Исследование проходимых кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке

Нигматзянов, Ильнур Ильясович

Исследование проходимых кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Нигматзянов, Ильнур Ильясович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование проходимых кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке»

Автореферат диссертации на тему "Исследование проходимых кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке"

□□3494589

На правах рукописи

НИГМАТЗЯНОВ ИЛЬНУР ИЛЬЯСОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОДИМЫХ КРОТОВЫХ НОР В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ БРАНСА-ДИККЕ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5МАР 2010

Челябинск-2010

003494589

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета им. М. Акмуллы

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Наиль Галиханович Мигранов

Научный консультант:

PhD (доктор философии), профессор Камал Канти Нанди, Северо-Бенгальский университет, Индия

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Игнатьев Юрий Геннадьевич кандидат физико-математических наук, Жилкин Андрей Георгиевич

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

Защита состоится "26" марта 2010 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.296.03 в Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан: "25" февраля 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

Е. А. Беленков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнения поля Эйнштейна предсказывают возможность существования не только черных дыр, но, так же, и кротовых нор. Решения в виде кротовых нор были предложены самим Эйнштейном (мост Эйнштейна-Розена [1]) уже в 1935 году. Фундаментальные работы Майкла С. Морриса, Кипа С. Торна и У. Юртсевера [2, 3], геометродинамика Джона Арчибальда Уиллера [4] составляют основу современных исследований. Одним из возможных способов применения кротовых нор в далекой перспективе является быстрые межзвездные путешествия. Еще более заманчивым для человечества оказывается возможность перемещений на большие расстояния, сравнимыми с межгалактическими. Теоретически существует вероятность приблизиться к понятию времени с ее свойствами и детально исследовать проблемы инверсии времени. Дж. Крамер вместе с коллегами высказал предположение, что кротовые норы могут проявлять себя в качестве эффективных гравитационных линз [5], что должно помочь при исследованиях космоса. Эта гипотеза позволяет различать эффекты линз, образованных сильным полем, понять, что является источником этого поля: макроскопические кротовые норы или черные дыры [6-9]? Работа А. Г. Агнесс и М. Ла Камера [10] положила начало поиску и изучению статических кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке [11], которая основана на принципе Маха, связывающим массу объекта и массу Вселенной, и является обобщением общей теории относительности.

Объектом исследования в данной работе являются решения уравнений поля Бранса-Дикке в виде кротовых нор. Изучается возможность их существования во всех четырех классах решений, представленных К. Брансом. М. Моррис и К. Торн предложили критерии «проходимости» кротовых нор. На основе их исследований, можно с большей долей уверенности заключить, сможет ли человеческое существо пройти через кротовую нору и остаться целым и невредимым. В данном случае, большое значение имеет отсутствие

сингулярности. Но даже если горизонта событий внутри кротовой норы не существует, приливные силы гравитации могут разорвать путешественника. В данной работе проводится изучение «проходимости» кротовых нор К. Бранса первого класса. Одной из основных задач было получение ограничивающих условий «безразмерной постоянной взаимодействия Дикке» со. Для этого было использовано так называемое «основное ограничивающее условие» кротовой норы, предложенное К. Нанди и его коллегами [12,13].

Идея вычисления полной гравитационной энергии, высказанная Д. Линден-Беллом, Дж. Кацом и Ж. Бисаком [14], а затем адаптированная для использования в изучении кротовых нор К. Нанди [15], может быть использована для доказательства того, что кротовые норы К. Бранса первого класса содержат отталкивающую гравитацию.

Цель диссертационной работы: изучение решений уравнений поля Бранса-Дикке, образующих кротовые норы, исследование их «проходимости» для объектов, имеющих макроразмеры. Основные задачами работы:

1. Исследование основного ограничивающего условия кротовых нор для определения значений постоянной взаимодействия <ы, в которых возможно существование проходимых кротовых нор в первом классе решений К. Бранса.

2. Изучение нарушения нулевого энергетического условия (НЭУ) и слабого энергетического условия (СЭУ) для кротовых нор К. Бранса первого класса.

3. Изучение проходимости кротовых нор для макрообъектов в теории гравитации Бранса-Дикке для кротовых нор К. Бранса того же класса.

4. Исследование полной гравитационной энергии на предмет отталкивающей гравитации для кротовых нор.

Научная новнзна заключается в следующем: 1. Получен промежуток значений для связующего параметра со, в котором показана возможность существования кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке.

2. Показано, что решения для кротовых нор Бранса-Дикке первого класса являются проходимыми для макрообъектов лишь «в принципе», то есть, если речь идет о человеке, то он не в состоянии пройти через подобную кротовую нору.

3. Найдено решение, указывающее на существование кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса. Макрообъект, проходящий через подобную кротовую нору, испытает на себе воздействие наибольшей возможной радиальной приливной силы не в горловине, а на некотором расстоянии от нее.

Достоверность результатов настоящей работы обеспечивается взаимосвязью и преемственностью с основополагающими исследованиями в области кротовых нор и теорий гравитации, а так же тем, что в некоторых случаях, полученные значения сходны, либо полностью совпадают с общепринятыми положениями.

Основные защищаемые положения:

1. Существование кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке на новом промежутке значений связующего параметра а: -3/2<ш<-4/3.

2. Кротовые норы Бранса-Дикке первого класса являются, в принципе, проходимыми для макрообъектов, но в них существуют огромные приливные силы гравитации.

3. Предлагается новое решение уравнений поля Бранса-Дикке, которое допускает существование кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г. Уфа, 2008 г.); Семинары на математическом факультете Северо-Бенгальского университета (2006-2008 гг.); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании ( г. Уфа, 2009 г.); VII Международная научная конференция «Инновации в науке и образовании - 2009» (г. Калининград, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теории относительности и гравитации КГУ (г. Казань, 2009 г.); XXI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга - 2009 (г. Казань, июнь 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики ЧелГУ (г. Челябинск, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики БашГУ (г. Уфа, ноябрь 2009 г.)

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных изданиях, из которых 4 статьи в центральной печати, рекомендованной ВАК. Отдельный список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав в основной части, заключения, списков публикаций по теме исследования и литературы. Объем диссертационной работы составляет 111 страниц включая 9 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

формулировка основных положений, выносимых на защиту, приводится структура и краткое содержание по главам.

Первая глава посвящена обзору литературы и содержит краткое описание работ, связанных с исследованием кротовых нор. Рассматривается работа А. Эйнштейна и Н. Розена[1], в которой физическое пространство представлено математически в виде пространства двух идентичных листов бумаги, а частица - в виде «моста», соединяющего их. Анализируются работы М. Морриса, К. Торна, У. Юртсевера[2, 3], Дж. Уилера[4] и М. Виссера[16] в основе которых лежат модели кротовых нор, и в них формулируются критерии «проходимости» кротовых нор, решающие, смогут ли макрообъекты, в том числе и люди, пройти через них, и при этом не оказаться разорванными приливными силами гравитации; необходимые условия конструирования и поддержания стабильности кротовых нор; идеи об использовании кротовых нор для путешествий во времени. Приведены данные о современных исследованиях И. Новикова, А. Шатского, С. Лобо, М. Оливейра [17-19] и других ученых, о возможном развитии и применении этих исследований в будущем. Рассматривается работа Г. Горовица и С. Росса, рассказывающая о «голых черных дырах» [20].

