Регуляризация и перенормировка давления Казимира тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Воронина Юлия Сергеевна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА ДАВЛЕНИЯ КАЗИМИРА

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

14 ПОЯ 2013 005538438

Москва - 2013

005538438

Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Силаев Петр Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор кафедры математики физического факультета МГУ Боголюбов Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна) Пироженко Ирина Георгиевна

Ведущая организация: Государственный научный центр

Российской Федерации Институт физики высоких энергий (г. Протвино)

Защита диссертации состоится 5 декабря 2013 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «££» силги^^х

в фундаментальной библиотеке МГУ 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор

Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эффект притяжения двух бесконечных плоскопараллельных идеально проводящих пластин в вакууме был предсказан X. Казимиром еще в 1948 году. Этот эффект получил объяснение в рамках концепции квантового вакуума: определение квантовой системы в ограниченных областях или в топологически нетривиальных пространствах приводит к искажению спектра вакуумных колебаний. Впоследствии явления подобного типа были рассмотрены для разнообразных геометрий и топологий в случае полей с различными спинами. Оказалось, что эффект Казимира находит приложения во многих областях физики от гравитации и космологии до физики элементарных частиц.

Главным образом силы Казимира проявляются на расстояниях порядка нескольких десятков нанометров между объектами и, следовательно, играют очень важную роль при изготовлении и эксплуатации различных микро-и наносистем. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования казимировского взаимодействия между телами с различной геометрией и структурой показали, что в основном эти силы носят характер притяжения. Кроме того, дополнительное притяжение обеспечивают силы межмолекулярного взаимодействия. В результате возможны различные нарушения в функционировании наносистем, вызванные «слипанием» подвижных компонентов или затруднением их движения вследствие статического трения. Однако, как оказалось, силы Казимира существенно зависят от геометрической формы взаимодействующих тел, а также структуры материала, из которого они изготовлены. Как показали расчеты, в некоторых случаях соответствующие модификации могут приводить не только к ослаблению силы Казимира, но и к изменению ее характера с притяжения на отталкивание. Впоследствии этот теоретический факт получил экспериментальное подтверждение. Таким образом, можно надеяться изготовить системы со специальной конфигурацией, необходимой для достижения равновесия между притягивающими и отталкивающими вкладами в результирующую силу. Эти обстоятельства повышают интерес к теоретическому изучению задач казимировского типа.

При исследовании эффекта Казимира возникает ряд проблем до сих пор не получивших удовлетворительного решения. Первый тип проблем связан с перенормировкой физических величин для уединенных тел, имеющих границу с ненулевой кривизной. Как известно, основным источником расходимо-стей после устраненения вклада пространства Минковского являются поверхностные особенности, которые в общем случае являются неинтегрируемыми. Существующие подходы к устранению этих расходимостей достаточно ограничены.

Второй тип проблем связан с непосредственным вычислением конкретных данных, что представляет собой отдельную математическую проблему, разрешить которую точно удается только для весьма узкого класса систем. В остальных случаях приходится применять различные приближенные методы. К настоящему моменту разработано несколько схем. С одной стороны среди них можно выделить подходы, которые, как правило, довольно просты в технической реализации, однако имеют низкую точность. С другой стороны существуют методы, позволяющие добиться значительной точности, но при этом требующие существенных затрат вычислительных ресурсов. Например, в случае метода граничных элементов, широко применяемого в задачах казими-ровской тематики, для достижения высокой точности приходится использовать достаточно мелкие элементы, что приводит к необходимости составлять и решать систему линейных уравнений значительных размеров.

Цели и задачи диссертационной работы.

Цели диссертации:

1. Разработка схемы перенормировки граничного давления Казимира, позволяющей установить зависимость давления от параметров области определения ПОЛЯ.

2. Развитие новых методов вычисления функции Грина и ее производных, необходимых для вычисления давления Казимира.

В работе решались следующие задачи:

1. Вычисление перенормированного давления Казимира для скалярного поля на отрезке, в том числе и при наличии внешнего потенциала, в случае наложенных граничных условий общего типа. Обоснование выбранного способа перенормировки в отсутствие внешнего поля.

2. Разработка метода построения поверхностной функции Грина в виде ряда Борновского типа. Исследование вопроса сходимости этого ряда.

3. Разработка схемы приближенного вычисления функции Грина и ее производных на основе метода граничных элементов, позволяющей повысить вычислительную эффективность этого подхода.

4. Применение этих методов для поиска перенормированного давления Казимира в случае некоторых частных двумерных задач для скалярного поля.

5. Рассмотрение электромагнитного эффекта Казимира на примере задачи о реечной передаче. Вычисление нормальной и тангенциальной составляющей силы казимировского взаимодействия в рамках задачи. Исследование зависимости этих сил от формы реек.

Научная новизна работы. В настоящей работе предложена схема перенормировки давления с помощью модифицированных областей, позволяющая получить зависимость этой величины от параметров основной области, причем эта зависимость в принципе может быть проверена экспериментально. Для ряда задач при определенном выборе вспомогательной области перенормированное давление можно отождествить с физическим. Показано, что асимптотика перенормированного таким образом давления находится в полном соответствии с естественным физическим требованием экспоненциального убывания при неограниченном увеличении массы поля. Также разработаны два новых метода вычисления функции Грина и ее производных.

