Энергия Казимира в струнных и полевых моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

»БЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-98-308

На правах рукописи " Г, УДК 539.12.01

ПИРОЖЕНКО Ирина Георгиевна

ЭНЕРГИЯ КАЗИМИРА В СТРУННЫХ И ПОЛЕВЫХ МОДЕЛЯХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1998

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Научные руководители:

доктор физико-математических наук В.В. НЕСТЕРЕНКО кандидат физико-математических наук А.Л. КОШКАРОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.М. ДУБОВИК

кандидат физико-математических наук А.Ю. КАМЕНЩИК

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт физики Санкт-Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится 'j^eAXle^jp 1998 г. на заседании диссертационного совета К047.01.01 при Лаборатории теоретиче ской физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядсрны> исследований, г. Дубна Московской области.

Автореферат разослан "У/ "M&pfyj? 1998 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенной института ядерных исследований.

1 Ученый секретарь 1 диссертационного совета доктор физико-математических наук ч' А.Е. ДОРОХОВ

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы

Эффект Казимира привлекает внимание физиков уже в течение полвека. В настоящее время, говоря об этом эффекте, обычно имеют в [ду круг физических явлений более широкий, чем предсказанное Ка-:миром в 1948 г. притяжение идеально проводящих пластин в ваку-яе. Под обобщенным эффектом Казимира понимают изменение ваку-гаой энергии (энергии нулевых колебаний) квантовополевой системы результате наложения каких-либо внешних ограничений. Это моет быть, например, ограничение объема квантования или отличие июлогип рассматриваемого пространства от евклидовой.

Энергия нулевых колебаний квантовополевой системы, определяе-1я как вакуумное среднее оператора Гамильтона Ео =< 0|Я|0 >, дается расходящейся полусуммой собственных частот. Тем не ме-:е, можно показать, что при конечном изменении граничных условий !менение вакуумной энергии также конечно.

Первое приложение идеи вакуумных колебаний в физике элементар-лх частиц связано с классической моделью электрона. Казимир пред-жил рассматривать электрон как сферу с равномерно распределен-лми по ней отрицательными зарядами, электростатическое оттал-1вание которых уравновешивается казимировой силой притяжения, днако, в 1968 г. Т. Бойер показал, что сила Казимира стремится не кать сферу, а, наоборот, расширить ее. После работы Бойера появись много статей, в которых рассматривался эффект Казимира для зантовых полей с граничными условиями, заданными на поверхности |)еры, параллелепипеда, двугранного угла, цилиндра и т.д. Исследо-шись случаи идеальных и полупрозрачных стенок, стенок с шерохова-эстями, нестационарные задачи, предполагающие перемещение гра-

ниц. Эффект Казимира изучался и при отличной от нуля температу! Несмотря на то, что в этой области исследований был получен цел! ряд важных результатов, до сих пор не разработан универсальный ы тод расчета энергии Казимира (ЭК), применимый для произволып граничных условий.

Величина и знак ЭК зависят от рассматриваемого поля и размерн сти пространства-времени. Кривизна пространства-времени или пр сутствие фонового поля также могут изменить спектр собственных ч стот и повлиять на ЭК.

Перечислим области теоретической физики, где исследование Э представляется особенно актуальным.

В квантовохромодинамической модели мешков, описывающей адр ны, ЭК глюонных и кварковых полей внутри мешка должна учит! ваться при расчете адронных масс.

В космологии эффект Казимира существенен, когда топология ра сматриваемой модели Вселенной отличается от топологии бесконе1 ного евклидова пространства. При этом казимировский вклад в пси ный вакуумный тензор энергии-импульса квантованных полей, явл: ясь источником гравитационного поля, в свою очередь оказывает ВЛ1 яние на метрику пространства-времени.

В полевых моделях типа Калуцы-Клейна учет эффекта Казимир необходим при рассмотрении механизма компактификации дополш тельных пространственных измерений (размерной редукции).

В струнных теориях энергия Казимира тесно связана с критич( ской размерностью пространства-времени и определяет квантовые пс правки к линейно растущему потенциалу при струнном описании вза имодействия кварков в адронах.

