Приложение метода фонового поля к перенормировке нелинейной сигма-модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

ООЗ17224(

БАГАЕВ Алексей Анатольевич

а

/ ,/.' У

"

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ФОНОВОГО ПОЛЯ К ПЕРЕНОРМИРОВКЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ

Специальность 01 04 16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой стенени кандидата физико-математических наук

16/Г08

Санкт-Петербург 2008

003172247

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ академик РАН, профессор Фаддеев Людвиг Дмитриевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор

Письмак Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук доцент

Дамаскинский Евгений Викторович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт-Петербургское отделение математического института им В А Стеклова РАН

Защита состоится «19» июня 2008 г в 13-оОчасов на заседании Совета Д 212 232 1С по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб , д 7/9, 302 ауд циклотронной лаборатории

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан «18 » мая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Власников А К

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования

Более 30 последних лег в физике уделяется пристальное внимание асимптотически свободным моделям квантовой теории поля Как известно, Стандартная модель слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий базируется па теории калибровочных полей (полей Янга-Миллса)

С точки зрения теории перенормировок асимптотическая свобода, те "отключение взаимодействия на малых прос1ранс1веш1и-врел1бншм:х масштабах, слязапа. с ультрафиолетовым поведением /3-функции Инфракрасное поведение теории, связанное с наблюдаемым явлением конфайнмента кварков, в настоящий момент полностью не изучено Не существует пока законченной квантовой теории электрослабых и сильных взаимодействий Подробное изучение теории перенормировок должно позволить продвинуться в деле изучения данных явлений

Известны также асимптотически-свободные модели, которые реализуются в двумерном пссвдоевклидовом нространсше Пример подобной теории — нелинейная сигма-модель Она применялась в физике в попытках описания взаимодействий муль-типлета 7г-мезопов В настоящее время нелинейная сигма-модель используется в теории конденсированного состояния

Калибровочные поля являются достаточно сложным объектом для исследования В частности, трудности появляются в процессе вычислений в виду большого количества расходящихся слагаемых, возникающих при регуляризации интегралов по четырехмерному пространству Известно, что нетривиальной двумерной теории Янга-Миллса нет Тем не менее, структура расходимостей сигма-модели оказывается похожей па таковую для квантовой теории калибровочных полей Значит, прежде чем основательно приступать к изучению теории перенормировок последних, разумным будет подробно разобраться с перенормировками нелинейной сигмагмодели Вычисления в двумерной теории более просты, нежели в четырехмерной модели

Сказанное выше является одной из причин, вызывающих интерес к сигма-модели Кроме того, сигматмодель и ее частные случаи, такие как матричная сигма-модель (иначе, главное киральное поле) еще не изучена во многих аспектах, в частности, не проведено полное исследование старших порядков теории возмущений в формализме фонового поля

В квантовополевой теории перенормировок применяется несколько схем регуляризации Интуитивно понятной с физической точки зрения является регуляризация с импульсом обрезания, восходящая к Ландау и Вильсону и лежащая в основе тео-

рии ренорм-группы Кроме наглядности эту регуляризацию легко связать с методом собственного времени Фока, значительно упрощающим вычисления Однако, у нее имеются недостатки, связанные с отсутствием калибровочной инвариантности, что, в конечном счете ведет к усложнению вычислений и возможному появлению неоднозначности в последних Существует альтернативная чисто формальная схема регуляризации — гак называемая размерная регуляризация, предложенная т'Хоофгом и Вельтманом Она сохраняет калибровочную инвариантность и вычисления становятся проще Две схемы регуляризации приводят к различным выражениям для "бегущей константы связи" В регуляризации с импульсом обрезания Л мы имеем

2 1< \ = -^тг + са1п- + С11п-е2(Л)+ , (1)

емСМ е(Л) М М где ц — величина, имеющая размерность импульса, называемая точкой нормировки, а в размерной регуляризации — выражение

где е — дефект размерности, & ц - параметр с размерностью импульса Определяемые этими формулами выражения будут совпадать при снятии регуляризации, если выполнено следующее соотношение для коэффициентов

со - Ь0, С1 - 2Ь\ (3)

(это следует из совпадения /^-функций для двух схем регуляризации)

Существует гипотеза о совпадении указанных выражений при снятии регуляризации для калибровочных полей, однако она не проверена строго в виду наличия уже упоминавшихся выше трудностей На примере двумерной матричной сигма-модели проверка этого утверждения представляется более простой

Проверка гипотезы сводится к вычислению бесконечной части эффективного действия в двухпетлевом приближеиии с применением регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации Таким образом, мы фактически сравниваем два первых универсальных коэффициента /3-функции В связи с процедурой вычисления, также интересен вопрос, какие диаграммы дают вклад в эффективное действие при двух различных регуляризациях

В диссертации изучаются вопросы, связанные с обоснованием теории перенормировок применительно к матричной ст-модели

Цель работы

Основная цель работы состоит в проверке гипотезы (3) для матричной а-модели Те надлежит вычислить бесконечную часть эффективного действия с точностью до двухпетлевого приближения

Полученную /3-функцию необходимо сравнить с уже имеющимися результатами исследования нелинейной ст-модели В частности полезно будет провести сравнение в асимптотическим режиме большого N для (^(Л/^-симметричной <т-модели (модели п-поля)

Попутно весьма интересным представляется изучение перенормировки "головастика" (одночастичной вершинной функции) в однопетлевом приближении и сравнение ее с перенормировкой эффективного действия

Научная новизна

Совпадение перенормировок эффективного действия в регуляризации с импульсом обрезания и в размерной регуляризации влечет два важных физических следствия С одной стороны это оправдывает использование формальной размерной регуляризации для сигмагмодели, а с другой, возможно, позволит расширить область применения неинвариантных регуляризаций

В данной работе используется вариант формализма фонового поля, который сравнительно недавно был предложен Л Д Фаддеевым Он заключается в разложении действия в окрестности неклассического внешнего поля при построении эффективного действия и производящего функционала 5-матрицы через функциональный интеграл Само фоновое поле удовлетворяет квантовым уравнениям движения, которые только в нулевом порядке по h совпадают с классическими уравнениями движения В рамках этого подхода наиболее просто осуществить перенормировку теории с одной безразмерной константой связи (сигма-модель, поле Янга-Миллса)

Квантовополевые вычисления проводятся не в традиционном импульсном представлении, а в координатном, которое при работе в формализме фонового поля более удобно При этом полученные коэффициенты бета-функции выражены в терминах нормировки оператора Казимира группы, в которой принимает значение главное ки-ральное поле (в рассматриваемом конкретном представлении), подобно теории Янга-Миллса, что не встречается в современных исследованиях старших порядков для матричной сигма-модели

Известная сводка правил для двухпетлевых рассчетов в схеме размерной регуляризации в четырехмерном случае [знаменитая работа Jack I and Osborn Н, Nucí Phys В,

207, 474 (1982)] при перенесении на двумерное пространство-время требует некоторого уточнения, часть формул выводится непосредственно в процессе вычислений

Личный вклад автора в получение результатов

Диссертация написана по материалам исследований, выполненных в процессе обучения в аспирантуре на кафедре высшей математики и математической физики Санкт-Петербургского государственного университета в период 2004-2007 гг Задача исследования поставлена научным руководителем Л Д Фаддеевым Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно

По итогам работы опубликовано 4 труда, вклад в которые также полностью принадлежит автору При написании статей были учтены ценные замечания научного руководителя

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2008), а также на молодежной научной конференции «Физика и прогресс» 14-16 ноября 2007 г

Публикации

По теме данной работы у автора имеются тезисы доклада [1] и три публикации в научных журналах [2-4], причем основной результат содержится в статье [4]

Структура и объем работы

Объем диссертации составляет 135 страниц Работа состоит из Содержания, пяти глав (из них Глава 1 является Введением), Заключения и Списка литературы Список литературы содержит 135 наименований

