Модели вращающихся кротовых нор в общей теории относительности

Кашаргин, Павел Евгеньевич

Модели вращающихся кротовых нор в общей теории относительности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Кашаргин, Павел Евгеньевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Модели вращающихся кротовых нор в общей теории относительности»

Автореферат диссертации на тему "Модели вращающихся кротовых нор в общей теории относительности"

На правах рукописи

Кашаргин Павел Евгеньевич

Модели вращающихся кротовых нор в общей теории относительности

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Казань - 2011

4845968

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Сушков Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Червон Сергей Викторович

доктор физико-математических наук, профессор Рубин Сергей Гергиевич

Ведущая организация:

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

Защита состоится 26 мая 2011 года в 14 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 16а, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского федерального университета.

Автореферат разослан 23 апреля 2011 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, профессор

М. В. Ерёмин

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Кротовыми норами в физической литературе называют туннели, связывающие удаленные области Вселенной, или «мосты», соединяющие различные вселенные. Кротовые норы относятся к объектам с нетривиальной топологической структурой, изучение которых всегда представляло значительный интерес в теории относительности [1, 2]. Исследование кротовых нор приобрело особую актуальность в последние десятилетия. Это связано с современным интересом к «экзотическим» формам материи. Как известно, для существования кротовых нор необходимо присутствие материи, нарушающей ряд энергетических условий [1, 2, 3]. На сегодняшний день существуют аргументы в пользу того, что материя такого рода может существовать во Вселенной. В первую очередь это связано с открытием ускоренного расширения Вселенной, для объяснения которого потребовалось введение новой экзотической субстанции, так называемой «темной энергии». Гипотеза «тёмной энергии» подкреплена изучением крупномасштабной структуры Вселенной, анизотропии реликтового излучения, оценками возраста и кривизны Вселенной. По современным оценкам наша Вселенная на 70% состоит из «тёмной энергии».

В настоящий момент кротовым норам посвящена обширная литература. Наиболее исследованными являются статические, сферически симметричные кротовые норы в силу их более высокой симметрии. Значительный интерес представляет изучение вращающихся кротовых нор, некоторые аспекты вращающихся кротовых нор рассмотрены в литературе [4, 5, 6, 7, 8]. Однако до недавнего времени в литературе не было точных решений, описывающих вращающиеся кротовые норы. Все это делает исследование вращающихся кротовых нор актуальной задачей.

Цель и задачи работы

Целью диссертационной работы является построение и исследование решений, описывающих вращающиеся кротовые норы в общей теории относительности.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение модели вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств-времен Керра, исследование физических свойств полученной модели.

2. Получение решения, описывающего вращающуюся кротовую нору в теории гравитации со скалярным полем в приближении медленного вращения.

3. Анализ решения, описывающего вращающуюся кротовую нору: исследование движения частиц и распространения света в пространстве кротовой

норы, влияния медленного вращения на массу кротовой норы и на нарушение энергетических условий.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Построена новая модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра с источником гравитации, сосредоточенным на поверхности сшивки (модель тонкой оболочки). В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины.

2. Построено новое решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с фантомным скалярным полем в приближении медленного вращения. Исследовано движение пробных частиц и распространение света, а также изучено влияние вращения на характеристики кротовой норы.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность результатов работы подтверждается корректным использованием теоретических методов обоснования полученных результатов, выводов и рекомендаций; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; согласием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях. Положения теории основываются на известных достижениях фундаментальных и прикладных научных дисциплин, сопряженных с предметом исследования диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах, неоднократно обсуждались на семинарах и конференциях.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Модель, построенная методом сшивки двух решений Керра, описывает пространство-время вращающейся кротовой норы. Полученное в результате сшивки пространство-время не имеет горизонтов событий и обладает двумя плоскими асимптотиками, соединенными горловиной, расположенной на поверхности сшивки. Поверхность сшивки представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена «экзотическая» материя, нарушающая световое энергетическое условие.

2. Гравитационным источником в пространстве-времени вращающейся кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная

на тонкой оболочке в горловине кротовой норы. Для данного типа источника найдены два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины. Поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.

3. В общей теории относительности с фантомным скалярным полем существует решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в приближении медленного вращения.

4. Учет поправок первого порядка малости оказывает влияние на величину угловой скорости вращения и на движение пробных частиц и распространение лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. Во втором порядке малости поправку получает масса вращающейся кротовой норы и величина нарушения светового энергетического условия.

Личное участие автора

Основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором. В исследованиях, выполненных совместно с научным руководителем, профессору C.B. Сушкову принадлежат постановка задачи, контроль расчетов и обсуждение результатов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Пятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2006» (Казань, 2006), Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007), XVIII Международной летней школе-семинаре «Волга-2007» по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 2007), 13 Российской гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Москва, 2008), Международной конференции по современным проблемам гравитации, космологии и релятивистской астрофизики (2010, РУДН, Москва), Российской летней школе-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - GRACOS-2007 (Казань- Яльчик, 2007), Второй Российской летней школе-семинар «Современные проблемы теории гравитации и космологии» -GRACOS-2009 (Казань- Яльчик, 2009), семинарах кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета, итоговых научных конференциях Казанского университета (2009 г., 2010 г.), научной студенческой конференций Казанского университета (2007 г.).

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в двенадцати публикациях, среди которых одна статья в зарубежном журнале (Physical Review D), две статьи в российском журнале Gravitation and Cosmology, четыре статьи в трудах конференций и пять тезисов докладов.

Структура диссертаци

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 116 страниц. Список литературы содержит 153 наименования.

Содержание работы

Во Введении аргументируется актуальность исследуемой проблемы, обосновывается научная и практическая значимость работы, формулируются цель исследования и положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер. В §1.1 дается определение кротовой норы, обсуждаются общие свойства кротовых нор. Характерным свойством кротовых нор является наличие горловины. Под горловиной понимается про-странственноподобная двумерная замкнутая поверхность S минимальной площади. Кротовой норой в общей теории относительности является пространство-время, обладающее горловиной. Метрика статической сферически симметричной кротовой норы может быть, в частности, представлена в виде

ds2 = _е2*(0Л2 + df + r(i)2 [¿02 + sin2 edip2} , (1)

где l G (—оо, +ос) - собственная радиальная координата. Функция Ф(1) всюду конечна, что гарантирует отсутствие в пространстве-времени горизонтов событий и является необходимым условием для того, чтобы кротовая нора была проходимой. Функция г(1) имеет смысл радиуса двумерной сферы I = const. Для существования горловины необходимо, чтобы функция г(7) имела минимум, что обеспечивается следующими условиями горловины:

d2r

1=0

> 0. (2)

1=0

Показано, что для кротовой норы нарушается световое энергетическое условие, которое гласит Т^У^У > 0, где Т^ - тензор энергии-импульса материи в пространстве кротовой норы, а Vм - произвольный изотропный вектор.

В §1.2 рассмотрены модели статических сферически симметричных кротовых нор, среди которых модель кротовой норы с бесконечно тонкой горловиной,

кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств-времен Шварц-шильда. Приведено статическое сферически-симметричное решение кротовой норы [9, 10] в теории гравитации со скалярным полем ф:

ds2 = —e2udt2 + e~2u[dr2 + (г2 + r¿)(¿<92 + sin2 0dcp2)}, (3)

где г £ (—oo,+oo), m, го—константы интегрирования и u(r) = ^ ^arctan^ —

параметр т - масса кротовой норы.

В §1.3 рассмотрены различные формы метрики вращающейся кротовой норы, в том числе метрика вида

ds2 = - Adt2 + Bdr2 + К2 [dd2 + sin2 6{áp - udt)2], (5)

где А, В, К, и) — функции координат г и в, oj называется функцией угловой скорости вращения. Условия горловины для метрики (5) имеют вид

дК

дг

= о **

г—0 дг2

> 0. (6)

-=о

Требование конечности углового момента системы 3, измеренного удаленным наблюдателем, приводит к следующему асимптотическому условию для ш:

ш — —з" + <Э(г-4) при г —> оо. (7)

Массу т кротовой норы можно получить из асимптотического разложения метрической функции А:

2 т

А = 1--+ О (г-2) при г —* оо. (8)

Вторая глава посвящена построению модели вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств-времен Керра и исследованию полученной модели. В §2.1 приводится решение Керра, описывающее пространство снаружи вращающейся черной дыры. В §2.2 строится модель вращающейся кротовой норы методом сшивки Дармуа-Лихнеровича-Израэля. Процедура построения модели вкратце состоит в следующем. Рассмотрим две копии и М2 области в пространстве Керра

М1,2 = {(<,г,М) |г>Ь} (Ь>г+). (9)

Области Л'/1)2 имеют границы £1,2, заданные уравнением F(r) = г — Ь = 0. Метод сшивки заключается в построении пространства М = М\ иМг путем отождествления соответствующих точек на границах £1 и £2- Построенная модель

описывает вращающуюся кротовую нору, которая связывает два асимптотически плоских пространства-времени. Горловина кротовой норы соответствует поверхности сшивки. Поверхность Е является тонкой оболочкой, на которой сосредоточена экзотическая материя, нарушающая энергетические условия. При устремлении параметра вращения к нулю а —> 0 в предельном случае получаем статическую сферически симметричную модель кротовой норы, исследованную в работе [11].