Во второй главе рассматривается возможность быстрых межзвездных путешествий с использованием черных дыр и кротовых нор. Изучаются причины, по которым черные дыры и кротовые норы Шварцшильда не могут быть для этого использованы. Для черных дыр это: чудовищные приливные силы вблизи от горизонта событий; ничто не может выйти наружу из-за горизонта; объекты, находящиеся «на другом конце», обладают «горизонтом прошлых событий» - поверхностью, в которую невозможно войти, только выйти; с большой долей уверенности можно сказать, что туннели внутри вращающихся черных дыр Керра не могут существовать в природе. Показывается, что кротовые норы Шварцшильда являются непроходимыми, так как: величина приливных сил гравитации в горловине огромна; с течением времени она ссужается до горловины с нулевой окружностью, а затем

расширяется с такой скоростью, что путешественник окажется пойманным и убитым силами гравитации; она обладает «горизонтом прошлых событий». Приводятся требования к проходимым кротовым норам данные М. Моррисом и К. Торном:

1. Метрика должна быть статичной (независимой от времени) и обладать сферической симметрией.

2. Решение должно оставаться решением уравнений поля Эйнштейна.

3. Решение должно допускать существование горловины, соединяющей два асимптотически плоских региона пространства-времени.

4. Решение не должно иметь горизонта.

5. Приливные силы гравитации должны быть небольшими, чтобы позволить человеку целым и невредимым пройти через кротовую нору.

6. Время, затрачиваемое на путешествие, не должно превышать один год.

7. Вещество и поля, создающие кривизну пространства-времени в виде кротовой норы, должны иметь тензор энергии-импульса, допустимый с точки зрения законов природы.

8. Решение должно быть стабильным к возмущениям различного рода (например, к потоку световых лучей).

9. Должна существовать реальная физическая возможность создания подобной кротовой норы.

Пункты (1)-(4) составляют основные критерии кротовой норы. (5) и (6) являются критериями пригодности, которые позволят макрообъекту (человеку) целым и невредимым пройти через нее.

Приводится общий способ исследования кротовых нор, представленный М. Моррисом и К. Торном.

В третьей главе рассматривается принцип Маха и связанная с ним теория гравитации Бранса-Дикке. Уравнениями поля Бранса-Дикке являются

Г|2Л- 8* ТУ* и У ШБ1М

ф - медленно убывающее с расстоянием скалярное поле, £ - метрика пространства-времени,

- тензор энергии-импульса вещества не включающий ф,

О) - безразмерная «постоянная взаимодействия Дикке», К - скалярная кривизна, - тензор Риччи.

Исследуются четыре класса решений, полученных К. Брансом. Для того чтобы изучить решения в виде кротовых нор, общая метрика пространства-времени

путем переопределения координаты г Л, различного для каждого из четырех классов решений. Вычисляются и анализируются уравнения, определяющие функцию красного смещения Ф(Л), функцию формы ¿(я) и минимально возможные радиусы по координате г.

Для первого класса решений К. Бранса, заданного как

где

^2=-е2а{г)Ж2 + е2КгЧг2 + е1у(г)гг[с192+5т2вс1ч,2'] (3)

преобразуется в форму М. Моррис и К. Торна

¿т1 =-е2Ф^Ж2+ \\-Щ\ ^+К\с102 + 5т2вс1</2] (4)

-,]/А

[Л-С-1]/Д

\Щ?

см

<г2=(с+1)2-с(1-^)>о,

(6)

(7)

(8)

где

а0, Д,, В, С и ф0 - постоянные,

а0 и Д, определены условием асимптотической плоскостности как

«о=А>=°>

при следующем преобразовании г Л

1 +

, £1 = 1-

С + 1 Я '

получены функции красного смещения и формы

(9)

Ы1--5

г(/г) Г{К)

Ъ{К) = К

X [гг(К) + В2} - 2г(ЯЩС +1) Л{г\К)-В2}

(10)

(11)

Минимально возможные радиусы г0* для первого класса решений К. Бранса определены как

а*

Используя выражения для компонентов напряжения, данные М. Моррисом и К. Торном, получена формула плотности энергии вещества, из которого состоит кротовая нора:

(12) (13)

р(П) = (ЯГ2№Ь/(И1)

(14)

так, что

где

4ДУ72[(С + 1)2-Я2] Р Л\г2-В2)4

■в)'

(С+1)/Л

(15)

(16)

.г + В]

Изучается нарушение Слабого Энергетического Условия (СЭУ) р > 0 и Нулевого Энергетического Условия (НЭУ) р + рк > О данным веществом.

Показывается, что кротовые норы в первом классе решений К. Бранса возможны и зависят от значений а следующим образом:

л 2со+3 , 1. а><-2 при Л = +,/--— (рис. 1,рис. 2);

2. -1<со<-4 при Л = /2й; + 3 (рИС з5 рис

V 2Й; + 4

где (С +1)2 > А2 - основное ограничивающее условие кротовой норы [12,13].

Рис. 1. Система неравенств г* > В и / = (С +1)2 - Л2 > 0 определяет

промежуток со < -2, при Л = +.-.В-1.

У 2й)+ 4

Рис. 2. Нарушение СЭУ и НЭУ на промежутке г е[г0+,20] при значении оз — -5 (случай 1).

Рис. 3. Система неравенств Гд > В и / = (С + 1)2 - Я2 > 0 определяет

промежуток —<0)< —у, при Я = -

¡20 + 3 V2ю+4'

Рис. 4. Нарушение СЭУ и НЭУ на промежутке г е [г0+,20] при значении су = -1.4 (случай 2).

Для исследования проходимости кротовой норы используются формулы перепада радиального приливного ускорения Лаг

А (17)

ей

где д - радиальныи компонент разделяющего вектора, и компоненты Риманова тензора кривизны. Согласно формулам, предложенным М. Моррисом и К. Торном [2], получили, что наибольшая приливная сила в кротовой норе К. Бранса первого класса в 1018 раз больше, чем в гравитационном поле земли, что не позволит человеку пройти через нее целым и невредимым.

Показывается, что кротовая нора является проходимой «в принципе», так как приливные силы гравитации конечны, и на бесконечности стремятся к нулю.

Определим [Н-.-.^з В). Для первого случая, оказывается, что

наблюдатель, падающий в кротовую нору, встретит максимально возможную радиальную приливную силу не в горловине, но выше неё (рис. 5). Это явление является схожим с идеей голых черных дыр, впервые рассмотренных Г. Горовицем и С. Россем [20]. Они определили голую черную дыру как

пространство-время, в котором падающий вовнутрь наблюдатель встретит максимум приливной силы не в горизонте, но выше него. В свободно падающей системе отсчета, компоненты кривизны могут быть больше, чем в горизонте. Так как область больших приливных сил является видимой для сторонних наблюдателей, Г. Горовиц и С. Росс назвали эти объекты голыми черными дырами. В данном случае, роль горизонта играет горловина кротовой норы. Однако ничего подобного не возникает для промежутка из случая 2 - здесь происходит равномерное уменьшение кривизны сразу же, после горловины (рис. 6).

Рис. 5. График g(r) по г для промежутка г е[г0+,Ю] и значения оз = -5

(случай (1)).

0.30 0.25 0.20 . 0.15 0.10 0.05

0_2_4_6_8_10

Рис. 6. График g(r) по г для промежутка г е[г0+,Ю] и значения а = -1.4

(случай (2)).

В четвертой главе диссертационной работы рассматривается способ измерения объема экзотической материи, содержащийся в кротовых норах, представляется и изучается определение гравитационной энергии, данное Д. Линден-Беллом, Дж. Кацом и Ж. Бисаком [14], вычисляется количество гравитационной энергии, содержащейся в кротовой норе:

4 = Мс2 — Ем =1 (18)

где

Еа - полная гравитационная энергия кротовых нор внутри области интегрирования [15], Мс2 - полная масса-энергия внутри кротовой норы, Ем - сумма всех форм энергии, таких как энергия покоя, кинетическая энергия и т.д.

