений дифференциальных уравнений и включений на многообразиях может существенно отличаться от их аналогов в линейных пространствах. Имеются примеры дифференциальных уравнений второго порядка на компактных римановых многообразиях с гладкой ограниченной правой частью, в которых некоторые пары точек нельзя соединить решением (двухточечная краевая задача не разрешима ни на каком отрезке времени). В связи с этим важным является изучение двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка на многообразиях и использование полученных условий разрешимости, в частности, в задаче об управляемости для механических систем. Ранее подобные исследования были проведены только для достаточно простого случая многозначных полунепрерывных сверху сил на мно-

гообразиях без крал.

Особо следует упомянуть системы с неголономными связями, для которых корректно поставлена задача о возможности выпустить из заданной точки такое решение, которое достигает заданного подмногообразия конфигурационного пространства (обычная двухточечная краевая задача для них некорректна). Отметим, что ранее рассматривались только дифференциальные включения с неголоном-ными связями, у которых правая часть полунепрерывна сверху и имеет выпуклые образы.

Учет случайных возмущений силы или скорости в задачах, описываемых дифференциальными включениями второго порядка на многообразиях, т.е. переход к стохастическим дифференциальным включениям второго порядка на многообразиях и их исследование, ранее не были осуществлены. Более того, для ряда важных физических задач, приводящих к подобным включениям, даже не была создана адекватная математическая формализация.

Целью работы является изучение дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях (как детерминированных, так и стохастических), возникающих в математической физике при описании движения с разрывными силами или скоростями или в системах с управлением; изучение качественного поведения решений детерминированных включений указанного типа, в частности, вопроса о разрешимости двухточечной краевой задачи (вариант задачи об управляемости); создание адекватного математического описания на языке стохастических дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях для некоторых физических задач, исследование вопроса о существовании решений (сильных и слабых) для различных классов указанных стохастических дифференциальных включений.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа и стохастического анализа на многообразиях, в частности, разработанный Ю.Е. Гликлихом аппарат интегральных операторов с римановым параллельным переносом и годографов скорости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. На полных римановых многообразиях найдены геометрические условия разрешимости двухточечной краевой задачи для дифферен-

циальных включений второго порядка, удовлетворяющих верхним условиям Каратеодори

2. На полных римановых многообразиях исследованы дифференциальные включения второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью и получена теорема существования решения для двухточечной краевой задачи. Рассмотрены приложения в задаче об управляемости при экстремальных значениях управляющей силы.

3. На языке дифференциальных включений описана механическая система на римановом многообразии с отражением на границе некоторой области; получена теорема существования решения двухточечной краевой задачи для таких систем в области с гладкой границей.

4. Изучены дифференциальные включения второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью на римановых многообразиях, подчиненные неголономным связям; найдены условия существования решений, соединяющих заданную точку с заданным подмногообразием.

5. Введены стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на римановых многообразиях, для которых доказаны теоремы существования слабых и сильных решений.

6. Изучены стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости в евклидовом пространстве и получена теорема существования их ослабленного решения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также с силовыми полями, содержащими случайную (стохастическую) составляющую.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе "Qualitative Theory of Differential Equations" (Сиенна, Италия, 2000), на международных научных конференциях по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000, 2002, 2004 гг.), на международной научной конференции Stochastic Analysis and Related Topics (Санкт - Петербург 2001), на международной научной конференции International Gnedenko Conference (Киев, 2002), на международной научной конференции Kol-mogorov and Contemporary Mathematics (Москва, 2003), на международной научной конференции Современные проблемы функциональ-

ного анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003), на Воронежских зимних математических школах 2002 и 2004 гг., на семинаре по стохастическим методам в финансовой математики кафедры дифференциальных уравнений МГУ (апрель, 2004), на научных сессиях института математики и математического факультета ВГУ (2000 - 2004 гг.).

, Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1 — 16]. Из совместных работ [1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 13] в диссертацию вошли только принадлежащие А.В. Обуховскому результаты.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов, и списка литературы. Общий объем работы - 104 страницы.

Краткое содержание работы

Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений из многозначного и стохастического анализа, а также теории римановых многообразий и интегральных операторов с параллельным переносом.

В второй главе рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на полном ри-мановом многообразии. Эта задача интерпретируется, как вопрос о существовании траектории механической системы с многозначной силой, соединяющей две заданные точки конфигурационного

пространства. Хорошо известно, что в евклидовом пространстве для дифференциального уравнения второго порядка с непрерывной ограниченной правой частью для любых двух то и т\ и любого отрезка времени существует решение такое, что т(Ь) = тпх. В случае нелинейных конфигурационных пространств ситуация более сложная. Имеются примеры механических систем на двумерной сфере с гладкими однозначными ограниченными силовыми полями, у которых некоторые или все пары диаметрально противоположных точек нельзя соединить траекторией системы. Отметим, что диаметрально противоположные точки на двумерной сфере сопряжены вдоль всех геодезических связности Леви-Чивита, их соединяющих.

Определение 2.1. Будем говорить, что на M задано многозначное векторное поле S, если в каждом касательном пространстве ТтМ, m G М, задано множество S(m).