.При исследовании эффекта Казимира используются формализм фу]

[й Грина, метод тензора напряжения, формализм многократного рас-яния, техника дзета-функций, метод ядра уравнения теплопровод-сти, помодовое суммирование с помощью контурного интегрирова-[я. Слабым местом всех перечисленных подходов является проце-ра выделения и последующего устранения расходимостей. Отсут- . вие универсального математически строгого рецепта для этих целей четко сформулированных физических нормировочных условий при-дит к тому, что результаты, полученные разными путями, могут не впадать. Поэтому актуальной задачей является разработка последо-тельной однозначной процедуры устранения расходимостей при рас-те ЭК.

Цели работы:

• расчет межкваркового потенциала в струнных моделях (струна с массами на концах, жесткая струна, модифицированная жесткая струна),

• разработка последовательной однозначной процедуры устранения расходимостей при расчете ЭК, которая определяет межкварко-вый потенциал в струнных моделях,

• развитие техники расчета ЭК при конечной температуре,

• разработка последовательной процедуры устранения расходимостей при расчете вакуумной энергии для некоторых полевых моделей с граничными условиями, заданными на поверхности Б-мерной сферы (И = 2, 3),

• исследование роли эффекта Казимира в механизме сонолюминес-ценции.

Научная новизна и практическая ценность

В диссертации удалось развить простой с математической точ] зрения метод устранения расходимостей при расчете ЭК, который ос! ван на контурном интегрировании в комплексной плоскости собстве ных частот рассматриваемой квантовополевой модели. Эффективное этого метода продемонстрирована при расчете межкваркового поте циала в струнных моделях (струна Намбу-Гото с точечными массаь на концах, струна с жесткостью при нулевой и конечной температур модифицированная жесткая струна). В модели жесткой струны, мод: фицированной членом Гаусса-Бонне в действии, впервые рассчита! ЭК и межкварковый потенциал.

Метод помодового суммирования также хорошо работает при ра чете ЭК в некоторых полевых моделях, позволяя простым путем во произвести уже известные результаты (ЭК идеально проводящей сф ры, скалярного поля с граничными условиями Дирихле на сфере) получить новые (ЭК скалярного поля с граничными условиями Нет ана на сфере, диэлектрического шара без учета и с учетом дисперсии Кроме того, использование данного метода дает возможность ответит на актуальный в последние годы вопрос о связи механизма сонолюмз несценции с эффектом Казимира.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Лаборатс рии теоретической физики ОИЯИ, на международном семинаре „С) персимметрия и квантовые симметрии" (Дубна, Россия, 22 - 26 июл 1997 г.), на международных конференциях „Методы симметрии в ф! зике" (Дубна, Россия, 28 июля - 2 августа 1997 г.) и „Проблемы кваь товой теории поля " (Дубна, Россия, 13 - 18 июля 1998 г.), а также н 1У-м рабочем совещании „Квантовая теория поля с учетом внешни

гсловий"(Лейпциг, Германия, 14 - 18 сентября 1998 г.).

Публикации

По результатам диссертации опубликовано шесть работ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и при-южения. Список литературы содержит 103 наименования. Полный )бъем диссертации - 107 страниц машинописного текста, включая четыре таблицы и шесть рисунков.

Содержание работы

Во введении дано определение обобщенного эффекта Казимира. :делан обзор его основных приложений, сформулированы цели диссертации н кратко изложено ее содержание.

Первая и вторая главы посвящены изучению роли ЭК в расчете ¿ежкваркового потенциала в некоторых струнных моделях. В первой "лаве исследован потенциал, генерируемый струной Намбу-Гото с то-1ечными массами на концах.

В первом параграфе, который носит вводный характер, рассмотрен зариационный метод расчета статического потенциала, генерируемого ;труной Намбу-Гото с неподвижными концами (бесконечно тяжелые неподвижные кварки на концах струны). Межкварковый потенциал шределяется стандартным образом через соответствующий функциональный интеграл, который вычислен в пределе И —> оо [И - размерность пространства-времени).

Во втором параграфе исследуется потенциал, генерируемый струной, соединяющей кварки конечной массы. При вычислении функционального интеграла используется вариационный метод, который позволяет найти межкварковый потенциал в виде 1/£?-разложения. Получена система вариационных уравнений, определяющая стационарную

точку эффективного действия струны в пространстве вариационны: параметров сг;, т^, (г = 0,1).