Содержание работы

Глава 1 Введение Постановка задачи

В первой главе, во-первых, обосновывается актуальность темы исследования и научная новизна полученных результатов Во-вторых, определяется действие главного кирального поля (см формулу (14) ниже) и введение фонового поля применительно

к данной модели (см (15) и (16)) Излагается теория перенормировок в формализме фонового поля

Основной результат про структуру расходимостей в формализме фонового поля состоит а следующем Эффективное действие нашей модели имеет вид

W(<7ph) = i W-iíflph) + WoCflbh) + egWiCftb) + +e*Wn(<7ph)+ , (4) eo

где Wn{gvb) — вклады (n + 1)-петлевых вакуумных диаграмм, a W-i — H^-i^ph) представляет собой классическое действие, те (14) с g = <7рь Результаты исследований показывают, что во всех порядках теории возмущений эффективное действие содержит расходящиеся слагаемые, пропорциональные IV-1

Далее определяется "бегущая константа связи", приводятся формулы (1) и (2), вводится /З-функция, обсуждается регуляризация с импульсом обрезания и размерная регуляризация Формулируются понятия, необходимые для постановки задачи

Глава 2 Формализм фонового поля Метод собственного времени Фока

Вторая глава посвящена формулировке необходимых сведений из квантовой теории поля

Во-первых, определяется производящий функционал 5-матрицы в терхминах функционального интеграла Производящий функционал 5-матрицы может быть представлен в виде континуального интеграла от функционала Фейнмана е'5^ с граничными условиями на переменную интегрирования

ЯЫ = R&m + vw) = Z~l1 e,5^2V, (5)

причем предполагается, что новая переменная интегрирования ipi, получаемая сдвигом ip = (fio + Pi удовлетворяет так называемым условиям излучения Фейнмана оно не имеет "сходящейся" волны е~,кх при жо —> +оо и "расходящейся" волны е%кх при Жо —> — оо "Сходящиеся" и "расходящиеся" волны поля <р на соответствующих бесконечностях по времени полностью определяются решением <ро

Далее осуществляется переход к формализму фонового поля с помощью сдвига переменной интегрирования у ¡р к» ip — <¿>ph и для удобства потребуем, чтобы "новая" переменная интегрирования <р удовлетворяла на бесконечности условиям излучения Фейнмана, т е имела бы асимптотику, такую же как и ¡pi Это будет возможным если вспомогательное поле узрь само удовлетворяет на бесконечности граничным условиям

в (5) Тогда (5) перейдет в

Я(у>0) = J е'^+^Х^ (6а)

коКоо

с дополнительными условиями

^^ 00

Имеет место следующее тавтологическое соотношение Д(^о) = Д(¥>р>0

Теперь можно сформулировать правила Фейпмана, для чего действие в показателе экспоненты разлагается в функциональный ряд Тейлора по степеням в окрестности ¥>рь Все объекты (вершины и функция Грина 0{х, у)) в данном формализме будут зависеть от фонового поля

Потребуем выполнения условий на поле <£рь

<Э- = ° (7)

Здесь первое слал аемое — вариационная производная действия при <р = вторым слагаемым обозначена сумма вкладов всех одночастично-неприводимых диаграмм с одной внешней линией, построенных в соответствие с новыми правилами Фейпмана Условия (7) принято называть квантовыми уравнениями движения Их выполнение обеспечивает равенство

Щфръ) = е'^Ч (8)

где в показателе стоит эффективное действие, те сумма классического действия и вкладов одночастично-неприводимых вакуумных диаграмм

Таким образом, в принятом нами формализме фонового поля основная задача квантовой теории поля (т е поиск 5-матрицы) сводится к вычислению эффективного действия теории, которое можно осуществить используя метод собственного времени Фока

Метод собственного времени Фока состоит в использовании решения задачи Коши для параболического уравнения с оператором К((ррь), определяющим квадратичную форму в действии

{К{ч>ръ)6к{х,у,8) = ^вк{х,у,а), вк(х,у,0) = 6(х - у)

Детерминант и функция Грина оператора ЛГ(узрь) в методе собственного времени выражаются формулами

+00

ш -¡Щ (**(«,5) - вк(х, х, ,)) а2, (10)

и

в(х,у)= I вк{х,у,з)йз, (11)

о

соответственно Здесь вк0 обозначено фундаментальное решение, относящееся к "свободному" оператору К, а тильда над в означает взятие всевозможных следов и усреднений

Для исследования УФ-расходимостей удобно использовать следующий анзац

1 00

вк{х,у,з) = ~е ^а*,{х,у)з"

14=о

с условием ао(х,х) = I Гладкие коэффициенты йн(х,у) могут быть определены из цепочки рекуррентных уравнений

- у^Л/ДуЗрьНО^ у) = О, ~{хр ~ У(*)Щ(<Ррь)а1(х,у) + К(<ррЬ)ао(х,у) - о1(х,у),

~{.хи ~ У^)Щ{<Рръ)ак+1{х,у) + К(1ррЪ)ам(х,у) = (ЛГ + 1)алг+1(х,у),

)

где дифференциальный оператор первого порядка МДу?рь) является аналогом кова-риантной производной

Для квантовополевых вычислений удобно следующее представление функции Грина

оо

(2{х,у) = '£рг/(х-у)ан(х,у), (12)

ЛГ=0

где в множителях Рн(х) заложена информация о поведении функции Грина в окрестности диагонали у = х, а коэффициенты Одг{х,у) по-прежнему определяются рекуррентными уравнениями

Глава 3 Матричная сигма-модель

В этой главе сначала определяется общая нелинейная ег-модель

= 11 ааЬ{х)д„хад„хь а * (13)

(Динамическая переменная X принимает значения в некотором нелинейном многообразии М, величины Ха{х) суть локальные координаты на М. (индекс а пробегает

значения от 1 до сЬтЛ^), а функции Ой(,(Х) являются коэффициентами метрического тензора на рассматриваемом многообразии )

Кратко обсуждается применение сг-модели в физике Дается сводка результатов квантовополевых исследований общей сг-модели (на языке формул это описано в главе 5)

Далее, формализм фонового поля, введенный во второй главе, применяется к объекту наших исследований — матричной сг-модели, которая определяется действием

3 = (14)

где поле д = д(х) — функция, принимающая значения в матричном представлении компактной группы Ли б, а ео — малая безразмерная константа связи Переход к формализму фонового поля (с учетом групповой природы поля д) совершается с помощью замены переменной в (5)

д(х) = 1г{х)дръ(х), (15)

где символом /г обозначена новая переменная интегрирования, для которой

Н{х) ->• 7, |яо| оо, (16)

где I € (7 — единичная матрица

В основном тексте диссертации формулы (14)—(16) приводятся в главе 1 Записывая действие с помощью формы Картана = ¿^рь^рь, параметризуя Н(х) = е^1', ф(х) £ 5 и переходя к фундаментальному представлению алгебры д, получим

1 00 5(5) = -2 И^Сй*) + £>Г25„(<7РЬ, ь), (17)

е° П=1

где функционал п-го порядка по степеням поля ф обозначен 5„(5Рь, Н)

п-1 / ч

") ¿2х (18)

^введено понятное обозначение Вц(фп) — [д^ф, ф], , ^, а

п штук

^-1(5Рь) = \ I «Х^

— классическое действие

Следующим нашим шагом является вычисление функционального интеграла (6а) в виде петлевого разложения и построение выражения для эффективного действия

в двухпситевом приближении, а для "головастика" — в однопстлсвом При эюм мы переходим к евклидовой версии теории поля с помощью преобразования хо гжо

"Головастик" с точностью до однопетлевого приближения па языке диаграмм имеет вид

или

3А{х) = + ео#(») + . (19)

