Поляризация вакуума на фоне пространств кротовых нор и космических струн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хабибуллин Артем Ришатович

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА НА ФОНЕ ПРОСТРАНСТВ КРОТОВЫХ НОР И КОСМИЧЕСКИХ СТРУН

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003474650

Работа выполнена на кафедре математики, информатики и методики преподавания информатики Государственного обр азов ателыю-го учреждения высшего профессионального образования "Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Хуснутдинов Наиль Рустамович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Бронников Кирилл Александрович (ВНИИМС г. Москва) доктор физико-математических паук, профессор Амипова Ася Васильевна

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится " 17 " сентября 2009 года в 14— на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан" 8 " 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Еремин М.В.

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования. Интерес к пространствам с нетривиальной топологической структурой был вызван работами Эйнтпгейна, Розена, Уилера, Торна, Морриса и Юртсевера. В работах этих авторов было показано, что такие пространства возникают при рассмотрении, черных дыр, кротовых нор, пространств с нарушением причинности, и т.д. Уилсром было введено понятие; "кротовая нора" для интерпретации элементарных частиц в виде ручек простраиства-вромспи. Поело работ Морриса, Торпа и Юртсевера интерес вызвали проходимые кротовые норы, позволяющие рассматривать нарушение причинности в современной физике. Основной, и до сих пор нерешенной задачей физики кротовых нор является проблема, объяснения их существования, поскольку из самых общих соображений можно показать, что пространство кротовой норы нарушает все известные условия эпергодомипшгаюсти, и возможным источником пространства кротовой норы может является экзотическая материя или вакуумные квантовые флуктуации полей. В отсутствии квантовой гравитации большую роль играет полуклассическая квантовая теория полей, в рамках которой квантовыми являются все ноля кроме гравитационного.

В процессе эволюции Вселенной спонтанное нарушение симметрии приводит к появлению различных топологических дефектов, одним из которых являются космические струны, представляющие собой нитеобразную полевую конфигурацию. Экспериментально измеренная анизотропия реликтового излучения, совпадает с теоретически предсказанной только при учете существования космических струн. Из астрофизических наблюдений в данное время получена верхняя оценка количества космических струн во Вселенной - около 10-12 струн на размер горизонта. Рассмотрение бесконечно тонких космических струн приводит к появлению уравнений с сингулярными потенциалами или с нетривиальными граничными условиями. Такого рода потенциалы часто возникают в различных областях

физики, в реальных физических моделях, связанных с появлением полупрозрачных границ, описываемых модельными сингулярными потенциалами.

Цель работы состоит в исследовании энергии вакуумных флуктуаций квантованных скалярных полей в пространствах кротовых нор и космических струн, а также при наличии нетривиальных хра-пичных условий или сингулярных потенциалов.

Научная новизна работы заключается в следующем: в диссертации развивается единый подход вычисления энергии вакуумных флуктуации ноля на основе регуляризации обобщенной дзета-функцией для пространств с нетривиальной топологией; впервые получено общее выражение энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля для произвольного дефицита угла космической струны конечно!« поперечного сечения; получена энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной или двумя сферическими оболочками; показано, что сила Казимира для такой модели может быть не только силой отталкивания, но и силой притяжения при определенных радиусах сферы; получены выражения для энергий нулевых колебаний скалярных нолей при наличии сингулярных потенциалов; найдено нормировочное Условие, позволяющее получить конечное выражение /уш энергии Скалярных полей при граничных условиях различного типа.

Научная ценность и практическая значимость состоит ь развиваемом подходе, позволяющем вычислить энергию вакуумных флуктуаций поля, не учитывая спектр оператора Лапласа в явном виде. Получено выражение, позволяющие найти энергию вакуумных флуктуаций ноля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения для произвольного дефицита угла. В отличие от известных ранее результатов, использование этого подхода в пространствах с нетривиальной топологией (идеально проводящая сфера, содержащая кротовую нору) показало, что сила Ка-

зимира может менять свой знак, при определенных значениях параметров. Найдено нормировочное условии, позволяющее получи ть конечное выражение для энергии вакуумных флуктуации в скалярных полях с нетривиальными граничными условиями или сингулярными потенциалами.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Получено выражение для энергии нулевых колебаний массивного скалярного ноля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения для произвольного дефицита угла.

2. Вычислена энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля с пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной или двумя сферическими поверхностями.

3. Вычислена энергия нулевых колебании скалярных полей при наличии нетривиальных граничных условий, предложен корректный способ проведения перенормировки в этом случае.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и школах: III международная конференция по фундаментальным проблемам физики, Казань, КГУ, 2005; Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике), Уфа, БГПУ, 2005; Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (RUSGRAV-12), Казань, 2005; Международная школа-семинар по квантовой теории ноля, суперсимметрии, теории полей высших спинов и гравитации, Томск, 2005; Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии (GRACOS-2Ü07), Казань, 2007; Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии (GRACOS-2009), Казань, 2009; Международная конференция но гравитации, космологии и астрофизике (RUSGRAV-13), Москва, 2008, а также на научных семинарах кафедр теории относительности и гравитации КГУ и теоретической физики ТГГПУ (КГПУ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в центральной научной печати в журналах из списка

ВАК, 1 статья в сборнике научных работ, 6 тезисов докладов на ««российских и зарубежных конференциях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 113 страницах, включая 12 рисунков и список литературы го 115 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении аргументируется актуальность исследуемой проблемы, обосновывается научная и практическая значимость работы, формулируются цель исследования и положения, выносимые на защиту.

В первой главе приведен краткий обзор методов регуляризации энергии нулевых колебаний для произвольных полей. Более подробно рассмотрен подход дзета-регуляризации на примере сферической поверхности. Показан стандартный способ перенормировки анергии в массивных скалярных нолях. Представлен обзор и описание таких объектов исследования, как космические струны и кротовые норы.

Во второй главе в рамках дзета-регуляризации получено общее выражение дня энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля на фоне пространства-времени космической струны конечного поперечного сечения дд4 произвольного дефицита угла.

Пространство-время ¡космической струны конечного поперечного сечения в цилиндрических координатах имеет следующую форму для внутренней и внешней областей струны соответственно:

dsfn = -dt2+ dp2 + & sin2 (e-£)d<p2 + dz2, (1)

2

ds20Ut = -dt2 + dr2 + ^rdip2 + dz2.

v¿

Такое пространство-время покрывается двумя картами: внутренняя часть координатами (t,p. г), где (í, г) е (—ос + ос), р € [0,ро], ¡р 6 [0, 2тг) и внешняя координатами (i, г, <¿>, z), где (t, z) 6 (-00 + оо), г е [r0, +оо), (р е [0, 27г). "Внешний" - го и "внутренний" - ро радиусы

струны и параметры с, v подчиняются уравнениям

/О tail t

1

COS f

(

Сечение пространства (1) поверхностью t = const, z — const изображено на рисунке 1.