Рассматривается дифференциальное включение второго порядка

где £ ковариантная производная связности Леви-Чивита на М. Определение 2.2. С1-кривая тЩ такая, что ее производные абсолютно непрерывны и включение (6) выполнено для почти всех m(t) называется решением включения (6).

В первом параграфе второй главы исследован случаи, когда правая часть F(t,m(t),m(t)) дифференциального включения (6) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори. Такие включения описывают механические системы с управлением и системы с разрывными силовыми полями на нелинейных конфигурационных пространствах.

Используется сведение задачи на многообразии к так называемому уравнению (включению) годографа скорости в одном касательном пространстве. Ранее в работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. этим методом указанная задача на многообразии исследовалась в случае полунепрерывного сверху силового поля, а в работе М. Киселевича 1997 г. - с силовым полем, удовлетворяющим верхнему условию Каратеодори, но только в евклидовом пространстве.

Основным результатом параграфа является теорема. Теорема 2.4. Пусть точка mi & M не сопряжена с точкой то € M вдоль некоторой геодезической a(t) метрики (•, •) и пусть поле F(t,m, X) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и равномерно ограничено для всех t, m, X некоторой константой С > 0. Тогда, существует число L(mo,mi,C,a) такое, что для всех to, 0 < to < L(mo,mi,C,a) включение (6) имеет решение m(t), удовлетворяющее условиям т(0) = то, m(to) = mi.

Во втором параграфе рассматривается случай, когда механическая система описывается дифференциальными включениями второго порядка (6) с полунепрерывной снизу правой частью. Полунепрерывность снизу возникает, например, в случае с управлением -при экстремальных значениях управляющей силы. Так же, как в Теореме 2.4, задача сводится к включению годографа скорости, однако его исследование в данном случае потребовало существенно иной техники по сравнению со случаем верхних условий Каратеодори.

Основным результатом параграфа является Теорема 2.9, в которой показана разрешимость двухточечной краевой задачи при условиях, аналогичных условиям Теоремы 2.4 (точки не сопряжены вдоль хотя бы одной геодезической, правая часть равномерно ограничена

и т.д.). Как следствие показана управляемость некоторых механических систем с управлением при экстремальных значениях управляющей силы.

В третьем параграфе техника, разработанная выше для дифференциального включения типа (6) с полунепрерывной снизу правой частью, модифицирована для случая, когда механическая система определена на ограниченной области К с гладкой границей и в точках границы дК траектории отражаются в соответствии с правилом "угол падения равен углу отражения. Исследуется вопрос о существовании решения двухточечной краевой задачи на этой области с отражением на границе.

Вводится понятие выживающей геодезической и точек, сопряженных вдоль нее, а также на случай кривых с отражением обобщен аппарат интегральных операторов с параллельным переносом и уравнений (включений) годографа скорости.

Рассмотрим произвольную граничную точку т е дК, тогда любой вектор X в касательном пространстве в этой точке представим в виде линейной комбинации векторов X = Ххб + ХгЯ, где S- единичный касательный вектор к дК в точке т, п - направленный внутрь единичный вектор нормали,

Определение 2.18. Касательным конусом Тк(т) в точке т к области К на М, мы будем называть все ТтМ, если т € Int К, и полупространство касателъногопространства ТтМ состоящее из всех векторов вида X = Х\6 + Х%п, где Хг > 0, если т € дК.

Пусть на К задано многозначное векторное поле F(t,m,X), зависящее от и параметра и имеющее замкнутые образы. Везде ниже мы предполагаем, что все образы равномерно ограничены по норме в касательных пространствах, порожденной римановой метрикой, и что это многозначное векторное поле полунепрерывно снизу по совокупности переменных. Рассмотрим многозначное векторное поле Теорема 2.24. При выполнении условия

Ф(t,m,X) = F(t,m,X)nTK(m) С F(t,rn,X) Л IntTK{m). (И)

многозначное векторное поле Ф(1,т,Х) полунепрерывно снизу.

Используя Теорему 2.24 и включения годографа скорости с отражением на границе, мы доказываем основное утверждение параграфа:

Теорема 2.33. Пусть внутренняя точка гпх € К не сопряжена с внутренней точкой то S К вдоль некоторой выживающей гео-

дезической a(t) (а(0) = то, а(1) = т\) связности Леви-Чивита и пусть поле F(t,rn,X) полунепрерывно снизу, равномерно ограничено некоторым к для всех t,m,X и удовлетворяет условию (11). Тогда существует число L{mo,m\,a) такое, что для всех to, 0 < t < L(m.o, mi,a) включение. (6) имеет выживающее решение m(i), удо-влетворяющееусловиям т(О) = mo,m(io) = wij.

В четвертом параграфе второй главы показано, каким образом удается получить обобщение Теоремы 2.9 на случай механических систем со связями. В отличии от случая без связей здесь естественно ставить вопрос не о достижимости данной точки конфигурационного пространства системы, а о достижимости фиксированного подмногообразия, трансверсального подмногообразию, заполненного "прямейшими" неголономными геодезическими. Подобная задача для случая полунепрерывной сверху правой части включения рассматривалась в работах Ю.Е. Гликлиха. Мы рассматриваем случай полунепрерывной снизу силы.