ео

где 3(х) = 1/2д>1Я^(х), а

=~и1АВЕ/ЕОСд^ВС{х'у)^{х)+

+ 1ЛОЕ1ЕПСд,0вс(х,у)\^Х(х) - 1ЛПЕ1ЕСПд„ (Овс(х,х)^(х))) (20)

Эффективное действие имеет вид (4), где

\У0 = (21)

дня КАВ — 1/2 (д25лв — а И^ состоит из вкладов диаграмм "восьмерка"

_ и___гГ -

= + + ^ (22)

Выражения и \Уа, в свою очередь, распадаются на вклады поддиаграмм, итого имеем

= ~ ¡лвс^ВЕ^ммI [д110М1'(х,у)\у=гвЕС(х,х)+

+д11вМЕ(х,у)\у=0»с(х,х)+д„вмс(х,у)\^С»Е(х,х)\ ЯАц(х)й2х, (23а)

= 1АВС1ВВЕ1 [д^Е{х,У)\у=хд^{х,У)\у=х+

ЩСвс{х,у)\^д,0ЛЕ{х,у)\^ а2х, (23Ь)

= д„0™(х,У)%\у^ЕС(х,х)<?х (23с)

^ = Ш 1АКС1КМЕ1В1°/ШР11

х [д11См»(х,у)%СЕР(х,у)асв(х,У) + д,См»(х,у)%СЕО(х,у)0СЕ(х,у)\ , (24а)

и,® = ^ !АКС!КМ,!иЬОГР ! I й2хй2уКлтв{у)х

х [д,Смк(х,у)Осо(х,у)Ош(х,у)%++д1,См1)(х>у)СЕЕ(х,у)Ссм(х!у)%+

+2 д,0М¥{х, у)От{х, у)Ссе'(х, у)%] (24Ь)

Поддиаграммы, соответствующие этим выражениям приведены на Рис 1 Штрих на линии диаграммы обозначает производную от соответствующей функции Грина

Глава 4 Перенормировка эффективного действия и квантовых уравнений движения

Основная задача четвертой главы — вычисление бесконечных частей (20) и (23), (24) с использованием двух схем регуляризации Для этого используется представление (12) функции Грина в окрестности диагонали

Бесконечная часть однопетлевого вклада в эффективное действие вычисляется непосредственным применением формулы (10) и анализом двух первых рекуррентных уравнений Получается следующий ответ

^-т^^т^, (25)

и 47Г Ц 47Г £

где С(в) — собственное значение оператора Казимира алгебры д в фундаментальном представлении

Для бесконечной части вклада в головастик выходит выражение

= С{СиА(Х)1п± (26)

Функции рм в (12) в различных схемах регуляризации выглядят по-разному Именно,

, ч -4- 1пи2х2 в случае М С . ч

Ро(Х) = I ^ н у (27)

Ц {; + И) И'*} в слуае БЫ

^ х2 [1п ц2х2 — 1] в случае МС

щ { — ^ + (-1 - §) И84*} в слУчае 011

Функции с ббльшими номерами не требуются для двухпетлевых вычислений В результате получаются ответы для

в регуляризации с импульсом обрезания и

в размерной регуляризации

Глава 5. Обсуждение полученных результатов

Установлено, что в двух схемах регуляризации "бегущие константы связи" имеют

1

емсМ ео(Л)

47Г ц.

С*(0), Л

32тг2

1 _ 1 ,

М ео(е) 4,г

64тг2

4(е) +

(31)

(32)

Отсюда непосредственно вытекает (3), те гипотезу о совпадении бегущих констант связи удалось подтвердить Найденная нами /3-функция для матричной «г-модели (14) имеет вид

/3(е2) =

С(С) д С*(С)

е6 + 0(е8)

(33)

4тг 32тг2

В процессе вычислений вьшснено, какие диаграммы дают вклад в бесконечную часть эффективного действия Схематически это изображено на Рис 1

схэ-сж>сж> СХЭЕ

е - е+ 4 © 6 ю

Рис 1

На рисунке [Т] обозначает поддиаграммы, дающие вклад в регуляризации с импульсом обрезания, а ¡2] — в размерной регуляризации

Из формул (25) и (26) видно, что перенормировки эффективного действия и "головастика" не совпадают в однопетлевом приближении

Вычисленную /3-функцию (33) сравнивается с аналогичной для общей сг-моде-ли (13)

¿С^РО _ _ 1 о д 1Л, я д^гЛ .

"Ты]-- ^ - ^ )+ ,

где Яаь и — компоненты тензоров Риччи и Римана, связанные с метрикой С[Х) Для случая симметрического многообразия М — Р/Н эта формула принимает вид

(сделана замена (3 Т где Т — температура, аналог константы связи)

13аь{Т С(Х))-\е--Т--8с11т,Л/((с11т# — сктЛ) -Т )Т С"ь{Х)>

(34)

где А — абелев фактор Я Для случая М = 5С/(7\/') выяснена связь Т = Цр е§ температуры и константы связи (с(.5и(М)) = следовательно

/V2 Д N- 2 , 4

во

В асимптотическом режиме больших N множитель в круглых скобках при втором слагаемом мало отличается от единицы и формулы для /^-функций совпадают в пределе

Также удается сравнить (33) для (? = 811(2) с результатом для О(Ы) сг-модели, когда N = 4 0(ЛГ)-симметричная ст-модель или п-поле описывается действием

5 = ¿2/(^11, ¿И (36)

причем (п, п) = 1 Известна /^-функция для этой модели

/3(0 =£1-^- 2)<2 - (ЛГ _ 2)^ + О (¿4) (37)

Легко показывается, что 0(4)- и 311(2) сг-моделей эквивалентны, а £ = Таким образом, видно, что формулы (33) и (37) совпадают

Также /3-функция (33) для случая группы Б11(2) совпадает с формулой для инвариантного заряда 2 спиновой цепочки во внешнем магнитном поле

Основные выводы и результаты работы

1 В двух схемах регуляризации вычислен двухпетлевой вклад в эффективное действие для матричной сг-модели, выраженный в терминах нормировки оператора Казимира В частном случае он совпадает с известными выражениями, полученными рядом авторов

2 Показано, что /3-функции, вычисленные с помощью регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации совпадают Это влечет также совпадение "бегущих констант связи" при снятии регуляризации

3 В процессе вычислений выяснено, что при использовании различных способов регуляризации в двухпетлевой вклад в эффективное действие входят различные диаграммы

4 Обнаружено несовпадение перенормировок эффективного действия и "головастика" в однопетлевом приближении

Работы автора по теме диссертации

[1] БагаевА А , Применение формализма фонового потя к исследованию матричной ст-модели, В сб Тезисы докладов молодежной научной конференции «Физика и прогресс» 14-16 ноября 2007 г Физический факучьтет Санкт-Петербургского государственного университета, Санкт-Петербург, 2007, с 30

[2] БагаевА А , Перенормировка квантовых уравнений движения для по'тей Яига-Мкалса в формализме фонового поля, Записки научи семин Г10МИ РАН, 325 5-12 (2005)

ВадаеиА А , Renormahzation of the quantum equation of motion for Yang-Mills fields in the background formalism, J Math Sei , 138, 5631-5635 (2006)

[3] БагаевА A , Замечание о перенормировке квантовых уравнений движения для матричной сигма-модели, Записки научи семин ПОМИ Р*\Н 347 30-33 (2007)

[4| БагаевА А Двухпетлепые вычисления эффективного действия матричной а-модели в формализме фонового потя, Теорет и мат физика 154, 354-362 (2008)

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ Приказ № 571/1 от 14 05.03 Подписано в печать 15 05 08 с оригинал-макета заказчика Ф-т 30x42/4, Уел печ. л. 1. Тираж 100 экз, Заказ № 824/с 198504, СПб, Ст Петергоф, ул Ульяновская, д 3, тел 929-43-00

Содержание

1 Введение. Постановка задачи

1.1 Общее введение.