Рис. 1: Сечение t = const, г = const, пространства космической струны Готта-Хискока.

В рамках подхода д«:тл-регулярш;щ5ш выражение для регуляри-зованной энергии массивного скалярного ноля на фоне иространства-времаш рассматриваемой модели будят выглядеть в виде суммы:

Пространство-премя постоянной кривизны

E{s) = Ethi"(s) + EiHl(s),

(3)

где

Еш"(.ч) = Г dk (¿2_„г2}1/2-»|. hlk-n4nv{kR)

27Г II —П Jrn

т

является регуляризованной энергией нулевых колеоаний ноля для проел ранс.тна-нремени бесконечно тонкой струны в случае минимально связанного цоли (£ = 0). Здесь с1п - число вырождения, зависящее от размерности пространства, 1пи - функция Бесселя второго рода.

Внутренняя структура дает дополнительный вклад

-foc у.оо о

Eint = V^ У d» / - m2] 4- In /п(tfc),

2К n^O Jra àk

где fni'ik) является функцией Йоста на мнимой оси

/„(¿АО = --^ {K'nu(kr0)Р~п[cosс]

V cos е. \ е /

a ,ЙГП1/ и функция Бесселя второго рода и функция Лежандра первого рода соответственно.

В безмассовом случае (т. = 0) перенормированная анергия нулевых колебаний перепишется в следующем виде:

^ = W

Зависимость E((),£,t) энергии как функции дефицита t для Ç = 0 и £ = 1/6 представлены на рисунке 2.

Численный анализ функции E(0,Ç,f.) для данных параметров £ показывает, что энергия нулевых колебаний отрицательна при любых дефицитах угла t. Для малого дефицита угла <- 1 приближенно получаем

Er* (5)

где q = 0.05 для £ = 0 и rç = 0.02 для £ = 1/6.

Третья глава посвящена исследованию энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной и двумя сферами. Пространство-время

Рис. 2: Зависимость энергии £7(0, £.«■.) от г. для £ = 0 (тонкая линия) и £ = 1/6 (толстая линия).

кротовой норы с бесконечно короткой горловиной описывается следующей метрикой

ds2 = -dt2 + dp2 + r2(p) (dO2 + sin2 0 d'-p2). (6)

Форма горловины кротовой поры описывается функцией профиля т{р) — М + а: ''Де «> 0 - радиус горловины кротовой норы, а р 6 (-сс,+оо) описывает две идентичные области Т>_ при р < 0 и V) при р > 0. Пространство-время всюду плоское за исключением горловины кротовой норы со скалярной кривизной, пропорциональной дельта-функции

тг = -8М. (7)

а

Вводя новые радиальные координаты г± = ±р + а, мы можем переписать метрику (6) в явно плоском виде

ds2 = - di2 + dr% + r\(di)2 + sin2 В dtp2). (8)

В подходе дзета-регуляризации энергия нулевых колебаний скалярного поля па фоне: пространства-времени кротовой норы с бесконечно короткой горловиной, окруженной одной или двумя идеально

провидящими сферами будет выглядеть следующим образом Щв) = [1п ф.п + 1п + 1п ф^] ,

(9)

где Ф представляет функцию дли нахождении спектра энергии колебаний массивного скалярного поля, заключенного в пространстве между двумя сферами, Ф0».г - для спектра энергии колебаний такого же поля, во внешних областях (вне сфер).

Выполнив перегруппировку членов, содержащих функции Бесселя, можно представить выражение (9) в более удобном виде

Щз) = АЕ(а) + £$(в) + Е%(*), (10)

где

£%(й) Г ак{к2 _ п2у/2-« х (11)

д

х — 1п 1„[к(а + ЩК„[к{а + Д)](

£$(,) = ГщкР-т2)1'2- х (12)

2тг Jm

х — 1п 1„[к(п + П,')}К4к(а + Я.')},

Д1?(.з) = -¿»Щи?) Г^.т2)"»-'^® (13) 2тт Jm ок

и

\]/ =_--(14)

ЪЩа + П'ЩЦа+П.)] К >

Выражение для Е^(я) в (12), представляет собой энергию Казимира дни сферы радиуса а + Д в пространстве-времени Минковского с граничными условиями Дирихле и совпадает с полученным ранее другими авторами. Выражение для Е$(ь) и (13) является полной аналогией предыдущего, с той лишь разницей, что сфера радиуса а + К' располагается в области Х>_.

Для получения энергии нулевых колебаний массивного скалярного поли в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной

проводящей сферой радиуса И, положим Л' —» оо. В этом случае, выражение равно нулю и не дает никого «клада в энергию всего пространства, а выражение для АЕ(э) будет представлять собой разницу между энергией Казимира для кротовой норы, окруженной сферой, и энергией для сферы того же радиуса п пространстве-времени Минковского. Таким образом, в случае одной сферы, окружающей горловину кротовой норы (Я' —» оо), мы получим

Рис. 3: Зависимость перенормированной энергии нулевых колебаний ЕТ1:п/т от х — П/а для ¡3 = та = 0.04, 0.5 и различных значений £ и фиксировавшей т. С увеличением £ появляются максимум и минимум. При дальнейшем увеличении £ кривая "переворачивается" и экстремум исчезает. Если радиус сферической поверхности превышает десять радиусов горловины кротовой норы, то энергия для любых. £ принимает значения, соответствующие энергии во всем пространстве-времени кротовой норы.

На рисунке 3 представлены графики перенормированной энергии пулевых колебаний, в виде функций от х = В./а для различных

1 К„[к(а + Н)} 8 ЦЦа + К)] '

(15)

Е„„/га

Я —П *

значений д — та и ц. Радиусы сферы и горловины кротовой норы совпадают при з: = П. Для больших радиусов сферы (Л -* со) энергия нулевых колебаний Егеп принимает постоянное значение, равное энергии Казимира для всего пространства-времени. В пределе R —> О (случай, когда радиус сферы и горловины кротовой норы совпадают) энергии нулевых колебаний Ег(:п убывает дли произвольных И и (. Это означает, что сила Казимира, действующая на сферическую поверхность для достаточно малых радиусов сферы является силой "притяжения" и направлена к горловине креповой поры. В интервале 0 < Л/а < ос можно различить три разных ситуации в поведении энергии. В первом случае энергия Егел' не имеет экстремумов и монотонно возрастает дли произвольных значений Л/а. При этом сила Казимира является силон притяжения для любых радиусов сферы. Во втором случае энергия Еге" сначала возрастает, а затем убывает, принимая определенное значение. При этом график энергии в определенном интервале имеет форму барьера с некоторым максимальным значением Е[еп при R\/а. Сила Казимира и этой ситуации меняется с силы "притяжения" (для R < Ri) на силу "отталкивания" (для R > Ri). Значение R = R\ соответствует точке нестабильно!« равновесия. В третьем случае энергия £ге„ возрастает для R./a < Ri/а, убывает дня Л i/o < R/a < R2/a и затем возрастает для R/a > Ri/a, принимая постоянное значение. Таким образом, график имеет максимум и минимум. В этой ситуации сила Казимира направлена наружу от сферы радиуса R\ < Л < Лг и внутрь для сферы радиусов Л < Л) и Л > Л2, при этом значение Л == Л? соответствует точке стабильного равновесия, и энергия ЕГ1.п имеет локальный минимум.