Практическая значимость работы. Предложенные схемы приближенного вычисления функции Грина и ее производных для задач казимировского типа

могут использоваться и для полей с различными спинами, в том числе и для систем, определенных в областях сложной формы с различными граничными условиями. Рассмотренная в диссертации реечная передача может представлять интерес в связи с разработкой различных микромеханических устройств.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях в реферируемых журналах, а также в 3 тезисах докладов на международных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2009» (МГУ, Москва, 2009) и «Ломоносов 2010» (МГУ, Москва, 2010), на «Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц» (МГУ, Москва, 2009), а также на семинаре ОТФВЭ НИИЯФ МГУ в 2012 г.

Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно. Также автор принимала непосредственное участие и в постановке задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (216 наименований), 3 таблиц и 27 рисунков. Изложена на 177 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении произволен краткий обзор научных статей по теме диссертации. Сформулирована цель работы и обсуждается актуальность рассматриваемых задач.

В первой главе исследуется регуляризация и перенормировка граничного давления Казимира для скалярного поля на интервале [а, Ь]. Вычисление давления в точке а производится с помощью функции Грина соответствующей

краевой задачи

G"(x, у) - (/с2 + Vext(x)) G(x, у) = 5(х - у), (1)

cos ад(а) + sin ад'(а) = О,

cos/Зд(Ь) + sin ¡3g'(b) = О,

а регуляризация осуществляется раздвижением аргументов этой функции (далее всюду используется «естественная» система единиц 7г = с = 1)

ГШ

kcLK

х=у—е=а

При отсутствии в задаче внешнего поля Vext в качестве точки нормировки можно принять давление на левой границе х = а при условии, что вторая стенка удалена на бесконечность

ртеп(а\ Ъ) = lim lim Ыа; Ъ) - ре(а; Ь')). (2)

е-+0 ¡>'->оо

Выбор условия нормировки в виде (2) можно обосновать тем, что уединенная стенка не должна испытывать давления со стороны квантового поля, поскольку такая система инвариантна относительно сдвига этой стенки. Для граничных условий общего типа перенормированное с помощью (2) давление в случае yext _ о будет определяться выражением

00

, K2d,K

ргеп/

у/к-m

где

2/i(/3)e_K(6_a'

h{a)e«b-a) - h{ß)e-«b-^

, COS и — At Sin I

m =

COS в + К sin в

При наличии внешнего поля для уединенной стенки упомянутой выше трансляционной инвариантности, вообще говоря, уже нет, так что вопрос об окончательной перенормировке остается открытым. Тем не менее способ (2) позволяет получить зависимость давления на левой границе от расположения правой. Но такой результат также представляет интерес, поскольку в реальных экспериментах измеряется именно зависимость той или иной физической величины от параметров области определения поля.

Также внешний потенциал усложняет задачу для функции Грина (1). Если поиск точного ее решения оказывается затруднительным, можно применять различные приближенные методы. В главе 1 исследовалась возможность построения функции Грина для одномерного случая с помощью Борновского ряда.

Вторая глава посвящена исследованию перенормировки давления Казимира на границе области при использовании вспомогательных областей. Перенормировка рассматривается на примере скалярного поля, определенного в двумерной области Б с гладкой границей Г, на которой наложены однородные граничные условия Дирихле. Давление в граничной точке £ в многомерном случае выражается через соответствующую функцию Грина следующим образом

оо

=±-( -гф=2 [-2 (п • У*)(п ■ Уу) + (V, • Чу) + к2] С(х, у)

¿п 7 УК — т х=у=£

(3)

где п - внешняя нормаль к поверхности Г в точке При решении многомерных задач возникают дополнительные трудности. Во-первых, в отличие от одномерных систем, функция Грина и ее производные сингулярны. А во-вторых, для многомерных систем возникает проблема поверхностных расходимостей, связанных с ненулевой кривизной границ. В результате задача регуляризации и перенормировки сводится не только к выделению расходящейся части в соответствующем интеграле по к, как в одномерном случае, но и к разделению функции Грина и ее производных на регулярные и сингулярные части. Такое разбиение, разумеется, не является однозначным, и неопределенность снимается после выбора конкретного способа пренормировки.

В главе 2 произведено обобщение одномерного способа перенормировки с помощью бесконечно протяженной системы на случай многомерных задач. В качестве точки нормировки для давления ро{£) в точке £ на границе основной области Б предлагается выбрать давление на границе вспо-

могательной области Б', причем радиусы кривизны границ областей Б и Б' в точке £ должны совпадать. Последнее требование позволяет устранить поверхностную расходимость, в результате чего разность рд(£) - /Ло'(£) оказывается

конечной.

В общем случае такая перенормировочная схема определяет давление, совпадающее с физическим только с точностью до конечного выражения, зависящего от параметров вспомогательной системы. Использование различных вспомогательных областей приведет, вообще говоря, к отличающимся значениям конечного давления. Тем не менее такой способ перенормировки позволяет получить зависимость физического давления от геометрических характеристик основной области, причем в некоторых случаях конкретный выбор вспомогательной области отвечает определенной экспериментальной схеме.

Вспомогательную систему предпочтительнее выбирать таким образом, чтобы область ее определения неограниченно увеличивалась по всем пространственным направлениям, поскольку в противном случае, остается ненулевая плотность энергии, связанная с конечным расстоянием между границами этой вспомогательной системы.

