Некоторые эффекты квантованного скалярного поля в пространстве-времени с кротовой норой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР ПО ИЗУЧЕНИЮ СВОЙСТВ ПОВЕРХНОСТИ И ВАКУУМА

На правах рукописи

УДК 530.12:531.51 СУШКОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАННОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ С КРОТОВОЙ НОРОЙ

01. 04. 02—теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 1994

Работа выполнена в Казанском государственном педагогическом институте на кафедре геометрии.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук

профессор ИГНАТЬЕВ Ю. Г.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

профессор ШИКИН Г. Н.

кандидат физ.-мат. наук БРОННИКОВ К. А.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский университет

экономики II финансов

Защита состоится „ 8 " (-и..а' 1994 г. в ^ часов

на заседании специализированного Совета К. 041.07.02. при ИИЦПВ.

Адрес: Москва, ул. Марии Ульяновой, д. 3, корп. I. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦПВ.

Автореферат разослан.. У " 1994 г.

Актуя.тмюсть исследования. Важной особетгостью общей теории относительности Эйнштейна является возможность существования прострапстаетго-нременпых многообразийс. .»дсгривп-альной топологической и причинной структурой. Исследование физических явлений в таких многообразиях представляет собой значительный интерес, так как оно касается ряда фуид»ше»г1эдышх вопросов о строении пространства-времени и элементарных частиц, проблем причинности, квантовой когеррентноетн и других. Особенный интерес представляет случай, когда миогостзязпой структурой обладает физическое пространство-время, являющееся локально псевдоэвклидовым с лоренцевой сигнатурой метрики. Так, широко известна геометродинамика Уилера, где рассматривается пространство-время с »ротовыми норами (топологическими руками, соединяющими удаленные области пространства), заполненное электромагнитным полем без зарядов. Уилером была предложена красивая идея, используя которую удается построить модель массивных заряженных частиц не вводя допошш-телъных физических параметров в модель. Он отметил тот факт, что отверстия кротовой норы, горловина которой пронизывается потоком силовых линий электромагнитного поля, будут выглядеть для внешнего наблюдателя как массивные заряженные частицы. Тем самым Уилер связал нетривиальную топологическую структуру пространства-времени с возможной структурой элементарных частиц.

Новое повышение интереса к физике кротовых нор в пос-ледш1е годы было выззано полученным в работе1 вызодом о том, что пространство-время с проходимой кротовой норой при

' Morris M.S., Thome X.S., Urtsever U.//Phys.Rev.Lett.-Vol.61.-1988.-P.1446

л

определенных условиях может бьггь трансформирований в машину времени, т.е. в пространство-время с замкнутыми времениподоб-ными линиями. В таком пространстве формируется горизонт Ко-11ш, т.е. поверхность замкнутых нулевых геодезических. Другой пример образования замкнутых времениподобных линий был дан в2, где было найдено точное решение, описывающее возникновение замкнутых времени-подобных в пространстве-времени двух движущихся космических струн. Возможность трансформирования проходимой кротовой норы в машину времени вызвала множество вопросов, что. в свою очередь, привело появлешпо целого рада работ. Среди сажных проблем, которые рассматривались в этих ра» ora?', можно отметить следующие: это вопросы образование проходимых кротовых нор и условия их существования; задача jñ отыскании pemeinifl, описывающего кротовую нору в ■ теория гравитации; пзуче!ше классических и квантовых физических эфф<-::тоз в пространстве-времени с замкнутыми премениподоб-Ш1мл линиями и связа.гный с этим вопрос о классической и квантовой стабильности горизонта Коши; проблема ричин.чосп. пространстве-времени с кротопымч норами ir др

Некоторые важные вопросы физи: т кротовых нор остаются к настоящему времени до ¿онца не изученными. • К ним относится вопрос о существовании самосогласованного решения, описывающего кротовую нору в теории гравитации Эйнштейна. Как было показано ранее тензор энергии-импульса вещества в горловине самосогласованной кротовой норы должен нарушать среднее слабое энергетическое условие. Для известных классических полей и материи это условие выполняется всегда. В то5 время как для квантованных полей известно, что они могут нарушать локальнее

2 Gott J.R.//Phys.Rev.Leit.-Vo¡.66.-1991.-P.l 126-1129.

слабое энергетическое условие. Поэтому возникает задача о понскЬ самосогласованного решения с кротовой норой в теории гравитации с квантованными полями. Решению этой задачи посв.пцена вторая глава диссертации.

