Многообразия Калуцы-Клейна и двухконцевые задачи для гироскопических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

Механико-математический факультет

Президиум ВАК России

(решение от "

присудил ученую степень ДОКТОРА

правах рукописи УДК 514.7

ЯКОВЛЕВ"Еигений Иванович

МНОГООБРАЗИЯ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА

И ДВУХКОНЦЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.04 - геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 1996

1Л

^О /У^^ //¿//ог

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Цели и задачи диссертации. Основные кон-

струкции 4

2. Краткий библиографический обзор 8

3. Структура и содержание работы 11

4. Результаты, выносящиеся на защиту 29

5. Новизна и достоверность 31

6. Публикации по теме диссертации 34

ГЛАВА 1. ПОЧТИ ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

§1. Главные расслоения с абелевыми структурными группами 36 §2. Категории почти главных П х Т(7)-расслоений 39 §3. Связности и характеристические классы 46 §4. Фактор-расслоения. Гомотопические группы 57 §5. Главные П х Т(/)-расслоения 60

ГЛАВА 2. МНОГООБРАЗИЯ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА

§6. Многообразия Калуцы-Клейна и гироскопические структуры 66 §7. Тензорное поле кривизны 71 §8. Кривизны в двумерных направлениях 80 §9. Влияние знакоопределенности секционной

кривизны на топологические инварианты 83

ГЛАВА 3. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ ДЛЯ МНОГОЗНАЧ НЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

§10. Гироскопические системы и многозначные

функционалы 93

§11. Расслоение, слоение и связности, ассоциированные с многозначными функционалами 95 §12. Теорема редукции 105

ГЛАВА 4. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ДВУХКОНЦЕВЫХ ЗАДАЧ

§13. Двухконцевая задача для гироскопических

систем классического типа 113

§14. Движения с ограниченными скоростями 126

§15. Двухконцевая задача для гироскопических

систем релятивистского типа 137

ГЛАВА 5. ПРИЛОЖЕНИЯ

§16. Движения заряженной частицы по поверхности в постоянном магнитном поле 152 §17. Движения заряженной частицы в гравитационных и электромагнитных полях 157

ВВЕДЕНИЕ

1„ Цели и задачи диссертации. Основные конструкции»

Диссертация посвящена проблеме существования решений двухкон-цевых задач для гироскопических систем.

Гироскопической системой называется четверка Г = (B,h,F,u), где В - гладкое многообразие, h - риманова или лоренцева метрика, F -замкнутая 2-форма им- гладкая функция на В. В случае, когда h -риманова (то есть положительно определенная) метрика, мы называем Г системой классического типа. Такие системы рассматриваются в классической механике [Ко 1; Хар 3]. При этом В называется конфигурационным многообразием, 1г/2 - формой кинетической энергии, и - потенциальной энергией и F - формой гироскопических сил.

В работе рассматриваются также системы релятивистского типа, в которых h - лоренцева метрика с сигнатурой (—[-••■+)• В общей теории относительности гироскопические системы релятивистского типа описывают движения заряженных пробных частиц в гравитационных и электромагнитных полях. При этом В играет роль пространственно-временного многообразия, h - гравитационного потенциала, F - формы электромагнитного поля, и = const [Л-Л, с.317-332].

Всюду далее предполагается, что функция и не обращается в нуль, а форма гироскопических сил имеет представление

(1)

где в G Hom(Em,E), т G N, а Ф замкнутая 2-форма со значениями в Мт, интегралы от которой по двумерным сфероидам многообразия В принадлежат подгруппе

/Zm = /!Zx...x/mZcMm,

¿1,..., lm G { 0,1}. Все используемые объекты считаются, если не оговорено противное, гладкими класса С°°.

Пусть а,Ь £ В ж Qab ~ пространство кусочно-гладких путей в Б, идущих из точки а в точку Ъ. Действием гироскопической системы

Г = (В, /г, Р, и) является, вообще говоря, многозначный функционал Новикова

1

5(<5, х) = 56(яг) = I(М^) _ б2и(х)) ¿8 + <51 ^ (2)

О с

где х £ Оаь, х' — (1х/с1в, <5 £ М и с : I2 —> В - кусочно-гладкая гомо-топия, связывающая путь ж с некоторым фиксированным (опорным) путем хр жз содержащего х гомотопического класса О Е 7Гд (Паь)- Если ж - экстремаль функционала : Паг> —> Ж/69(Шт), то пара (6,х) называется нами экстремалью функционала

5 : К х ПаЬ -> 7г = У (Ш/66(№т)). (3)

¿ем

При <5 > 0 мы называем экстремаль (6, ж) положительно ориентированной. В этой ситуации определенная формулой = х{1/6) кривая Хё '■ [0, <5] -г- В является движением гироскопической системы классического типа Г из положения а в положение Ь за время 6.