1.2 Краткое предварительное обсуждение.

1.2.1 Одно вводное замечание об области научных исследований

1.2.2 Научное содержание работы

1.2.2.1 Краткий обзор конкретных задач, решаемых в данной работе.

1.2.2.2 Об использованных в работе методах и технических деталях.

1.2.3 Использованные в тексте физические и математические обозначения и договорённости

1.3 Сводка результатов, необходимых для формулировки задачи . 21 1.3.1 Эффективное действие матричной сигма-модели

1.3.1.1 Классическое действие для матричной сигмамодели

1.3.1.2 О перенормировке в формализме фонового поля

1.3.1.3 Производящий функционал ¿'-матрицы в формализме фонового поля.

1.3.1.4 Об условиях, накладываемых на фоновое поле 9Ръ{х).

1.3.1.5 Эффективное действие. Основной результат про структуру расходимостей в формализме фонового поля.

1.3.2 "Бегущая константа связи"

1.3.2.1 Перенормированная константа связи. Перенормируемость сигма-модели.

1.3.2.2 Регуляризация с импульсом обрезания.

1.3.2.3 Размерная регуляризация.

1.3.3 Сравнение бета-функций теории при различных регуляризациях.

1.3.3.1 Уравнение Гелл-Манна-Лоу. Бета-функция

1.3.3.2 Представление бета-функции в виде ряда по степеням константы связи.

1.3.3.3 Независимость физической теории от способа регуляризации.

1.3.3.4 Замечание о трёхпетлевых и более старших коэффициентах бета-функции.

1.4 Непосредственная постановка задачи

1.4.1 Основная цель работы.

1.4.2 Вычисления.

2 Формализм фонового поля. Метод собственного времени Фо

2.1 Формализм фонового поля.

2.1.1 Производящий функционал 5-матрицы.

2.1.1.1 Матрица рассеяния и производящий функционал матрицы рассеяния.

2.1.1.2 Запись производящего функционала в терминах функционального интеграла.

2.1.1.3 Об условиях излучения Фейнмана.

2.1.1.4 Окончание определения производящего функционала ¿¿"-матрицы.

2.1.1.5 Замечание об эквивалентности двух подходов к определению производящего функционала матрицы.

2.2 Метод фонового поля. Эффективное действие.

2.2.1 Введение фонового поля.

2.2.1.1 Замена переменных в производящем функционале 5-матрицы

2.2.1.2 Зависимость производящего функционала 5-матрицы от фонового поля.

2.2.2 Правила Фейнмана в формализме фонового поля

2.2.2.1 Разложение действия в функциональный ряд Тейлора в окрестности фонового поля.

2.2.2.2 Классическое действие, функция Грина и вершины теории в формализме фонового поля

2.2.3 Квантовополевая теория возмущений.

2.2.3.1 Разложение по петлям производящего функционала ^-матрицы.

2.2.3.2 Диаграммная техника в координатном представлении

2.2.4 Фоновое поле, удовлетворяющее квантовым уравнениям движения.

2.2.4.1 Устранение произвола у фонового поля. Квантовые уравнения движения.

2.2.4.2 Разложение по петлям производящего функционала ¿'-матрицы в формализме фонового поля

2.2.4.3 Эффективное действие. Выражение производящего функционала ^-матрицы через эффективное действие

2.2.4.4 Замечание об эквивалентности двух подходов к определению эффективного действия

2.2.4.5 Замечание о квантовых уравнениях движения и их взаимосвязи с эффективным действием . 50 2.3 Метод собственного времени Фока.

2.3.1 Структура объектов, возникающих при вычислении эффективного действия в формализме фонового поля

2.3.1.1 Однопетлевое приближение. Детерминант

2.3.1.2 Старшие порядки. Функция Грина.

2.3.2 Решение параболического уравнения.

2.3.2.1 Параболическое уравнение с оператором К(сррь)

2.3.2.2 Выражение детерминанта с помощью решения параболического уравнения.

2.3.2.3 Выражение функции Грина с помощью решения параболического уравнения

2.3.3 Функция 9к{х, у, в) в ультрафиолетовой области

2.3.3.1 Анзац для функции 0к(х,у,з) в окрестности точки 5 = 0.

2.3.3.2 Рекуррентные уравнения на гладкие коэффициенты ам.

2.3.3.3 Функция Грина в ультрафиолетовой области

3 Матричная сигма-модель

3.1 Общая сигма-модель.

3.1.1 Определение и основные свойства.

3.1.1.1 Действие для общей сигма-модели.

3.1.1.2 Кратко о применении сигма-модели в физике

3.1.2 Сводка основных результатов исследования сигма-модели

3.1.2.1 Общая нелинейная сигма-модель.

3.1.2.2 Модель п-поля (О(ЛГ)-симметричная сг-модель)

3.1.2.3 Матричная сигма-модель.

3.2 Формализм фонового поля для матричной сг-модели.

3.2.1 Факторизация главного кирального поля д.

3.2.1.1 Введение фонового поля с учётом группового характера сигма-модели.

3.2.1.2 Преобразование подынтегрального выражения

3.2.1.3 Запись действия в формализме фонового поля

3.2.1.4 Замечание о записи действия в терминах форм Картана.

3.2.2 Параметризация "квантового" поля.

3.2.2.1 Переход от группы О к алгебре д. Фундаментальное представление.

3.2.2.2 Формула для дифференцирования экспоненты

3.2.2.3 Действие матричной сигма-модели в формализме фонового поля.

3.3 Разложение по петлям. Диаграммная техника.

3.3.1 Общая структура разложения по петлям.

3.3.1.1 Евклидов разворот.

3.3.1.2 Общая структура экспоненциального функционала

3.3.1.3 Выделение петлевых вкладов.

3.3.2 Однопетлевое приближение. Эффективное действие

3.3.2.1 Слагаемые, пропорциональные нулевой степени константы связи

3.3.2.2 Оператор К. Детерминант. Функция Грина

3.3.3 Однопетлевое приближение. Квантовые уравнения движения

3.3.3.1 Классическая одночастичная вершина.

3.3.3.2 Разложение по петлям для одночастичных вершин

3.3.3.3 Однопетлевой вклад в одночастичную вершинную функцию.

3.3.3.4 Применение теоремы Вика.

3.3.4 Двухпетлевое приближение.

3.3.4.1 Двухпетлевой вклад в эффективное действие

3.3.4.2 Диаграммы "восьмёрка" и "рыбка".

3.3.4.3 Применение теоремы Вика. Диаграмма "восьмёрка"

3.3.4.4 Применение теоремы Вика. Диаграмма "рыбка"

4 Перенормировка эффективного действия и квантовых уравнений движения

4.1 Материал, необходимый для дальнейших вычислений.

4.1.1 К вычислению бесконечной части детерминанта

4.1.1.1 Представление для бесконечной части детерминанта

4.1.1.2 Рекуррентные уравнения для определения коэффициентов анзаца функции (х, у, в)

4.1.1.3 Вывод формулы для вычисления детерминанта

4.1.1.4 Одно небольшое уточнение формулы для детерминанта

4.1.1.5 Комбинации из двух структурных констант. Оператор Казимира.

4.1.2 К вычислению функций Грина и их производных

4.1.2.1 Множители в анзаце для функции Грина в двумерном пространстве

4.1.2.2 Множители в анзаце для функции Грина в пространстве 2-е измерений.

4.1.2.3 Комбинации из трёх структурных констант.

4.2 Вычисление однопетлевого вклада в эффективное действие

4.2.1 Эффективное действие в однопетлевом приближении

4.2.1.1 Выражение для бесконечной части эффективного действия в однопетлевом приближении

4.2.1.2 Сведение коэффициентов анзаца к голономии

4.2.2 Вычисление производных от голономии.

4.2.2.1 Производные первого порядка.