Другая важная задача физики • квантованных полей в пространстве-времени с кротовс": норой состоит в изучении вакуумной поляризации. В третьей главе диссертации бил рассмотрен эффект Казимира для скалярного поля в кротовой норе, у которой отверстия горловины окружены проводящими сферическими оболочками, ограничивающими объем квантования. Оказалось, что на основе такой конфигурации удается построить модель заряженной "элементарной" частицы и в рамках этой модели вычислить безразмерный элементарный заряд е3 / he.

К числу проблемных дискуссионных вопросов физики кротовых нор относится вопрос о возможности формировшпш горизонта Коши. Если возможно его образование, следовательно возможно возникновение машины времени, т.е. пространства-времени с замкнутыми времениподобными линиями, что означае • нарушение принципа причинности. Попытки разрешения этой проблемы привели Хокинга к предположению о защите хронологии ("chronology protection conjecture")5. Основанием для такого предположения явилось изучение поведения квантованных полей вбли -зи горизонта Коши. Оказалось, что перенормирсванний тензор энергии-импульса квантованного скалярного поля расходится па горизонте Коши. Этот факт интерпретируется как свидетельстпо квантовой нестабильности горизонта Коши и позволяет делать вывод о невозможности его формирования. Важность вопроса о стабильности горизонта Коши делает актуальным более общее и

> Hawking S.W.//Phys.Rev.D.-Vol.46.-19'^'.-r.603-611.

широкое исследование квантованных полей вблизи горизонта Поэтому в четвертой главе диссертации был рассмотрен случай комплексного автоморфного квантованного скалярного поля в пространстве-времени с замкнутыми нулевыми геодезическими. При этом было получено, что при некоторых значениях параметра автоморфности перенормированный тензор энергии-импульса комплексного поля остается регулярным на горизонте Коши. Полученный результат является существенно новым и дает частый пример, опровергающий предположение о защите хронологии, и, таким образом, свидетельствует о том, что проблема причинности в пространстве-времени с кротовой норой требует более тщательного анализа.

Целью дашюй работы является изучение некоторых эффектов квантованного скалярного поля в пространстве-времени с кротовой норой, а именно: исследование возможности существования самосогласованного полуклассического решения, описывающего кротовую нору в теории гравитации с вакуумом квантованных полей; изучение поляризации вакуума скалярного поля в горловине кротовой норы (эффект Казимира); исследование поведения перенормированного тензора энергии-импульса комплексного скалярного поля вблизи горизонта Коши (т.е. поверхности замкнутых нулевых геодезических, проходящих через горловину кротовой норы).

Научная новизна работы.

1. Предложено для исследования самосогласованной полуклассической теории гравитации с вакуумом квантованных физических полей использовать приближение Киллинга, дающее приб-

лиженное выражение для- перенормировакного тензора энергии-импульса полей спина 0,1/2 и 1 в произвольных статических пространствах.

2. В рамках киллинговского приближения получено решение, описывающее пространство-время с горловиной, соединяющей удаленные асимптотически плоские пространстветше оГшасти (кротовую нору).

3. Изучен эффект Казимира для скалярного поля в горловине кротовой норы, отверстия которой окружены заряжештыми проводящими оболочками. При этом получена 1г/левая опертая г.акуума скалярного поля для данной конфигурации, и вычислена сила Казимира, действующая на сферические оболочки.

4. На основании проведенного исследомтшя эффекта Казимира предложена модель заряженной элементарной чаепщы. Проведены оценки, используюигие условия стабильности и самосогласованности предложенной модели, которые дают значение безразмерного элементарного заряда & 'Ьс » 1/377.

5. Изучено поведение пйренормированного тензора энергии-импульса комплексного аетоморфного скалярного поля вблизи горизонта Коти в, двумерной модели пространства-времени с замкнутыми нулевыми геодезическими. Получено точное выражение для (Т^У в этом случае. Показано, что для комплексного скалярного поля, удовлетворяющего произвольным условиям автоморфности, перенормированныи тензор энергии-импульса остается регулярным нэ горизонте Коти при некоторых значгчиях параметра автоморфности. Этот результат »шляется существенно новым и свидетельствует о том, что зыеод о квантовой

нестабильности горизонта Кошп, полуденный в предыдущих рвотах, не справедлив в данном случае.

Практическая пеикость работы. Полученные в диссертации результаты позволяют уточнить теоретические представления по раду вспроеоз физики квантованных полей в пространстве-времени с кротовыми норами.

Апробаш'я яаботи Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании "Гравитационное поле п материальные среды" (Казань, 19&9); II Международном семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны" (Дубна, 1989); V Международном семинаре "Гравитационная -энергия и гравитационные волны" (Дубна, 1992); Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992); Российской гравитационной конференции (Пущино, 1993); Фрвд-мановском международном семинаре по гравитации и космологии (Санкт-Петербург, 1993); на научных семинарах. КГПИ, КГУ, НИЦПВ, МГУ.