Дифференциальное включение второго порядка типа (6) на полном римановом многообразии М, подчиненное связи, имеет вид

где ^ - усеченная ковариантная производная, a F(i, m, X) лежит в пространстве связи в точке m е М. Обозначим ч е р œs^S голо-номное экспоненциальное отображение, а через с ТтоМ —пространство связи в точке

Теорема 2.46. Пусть точка т\ € M не сопряжена с точкой то € M вдоль некоторой прямейшей a(t) и пусть поле F{t, m, X) полунепрерывно снизу и равномерно ограничено для всех t, m, X. Тогда для любого подмногообразия N С М, т\ € N, трансверсального образу ехр^а(0та), существует ч и сЦтщ,Ш,ш)к о е , что для всех to, 0 <to < L{mo,N,a) включение (16) имеет решение m(i), удовлетворяющееусловиям т(0) = то, m(io) € N.

В третьей главе вводятся и исследуется стохастические дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях. Они могут быть интерпретированы, как законы движения для механических систем с римановым многообразием в качестве конфигурационного пространства, у которых силовое поле многозначно и имеет детерминированную и случайную составляющие. Примером подобной системы может служить описание движения физической броуновской частицы в сложных средах посредством многозначных

силовых полей со случайными возмущениями.

Если выше описанное силовое поле однозначно, то соответствующее стохастическое дифференциальное уравнение называется уравнением Ланжевена. В первом параграфе мы вводим и исследуем понятие стохастического дифференциального включения типа Лан-жевена для случая многозначного силового поля на полном рима-новом многообразии М. Пусть Г(Ь,т,Х) силовое векторное поле и А^,т,Х) — (1,1)-тензорное поле на М (оба могут быть многозначны). Стохастическое дифференциальное включение типа Лан-жевена описывает поведение системы под действием силового поля:

где гЬ - белый шум.

По аналогии с интегральными уравнениями движения в терминах разработанных Ю.Е. Гликлихом интегральных операторов с параллельным переносом мы даем корректное математическое описание включений типа Ланжевена в интегральной форме вида

№ = 5(/ 1\Р(т, е(г), йт)) ёт + ) ТА{т, е(г), ¿(г)) ат{т) + с), (18)

где .V и Г — интегральные операторы с параллельным переносом. Заметим, что по построению процесс £(£) имеет п.н. С1-гладкие траектории, и поэтому производные корректно определены. Определение 3.1. Мы будем говорить, что (18) имеет слабое решение на [0,4 С К с начальнымиусловиями £(0) = то, £(0) = С если существует вероятностное пространство Р), п.н. С1

стохастический процесс £(£), определенный на (П,.?7, Р), со значениями в М и с начальнымиусловиями £(0) — то и £(0) = С, ви-неровский процесс ги(Ь) в Яп, определенный на{$1,Т,Р) иподчинен-ный £(£), однозначное векторное поле наМ и однозначное

(1,1)-тензорное поле а^,т,Х) такие, что

(г) для всех £ случайный вектор /(£,£(£)>£(£)) принадлежит

£(£)>£(£)) Р-почти наверное (п.н.); (п) для всех £ случайный тензор £(£)) принадлежит

Ж*. £№>£№) Р-«•«•;

(Ш) интегралы JoTf(т,€(т),t(т))dт и /оГа(г,£(т),(t(т))dvJ(т) определены для £(£), / и а и для всех Ь € [0, /] Р-п.н. выполнено

«*) = 5(/г/(г1е(г)1ё(г))йг + /га(г,«т)>С(г))й«;(г)+с).. (21) о о

Определение 3.2. Мы будем говорить, что (18) имеет сильное решение на [0,Z] С R с начальными условиями £(0) = то, ¿(0) = С если на любом вероятностном пространстве (Г2,Р), допускающем винеровский процесс, и для любого винеровского процесса w(t) в Я", определенного на (£1,3-, Р), существуют: п.н. С1 стохастический процесс £(i) определенный на (П, Т, Р), неупреждающий относительно w(t), со значениями в М и с начальными условиями £(0) = то и £(0) = С, однозначное векторное поле f(t,m,X) на М и од позначное (1,1)-тензорное поле a(t,m,X) такие что

(г) для всех t случайный вектор f(t, £(i)) принадлежит F(t,t(t),((t)) Р-п.н.;

(ii) для всех t случайный тензор a(t, £(t),£(t)) принадлежит A(i,i(t),i(i)) Р-п.н.;

(Hi) интегралы /оГ/(т,£(т),£(г))с2т и /q Га (г, ), определены для £(i), w(t), f и а и Р-п.н. (21) выполнено для всех t€ [0,1].

При изучении слабых решений мы предполагаем, что многозначное силовое поле F имеет е-аппроксимации при любом е, что А однозначно и непрерывно и что выполняется условие Ито подлинейного роста вида

|тет,Л-)|| + \\А{^т,Х)\\ < 0(1 + И) (23)

для некоторой константы 0 > 0.