Производится численное интегрирование при Л = 1, г = г*, г, = 20, для значений со, полученных в третьей главе:

со = -5, г0+ = 1.96, = 5.82, Ё* = 3.74 = -Ё^ (19)

Е(г)

& = -1.4, г0+ = 2.92, % = 8.26, = 5.50- -Ё' (20)

Полученные результаты означают, что полная гравитационная энергия внутри сферической оболочки для кротовых нор К. Бранса первого класса является положительной, что указывает на наличие отталкивающей гравитации.

В заключении приведен перечень основных результатов и выводы диссертационной работы.

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. Исследовано основное ограничивающее условие кротовой норы и получен еще один интервал значений связующего параметра а> при

, ¡2ео + 3 3 4

\2й>+4 2 3

2. Показано, что при £»<-2 в случае, когда Л. + ^, и при

У2ю + 4

<(о< —у в случае, когда X - -у происходит нарушение СЭУ

иНЭУ.

3. Установлено, что кротовые норы первого класса решений Бранса-Дикке являются проходимыми для макрообъектов «в принципе», но человек не в состоянии через них пройти, из-за воздействия приливных сил гравитации в 1018 раз более сильных, чем на поверхности Земли.

4. Для случая со<-2 при + ^ получено решение К. Бранса

V 2®+ 4

первого класса в виде кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса. Макрообъект, проходящий через нее, будет испытывать наибольшее воздействие приливной силы гравитации не в горловине, но на некотором расстоянии от нее.

5. На основе определения полной гравитационной энергии кротовых нор, показано, что кротовые норы К. Бранса первого класса содержат отталкивающую гравитацию.

Основные положения диссертационного исследования изложены в следующих публикациях:

1. Nandi, К. К. New Features of Extended Wormhole Solutions in the Scalar Field Gravity Theories / K.K. Nandi, I. Nigmatzyanov, R. Izmailov and N.G. Migranov //Classical Quantum Gravity. 2008. Vol.25. P.165020-165039.

2. Nigmatzyanov, I. I. Traversable Lorentzian wormholes in string theory / I. I. Nigmatzyanov, N. G. Migranov, К. K. Nandi // Сборник трудов VII Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. 2008. Т. 2. С. 330-351.

3. Нигматзянов И. И., Гравитационная энергия в звезде Мазура-Моттолы / И. И. Нигматзянов, К. К. Нанди, Н. Г. Мигранов // Тезисы докладов международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. 2009. С. 108.

4. Нигматзянов, И. И. Гравитационная энергия в кротовых норах / И. И. Нигматзянов, Н. Г. Мигранов // VII Международная научная конференция «Инновации в науке и образовании - 2009». Труды. 2009. Ч. 1. С. 227-229.

5. Nigmatzyanov, I. I. Energetics in Mazur-Mottola gravastar and truncated wormholes / I. I. Nigmatzyanov, N. G. Migranov, К. K. Nandi // Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 8. С. 54-61.

6. Bhattacharya, A. Brans-Dicke wormhole revisited / A. Bhattacharya, I. Nigmatzyanov, R. Izmailov and К. K. Nandi // Classical Quantum Gravity. 2009. Vol. 26. P. 0-13.

7. Нигматзянов, И. И., Гравитационная энергия в кротовых норах Эллиса / И. И. Нигматзянов, К. К. Нанди, Н. Г. Мигранов // Тезисы докладов XXI летней школы-семинара Волга-2009. Петровские чтения. 2009. С. 32-33.

8. Нигматзянов, И. И. Мера объема для экзотической материи / И. И. Нигматзянов, Н. Г. Мигранов, К. К. Нанди // Вестник Поморского университета. Серия Естественные науки. Принято в печать - июнь 2010.

ЛИТЕРАТУРА

1. Einstein, A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. Vol.48. P.73 - 77.

2. Morris M.S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris and K.S. Thome // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. P. 395-412.

3. Morris, M.S. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition / M.S. Morris, K.S. Thome and U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1446-1449.

4. Wheeler, J. A. Geometrodynamics / J. A. Wheeler. - New York: Academic Press, 1962.

5. Cramer, J.G. Natural wormholes as gravitational lenses / J.G. Cramer, R.L. Forward, M.S. Morris, M. Visser, G. Benford, and G.A. Landis // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 3117-3120.

6. Bozza, V. Gravitational lensing in the strong field limit / V. Bozza // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 66. P. 103001-103011.

7. Virbhadra, K.S. Schwarzschild black hole lensing / K.S. Virbhadra and G.F.R. Ellis //Phys. Rev. D. 2002. Vol. 62. P. 084003-084011.

8. Bhadra, A. Gravitational lensing by a charged black hole of string theory / A. Bhadra // Phys. Rev. D. 2003. Vol. 67. P. 103009-103015.

9. Nandi, K.K. Gravitational lensing by wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, A.V. Zakharov // Physical Review D. 2006. Vol.74. P.024020- 024033.

10. Agnese, A.G. Wormholes in the Brans-Dicke theory of gravitation / A.G. Agnese and M. La Camera // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 2011-2013.

11. Brans, C.H. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation. П / С. H. Brans //Phys. Rev. 1962. Vol. 125. P. 2194-2201.

12. Nandi, K.K. Brans wormholes / K.K. Nandi, A. Islam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 55. P. 2497- 2500.

13. Nandi, K.K. Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames / K.K. Nandi, B. Bhattachaijee, S.M.K. Alam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 57. P. 823-828.

14. Lynden-Bell, D. Energy and angular momentum densities of stationary gravitational fields / D. Lynden-Bell, J. Katz, J. Bicak // Physical Review D. 2007. Vol.75. P.024040- 024049.

15. Nandi, K.K. Energetics in condensate star and wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, R.G. Cai, and A. Panchenko // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79. P. 024011024020.

16. Visser, M. Lorentzian Wormholes-From Einstein to Hawking / M. Visser. -New York: AIP, Woodbury, 1995. P. 150.

17. Novikov, D. I. Stability of the Ellis-Bronnikov-Morris-Thorne wormhole / D. I. Novikov, A. G. Doroshkevich, I. D. Novikov, A. A. Shatskiy // Astronomy Reports. 2009. Vol. 53. No. 12. P. 1079-1085.

18. Shatskiy, A. New analytic models of traversable wormholes / A. Shatskiy, I. D. Novikov, N. S. Kardashev // Phys. Usp. 2008. Vol. 51. P. 51-66.

19. Lobo, F. S. N. Wormhole geometries in f(R) modified theories of gravity / F. S. N. Lobo, M. A. Oliveira // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 80. P. 104012-104021.

20. Horowitz, G.T. Naked black holes / G.T. Horowitz and S.F. Ross // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. P. 2180-2187.

Подписано в печать 24.02. Юг. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 352. Гарнитура «Тш1С8Не\уКотап». Отпечатано в типографии «ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ» ИП ВЕРКО. Объем 0,5 п.л. Уфа, Карла Маркса 12 корп. 4, т/ф: 27-27-600, 27-29-123

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Нигматзянов, Ильнур Ильясович

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 Кротовые норы.

1.2 «Голые черные дыры» Горовица-Росса.

Выводы.

ГЛАВА II ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И КРОТОВЫЕ НОРЫ.

2.1 Исследование проходимости черных дыр.

2.2 Исследование проходимости кротовых нор Шварцшильда.

2.3 Свойства проходимых кротовых нор в ОТО.

2.4 Математическое моделирование кротовых нор.

2.4.1 Метрика пространства-времени в форме кротовой норы.

2.4.2 Риманов тензор кривизны, тензоры Риччи и Эйнштейна.

2.4.3 Тензор энергии-импульса. Уравнения поля Эйнштейна.

2.4.4 Граничные условия и геометрия кротовой норы.

2.4.5 Отсутствие горизонта событий, приливные силы гравитации и время, необходимое для прохождения через кротовую нору.