4.2.2.2 Производные второго порядка.

4.2.3 Результат вычисления бесконечной части эффективного действия.

4.2.3.1 Значение коэффициента а\ на диагонали

4.2.3.2 Бесконечная часть эффективного действия

4.3 Вычисление однопетлевого вклада в квантовые уравнения движения

4.3.1 Использование метода собственного времени для представления функций Грина.

4.3.1.1 Представление расходящейся части функции Грина.

4.3.1.2 Вычисление расходящейся части первых производных функции Грина.

4.3.2 Вычисление одночастичной вершинной функции

4.3.2.1 Выражение бесконечной части одночастичной вершинной функции в однопетлевом приближении

4.3.2.2 Комбинации структурных констант.

4.3.2.3 Бесконечная часть головастика.

4.4 Вычисление двухпетлевого вклада в эффективное действие. Анализ расходимостей диаграмм.

4.4.1 Структура выражений, дающих вклад в эффективное действие.

4.4.1.1 Диаграмма "восьмёрка".

4.4.1.2 Диаграмма "рыбка"

4.4.2 Структура расходимостей выражений, дающих вклад в эффективное действие.

4.4.2.1 Расходимости и анзац для функции Грина

4.4.2.2 Расходимости, размерности величин и классическое действие.

4.4.3 Классификация расходимостей.

4.4.3.1 Логарифмические расходимости.

4.4.3.2 Линейные расходимости.

4.4.3.3 Квадратичные расходимости.

4.4.4 Сведение расходящихся комбинаций множителей в таблицу

4.4.4.1 Диаграмма "восьмёрка".

4.4.4.2 Диаграмма "рыбка"

4.5 Вычисление двухпетлевого вклада в эффективное действие в регуляризации с импульсом обрезания.

4.5.1 Квадратичная расходимость

4.5.1.1 Константы

4.5.1.2 Нелокальный функционал.

4.5.2 Линейная расходимость

4.5.3 Логарифмические расходимости. Квадрат логарифма . 95 4.5.3.1 Выражения, расходящиеся как квадрат логарифма

4.5.3.2 Вычисление производных от голономии по второму аргументу.

4.5.3.3 Вычисление комбинаций структурных констант

4.5.3.4 Равенство нулю вклада квадрата логарифма

4.5.4 Логарифмические расходимости. Первая степень логарифма

4.5.4.1 Логарифмически-расходящиеся выражения

4.5.4.2 Приведение комбинаций структурных констант

4.5.4.3 Результат вычисления логарифмически-расхо-дящегося вклада.

4.5.5 Результат вычисления двухпетлевого вклада в эффективное действие.

4.5.5.1 Удаление квадратичной расходимости вычитанием

4.5.5.2 Бесконечная часть двухпетлевого вклада без квадратичных расходимостей.

4.6 Вычисление двухпетлевого вклада в эффективное действие в размерной регуляризации.

4.6.1 Вклады, имеющие полюс второго порядка по е.

4.6.2 Вклады, имеющие полюс первого порядка по £.

4.6.2.1 Выражение для вклада от е~

4.6.2.2 Вычисления ^расходящегося вклада

4.6.3 Результат вычисления двухпетлевого вклада в эффективное действие.

4.7 Сводка результатов вычисления бесконечных частей квантово-полевых объектов в одно- и двухпетлевом приближении. Перенормировка

4.7.1 Эффективное действие

4.7.1.1 Эффективное действие в однопетлевом приближении

4.7.1.2 Эффективное действие в двухпетлевом приближении в схеме регуляризации с импульсом обрезания.

4.7.1.3 Эффективное действие в двухпетлевом приближении в схеме размерной регуляризации

4.7.2 Квантовые уравнения движения.

1.1 Общее введение

В течение уже более тридцати лет в квантовой теории поля основное внимание уделяется асимптотически свободным моделям. Такое особое отношение к данным теориям неслучайно. Как известно, современные описания фундаментальных взаимодействий элементарных частиц базируются на теории калибровочных полей (полей Янга-Миллса). Экспериментально установлено наличие асимптотической свободы у электрослабых и сильных взаимодействий, поэтому асимптотически свободная теория Янга-Миллса адекватно описывает эти взаимодействия на классическом уровне (Стандартная модель слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий). Гравитация также описывается калибровочной теорией.

С точки зрения квантовой теории (точнее, теории перенормировок) асимптотическая свобода, т.е. "отключение" взаимодействия на малых пространственно-временных масштабах, связана с ультрафиолетовым поведением бета-функции. Инфракрасное поведение теории, отвечающее за наблюдаемое явление конфайнмента кварков, в настоящий момент полностью не изучено. В сущности, законченной и полностью согласующейся с опытом квантовой теории электрослабых и сильных взаимодействий пока не существует (квантовая электродинамика до сих пор представляет исключение). Подробное изучение теории перенормировок должно позволить продвинуться в деле изучения данных явлений.

Помимо теории полей Янга-Миллса, реализующейся в четырёхмерном пространстве-времени, известны другие асимптотически-свободные модели квантовой теории поля, которые существуют в двумерном псевдоевклидовом пространстве. Пример подобной теории — нелинейная сигма-модель. Она применялась в физике в попытках описания взаимодействий мультиплета тг-мезонов. В настоящее время нелинейная сигма-модель используется в теории конденсированного состояния.

Калибровочные поля являются достаточно сложным объектом для исследования. В частности, трудности появляются в процессе вычислений в виду большого количества расходящихся слагаемых, возникающих при регуляризации интегралов по четырёхмерному пространству. Известно, что нетривиальной двумерной теории Янга-Миллса нет. Тем не менее, структура рас-ходимостей сигма-модели оказывается похожей на таковую для квантовой теории калибровочных полей. Значит, прежде чем основательно приступать к изучению теории перенормировок последних, разумным будет подробно разобраться с перенормировками нелинейной сигма-модели. Вычисления в двумерной теории более просты, нежели в четырёхмерной модели.

Сказанное выше является одной из причин, вызывающих интерес к сигма-модели. Кроме того, сигма-модель и её частные случаи, такие как матричная сигма-модель (иначе, главное киральное поле) ещё не изучена во многих аспектах, в частности, не проведено полное исследование старших порядков теории возмущений в формализме фонового поля.

Метод фонового поля является наиболее продвинутым приёмом квантовой теории поля. Недавно был предложен (Л. Д. Фаддеевым) вариант этого метода, использующий фоновое поле, удовлетворяющее так называемым квантовым уравнениям движения. В рекомендуемом формализме наиболее просто строится матрица рассеяния теории, выражающаяся через эффективное действие. Также просто осуществляется регуляризация с применением метода собственного времени Фока. Изучение матричной сигма-модели в рамках указанного подхода и сравнение с результатами, полученными другими методами представляется весьма важной задачей.

В квантовополевой теории перенормировок применяется несколько схем регуляризации. Интуитивно понятной с физической точки зрения является регуляризация с импульсом обрезания, восходящая к Ландау и Вильсону и лежащая в основе теории ренорм-группы. Кроме наглядности эту регуляризацию легко связать с методом собственного времени Фока, значительно упрощающим вычисления. Однако, у неё имеются недостатки, связанные с отсутствием калибровочной инвариантности, что, в конечном счёте ведёт к усложнению вычислений и возможному появлению неоднозначности в последних. Существует альтернативная схема регуляризации — так называемая размерная регуляризация, предложенная т'Хоофтом и Вельтманом. Эта схема чисто формальна и заключается в переходе к пространству-времени меньшей размерности, нежели 4 или 2. Она сохраняет калибровочную инвариантность и вычисления становятся проще. Две схемы регуляризации приводят к различным выражениям для перенормированной константы связи.