Далее предложенная схема применяется при вычислении значений перенормированного давления для семейства областей, полученных из круга радиуса г = 1 и содержащих его в качестве предельного случая. Первое семейство представляет собой области далее называемые «овалами», полученные при раздвижении двух полукругов на расстояние Ь. Перенормировка при этом производится при использовании «овала» О]^ с бесконечной стороной Ь -> оо. Второе семейство областей П2Ь, называемых «квадратами», получается после раздвижения всех четвертей круга на расстояние Ь от центра, а вспомогательная область для этого случая соответствует бесконечному «квадрату» В силу наложенных граничные условия Дирихле, давление (3) выражается через поверхностную функцию Грина Б(х,у) = (п,ЧуС(х,у))\уеГ. Решение для нее было построено в виде разложения по собственным функциям оператора Лапласа для соответствующих областей, образующих «овал». Такое разложение позволяет вычислять значения искомой функции с наперед задаваемой точностью. С помощью найденной поверхностной функции Грина было вычислено перенормированное давление для «овала». С истинным физическим давлением полученный результат совпадает только с точностью до конечного выражения, зависящего от радиуса круга г, что является следстви-

ем конечности расстояния между параллельными стенками вспомогательного «овала» Однако разность перенормированных давлений для различных значений Ь является наблюдаемой величиной.

Предлагаемая процедура перенормировки может быть применена и к более реалистичным трехмерным системам, в том числе и в случае полей с ненулевыми спинами. В частности такая схема может позволить решить проблему диэлектрического шара, и при этом в отличие от традиционных подходов без наложения специальных условий на электрические и магнитные проницаемости шара и внешней среды. Получаемые в результате такой процедуры данные представляют собой лишь зависимость давления от геометрических параметров основной системы, но именно подобная зависимость и исследуется в реальных экспериментах.

В третьей главе предлагается способ построения функции Грина и ее производных с помощью ряда борновского типа. Решение для функции и(х), заданной на границе Г и удовлетворяющей однородному уравнению Гельм-гольца внутри области определения, можно записать с помощью соответствующей поверхностной функции Грина Б(х, г)

В рамках предлагаемого метода поверхностная функция Грина представляется в виде суммы регулярной и сингулярной частей, которые во внутренних точках области определения являются решениями однородного уравнения Гельмголь-ца, а на границе удовлетворяют условию

где ¿г - ¿-функция, сосредоточенная на поверхности Г, т.е.

§ 5г{х - г)/(г)с11г = /(ж) для произвольной функции /(ж). Выделение г

сингулярной части содержит определенный произвол. При этом после конкретного выбора этой функции значения регулярной части на границе области оказываются заданными соотношением (5).

С помощью формулы Грина (4) для регулярной части можно за-

писать интегральное уравнение, решение которого методом последовательных

(4)

г

5(г)(ж, г) = ¿г(х - г) - 5(5)(х, г), х е Г

(5)

приближений, позволяет получить представление этой функции в виде ряда борновскош типа

оо

= (6)

771=1

где

Г г ^

то

(7)

Оценка га-го слагаемого в (6) показывает, что параметром, определяющим скорость сходимости ряда, является

г

Л,.

Причем ряд сходится при условии Л < 1. Предлагаемый метод позволяет выделять различными способами сингулярную часть поверхностной функции Грина, влияя тем самым на величину Л, и, следовательно, на скорость сходимости ряда (6)-(7). Оптимальный выбор сингулярной части будет реализован в том случае, если вблизи границы наибольший вклад в поверхностную функцию Грина дает именно сингулярная часть. Тогда в представлении (6)-(7) для регулярной части можно ограничиться несколькими первыми членами ряда.

В качестве и(х) в (4) можно выбрать в том числе и различные регулярные части самой функции Грина и ее производных при фиксированном значении г = необходимые для вычисления регуляризованного давления Казимира в точке £ € Г в общем случае.

В настоящей работе были рассмотрены два различных способа выделения сингулярной части. В первом варианте она была выбрана в виде

(8)

гєГ

совпадающем с точной поверхностной функцией Грина для плоской границы. При таком выборе сингулярной части ряд (6)-(7) для функции Грина идентичен ряду, построенному в рамках метода «разложения по числу рассеяний». При альтернативном выделении сингулярная часть строилась таким образом, чтобы соответствующая регулярная часть б'^Цж, г) = Б(х, г) - Б^іх, г) в точке

ж = 2бГ обращалась в нуль. Тем самым в нулевом приближении была учтена кривизна границы в точке г, в отличие от тривиального варианта (8).

Для обоих вариантов был произведен анализ эффективности предлагаемого метода на примере тестовых задач в круге и «овале», для которых ранее уже были получены ответы с наперед задаваемой точностью. Расчеты производились в первых трех порядках борновского приближения для каждой из двух сингулярных частей. Выяснилось, что альтернативный ряд, полученный при использовании Бпе-ш, в каждом порядке обеспечивает лучшее согласование с точными данными для различных Ь. Кроме того, оказалось, что величина параметра Л сильно зависит от геометрии рассматриваемой области. При этом с ростом параметра Ь скорость сходимости ряда при «разложении по числу рассеяний» уменьшается настолько, что для получения удовлетворительной точности решения необходимо применять старшие порядки разложения, но при этом существенно возрастает вычислительная сложность задачи. Для «квадрата» с большим значением Ь метод «разложения по числу рассеяний» также оказывается малоэффективным. В свою очередь альтернативный борновский ряд оказывается достаточно результативным для всех рассмотренных значений Ь.

Далее предлагаемый метод применялся для получения перенормированного давления на границе «овала» и «квадрата». Поскольку при выбранном способе перенормировки необходимо вычисление регулярной части поверхностной функции Грина для вспомогательных областей с Ь —> оо, то найти перенормированное давление с помощью метода «разложение по числу рассеяний» затруднительно. Искомые значения рассматриваемой физической величины были получены с помощью альтернативного борновского ряда в третьем порядке разложения.