Теорема 3.6. Пусть многозначное векторное поле F(t,m,X) такое, что для каждого е > 0 существует е-аппроксимация f£ для F. Пусть линейный оператор A(t, т, X) : ТтМ —* ТтМ будет однозначным, непрерывным по (t,m,X) и невырожденным для всех t € R, (то, X) е ТМ. Пусть также F и А удовлетворяют условию Ито (23) с некоторой константой 0. Тогда для любых то & М и С € ТтоМ включение Ланжевена имеет слабое решение с начальными условиями £(0) = то, £(0) = С, определенное для всех fe[0,oo).

Далее исследуется существование сильных решений. Через Bt мы обозначим борелевскую сг-алгебру на [0, t] для t е [0, Z]. Введем обозначение compZ для пространства компактных подмножеств в метрическом пространстве Z. Будем говорить, что многозначное векторное поле B(t, т,X) действует из [0,1] хТМ в сотрТМ если для любого (t,m,X) € [0,/] х ТМ образ B(t, m,X) С TmM компактен. Дадим следующие определения.

Определение 3.9. Многозначное отображение В : [О,/] х Ü —» compRn называется {Vt}-прогрессивно измеримым, если

{(¿,w) 6 [О,I] х П|B{t,w) ПС фЧ)} eBtxVt для каждого замкнутого множества С С Rn.

Определение 3.10. Мы будем говорить, что многозначное векторное поле В : [0,/] х ТМ —> compTM

(i) диссипативно, если для ecext € [0,2], m G М, X,Y £ ТтМ и U € B(t, т,Х), V € B(t, т, Y) выполнено неравенство < X -Y,U — V><0 .

(ii) максимально, если для t, т, X, Y и V из (г) неравенство (X—Y,U—V) < 0 эквивалентно предположению, что U € B(t,m,X).

Пусть F(t, т, X) и G(t, т, X) многозначные векторные поля на М. Рассмотрим включение типа Ланжевена

т е S{j YF{r, í(r), i{r))dr + )TG(t, Z(T),i(r))dw(T) + С). (29) о о

Стохастическое дифференциальное включение (29) является частным случаем (18), поскольку TG(t, ^(r),^(r))dtü(r) представимо как ГG(r, ^(г),^(т))(РйИл(г)), где Р ортогональная проекция на линейную оболочку векторов ГС?(т, £(т"),£(т)).

Теорема 3.11. Пусть многозначные векторные поля F(t,m,X) и G(t,m,X), F,G : [0,1} х ТМ —» сотрТМ, измеримы по Борелю, равномерно ограничены, диссипативны и максимальны. Тогда существует сильное решение (29) при всех t € [0, Z] с начальными условиями £(0) = то и £(0) = С для всех то € М и С £ ТтоМ.

Во втором параграфе Главы 3 мы модифицируем конструкции первого параграфа таким образом, что их удается применить к стохастическим дифференциальным включениям первого порядка в форме Ито. Получена теорема существования слабых решений для указанных включений на стохастически полных римановых многообразиях.

В третьем параграфе третьей главы рассматриваются стохастические дифференциальные включения второго порядка в пространстве-Л" со случайными возмущениями скорости. Это означает, что они представимы в виде системы выражений первого порядка следующего вида

í x(t) =х0 + $ a(s)ds + f¿ A(s, x(s))dw(s) , *

U(-)eao + /m-.z(-))> K '

где fVF(-,x(-)) — множество интегралов от измеримых сечений многозначного силового поля F вдоль непрерывной кривой ж(-), ¡QA(t,x(t))dw{t) - интеграл Ито и a(i) — непрерывное по t векторное поле вдоль случайной кривой x(t). Для сравнения отметим, что в R" включение типа Ланжевена представимо в виде аналогичной системы, у которой стохастические слагаемые входят во второе выражение, а не в первое, как в (49). Так что во включении типа Ланжевена случайному возмущению подвержено ускорение (сила), а не скорость.

Пусть F(t, х) полунепрерывное снизу многозначное отображение F : R х R71 2Л" с замкнутыми образами и A{t, х) : Ra —» Rn однозначный линейный оператор непрерывный по t б R и х G Rn. Будем предполагать, что F(t,x) и A(t,x) удовлетворяют условию Ито, т.е., существует константа такое, что

выполнено для всех t Е R и х G Rn, где ||.A(i,x)|| - операторная норма и ||F(i,x)|( = supvCi-(<i:r)||y!|.

Зафиксируем I > О и определим через А нормализованную меру Лебега на [0, i], т.е., такую, что А([0,1}) = 1.

Определение 3.20. Будем говорить, что (49) имеет ослабленное решение на [О,/] С R с начальным состоянием xq € К? и начальной скоростью ао € Rn, если существует вероятностное■ пространство (ft,^F,P) и три стохастических процесса в Rn, заданные на (П,^",Р): стохастический процесс x{t), х(0) = хо, с непрерывными выборочными траекториями, винеровский процесс w{t), подчиненный x(t), и стохастический процесс a(t), а(0) = ао, с непрерывными выборочными траекториями, неупреждаюгций относительно x(t), такие, что

выполнено для почти всех * € [0,£] Р-п.н. и для любого 4 € [0, ¿] Р-п.н. а{1) = ао + /р /^(Х(Т))^Т> х(т)) сечение из не-

прерывно зависящее от Ь относительно топологий пространства

Пусть С°([0,банахово пространство непрерывных отображений из [О, I] в Я™.