Существует гипотеза о совпадении указанных выражений при снятии регуляризации для калибровочных полей, однако она не проверена строго в виду наличия уже упоминавшихся выше трудностей. На примере двумерной матричной сигма-модели проверка этого утверждения представляется более простой. Совпадение перенормировок с одной стороны оправдает использование формальной размерной регуляризации для сигма-модели, а с другой, возможно, позволит расширить область применения неинвариантных регу-ляризаций.

Проверка гипотезы сводится к вычислению эффективного действия в двухпетлевом приближении. В связи с этим, также интересен вопрос, какие диаграммы дают вклад в эффективное действие при двух различных регуляризациях.

Наконец, сами квантовые уравнения движения, возникающие в используемом варианте формализма фонового поля представляют собой весьма интересный предмет для анализа. Например, являются практически совсем не изученными вопросы, связанные с перенормировкой фигурирующих в них объектов (на языке диаграмм — "головастиков").

Заключение

В результате проделанной работы в двух схемах регуляризации был вычислен двухпетлевой вклад в эффективное действие для матричной сигма-модели, выраженный в терминах нормировки оператора Казимира. В частном случае он совпадает с известными выражениями, полученными рядом авторов.

Установлено, что /^-функции, вычисленные с помощью регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации совпадают. Это влечёт также совпадение "бегущих констант связи" при снятии регуляризации.

Этот факт является весьма важным для исследования асимптотически свободных теорий, поскольку перенормированные теории для нелинейной сг-модели не зависят от способа регуляризации. Следовательно, мы имеем возможность применять формальную размерную регуляризацию для вычислений перенормировок в этой модели. Полученные результаты оказываются физически верными, поскольку проверено их совпадение с ответами в интуитивно понятной схеме регуляризации с импульсом обрезания, в терминах которой формулируются понятия ренорм-группы и ренорм-инвариантности.

Несмотря на формальный характер размерной регуляризации, вычисления с ней оказываются проще, нежели в универсальной регуляризации с импульсом обрезания. Трудности в последней схеме возникают из-за того, что она не сохраняет калибровочную инвариантность теории. В результате этого появляются квадратичные расходимости. Однако, в нашем случае этих неприятностей удаётся избежать, и квадратичная расходимость устраняется калибровочно-инвариантным образом. Для калибровочных полей разобраться с наличием квадратичных расходимостей в регуляризации с импульсом обрезания ещё предстоит.

Также нами выяснено, что в различных схемах регуляризации в эффективное действие дают вклад пе все возможные типы "поддиаграмм". Так, в размерной регуляризации участвуют части обеих диаграмм "восьмёрка" и "рыбка", а в регуляризации с импульсом обрезания фигурируют только части диаграммы "восьмёрка", а диаграмма "рыбка" не даёт логарифмического вклада. Это обстоятельство, вероятно, может в дальнейшем способствовать сокращению объёма многопетлевых вычислений при анализе подобных моделей.

Факт совпадения результатов использования двух регуляризаций, воз-.' можно, имеет ещё одно значение. Область использования размерной регуляризации ограничена: она не применима к теориям, содержащим киральные фермионы, например, к Стандартной модели (см. [124, 125]) или к суперсимметричным теориям. Подобные модели перенормируют с помощью метода высших ковариантных производных [126] (см. также [27]) и его современных обобщений [127, 128], являющихся, также и обобщениями давно известной в физике регуляризации Паули-Вилларса [129]. Применение регуляризации с импульсом обрезания с учётом некоторых предписаний, касающихся удаления некалибровочно-инвариантных членов, может упростить вычисления с данными моделями.

Следует отметить, что точную формулировку понятия калибровочной инвариантности применительно к главным киральным полям ещё надлежит предъявить. Также необходимо будет принять во внимание связанные с калибровочной инвариантностью симметрии действия (1.3.1).

Мы увидели, что в однопетлевом приближении перенормировки эффективного действия и "головастика" не совпадают [130].

Возникает ситуация, аналогичная теории полей Янга-Миллса, где перенормировки эффективного действия и квантовых уравнений движения также не равны. Там это явление обусловлено наличием двух констант перенормировки (см. [27]). Кроме того, дополнительной перенормировкой одноча-стичной вершины, допустимой вследствие (2.2.7) и сводящейся к перенормировке калибровочного поля совпадение удаётся восстановить [63]. В нашем случае этот множитель равен

Тем не менее, в двухпетлевом приближении вопрос о совпадении перенормировок действия и уравнений движения остаётся открытым в виду сложности вычисления вклада в одночастичную вершинную функцию. Возможно, в ближайшем будущем этот вопрос будет прояснён. Также пока не ясно, можно ли добиться совпадения перенормировок для матричной сг-модели сколь-нибудь разумным переопределением поля.

В данной работе мы вообще не касались инфракрасного поведения ¡3-функции и конечной части эффективного действия. Проблема изучения конечных частей актуальна в связи с некоторым оптимизмом в деле завершения программы перенормировок асимптотически свободных теорий и построения конечного перенормированного эффективного действия [см. формулу (1.3.10)].

Скажем также, что в настоящей работе мы использовали только кван-товополевые свойства ег-модели и совершенно не касались её интегрируемости (а также, интегрируемости модели п-поля). Однако мы убедились, что в частном случае (2) сг-модели наш результат для /3-функции совпадает с ответом, полученным в результате анализа главного кирального поля как интегрируемой модели.

1. Jackl. and OsbornH. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields, Nucl. Phys. B, 207, 474 (1982).

2. Фаддеев JI. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Янга-Миллса, Теорет. и мат. физика, 148, 133 (2006).

3. FaddeevL. Mass in Quantum Yang-Mills Theory (comment on Clay Millennium Problem), Bull, of Brazil Math. Soc.; New Series, 33(2), 1-12 (2004).

4. ПоляковА. M. Калибровочные поля и струны — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», пер. с англ., 1999.

5. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

6. ВайнбергС. Квантовая теория полей. Том I: Основы, Пер. с. англ. — М.: Физматлит, 2003.

7. ВайнбергС. Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения, Пер. с. англ. — М.: Физматлит, 2003.

8. PeskinM.E., Schroeder D. V., An Introduction to Quantum Field Theory., Addison-Wesley Publishing Company. Copyright 1995.

9. Тахтаджян JI. А., Фаддеев JI. Д., Гамильтонов подход в теории солито-нов. — М.: Наука, 1986.

10. Abbott L.F., The background field method beyond one loop, Nucl. Phys. B, 185, 189 (1982).

11. БерезинФ.А., Фаддеев Л. Д., Замечание об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом, Доклады АН СССР, 137, 1011 (1961).

12. Coleman S. and WeinbergЕ., Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking, Phys. Rev. D, 7, 1888 (1973).

13. Coleman S. Secret Symmetry, in Laws of hadronic matter (Proceeding of the 11th Course of the «Ettore Majorana» International School of Subrmclear Physics), ed. A. Zichichi, Academic Press, 1975.

14. КоулменС. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения симметрии и калибровочных полей Пер. в 131., е.

15. Gross D.J. and WilczekF., Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories, Phys. Rev. Lett., 30, 1343 (1973).

16. PolitzerH.D., Reliable perturbative results for strong interactions?, Phys. Rev. Lett., 30, 1346 (1973).16. 'tHooftG. and VeltmanM., Regularizations and renormalizations of gauge fields, Nucl. Phys. B, 44, 189 (1972).

17. Bornsen J.-P., van de Ven A. E. M. Three-loop Yang-Mills /3-function via the covariant background field method, Nucl. Phys. B, 657, 257 (2003).

18. Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1971.

19. Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1978.

20. Смирнов В. И., Курс высшей математики. Том второй — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1974.

21. Смирнов В. И., Курс высшей математики, том III, часть II — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1974.

22. БагаевА. А. Двухпетлевые вычисления эффективного действия матричной сг-модели в формализме фонового поля, Теорет. и мат. физика, 154, 354 (2008).