В §2.4 в качестве источника геометрии кротовой норы рассмотрена жидкость с анизотропным давлением, заключенная на тонкой оболочке X и описываемая тензором энергии-импульса следующего вида

где иг = (0,1,0) - единичный вектор, иг = (иь, 0, ьУ) - вектор скорости, Р^, Рд -компоненты давления, Е - поверхностная плотность энергии жидкости. В предположении, что источником кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением получено два класса кротовых нор: с «малым» и «большим» радиусами горловины. Идеальная жидкость, соответствующая Рд = Рч> = Р, может служить источником кротовой норы только в частном случае а = 0, который соответствует статической сферически симметричной конфигурации (без вращения) .

Третья глава посвящена построению решения, описывающего вращающуюся кротовую нору в теории гравитации со скалярным полем в приближении медленного вращения. В §3.2 рассмотрена теория гравитации со скалярным полем ф

приведены уравнения Эйнштейна и уравнение движения скалярного поля для метрики (5). В §3.4 сформулировано условие медленного вращения

где с — скорость света, г о = Л"|г=о,0=7г/2 ~ Радиус горловины, П = ш|г=о, в=тх/2 ~ угловая скорость вращения на горловине кротовой норы. Условие (12) означает, что линейная скорость вращения горловины много меньше скорости света. Решение уравнений Эйнштейна и уравнения движения поля проведено в приближении медленного вращения, где роль малого параметра Л играет отношение линейной скорости вращения горловины к скорости света с: А = Пго/с. Следуя процедуре, изложенной в работе [12], метрические функции А, В, К, и> и поле ф были представлены в виде разложения по степеням параметра малости Л:

5г; = Еиги3 + РдУгУ-, + Рф(щи3 - - д%]),

(10)

(И)

Пг0 < с,

(12)

и = А и>(1)+0(А3), Л = А^(1+А2а) + 0(А4),

(13)

(14)

Рис. 1: Траектория движения частицы (г, <р) в экваториальной плоскости в — 7г/2: жирная линия соответствует движению при значениях координаты г > О, тонкая - при г < 0.

В = в№(1 + Л2/3) + 0(Л4), К = + Х2р) + 0(Л4),

ф = ^°'(1 + Л2^) + 0(Л4).

(15)

(16) (17)

Функции А'0), К(°\ определяющие нулевой порядок разложения,

соответствуют невозмущенному статическому решению (3), (4).

В §3.5 было получено решение в линейном приближении по параметру Л. Поправку к невозмущенному решению получает только одна метрическая функция ш, имеющая смысл локальной угловой скорости вращения

Функция угловой скорости вращения имеет различные пределы на асимптотиках г —> ±оо: w(+oo) ф <j(—оо). В §3.7 были исследованы траектории движения частиц и лучей света в экваториальной плоскости в пространстве-времени кротовой норы. Частица, изначально двигаясь на асимптотике т —> +оо вдоль радиального направления с постоянным значением координаты <р = <ра, вовлекается во вращение, и, пройдя горловину, на асимптотике г —> —оо движется

ш{г) = Awi

(18)

А т

Рис. 2: Зависимость Дт(го,т) от т при го — 1.

по спирали с постоянным шагом (рис. 1). Траектория луча света аналогична траектории частицы.

В §3.8 получено решение уравнений во втором порядке малости по параметру Л. В §3.9 с учетом поправок второго порядка по параметру Л было проанализировано изменение массы кротовой норы. Масса кротовой норы получает положительную добавку Ат(го,т) по сравнению с массой тп невращающейся конфигурации:

Дт(го,т) =

2(^т(34т4 - тп2г% + г^е4"^)

г§(т» + г§)

+2и>2(3о.7г)-1(?.2 + Ют2)(1 + и(т))е~^га

-^(Зг-отг)-1 [2(г^ + 10т2) ^т arctan ™ + г0 —т7г(7го + 22т2)

(19)

Функция Лт(го, т) представлена на рисунке 2. В случае т = 0:

Ат(го,0) = ^.

(20)

Ненулевое значение Лт(го,0) означает, что не существует безмассовых вращающихся кротовых нор. С учетом поправок второго порядка по параметру Л показано нарушение энергетических условий в пространстве вращающейся кротовой норы. Рассмотрен изотропный вектор с координатами =

-2 0 2 4 6

Рис. 3: Графики функций Т(г) и То (г) в зависимости от координаты г при значениях параметров г о = 1, m = 1.

Q учетом поправок второго порядка по параметру А величина Т(г, в) = Т^к^к" имеет вид

Т(г, в) = Го (г) + A2 [ft (г) + ШР2 (<?)] , (21)

где величина То (г) характеризует нарушение энергетических условий для конфигурации без вращения. Усредняя величину Т(г, в) по направлениям, получим

Т(г) [ Т{г,в) sin вШф (22)

47Г 70 Jo

\2 2u(r)

= ВД + TT—2Ï2 Ш™2 + Го) + (Г - m)(r2 + ^Ж + Ро)} ■

На рисунке 3 изображены графики функций Т(г) и То (г). Величина Т(г) отрицательна, но по абсолютной величине меньше значения То(г).

В приложении кратко изложен формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича-Израэля в общей теории относительности.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Построена модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра. Полученное в результате сшивки пространство-время является геодезически полным, не имеет горизонтов событий и обладает двумя плоскими асимптотиками, соединенными горловиной, расположенной на поверхности сшивки. Поверхность сшивки представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена «экзотическая» материя, нарушающая световое энергетическое условие.

2. В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная на тонкой оболочке в горловине кротовой норы, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины. Показано, что поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.

3. Построено решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с безмассовым скалярным полем с отрицательной кинетической энергией в приближении медленного вращения. В качестве малого параметра выбрано отношение линейной скорости вращения на горловине кротовой норы к скорости света. Решение уравнений гравитационного и скалярного полей получено с точностью до второго порядка малости.

4. В приближении первого порядка малости построены траектории движения частиц и исследован характер распространения лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. В приближении второго порядка малости вычислена поправка к массе вращающейся кротовой норы и исследовано нарушение энергетических условия. Показано, что учет вращения кротовой но- ры приводит к уменьшению величины нарушения светового энергетического

условия по сравнению с невращающимся случаем.

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах, входящих в список ВАК:

1. KasharginP. Е., Slowly Rotating Wormholes: the First-Order Approximation / P. E. Kashargin, S. V.Sushkov //• Gravitation and Cosmology. - 2008. - Vol. 14.

- P. 80-85.

2. KasharginP. E., Slowly rotating scalar field wormholes: The second order approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Physical Review D. - 2008. - Vol. 78. -064071.- 10 p.

3. KasharginP.E., Rotating thin-shell wormhole from glued Kerr spacetimes / P.E. Kashargin, S. V. Sushkov // Gravitation and Cosmology. - 2011. - Vol. 17. - No. 2.

- P. 119-125.

Публикации в прочих изданиях:

4. КашаргинП.Е., Вращающаяся кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств Керра / П.Е. Кашаргин, C.B. Сушков // И-я Российская летняя школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - GRACOS-2009, 24-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Изд-во «Фолиантъ», 2009. - С. 84-88.

5. Сушков С. В., Кротовые норы в приближении медленного вращения / C.B. Сушков, П.Е. Кашаргин // Российская летняя школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - GRACOS-2007, 9-16 сентября 2007 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Изд-во «Фолиантъ», 2007. - С. 158-162.

6. Кашаргин П. Е., Кротовые норы в приближении медленного вращения / П. Е. Кашаргин // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2007 года: сборник статей. КГУ -Казань, 2007. - С. 62-65.

7. Сушков С. В., Кротовые норы, в приближении медленного вращения / C.B. Сушков, П.Е. Кашаргин // Новейшие проблемы теории поля, т. 6. / Под ред. A.B. Аминовой. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2007. - С.230-237.