Для общего предельного случая Ь —> 0 для обоих семейств областей (круга) зависимость перенормированного давления от массы приведена на Рис. 1. Разумеется, использование различных вспомогательных областей приводит к отличающимся абсолютным значениям для круга, что обусловлено конечным расстоянием между вертикальными стенками «овала». Однако, предложенный метод перенормировки позволяет получить зависимость давления для

0.0008 0.0006

т'р""

0.0004 0.0002

0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1.5 2

тпг шг

(а) (Ь)

Рис. 1: Давление на границе круга, перенормированное с помощью бесконечных «овала» (а) и «квадрата» (Ь).

этих семейств областей от величины Ь, причем эта зависимость наблюдаема. Отметим также, что результаты для перенормированного давления находятся в полном соответствии с естественным физическим требованием экспоненциального убывания этой физической величины с ростом тпг при фиксированном значении Ь.

Перечислим основные преимущества метода. Во-первых, данный подход дает решение в явной аналитической форме, что упрощает анализ найденного ответа. Например, с помощью борновского ряда несложно показать, что при выбранном способе перенормировки давление и для овала и для квадрата экспоненциально убывает с ростом тпг. Во-вторых, выделяя различными способами сингулярную часть, можно добиться повышения эффективности метода. В частности, использовавшийся в работе конкретный выбор альтернативной сингулярной части не является единственно возможным, и скорость сходимости борновского ряда, в принципе, может быть увеличена. В-третьих, метод позволяет совершать оценку искомого решения при применении уже первого порядка альтернативного ряда. В-четвертых, вычисление повторных интегралов в рамках данного подхода технически представляет более простую задачу, чем, например, составление и решение системы линейных уравнений достаточно больших размеров при использовании других методов.

Таким образом, предложенный подход к построению решения в виде ряда борновского типа позволяет значительно повысить точность ответа по сравнению с «разложением по числу рассеяний», ограничиваясь при этом лишь младшими порядками разложения.

В главе 4 предлагается метод приближенного вычисления функции Грина и ее производных, основанный на методе граничных элементов и позволяющий сократить размеры получаемой системы линейных уравнений с сохранением требуемой точности решения. Это приводит к уменьшению затрат вычислительных ресурсов для решения задачи.

Регулярная часть ищется в виде потенциала простого слоя

где Г - граница рассматриваемой области, Со (ж, у) - свободная функция Грина уравнения Гельмгольца, а р(г, у) - ограниченная непрерывная функция плотности, подлежащая определению. После явного выделения сингулярной части, граничные значения регулярной известны и определяются условием (5), то есть для а; € Г равенство (9) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно неизвестной функции р. Согласно основной идее метода граничных элементов замкнутая кривая Г разбивается на N достаточно малых элементов точками (узлами) гп, п = 0... А7', гм = г0 = у.

Для задания функции плотности р(г, у) на элементе вместо

традиционных сплайнов в настоящей работе предлагается использовать интерполяцию по значениям рк = р(гк, у) этой функции в узловых точках гк, к = п,... ,п + 2г + 1, 0 < п < N-21- 1. Как показали расчеты, для требуемой точности решения разумный баланс между общим количеством узлов и затрачиваемом на задачу временем достигается при использовании полиномиальной интерполяции по четырем точкам. В результате регулярная часть представима в форме

Здесь для суммарного коэффициента при рп, являющегося полиномом третьего порядка, введено обозначение Шп(г, у) , а А1п~ соответствующий участок кривой Г, состоящий из одного или нескольких примыкающих друг к другу элементов. При получении формулы (10) учитывалось, что полиномы Лагран-жа линейно зависят от узловых значений интерполируемой функции.

г

N-1

(10)

Записывая равенство (10) для узловых точек хп = гп - апгп, где пгп -нормаль к границе Г в точке гп, а -» 0, можно получить систему N линейных уравнений относительно рп. Найденные в результате решения этой системы значения рп позволяют вычислять регулярную часть (10) в любой точке х е -О.

Кроме того, повышения вычислительной эффективности метода можно добиться, если при составлении системы линейных уравнений записать граничные условия не только в узловых точках х„, но и в дополнительных точках внутри элементов. Полученная таким образом система уравнений оказывается переопределенной и ее решения могут быть найдены в результате минимизации соответствующей невязки. Такая модификация позволяет сократить время счета в 1.5 — 2 раза.

Для оценки точности метода поверхностных зарядов в главе 4 рассмотрена решаемая точно задача поиска распределения плотности р как функции взаимного расположения точек г и у на границе круга радиуса г. Вычисления показывают, что, во-первых, найденное с помощью описываемого метода распределение зарядов является гладким даже без введения регуляризующих функционалов, а, во-вторых, при сравнение точного ответа с приближенным видно, что метод дает 8-10 верных знаков в зависимости от степени удаленности точки г; от у. С помощью предложенного метода также вычислено перенормированное давление для «овала» и «квадрата». Результаты для «овала» совпадают с полученными в главе 2 результатами с точностью 6-8 знаков.

Также обсуждаемый вычислительный алгоритм применялся к расчету силы казимировского взаимодействия между двумя разделенными телами. При этом был использован подход, предложенный впервые в работе Дзялошинскго, Лифшица, Питаевского для вычисления ван-дер-ваальсовых сил между макроскопическими телами. В рамках этого подхода сила взаимодействия вычисляется как поток импульса квантовой системы через произвольную замкнутую поверхность £, охватывающую одно из двух тел

Г = (И)

Здесь ¿а - элемент поверхности п - нормаль к этой поверхности в точке Т'7 - пространственные компоненты тензора энергии-импульса. При этом

предполагается, что поверхность Е не имеет общих точек с этими телами. Перенормировка в этом случае тривиальна и сводится к нормировке функции Грина соответствующей краевой задачи на свободную функцию Грина.