В четвертой главе рассматривается действительное скалярное поле ф(х) в трехмерном евклидовом пространстве при наличии граничных условий Дирихле на двух идеально проводящих пластинах и источника с сингулярным потенциалом в точке х = 0, расположенного между этими пластинами. К обычным условиям Дирихле

добавляются граничные условия для сингулярною потенциала, которые в случае электромагнитного поля представляют собой условия для ТЕ и ТА/ поляризации при наличия бесконечно тонкой металлической сферы. Таким образом в задаче рассматриваются три типа "нестандартных" граничных условий: граничные условия первого рода (Т£-мода)

<¿(+0) - </;(-0) = О, ф'(+0) - ф'(-0) = Хф(0), (16)

Ф(+Ц = 0, ф(-Ь) = 0;

граничные условия второго рода при наличии границ Дирихле. (ТА! 1-мода)

ф'(+0) ф'{А)) = о, ф{+1}) - й>(-0) = -±ф'(0), (17)

Ф{+Ь) = 0, ф(-Ь) = 0;

граничные условия второго рода при наличии границ Неймана (ТМ2-мода)

Ф'(+0)~Ф'{-0) = О, ф(+0)-ф{-И) = -±ф'(0), (18) ф'(+Ь) = О, ф'(-Ь) = 0.

Из граничных условий (17, 18, 19), получим условия па спектр энергии колебаний на мнимой оси для трех случаев

Фтв(Л) = '1*ЦЩ{2ксЪ(кЬ) + \МкЬ)}, Итм-Лгк) = 4сЦкЬ){2квЪ(кЬ) + \сЬ(к1)}, Утм~2(Щ = к2Я>тв(гк).

Определяя дзета-функцию от параметра Л

<A(*,0I) = C(-s.Di)-<(.s,D,)|a=O (19)

= ^^ Г dHk? - т2Г*дк hi

К J,и

где

Ч'Ь;(»А-) = l + ^th(A-/^

*ta/-iW = l + ^cth(fcL),

можно рассматривать только две ситуации, представляющие собой два типа граничных условий ТЕ и ТМ — \. Дзета-функция при А = О соответствует случаю скалярного поля мри наличии двух идеально проводящих пластин без сингулярного источника. Энергия пулевых колебаний в такой модели должна быть равна обычной энергии Казимира для двух идеально проводящих пластин, отстоящих друг от друга на расстоянии 2L.

В случае границ L, удаленных на бесконечность получены дзета-функция для безмассового и массивного ноля. Найдены все коэффициенты теплового ядра и показано, что энергия пулевых колебаний равняется нулю.

В случае границ, удаленных на конечное расстояние L дня безмассового поля, в отсутствии стандартного способа перенормировки (устранение слагаемых, сохраняющихся в пределе больших масс), предложено нормировочное условие, согласно которому полная пе-ренормироваппая энергия в пределе Л —> оо представляет сумму значений стандартных энергий Казимира для двух пластин, удаленных на конечное расстояние L друг от друга. Это дает возможность получить следующие иеренормированные выражения для энергий нулевых колебаний безмассового скалярного поля

pDO А3 ,/. Л , th(xp)} 11 1 \ A;t

где у — х + 1. Окончательно полная перепормировапная энергия в каждом из двух случаев D — D (соответствует ТЕ моде) н D — N (соответствует ТМ - 1 моде) примет следующий вид:

Edo = (20)

1440(2L)3

пг2

Ео,-

1440(2L)

(21)

=£ Р

Рис. 4: График зависимости энергии Е(Ъ) от р = ХЬ/2 при фиксированном Л. Обычная энергия Казимира между двумя пластинами, удаленными на расстояние Ь друг от друга, представлена тонкой линией. График энергии нулевых колебаний для пластин, удаленных на расстоянии Ь (случай V — М), представлен светлой линией. Энергия нулевых колебаний для пластин на расстоянии Ь (случай С — О) представлена темной линией.

Численный анализ энергии нулевых колебаний при фиксированном Ли Ь представлен на рисунках 4 и 5. Из рисунка 4 видно, что при бесконечном удалении границ Ь энергия нулевых колебаний и стандартная энергия Казимира стремятся к нулю, что и должно выполняться, так как энергия Казимира в пустом пространстве равняется нулю. Из рисунка (5) видно, что дня предельных значений

Рис. 5: График зависимости энергии от А при фиксированном Ь. График анергии нулевых колебаний в О — N случае представлен жирной линией. График энергии нулевых колебаний в О — О случае представлен тонкой линией.

Л —» 0 и Л —» оо энергия нулевых колебаний принимает значения, согласующиеся с теорией. При Л —> 0 энергия принимает значение равное (2.Ь)'лЕсия = — 7г2/1440 и переходит в стандартную энергию Казимира для двух пластин, удаленных на расстояние 2Ь друг от друга. При А —> оо энергия принимает постоянное значение, одинаковое, с точностью до знака, для П — N и О - О граничных условий. Значение энергии в этих случаях равно 1б7г2/1440. Отметим, что в первом случае граничны>( условий О — N (Рис. 5) энергия пулевых колебаний принимает нулевое значение при определенном значении параметра р = ХЬ/2, что соответствует АЬ ~ 0.11.

В случае границ, удаленных на конечное расстояние Ь для массивного поля также,' получены выражения для энергии нулевых колебаний (<} = 2т/X):

= ~ £ (^У) + (22)

Е™ = ^ [ + Е8»{2Ь). (23)

Численный анализ энергии для двух случаев И - N (соответствует ТЛЛ-моде) О — О (соответствует Т£-моде), представлен на

Е/т'

Рис. 6: Графики зависимости энергии Е{А) при фиксироиаином параметре 0 = тЬ. Представлены графики энергий для значений ¡3 = 2 и /3 = 2.5. Графики для случая В — N (ТЛП-мода) расположены выше оси абсцисс, для случая О — О (ТЕ-мода) ниже оси абсцисс. Значению в = 2 соответствует сплошная линия, в = 2.5 - линия с длинным пунктиром. Легко видеть, что при увеличении /3 энергия нулевых колебаний для любого А стремится к нулевому значению.