Теорема 3.21. Пусть полунепрерывное снизу многознач-

ное отображение Р1 : R х К1 —► с замкнутыми образами и

1№*)И + №(*.«)Н < ©С1 + 11*11)

(47)

A(t, x) : Rn —> Rn однозначный линейный оператор непрерывный по совокупности переменных t € R и х 6 Rn- Пусть также выполнено (47). Тогда для любого фиксированного 1> 0, Хо,Оо G Rn включение (49) имеет ослабленное решение на [0,i] с начальным состоянием х$ и начальной скоростью ао.

Публикации автора по теме диссертации

1. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на римановом многообразии/Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 5-11 сентября 2000. Труды конференции.- Ростов-на-Дону, 2000.- С.93-94.

2. Obukhovskii A.V. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds/Yu. E. Gliklikh, A. V. Obukhovskii// Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization.- 2001.- Vol. 21.- No. 2.- P. 173-190.

3. Обуховский А.В. О теоремах существования решений для включений типа Ланжевена на римановых многообразиях /А.В. Обуховский// Труды математического факультета ВГУ.- 2001.- N 6.- С. 102-106.

4. Obukhovskii A. V. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds/A.V. Obukhovskii// International Conference "Stochastic Analysis and Related Topics", St. Petersburg, Russia, June 4-10.- S.-Peterburg, 2001,- P. 57-59.

5. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения типа Ито на римановых многообразиях/Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Труды математического факультета ВГУ.- 2002.- N 7.- С. 25-32.

6. Обуховский А.В. О дифференциальных включениях второго порядка на римановых многообразиях/ Ю.Е. Гликлих, А.В. Обу-ховский// Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 5-11 сентября 2002. Труды конференции.- Ростов-на-Дону, 2002.- С. 183-184.

7. Обуховский А.В. К теории стохастических дифференциальных включений на римановых многообразиях/ Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский // Воронежская зимняя математическая школа — 2002.- Воронеж: ВГУ, 2002.- С. 17.

8. Obukhovskii A. V. Stochastic Differential Inclusions of Ito type on Riemannian manifolds / Obukhovskii A. V. // International Gnedenko Conference (Kyiv, June 3-7, 2002). Abstracts.- Kyiv, 2002.- P. 169.

»19 5 8 J

9. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости / Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Вестник ВГУ Сер. Физика Математика.- 2003.- N 1. -С. 93-96.

10. Обуховский А.В. Выживающие решения двухточечной краевой задачи для включения второго порядка на римановых многообразиях / Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский // Вестник ВГУ Сер. Физика, математика.- 2003.- N 2. -С. 144-150.

11. Обуховский А.В. Двухточечная краевая задача для механической системы на римановом многообразии с полунепрерывным снизу силовым полем / А.В. Обуховский // Труды конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений", Воронеж, 30 июня - 4 июля 2003.- Воронеж, 2003.- С. 189-190.

12. Обуховский А.В. К задаче об управляемости для неголоном-ных механических систем на римановых многообразиях / А.В. Обу-ховский // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж, 2003.- С. 94-102.

13. Obukhovskii A.V. On a two point boundary value problem for second-order differential inclusions on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Abstract and Applied Analysis. - 2003.-No. 10. - P.591-600.

14. Obukhovskii A. V. On second order stochastic differential inclusions on Riemannian manifolds / A.V. Obukhovskii // International conference Kolmogorov and contemporary mathematics , Moscow, June 1621, 2003 (Abstracts).- С 528-529.

15. Обуховский А.В. Неголономные механические системы с многозначной силой на римановых многообразиях / А.В. Обуховский // Воронежская зимняя математическая школа 2004. Тезисы докладов. -С. 85-86.

16. Обуховский А.В. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений на римановом многообразии, удовлетворяющих условию Каратеодори / А.В. Обуховский // Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо. 5-11 сентября 2004. Труды конференции.- Ростов-на-Дону, 2004.- С.

Заказ № 630 от 7 10 2004 г. Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Обуховский, Андрей Валерьевич

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Многозначные отображения.

1.2. Элементы стохастического анализа.

1.3. Элементы теории римановых многообразий.

1.4. Интегральные операторы с параллельным переносом

2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом многообразии.

2.1. Дифференциальные включения с правой частью типа Каратеодори.

2.2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью

2.3. Двухточечная краевая задача для механических систем с отражением.

2.4. Случай систем со связями.

3. Стохастические дифференциальные включения на римановых многообразиях

3.1. Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена

3.2. Включения типа Ито.

3.3. Дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости.