С помощью описанного выше подхода произведено исследование зависимости силы Казимира, действующей на цилиндрический стержень бесконечной длины, помещенный внутрь цилиндрической ямы, от расстояния Н между дном ямы и нижним торцом стержня. Задача рассматривалась для скалярного поля, удовлетворяющего нулевым граничным условиям, в двумерном и трехмерном случаях. На Рис. 2 приведены результаты для следующих геометрических характеристик систем: радиус дна ямы о = 1. ее глубина dJ = 4:rJ, радиус основания цилиндра гс = 0.75г./.

(а) (Ь)

Рис. 2: Зависимость от h/rJ силы Казимира, действующей на размещенный в яме стержень, в двумерном (а) и трехмерном случаях (Ь). Штриховая линия отвечает энергетической оценке для предельного случая с!^ — Л —> оо, Л оо.

Согласно полученным данным сила носит характер притяжения. Кроме того существует диапазон расстояний между взаимодействующими объектами, в пределах которого она сохраняет почти постоянное значение (Рис. 2). Очевидно, эта картина соответствует предельному случаю бесконечно глубокой ямы, в которую помещен стержень на бесконечном расстоянии от ее дна. Для силы, соответствующей этому предельному случаю, была произведена энергетическая оценка в пренебрежении краевыми эффектами, которая хорошо согласуется с полученными данными при решении задачи без упрощающих предположений. Это означает, что для таких расстояний между рассматриваемыми телами краевые эффекты незначительны. С увеличением расстояния сила резко убывает практически до нуля, что соответствует извлеченному из

ямы стержню.

Кроме того были вычислены нормальная и тангенциальная составляющие силы для двух идеально проводящих компонент реечной передачи в случае электромагнитного эффекта Казимира. Расчеты выполнялись для нескольких вариантов профиля реек. При этом изменения формы реек производились в достаточно малой окрестности ребер гребенки, так что «глобальные» геометрические свойства системы были сохранены. В настоящей работе рассматривались следующие геометрии - прямоугольная гребенка, ее сглаженный вариант (все прямые углы были заменены участками цилиндра соответствующего радиуса), и случай плоского среза (все углы 7г/2 исходной прямоугольной гребенки заменялись парами углов Зтг/4). Для контроля точности используемого метода для рассматриваемой задачи, во-первых, проверялось согласие найденного решения в предельном случае плоскопараллельных пластин с точным ответом, а во-вторых, отслеживалось изменение ответа при увеличении плотности узловых точек.

1.3 ю-1

1.2 Ю-1

1.1 кг1

и-ь"

1.0-10"*

0.9 ■ Ю-'

0.8 ■ 10"1

Рис. 3: Зависимость плотности нормальной (а) и тангенциальной (Ь) компонент силы от смещения я. Прямоугольный случай - сплошная линия, плоский срез - штриховая линия, сглаженный случай - пунктирная линия.

Представленные на Рис. 3 результаты отвечают следующим геометрическим характеристикам системы: ширина и расстояние между выступами каждой рейки Ь, высота выступа /г = 6/2, расстояние между вершинами выступов 6=1. Как показали расчеты, результирующая тангенциальная сила существенно зависит от формы реек. Даже небольшие изменения профиля взаимодействующих реек приводят к значительным изменениям тангенциальной компо-

/

4

0 0.4 0.8 1 2 1-6 2

г/Ь

а/Ь

(Ь)

ненты (Рис. 3(Ь)). Например, при касательном смещении реек в четверть периода относительно их симметричного расположения для сглаженной геометрии происходит ослабление тангенциальной силы почти на порядок по сравнению с прямоугольным случаем, даже при малом значении радиуса кривизны ребра. При этом нормальная составляющая силы при таких незначительных модификациях формы реек остается почти неизменной (Рис. 3(а)).

На примере рассмотренных в данной главе задач было установлено, что предлагаемый метод существенно снижает требуемое для расчетов машинное время.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Обсуждается практическая ценность рассмотренных в работе задач, приводятся возможные области применимости разработанных методов.

Заключение

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложен способ перенормировки граничного давления Казимира с помощью вспомогательных областей. Показано, что перенормированное таким образом давление имеет разумную с физической точки зрения асимптотику при увеличении массы поля.

2. Построено решение для функции Грина в виде ряда борновского типа. Исследована сходимость этого ряда и установлен параметр, характеризующий скорость сходимости. Такой подход дает возможность получить решение задачи с удовлетворительной точностью при задействовании минимального количества вычислительных ресурсов.

3. Разработана схема численного расчета функции Грина, представляющая собой модификацию метода граничных элементов. Предложенные модификации позволяют снизить размеры получаемой в итоге системы линейных уравнений с сохранением желаемой точности решения.

4. Исследована зависимость нормальной и тангенциальной силы Казимира от геометрии взаимодействующих поверхностей в задаче о реечной

передаче для различных значений касательного смещения реек. Показано, что даже незначительные изменения формы взаимодействующих пластин приводят к существенным отличиям тангенциальной силы.