Для гироскопической системы классического типа Г = (В, к, Г, и), произвольных точек а,Ь Е В и гомотопического класса В £ 7Го (У1аь) в работе ищутся условия существования положительно ориентированных экстремалей (6,х) £ К. х И функционала Б с заданным значением

55 55

энергии

е(6,х)=1^^ + 62и(х). (4)

Для системы Г = (В, /г, Р, и) такого же типа с компактным конфигурационным многообразием В и точной формой гироскопических сил Р исследуется вопрос о существовании движений из положения а Е В в положение Ь £ В, принадлежащих произвольно выбранному гомотопическому классу идущих из а в Ъ кривых, со скоростями, ограниченными сверху заранее заданным положительным числом.

В релятивистском случае физический смысл имеют только те экстремали (6, х) функционала 5, для которых е(6, х) = 0. Выбрав и = 1/2 и положив Хб(сг) = х(а/6), указанное условие можно свести к тождеству

д, с1хё с1х£ ^ _

с1сг ' ¿а

Последнее означает, что а - собственное время частицы, мировая линия которой совпадает с траекторией движениея х$ : [ 0, <5 ] —» В системы Г [Л-Л, с.303].

Вообще говоря, мы не ограничиваемся случаем, когда и = const. Но предполагаем, что для системы релятивистского типа функция и положительна. При этом тождество е(<5, х) = 0 обеспечивает времени-подобность движения х¿(а) = х{а/6). соответствующего положительно ориентированной экстремали (S,x).

Поэтому двухконцевая задача для гироскопической системы релятивистского типа Г = (В. h, F, и) в диссертации формулируется как проблема существования для произвольной точки а £ В, точки b из ее хронологического будущего 1+(а) и гомотопического класса D G 7г0(Оаб) положительно ориентированных экстремалей (6, х) функционала 5, удовлетворяющих условиям: х Е D и е(6, х) = 0.

Сформулированные двухконцевые задачи решаются как для систем общего вида, так и для конкретных систем, имеющих физические интерпретации. В частности, рассматривается задача о движениях заряженной пробной частицы по поверхности из одной заданной точки этой поверхности в другую под действием постоянного магнитного поля, включающего поля конечного числа магнитных зарядов (монополей Дирака). Соответствующая гироскопическая система имеет классический тип. Кроме того, изучаются движения заряженной пробной частицы в различных гравитационных и электромагнитных полях. При этом в качестве конфигурационного лоренцева многообразия (В, К) соответствующей системы релятивистского типа Г = (В, h,F, и) выбираются четырехмерные пространства Робертсона-Уокера, внешнее пространство-время Райсснера-Нордстрема и пространство-время Шварцшильда-Эрнста. Электромагнитное поле в общем случае предполагается состоящим из нескольких полей. Одно из них является произвольным внешним полем без магнитных монополей. В пространстве Райсснера-Нордстрема к нему добавляются электрическое и магнитное поля заряженной черной дыры, а в пространстве Шварцшильда-Эрнста - магнитное поле вселенной Мелвина.

Одна из основных целей диссертации - разработка метода решения двухконцевых задач для гироскопических систем. Предлагаемая нами схема исследования распадается на две части. Первая из них состоит в построении расслоения р : Е В, риманова слоения Т на Еу его

метрики Рейнхарта д и связности Эресмана Нив редукции вариационных задач с закрепленными концами для многозначного функционала Новикова 3 к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функционала длины (или действия) псевдорима-нова многообразия (Е,д); при этом концевые подмногообразия - слои риманова слоения Т. Вторая часть предлагаемой схемы предусматривает вывод условий разрешимости модельных задач и их выражение через исходные объекты: гироскопическую систему Г = (В, /г, .Р, г/.), концевые точки а и Ь и гомотопический класс О Е 7Го(Паь).

Разработка этого метода привела к необходимости построения и изучения ряда вспомогательных конструкций. В частности, в диссертации определяются и исследуются почти главные П х Т-расслоения, где П - фундаментальная группа базы, а Т - конечномерная связная абелева группа Ли. Изначально они были построены для того, чтобы решать двухточечные краевые задачи в каждом гомотопическом классе О Е тго(Паь) по отдельности. Однако в процессе работы обнаружилось, что их использование расширяет область применимости метода, а в ряде случаев приводит к выводу менее обременительных условий существования экстремалей, чем применение обычных главных Т-расслоений.