Введение диссертация по математике, на тему "Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях"

Дифференциальные включения (иными словами - дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) естественным образом возникают в различных прикладных и теоретических разделах математики и в настоящее время активно изучаются. Укажем, например, что при описании дифференциальных уравнений с управлением используется естественный переход к дифференциальному включению - в этом случае в правой части уравнения рассматривают множество значений скорости или силы при всех допустимых значениях управляющего параметра. Другой широко известный случай возникновения дифференциальных включений -когда включениями заменяют дифференциальные уравнения, у которых правая часть существенным образом разрывна. Для этого разработан уже ставший стандартным прием, предложенный А.Ф. Филипповым. В связи с большим прикладным и теоретическим значением дифференциальных включений с 50-х годов прошлого века началось бурное развитие этой теории. Укажем, например, современное монографическое изложение различных ее аспектов, принадлежащее J.P. Aubin и A. Cellina, К. Deimling, А.А. Толсто-ногову, А.Ф. Филиппову и др.

Задачи с управлением и с разрывными правыми частями на гладких многообразиях также исследовались методами теории дифференциальных включений (M.L.J. Hautus, G. Stefani и P. Zecca, Б.Д. Гельман и Ю.Е. Гликлих, G. Grammel и др., [37], [45], [7], [36], [15], [35]). Они описывают системы на нелинейных конфигурационных и фазовых пространствах, и их исследование существенно использует геометрические идеи. Однако из-за значительно более сложного аппарата включения на многообразиях были изучены в меньшей степени, чем в линейных пространствах.

В последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работ E.D. Conway [28], J.P. Aubin и G. Da Prato [25] активно развивается теория стохастических дифференциальных включений, (см. также, например, [8], [41], [29], [44]). Заметную роль здесь играют представители польской школы (М. Киселевич, Е. Мотыль, М. Михта и др.). Наиболее часто в приложениях стохастические дифференциальные включения возникают из стохастических дифференциальных уравнений аналогично нестохастическому случаю.

Изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях было начато работой Ито 1950 г. и к настоящему времени получило большое развитие (имеется монографическое изложение в книгах K.D. Elworthy [31], Ю.Л. Далецкого и Я.И. Бело-польской [1], Ю.Е. Гликлиха [15], М. Emery [32], Е. P. Hsu [38] и др.). Отметим, что даже изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях является существенно более сложной задачей, чем в линейных пространствах, и требует значительно более сложной техники, основанной на современной геометрии многообразий. Поэтому стохастические дифференциальные включения на многообразиях ранее практически не исследовались несмотря на то, что они естественно возникают во многих задачах.

Одним из наиболее важных для приложений классов дифференциальных включений являются дифференциальные включения второго порядка, которые имеют физический смысл механических систем с многозначной силой. В терминах подобных включений описываются системы с управляющей силой или с разрывными силами (движение в сложных средах, в присутствии сухого трения и т.д.). Подобные системы на многообразиях позволяют включить в рассмотрение случай нелинейных конфигурационных пространств. В работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. [7] были разработаны новые геометрические методы и получены важные результаты о качественном поведении решений подобных включений, учитывающие геометрические и топологические свойства конфигурационного пространства. Однако в этой работе рассматри вались только полунепрерывные сверху многозначные силы с выпуклыми образами. Для других типов многозначных сил, также встречающихся в приложениях, подобное исследование не проводилось.

Отметим, что качественное поведение решений дифференциальных уравнений и включений на многообразиях может существенно отличаться от их аналогов в линейных пространствах. Имеются Л примеры (см. [15], [35]) дифференциальных уравнений второго порядка на компактных римановых многообразиях с гладкой ограниченной правой частью, в которых некоторые пары точек нельзя соединить решением (двухточечная краевая задача не разрешима ни на каком отрезке времени). В связи с этим важным является изучение двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка на многообразиях и использование полученных условий разрешимости, в частности, в задаче об управляемости для механических систем. Ранее подобные исследования были проведены только для достаточно простого случая многозначных полунепрерывных сверху сил на многообразиях без края.

Особо следует упомянуть системы с неголономными связями, для которых корректно поставлена задача о возможности выпустить из заданной точки такое решение, которое достигает заданного подмногообразия конфигурационного пространства (обычная двухточечная краевая задача для них некорректна, см. например [14], [15], [35]). Отметим, что ранее рассматривались только диф-♦ ференциальные включения с неголономными связями, у которых правая часть полунепрерывна сверху и имеет выпуклые образы [14], [15], [35].

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа и стохастического анализа на многообразиях, в частности, разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с римановым параллельным переносом и годографов скорости.

1. На полных римановых многообразиях найдены геометрические условия разрешимости двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка, удовлетворяющих верхним условиям Каратеодори

2. На полных римановых многообразиях исследованы дифференциальные включения с полунепрерывной снизу правой частью и получена теорема существования решения для двухточечной краевой задачи. Рассмотрены приложения данной теоремы в задаче об управляемости при экстремальных значениях управляющей силы.