Публикации

1. Воронина Ю.С., Силаев П.К. Связь давления и энергии Казимира в одномерных полевых моделях. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2009, №1, с. 37-41

2. Воронина Ю.С., Силаев П.К. Регуляризация давления Казимира в двумерных полевых моделях. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2009, №3, с. 14-18

3. Воронина Ю.С., Силаев П.К. Перенормировка давления Казимира методом эффективных поверхностных зарядов. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., 2010, №5, с. 19-25

4. Voronina Yu., Silaev P. On the shape dependence of the tangential Casimir force. // Письма в ЭЧАЯ, 2013, т. 10, №6, с. 874-880.

5. Воронина Ю.С. Регуляризация давления Казимира в двумерной модели скалярного поля. // «Ломоносов-2009», секция «Физика», сборник тезисов, с. 10-10

6. Voronina Yu., Silaev P. Casimir pressure regularization and renormalization in two-dimentional scalar field model. // «14tft Lomonosov conference on elementary particle physics», 2009, proceedings, p. 414-415

7. Воронина Ю.С. Нахождение регуляризованной функции Грина методом эффективных поверхностных зарядов. // «Ломоносов-2010», секция «Физика», сборник тезисов, с. 4-1-2

Подписано к печате 2В.І0.13 ТирЕгас АОО Зиаз

Отпечатано а отделе оперз-гнвной печати фкзнческога ípa-культста МГУ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра квантовой теории и физики высоких энергий

04201365264

На правах рукописи

Воронина Юлия Сергеевна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА ДАВЛЕНИЯ КАЗИМИРА

01.04.02-теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель-д.ф.м.н., профессор П.К. Силаев

Москва 2013

в

Оглавление

Введение 4

Основные схемы регуляризации энергии Казимира ..........10

1 Cutoff-регуляризация и перенормировка с помощью вычитания вакуумной энергии пространства Минковского 13

2 Размерная регуляризация и регуляризация с помощью дзета-функции........................23

3 Принцип аргумента и интегральное представление для энергии Казимира......................28

4 Регуляризация point-splitting................31

Основные схемы перенормировки энергии Казимира .........32

Численные методы вычисления энергии Казимира...........44

Структура работы.............................53

1 Эффект Казимира для скалярного поля в одномерном случае 58

1.1 Регуляризация и перенормировка давления Казимира в одномерном случае ............................58

1.2 Эффект Казимира для скалярного поля при наличии внешнего поля и произвольных граничных условий.............67

1.3 Сингулярные потенциалы......................71

1.4 Выводы................................75

2 Давление Казимира для скалярного поля в двумерном слу-

чае. Метод перенормировки 78

2.1 Основная схема перенормировки давления в двумерном случае 78

2.2 Перенормировка давления на границе «овала» и построение

для него поверхностной функции Грина..............88

2.3 Перенормировка давления на границе «квадрата»........94

2.4 Выводы................................96

3 Построение борновского ряда и его проверка для регулярной части поверхностной функции Грина 97

3.1 Схема построения функции Грина и ее производных с помощью ряда борновского типа........................97

3.2 Вычисление функции Грина для круга с помощью борновского ряда..................................103

3.3 Вычисление перенормированного давления на границе «овала»

и «квадрата».............................109

3.4 Выводы................................116

4 Функция Грина и эффективные поверхностные заряды 118

4.1 Описание метода эффективных поверхностных зарядов.....118

4.2 Вычисление перенормированного давления на границе «овала»

и «квадрата».............................125

4.3 Сила Казимира для двух изолированных тел...........128

4.4 Зависимость тангенциальной силы Казимира от деталей формы взаимодействующих тел.....................138

4.5 Выводы................................148

Заключение 149

Литература 153

Введение

Эффект Казимира [1] объясняется с помощью концепции вакуума квантованного поля: определение квантовой системы в ограниченных областях или в топологически нетривиальных пространствах приводит к искажению спектра вакуумных колебаний.

Эффект Казимира играет значительную роль во многих областях физики от гравитации и космологии до физики элементарных частиц. В рамках квантовой теории в гравитационном поле при исследовании вакуумных эффектов в пространствах с нетривиальной топологией и геометрией было установлено, что в замкнутых космологических моделях тензор энергии-импульса содержит казимировские добавки, возникающие вследствие поляризации вакуума гравитационным полем [2, 3, 4, 5]. Следует заметить, что хотя в настоящее время законченная теория квантованного гравитационного поля отсутствует, при рассмотрении процессов, происходящих на расстояниях существенно больше планковских, по-видимому, можно использовать полуклассический подход. В этом случае квантованные материальные поля, а также гравитоны в однопетлевом приближении, рассматриваются на фоне заданной классической метрики. При этом в правой части уравнения Эйнштейна фигурирует не сам ТЭИ материальных полей, а его среднее по соответствующему квантовому состоянию материи, т. е. ТЭИ является источником гравитационного поля и оказывает обратное влияние на метрику пространства-времени. Таким

образом, в соответствии с принципом эквивалентности перенормированная плотность казимировской энергии гравитирует наряду с остальными видами материи и энергии [6, 7]. Как впервые было показано в [8, 9] возможны самосогласованные модели Вселенной, которые вообще не содержат фонового вещества и полностью определяются вакуумными эффектами. Также задача казимировского типа возникает при построении сценариев ранней стадии развития Вселенной [10, 11, 12].