Объем и структура циссертадии. Диссертация состоит из Введени!, четырех Глав, Заключения и четырех Приложений. Работа изложена на 110 страницах, содержит 7 рисунков. Список цитированной литературы состоит из 118 наименований

Краткий обзор содержания диссертации. Первая глава диссертации является вводной. В ней приводится обзор геометрических свойств пространства-времени с кротовой норой, а также рассматриваются алгебраические условия, которым должен

удовлетворять тензор энергии-импульса материального поля й горловине. В первом параграфе дается краткий исторический экскурс, касающийся кротовых нор. Во втором параграфе формулируются свойства пространства-времени с проходимой сферически симметричной статической кротовой норой и выписывается соответствующая метрика. В третьем параграфе строится диаграмма погружения для кротовой норы. Четвертый параграф посвящен вычислению компонент тензоров Рпмана, Риччи и Эйнштейна для ранее выписанной метрики. В пятом параграфе рассматриваются условия, которым должен подчиняться тензор энергии-импульса в горловине кротовой норы. Указывается, что необходимым является нарушение среднего слабого энергетического условия.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию задачи о существовании в теории гравитации с вакуумом квантованных полей самосогласованного полуклассического решения, описывающего кротовую нору. В первом параграфе обсуждается постановка задачи. При этом отмечается, что в самосогласованном полуклассическом подходе тензор энериш-пмпульса квантованного поля представляет собой нелокальный функционал метрики, вид которого, вообще говоря, неизвестен. Для того, чтобы избежать этой трудности, предлагается использовать приближенный метод получения вакуумного среднего значения тензора энергии-импульса конформно инвариантных полей в произвольных статических пространствах: приблнжетше или анзац Киплинга". Второй параграф посвящен изложению киллинговского приближения. В параграфе приводится сводка выражений, составляющих анзац Киллинга в пространстве-времени с кротовой норой. В третьем параграфе, с Мельников А.И., Фролов В.П. // Труды ФИАН.-Т.1Э7Л989.-С.63-87.

целью апробации, приближение Киллинга применяется в пространстве постоянной кривизны. При этом показывается, что полученное приближенное выражение для тензора энерпга-импульса совпадает с точным выражехшем. В четвертом параграфе выписывается замкнутая система уравнений, описывающих теорию гравитации с вакуумом квантованного скалярного поля в рамках киллниговсксго приближения. Далее проводится анализ и находится решение, описывающее пространство-время с горловиной с радиусом а = (I / 21 • 45ж)'"'2£.„ , где = (ЛС? / <г1)'/2 -длина Планка, соединяющей асимптотически плоские области. В пятом параграфе делаются выводы и заключительные замечания.

В третьей главе изучается эффект Казимира в пространств времени с кротовой норой. В первом параграфе данной глл>и обсуждаются иззеслше результаты, связанные с эффекте г. Казимира. Во втором параграфе рассматривается следующая модель: кротовая нора, отверстия которой окружены заряженные проводящими сферическими оболочками, приводящитл поляризации вакуумаска&лрисго поля (эффг-:ст Казимьра). 15 рс^у^татс качественного анализа дел^ет^ вызод о тем, что предложенная модель может служить для описания заряженной элементарной частицы ("электрона") в духе модели Казимира5, где предполагалось, что электрон представляет собой проводящую сферу с зарядом с, в которой сила притяжения Казимира уравновешивает силу отталкивания Кулона. В следующих параграфах третьей главы предложенная модель изучается детально. В третьем параграфе, выбирается геометрическая модель кротовой норы, что соответствует выбору метрики с конкретными метрическими функциями. На фоне полученной метрики рассмаг-» Сазишг Н.В.О. //РЬу5!са.-Уо[.19.-1953-Р.846-84Э.

ривается безмассовое конформно инвариантное скалярное поле, при этом выписывается волновое уравнение и находится его сбщее решение. Проблема вычисления нулевой энергии является предметом обсуждения в четвертом параграфе. В результате принимается процедура, дающая конечное значение нулевой -энергии в горловине, которая заключа тся в вычислении разности нулевых энергий двух конфигураций: с границами и без них соответственно. Для реализации такой процедуры требуется знание нормальных мод скалярного поля. Их определению посвящен пятый параграф. В щестом и седьмом параграфах вычисляются соответственно величина нулевой энергии, заключенной в горловине и сила Казимира, действующая на сферические оболочки. Полученные результаты используются в восьмом параграфе для оценок в рамках модели электрона. При этом, используя вычисленные значения для нулевой энергии и силы Казн мирр, а также условия самосогласованностн гравитирующей системы казимировского вакуума и кулоновского электрического поля в горловине кротовой норы с радиусом а, удается получить оценку для безразмерной величины заряда, помещенного на сферических обо-лочках: е1 / ¡¡с* 1 / 377. В девятом параграфе приводится обзор результатов, полученных в третьей главе, и делается заключительный вывод о том, что рассмотренная модель: кротовая нора, отверстия горловины которой окружены заряженными проводящими оболочками, описывает заряженную элементарную частицу с зарядом ег / Ьс а 1 / 377 н радиусом о = (1/2%-45п),/21Г1 .