рисунке 6. Энергия нулевых колебаний при А = 0 принимает значение стандартной энергии Казимира для двух пластин, удаленных на расстояние 2Ь друг от друга, при определенных параметрах 0. Стоит отметить, что при .3 —> оо (соответствует т —> оо) энергия нулевых колебаний, также как и любая другая энергия, включая стандартную энергию Казимира, должна принимать нулевое значение при любых А. Это хорошо видно из рисунка, где уже для /?=2и ,3 = 2.5 энергия принимает практически нулевое значение для любых А. Такое поведение энергии является правильным в квантовой теории поля и объясняется простым фактом, что при больших массах поля квантовых флуктуаций не су п чествует.

Основные результаты работы

1. На основе равномерного разложения функций Лежандра получено выражение для энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в нростраистве-времени космической струны конечного поперечного сечения для произвольного дефицита угла.

2. Получено конечное выражение энергии нулевых колебаний

массивного скалярного ноля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной или двумя сферическими поверхностями. Показано, что для такого пространства-времени сила Казимира меняет свой знак при определенных значениях параметра £

3. Вычислена энергия нулевых колебаний скалярных полей при наличии нетривиальных граничных условий, предложен корректный способ проведения перенормировки в этом случае.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Khusnutdinov N.R.. Zero Point Energy of a Massless Scalar Field in the Cosmic String Space-Time / N.R. Khusnutdinov, A.R. Khabibullin // Gen. Rel. Grav. - 2004. - Vol.36, - P. 1613-1618.

2. Khabibullin A.R.. Casimir effect, in a wormhole space-time / A.R. Khabibullin, N.R. Khusnutdinov, S.V.Sushkov // Glas. Quan. Grav.. - 2006. - Vol.24, - P. 627-634.

3. Sushkov S.V.. Casimir effect for two spheres in a wormhole spacetime / S.V.Sushkov, A.R. Khabibullin, N.R. Khusnutdinov // Grav. and Cos.. - 2008. - Vpl.14, - P. 147-153.

4. Хабибуллин A.P. Энергия нз'левых колебаний массивного скалярного поля с сингулярным потенциалом для идеально проводящей пластины / А.Р.Хабибуллин, Н.Р. Хуснутдинов // Вест-пик Казанского государственного педагогического университета. - 2005. - Том 4, - С. 59-65.

5. Хабибуллин А.Р.. Энергия нулевых колебаний в пространстве-времени кротовой норы / А.Р. Хабибуллин // Сборник трудов конференции "III международная конференция по фундаментальным проблемам физики". - Казань, 2005. - С.110-111.

6. Хабибуллин А.Р.. Эффект Казимира в пространстве-времени кротовой норы / А.Р. Хабибуллин // Сборник трудов конфе-

реиции "Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике". - Уфа, 2005. - С.98-100.

7. Хуснутдинов Н.Р.. Эффект Казимира для сферы в пространстве-времени кротовой норы. / II.Р. Хуснутдинов. А.Р. Хабибуллин /'/ Международная конференция но гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-12. - Казань, 2005. - С.124-125.

8. Хабибуллин А.Р.. Эффект Казимира в пространстве-времени кротовой норы, окруженной двумя сферическими оболочками / А.Р. Хабибуллин // Сборник трудов школы-семинара "Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии" GRACOS-2007. - Казань, 2007. - С.203.

9. Хабибуллин А.Р.. Сингулярные потенциалы в теории эффекта Казимира. / А.Р. Хабибуллин // Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13. -Москва, 2008. - С.70-71.

10. Хабибуллин А.Р.. Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля при наличии сингулярных потенциалов / А.Р. Хабибуллин // Сборник т-рудов школы-семинара "Российская школа-семинар но современным проблемам гравитации и космологии" GRACOS-2009. - Казань, 2009. - С.127.

Подписано в печать 03.07.2009 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Тираж 100. Заказ 98.

Изготовлено в полиграфическом центре «Отечество» 420126, г.Казань, ул.Чистопольская, д.27а

Введение

1 Квантованные поля в пространствах кротовых нор и космических струн

§1.1 Поляризация вакуума.

§1.2 Регуляризация и перенормировки в рамках метода обобщенной

-функции.

§1.3 Кротовые норы.

§1.4 Космические струны.

2 Энергия нулевых колебаний скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения

§2.1 Модель струны.

§2.2 Энергия нулевых колебаний безмассового скалярного поля в пространстве-времени космической струны конечного поперечного сечения

3 Энергия нулевых колебаний скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы с бесконечно короткой горловиной

§3.1 Модель кротовой норы с бесконечно короткой горловиной

§3.2 Энергия нулевых колебаний скалярного поля в случае одной сферы, окружающей горловину кротовой норы.

§3.3 Энергия нулевых колебаний в случае двух сфер, окружающих горловину кротовой норы.i.

Энергия нулевых колебаний скалярного поля при наличии сингулярных потенциалов

§4.1 Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля при наличии одного сингулярного источника

§4.2 Скалярное поле в пространстве-времени Минковского с нетривиальными граничными условиями.

§4.3 Энергия нулевых колебаний для ТЕ и ТМ мод.

§4.3.1 Границы, удаленные на бесконечность: L —> оо.

§4.3.2 Стандартная энергия Казимира, Ecas.

§4.3.3 Энергия нулевых колебаний для безмассового поля

§4.3.4 Энергия нулевых колебаний для массивного поля

§4.3.5 Перенормировка.

В рамках общей теории относительности с момента ее создания были предсказаны различные экзотические объекты. Наиболее известными являются черные дыры, в существовании которых сомневались до последнего времени. В последние два десятилетия многочисленные астрофизические и астрономические наблюдения убедительно доказали существование массивных черных дыр в центрах галактик [1, 2]. "

Пространства с нетривиальной топологической структурой вызывали интерес практически с момента создания теории относительности. Благодаря работам и идеям Уилера [3] топологически нетривиальные пространства стали серьезно рассматриваться в физическом контексте. Уилер предложил называть такие пространства кротовыми норами. Основной характеристикой пространства кротовой норы является существование двумерной замкнутой поверхности минимальной площади, характерный размер которой принято называть радиусом горловины. Такие объекты по его мнению способны объяснить существование электрического заряда и массы, за радиус электрона можно принять радиус минимальной поверхности. Электрическое поле, проходящее через горловину кротовой норы, интерпретируется наблюдателем как электрический заряд. Эта идея образно выражается знаменитым высказыванием Уилера: "заряд без заряда" и "масса без массы". Дальнейшее развитие физика кротовых нор получила в работах Морриса, Торна и Юртсевера [4]. Авторы, используя пространство кротовой норы, предложили модель, которая реализует "машину времени". Благодаря работам этих авторов началось бурное развитие физики кротовых нор. Основной и до сих нерешенной проблемой физики кротовых нор является проблема объяснения их существования в нашем мире, поскольку из самых общих предположений можно показать, что пространство кротовой норы нарушает все известные условия энергодоминантности. Это означает, что обычная материя не может быть источником пространства кротовой норы. Самосогласованное решение уравнения Эйнштейна в виде кротовой норы возможно только при наличии необычной, экзотической материи. Количество экзотической материи, необходимое для создания кротовой норы, ее происхождение, уравнение состояния и т.д. активно дискутируются в современной физике кротовых нор.