2.4.6 Энергия, создающая кривизну пространства-времени в виде кротовой норы.

Выводы.

ГЛАВА III ИССЛЕДОВАНИЕ КРОТОВЫХ НОР В ТЕОРИИ

ГРАВИТАЦИИ БРАНСА-ДИККЕ.

3.1 Принцип Маха и теория гравитации Бранса-Дикке.

3.2 Кротовые норы Бранса-Дикке.

3.3 Проходимость кротовых нор Бранса-Дикке первого класса.

Выводы.

ГЛАВА IV ЭКЗОТИЧЕСКАЯ МАТЕРИЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ В КРОТОВЫХ НОРАХ.

4.1 Мера объема для экзотической материи.

4.2 Полная гравитационная энергия в кротовых норах.

Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование проходимых кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке"

Актуальность темы. Как известно, уравнения Эйнштейна предсказывают возможность существования не только черных дыр, но и кротовых нор, причем решения в виде кротовых нор были предложены самим Эйнштейном (мост Эйнштейна-Розена [1]) в 1935 году. Фундаментальные работы Майкла С. Морриса, Кипа С. Торна и У. Юртсевера [2, 3], геометродинамика Джона Арчибальда Уиллера [4] составляют основу современных исследований в этом направлении. Предлагаемые модели кротовых нор, описывающие их геометрию и вытекающие из этого физические следствия, все время совершенствуются и уточняются. Целью данной работы было исследование моделей кротовых нор в представлении теории гравитации Бранса-Дикке на предмет их существования и проходимости через них макрообъектов. Существующие теории и гипотезы недостаточно полно отражают состояние дел в области интерпретации результатов, вытекающих из анализа решений Бранса, представленных в метрике Морриса-Торна. Главные направления в проведенных исследованиях заключаются в получении новых значений интервалов связующего параметра Дикке и анализе вытекающих результатов, которые могли бы привести к существованию нового типа кротовых нор. Рассматриваемая задача является актуальной, поскольку используемая нами теория гравитации Бранса-Дикке, базируемая на принципе Маха, является важной в современной космологии. Было интересно проследить вывод физических интерпретаций, вытекающих из предлагаемой модели, а также получить некоторую доказательную базу об истинности теории гравитации Бранса-Дикке. Современные астрофизические исследования Вселенной постоянно совершенствуются и требуют своего развития на основе наблюдаемых в космосе объектов и проверки предлагаемых гипотез. Все вышесказанное обеспечивает актуальность предложенной темы.

Дж. Крамер [5] вместе с коллегами высказал предположение, что кротовые норы могут проявлять себя в качестве эффективных гравитационных линз, существенно открывающие горизонты в исследованиях космоса. Эта гипотеза позволяет различать эффекты линз, образованных сильным полем, понять, что является источником этого поля: макроскопические кротовые норы или черные дыры (В. Бозза [6], К. С. Вирбхадра [7], А. Бхадра [8], К. К. Нанди, Ю. Жанг, А. В. Захаров [9]). Работа А. Г. Агнесс и М. Ла Камера [10] положила начало поиску и изучению статических кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке [11], которая основана на принципе Маха, связывающим массу объекта и массу Вселенной, и является обобщением общей теории относительности.

Объектом исследования в данной работе являются решения уравнений поля Бранса-Дикке, представляющие кротовые норы. Изучается возможность их существования во всех четырех классах решений, предложенных К. Брансом [11]. В своих работах [2, 3] М. Моррис и К. Торн ввели критерии «проходимости» кротовых нор. Основываясь на данных их исследования, представляется возможным проверить гипотезу о свободном прохождении макрообъекта через кротовую нору. Необходимым условием является отсутствие в кротовой норе области пространства-времени - сингулярности, в которой, как известно, кривизна пространственно-временного континуума обращается в бесконечность. Однако отсутствие сингулярности внутри кротовой норы не гарантирует прохождения через нее макрообъекта без деформационных изменений в нем, поскольку вытекающие из рассматриваемой теории силы, как было показано, являются достаточно большими. В данной диссертационной работе изучались условия «проходимости» макрообъектов через кротовые норы К. Бранса первого класса. Одной из основных задач в рассматриваемой проблеме было получение ограничивающих условий безразмерной постоянной взаимодействия Дикке СО . Для этого было использовано так называемое «основное ограничивающее условие» кротовой норы, предложенное К. Нанди и его коллегами [12, 13].

Идея вычисления полной гравитационной энергии, высказанная Д. Линден-Беллом, Дж. Кацом и Ж. Бисаком [14] и адаптированная для исследования кротовых нор К. Нанди [15], позволила использовать предложенную доказательную базу для выдвижения гипотезы о существовании отталкивающей гравитации кротовой норы К. Бранса первого класса.

Цель диссертационной работы: изучение решений уравнений поля Бранса-Дикке, представляющие кротовые норы, исследование решений на предмет «проходимости» через них макрообъектов с учетом воздействия сил гравитации.

Основные задачами работы:

1. Исследование основного ограничивающего условия кротовых нор для определения значений постоянной взаимодействия О), в которых возможно существование проходимых для макрообъектов кротовых нор в первом классе решений К. Бранса.

2. Изучение нарушения Нулевого Энергетического Условия (НЭУ) и Слабого Энергетического Условия (СЭУ) для кротовых нор К. Бранса первого класса.

3. Изучение возможности проходимости макрообъектов через горловины кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке для кротовых нор К. Бранса того же класса.

4. Исследование полной гравитационной энергии и проверка гипотезы о наличии отталкивающей гравитации в кротовых норах.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Получен промежуток значений для связующего параметра СО, в котором показана возможность существования кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке.

2. Показано, что решения для кротовых нор Бранса-Дикке первого класса являются проходимыми для макрообъектов, но возникающие при этом приливные силы гравитации, воздействующие на объекты, будут достаточно

I о большими (10 g, g - ускорение свободного падения на Земле). 3. Найдено решение, указывающее на существование кротовой норы — аналога голой черной дыры Горовица-Росса. Как оказалось, воздействие радиальной приливной силы на макрообъект достигает наибольшей величины вне горловины.

Практическая значимость работы. Проведенные исследования расширяют и дополняют представления о проходимых кротовых норах, в общем, и в теории гравитации Бранса-Дикке в частности, позволяя еще глубже понять природу и физическую возможность существования подобных объектов. Данные современных исследований в теории гравитации и результаты рассматриваемой диссертационной работы позволяют выдвигать новые модели, которые допускают физическую трактовку новых свойств таких астрофизических объектов как кротовые норы. Важным моментом здесь является детальное исследование и понимание процесса прохождения макрообъектов через кротовые норы. Возникающие в процессе прохождения тел через горловину кротовых нор приливные силы могут существенно ограничить класс перемещаемых через них объектов.

Достоверность результатов настоящей работы обеспечивается взаимосвязью и преемственностью с основополагающими исследованиями в области кротовых нор и теорий гравитации. В определенных случаях результаты, вытекающие из рассмотрения предложенных моделей, переходят в известные, что является подтверждением достоверности рассматриваемых теорий.

Основные защищаемые положения:

1. Существование кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке на новом промежутке значений связующего параметра со: —3 1 2<со < —4 / 3.

2. Кротовые норы Бранса-Дикке первого класса являются проходимыми для макрообъектов, но в них существуют огромные приливные силы гравитации (в 1018 раз превышающие значения на поверхности Земли).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г. Уфа, 2008 г.);

2. Семинары на математическом факультете Северо-Бенгальского университета (2006-2008 гг.);

3. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании (г. Уфа, 2009 г.);

4. VII Международная научная конференция «Инновации в науке и образовании - 2009» (г. Калининград, 2009 г.);

5. Астрофизический семинар на кафедре теории относительности и гравитации КГУ (г. Казань, 2009 г.);

6. XXI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга - 2009 (г. Казань, июнь 2009 г.);

7. Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики ЧелГУ (г. Челябинск, 2009 г.);

8. Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики БашГУ (г. Уфа, ноябрь 2009 г.)