4. Изучены дифференциальные включения второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью на римановых многообразиях, подчиненные неголономным связям; найдены некоторые условия существования решений, соединяющих заданную точку с заданным подмногообразием.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также с силовыми полями, содержащими случайную (стохастическую) составляющую.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Сиенна, Италия, 2000), на международных научных конференциях по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000, 2002, 2004 гг.), на международной научной конференции Stochastic Analysis and Related Topics (Санкт - Петербург 2001), на международной научной конференции International Gnedenko Conference(KneB, 2002), на международной научной конференции Kolmogorov and Contemporary Mathematics (Москва, 2003), на международной научной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003), на Воронежских зимних математических школах 2002 и 2004 гг., на семинаре по стохастическим методам в финансовой математики кафедры дифференциальных уравнений МГУ (апрель, 2004), на научных сессиях института математики и математического факультета ВГУ (2000 - 2004 гг.).

Основные результаты опубликованы в работах [47] - [62]. Из совместных работ [47, 48, 51, 52, 53, 55, 56, 59] в диссертацию вошли только принадлежащие А.В. Обуховскому результаты.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов и списка литературы

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Обуховский, Андрей Валерьевич, Воронеж

1. Белопольская Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения и дифференциальная геометрия/Я.И. Белопольская, Ю.Л. Далецкий. -Киев, 1989.

2. Бишоп Р. Геометрия многообразий/ Р. Бишоп, Р. Криттенден. -Москва: Мир, 1967.- С. 335.

3. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отобра-жений/Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А .Д. Мышкис, В.В Обуховский.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 104 с.

4. Борисович Ю.Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений/ Ю.Г. Борисович, Ю.Е. Гликлих// Седьмая летняя математическая школа, Киев: ИМ АН УССР, 1970.- С. 283-294.

5. Вершик A.M. Дифференциальная геометрия и Лагранжева механика со связями/А.М. Вершик, Л. Д. Фаддеев// Докл. АН СССР. 1972.- Т. 202, N3. - С.555-557.

6. Вершик A.M. Классическая и неклассическая механика со связями/А.М. Вершик// Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1984.- С. 23-48.

7. Гельман Б.Д. Двухточечная краевая задача в нелинейной механике с разрывными силами/Б.Д. Гельман, Ю.Е. Гликлих// Прикладная математика и механика 44 (1980), 565-569.

8. Гельман Б.Д. Многозначный интеграл Ито/Б.Д. Гельман, Ю.Е. Гликлих// Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложений. Куйбышев: КГУ, 1984. -С. 46-54.

9. Гихман И.И. Теория стохастических процессов/И.И. Гихман, А.В. Скороход. Москва: Наука, Т.1. 1975.

10. Гихман И.И. Теория стохастических процессов/И.И. Гихман, А.В. Скороход. Москва: Наука, Т.З. 1975.98

11. Гликлих Ю.Е. О геометризации одного класса механических систем со случайными возмущениями силы/ Ю.Е. Гликлих, И.В. Федоренко// Воронежск. гос. ун-т. Воронеж 1980. Деп. в ВИНИТИ 21.10.80. N 4481.

12. Гликлих Ю.Е. Об уравнениях геометрической механики со случайными силовыми полями/ Ю.Е. Гликлих, И.В. Федо-ренко//Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1981. -С. 64-72.

13. Гликлих Ю.Е. Интегральные операторы на многообразии /Ю.Е. Гликлих//Тр. мат. ф-та Воронежск. ун-та. Воронеж, 1971. Вып. 4.

14. Гликлих Ю.Е. Операторы интегрального типа и дифференциальные включения на многообразиях, подчиненные неинво-лютивным распределениям/Ю.Е. Гликлих // Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии.- Киев: Институт мат. АН УССР, 1988.- С.22-28.

15. Гликлих Ю.Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики/Ю.Е. Гликлих.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989.- 189 с.

16. Иосида К. Функциональный анализ/ К. Иосида. Москва: Мир,1967.

17. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функциональный анализ/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.- Москва: Наука,1968.

18. Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов/ Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев.- Москва: Наука, 1974.

19. Мышкис А.Д. Обобщение теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории/ А.Д. Мышкис// Мат. сборник. 1954, Т. 34, N 3. С. 525-540.

20. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве/ А.А. Толстоногов.- Новосибирск: Наука, 1986.296 с.

21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов- М.: Наука, 1985.- 224 с.

22. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Ф. Хартман.- М.,1970.

23. Ширяев А.Н. Вероятность/ А.Н. Ширяев.- Москва: Наука, 1989.

24. Aubin J.P,, Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viabil-iti Theory/J.P. Aubin, A. Cellina. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1984. -342 p.

25. Aubin J.P. Stochastic viability and invariance/J.P. Aubin, G. Da Prato // Annali Scuola Normale Supriore di Pisa 17, 595-613 (1990).

26. Billingsley P. Convergence of Probability Measures. New York et al.: Wiley, 1969.

27. Bressan A. Extensions and selections of maps with decomposable values/ A. Bressan, G. Colombo// Studia Math.- 1988. -V. 90. -P. 69-86.

28. Conway E.D. Stochastic equations with discontinuous drift/ E.D. Conway // Trans. Amer. Math. Soc, 1971, vol. 157, N 1.- p. 235245.