Следует отметить, что понятие необычной материи появилось и усиленно обсуждается в рамках космологии. Многочисленные эксперименты по изучению анизотропии реликтового излучения (СОВЕ, MAXIMA, BOOMERANG, WMAP) [5] позволили установить основные параметры нашей Вселенной. Одним из сильнейших результатов этих исследований является то, что 94% материи нашей Вселенной является невидимой, 74% представляет собой темная энергия и 10% темная материя. Всего 6% Вселенной состоит из обычной наблюдаемой материи в форме планет, звезд, галактик, газово-полевых облаков и т.д.

Одной из возможностей получения кротовых нор является рассмотрение квантованных полей в искривленных пространствах в качестве источника экзотической материи для кротовых нор [6, 7]. Дело в том, что энергия флук-туаций квантованного поля может быть как положительной, так и отрицательной. Квантовая теория поля в пространстве Минковского является хорошо разработанной и экспериментально обоснованной теорией. На данный момент не существует теории квантовой гравитации, в рамках которой все поля, включая гравитационное, являются квантованными. Единственной, более или менее обоснованной теорией является полуклассическая квантовая гравитация. В рамках этой теории гравитационное поле является классическим, тогда как все остальные физические поля являются квантованными. Такое рассмотрение возможно ввиду колоссальной разницы характерных масштабов энергии гравитационных и других полей. Теория является неперенор-мированной, показано, что однопетлевые поправки приводят к появлению квадратичных по кривизне слагаемых.

Другим классом интересных объектов, которые интенсивно изучаются в общей теории относительности, являются топологические дефекты - монополи, струны, доменные стенки и текстуры. Изначально эти объекты возникли при рассмотрении эволюции полей во Вселенной. Остывание поля в процессе расширения Вселенной и нелинейность поля приводят к возникновению нарушения симметрии, что в свою очередь приводит к образованию топологических дефектов [8]. Топологические дефекты рассматриваются при крайне общих предположениях, что вызывает уверенность в их существовании. Наиболее интересным топологическим дефектом является космическая струна, представляющая собой нитеобразную полевую конфигурацию [9]. Пространство-время космической струны является коническим, что приводит к появлению массы интересных эффектов. Несомненна роль космических струн для космологии. Экспериментально измеренная анизотропия реликтового излучения совпадает с теоретически предсказанной только при учете существования космических струн.

Рассмотрение бесконечно тонких космических струн и кротовых нор с бесконечно короткой горловиной приводит к появлению уравнений с сингулярными потенциалами. Такого рода потенциалы часто возникают в различных областях физики. В рамках квантовой теории поля их наличие приводит к необходимости рассмотрения добавочных перенормировочных предписаний. В последние годы особый интерес вызывают задачи, возникающие в реальных физических моделях, связанные с появлением полупрозрачных границ, описываемых модельными сингулярными потенциалами [10,11,12,13,14,15, 16].

Цель работы состояла в исследовании энергии вакуумных флуктуаций квантовых и классических полей в пространствах кротовых нор и космических струн, а также исследование энергии вакуумных флуктуаций скалярных полей с нетривиальными граничными условиями при наличии сингулярных потенциалов.

Основной проблемой в квантовой теории поля является проблема устранения бесконечностей и выделения конечного результата. В диссертации используется и развивается сравнительно новый и достаточно удобный метод устранения расходимостей - регуляризация выражения энергии дзета-функцией. Впервые этот метод был предложен Доукером и Кричли [17] и независимо Хокингом [18]. Позднее метод дзета-регуляризации был применен непосредственно к вычислению энергии нулевых колебаний в работе Блау, Виссера и Випфа [19]. Трудности, возникающие с нахождением спектра энергии для более сложных уравнений движения полей, привели к дальнейшему развитию метода дзета-регуляризации [20, 21, 22]. Было предложено свести вычисление обобщенной дзета функции к анализу собственных функций соответствующего оператора поля, так как решение уравнений на собственные значения оператора является более простой задачей.

Научная новизна данной работы заключается в следующем: в диссертации впервые получено общее выражение энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля для произвольного дефицита угла пространства космической струны конечного поперечного сечения; получена энергия-нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной или двумя сферическими оболочками; показано, что сила Казимира для такой модели может быть не только силой отталкивания [23], но при определенных радиусах сфер становится силой притяжения; получены выражения для энергий нулевых колебаний скалярных полей при наличии сингулярных потенциалов и нетривиальных граничных условий; найдено нормировочное условие, позволяющее получить конечное выражение для энергии скалярных полей при различных граничных условиях.

Работа состоит из четырех частей. В первой главе приведен краткий обзор методов регуляризации энергии нулевых колебаний для произвольных полей.

Более подробно рассмотрен подход дзета-регуляризации на примере сферической поверхности. Показан стандартный способ перенормировки энергии в массивных скалярных полях. Представлен обзор и описание таких объектов исследования, как космические струны и кротовые норы. Во второй главе в рамках дзета-регуляризации исследована энергия нулевых колебаний скалярного поля в пространстве-времени космической струны с конечным поперечным сечением. Третья глава посвящена исследованию энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы, окруженной одной и двумя сферами. В четвертой главе подробно рассматривается энергия нулевых колебаний безмассового и массивного скалярных полей, содержащих сингулярные потенциалы, при наличии нетривиальных граничных условий.

Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах: III международная конференция по фундаментальным проблемам физики (Казань, КГУ, 2005); Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике (Уфа, БГПУ, 2005); Международная конференция по гравитации и космологии, астрофизике (RUSGRAV-12), (Казань, КГПУ, 2005); Международная школа-семинар по квантовой теории поля, суперсимметрии, полей высших спинов и гравитации (Томск, 2005); Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии (GRACQS-2007), (Казань,2007); Международная конференция по гравитации и космологии, астрофизике (RUSGRAV-13), (Москва, РУДН ,2008), Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии (GRACOS-2009).

По теме диссертационной работы опубликованы 10 печатных работ, из них 3 статьи в центральной научной печати, 1 статья в сборнике научных работ, 6 тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях.