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в семи печатных изданиях, из которых три статьи опубликованы в журналах, включенных в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ (две статьи опубликованы в зарубежных журналах, а одна статья в российском журнале). Отдельный список работ приведен в конце автореферата.

Диссертация организована следующим образом:

Во введении рассматривается актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулированы основные цели и задачи исследования, научная и практическая значимость, представляется краткая формулировка основных положений, выносимых на защиту, приводится структура и краткое содержание по главам.

Первая глава посвящена обзору литературы и содержит краткое описание работ, связанных с исследованием кротовых нор. Рассматривается работа А. Эйнштейна и Н. Розена [1], в которой физическое пространство представлено математически в виде двух идентичных копий областей пространства-времени, а частица - в виде «моста», соединяющего их. Анализируются работы М. Морриса, К. Торна, У. Юртсевера [2, 3], Дж. Уилера [4] и М. Виссера [16] в основе которых лежат модели кротовых нор. В данных статьях формулируются критерии «проходимости» кротовых нор, решающие, смогут ли макрообъекты пройти через них, и при этом не оказаться разорванными приливными силами гравитации; необходимые условия конструирования и поддержания стабильности кротовых нор; идеи об использовании кротовых нор для путешествий во времени. Приведены данные о современных исследованиях И. Новикова, А. Шацкого, С. Лобо, М. Оливейра [16-21] и других ученых, о возможном развитии и применении этих исследований в будущем. Рассматривается и анализируется работа Г. Горовица и С. Росса, связанная с введением нового объекта - «голой черной дыры» [22].

Вторая глава посвящена гипотезе о возможности достаточно быстрого перемещения в космическом пространстве с использованием моделей черных дыр и кротовых нор. Изучаются причины, по которым черные дыры и кротовые норы Шварцшильда не могут быть для этого использованы. Показывается, что кротовые норы Шварцшильда являются непроходимыми. Приводятся определенные требования к проходимым кротовым норам и способ их исследования, представленные М. Моррисом и К. Торном.

В третьей главе рассматривается принцип Маха и связанная с ним теория гравитации Бранса-Дикке. Исследуются четыре класса решений, полученных К. Брансом. Вычисляются и анализируются уравнения, определяющие функцию красного смещения Ф(Я), функцию формы b(R) и минимально возможные радиусы по координате г. Изучается нарушение Слабого Энергетического Условия (СЭУ) /?>0 и Нулевого Энергетического Условия (НЭУ) р + pR > 0 веществом, создающим искривление пространствавремени в виде кротовой норы. Показывается, что кротовые норы в первом классе решений К. Бранса возможны и зависят от значений безразмерного «параметра связи Дикке» со. Показывается, что кротовая нора Бранса первого класса является проходимой «в принципе», так как приливные силы гравитации конечны, и на бесконечности стремятся к нулю. Обнаруживается решение в виде кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса.

В заключении приводятся перечень основных результатов и выводы по диссертационной работе.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. Исследовано основное ограничивающее условие кротовой норы и получен новый интервал значений связующего параметра (D при 2ео + 3 3 4

Л--Л-: -—<со<-—,

V 2а?+4 2 3 т, ^ 2а? + 3

2. Впервые показано, что при со<—2 в случае, когда Я = +Л/-, и при

2а) + 4

3 ^ ^ / 4 1 12а? + 3 —■4 <£)<—-^ в случае, когда л = -л- происходит нарушение z J V 2о) + 4

Слабого Энергетического Условия и Нулевого Энергетического Условия.

3. Установлено, что кротовые норы первого класса решений Бранса-Дикке являются проходимыми для макрообъектов, но воздействия приливных сил гравитации в 1018 раз превышают значения на поверхности Земли, и это может вызвать деформацию макроскопических тел. первого класса в виде кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса. Макрообъект, проходящий через нее, будет испытывать наибольшее воздействие приливной силы гравитации не в горловине (г0+ =1.958), но на некотором расстоянии от нее (г = 2.313).

5. На основе определения полной гравитационной энергии кротовых нор, было подтверждено, что кротовые норы К. Бранса первого класса содержат отталкивающую гравитацию. получено решение Бранса

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, включенных в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. Nandi, К. К. New Features of Extended Wormhole Solutions in the Scalar Field Gravity Theories / K.K. Nandi, I. Nigmatzyanov, R. Izmailov and N.G. Migranov// Classical Quantum Gravity. 2008. Vol.25. P.165020-165039.

2. Nigmatzyanov, I. I. Energetics in Mazur-Mottola gravastar and truncated wormholes / I. I. Nigmatzyanov, N. G. Migranov, К. K. Nandi // Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 8. С. 54-61.

3. Bhattacharya, A. Brans-Dicke wormhole revisited / A. Bhattacharya, I. Nigmatzyanov, R. Izmailov and К. K. Nandi // Classical Quantum Gravity. 2009. Vol. 26. P. 0-13.

Публикации в других научных изданиях:

4. Nigmatzyanov, I. I. Traversable Lorentzian wormholes in string theory / I. I. Nigmatzyanov, N. G. Migranov, К. K. Nandi // Сборник трудов VII Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. 2008. Т. 2. С. 330-351.

5. Нигматзянов И. И., Гравитационная энергия в звезде Мазура-Моттолы / И. И. Нигматзянов, К. К. Нанди, Н. Г. Мигранов // Тезисы докладов международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. 2009. С. 108.

6. Нигматзянов, И. И. Гравитационная энергия в кротовых норах / И. И. Нигматзянов, Н. Г. Мигранов // VII Международная научная конференция «Инновации в науке и образовании — 2009». Труды. 2009. Ч. 1. С. 227-229.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Статичные сферически симметричные кротовые норы в теории Бранса-Дикке хорошо представлены в научной литературе. Однако все еще не хватает подробного анализа некоторых их свойств и особенностей.

Исследование, отраженное в данной диссертационной работе, подтверждает «основное ограничивающее условие» кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке (С +1)2 > Л2, полученное ранее К. К. Нанди и др. [12, 13], рассмотренного и усовершенствованного П. Блумфилдом [44, 45]. В главе III показано, что многое зависит от знака Л. Был обнаружен новый промежуток значений параметра связи Дикке —| <со< —у в случае отрицательной Л , и со< — 2 для положительной Л . Второй диапазон подтверждает результат, полученный ранее А. Г. Агнесс и М. JIa Камера [10], использовавших иной калибровочный параметр. Что произойдет, если поменять знак Л оставляя при этом промежутки для со неизменными, или даже выходящими за пределы предложенных значений? В этом случае, радиусы горловины становятся отрицательными, комплексными, либо опускаются ниже сингулярного радиуса В. Подобные ситуации не являются допустимыми с точки зрения физики, поэтому нет необходимости их рассматривать. В работе показывается, что оба условия СЭУ и НЭУ нарушены для определенных выше диапазонов значений со.

Следующий результат связан с проходимостью кротовых нор. Было обнаружено неизвестное ранее свойство решений в виде кротовой норы Бранса первого класса, ранее остававшееся незамеченным - аналог голой черной дыры Горовица-Росса. Движущийся через подобную кротовую нору макрообъект, испытает воздействие наибольшей радиальной приливной силы не в горловине, а выше нее. Показывается, что кротовая нора Бранса-Дикке не может быть пройдена человеком из-за воздействия приливной силы гравитации в 1018 раз более сильной, чем на поверхности Земли. Однако она является проходимой «в принципе»: пробная частица проходит через нее со скоростями, вычисленными в главе III.