29. DaPrato A.G. A stochastic Filippov theorem/ A.G. DaPrato, H. Francowska// Stoch. Anal. Appl. 12(4) (1994) 409-426.

30. Deimling K. Multivalued differential equations/K. Deimling.-Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992.

31. Elworthy K.D. Stochastic Differential Equations on Manifolds /K.D. Elworthy.- Cambridge University Press, 1982.-342 p.

32. Emery M. Stoxchastic Calculus in Manifolds /Michel Emery.-Berlin et al.: Springer-Verlag, 1989.- 161 p.

33. Gliklikh Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics /Yu.E. Gliklikh//Lect. Notes Math., 1984, v. 1108.- p. 128-151

34. Gliklikh Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics/Yu.E. Gliklikh.- Dordrecht: Kluwer, 1996.- xvi+189 p.

35. Gliklikh Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods/Yu.E. Gliklikh.- New York: Springer-Verlag, 1997.- xv+213 p.

36. Grammel G. Controllability of differential inclusions/G. Gram-mel// Journal of Dynamical and Control Systems.- 1995.- Vol. 1.- No. 4.- P. 581-595.

37. Hautus M.L.J. Optimal control on manifolds/M.L.J. Hautus// Geometric methods in system theory (ed. by D.Q. Mayne, R.W. Brockett) Dodrech-Boston, Reidel, 1973.

38. Hsu E.P. Stochastic Analysis on Manifolds /Elton P. Hsu.- Providence R.I.: AMS, 2002.- 295 p.

39. Ito K. On stochastic differential equations on a differentiable manifold /К. Ito //Nagoya Math. Journal.- 1950.- V. 1.- No. 1.- P.35-47.

40. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces/M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca P.- Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

41. Kisielewicz M. Properties of solution sets of stochastic inclusions /М. Kisielewicz // Journal Appl. Math, and Stoch. Ananl.- 1993.-Vol. 6.- No. 3.- P. 217-236.

42. Kisielewicz M. Some remarks on boundary value problem for differential inclusion/M. Kisielewicz// Discussiones Mathematicae-Differential Inclusions 17 (1997), 43-50.

43. Kryszewski W. Homotopy properties of set-valued mappings/ W. Kryszewski. -Torun: Torun University, 1997.- 243 p.

44. Motyl J. On the Solution of Stochastic Differential Inclusion/J. Motyl// Journal of mathematical analysis and applications, 1995, v. 192.- p. 117-132.

45. Stefani G., Zecca P. Multivalued Differential Equations on manifolds with appliation to control theory/ Gianna Stefani, Pietro Zecca// Ilinois journal of mathematics. V. 24, No 4, Winter 1980.-P. 560-575.

46. Parthasarathy K.R. Introduction to Probability and Measure. New York: Springer-Verlag, 1978.

47. Obukhovskii A.V. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds/Yu. E. Gliklikh, A. V. Obukhovskii// Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization.- 2001.- Vol. 21.- No. 2.- P. 173190.

48. Обуховскиий А.В. О теоремах существования решений для включений типа Ланжевена на римановых многообразиях /А.В. Обуховский// Труды математического факультета ВГУ.- 2001.- N 6,- С. 102-106.

49. Obukhovskii А. V. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds/A.V. Obukhovskii// InternationalConference "Stochastic Analysis and Related Topics", St. Petersburg, Russia, June 4-10.- S.-Peterburg, 2001.- P. 57-59.

50. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения типа Ито на римановых многообразиях/Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Труды математического факультета ВГУ.-2002.- N 7.- С. 25-32.

51. Обуховский А.В. К теории стохастических дифференциальных включений на римановых многообразиях/ Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский // Воронежская зимняя математическая школа 2002.- Воронеж: ВГУ, 2002.- С. 17

52. Obukhovskii А. V. Stochastic Differential Inclusions of ltd type on Riemannian manifolds / Obukhovskii A. V. // International Gnedenko Conference (Kyiv, June 3-7, 2002). Abstracts.- Kyiv, 2002.- P. 169.

53. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости / Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Вестник ВГУ Сер. Физика, Математика.- 2003.- N 1. -С. 93-96.

54. Обуховский А.В. Выживающие решения двухточечной краевой задачи для включения второго порядка на римановых многообразиях / Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский // Вестник ВГУ Сер. Физика, математика.- 2003.- N 2. -С. 144-150.

55. Обуховский А.В. К задаче об управляемости для неголоном-ных механических систем на римановых многообразиях / А.В. Обуховский // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж, 2003.- С. 94-102.

56. Obukhovskii A.V. On a two point boundary value problem for second-order differential inclusions on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Abstract and Applied Analysis. Vol 10. - 2003. - C.591-600.

57. Obukhovskii A. V. On second order stochastic differential inclusions on Riemannian manifolds / A.V. Obukhovskii // International conference Kolmogorov and contemporary mathematics , Moscow, June 16-21, 2003 (Abstracts).- C. 528-529.

58. Обуховский А.В. Неголономные механические системы с многозначной силой на римановых многообразиях / А.В. Обуховский // Воронежская зимняя математическая школа 2004. Тезисы докладов. -С. 85-86.