Еще одно приложение эффекта Казимира в квантовой теории поля относится к моделям Калуцы-Клейна [13], возникших при попытках объединения гравитации с остальными типами фундаментальных взаимодействий. В таких моделях размерность пространства-времени больше четырех, однако дополнительные измерения компактифицируются на очень малых расстояниях порядка Ю-33 см [14]. При этом спонтанную компактификацию может обеспечить учет поляризации вакуума топологического происхождения. Простейшие модели пространства с компактифицированными размерностями с топологией М4 х были изучены в [15, 16]. Впоследствии влияние эффекта Казимира рассматривалось для многих моделей с различной топологической структурой [17, 18, 19]. В настоящее время наиболее перспективной теорией, объединяющей все фундаментальные взаимодействия, является теория суперструн [20, 21], включающая в себя идею Калуцы-Клейна о многомерности пространства. Она обычно формулируется в 10-мерном пространстве М4 х К6, где К6 - шестимерное компактное многообразие. В теории струн эффект Казимира также исследуется в связи с редукцией дополнительных размерностей [22, 23].

Кроме того необходимо учитывать казимировский вклад в эффективную космологическую константу. Однако в общем случае этот вклад оказывает-

ся слишком большим, приблизительно на 120 порядков превышающим соответствующую наблюдаемую величину. Предпринималось достаточно много попыток решить эту проблему с помощью различных подходов. В некоторых моделях оказывается возможным получить казимировский вклад в эффективную константу, совпадающий по порядку величины с наблюдениями [24, 25, 26, 27]. В частности в [27] рассмотрена модель, в которой казимировский вклад имеет «правильный» порядок, но при этом радиус компактифи-кации должен быть порядка нескольких микрометров. Интересно заметить, что в [28, 29] предложены схемы низкоэнергетической компактификации с радиусом размерной редукции в диапазоне нескольких нанометров или даже микрометров.

Помимо решения задач, связанных с проявлением эффекта Казимира в космологии, множество работ было посвящено исследованию сил Казимира между макротелами. Выяснилось, что при увеличении расстояния между взаимодействующими объектами сила Казимира монотонно убывает. Поэтому на больших расстояниях (сотни нанометров) наблюдать ее затруднительно. Однако и на совсем малых расстояниях (не более нескольких нанометров), где сила Казимира сравнительно велика, она маскируется силами межмолекулярного взаимодействия, которые на этих масштабах по абсолютной величине значительно превышают казимировский вклад. Главным образом силы Казимира проявляются в промежуточной области расстояний (порядка нескольких десятков нанометров) [30, 31] и, следовательно, играет очень важную роль при изготовлении и эксплуатации различных микро- и наносистем. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования сил Казимира, действующих между телами с различной геометрией и структурой, показали, что в основном они носят характер притяжения. В результате возможны

различные нарушения в функционировании наносистем, вызванные «слипанием» подвижных компонентов или затруднением их движения вследствие статического трения. Однако, как оказалось, силы Казимира существенно зависят от геометрической формы взаимодействующих тел, а также структуры материала, из которого они изготовлены. Например, сила, действующая между двумя полупространствами с диэлектрическими проницаемостями 61 и 62, разделенными диэлекрической пластиной конечной ширины с проницаемостью бо, оказывается силой отталкивания, при условии е\ < бо < 62 или 62 < бо < 61 [32, 33]. Подобрать на практике материалы систем с такими характеристиками оказывается непросто, но возможно. В [34] экспериментально наблюдалась отталкивающая сила Казимира между золотой сферой и кварцевой пластиной, помещенными в жидкий бромбензол. При этом, если заменить кварцевую пластину на золотую [34, 35, 36], сила Казимира вновь становится притягивающей, однако по абсолютному значению много меньше силы для этих же взаимодействующих элементов в вакууме. Полученные в экспериментах результаты находятся в хорошем согласии с теорией Лифши-ца, Дзялошинского и Питаевского [37]. Уменьшение притяжения наблюдается также и при определенном выборе формы взаимодействующих объектов. Например, согласно экспериментальным данным [38, 39] сила между золотой сферой и кремниевой пластиной уменьшается, если на поверхность пластины нанести систему достаточно глубоких параллельных равноотстоящих друг от друга канавок прямоугольной формы. Причем величина силы меняется в зависимости от периода решетки. Таким образом, можно надеяться изготовить системы со специальной конфигурацией, необходимой для достижения равновесия между притягивающими и отталкивающими вкладами в результирующую силу [40, 41, 42, 43, 44]. Кроме того силы Казимира могут играть

и положительную роль в наносистемах. В [45, 46, 47, 48, 49] рассматривались микромеханические устройства, управляемые силами Казимира.

Особый интерес представляет задачи со сферической геометрией. Это обусловлено несколькими причинами. Основываясь на результате для плоскопараллельных пластин и предполагая, что для сферы сила также будет иметь характер притяжения, Казимир надеялся обосновать стабильность электрона в рамках полу классической модели, в которой заряженные частицы представляются в виде проводящей сферической оболочки, на которой распределен соответствующий полный заряд [50]. Если бы кулоновское отталкивание компенсировалось притяжением, связанным с нулевыми колебаниями вакуума, то условие равновесия

2 а а

позволило бы вычислить значение постоянной тонкой структуры е2 = а = 2г, где г - константа, характеризующая энергию Казимира. Однако, как было показано в [51], сила для проводящей сферы есть сила отталкивания, а не притяжения. В дальнейшем результат, полученный в этой работе, был уточнен в [52] и энергия оказалась равной (далее всюду применяется «естественная» система единиц Н = с — 1)

ч 0.09235

ад = —• (1)

Также эффект Казимира для сферы интересен в связи с моделями адрон-ного мешка. В рамках этой модели адрон представляет собой совокупность кварковых и глюонных полей, заключенных в конечной замкнутой области, размеры которой достаточно малы, чтобы в соответствии со свойством асимптотической свободы пренебречь межкварковым взаимодействием [53, 54, 55]. На поверхности области налагаются условия конфайнмента, обеспечивающие невылет цвета за пределы мешка. Из описания модели следует, что при вы-

числении характеристик мешка, например, энергии, необходимо учитывать эффект Казимира. В простейшем случае мешок моделируют в виде статической сферы. Расчеты для различных моделей мешков, например, МТИ-мешков [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62], киральных моделей [55, 63, 64, 65], показали, что казимировская составляющая энергии адрона содержит расходимости и, значит, нуждается в перенормировочной процедуре. Проблема заключается в том, что не существует однозначного способа зафиксировать точку нормировки и разные способы перенормировки могут приводить к отличающимся конечным результатам [57, 58, 66].