8. КашаргинП.Е., Об одном классе аксиально-симметричных решений в теории гравитации со скалярным полем / П.Е.Кашаргин, С.В.Сушков // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2006». - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. - С. 121-122.

9. Кашаргин П. Е., Медленно вращающиеся кротовые норы в приближении второго порядка / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007». - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2007. - С. 97-99.

0. KasharginP.Е., Slowly rotating wormholes: the second order aproximation / P.E. Kashargin, S.V. Sushkov // 13-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. Тезисы докладов. 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия. - С. 100

1. КашаргинП.Е., Кротовая нора построенная посредством сшивки двух пространств Керра / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Международная конференция «Petrov 2010 anniversary symposium on general relativity and gravitation» Тезисы докладов. Казань. 1-6 ноября 2010г. - Казань: Издательство Казанского университета, 2010. - С. 97.

2. KasharginP.Е., Rotating wormhole from surgically modified Kerr spacetimes / P.E.Kashargin, S.V.Sushkov // Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики: Тезисы докладов международной конференции. 27 июня - 3 июля 2010 г., РУДН, Москва. - М.: РУДН, 2010. - С. 89.

Цитируемая литература

Morris М. S., Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: a tool for teaching general relativity / M. S. Morris and K. S. Thorne // American Journal of Physics. - 1988. - V.56. - 395 p.

Visser M., Lorentzian Wormholes: from Einstein to Hawking / M. Visser // American Institute of Physics, Woodbury. - 1995.

Barcel6 C., Scalar fields, energy conditions, and traversable wormholes / C. Barcelo and M. Visser // Class. Quantum Grav. - 2000. - V.17. - P.3843.

Teo E., Rotating traversable wormholes / E. Teo // Phys. Rev. D. - 1998. -V.58. - 024014.

Khatsymovsky V. M., Rotating vacuum wormhole / V. M. Khatsymovsky // Phys. Lett. - 1998. - V.429. - p.254.

Perez Bergliaffa S. E., On the stress-energy tensor of a rotating wormhole / S. E. Perez Bergliaffa, К. E. Hibberd // arXiv: 0006041 [gr-qc]. - 4 p.

Kuhfittig P. K. F., Axially symmetric rotating traversable wormhole / P. K. F. Kuhfittig // Phys. Rev. D. - 2003. - V.67. - 064015.

Kim S.-W., Rotating wormhole and scalar perturbation / S.-W. Kim // Nuovo Cimento B. - 2005. - Vol.120. - P. 1235-1242.

Ellis H. G., Ether flow through a wormhole: A particle model in general relativity j H. G. Ellis // J. Math. Phys. - 1974. - V.14. - P.104.

Bronnikov K. A., Scalar-tensor theory and scalar charge / K. A. Bronnikov // Acta Phys. Pol. B. - 1973. - V.4. - P.251.

VisserM., Traversable wormholes from surgically modified Schwarzschild spacetimes / M. Visser // Nuclear Physics B. - 1989. - Vol.328. - P.203-212.

Hartle J. В., Slowly rotating relativistic stars / J. B. Hartle // Astrophys. J. - 1967. - V.150. - P. 1005-1029.

Подписано в печать 21.04.2011 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л. 0,75. Тираж 100. Заказ № 97.

Изготовлено в полиграфическом центре «Отечество» 420126, г.Казань, ул.Чистопольская, д.27а

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кашаргин, Павел Евгеньевич

Введение

1 Математические и физические аспекты физики кротовых нор

§1.1 Кротовые норы. Общие свойства.

§ 1.1.1 Пространство-время статической сферически симметричной кротовой норы.

§ 1.1.2 Энергетические условия.

§ 1.1.3 Тензор энергии импульса кротовой норы

§ 1.2 Модели сферически симметричных кротовых нор.

§ 1.2.1 Кротовая нора с бесконечно тонкой горловиной

§ 1.2.2 Кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространстввремен Шварцшильда (модель Виссера).

§ 1.2.3 Кротовая нора в теории гравитации со скалярным полем

§ 1.3 Вращающиеся кротовые норы

2 Вращающаяся кротовая нора, построенная методом сшивки двух пространств-времен Керра

§ 2.1 Решение Керра.

§ 2.2 Сшивка двух решений Керра.

§ 2.3 Энергетические условия.

§ 2.4 Материя на оболочке.

§ 2.4.1 Модель с идеальной жидкостью

§ 2.4.2 Модель с анизотропной жидкостью

§ 2.4.3 Анализ модели с анизотропной жидкостью.

§ 2.5 Выводы.

3 Вращающиеся кротовые норы со скалярными полями

§ 3.1 Метрика.

§ 3.2 Общие уравнения.

§ 3.3 Статическое сферически-симметричное решение.

§ 3.4 Условие медленного вращения.

§ 3.5 Медленно вращающаяся кротовая нора: решение уравнений в первом приближении.

§ 3.6 Анализ решения.

§ 3.7 Движение частиц и распространение света в пространстве-времени вращающейся кротовой норы.

§ 3.8 Медленно вращающаяся кротовая нора: решение уравнений во втором приближении

§ 3.8.1 Разложение по сферическим гармоникам.

§ 3.8.2 Граничные условия.

§ 3.8.3 Решение уравнений при п = 0.

§ 3.8.4 Решение уравнений при п — 2.

§ 3.9 Анализ решения.

§ 3.9.1 Профиль горловины вращающейся кротовой норы

§ 3.9.2 Масса вращающейся кротовой норы.

§ 3.9.3 Нарушение энергетических условий.

§3.10 Выводы

Результаты и выводы

Введение диссертация по физике, на тему "Модели вращающихся кротовых нор в общей теории относительности"

Кротовыми норами в физической литературе называют туннели, связывающие удаленные области Вселенной, или «мосты», соединяющие две различные вселенные. Исследование таких объектов началось практически одновременно с созданием общей теории относительности (ОТО). Первая работа в этом направлении исследований была опубликована Фламмом в 1916 году [41], спустя всего год после формулировки Эйнштейном своих уравнений. В 1935 Эйнштейн и Розен [35] предложили модель элементарной частицы (нейтральной и электрически заряженной) без сингулярности. С этой целью ими было построено решение, описывающее «мост», соединяющий две вселенные. Это решение получило название «мост Эйнштейна-Розена». Позже было показано, что мост Эйнштейна-Розена представляет собой решение Шварц-шильда, полученное в специально выбранных координатах, и не описывает проходимую кротовую нору. В 50-х годах прошлого столетия пространства с неодносвязной топологией рассматривал в своих работах Уилср [143], которому принадлежит термин «шогт1ю1е» (кротовая нора). Уилер высказал гипотезу, что геометрия пространства-времени на микроскопическом масштабе может обладать сложной топологией и содержать объекты типа топологических ручек или кротовых нор [143, 144]. Изучая динамику таких объектов, автор ввел понятие «пространственно-временной пены». В рамках исследования классической динамики им была сделана попытка объяснить классическую физику (электромагнетизм и гравитацию) как проявление нетривиальной топологии пространства, что привело У ил ера к таким понятиям, как «заряд без заряда», «масса без массы» (в данном подходе топологические свойства пространства-времени проявляют себя как заряд и масса). К изучению этих объектов ученые неоднократно возвращались, например [40]. Максимально расширенное решение Керра при частном выборе параметров также можно рассматривать как «мост», соединяющий два асимптотически плоских пространства [52].

Значительный интерес к кротовым норам связан с работой Морриса и Торна 1987 года [98]. Авторы отметили возможность использовать кротовые норы как кратчайшие пути перемещения во Вселенной. Черные дыры, «мост Эйнштейна-Розена», «кротовая нора Керра», упомянутые ранее, не пригодны для подобного «межзвездного» перемещения. Туннели, связывающий две удаленные области Вселенной и позволяющие физическим объектам беспрепятственно перемещаться через них за ограниченное время, в дальнейшем получили название проходимые кротовые норы. На сегодняшний день этой области физики посвящена обширная литература. Отметим, ставшей в этой области классической, монографию Виссера «Lorentzian Wormholes: From Einstein to Hawking» 1995 года [134], содержащую обзор исследований кротовых нор, в том числе авторские результаты. Более современный обзор исследований можно найти в статье [87].