В третьем параграфе эта система исследуется численно методо! итераций. Межкварковый потенциал, который определяется ЭК в дан ной струнной модели, найден в первом порядке 1/£)-разложения. Пока зано, что для любых масс кварков и практически при любых расстоя ниях между ними хорошо работает нулевое приближение: в выраженш для ЭК струны с массами на концах можно положить щ = 1 и сто = О При этом потенциал определяется формулой

У(Д) = М02Д

где Мд - натяжение струны, Я - ее длина, И - размерность простран ства-времени, Ес(тп,К) - ЭК. Анализ этой формулы показал, что массовые поправки дают существенный вклад в межкварковый потенциал Вторая глава посвящена разработке последовательной процедуры перенормировки при расчете струнного потенциала

В первом параграфе межкварковый потенциал в модели релятивистской струны с жесткостью получен в однопетлевом приближении

У(Л) = М02Д + (£> - 2)(4!) + 42)),

где Е^ и Е^ - ЭК, соответствующие двум модам колебаний жесткой струны. Для перенормировки этих энергий использован метод аналитического продолжения дзета-функций Римана = Е^х и

??

он дает следующие результаты:

4» = * 4> = £ п-1кх .

с 24 Л С \ у/а )

Чтобы обосновать применение формального метода (-функции в данной задаче, во втором параграфе межкварковый потенциал, генери-

Эпштейна-Гурвица (ен^) = (п2 + а2) Для энергий Е^ и Е^

уемый жесткой струной, рассчитан с использованием стандартного

ецепта перенормировок с регуляризацией и вычитанием. При этом

асходящиеся полусуммы собственных частот, определяющие Е^ и ,(2)

•с , представлены в виде контурных интегралов, а радиус контура нтегрирования в комплексной плоскости частот служит параметром егуляризации. Исходная модель содержит два физических параметра: атяжение струны и безразмерную константу а, характеризующую есткость струны. Показано, что в однопетлевом приближении пере-эрмируется только натяжение струны

В параграфе 3 с помощью спектральных представлений для ЭК груны, которые естественно возникают в рамках развиваемого под->да, найдена свободная и внутренняя энергия жесткой струны при >нечной температуре.

В параграфе 4 рассмотрена модификация модели жесткой струны тем введения топологического члена в ее действие. Получены ли-аризованные уравнения движения, граничные условия и найдено ча-отное уравнение, определяющее спектр возбуждений струны. В этой даче впервые рассчитана ЭК и межкварковый потенциал. Показано, "о вклад топологического члена в струнный потенциал может быть щественным на расстояниях меньших или порядка размеров адрона. В главе 3 рассмотрена ЭК в полевых моделях с граничными усло-ями, заданными на сфере.

В первом параграфе развит простой метод устранения расходимо-ей при расчете вакуумной энергии для таких полевых моделей. Ме-ц базируется на контурном интегрировании в комплексной плоскости зственных частот. Эффективность метода продемонстрирована рас-гом ЭК для идеально проводящей сферы в трехмерном пространстве = 3 + 1). В предлагаемом подходе не требуется вводить феномено-

логические обрезающие функции и удается обойтись практически бе сложных численных расчетов.

В параграфе 2 получена ЭК скалярного безмассового поля, подчг няющегося граничным условиям Дирихле и Неймана на сфере. Устрг нение расходимостей в данной задаче интерпретируется как иерено] мировка не только энергии нулевых колебаний, но и радиуса сферы.

В третьем параграфе исследована энергия вакуумных колебани электромагнитного поля в 2 + 1-мерном пространстве-временп для гр; ничных условиях, заданных на окружности. ЭК представлена ка сумма конечной и расходящейся частей. Расходящийся вклад зад; ется рядом п~1. Обсуждается связь этой задачи с расчетом Э] идеально проводящего цилиндра. ■ . ■

В главе 4 исследуется роль эффекта Казимира в механизме с6н( люминесценции.

В параграфе 1 методом помодового суммирования с использование контурного интегрирования рассчитана энергия Казимира материал] ного шара, помещенного в бесконечную среду. Предполагается, что д] электрическая и магнитная проницаемости шара иокружающей сред связаны условием = е^г-

В параграфе 2 рассмотрен случай немагнитного слабо поляризу мого шара (£1 — &2)2/(е1 + £г)2 1. Найдено, что ЭК в этом случ; положительна и увеличивается с уменьшением радиуса шара. Такс результат полностью исключает возможность того, что эффект Каз: мира лежит в основе сонолюминесценции.