Кроме того с помощью эффекта Казимира пытались объяснить явление сонолюминесценции, т.е. возникновение вспышек света при периодическом изменении радиуса кавитационных пузырьков, образующихся в жидкости под воздействием ультразвуковых волн. Швингер в [67, 68] предположил, что испускание света происходит вследствие изменения казимировской энергии электромагнитного поля при уменьшении радиуса пузырька. Вычисленная Швингером разность вакуумной энергии для максимального и минимального радиуса оказалась того же порядка, что и измеренная в эксперименте энергия испускаемых за один период фотонов [69]. Позже появились работы [70, 71], в которых был получен аналогичный результат, т.е. казалось, что с помощью эффекта Казимира можно адекватно описать данное явление. Однако при исследовании этого вопроса другими авторами [72, 73, 74, 75, 76] были найдены иные значения соответствующей разности энергий, отличающиеся от результата Швингера на 10 порядков в меньшую сторону, что противоречит эксперименту. Такие различия связаны с тем, что были применены разные перенормировочные процедуры при вычислении вакуумной энергии электромагнитного поля в диэлектрическом шаре фиксированного радиуса. Кроме

квазистатического подхода также пытались использовать и динамический. В работе [77] сонолюминесценцию связывали с динамическим эффектом Казимира, при этом применялось адиабатическое приближение. В ходе вычисле-^ ний оказалось, что для согласования наблюдаемого в эксперименте спектра

и полной энергии излучаемого света с теоретическими данными необходимо предположить, что скорость изменения радиуса пузырька релятивистская. Но такое значение скорости выходит за пределы применимости адиабатического приближения. Развивая также идею динамического подхода, авторы работ [78, 79] пришли к выводу, что сонолюминесценция определяется не конкретным законом изменения радиуса пузырька, а зависимостью от времени диэлектрической проницаемости газа е(т), заполняющего пузырек. При этом для соответствия экспериментальных данных с теорией необходимо наложить ^ условие «мгновенного» изменения (в течение нескольких фемтосекунд) е(т)

в момент максимального сжатия пузырька. Таким образом, удовлетворительного описания явления сонолюминесценции на основе эффекта Казимира пока не удалось создать.

Основные схемы регуляризации энергии Казимира

ч

При прямом вычисление вакуумных средних от операторов динамических переменных получаются расходящиеся выражения. В простейшем случае свободного поля, определенного в пространстве Минковского, проблема решается следующим образом. В силу инвариантности вакуумного состояния такой системы относительно преобразований группы Пуанкаре оказывается возможным приписать нулевые значения динамическим переменным. Указанная перенормировка осуществляется автоматически, если записать операторы этих переменных в нормальной форме. Однако при ограничении объема

квантования системы, при наличии потенциала внешнего поля или в случае нетривиальной топологии пространства такой симметрии нет, поэтому этот выбор точки нормировки здесь был бы необоснован. К сожалению универсальной схемы перенормировки не существует и в каждом конкретном случае выбор того или иного способа осуществляется исходя из каких-либо физических соображений. При этом получаемые в результате конечные значения физических величин должны характеризовать отличие вакуума исследуемой системы от вакуума свободного пространства Минковского.

Рассмотрим массивное действительное скалярное поле </?(г), определенное в некоторой замкнутой области Б со стационарными границами $ при наличии внешнего поля Уех1{г). Решения уравнения Клейна-Гордона-Фока

+ + = (2)

удовлетворяющие заданным граничным условиям, можно разложить в ряд по положительно и отрицательно-частотным функциям [80]

где из = л/А^ + ш2, 3 обозначает коллективный индес, нумерующий собственные значения А2 и собственные функции следующей краевой задачи

' Афз + (А2 - Уех\г))ф3 = 0,

(3)

где функционал ^ задает граничные условия.

Используя операторы рождения и уничтожения, решение уравнения (2)

можно записать в виде

Полная вакуумная энергия вычисляется с помощью интеграла по всей области определения поля от вакуумного среднего компоненты Т00 тензора энергии-импульса и может быть записана в виде суммы по частотам всех гармоник поля

Это выражение расходится, что неудивительно, поскольку рассматриваемая система обладает бесконечным числом степеней свободы, а значит, соответствующие вакуумные колебания будут вносить бесконечный вклад в вакуумные средние. Казимир в работе [1] впервые выделил из бесконечного выражения вида (5) конечную вакуумную энергию для квантованного электромагнитного поля, определенного между двумя идеально проводящими плоскопараллельными пластинами. Способ устранения расходимостей, применявшийся в [1], сводился к вычитанию из вакуумного среднего тензора энергии-импульса соответствующего вакуумного среднего пространства Минковско-го. Возникновение такого бесконечного вклада пространства Минковского в выражениях для энергии становится понятным при исследовании асимпт