В работе [98] была поставлена обратная задача при решении уравнений Эйнштейна, а именно, найти подходящий тензор энергии-импульса по заданной геометрии пространства-времени проходимой кротовой норы. В результате был обнаружен ряд интересных свойств. Оказалось, что тензор энергии-импульса в пространстве кротовой норы должен нарушать световое энергетическое условие [98, 134, 56, 57]. Энергетические условия относятся к общим физическим ограничениям на тензор энергии-импульса, и классические формы материи как правило удовлетворяют этим требованиям [52, 134]. Долгое время это было одним из основных «камней преткновения» в изучении кротовых нор, так как не было достаточных теоретических и экспериментальных оснований в пользу существования «экзотического» вещества во Вселенной.

Тем не менее нарушение энергетических условий имеет место в квантовой теории поля [39, 145, 19, 74]. Одним из ярких примером служит эффект Казимира, наблюдавшийся экспериментально, который проявляется во взаимодействии двух проводящих пластин помещенных в вакуум. Как известно, тензор энергии-импульса электромагнитного поля в этом случае нарушает энергетические условия. Состояния в квантовой теории поля, нарушающие ЭУ, как правило локализованы в малых областях пространства, и, с течением времени, могут компенсироваться возникновением состояния, не нарушающего ЭУ. Взамен «точечных» ЭУ были введены «усредненные» ЭУ, которые допускают локализованные нарушения «точечных» энергетических условий, и выражаются в ограничениях на интегралы по некоторым кривым [74, 132, 115]. Природа вещества в пространстве кротовой норы осталась загадкой, но появилась вероятность понять ее с позиции квантовой теории поля. Полуклассическое решение, описывающее кротовую нору, было получено в рамках приближения Фролова-Зельиикова для тензора энергии-импульса квантованных полей [126]. Тензоры энергии-импульса квантовых полей были также исследованы в статических сферически симметричных пространствах-временах кротовых пор [110, 67]. Первое самосогласованное решение полу классических уравнений Эйнштейна с квантованным скалярным полем, описывающее кротовую нору, было впервые найдено в работе [58]. Учитывая, что неминимальные скалярные поля могут нарушать ЭУ, набор самосогласованных решений с ними был также получен [7]. Т.к. нарушения ЭУ, предсказываемые квантовой теории поля, локализованы на малых масштабах, это послужило серьезным препятствием существования кротовых нор макроскопических размеров. С целью минимизировать нарушение энергетических условий, а также позволить воображаемому путешественнику проходить сквозь кротовую нору без столкновения и взаимодействия с экзотическим веществом, были построены модели кротовой норы с кубической горловиной [135], где «темная энергия» была сосредоточена на гранях горловины, модели, построеные посредством сшивки двух многообразий, где темная энрегия концентрировалась на бесконечно тонких поверхностях [136]. В работе [112] было показано, что кротовая нора может быть поддержана произвольно малым количеством экзоти-чесской материи. Исследовались возможности образования кротовых нор из черных дыр при возникновении темной энергии [54].

Важным аспектом физики кротовых нор является возможность присутствия в их пространстве-времени замкнутых времениподобных кривых, что теоретически позволило бы их использовать в качестве машины времени [134, 42, 88, 99]. Поискам ограничений, запрещающих подобные перемещения во времени во избежания нарушения причинной связанности событий в теории относительности также посвящен ряд работ. Имеются аргументы в пользу того, что возможно квантовые эффекты будут препятствовать подобным перемещениям во времени [53], так и опровергающие это [72]. Кроме кротовых нор в литературе рассматривались и другие "экзотические" решения, требующие темной энергии [102].

Отметим также, что до работы [98] 1987 года в теории относительности уже были известны точные решения с различными источниками, описывающие кротовые норы: решения с SO(3) калибровочным полем и фантомным полем Хиггса [31, 29], решения со скалярными полями [75, 37, 38, 16].

Актуальность работы

Исследование кротовых нор приобрело особую актуальность в последние десятилетия. Причин для этого несколько. В первую очередь, это связано с недавним открытием ускоренного расширения Вселенной [113, 107, 108], для объяснения которого потребовалось введение новой субстанции, так называемой «темной энергии». Это явление было впервые обнаружено двумя группами исследователей [113, 107] в 1998 году. Решающую роль в открытии ускоренного расширения Вселенной сыграл класс сверхновых типа 1а, которые играют роль стандартных свечей в астрономии. Это позволило точнее определить расстояние до этих объектов, и оценить параметр, определяющий ускорение расширения Вселенной. Гипотеза «темной энергии» была подкреплена и другими, не менее значимыми данными: исследованиями крупномасштабной структуры Вселенной, измерениями гравитационного линзирования, моделями нуклеосинтеза Большого Взрыва, оценками возраста Вселенной и ее кривизны [76, 103, 78, 79, 133, 25, 92, 34]. Один из основных из перечисленных аргументов заключается в следующем. В середине 1990-ых годов, систематизация галактических каталогов, использование различных методов для определения массы вещества во Вселенной, изучение реликтового излучения, проверка закона Хаббла привели к заключению, что полная плотность массы нерелятивистской материи, из которой построена неоднородная структура Вселенной (галактики, скопления галактик и т.д.) не превышают 30% критической плотности Вселенной рс. Этот результат какое-то время интерпретировался, как наличие у Вселенной ненулевой кривизны. Но это объяснение столкнулось с серьезными трудностями. В открытой модели с ненулевой кривизной возраст Вселенной оценивается примерно в 11 х 109 лет, тогда как оценка возраста некоторых объектов во Вселенной дает значение порядка 12 — 14 млрд. лет. Изучение анизотропии реликтового излучения также свидетельствует о том, что пространственная кривизна Вселенной близка к нулю. Говоря точнее, положение первого пика в угловом спектре анизотропии реликтового излучения чрезвычайно чувствительно к значению пространственной кривизны. Благодаря этим измерениям, в 1999-2000 годах было показано, что трехмерное пространство с большой точностью является Евклидовым (т.е. кривизна /Г"1 пространства близка к нулю) [95, 12, 62]. Если пространственная кривизна равна нулю, то не менее 70% плотности энергии во Вселенной - энергия нового типа, которая не участвует в образовании неоднородных структур во Вселенной. Качественно это означает, что давление такой материи отрицательно и достаточно велико, т.е. р « —р. Следовательно, это и есть темная энергия, которая в сумме с наблюдаемым веществом дает значение плотности близкое к рс. Гипотеза «темной энергии» одновременно подкреплена несколькими источниками: исследованиями крупномасштабной структуры Вселенной, измерениями гравитационного линзирования, нуклеосинтеза Большого Взрыва, оценками возраста Вселенной и ее кривизны и явлением ускоренного расширения Вселенной. Большое количество современных астрономических наблюдений хорошо вписывается в космологические модели Вселенной с «темной энергией». Чтобы проиллюстрировать важность данного набора космологических данных по темной энергии приведем, для примера, попытку объяснить наблюдения по сверхновым типа 1а альтернативным способом [26, 123], демонстрирующую сложность интерпретировать наблюдательные данные без привлечения темной энергии. Темная энергия, так необходимая для существования кротовых пор, составляет по современным оценкам около 70% от всего вещества нашей Вселенной.

Во-вторых, была существенно пересмотрена роль энергетических условий в физике: несмотря на то, что природа темной энергии до сих пор остается загадкой, на сегодняшний день существуют теоретические и экспериментальные основания в пользу того, что их нарушения могут иметь место в природе [8, 114, 137, 22, 9]. Как уже было упомянуто, нарушения ЭУ допускает квантовая теория поля. В литературе рассматривались различные модели темной энергии.

Одна из альтернативных моделей темной энергии - положительная космологическая постоянная. В теории гравитации с космологической постоянной решения, описывающие кротовые норы, были также найдены [116]. В том числе были получены решения, построенные посредством сшивки [73, 91] в духе работы [134, 138].

Альтернативой моделью темной энергии является вещество с уравнением состояния и = р/р, где р, р - пространственно однородные давление и плотность темной энергии [21], а и - некоторый параметр. Для объяснения ускоренного расширения вселенной требуется значение ш < —1/3, си = —1 - сводится к космологической постоянной, или энергии вакуума. Уравнение состояния при — 1 < ш < —1/3 описывает материю, названную в литературе "квинтэссенцией". При и < — 1 [96, 2, 24], что не исключено астрономическими наблюдениями, нарушается световое, и следовательно, все энергетические условия. Вещество, описываемое уравнением состояния с и < — 1 называют также "фантомной энергией" [23]. Фантомная энергия допускает существование кротовых нор. В литературе были найдены решения кротовых нор с фантомной энергией [85, 86, 127], с газом Чаплыгина [90]. В работе [44] рассматривались кротовые норы па фойе ускоренно расширяющейся Вселенной, исследовалась возможность микроскопических кротовых нор увеличится в результате расширения Вселенной до макроскопических размеров. В теории гравитации с фантомной энергией может масштабный фактор вселенной может за конечный промежуток времени обратится в бесконечность [45, 46]. Такой космологический сценарий получил в литературе название 11 Big Rip" (Большой Разрыв).