В параграфе 3 показано, что учет дисперсии в данной задаче не пр водит к существенному изменению величины ЭК и ее знака. Этот э< фект дает только дополнительный положительный множитель /(аш0) конечном выражении (здесь и; о - плазменная частота, а - радиус шар

I < /(ашо) < 1).

В заключении сформулированы основные результаты диссертант.

В приложении А исследован контурный интеграл, определяющий Ж жесткой струны.

На защиту выдвигаются следующие результаты

1. Исследовано влияние массовых поправок на межкварковый потенциал, генерируемый струной Намбу-Гото. Численно показано, что при расчете струнного потенциала вариационным методом для любых масс кварков и практически при любых расстояниях между ними хорошо работает нулевое приближение: в выражении для ЭК струны с массами на концах можно положить щ = 1 и сто = 0.

2. Разработана последовательная однозначная процедура устранения расходимостей при расчете ЭК жесткой струны путем перенормировки параметров теории. Показано, что в однопетлевом приближении перенормируется только натяжение струны.

3. Дано обоснование формального метода (-функций в этой задаче.

4. Найдена свободная и внутренняя энергия жесткой струны при конечной температуре.

5. В модели жесткой струны, модифицированной членом Гаусса-Бонне в действии, получены линеаризованные уравнения движения, граничные условия и найдено частотное уравнение, определяющее спектр собственных возбуждений. В этой задаче впервые рассчитана ЭК и межкварковый потенциал. Показана важная роль топологического члена при расчете струнного потенциала.

6. Для полевых моделей с граничными условиями, заданными на сфере, развит метод устранения расходимостей в ЭК, базирующийся на контурном интегрировании в комплексной плоскости собственных частот рассматриваемой квантовополевой системы Эффективность метода продемонстрирована расчетом ЭК дл; идеально проводящей сферы (£) = 3 + 1) и для безмассового скалярного поля, подчиняющегося граничным условиям Дирихле I! Неймана на сфере. Устранение расходимостей интерпретируете} при этом как перенормировка не только энергии нулевых колебаний, но и радиуса сферы.

7. Исследована энергия вакуумных электромагнитных колебания* в 2 + 1-мерном пространстве-времени при граничных условия? заданных на окружности. В этом случае ЭК представима ка! сумма конечной и расходящейся частей. Расходящийся вклад за дается рядом тг~1. Невозможность полного устранения расходимостей в данной задаче связана с тем, что в точке в = ] дзета-функция Римана имеет особенность (простой полюс).

8. Рассчитана ЭК материального шара при условии, что диэлек трическая и магнитная проницаемости шара и окружающей егс бесконечной среды связаны условием Е\Ц\ = £2^2- В случае не магнитного слабо поляризуемого шара (£1 — £г)2/(¿1+£2)2 "С 1 ЭЬ определяется формулой Е ~ 3(%/?7 — У^г)2/(256а), где а - радиу« шара.

9. Найдена ЭК материального шара с учетом дисперсии диэлектри ческой проницаемости.

10. С помощью численных оценок показано, что эффект Казимир; не может быть использован для объяснения механизма сонолю

минесценции.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, On the calculation of the interquark potential generated by a string with massive ends, Phvs. Rev. D55, 6603 (1997).

2. V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Justification of the zeta function renormalization in rigid string model, J. Math. Phys.. 38. 6265 (1997).

3. V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Simple method for calculating the Casimir energy for a sphere, Phys. Rev. D57, 1284 (1998).

4. V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Is the Casimir effect relevant to sonolurninescence?, Pis'ma v ZhETF, 67, 420 (1998).

5. I. Brevik, V.V. Nesterenko, and I.G. Pirozhenko, Direct mode summation for the Casimir energy of a solid ball, JINR Preprint E2-97-307, Dubna (1997), hep-th/9710101, to be published in J. Phys. A: Math. Gen.