Заключение

В настоящей работе с помощью подхода дзета-регуляризации было проведено исследование энергии вакуумных флуктуаций скалярного поля с нетривиальным топологическим фоном и скалярного поля при наличии сингулярных потенциалов. Полученные результаты являются достоверными, имеется хорошее согласие с теоретически предсказанными ранее данными.

Приведем основные результаты работы.

1. Рассмотрено массивное скалярное поле в пространстве-времени космической струны с конечным поперечным сечением. Получено общее выражение энергии нулевых колебаний для произвольного дефицита угла. Вычислена энергия нулевых колебаний безмассового скалярного поля до четвертой степени малого дефицита угла.

2. Исследована энергия Казимира для одной и двух сфер, окружающих горловину кротовой норы и показано, что при определенных радиусах сфер сила Казимира может менять свой знак.

3. Исследован эффект Казимира скалярного поля при наличии нетривиальных граничных условий. Предложен способ перенормировки, приводящий к конечному значению энергии. Получены выражения для энергии нулевых колебаний безмассового и массивных скалярных полей.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, доценту Наи-лю Рустамовичу Хуснутдинову за отличную научную школу, за неоценимую помощь в постановке задач, организацию теоретических исследований, действенную помощь при обсуждении результатов и ценные советы.

Особую благодарность автор выражает доктору физико-математических наук, доценту Сушкову Сергею Владимировичу за ценные советы и консультации по задачам в диссертационной работе.

1. Черепащук A.M. Поиски черных дыр: новейшие данные / A.M. Чере-пащук // УФН. 2001. - Т. 171. - С.864

2. Черепащук A.M. Поиски черных дыр / A.M. Черепащук // УФН. -2003. Т. 173. - С.345

3. Wheeler J. Geons / J. Wheeler // Phys. Rev. 1955. - Vol. 97, P. 511-536

4. Morris M. S., Thorne K. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition / M.S. Morris, K.S. Thorne U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 61, P. 1446-1449

5. Wright E. L. The WMAP data and results / E. L. Wright // New Astr. Rev. 2003. - Vol. 47, P. 887-881

6. Hochberg D. Self-Consistent wormhole solutions of semiclassical gravity / D. Hochberg, A. Popov, S.V. Sushkov // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78, P. 2050-2053

7. Khusnutdinov N.R. Ground state energy in a wormhole space-time / N.R. Khusnutdinov, Sushkov S.V. // Phys. Rev. D. 2002. - Vol. 65, P. 084028

8. Линде А. Физика элементарных частиц и инфляционная космология / А. Линде. М.: Наука, 1990. - 275с.

9. Kibble T.W.B Topology of cosmic domains and strings / T.W.B Kibble // J. Phys. A. 1976. - Vol. 9, 1387-1398

10. Bordag M. On the ground state energy for a penetrable sphere and for a dielectric ball / M. Bordag, K. Kirsten, and D. Vassilevich. // Phys. Phys. D. 1999. - Vol. 59, P. 085011

11. Barton G. Casimir energies of spherical plasma shells / G. Barton //J. Phys. A. 2004. - Vol. 37(3), P. 1011-1049

12. Milton K.A. Casimir energies and pressures for 6-potentials / K.A. Milton //J. Phys. A. 2004. - Vol. 37, P. 6391-6406

13. Bordag M. Spectral analysis of a flat plasma sheet model / M. Bordag, I. G. Pirozhenko, and V. V. Nesterenko. // J. Phys. A. 2005. - Vol. 38, P. 11027

14. Bordag M. The Casimir effect for thin plasma sheets and the role of the surface plasmons / M. Bordag // J. Phys. A: Math.Gen. 2005. - Vol. 39, P. 6173-6185

15. Khusnutdinov N.R. Zeta-functions approach to Casimir energy with singular potentials / N.R. Khusnutdinov // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73, P. 025003

16. Jaffe R.L. The Casimir Effect and the Quantum Vacuum / R. L. Jaffe // Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 72, P. 021301

17. Dowker J.S. Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space / J.S. Dowker and R. Critchley // Phys. Rev. D. 1976. - Vol. 13, P. 3224-3232

18. Hawking S. Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime / S. Hawking // Commun. Math. Phys. 1977. - Vol. 55, P. 133-148

19. Blau S.K. Zeta-functions and the Casimir energy / S.K. Blau, M. Visser, A.Wipf // Nucl. Phys. B. 1988. - Vol. 310, 163-168

20. Bordag M. Vacuum energy in a spherically symmetric background field. / M. Bordag M., K. Kirsten // Phys. Rev. D. 1996. - Vol. 53, P.5753-5760

21. Bordag M. Casimir energies for massive scalar fields in a spherical geometry. / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten, S. Leseduarte S. // Phys. Phys. D. -1997. Vol. 56, P. 4896-4904

22. Bordag M. Ground state energy for penetrable shpere and dielectric ball / M. Bordag, R. Kirsten, D. Vassilevich // Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59, 085011

23. Boyer Т.Н. Quantum electromagnetic zero-point energy of a conducting spherical shell and the Casimir Model for a Charged Particle / Т.Н. Boyer // Phys. Rev. 1968. - Vol. 184, P.1764

24. Casimir H.B.G Proc. Kon. Nederl. Akad. Wet. / H.B.G Casimir // Phys. Rev. 1948. - Vol. 51, P. 793-796

25. Casimir H.B.G The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces. / H.B.G Casimir, D. Polder // Phys. Rev. 1948. - Vol. 73, P. 360

26. Bueren van H.G. Imperfections in Crystals / Bueren van H.G. // Phys. Rev. 1952. - Vol. 55, P. 493-499

27. Лифшиц E.M. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами / Е.М. Лифшиц // ЖЭТФ. 1954. - Т. 2. - С.73-78

28. Kitchener J.A. Direct measurement of long-range van der Waals forces / J.A.Kitchener, A.P.Prosser // Nature. 1956. - Vol. 178, P. 1339-1340

29. Sparnaay M.Y. Detecting Casimir forces using a tunneling electromechanical transducer / M.Y. Sparnaay // Physica. 1958. -Vol. 24, P.751

30. Мостепаненко B.M. Эффект Казимира и его приложения / В.М. Мо-степаненко Н.Н. Трунов. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 214с.

31. Bordag М. Fourth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions / M. Bordag. World Scientific, 1999. - 397p.

32. Bordag M. New developments in the Casismir Effect / M.Bordag, U.Mohedeen, V.Mostepanenko. Elsiver, 2000. - 206p.

33. Bordag M. Eighth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions / M. Bordag. IOP Publishing, 2008. - 600p.

34. Гриб А.А. Поляризация вакуума в сильных гравитационных полях / А.А. Гриб, С.Г. Мамаев // ЯФ. 1969. - Т. 10. - С.С. 1276

35. Hawking S.W. Particle creation by black holes. / S.W. Hawking // Comm. Math. Phys. 1975. - Vol. 43, P. 199-220

36. Гриб А.А. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях / Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. М.: Энергоатомиздат, 1988. -288с.