Пусть п : N —> В - универсальное накрытие и д : Е N - главное расслоение со структурной группой Т. Тогда р = п од- локально тривиальное расслоение со стандартным слоем С = П х Т. На его пространстве Е определено глобальное действие т : ЕхТ —» Е : (и, ¿) —> и4 группы Т. Карта Фи : II х С Ец расслоения р : Е —» В определяет локальное действие тгц : Ец х П —» Ец группы П. Если фу '■ V х С Еу - другая карта и и П V ф 0, то на пересечении Еи П Еу действия ж и и 7г у, вообще говоря, не совпадают. Мы называем композицию р = п о д почти главным П X Т-расслоением, если для некоторого ассоциированного с открытым покрытием Ы атласа Л(р, 14) расслоения р, любых карт фи-, Фу £ Л(р,Ы) с непустым пересечением V (IV, элемента 7 6 Пи компоненты связности К пересечения Еи Г\Еу найдется элемент ¿(7, К) Е Т, при всех V Е К удовлетворяющий равенству

7ги{у,у) = тгу(у,у)^(у,К). (5)

Сформулированное в этом определении условие необходимо и достаточно для существования на пространстве Е рассматриваемого ло-

кально тривиального расслоения р = п о д С-связностей, то есть Т-связностей, инвариантных относительно всех локальных действий ж и : Еи X П —> Еи, Ьт е Ы, группы П.

Последнее равносильно существованию на Е метрик Калуцы-Клей-на, каковыми мы называем псевдоримановы метрики, невырожденные на слоях расслоения р : Е В и инвариантные относительно действия группы Т и всех локальных действий группы П. Именно такие метрики используются в теореме редукции в качестве метрики Рейнхарта д риманова слоения Т. По этой причине значительная часть диссертации посвящена исследованию римановых и лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна.

При рассмотрении римановых многообразий Калуцы-Клейна основное внимание уделяется изучению секционных кривизн и влиянию их знакоопределенности на топологические инварианты соответствующих почти главных расслоений. Для лоренцевых многообразий Калуцы-Клейна исследуется причинная структура. В частности, решается вопрос об условиях их глобальной гиперболичности.

2. Краткий библиографический обзор.

В случае, когда F — 0, и = const и метрика h положительно определена, двухконцевая задача для системы Г = (В, h, F, и) решается теоремами Гильберта [Нов 1, с. 166; Янг, с. 188] и Хопфа-Ринова [ХоРи; Г-К-М, с. 184]. В теории Морса [Морс 1; Мил, с.78-110] установлена связь между топологией пространства соединяющих две точки путей и множеством принадлежащих этому пространству геодезических риманова многообразия. Исследование топологии пространства путей позволило Морсу [Зе-Тр, с.91-94] и Серру [Серр] получить условия существования бесконечного множества соединяющих две точки геодезических. Интересное уточнение этих результатов получено в работе Шварца [Шв].

При F = 0 и и ф const для решения двухконцевой задачи используется принцип наименьшего действия Мопертюи [Арн, с.211-214; Ко 1]. Для систем с ограниченной сверху потенциальной энергией этим задача полностью решается. Случай неограниченной функции и сложнее. Интересные результаты о существовании либрационных движений в

этой ситуации получены Козловым и Болотиным [Ко 1 - Ко 3; Бол 1; Бол-Ко].

В работах Гликлиха [Гл 1 - Гл 3] доказаны теоремы существования решений двухточечной краевой задачи для механических систем с ограниченными силовыми полями при несопряженности концевых точек хотя бы на одной соединяющей их геодезической.

Для гироскопических систем классического типа с точной формой F существование движений, соединяющих несопряженные точки, доказано автором настоящей работы в [Як 1]. Этот результат был обобщен в соавторстве с Шапиро и Игошиным на случай, когда форма F пропорциональна форме с целочисленными интегралами по всем двумерным циклам конфигурационного многообразия В [И-Ш-Я]. Аналог теоремы Гликлиха для произвольных гироскопических систем классического типа получен в [Як 2]. Мы отмечаем эти результаты в данном разделе, поскольку они не включены в диссертацию.