6. V.V. Nesterenko and I.G. Pirozhenko, Open rigid string with Gauss Bonnet term in action, JINR Preprint E2-98-171, Dubna (1998), hep-t,h/9806209, to be published in Mod. Phys. Lett. A.

Рукопись поступила в издательский отдел 29 октября 1998 года.

Л / > - / / У * ^

wf t С -: t /т ^ *s ( ' ^ f * ^

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова

На правах рукописи

ПИРОЖЕНКО Ирина Георгиевна

Энергия Казимира в струнных и полевых моделях

Специальность 01.04.02 - теоретичная физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук В.В. Нестеренко

кандидат физико-математических наук А.Л. Кошкаров

Дубна 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1 Межкварковый потенциал, генерируемый струной 16

1.1 Вариационный расчет струнного потенциала с использованием функционального интегрирования 16

1.2 Массовые поправки к межкварковому потенциалу 22

1.3 Исследование вариационных уравнений 25 Глава 2 Перенормировка при расчете струнного потенциала 30

2.1 Межкварковый потенциал, генерируемый- дтрушй с жесткостью в однопетлевом приближении. Метод ("-функций 31

2.2 Перенормировка натяжения струны и устранение расходимостей 38

2.3 Переход к конечной температуре 45

2.4 Модификация модели жесткой струны топологическим членом в действии 49

Глава 3 Простой способ расчета энергии Казимира для граничных условий, заданных на сфере 60

3.1 Энергия Казимира идеально проводящей сферы (И = 3 + 1) 61

3.2 Скалярное безмассовое поле с граничными условиями Дирихле и Неймана на сфере 70

3.3 Энергия Казимира электромагнитного поля с граничными услови-

ями, заданными на окружности (.0 = 2 + 1) 76

Глава 4 Энергия Казимира материального шара в бесконечной однородной среде 84

4.1 Энергия Казимира материального шара при выполнении условия

86

4.2 Слабо поляризуемый шар 91

4.3 Учет дисперсии 92 Заключение 97 Приложение А 100 Литература 101

Введение

Данная диссертация посвящена изучению роли энергии Казимира в полевых и струнных моделях и разработке эффективных методов для ее расчета.

Эффект Казимира [1] известен с 1948 г. В настоящее время, говоря об этом эффекте, обычно имеют в виду круг физических явлений более широкий, чем открытое Казимиром притяжение идеально проводящих пластин в вакууме. Под обобщенным эффектом Казимира понимают изменение вакуумной энергии (спектра нулевых колебаний) квантовополевой системы в результате наложения каких-либо внешних ограничений [2]. Это может быть, например, ограничение объема квантования или отличие топологии рассматриваемого пространства от евклидовой.

Энергия нулевых колебаний квантовополевой системы определяется как вакуумное среднее оператора Гамильтона Ео =< 0|iï|0 >. Нетрудно показать, что вакуумная энергия Ео бесконечна. В случае скалярного поля массой m оператор Гамильтона имеет вид [3]

Й = \ ^шк(акак + akat) - Y,^k{(ikak + 1/2), (B.l)

1 к к

где си2к = к2 + m - собственные значения оператора Клейна-Гордона, а операторы и а^ удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям для бозонных полей = бккч = [atiak'] = Так как вакуумное состояние |0 > определяется условием >= 0, вакуумное среднее оператора Гамильтона дает расходящуюся полусумму собственных

частот

Ео = 1т,шк. (В.2)

1 к

В стандартной теории поля, чтобы не иметь дела с бесконечностями, плотность энергии вакуума обычно полагают равной нулю, сдвигая начало отсчета энергии каждой моды на ш/2. Действительно, так как энергия определена с точностью до аддитивной постоянной, это можно сделать, переходя к нормальному произведению операторов в гамильтониане. Дополнительным аргументом в пользу перехода к нормальному произведению является то, что только при нулевых значениях энергии и других наблюдаемых вакуумное состояние инвариантно относительно сдвигов и лоренцевых поворотов, т. е. преобразований группы Пуанкаре. Однако, Пуанкаре-инвариантности заведомо нет при наличии границ. Кроме того, всякое изменение граничных условий требует переопределения процедуры нормального упорядочения.