37. Биррелл Н. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени / Н. Биррелл, П. Дэвис. М.: Мир, 1984. - 356с.

38. Fulling S. Aspects of quantum field theory in curved space-time / S. Fulling. Cambridge University Press, 1989. - 315p.

39. Milton K.A. Zero-point energy in bag models / K.A. Milton // Phys. Rev. D. 1980. - Vol. 22, P. 1441-1444

40. Арефьева И.Я. Суперсимметрия: теория Колуцы-Клейна, аномалии, суперструны / И.Я. Арефьева, И.В. Волович // УФН. 1985. - Т. 146. -С.655

41. Боголюбов Н.Н. Квантованные поля / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. М.: Наука, 1993. - 336с.

42. Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. М.: Наука, 1951. - 498с.

43. Dewitt B.S. Quantum field theory in curved space-time / B.S. Dewitt // Phys.Rep. 1975. - T. 19. - C.295-357

44. Christensen S.M. Vacuum expectation value of the stress tensor in an arbitrary curved background: The covariand point-separation method. / S.M. Christensen // Phys. Rev. D. 1976. - Vol. 14, P. 2490-2501

45. Christensen S.M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation. / S.M. Christensen // Phys. Rev. D. 1978. - Vol. 17, P. 946-963

46. Minakshisundaram S. Some properties of the eigenfunctions of the Laplaceoperator on Riemannian manifolds / S. Minakshisundaram S., A. Pleijel // Can. J. Phys. 1948. - Vol. 1, P. 242-256

47. Minakshisundaram S. Some properties of the eigenfunctions of the Laplaceoperator on Riemannian manifolds / S. Minakshisundaram //J. Indian Math. Soc. 1953. - Vol. 17, P. 158-165

48. Синг Дж. Общая теория относительности / Дж. Синг. Москва, Наука, 1963. - 357с.

49. Bordag М. Ground State Energy for Massive Fields and Renormalisation / M. Bordag // Harvard-Smithsonian Center for Astrophys. 1998. - Vol. 11,

50. Vassilevich D.V. Heat kernel expansion: user's manual / D.V. Vassilevich // Phys. Rep. 2003. - Vol. 388, P. 279-360

51. Elizalde E. Applications of the zeta function regularization in QFT, Proceedings: Quantum field theory under the influence of external conditions: Edition by M. Bordag / E. Elizalde. St-d: Teubner, 1996. -122-130p.

52. Elizalde E. Sum rules for zeros of Bessel functions and an application to spherical Aharonov-Bohm quantum bags / E. Elizalde, S. Leseduarte, A. Romeo // J. Phys. A. 1993. - Vol. 26, P. 2409-2420

53. Elizalde E. Analysis of an inhomogeneous generalized Epstein-Hurwitz Zeta-function with physical applications / E. Elizalde //J. Math. Phys.- 1994. Vol. 35, P. 6100-6122

54. Elizalde E. Ten physical applications of spectral zeta-functions / E. Elizalde.- Berlin, Springer-Verlag, 1995. 210p.

55. Bordag M. Heat-kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten //J. Math. Phys.- 1996. Vol. 37, P. 895-916

56. Schwinger J. Casimir effect in Dielectrics / J. Schwinger, L.L. De Raad., K. Milton // Ann. Phys. 1978. - Vol. 115, P. 1-23

57. Лаврентьев M.A. Методы теории функций комплексного переменного / M.A. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М: НАУКА, 1973. - 736с.

58. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ньютон. М: Наука, 1969. - 600с.

59. Bordag M. Heat-kernel coefficients of the Laplace operator on the D-dimensional ball. / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten //J. Math. Phys. -1996. Vol. 37, P. 895-916

60. Flamm L. Ве^^ё zur Einsteinschen Gravitationstheorie / L. Flamm // Phys. Z. 1916. - Vol. 17, P. 448-454

61. Einstein A., Rosen N. The partical problem in the general theory of gravity / A. Einstein, N. Rosen // Phys. Rev. 1953. - Vol. 48, P. 73-77

62. Misner C. W., Wheeler J. A. Classical physics as geometry: gravitation, electromagnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space / C.W. Misner, J.A. Wheeler // An. Phys. 1957. - Vol. 2, P. 526-603

63. Hochberg D. Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat / D. Hochberg, M. Visser // Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 56, P.4745-4755

64. Visser M. Lorentzian wormholes from Einstein to Hawking. / M. Visser. -AIP, 1995. 486p.

65. Visser M. Traversable wormholes: the Roman ring / M. Visser // Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55, P.5212-5214

66. Morris M. S., Thorne K. S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris, K.S. Thorne // Am. J. Phys. 1988. - Vol. 56, P. 395-412

67. Hawking S. The Large Scale Structure of Spacetime / S. Hawking, G. Ellis. Cambridge Univ. Pr., 1973. - 342p.

68. Roman T. Quantum stress-energy tensors and the weak energy condition / T. Roman // Phys. Rev. D. 1986. - Vol 33, P. 3526

69. Tipler F. Energy conditions and spacetime singularities / F. Tipler // Phys. Rev. D. 1978. - Vol. 17, P. 2521

70. Barcelo C. Scalar fields, energy conditions, and traversable wormholesf / C. Barcelo, M. Visser // Claas. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17, P. 3843

71. Riess A. Type la supernova discoveries at z > 1 from the hubble space telescope: Evidence for past deceleration and constraints on dark energy evolution / A. Riess et al. // Astrophys. J. 2004. - Vol. 607, P. 665-687

72. Ellis H. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / H. Ellis // J. Math. Phys. 1973. - Vol. 14, P. 104

73. Popov A.A. A selfconsistent semiclassical solution with a wormhole in the theory of gravity / A.A. Popov, S.V. Sushkov. In: Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions, Edited by M. Bordag, Teubner-Texte, 1996. - P. 206c.

74. Sushkov S.V. A selfconsistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity / S.V. Sushkov // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 164, P. 33-37

75. Kibble T.W.B. Topology of cosmic domains and strings / T.W.B. Kibble // J. Phys. A. 1976. - Vol. 9, P.1387-1398

76. Раджараман P. Солитоны и иистантоны в квантовой теории поля / Р. Раджараман. М. Мир, 1985. - 416с.