Для свободных систем релятивистского типа (F = 0, и = const) условия существования решений двухконцевой задачи получены Аве-зом [Аве] и Зейфертом [Зе 2] (см. также [Бим-Эр, с. 130]).

Используемые в диссертации многозначные функционалы построены впервые в работе Новикова и Шмельцера [Нов-Шм]. В [Нов-Шм] и ряде других работ Новикова [Нов 2 - Нов 4; Нов-Т] построены содержательные (с точки зрения физики) примеры гироскопических систем с многозначным действием, разработан аналог теории Морса для многозначных функционалов и рассмотрены его приложения к периодической задаче. Полное обоснование с помощью теории Морса-Новикова существования несамопересекающихся замкнутых экстремалей многозначных или не всюду положительных функционалов оказалось весьма сложной задачей. Для ряда важных случаев эта проблема решена Таймановым [Нов-Т; Т 1 - Т 4].

Идея моделирования движений механических систем геодезическими римановых многообразий восходит к концепции Герца бессиловой механики [Ге]. При ее реализации обычно используется метод Рауса понижения порядка в механических системах с симметрией.

Из результатов Харламова [Хар 1 - Хар 3] следует, что инвариантная относительно действия структурной группы риманова метрика д на пространстве главного Т-расслоения р : Е В и 1-форма 9 на алгебре Ли группы Т порождают на базе гироскопическую систему Г = (B,h, F,u). При этом геодезические риманова многообразия

(.Е,д), на которых интеграл момента принимает значение в, проектируются на траектории системы Г. Форма гироскопических сил I71 системы Г имеет вид Г = 9 о Ф, где Ф - проекция на В формы кривизны Т-связности, ортогональной слоям расслоения р : Е —>• В. Согласно [Коб 1] интегралы от формы Ф по двумерным циклам многообразия В представляют собой наборы целых чисел.

С другой стороны, каждой гироскопической системе Г = (В, /г, Е,и) с формой удовлетворяющей сформулированным условиям, соответствуют главное Т-расслоение р : Е В и порождающая указанную систему Г-инвариантная риманова метрика д на Е. Этот факт установлен в работах [И-Ш-Я; Ш-И-Я; Бол 2]. Локально аналогичный вопрос рассматривался в [Жур].

С идейной точки зрения к обсуждаемым конструкциям близок метод проектирования, разработанный Олыпанецким и Переломовым [Ол-Пе 1 - Ол-Пе 3]. Ими рассматривались гамильтоновы системы и задача явного интегрирования уравнений движения. При этом во многих случаях в качестве моделирующих использовались свободные системы, соответствующие геодезическим потокам [Пе, с.44-48,134-137].

С геодезическим моделированием связаны работы Петрова [Пет 1, Пет 2], Сингатуллина [Син], Аминовой [Ам 1].

Главные расслоения и инвариантные относительно действия структурной группы лоренцевы метрики используются физиками для построения различных единых теорий поля. Впервые попытка такого построения была предпринята Калуцой и Клейном [Ка; Кл 1; Кл 2; Пау, с.309-314]. В их работах рассматривались расслоения с четырехмерной базой и одномерной структурной группой. Однако теориями типа Калуцы-Клейна принято называть и гораздо более общие современные теории [Кон-По; Вв].

Главные расслоения с одномерными структурными группами исследованы Кобаяси [Коб 1]. Несколько раньше Кодаирой и Спенсером изучались ассоциированные с главными II (1 )-расслоениями расслоения на комплексные прямые над компактными келеровыми многообразиями [Код-Сп].

Главное или почти главное расслоение р : Е —> В с заданной на Е метрикой Калуцы-Клейна является римановой субмерсией. Исследованию римановых субмерсий посвящено множество работ. Среди них отметим работы Хермана [Херм 2], Нагано [На], О'Нейла [О'Не 1; О'Не 2] и Грея [Грей 1]. В частности, в [О'Не 1] и [Грей 1] изучались

кривизны тотального пространства римановой субмерсии. Бишопом и О'Нейлом [Би-О'Не] исследованы кривизны скрещенных произведений римановых многообразий.

В ряду известных результатов по проблеме влияния знакоопределенности кривизны на топологию полного риманова многообразия отметим классическую теорему Гаусса-Бонне и ее обобщения, полученные Кон-Фоссеном [Кон-Фо], Аллендорфером и Вейлем [Ал-Ве], а также Чженем [Чж 2]. Близка к ним теорема Чженя-Милнора [Чж; Бесс 2, с Л 67] о характеристике Эйлера четырехмерного компактного риманова многообрази