Вакуумная энергия поля при граничных условиях А задается расходящейся суммой Ео(А), а при граничных условиях — Ео(В). Тогда при конечном изменении граничных условий можно ожидать, что разность этих энергий [4]

Ес = Щ(А) - Ео(В) = \ЕЫА) - шк(В)] (В.З)

г к

будет конечной величиной. Очевидно, для математически корректного определения энергии Казимира необходимо регуляризовать расходящиеся суммы Еъ(А) и Е<ь(В).

Знак энергии и характер силы Казимира (является она силой притяжения или отталкивания) зависят от рассматриваемого поля. Для данного поля различаются по знаку энергии при разных размерностях пространства-времени. Если размерность фиксирована, энергия нулевых колебаний сложным образом зависит от геометрии границ. К настоящему времени была рассчитана энергия Казимира только для границ простой геометрической формы [5]: плоскопараллельные пластины [1], сфера [6]-[12], двугран-

ный угол [13, 14], цилиндр [15]. Наличие фонового поля или кривизна пространства-времени также могут изменить спектр собственных частот и повлиять на знак энергии Казимира. В расчетах для пространств с нетривиальной топологией в качестве Е$[В) вычитают вклад пространства Минковского.

Исторически первое приложение эффекта Казимира в физике элементарных частиц связано с классической моделью электрона [16]. Предполагалось, что электрон — это сфера из равномерно распределенных отрицательных зарядов, электростатическое отталкивание которых уравновешивается казимировой силой притяжения. Однако, в 1968 г. Т. Бойер показал, что вакуумная энергия идеально проводящей сферы положительна. То есть, сила Казимира стремится не сжать сферу, а, наоборот, расширить. После работы Бойера появилось много статей, в которых рассматривался эффект Казимира для электромагнитного поля с границей разной формы: сферы, параллелепипеда, двугранного угла, цилиндра и пр. Исследовались случаи идеальных и полупрозрачных стенок [17], стенок с шероховатостями, нестационарные задачи, предполагающие перемещение границ. Также изучался эффект Казимира при отличной от нуля температуре [18].

Перечислим теперь некоторые области теоретической физики, где энергия Казимира играет наиболее важную роль.

В квантовохромодинамической модели мешков, описывающей адроны на феноменологическом уровне, энергия Казимира глюонных и кварковых полей внутри мешка должна учитываться при расчете адронных масс. В этой модели кварки считаются невзаимодействующим (д = 0) в сферической области г < а; поток кварков и глюонов через границу полагается равным нулю. Внутри мешка справедлива теория возмущений, в то время как все остальное пространство занимает непертурбативный вакуум

КХД [19]. Выражение для масс адронов этой модели имеет вид

Ажо?

м = £ Ег + —В + АЕд + Ес{а), (В.4)

г &

где Е{ - уровни энергии кварков в потенциальной яме бесконечной глубины; второй член, пропорциональный объему мешка - это энергия, связанная с вытеснением непертурбативного вакуума из объема мешка; А.Ед - энергия взаимодействия кварков, рассматриваемого как возмущение; Ее (а) суммарный вклад энергий Казимира полей внутри мешка. С подгоночными параметрами а, В, АЕд модель мешков дает спектр мезонов и барионов, хорошо воспроизводит магнитные моменты адронов [19].

Поскольку глюоны в этой модели считаются невзаимодействующими, то вся теория оказывается эквивалентной квантовой электродинамике. Поэтому для расчета энергии Казимира глюонного поля можно сначала рассмотреть электродинамическую задачу для сферической области с проницае-мостями £1,/11, окруженной бесконечным пространством с £2, /¿2- Дополнительное условие £\Ц\ = £2^2 обеспечивают скорость фотонов (глюонов) равную скорости света в вакууме [20]. Энергию Казимира обычно находят методом функций Грина [21]. Для регуляризации расходящихся выражений аргументы полевых операторов, входящих в аргументы функций Грина считают различными. Казимировская энергия глюонов Ед получается из соответствующего электродинамического выражения предельным переходом ц\/Ц2 —> сю. Умножение Ед на 8 дает суммарный вклад всех компонент глюонного поля.

При нахождении вклада кварковых полей в энергию Казимира мешка массой легких кварков ад, с?, й обычно пренебрегают. Энергию Казимира безмассового спинорного поля Ед вычисляют, считая цветовые степени свободы независимыми. Полученную Ед умножают на число ароматов легких кварков. Пренебрежение массами кварков возможно при та <<1.