77. Абрикосов А.А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы / А.А. Абрикосов // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32. - С.1442

78. Weinberg S. Gouge and Global Symmetries at High Temperature / S. Weinberg // Phys. Rev. D. 1974. - Vol. 9, P.3357

79. Соколов А.А. О структуре тензора кривизны на конических особенностях. / А.А. Соколов, А.А. Старобинский // ДАН СССР. 1977. - Т. 234. - С.1043-1046

80. Зельдович Я.Б. Частицы, ядра, Вселенная / Я.Б. Зельдович. М.: Наука, 1985. - 463с.

81. Vilenkin A. Gravitational field of vacuum domain walls and strings / A. Vilenkin // Phys. Rev. D. 1981. - Vol. 23, P.852-857

82. Hindmarsh M.B. Cosmic strings / M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble // Rep. Prog. Phys. 1995. - Vol. 58, P.477-562

83. Achucarro A. Cosmic strings / A. Achucarro, C.J.A.P. Martins. Draft version of the contribution to Enc. of Complex and Systems Science, Springer, R. Myers, 2009. - P. 15p.

84. Гинзбург B.JI. К теории сверхпроводимости / В.Jl. Гинзбург, Л.Д. Ландау // ЖЭТФ. 1950. - Т. 20. - С.1064

85. Nielsen Н.В. Vortex line models for dual strings / H.B. Nielsen, P. Olesen // Nucl. Phys. B. 1973. - Vol. 61, P. 45-61

86. Harari D. Gravitational field of a global string / D. Harari, P. Sikivie // Phys. Rev. D. 1988. - Vol. 37, P. 3438

87. Gibbons G. Existence of global strings coupled to gravity / G. Gibbons, M. Ortiz, F. Ruiz // Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 39, P. 1546

88. Gregory R. Nonsingular global strings / R. Gregory // Phys. Rev. D. -1996. Vol. 54, P. 4955

89. Gott J.R. Gravitational lensing effects of vacuum strings: exact solutions / J.R. Gott // Astrophys. J. 1985. - Vol. 288, P.422-427

90. Hiscock W.A. Exact gravitational field of a string / W.A. Hiscock // Phys. Rev. D. 1985. - Vol. 31, P. 3288-3290

91. Garfinkle D. General relativistic strings / D. Garfinkle // Phys. Rev. D. -1985. Vol. 32, P.1323-1329

92. Vilenkin A. Cosmic strings and other topological defects / A. Vilenkin, E.P.S. Shelard. Cambridge University Press, 1994. - 517p.

93. Khusnutdinov N.R. Ground state energy of massive scalar field in the background of a cosmic string of finite thickness / N.R. Khusnutdinov, M.Bordag // Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59, 064017

94. Linet B. The static metrics with cylindrical symmetry describing a model of cosmic string / Linet B. // Gen. Rel. Grav. 1985. - Vol. 17, P.1109-1115

95. Israel W. Singular hypersurfaces and thin shaells in general relativity / W. Israel // Nuovo Cim. B. 1966. - Vol. XLIV, P.l-14

96. Абрамовиц M. Справочник по специальным функциям. / M. Абрамович, И. Стиган. М.: НАУКА, 1979. - 832с.

97. Khusnutdinov N.R. Ground state energy of massive scalar field in the background of a cosmic string of finite thickness / N.R. Khusnutdinov //J. Math. Phys. 2003. - Vol. 44, P. 2320-2330

98. Lambiase G. Casimir Energy of a Ball and Cylinder in the Zeta Function Technique / G. Lambiase, V.V. Nesterenko, M. Bordag //J. Math. Phys. -1999. Vol. 40, P. 6254-6265

99. Nesterenko V.V. Casimir energy of a compact cylinder under the condition e/ji = c~2 / V.V. Nesterenko, I.G. Pirozhenko // Phys.Rev. D. 1999. - Vol. 60,125007

100. Khusnutdinov N. Zero Point Energy of a Massless Scalar Field in the Cosmic String Space-Time. / N.R. Khusnutdinov, A.R. Khabibullin // Gen. Rel. Grav. 2004. - Vol. 36, P.1613-1618

101. Nesterenko V.V. Casimir energy of a dilute dielectric ball at zero and finite temperature / V.V.Nesterenko, G.Lambiase, G.Scarpetta //J. Mod. Phys. A. 2002. - Vol. 17, 790

102. Scandurra M. The ground state energy of a massive scalar field in the background of a semi-transparent spherical shell / M. Scandurra //J. Phys. A. 1999. - Vol. 32, 5679

103. Scandurra M. Vacuum energy of a massive scalar field in the presence of a semi-transparent cylinder / M. Scandurra //J. Phys. A. 2000. - Vol. 33, 5707

104. Khabibullin A.R. Casimir effect in a wormhole spacetime / A.R. Khabibullin, N.R. Khusnutdinov, S.V.Sushkov // Clas. Quan. Grav. 2006. - Vol. 24, P. 1134-1140

105. Sushkov S.V. Casimir effect for two spheres in a wormhole space-time / S.V. Sushkov, A.R. Khabibullin, N.R. Khusnutdinov // Grav.and Cos. 2008. -Vol. 54, P.147-153

106. Березин Ф.А. Замечание об уравнение Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф.А. Березин, Л.Д. Фаддеев // Докл. Ак. наук СССР. -1961. Т. 131 (5). - С.1011-1014

107. Albeverio S. Solvable Models in Quantum Mechanics / S. Albeverio S, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn and M. Holden. New York: Springer, 1988. -245p.

108. Рид M. Методы современной математической физики. Т2. Гармонический анализ, самосопряженность / М. Рид. М. Мир, 1978. - 393с.f)

109. Bordag M. Vacuum energy in quantum field theory with external potentials concentrated on planes / M. Bordag, D. Henning, and D. Robaschik //J. Phys. A. 1992. - Vol. 25, 4483

110. Bordag M. On the interaction of a charge with a thin plasma sheet / M. Bordag // Phys. Rev. D. 2007. - Vol. 76, P. 065011

111. Jaffe R.L. The Casimir Energy in a Separable Potential / R.L.Jaffe, L.R.Williamson // Ann. Phys. 2000. - Vol. 282, 432-448

112. Jaffe R.L. Casimir Forces in a Piston Geometry at Zero and Finite Temperatures / M. P. Hertzberg, R. L., M. Kardar, A. Scardicchio // Phys. Rev. D. 2007. - Vol. 76, P. 045016

113. Jaffe R.L. Casimir Forces between Compact Objects: I. The Scalar Case / T. Emig, N. Graham, R. L. Jaffe, M. Kardar // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, P. 025005

114. Bordag M. On the vacuum energy of a spherical plasma shell. / M. Bordag, N.R. Khusnutdinov // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, P. 085026

115. Bordag M. Spectral analysis of a flat plasma sheet model / M.Bordag, I.G.Pirozhenko, V.V.Nesterenko // J. Phys. A. 2005. - Vol. 38, 11027