Другим кандидатом на роль темной энергии являются скалярные поля. Известно, что модели с классическим скалярным полем могут нарушать ЭУ [8]. Скалярные поля с различного рода потенциалами самодействия в общей теории относительности могут возникать после размерной редукции из многомерных теорий, например теории Калуца-Кляйна или теории суперсимметрии. В работе [4] рассматривался общий вид лагранжиана с различными скалярными полями и формулируется необходимое условие на лагранжиан, которое налагается существованием кротовых нор, частным случаем лагранжиана является уже упомянутое безмассовое скалярное поле с отрицательным кинетическим членом. Такое скалярное поле получило название «фантомное» скалярное поле. Поля такого вида возникает в моделях с инфляцией [5], и являются кандидатом на роль темной энергии [23, 121]. Фантомное скалярное поле допускает решения, описывающие кротовые норы [37, 16, 75, 4, 55].

Таким образом, в связи с современными астрономическими наблюдениями и пересмотром роли энергетических условий в физике исследование кротовых нор приобрело в особенную актуальность. Наиболее исследованными являются статические, сферически симметричные кротовые норы в силу их более высокой симметрии. Многие из работ уже были упомянуты. Естественным обобщением работы [98] является исследование нестатических решений кротовых нор, в том числе решений, описывающих вращающиеся кротовые норы.

Нестатические решения, в том числе решения с метрикой, зависящей от времени рассматривались в литературе. В 1993 году Роман [117] исследовал возможность микроскопических кротовых нор в результате инфляции увеличиться до макроскопических размеров. В работе использовалась метрика с экспоненциальным масштабным фактором, зависящим от времени. В дальнейшем эти исследования были обобщены в работе [70], где использовалась масштабный фактор более общего вида. Различные аспекты нестатических кротовых нор конформно связанных со статическими решениями были исследованы в [3, 64, 65, 142], в том числе были затронуты вопросы, касающиеся нарушения энергетических условий. В работе [80] рассматривалось сферически-симметричное решение с метрикой зависящей от времени. Точные решения, описывающие динамику кротовых нор в теории со скалярным полем были получены в работах [124, 125].

Значительный интерес представляет изучение вращающихся кротовых нор. Некоторые их аспекты были рассмотрены в литературе. В работе [131] впервые были получены условия при которых общая аксиально-симметричная метрика описывает пространство-время вращающейся кротовой норы, были приведены различные представления метрики вращающейся кротовой норы, исследовалась возможность существования в пространстве кротовой норы эргообласти, показано нарушение энергетических условий. В работах [81] исследовалось нарушение энергетических условий в пространстве-времени вращающейся кротовой норы, исследовалась "проходимость" вращающейся кротовой норы. Общие свойства тензора энергии-импульса вращающейся кротовой норы исследовались также в [106]. Точное решение кротовой норы в узком классе аксиально симметричных метрик в теории со скалярным полем было найдено в [94]. В дальнейшем полученное решение было исследовано в работах [100, 147]. В работе [71] рассматриваются скалярные возмущения модели вращающейся кротовой норы. В работе [97] исследовалось поведение облака заряженных частиц в гравитационном поле вращающейся кротовой норы. Изучалось поведение тонких дисков материи в поле вращающейся кротовой норы [49], исследовалось движение заряженных частиц в гравитационном и магнитном поле вращающейся кротовой норы [1]. В работе [122] исследовалось влияние вращения на количество темной энергии в пространстве кротовой норы. В работе [66] исследовалась возможность существования полуклассических вращающихся кротовых нор. Следует отметить, в литературе не было точных решений, описывающих вращающиеся кротовые норы.

Цель и задачи диссертационной работы

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

3. Анализ решения, описывающего вращающуюся кротовую нору: исследование движения частиц и распространения света в пространстве кротовой норы, влияния медленного вращения на массу кротовой норы и на нарушение энергетических условий.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Построена новая модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Ксрра с источником гравитации, сосредоточенным на поверхности сшивки (модель тонкой оболочки). В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины.

Достоверность результатов диссертации

Научные положения, выносимые на защиту

2. Гравитационным источником в пространстве-времени вращающейся кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная на тонкой оболочке в горловине кротовой норы. Для данного типа источника найдены два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины. Поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.

Личное участие автора

Основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором. В исследованиях, выполненных совместно с научным руководителем, профессору С.В.Сушкову принадлежат постановка задачи, контроль расчётов и обсуждение результатов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Пятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2006» (Казань, 2006), Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007), XVIII Международной летней школе-семинаре «Волга -2007» по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 2007), 13 Российской гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии астрофизике (Москва, 2008), Международной конференции по современным проблемам гравитации, космологии и релятивистской астрофизики (2010, РУДН, Москва), Российской летней школе-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - С11АС08-2007 (Казань-Яльчик, 2007), Второй Российской летней школе-семинар «Современные проблемы теории гравитации и космологии» - СГ1АС08-2009 (Казань- Яльчик, 2009), семинарах кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета, итоговых научных конференциях Казанского университета (2009 г., 2010 г.), научной студенческой конференций Казанского университета (2007 г.).

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах, входящих в список ВАК:

1. Kashargin Р. Е., Slowly Rotating Wormholes: the First-Order Approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Gravitation and Cosmology. - 2008. - Vol. 14.

- P. 80-85.

2. Kashargin P. E., Slowly rotating scalar field wormholes: The second order approximation / P. E. Kashargin, S.V. Sushkov // Physical Review D. - 2008. -Vol.78. - 064071. - 10p.

3. Kashargin P. E., Rotating thin-shell wormhole from glued Kerr spacetimes / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Gravitation and Cosmology. - 2011. - Vol. 17.

- No. 2. - P. 119-125.

Публикации в прочих изданиях:

4. КашаргинП. Е., Вращающаяся кротовая пора, полученная методом сшивки двух пространств Керра / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // П-я Российская летняя школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - GRACOS-2009, 24-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Изд-во «Фолиантъ», 2009. - С. 84-88.

5. Сушков С. В., Кротовые норы в приближении медленного вращения / С. В. Сушков, П. Е. Кашаргин // Российская летняя школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - GRACOS-2007, 9-16 сентября 2007 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Изд-во «Фолиантъ», 2007. - С. 158-162.

6. Кашаргин П. Е., Кротовые норы в приблиоюении медленного вращения / П. Е. Кашаргин // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2007 года: сборник статей. КГУ - Казань, 2007. - С. 62-65.

7. СушковС. В., Кротовые норы в приближении медленного вращения / С. В. Сушков, П. Е. Кашаргин // Новейшие проблемы теории поля, т. 6. / Под ред. А. В. Аминовой. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2007. - С. 230-237.

8. Кашаргин П. Е., Об одном классе аксиально-симметричных решений в теории гравитации со скалярным полем / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2006». - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. - С. 121-122.

9. Кашаргин П. Е., Медленно враи^ающиеся кротовые норы в приблиэ/сении второго порядка / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007». -Казань: Издательство Казанского математического общества, 2007. - С. 9799.

10. Kashargin Р. Е., Slowly rotating wormholes: the second order aproximation / P.E. Kashargin, S.V. Sushkov // 13-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. Тезисы докладов. 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия. -С. 100

11. Кашаргин П. Е., Кротовая нора построенная посредством сшивки двух пространств Керра / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Международная конференция «Petrov 2010 anniversary symposium on general relativity and gravitation». Тезисы докладов. Казань. 1-6 ноября 2010г. - Казань: Издательство Казанского университета, 2010. - С. 97.

12. Kashargin Р. Е., Rotating wormhole from surgically modified Kerr spacetimes j P. E. Kashargin, S.V. Sushkov // Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики: Тезисы докладов международной конференции. 27 июня - 3 июля 2010 г., РУДН, Москва. - М.: РУДН, 2010. -С. 89.

Структура и объём работы

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты и выводы диссертационной работы сводятся к следующим:

2. В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная на тонкой оболочке в горловине кротовой поры, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины. Показано, что поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.

3. Построено решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с бсзмассовым скалярным полем с отрицательной кинетической энергией в приближении медленного вращения. В качестве малого параметра выбрано отношение линейной скорости вращения на горловине кротовой норы к скорости света. Решение уравнений гравитационного и скалярного полей получено с точностью до второго порядка малости.