При характерном радиусе нуклона а ~ 1фм энергия Казимира соста-

вляет около 10% его энергии [4]. Получаемая в модели мешков энергия Казимира положительна и повышает полную энергию адрона Ее ~ 0.43/а. Хотя для наилучшей подгонки масс адронов к опытным результатам значение энергии Казимира должно быть Ее ~ —1.8/а [22]. Первые расчеты энергии нулевых колебаний глюонного поля выполнены в [23]. Энергия Казимира безмассового фермионного поля внутри и снаружи мешка была получена в статьях [21, 22, 23], а массивного поля — в [24, 25]. Киральная модель мешков рассматривалась в [26, 27].

В космологии эффект Казимира существенен, когда топология рассматриваемой модели Вселенной отличается от топологии бесконечного евклидова пространства. При этом возникает казимировский вклад в полный вакуумный тензор энергии-импульса квантованных полей, который, являясь источником гравитационного поля, в свою очередь оказывает влияние на метрику пространства-времени. В частности, существуют так называемые самосогласованные модели Вселенной [28, 29, 30], вообще не содержащие вещества и целиком определяемые вакуумными квантовыми эффектами.

Высказывалось предположение, что в основе некоторых астрофизических явлений также лежит эффект Казимира. Например, в статье [31] утверждается, что он имеет отношение к вспышкам гамма-излучения нейтронных звезд. Если при механических колебаниях размеров нейтронной звезды ее энергия Казимира изменяется, то разница в энергии может уноситься 7-квантами. Идея такого объяснения вспышек излучения нейтронных звезд фактически заимствована из последних работ Швингера [32], посвященных выяснению механизма сонолюминесценции. Применив предложенный Швингером метод расчета к нейтронным звездам, авторы [31] получили параметры отдельной вспышки (энергия, длительность), которые неплохо согласуются с астрофизическими наблюдениями.

Эффект Казимира играет важную роль при исследовании полевых мо-

делей типа Калуцы-Клейна [33]. Калуца предположил, что истинная размерность пространства-времени б? = 4 + N > 4, причем дополнительные N измерений образуют N-мерное компактное пространство с геометриче-

воначально эта идея была применена к объединению гравитации и электромагнетизма. В настоящее время развиваются теории супергравитации и суперструн [34], также использующие идею компактификации. В этих теориях учет эффекта Казимира, очевидно, необходим при рассмотрении механизма компактификации дополнительных пространственных измерений (размерной редукции).

В теории струн энергия Казимира тесно связана с критической размерностью пространства-времени [35]. Для доказательства релятивистской инвариантности теории в квантовом случае необходимо убедиться в том, что генераторы группы Пуанкаре Р^ и М^ удовлетворяют известным коммутационным соотношениям. Нетрудно показать, что в случае струны Намбу-Гото выполнение требований алгебры группы Пуанкаре ведет к ограничению на возможную размерность пространства-времени.

Генератором трансляций является полный импульс струны Рм, а тензор углового момента струны М)Ш есть генератор лоренцевых поворотов. Оказывается, что все коммутационные соотношения имеют правильное значение, кроме коммутатора [35]

где 2 < г, j < V — 1; В - размерность пространства-времени, Рц- полный импульс струны. Алгебра группы Пуанкаре требует, чтобы [М+\ = О, поэтому единственная возможность согласовать данную теорию с релятивистской инвариантностью - это потребовать, чтобы И = 26 и ск(0) = 1, причем константа а(0) учитывает нулевые колебания струны (пропорци-

скими размерами порядка планковской длины 1р1 = \[С1 ~ 10 33 ст. Пер-

2 00 ' [М+\ М+'] = £ т г т=1 1.

V ((У1 /уЗ __Гу1 ^

(В.5)

ональна ее энергии Казимира)

«(0) = (В.6)

Как известно, существует несколько направлений в теории струн. Одно из них — это теория фундаментальных струн, претендующая на роль объединителя всех взаимодействий [36]. Другое направление исследований тесно связано с адронной физикой и берет свое начало с дуально-резонансных моделей, предложенных в 70-х годах [35]. В настоящее время адронные струны рассматриваются как коллективные переменные в квантовой хромо-динамике, доминирующие в области расстояний, порядка размеров адрона (10-13см).