В главе IV показывается, что положительный вклад гравитационной энергии в произвольной сферической оболочке вокруг кротовой норы предполагает отталкивающую гравитацию. Другая сторона кротовой норы имеет притягивающую гравитацию. Следовательно, кротовая нора представляет собой объект, притягивающий вещество с одной стороны, и выталкивающей с другой. Полученные в данном исследовании результаты, в будущем, могут найти применение в области астрофизики.

Подводя итоги, проясним некоторые спорные моменты: 1. В данной работе исследуется оригинальный параметр Бранса-Дикке со — const , в отличие от теории Бергмана-Нордтвердта-Вагонера, в которой С0=С0{ф). В своей работе [103] К. Бронников и А. Старобинский рассматривают случай при СО = бэ(ф) . Простое присвоение ф = const в теории Бергмана-Нордтвердта-Вагонера не позволит вернуться к оригинальной постоянной СО — const . Следовательно, исследования в [103] и в данной работе ведутся в совершенно разных теориях. Также, следует отметить, что основные результаты получены в оригинальной для теории гравитации Бранса-Дикке картине Йордана, без перехода в картину Эйнштейна [61]. В научном сообществе широко обсуждается вопрос о том, какое из представлений более соответсвует законам физики. Было показано, что при изучении эффектов первого порядка, разницы между картинами Йордана и Эйнштейна не существует. Однако разница возникает в случае исследования эффектов второго порядка. При переходе в картину Эйнштейна через конформные преобразования, фактор со будет поглощен действием.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Нигматзянов, Ильнур Ильясович, Челябинск

1. Einstein, A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. Vol.48. P.73 - 77.

2. Morris M.S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris and K.S. Thorne // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. P. 395- 412.

3. Morris, M.S. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition / M.S. Morris, K.S. Thorne and U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1446-1449.

4. Wheeler, J. A. Geometrodynamics I J. A. Wheeler. New York: Academic Press, 1962.

5. Cramer, J.G. Natural wormholes as gravitational lenses / J.G. Cramer, R.L. Forward, M.S. Morris, M. Visser, G. Benford, and G.A. Landis // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 3117-3120.

6. Bozza, V. Gravitational lensing in the strong field limit / V. Bozza // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 66. P. 103001-103011.

7. Virbhadra, K.S. Schwarzschild black hole lensing / K.S. Virbhadra and G.F.R. Ellis // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 62. P. 084003-084011.

8. Bhadra, A. Gravitational lensing by a charged black hole of string theory / A. Bhadra // Phys. Rev. D. 2003. Vol. 67. P. 103009-103015.

9. Nandi, K.K. Gravitational lensing by wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, A.V. Zakharov // Physical Review D. 2006. Vol.74. P.024020- 024033.

10. Agnese, A.G. Wormholes in the Brans-Dicke theory of gravitation / A.G. Agnese and M. La Camera // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 2011-2013.

11. Brans, C.H. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation. II / С. H. Brans //Phys. Rev. 1962. Vol. 125. P. 2194-2201.

12. Nandi, K.K. Brans wormholes / K.K. Nandi, A. Islam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 55. P. 2497- 2500.

13. Nandi, K.K. Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames / K.K. Nandi, B. Bhattachaqee, S.M.K. Alam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 57. P. 823-828.

14. Lynden-Bell, D. Energy and angular momentum densities of stationary gravitational fields / D. Lynden-Bell, J. Katz, J. Bicak // Physical Review D. 2007. Vol.75. P.024040- 024049.

15. Nandi, K.K. Energetics in condensate star and wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, R.G. Cai, and A. Panchenko // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79. P. 024011024020.

16. Visser, M. Lorentzian Wormholes-From Einstein to Hawking / M. Visser. -New York: AIP, Woodbury, 1995. P. 150.

17. Novikov, D. I. Stability of the Ellis-Bronnikov-Morris-Thorne wormhole / D.I. Novikov, A. G. Doroshkevich, I. D. Novikov, A. A. Shatskiy // Astronomy Reports. 2009. Vol. 53. No. 12. P. 1079-1085.

18. Shatskiy, A. New analytic models of traversable wormholes / A. Shatskiy, I. D. Novikov, N. S. Kardashev // Phys. Usp. 2008. Vol. 51. P. 51-66.

19. Mimoso, J. P. An anti-Schwarzshild solution: wormholes and scalar-tensor solutions электронный ресурс. / J. P. Mimoso, F. S. N. Lobo. Cornell University Library. 2009. Режим доступа : http://arxiv.org.

20. Lobo, F. S. N. General class of vacuum Brans-Dicke wormholes электронный ресурс. / F. S. N. Lobo, M. A. Oliveira. Cornell University Library. 2010. Режим доступа: http://arxiv.org.

21. Lobo, F. S. N. Wormhole geometries in f(R) modified theories of gravity / F. S. N. Lobo, M. A. Oliveira // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 80. P. 104012-104021.

22. Horowitz, G.T. Naked black holes / G.T. Horowitz and S.F. Ross // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. P. 2180-2187.

23. Flamm, L. / L. Flamm 11Z. Physik. 1916. Vol.17. P.448.

24. Lobo, F. S. N. Phantom energy traversable wormholes / F.S. N. Lobo // Physical Review D. 2005. Vol.71. P.084011- 084019.

25. Lemos, J.P.S. Morris-Thorne wormholes with a cosmological constant / J.P.S. Lemos, F.S.N. Lobo, S.Q. de Oliveira // Physical Review D. 2003. Vol.68. P.064004- 064019.

26. Visser, M. Traversable wormholes: Some simple examples / M. Visser // Phys. Rev. D. 1989. Vol. 39. P. 3182-3184.

27. Visser, M. Traversable wormholes from surgically modified Schwarzschild spacetimes /М. Visser //Nucl. Phys. B. 1989. Vol. 328. P. 203-212.

28. Hochberg, D. Null Energy Condition in Dynamic Wormholes / D. Hochberg andM. Visser//Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 746-749.

29. Visser, M. Traversable Wormholes with Arbitrarily Small Energy Condition Violations / Matt Visser, Sayan Kar, and Naresh Dadhich // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. P. 201102-201106.

30. Barcelo, C. Traversable wormholes from massless conformally coupled scalar fields / C. Barcelo and M. Visser // Phys. Lett. B. 1999. Vol. 466. P. 127-134.

31. Barcelo, C. Scalar fields, energy conditions, and traversable wormholes / C. Barcelo andM. Visser// Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. P. 3843-3864.

32. Dadhich, N. R=0 spacetimes and self-dual Lorentzian wormholes / N. Dadhich, S. Kar, S. Mukheijee and M. Visser, Phys. Rev. D. 2002. Vol. 65. P. 064004064011.

33. Мизнер, Ч. Гравитация. В 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер ; под ред. В. Б. Брагинского и И. Д. Новикова ; пер. с англ. А. Г. Полнарева. — М. : Мир, 1977.

34. Hochberg, D. Self-Consistent Wormhole Solutions of Semiclassical Gravity / D. Hochberg, A. Popov, and S. V. Sushkov // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 2050-2053.

35. Kardashev, N.S. Astrophysics of wormholes / N.S. Kardashev, I.D. Novikov, A.A. Shatskiy // International Journal of Modem Physics D. 2007. Vol.16. P.909 926.

36. Anchordoqui, L.A. Brans-Dicke wormholes in nonvacuum spacetime / L.A. Anchordoqui, S. P. Bergliaffa, D.F. Torres // Physical Review D. 1997. Vol.55. P.5226 5229.

37. Bhadra, A. Wormholes in vacuum Brans-Dicke theory / A. Bhadra and K. Sarkar // Mod. Phys. Lett. A. 2005. Vol. 20. P. 1831-1843.