4. В приближении первого порядка малости построены траектории движения частиц и исследован характер распространения лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. В приближении второго порядка малости вычислена поправка к массе вращающейся кротовой норы и исследовано нарушение энергетических условия. Показано, что учет вращения кротовой норы приводит к уменьшению величины нарушения светового энергетического условия по сравнению с невращаюгцимся случаем.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Кашаргин, Павел Евгеньевич, Казань

1. Abdujabbarov A.A. Electromagnetic Fields and Charged Particle Motion Around, Magnetized Wormholes / A.A. Abdujabbarov, B.J.Ahmedov // Astrophysics and Space Scicncc. - 2009. - V.321. - N.3-4. - P.225-232.

2. Alcaniz J. S., Testing dark energy beyond the cosmological constant barrier / J. S. Alcaniz // Physical Review D. 2004. - V.69. - P.083521.

3. Anchordoqui L.A., Evolving wormhole geometries / L.A. Anchordoqui, D.F. Torres, M.L. Trobo, S.E. Perez Bergliaffa // Physical Review D. 1998. -V.57. - P.829-833.

4. Armendariz-Picon C., On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity / C. Armendariz-Picon // Physical Review D. 2002. - V.65. - P. 104010.

5. Armendariz-Picon C., k-Inflation / C. Armendariz-Picon, T. Damour, V. Muchanov // Physical Letters B. 1999. - V.458. - P.209.

6. Aros R.O., Wormhole at, the core of an infinity cosmic string / R. O. Aros, N. Zamorano // Physical Review D. 1997. - V.56. - P.6607.

7. Barcelo C., Traversable wormholes from massless conformally coupled scalar fields / C. Barcelo, M. Visser // Physical Letters B. 1999. - V.466. - P.127.

8. Barcelo C., Scalar fields, energy conditions, and traversable wormholes / C. Barcelo, M. Visser // Classical and Quantum Gravity. 2000. - V.17. -P.3843.

9. Barcelo C., Twilight for the energy conditions / C. Barcelo, M. Visser // International Journal of Modern Physics D. 2002. - V.ll. - P.1553.

10. BarrabesC., Thin shells in general relativity and cosmology: The lightlike limit / C. Barrabcs. YV. Israel // Physical Review D. 1991. - V.43. - P. 1129-1142.

11. E.Pascale, F.Piacentini, D.Pogosyan, S.Prunet, S.Rao, G.Romeo, J.E.Ruhl,

12. F.Scaramuzzi, D.Sforna, N.Viltorio // Nature.- 2000. V.404. - P.955

13. BonnorW. B., Junction condition m general relativity/ W. B.Bonnor, P. A. Vickers // General Relativity and Gravitation . 1981. - V.13. - P.29.

14. Boemner C.G., Conformally symmetric traversable wormholes / C. G. Boemner, T. Haroo. F. S. N. Lobo // Physical Review D. 2007. -V.76. -084014.

15. O'Brien S., Jump conditions of discontinuités in general relativity/ S. O'Brien, J. L. Singe // Dublin. Dublin Institute for Advanced Studies. 1952.

16. Bronnikov K. A., Scalar-ten s or theory and scalar charge / K. A. Bronnikov // Acta Physica Polonica B. 1973. - V.4. - P.251.

17. Bronnikov K., Charged wormholes with non-minimally coupled scalar fields. Existence and stability / K. Bronnikov, S. Grinyok // arxiv: 0205131 gr-qc].

18. Bronnikov K.A., Possible wormholes in a brane world/ K. A. Bronnikov, S.-W. Kim // Physical Review D. 2003. - V.67. - 064027. - 7 P.

19. Brown L.S., Vacuum Stress between Conducting Plates: An Image Solution / Lowell S. Brown, G. Jordan Maclay // Physical Review. 1969. - V.184.- P.1272-1279.

20. Cai R.C., Cosmology with interaction between phantom dark energy dark matter and the coincidence problem / R.C.Cai, A.Wang // Journal of Cosmology and Aslroparticle Physics. 2005. - 0503. - 002.

21. Cainand R.C., Cosmology with interaction between phantom dark energy and dark matter and the coincidence problem / Cainand R.C., Wang A. // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 0503, 002 (2005).

22. Caldwell R.R., Phantom energy and cosmic doomsday / R.R. Caldwell, M. Kamionkowski, N.N. Weinberg // Physical Review Letters. 2003. - V.91.- P.071301.

23. Caldwell R.R., A phantom menace: cosmological consequences of a dark energy component with super negative equation of state / R.R.Caldwell // Physical Letters B. 2002. - V.545. - P.23-29.

24. Carroll S.M., Can the dark energy equation of state parameter to be less than -I? / Carroll S.M., Hoffman M. // Physical Review D. 2003. - V.68. -P.023509.

25. Carroll S.M., The cosmological constant / Carroll S.M., Press W.H., Turner E.L. // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 1992. - V.30. -P.499-542.

26. Celerier M.-N., The accelerated expansion of the Universe challenged by an effect of the inhom.ogeneities / Celerier M.-N. // New Advances in Physics. 2009. -V. 1. - P.29.

27. Chandrasekhar S., The nia,thema,tical theory of black holes / S. Chandrasekhar // Clarendon press Oxford, Oxford university press New York. 1983.

28. Clarke C. J. S., Junction conditions for null hypersurfaces/ C. J. S. Clarke, T. Dray // Classical and Quantum Gravity. 1987. - V.4. - i.2 - P.265-275.

29. Clement G., The Ellis geometry / G. Clement // American Journal of Physics. 1989. - V.57. - P.967.

30. Clement G., Flat wormholes from cosmic strings / G. Clement // Journal of Mathematical Physics. 1997. - V.38. - P.5807.

31. Clement G., Einstein-Ya.ng-Mills-Higgs solution / G.Clement // General Relativity and Gravitation. 1981. - V.13. - P.763.

32. DarmoisG., Les equation de la gravitation Einsteinienne. Memorial des science Mathematiques, Fascicule XXV / G. Darmois. // Paris: Gauthier-Villairs. 1927.

33. Das A., The Ellis wormhole with "tachyon matter" / A. Das, S. Kar // Classical and Quantum Gravity. 2005. - V.22. - P.3045-3053.

34. Einstein A., The particle problem in the General theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. - V. 48. - P.73-77.

35. Eisenhart L. P., Riemannian Geometry / L. P. Eisenhart // Princeton university press. Princeton. 1949.

36. Ellis H. G., Ether flow through a wormhole: A particle model in general relativity / H. G. Ellis // Journal of Mathematical Physics. 1973. - V.14.- P.104.

37. Ellis H. G., The evolving, flowless drain hole: a nongravitating particle model in general relativity theory / H. G. Ellis // Journal of Mathematical Physics.- 1979. V.10. - P.105-123.

38. Epstein H., Nonpositivity of the energy density in quantized field theories /

39. H. Epstein, V. Glaser, A. Ja fie // Nuovo Cimento. 1965. - V.36. - N.3. -P.1016-1022.

40. Ernst F.J., Variational calculations in geon theor / F.J.Ernst // Physical Review. V.105 - 1957. - p. 1662-1664.

41. Flamm L., Beitrage zur Einsteinschen Gravitationstheorie. / L. Flamm // Physikalische Zeitschrift, 1916. - V. 17. - P.448.

42. Frolov V.P., Physical effects in wormholes and time mashines / V.P.Frolov,

43. D.Novikov // Physical Review D. V.42. - 1990. - P.1057.

44. Frolov V.P., Wormhole as a device for studying a black hole interior / V. P. Frolov, I. D. Novikov // Physical Review D. 1993. - V.48. - P.1607.

45. Gonzalez-Diaz P.F., Wormholes and ringholes in a dark-energy universe / P.F.Gonzalez-Diaz // Physical Review D. V.68. - 2003. - 084016.

46. Gonzalez-Diaz P.F., Achronal cosmic future / P.F. Gonzalez-Diaz // Physical Review Letters. 2004. - V.93. - P.071301.

47. Gonzalez-Diaz P.F., Phantom inflation and the "Big Rip" / P.F.Gonzalez-Diaz, J.A.J.Madrid // Physical Letters B. 2004. - V.596. - P. 16-24.

48. Gonzalez-Diaz P.F., Ringholes and closed timelike curves / P. F. Gonzalez-Diaz // Physical Review D. 1996. - V.54. - P.6122.

49. Grant A., The farthest known supernova: support for an acceleration universe and a glimpse of the epoch of deceleration / A. Grant // Astrophys. J. V.560. - 2001. - p.49-71.