Качественно это можно представить следующим образом. С увеличением расстояния между кварками глюонное поле концентрируется вдоль линий, соединяющих кварки, вместо того, чтобы заполнять все пространство, как это происходит в квантовой электродинамике. В результате формируется трубка глюонного поля, соединяющая кварки в полной аналогии с абрикосовскими вихрями в теории сверхпроводимости [35]. Энергия глюон-ной трубки (струны), как одномерно протяженного объекта, очевидно, пропорциональна ее длине. Это сразу дает линейно растущий с расстоянием межкварковый потенциал (потенциал запирания). На малых расстояниях такой подход уже неприемлем, так как с уменьшением расстояния между кварками струнные конфигурации глюонного поля, очевидно, перестают быть доминирующими.

Представляет несомненный интерес расчет квантовых поправок к линейно растущему потенциалу, генерируемому струной. Эти поправки определяются энергией Казимира в рассматриваемой струнной модели. Таким образом, энергия Казимира играет важную роль в описании взаимодействия кварков в адронах.

Актуальность струнного описания связана с тем, что асимптотическая свобода в КХД позволяет исследовать взаимодействие кварков только на

малых расстояниях. В области расстояний, определяющих низкоэнергетическую адронную физику, квантовохромодинамическая теория возмущений оказывается неприменимой. Методами теории возмущений невозможно исследовать спектр масс адронов, характеристики их низкоэнергенического поведения. Для этих целей используются решеточные и струнные модели.

Динамику трубки глюонного поля можно приближенно описать струной Намбу-Гото. Расчет (различными методами) межкваркового потенциала в этой модели привел к следующей формуле [37, 38, 39]

У(Я) = М2Я

где М2 - натяжение струны, Ес{Щ = —7г/(24Д) - энергия Казимира струны Намбу-Гото, В - размерность пространства-времени. При исследовании динамики кварков в этой модели используется нерелятивисткое приближение, что позволяет положить1 В = 4.

При выводе (В.7) были сделаны следующие упрощающие предположения: I) глюонная трубка является бесконечно тонкой; гг) концы струны жестко закреплены (бесконечно тяжелые неподвижные кварки). Отказавшись от г) А. М. Поляков и, независимо, X. Кляйнерт предложили так называемую струну с жесткостью [40, 41]. Чтобы убрать ограничение и), естественно рассматривать релятивистскую струну, соединяющую кварки конечной массы. Для расчета потенциала в этих струнных моделях потребовалось разработать последовательную процедуру перенормировок. Эта задача оказалась довольно сложной. Дело в том, что даже в перенормируемых теориях поля последовательная процедура устранения расходимостей (например, Я-операция Боголюбова) детально разработана только для процессов рассеяния [3]. Здесь же требуется рассчитать энергию (релятивистски неинвариантную величину). Более того, из-за размерного параметра в

1 Предлагались методы квантования струны Намбу-Гото [39], которые не приводят к ограничениям на размерность пространства-времени.

теории (натяжение струны) струнные модели, как правило, неперенорми-руемы.

Тем не менее удалось разработать простой с математической точки зрения метод устранения расходимостей [42], основанный на контурном интегрировании в комплексной плоскости собственных частот рассматриваемой краевой задачи. Этот метод хорошо работает не только в струнных (струна Намбу-Гото с массами на концах, струна с жесткостью, модифицированная жесткая струна), но и в некоторых полевых моделях. В диссертации эти полевые модели рассматриваются в связи с актуальной в последние годы проблемой [43] объяснения механизма сонолюминесценции2. В своих последних статьях [32] Швингер предположил, что причиной со-нолюминесценции является динамический эффект Казимира. Эта гипотеза справедлива, если энергия Казимира газового пузырька уменьшается при его сжатии, а изменение энергии 8Ес уносится излучением. При этом спектр излучения должен совпадать с наблюдаемым (голубой свет), а 5Ее должно быть сравнимо по величине с энергией одной соно люминесцентной вспышки (^ ЮМэв) [44]. В настоящее время некоторые авторы развивают идею Швингера [45, 46, 47]. Однако существуют работы [48], в которых показано, что эффект Казимира не позволяет объяснить явлени