38. Lobo, F. S. N. Chaplygin traversable wormholes / F.S.N. Lobo // Physical Review D. 2006. Vol.73. P.064028- 064037.

39. Bronnikov, K.A. / K.A. Bronnikov // Acta Phys. Polon. B. 1973. Vol.4. P.251.

40. Ellis, H.G. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / H.G. Ellis // J. Math. Phys. (N.Y.). 1973. Vol. 14. P. 104.

41. Eiroa, E.F. Stability of Chaplygin gas thin-shell wormholes / E.F. Eiroa and C. Simeone // Phys. Rev. D. 2007. Vol. 76. P. 024021-024029.

42. Rahaman, F. Thin shell wormholes in higher dimensional Einstein-Maxwell theory / F. Rahaman, M. Kalam, S. Chakraborty // General Relativity and Gravitation. 2006. Vol.38. P.1687-1695.

43. Friedman, J. L. Topological censorship / J.L. Friedman, K. Schleich, D.M. Witt // Physical Review Letters. 1993. Vol.71. P.1486 1489.

44. Bloomfield, P.E. Comment on "Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames" / P.E. Bloomfield // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 59. P. 088501088504.

45. Nandi, K.K. Reply to "Comment on 'Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames" / K.K. Nandi // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 59. P. 088502088504.

46. Reissner, H. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einstein'schen Theorie / H. Reissner // Annalen der Physik. 1916. Vol. 50. P. 106-120.

47. Nordstrom, G. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory / G. Nordstrom // Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam. 1918. Vol. 26. P. 1201-1208.

48. Bronnikov, K.A. Spherically symmetric false vacuum: No-go theorems and global structure / K.A. Bronnikov // Phys. Rev. D. 2001. Vol. 64. P. 064013064017.

49. Ellis, H.G. Errata: Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / H.G. Ellis // J. Math. Phys. (N.Y.). 1974. Vol. 15. P. 520.

50. Scheel, M. A. Collapse to black holes in Brans-Dicke theory. I. Horizon boundary conditions for dynamical spacetimes / Mark A. Scheel, Stuart L. Shapiro, and Saul A. Teukolsky // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 4208-4235.

51. Scheel, M. A. Collapse to black holes in Brans-Dicke theory. II. Comparison with general relativity / Mark A. Scheel, Stuart L. Shapiro, and Saul A. Teukolsky//Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 4236-4249.

52. Yilmaz, H. / Huseyin Yilmaz // Phys. Rev. 1958. Vol. 111. P. 1417- 1426.

53. Nandi, K.K. Semiclassical and quantum field theoretic bounds for traversable Lorentzian stringy wormholes / K.K. Nandi, Yuan-Zhong Zhang and K.B. Vijaya Kumar // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 70. P. 064018-064027.

54. Nandi, K.K. Traversable Lorentzian wormholes in the vacuum low energy effective string theory in Einstein and Jordan frames / K.K. Nandi and Yuan-Zhong Zhang//Phys. Rev. D. 2004. Vol. 70. P. 044040-044050.

55. Buchdahl, H.A. Reciprocal Static Metrics and Scalar Fields in the General Theory of Relativity / H.A. Buchdahl // Phys. Rev. 1959. Vol. 115. P. 13251328.

56. Bronnikov, K.A. Structure and stability of cold scalar-tensor black holes / K.A. Bronnikov, G. Clement, C.P. Constantinidis, and J.C. Fabris // Phys.Lett. A. 1998. Vol. 243. P. 121- 127.

57. Campanelli, M. Are black holes in Brans-Dicke theory precisely the same as in general relativity? / M. Campanelli and C.O. Lousto // Int. J. Mod. Phys. D. 1993. Vol. 2. P. 451-462.

58. Faraoni, V. Cosmology in Scalar-Tensor Gravity / V. Faraoni. Kluwer Academic Publishers, 2004. Ch.l. P. 13.

59. Romero, C. Does the Brans-Dicke theory of gravity go over to general relativity when co^-oo? / c. Romero and A. Barros // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 173. P. 243- 246.

60. Banerjee, N. Does Brans-Dicke theory always yield general relativity in the infinite to limit? / N. Baneijee and S. Sen // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. P. 1334-1337.

61. Bhadra, А. со dependence of the scalar field in Brans-Dicke theory / A. Bhadra and K.K. Nandi // Phys. Rev. D. 2001. Vol. 64. P. 087501-087504.

62. Lobo, F. S. N. Alter-ego of the Morris-Thorne wormhole электронный ресурс. / F. S. N. Lobo, M. A. Oliveira. Cornell University Library. 2009. Режим доступа: http://arxiv.org.

63. Harko, Т. Thin accretion disks in stationary axisymmetric wormhole spacetimes / T. Harko, Z. Kovacs, F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79. P. 064001064013.

64. Garattini, R. Self-sustained traversable wormholes in noncommutative geometry / R. Garattini, F. S. N. Lobo // Phys. Lett. B. 2009. Vol. 671. P. 146-152.

65. Harko, T. Electromagnetic signatures of thin accretion disks in wormhole geometries / T. Harko, Z. Kovacs, F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. 2008. Vol. 78. P. 084005-084012.

66. Lemos, J. P. S. Plane symmetric thin-shell wormholes: solutions and stability / J. P. S. Lemos, F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. 2008. Vol. 78. P. 044030-044040.

67. Lobo, F. S. N. General class wormhole geometries in conformal Weyl gravity / F. S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. 2008. Vol. 25. P. 175006-175013.

68. Boehmer, C. G. Wormhole geometries with conformal motions / C. G. Boehmer, T. Harko, F. S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. 2008. Vol. 25. P. 075016-075023.

69. Lobo, F. S. N. Exotic solutions in General Relativity: Traversable wormholes and 'warp drive' spacetimes / F. S. N. Lobo //Classical and Quantum Gravity Research. Nova Sci. Pub., 2008. P. 1-78.

70. Boehmer, С. G. Conformally symmetric traversable wormholes / C. G. Boehmer, T. Harko, F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. 2007. Vol. 76. P. 084014084022.

71. Lobo, F. S. N. A general class of braneworld wormholes / F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. 2007. Vol. 75. P. 064027-064033.

72. Garattini, R. Self sustained phantom wormholes in semi-classical gravity / R. Garattini, F. S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. 2007. Vol. 24. P. 2401-2413.

73. Arellano, A. V. B. Dynamic wormhole spacetimes coupled to nonlinear electrodynamics электронный ресурс. / A. V. В. Arellano, F. S. N. Lobo. Cornell University Library. 2006. Режим доступа : http://arxiv.org.

74. Lobo, F. S. N. Traversable wormholes supported by cosmic accelerated expanding equations of state электронный ресурс. / F. S. N. Lobo. Cornell University Library. 2006. Режим доступа : http://arxiv.org.

75. Arellano, A. V. B. Evolving wormhole geometries within nonlinear electrodynamics / A. V. B. Arellano, F. S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. 2006. Vol. 23. P. 5811-5824.

76. Arellano, A. V. B. Traversable wormholes coupled to nonlinear electrodynamics / A. V. B. Arellano, F. S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. 2006. Vol. 23. P. 7229-7244.

77. Lobo, F. S. N. Stable phantom energy traversable wormhole models / F. S. N. Lobo //AIP Conf. Proc. 2006. Vol. 861. P. 936-943.

78. Lobo, F. S. N. Stability of phantom wormholes / F.S. N. Lobo // Physical Review D. 2005. Vol. 71. P. 124022-124031.

79. Lobo, F. S. N. Energy conditions, traversable wormholes and dust shells / F.S. N. Lobo // Gen. Rel. Grav. 2005. Vol. 37. P. 2023-2038.

80. Lobo, F. S. N. Surface stresses on a thin shell surrounding a traversable wormhole / F.S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. 2004. Vol. 21. P. 4811-4832.