50. Harko T., Thin accretion disks in stationary axisymmetric wormhole spacetimes / T. Harko, Z. Kovacs, F. S. N. Lobo // Physical Review. D.- 2008. V.78. - 084005.

51. Hartle J.B., Slowly rotating relativistic stars / J.B.Hartle // The Astrophysical Journal. -1967. V.150. - P. 1005-1029.

52. Hartle J.B., / J.B.Hartle, D.H.Sharp // The Astrophysical Journal. -1967.- V.147. P.317.

53. Hawking S.W., The large scale structure of space-time / S.W.Hawking, G.F.R.Ellis /'/ Cambridge university press. 1973. - 399 P.

54. Hawking S.W., Chronology protection conjecture / S.W.Hawking // Physical Review D. 1992. - V. 46. - P.603.

55. Hayward S.A., Recent progress in wormhole dynamics / S.A.Hayward // arxiv: 0306051 gr-qc].

56. Hayward S. A., Dilatonic wormholes: Construction, operation, maintenance, and collapse to black holes / S. A. Hayward, S.-W. Kim, H. Lee / Physical Review D. 2002. - V.65. - 064003.

57. Hochberg D., Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat / D. Hochberg, M. Visser // Physical Review D. 1997. - V.56. -P.4745-4755.

58. Hochberg D., Dynamic worm,holes, antitrapped surfaces, and energy conditions / D. Hochberg, M. Visser // Physical Review D. 1998. - V.58.- P.044021.

59. Hochberg D., Self-Consistent Wormhole Solutions of Semiclassical Gravity / D. Hochberg, A. Popov, S. V. Sushkov // Physical Review Letters. 1997.- V.78. P.2050-2053.

60. Hochberg D., Wormhole Cosmology and the Horizon Problem / D. Hochberg, T. W. Kephart // Physical Review Letters. 1993. - V.70. - 2665.

61. Israel W., Thin shells in general relativity/ W. Israel // Nuavo Cimento. -1966. P. 1-14.

62. Israel W., Source of the Kerr metric / W. Israel // Physical Review D. -1970. V.2. - P.641-646.

63. Jamil M., Can a wormhole generate electromagnetic field? / M.Jamil, M.A.Rashid // International Journal of Theoretical Physics. 2010. - V.49.- P. 1549-1555.

64. Kar S., Evolving wormholes and the weak energy condition / S. Kar // Physical Review. D. 1994. - V.49. - P.862-865.

65. Kar S., Evolving Lorentzian wormholes / S. Kar, D.Sahdev // Physical Review D. 1996. - V.53. - P.722-730.

66. Khatsymovsky V. M., Rotating vacuum wormhole / V.M.Khatsymovsky // Physical Letters B. 1998. - V.429. - P.254-262.

67. Khusnutdinov N.R., Ground state energy in a wormhole space-time / N.R.Khusnutdinov, S. V. Sushkov // Physical Review D. 2002. - V.65. - P.084028.

68. Kim S.-W., Traversable wormhole with, classical scalar field / S.-W. Kim, S. P. Kim // Physical Review D. 1998. - V.58. - P.087703.

69. Kim S.-W., Exact solutions of a charged wormhole / S.-W. Kim, H. Lee // Physical Review D. 2001. - V.63. - 064014.

70. Kim S.-W., Cosmological model with a traversable wormhole / S.-W. Kim // Physical Review D. 1996. - V.53. - P.6889-6892.

71. Kim S.-W., Rotating wormhole and scalar perturbation / S.-W. Kim // arxiv: 0401036 gr-qc].

72. Kim S.-W., Particle creation for time travel through a wormhole / S.-W.Kim // Physical Review D. 1992. - V.46. - P.2428.

73. Kim S., Schwarzschild-de Sitter type wormhole / S.Kim // Physical Letters A. 1992. - V.166. - P.13.

74. Klinkhammcr G., Averaged energy conditions for free scalar fields in flat spacetime / G. Klinkhammer // Physical Review D. 1991. - V.43. - P.2542.

75. Kodama T., General-relativistic nonlinear field: A kink solution in a generalized geometry / T. Kodama. // Physical Review D. 1978. - V.18. -P.3529.

76. Kofman L.A., Gncdin N.Y., Bahcall N.A., Cosmological constant, COBE cosmic microwave background anisotropy, and large-scale clustering / Kofman L.A. // The Astrophysical Journal. 1993. - Part 1. - V.413. -no. 1. - P.l-9.

77. Krasnikov S., Traversable wormhole j S. Krasnikov // Physical Review D.- V.62. 084028.

78. Krauss L.M. The Cosmological Constant is Back / Krauss L.M., Turner M.S. // General Relativity and Gravitation. V.27. - 1995. - P. 1137.

79. Krauss L.M., Old Galaxies at High Redshift and the Cosmological Constant / Krauss L.M. / / The Astrophysical Journal. 1997. - V.480. N.2. - P.466-469.

80. Kuhfittig P.K.F., Static and dynamic traversable wormhole geometries satisfying the Ford-Roman constraints / P.K.F.Kuhfittig // Physical Review D. 2002. - V. 66. - 024015.

81. Kuhfittig P. K. F., Axially symmetric rotating traversable wormhole / P. K. F. Kuhfittig // Physical Review. D. 2003. - V.67. - 064015.

82. Kuhfittig P.K.F., Can a wormhole supported by only small amounts of exotic matter really be traversable? f P.K.F. Kuhfittig // Physical Review D. -2003. V.68. - 067502.

83. Lemos J.P.S., Morris-Thome worm,holes with a cosmological constant / J.P.S.Lemos, F.S.N.Lobo, S.Q.de Oliveira // Physical Review D. 2003.- V.68. 064004.

84. LichnerovichA., Theories relativistes de la gravitation et de I'electromagnetisme/ A. Lichnerovich. // Paris: Masson. 1955.

85. Lobo F. S. N., Phantom energy traversable wormhole / F. S. N. Lobo // Physical Review D. 2005. - V.71. - P.084011.

86. Lobo F. S. N., Stability of phantom wormholes / F. S. N. Lobo // Physical Review D. 2005. - V.71. - P. 124022.

87. Lobo F. S. N., Exotic solutions in General Relativity: Traversable wormhole and "warp drive"spa,cetime. / Francisco S. N. Lobo // arxiv: 0710.4474vl gr-qc],

88. Lobo F., Time. Closed Timelike Curves and Causality / F. Lobo, P. Crawford, // NATO Science Serios II. 2003. - V.95. - P.289-296.

89. Lobo F.S.N., Phantom energy traversable wormholes / F. S. N. Lobo // Physical Review D. 2005. -V.71. - 084011.

90. Lobo F.S.N., Chaplygin traversable wormholes / F.S.N.Lobo // Physical Review D. 2006. - V.73. - P.064028.

91. Lobo F.S.N., Linearized stability analysis of thin-shell wormholes with cosmological constant /' F.S.N.Lobo, P.Crawford // Classical and Quantum Gravity. 2004. - V.21. - P.391.

92. Lukash V.N., Dark energy: myths and relity / V.N. Lukash, V.A.Rubakov // Physics-Uspechi. 2008. - V.51 (3). -P.283-289.

93. MarsM., Geometry of general hypersurfaces in spacetime: junction conditions /' M. Mars, J. M. M. Scnovilla // Classical and Quantum Gravity. 1993. - V.10. - P. 1865-1597.

94. Matos T., Rotating scalar field wormhole / Matos T., Núñez D. // arxiv: 0508117 gr-qc|. 7 p.

95. Melchiorri A., The state of the dark energy equation of state / A. Melchiorri, L. Mersini, C. J. Odman, M. Trodden // Physical Review D. 2003. - V.68.- P.043509.

96. Mibasher J., Electromagnetic field around a slowly rotating wormhole / Mibasher J., Rashid A. // International Journal of Theoretical Physics. -2010. V.49. - P.1549-1555.

97. Morris M. S., Wormholes in spacetima and their use for interstellar travel: a tool for teaching general relativity / M. S. Morris, K. S. Thorne // American Journal of Physics. 1988. - V. 56. - P.395.

98. Morris M.S., Wormholes, time mashines and the weak energy condition / M. S. Morris, K. S. Thorne, U. Yurtscvcr // Physical Review Letters. 1988.- V.61. 1446.

99. Nancli K.K., An algorithm, for genera,ting rotating Brans-Dicke wormhole solutions / Kamal K. Nancli, Yuan-Zhong Zhang // arxiv: 0606012vl gr-qc],

100. Nandi K.K., Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames / K. K. Nandi, B. Bhattacharjee, S. M. K. Alam, and J. Evans // Physical Review D. 1998. - V.57. - P.823.