23. БерестецкийВ.Б., ЛифшицЕ. М., Питаевский Л. П., Релятивистскаяквантовая теория, ч. 1 ( Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Серия: «Теоретическая физика», том IV) — М.: «Наука», Главная редакция физико-• математической литературы, 1968.

24. АхиезерА. И., БерестецкийВ.Б., Квантовая электродинамика — 2-е изд. перераб. — М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1959.

25. ИциксонК., ЗюберЖ.-Б., Квантовая теория поля — Т. 1, Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

26. СлавновА.А., Фаддеев JI. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей — Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1978.

27. РамонП., Теория поля. Современный вводный курс Пер. с англ.— М.: Мир, 1984.

28. Арефьева И. Я., СлавновА.А., Фаддеев J1. Д., Производящий функционал ¿'-матрицы в калибровочно-инвариантных теориях, Теорет. и мат. физика, 21, 311 (1974).

29. Попов В. Н. и Фаддеев Л. Д., Теория возмущений для калибровочно-инвариантных полей, Препринт ИТФ-67-036, Киев, 1967.

30. FaddeevL. D. and PopovV. N., Perturbation theory for gauge invariant fields. In: 135., pp. 31-51.

31. Попов В. H. и Фаддеев Л. Д., Ковариантное квантование гравитационного поля, Успехи физ. наук, 111, 427 (1973).

32. FaddeevL. D. and PopovV. N., Covariant quantization of the gravitational field. In: 135., pp. 65-76.

33. FaddeevL.D., Introduction to functional methods. In: Méthodes en théorie des champs/Methods in field theory: Les Houches, Session XXVIII, 1975 (Ed. R. Balian and J. Zinn-Justin) — North-Holland Publishing Company, 1976, 3-40.

34. FaddeevL.D., Introduction to functional methods. In: 135., cc. 79-119.

35. ИциксонК., ЗюберЖ.-Б., Квантовая теория поля — Т. 2, Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

36. Васильев А. Н., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Изд-во ЛГУ, 1976.

37. DeWittB.S., In Relativity, Groups and Topology, eds B. S. De Witt, New York, Gordon and Breach, 1965, p. 19.

38. DeWittB.S., Quantum theory of gravity. II. the manifestly covariant theory, Phys. Rev. 162, 1195 (1967).

39. ДевиттБ.С., Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ./Под ред. Г. А. Вилковысского. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987.

40. Honerkamp J., Chiral multi-loops, Nucl. Phys. B, 36, 130 (1972).

41. Hooft't G., An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional regularization procedure, Nucl. Phys. B, 62, 444 (1973).

42. TomonagaS., On a relativisticaly invariant formulation of the quantum theory of wave fields, Progr. Theor. Phys., 1, 27 (1946).

43. ТомонагаС., Релятивистски инвариантная формулировка квантовой теории волновых полей. Пер. в 133., с. 1.

44. Schwinger J., Quantum electrodynamics. I. A covariant formulation, Phys. Rev., 74, 1439 (1948).

45. ШвингерЮ., Квантовая электродинамика. Пер. в 133., с. 12.

46. FeynmanR. P., Space-time approach to quantum electrodynamics, Phys. Rev., 76 , 769 (1949).

47. Фейнман Р., Пространственно-временная трактовка квантовой электродинамики. Пер. в 133., с. 161.

48. DysonF. J-, The radiation theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman, Phys. Rev., 75, 486 (1949).

49. ДайсонФ., Теория излучения Томонага, Швингера и Фейнмана. Пер. в 132., с. 94.

50. Wiek G. С., The évaluation of the collision matrix, Phys. Rew., 80, 268 (1950).

51. Калужнин JI. A., СущанскийВ.И., Преобразования и перестановки: Пер. с укр. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — (Проблемы науки и технического прогресса).

52. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М., Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988.

53. ХарариФ., Теория графов: Пер. с англ., — М.: «Мир», 1973.

54. Смирнов В. И., Курс высшей математики, том IV, часть I —• М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1974.

55. Буслаев В. С., Вариационное исчисление: Учеб. пособие для физ.-мат. спец. вузов]. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

56. Ахиезер Н. И., Вариационное исчисление — Харьков: Вища школа, 1981.

57. АхиезерН. И., Лекции по вариационному исчислению. Учебник для гос. ун-тов]. — М.: Гостехиздат, 1955.

58. Ландау JI. Д. и ЛифшицЕ. М., Механика (Серия: «Теоретическая физика», том I) — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1973.

59. Арнольд В. И., Математические методы классической механики — М., «Наука», 1974.

60. Ландау Л. Д. и ЛифшицЕ. М., Статистическая физика. Часть 1 (Серия: «Теоретическая физика», том V) — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1976.

61. КуниФ.М., Статистическая физика и термодинамика: Учебное пособие. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

62. Jona-LasinioG., Relativistic field theories with symmetry-breaking solutions, Nuovo Cimento, 34, 1790 (1964).

63. DashenR. F., HasslacherB. and NeveuA., Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. I. Semiclassical functional methods, Phys. Rew. D, 10, 4114, (1974).

64. DashenR.F., HasslacherB. and NeveuA., Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. II. Two-dimensional models and extended hadrons, Phys. Rew. D, 10, 4130 (1974).

65. Goldstone J. and Salam A. and WeinbergS., Broken symmetries, Phys. Rev., 127, 965 (1962).

66. Iliopoulos J., ItzyksonC., Martin A., Functional methods and perturbation theory, Rev. Mod. Phys., 47, 165 (1975).

67. КорепинВ.Е. и ФаддеевJL Д., Квантование солитонов, Теорет. и мат. физика, 25, 147 (1975).

68. БагаевА. А., Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга-Миллса в формализме фонового поля, Записки научн. семин. ПОМИ РАН, 325, 5 (2005).

69. Bagaev A. A., Renormalization of the quantum equation of motion for Yang-Mills fields in the background formalism, J. Math. Sci., 138, 5631 (2006).

70. Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий: Пер. с франц. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960.

71. Дубровин Б. А., НовиковС. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия: методы и приложения. Том II. Геометрия и топология многообразий. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.

72. Yang С. N. and Mills R. L., Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev., 96, 191 (1954).

73. ЯнгЧ. и МиллсР., Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность. Пер. в 134., с. 28.

74. Постников М. М., Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

75. Смирнов В. И., Курс высшей математики, том IV, часть II — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

76. Дирак П., Принципы квантовой механики, Серия: «Библиотека теоретической физики» Пер. с англ. — 2-е изд. перераб. и доп. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

77. Владимиров В. С., Обобщённые функции в математической физике. — 2-е изд., испр., доп. — М.: Наука, 1979.

78. Фок В. А., Работы по квантовой теории поля — Издательство Ленинградского университета, 1957.

79. Новожилов Ю. В. Новожилов В. Ю., Владимир Александрович Фок (К столетию со дня рождения) — Санкт-Петербургский государственный университет «Физика элементарных частиц и ядра» 2000, том 31, вып. 1.

80. Schwinger J., On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev., 82, 664 (1951).

81. FeynmanR. P., An operator calculus having applications in quantum electrodynamics, Phys. Rev., 84, 108 (1951).

82. Владимиров В. С., Уравнения математической физики: Учеб. для вузов]. — 2-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004.

83. DowkerJ.S. and Gritchley Raymond, Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space, Phys. Rew. D, 13, 3224 (1976).

84. CorriganE., GoddardP. and OsbornH., TempletonS., Zeta-function reg-ularization and multi-instanton determinants, Nucl. Phys. B, 159, 469 (1979).

85. Patodi V. K., Curvature and the eigenforms of the Laplace operator, J. Diff. Geom., 5, 233 (1971).

86. GilkeyP. В., The spectral geometry of a Riemannian manifold, J. Diff. Geom., 10, 601 (1975).

87. GilkeyP. В., The spectral geometry of real and complex manifolds, Proc. Symp. Pure Math., 27, 265 (1975).

88. SeeleyR. Т., Complex powers of an elliptic operator, Proc. Symp. Pure Math., 10, 288 (1967).

89. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия: методы и приложения. Том I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.