В четвертой главе диссертации рассматривается поляризация вакуума комплексного автоморфного скалярного поля в двумерной модели просгрансгт, я-времени с замкнутыми нулевыми геодезическими и изучается поведение перенормировашгого тензора энергии-

импульса вблизи горизонта Коиш. В первйм параграфе обсуждается актуальность этой задачи. При этом отмечается следующее: было показано, что кротовая нора при определенных условиях может быть трансформирована в машину времени, т.е. в пространство-время с замкнутыми времениподобными линиями. В таком пространстве существует горизонт Коиш. В ряде работ было исследовано поведение действительного нескрученного скалярного поля вблизи горизонт Коиш к показано, что перенормированный тензор энерпга-импульса на нем расходится. Это позволило сделать вывод о квантовой нестабильности горизонта Коши. Нами было предложено рассмотреть более общий случай о поведении вблизи горизонта Коши комплексного автоморфного скалярного поля в рамках двумерной модели. Во втором параграфе обсуждается формулировка квантовой теории поля в многосвязном пространстве-времени. Отмечается, что в этом случае оказывается удобным метод, использующий универсальное накрывающее пространство. Дается также понятие об автоморфных полях и условиях автоморфности как обобщенных периодических условиях для полей на универсальном накрытии. Третий параграф служит для анализа модели двумерного локально статического прсстранства-времеш! с замкнутыми нулевыми геодезическими. Показывается, что в таком пространстве нельзя задать глобально определенное поле векторов Киллинга, поэтому также нельзя глобально определить гравитационный потенциал. Соответствующее гравитационное поле носит название непотенциального. Модель содержит параметр .р, определяющий величину непотенциальносга. В четвертом параграфе изучается поляризация вакуума скалярного поля в двумерной модели. При этом находится полный ортонормировагашй набор решений волнового уравнения, строится функция Адамара и

получается точное выражение для перенормированного тензора энергии-импульса. Анализ полученного выражения для (Т^У показывает, что при определенных значениях параметра автоморфности перенормированный тензор энерпш-импульса остается регулярным на горизонте Коши. В пятом параграфе, заключающем четвертую главу, подводятся итоги. Про этом отмечается, что полученный результат о регулярности {7),,.)"" на горизонте Коши является существенно новым, и он свидетельствует о тем, что вывод о квантовой нестабильности гориюнта Коши не справедлив в данном случае.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложение А вынесены громоздкие выражения для анзаца Киллинга. В приложениях Б, В и Г приводятся некоторые математические преобразования.

Основные результаты_/щссертапзт были опубликованы_в

следующих работах:

1. Sushkov S.V. A selfconsistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity//Phys.Utt.A.-Vol.l64.-1992.-P.33-37.

2. Сушков C.B. О существовании лоренцезой кротовой норы// Ядерная физика.-T.S.1.-1991.-C.1454-1463.

3. Сушксв C.B. Самосогласованное полуклассическое вакуумное решение с горловиной з теории гравитац!ш//Лобачевский и современная геометрия: Тезисы докладов Международной iтучной конференции. Казань.-Ч.2.- 1992.-С.53-54.

4. Сушков C.B. Эффект Казимира в машине времени Морриса-Торна-Юртсевера/'/Гравитациснная энергия и гравитационные

полны. Дубна, 1990.-С.151-157.

5. Сушков C.B. О нулевой энергии вакуума скалярного поля в модели планкеона//Гравитация и теория относительности. Вып.28. Казань: Изд-во КГУ, 1992.-С.131-134.

6. Сушков C.B. Квантованное скрученное скалярное поле в модели с непотенциальным гравитационным полем//Гравитационная энергия и гравитационные волны. Дубна, 19УЗ.-С.222-231,

7. Сушков C.B. Квантованное скрученное скалярное поле и проблема машины времени//Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации: Тезисы докладов 8 Российской гравитационной конференции. M., 1993.-С.199.

Подписано к печати 4/П-Ь4

Тир.100 ' ' ■ . Зак. 35-94

Лаборатория офсетной печати Казанского госпепинститута 420015 г.Казань , ул.Пушкина, I. .