101. Olum K., Superluminal travel requires negative energy density / K. Olum // Physical Review Letters. -- 1998. V.81. - P.3567-3570.

102. Ostriker J.P., The observational case for a low-density Universe with a nonzero cosmological constant / Ostriker J.P., Steinhardt P.J. // Nature. 2002.- V.377. P.600-602

103. Papapetrou W., Couches simples de matiere en relativite generale / W. Papapetrou, A. Hamoui // Annales de l'lnstitut Henri Poincare. 1968.- V.IX P.179-211.

104. Parisio F., Wormholes: Controlling exoting matter with a magnetic field / F.Parisio // Physical Review D. 2001. - V.63. - 087502.

105. Perez Bergliaffa S. E., On the stress-energy tensor of a rotating wormhole / S. E. Perez Bergliaffa, K. E. Hibberd // arxiv: 0006041 gr-qc], 2000. - 4 P

106. Perlmutter S., Constraining da/rk energy with SNe la and large scale structure j S. Perlmutter, M. S. Turner, M. White // Physical Review Letters. 1999. - V.83. - p.670-673.

107. Poisson E., Thin shell wormholes: Linearization stability / E.Poisson, M.Visser // Physical Review D. 1995. - V.52. - P.7318-7321

108. Popov A. A., Vacuum, polarization of a scalar field in wormhole space-times / A. A. Popov, S. V. Sushkov // Physical Review D. 2001. - V.63. -P.044017.

109. Popov A.A., Stress energy of a quantized scalar field in static wormhole space-time / A.A.Popov // Physical Review D. 2001. - V. 64. - 104005.

110. Rahaman F., A theoretical construction of wormhole supported by Phantom Energy / F.Rahaman, M. Kalam, M. Sarker, K. Gayen // arxiv: 0512075 gr-qc],

111. Riess A.G., Type la supernova, discoveriess at z > 1 from the Hubble space telescope: Euidence for past deceleration and constraints on dark energy evolution / A.G.Riess, L.Strolger, J.Tonry, S.Casertano, H.C.Ferguson,

112. B.Mobasher, P.Challis, A.V.Filippenko, S.Jha, W.Li, R.Chornock, R.P.Kirshner, B.Leibundgut, M.Dickinson, M.Livio, M.Giavalisco,

113. C.C.Steidel, T.Ben?tez, Z.Tsvetanov ,// Astrophysical Journal. 2004. -V.607. - P.665-687.

114. Roman T. A., Quantum stress-energy tensors and the weak energy condition / T. A. Roman // Physical Review D. V.33. - 1986. - P.3526.

115. Roman T. A., Inflating Lorentzian wormholes / T.A.Roman // Physical Review D. 1993. V.47. - P.1370.

116. Roman T.A., Inflating Lorentzia,n wormholes / T.A. Roman // Physical Review D. 1993. - V.47. - P. 1370-1379.

117. Safonova M., Microlensing by natural wormholes: theory and simulations / M. Safonova, D. F. Torres, G. E. Romero // Physical Review D. 2002. -V.65. - 023001.

118. Schein F., String-su/pported wormhole spacetimes containing closed timelike curves / F. Schein, P.C. Aichelburg, W. Israel // Physical Review D. 1996.- V.54. P.3800.

119. Schein F., Taversabl.e wormholes in geometries of charged shells / F. Schein, P.C. Aichelburg //' Physical Review Letters. 1996. - V.77. - P.4130.

120. Schulz A., Tensor to scalar ratio of phantom dark energy models / A. Schulz, M. White // Physical Review D. 2001. - V.64. - 043514. - 5 p.

121. Shatskiy A., Influence of Rotation on the Amount of Phantom Matter around wormholes / A. Shatskiy // arxiv:0712.2572v2 astro-ph].

122. Stephon A., Local uoid vs dark energy: confrontation with WMAP and type la Supernovae /' Stephon A., Tirthabir B., Alessio N., Deepak V. // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 2009. - V.2009.

123. Sushkov S.V., Cosmological Euolution of a Ghost Scalar Field / S.V.Sushkov, S.-W.Kiin // General Relativity and Gravitation. 2004. -V.36. - N.7. - P.1671-1678.

124. Sushkov S.V., Scalar wormholes in a cosmological setting and their instability / S.V.Sushkov, Y.-Z.Zhang // Physical Review D. 2008. - V.77.- 024042. 8 P.

125. Sushkov S. V., A self consistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity / S. V. Sushkov // Physical Letters A. 1992. - V.164. -P.33-37.

126. Sushkov S.V., Worrnholes supported by a phantom energy / S.V.Sushkov // Physical Review D. 2005. - V.71. 043520.

127. Sushkov S.V., Worrnholes supported by a kink-like configuration of a scalar field / S.V.Sushkov, S.-W.Kim // Classical and Quantum Gravity. 2002.- V.19. P.4909-4922.

128. Taub A. H., Space-times with distribution valued curvature tensors / Taub A.M. // Journal of Mathematical Physics. 1980. - V.21. - No.6.- 1423-1431-.

129. Tegmark M., Eisenstein D.J., Strauss M.A., Weinberg D.H. Cosmological constraints from the SDSS luminous red, galaxies / Tegmark M., Eisenstein D.J., Strauss M.A. Weinberg D.H. // Physical Review D. 2006. - V.74. -123507. - 34 P.

130. Teo E., Rotating traversable worrnholes / E. Teo // Physical Review. D. -1998. V. 58. - 024014.

131. Tipler F. J., Energy conditions and spacetime singularities / F. J. Tipler // Physical Review D. 1978. - V.17. - P.2521.

132. Totani T., Evolution of the Luminosity Density in the Universe: Implications for the Nonzero Cosmological Constant / Totani T., Yoshii Y., Sato K. //' Astrophysical Journal. 1997. - V.483. - L75.

133. Visser M., Lorentzian Worrnholes: from Einstein to Hawking / M. Visser // Woodbury. American Institute of Physics. 1995.

134. Visser M., Traversable wormholes. Some simple examples / M. Visser // Physical Review D. 1989. V.39. - 3182.

135. Visser M., Traversable wormholes from surgically modified Schwarzschild spacetimes / M. Visser //' Nuclear Physics B. 1989. - Vol.328. - P.203-212.arxiv: 9506083 gr-qcj. 1995.

136. Visser M., Jerk, snap, and the cosmological equation of state / M. Visser // Classical and Quantum Gravity. 2004. - V.21. - P.2603.

137. Visser A4., Quantum wormholes / Visser M. // Physical Review D. 1991.- V.43. P.402-409.

138. Visser M., Traversable wormholes with arbitrarily small energy condition violations / M.Visser, S.Kar, N.Dadhich // Physical Review Letters. 2003.- V.90. 201102.

139. Vollick D.N., Maintaining a wormhole with a scalar field / D. N. Vollick // Physical Review D. 1997. - V.56. - P.4724-4728.

140. Wald R.M., General relativity / Robert M. Wald // Chikago: The university of Chikago Press. 1984.

141. Wang A., Dynamical Wormholes and Energy Conditions / A.Wang, P.S.Letelier // Progress of Theoretical Physics. 1995. - V.94. - No.l. -P.137-142.

142. Wheeler J. A., Geons /' J. A. Wheeler // Physical Review. 1955. - V.97.- P.511-536.

143. Wheeler J. A., Geometrodynamics / J. A. Wheeler // New York: Academic Press. 1962. - 334 P.

144. Zeldovich Ya.B., On the possibility of the creation of particles by a classical gravitational field / Ya. B. Zcldovich, L.P. Pitaevsky // Communications in Mathematical Physics. 1971. - V.23. - P. 185-188.

145. Бейтменп Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмени // М.: Наука. 1973.

146. Корн Г., Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн //И.: Наука, 1978.

147. Крамер Д., Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефапи, М. Маккалум, Э. Херльт // Под. редакцией Э. Шмутцера: Пер. с англ. М.: Энергоиздат. - 1982.

148. Ландау JI. Д., Теоретическая физика: учебное пособие в 10 томах. Т.П. Теория поля. 1-е изд., испр. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц // М.: Наука. Гл. ред.фн-мат. лит. 1988. - 512с.

149. Мизнер Ч., Гравитация. / Ч. Мизиер, К. Торн, Дж. Уилер // М.: Мир. 1977.

150. Рашевский П. К, Римлиова геометрия и тензоршй анализ / П. К. Рашевский // Издательство «Наука», главная редакция математической литературы. Москва. 1967.

151. Фоменко А.Т., Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы / А.Т. Фоменко // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 216