90. Бабич В. М. и БулдыревВ. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач, М.: «Наука», 1972.

91. ЦвеликА. М., Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния: Пер. с англ. — М.: Физматлит, 2002.

92. Ландау JL Д. и ЛифшицЕ. М., Теория поля (Серия: «Теоретическая физика», том II) — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1973.

93. Паули В., Теория относительности, Серия: «Библиотека теоретической физики» Пер. с нем. — 3-е изд. испр. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1991.

94. WeinbergS., Dynamical approach to current algebra, Phys. Rev. Lett., 18, 188 (1967).

95. MeetzK., Realization of the chiral symmetry in a curved isotopic space, J. Math. Phys., 10, 589 (1969).

96. Polyakov A. M., Interaction of Goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields, Phys. Lett. B, 59, 79 (1975).

97. Polyakov A. M., Hydden symmetry of the two-dimensional chiral fields, Phys. Lett., B, 72, 224 (1977).

98. Polyakov A. and Wiegmann P. В., Theory of nonabelian Goldstone bosons in two dimensions, Phys. Lett., B, 131, 121 (1983).

99. МигдалА.А., Фазовые переходы в калибровочных и спиновых решеточных системах, ЖЭТФ, 69, 1457 (1975).

100. Семёнов-Тян-ШанскийМ. А. и Фаддеев JI. Д., К теории нелинейных ки-ральных полей, Вестник ЛГУ, 3, 81 (1977).

101. Ecker G. and Honerkamp J., Application of invariant renormalization to the non-linear chiral invariant pion Lagrangian in the.one-loop approximation, Nucl. Phys. B, 35, 481 (1971).

102. СлавновА. А. и Фаддеев Л. Д., Инвариантная теория возмущений для нелинейных киральных лагранжианов, Теорет. и мат. физика, 8, 297 (1971).

103. FriedanD., Nonlinear models in 2 + e dimensions, Phys. Rev. Lett., 45, 1057 (1980).

104. FriedanD., Nonlinear models in 2 + e dimensions, Ann. Phys., 163, 318 (1985).

105. FateevV.A., OnofriE., ZamolodchikovAl. В., Integrable deformations of the 0(3) sigma model. The sausage model, Nucl. Phys. B, 406, 521 (1993).

106. Арефьева И. Я., Об устранении расходимостей в модели трёхмерного п-поля, Теорет. и мат. физика, 31, 3 (1977).

107. BrézenE., Zinn-Justin J., Spontaneous breakdown of continuous symmetries near two dimensions, Phys. Rev. В 14, 3110 (1976).

108. HikamiS. and BrézenE., Three-loop calculations in the two dimensional non-linear сг-model, J. Phys. A: Math. Gen., Vol. 11, No. 6, 1976.

109. CampostriniM., Pelissetto, Rossi P. and VicariE., Strong-coupling analysis of two-dimensional 0(N) a model with N 2 on square, triangular and honeycomb lattices, Phys. Rev., 54, 7301 (1996).

110. CampostriniM., Pelissetto, Rossi P. and VicariE., Strong-coupling analysis of two-dimensional 0(N) a model with N 3 од- square, triangular and honeycomb lattices, Phys. Rev., 54, 1782 (1996).

111. ЧередникИ. В., Локальные законы сохранения главных киральных полей (d = 1), Теорет. и мат. физика, 38, 179 (1979).

112. ЧередникИ. В., Алгебраические аспекты двумерных киральных полей I. В книге: Итоги науки и техники (Серия: Современные проблемы математики), том 17, М.: ВИНИТИ, 1981, с. 175.

113. WiegmannP. В., On the theory of non Abelian bosons in two dimensions; exact solutions of the SU(N) <g> SU(N) nonlinear a model, Phys. Lett., B, 141, 217 (1984).

114. FaddeevL. D., ReshetikhinN. Yu., Integrability of the principal chiral field model in 1 + 1 dimension, Ann. Phys., 167, 227 (1986).

115. КричеверИ. M., Аналог формулы д'Аламбера для уравнений главного поля и уравнения sine-Gordon, ДАН СССР, 253, 288 (1980).

116. Захаров В. Е., Михайлов А. В., Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи, ЖЭТФ, 74, 1953 (1978).

117. РешетихииН. Ю. и Фаддеев JL Д., Интегрируемость квантовой модели главного кирального поля. В книге: Труды VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля, Алушта, 1984, с. 37.

118. ФаддеевJI. Д., Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов, Теорет. и мат. физика, 1, 3 (1969).

119. FradkinE. S. and TyutinLV., Feynman rules for the massless Yang-Mills field. Renormalizability of the theory of the massive Yang-Mills field, Phys. Lett. B, 30, 562 (1969).

120. РумерЮ. Б. и Фет А. И., Теория унитарной симметрии, монография, изд. «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1970.

121. Нгуен Ван Хьеу, Лекции по теории унитарной симметрии элементарных частиц, М.: Атомиздат, 1967.

122. ВыгодскийМ. Я., Справочник по элементарной математике, М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1968.

123. Бирман M.IH. и СоломякМ.З., Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве: Учеб. пособие. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

124. Ахиезер Н. И., ГлазманИ. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве: Т.1. — 3-е изд., испр. и доп. — Харьков: Вища школа, Изд-во при Харьк. ун-те, 1977.

125. АхиезерН.И., ГлазманИ.М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве: Т.2. — Харьков: Вища школа, Изд-во при Харьк. ун-те, 1978.

126. ПобедряБ.Е., Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

127. ГельфандИ. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958.

128. Roe J., Elliptic operators, topology and asymptotic methods, Longman Scientific Technical, Copublished in the United States with John Wiley Sons, Inc., New York, 1988.

129. Хамфрис Дж., Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2003.

130. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

131. FrolovS. A. and SlavnovA. A., An invariant regularization of the standard model, Phys. Lett. В., 309, 344 (1993).

132. BakeevT. D. and SlavnovA. A., Higher covariant derivative regularization revisited, Mod. Phys. Lett. A., 11, 1539 (1996).

133. SlavnovA. A. Invariant regularization of non-linear chiral theories, Nucl. Phys. B, 31, 301 (1971).

134. SlavnovA.A., Universal gauge invariant renormalization, Phys. Lett., B, 518, 195 (2001).

135. СлавновА. A., He зависящая от регуляризации калибровочно-инвари-антная перенормировка теории Янга-Миллса, Теорет. и мат. физика, 130, 3 (2002).

136. PauliW. and VillarsF. On the invariant regularizatioibin relativistic quantum theory, Rev. Mod. Phys., 21, 434 (1949).

137. Паули В., ВилларсФ., Об инвариантной регуляризации релятивистской квантовой теории Пер. в 132., с. 139.

138. Багаев А. А., Замечание о перенормировке квантовых уравнений движения для матричной сигма-модели, Записки научн. семин. ПОМИ РАН, 347, 30 (2007).

139. Квантовая теория калибровочных полей — Сб. статей — М.: Мир, 1977.

140. Сдвиг уровней атомных электронов и дополнительный магнитный момент электрона согласно новейшей квантовой электродинамике — Сб. статей/Под ред. Д. Д. Иваненко, М.: Издательство иностранной литературы, 1950.

141. Новейшее развитие квантовой электродинамики: Сб. статей/Под ред. Д. Д. Иваненко, М.: Издательство иностранной литературы, 1954.

142. Элементарные частицы и компенсирующие поля: Сб. статей/Под ред. Д. Иваненко — М.: «Мир», 1964.

143. FaddeevL.D., 40 years in mathematical physics: World scientific series in 20th century mathematics, Vol.2, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, 1995.