81. Lemos, J. P. S. Plane symmetric traversable wormholes in an anti-de Sitter background / J. P. S. Lemos, F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 69. P. 104007-104021.

82. Lobo, F. S. N. Thin shells around traversable wormholes электронный ресурс. / F. S. N. Lobo. Cornell University Library. 2003. Режим доступа : http://arxiv.org.

83. Lobo, F. S. N. Linearized stability analysis of thin-shell wormholes with a cosmological constant / F.S. N. Lobo, P. Crawford // Class. Quant. Grav. 2004. Vol. 21. P. 391-404.

84. Hochberg, D. General Dynamic Wormholes and Violation of the Null Energy Condition электронный ресурс. / D. Hochberg, M. Visser. Cornell University Library. 1998. Режим доступа : http://arxiv.org.

85. Hochberg, D. Tolman wormholes violate the strong energy condition / D. Hochberg, C. Molina-Paris, M. Visser // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 59. P. 044011-044019.

86. Hochberg, D. Dynamic wormholes, anti-trapped surfaces, and energy conditions / D. Hochberg, M. Visser // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 58. P. 044021-044053.

87. Visser, M. Geometric wormhole throats электронный ресурс. / M. Visser, D. Hochberg. Cornell University Library. 1997. Режим доступа : http://arxiv.org.

88. Hochberg, D. Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat / D. Hochberg, M. Visser // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. P. 4745-4755.

89. Hochberg, D. Quantum Mechanical Lorentzian Wormholes in Cosmological Backgrounds / D. Hochberg // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 52. P. 6846-6855.

90. Hochberg, D. Wormhole Cosmology and the Horizon Problem / D. Hochberg, T. W. Kephart // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. P. 2665-2668.

91. Kar, S. Quantifying energy condition violations in traversable wormholes / S. Kar, N. Dadhich, M. Visser // Pramana. 2004. Vol. 63. P. 859-864.

92. Barcelo, C. Brane surgery: energy conditions, traversable wormholes, and voids / C. Barcelo, M. Visser//Nucl. Phys. B. 2000. Vol. 584. P. 415-435.

93. Barcelo, C. Scalar fields, energy conditions, and traversable wormholes / C. Barcelo, M. Visser // Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. P. 3843-3864.

94. Visser, M. Traversable wormholes: the Roman ring / M. Visser // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 52. P. 7318-7321.

95. Cramer, J. G. Natural Wormholes as Gravitational Lenses / J. G. Cramer, R. L. Forward, M. S. Morris, M. Visser, G. Benford, G. A. Landis // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 3117-3120.

96. Poisson, E. Thin-shell wormholes: Linearization stability / E. Poisson, M. Visser //Phys. Rev. D. 1995. Vol. 52. P. 7318-7321.

97. Visser, M. van Vleck determinants: traversable wormhole spacetimes / M. Visser// Phys. Rev. D. 1994. Vol. 49. P. 3963-3980.

98. Bronnikov, K. A. Trapped ghosts: a new class of wormholes электронный ресурс. / К. A. Bronnikov, S. V. Sushkov. Cornell University Library. 2010. Режим доступа: http://arxiv.org.

99. Bronnikov, К. A. Wormholes supported by chiral fields / K. A. Bronnikov, S. V. Chervon, S. V. Sushkov // Grav. Cosmol. 2009. Vol. 15. P. 241-246.

100. Bronnikov, K. A. Once again on thin-shell wormholes in scalar-tensor gravity / K. A. Bronnikov, A. A. Starobinsky // Mod. Phys. Lett. A. 2009. Vol. 24. P. 1559-1564.

101. Bronnikov, K. A. Cylindrical wormholes / K. A. Bronnikov, J. P. S. Lemos // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79. P. 104019-104032.

102. Bronnikov, K. A. Charged black holes and unusual wormholes in scalar-tensor gravity / K. A. Bronnikov, M. S. Chernakova // Grav. Cosmol. 2007. Vol. 13. P. 51-55.

103. Bronnikov, K. A. No realistic wormholes from ghost-free scalar-tensor phantom dark energy / K. A. Bronnikov, A. A. Starobinsky // JETP Lett. 2007. Vol. 85. P. 1-5.

104. Bronnikov, K. A. Electrically charged and neutral wormhole instability in scalar-tensor gravity / K. A. Bronnikov, S. V. Grinyok // Grav. Cosmol. 2005. Vol. 11. P. 75-81.

105. Bronnikov, K. A. Conformal continuations and wormhole instability in scalar-tensor gravity / K. A. Bronnikov, S. V. Grinyok // Grav. Cosmol. 2004. Vol. 10. P. 237-245.

106. Bronnikov, К. A. Possible wormholes in a brane world / K. A. Bronnikov, Sung-Won Kim // Phys. Rev. D. 2003. Vol. 67. P. 064027-064034.

107. Bronnikov, K. A. Charged wormholes with non-minimally coupled scalar fields. Existence and stability электронный ресурс. / К. A. Bronnikov, S. Grinyok. Cornell University Library. 2002. Режим доступа : http://arxiv.org.

108. Bronnikov, К. A. Instability of wormholes with a nonminimally coupled scalar field / K. A. Bronnikov, S. V. Grinyok // Grav. Cosmol. 2001. Vol. 7. P. 297300.

109. Bronnikov, K. A. Block-Orthogonal Brane Systems, Black Holes and Wormholes / K. A. Bronnikov // Grav. Cosmol. 1998. Vol. 4. P. 49-56.

110. Bronnikov, K. A. Extra Dimensions, Nonminimal Couplings, Horizons and Wormholes / K. A. Bronnikov // Grav. Cosmol. 1996. Vol. 2. P. 221-226.

111. Bronnikov, K. A. Ring Wormholes in D-Dimensional Einstein and Dilaton Gravity электронный ресурс. / К. A. Bronnikov, J. C. Fabris. Cornell University Library. 1996. Режим доступа : http://arxiv.org.

112. Kozyrev, S. M. Composite wormholes in vacuum Jordan-Brans-Dicke theory электронный ресурс. / S. M. Kozyrev, S. V. Sushkov. Cornell University Library. 1996. Режим доступа : http://arxiv.org.

113. Kashargin, P. E. Slowly rotating scalar field wormholes: the second order approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. 2008. Vol. 78. P. 064071-064083.

114. Sushkov, S. V. Scalar wormholes in cosmological setting and their instability / S. V. Sushkov, Yuan-Zhong Zhang // Phys. Rev. D. 2008. Vol. 77. P. 024042024053.

115. Kashargin, P. E. Slowly rotating wormholes: the first order approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Grav. Cosmol. 2008. Vol. 14. P. 80-85.

116. Balakin, A. B. Non-minimal Wu-Yang wormhole / A. B. Balakin, S. V. Sushkov, A. E. Zayats // Phys. Rev. D. 2007. Vol. 75. P. 084042-084051.

117. Khabibullin, A. R. Casimir effect in a wormhole spacetime / A. R. Khabibullin, N. R. Khusnutdinov, S. V. Sushkov // Class. Quant. Grav. 2006. Vol. 23. P. 627-634.

118. Sushkov, S. V. Wormholes supported by a phantom energy / S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. 2005. Vol. 71. P. 043520-043525.

119. Sushkov, S. V. Wormholes supported by the kink-like configuration of a scalar field / S. V. Sushkov, S.-W. Kim // Class. Quant. Grav. 2002. Vol. 19. P. 49094922.

120. Popov, A. A. Vacuum polarization of a scalar field in wormhole spacetimes / A. A. Popov, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. 2001. Vol. 63. P. 044017-044027.

121. Nandi, К. K. An Algorithm for Generating Rotating Brans-Dicke Wormhole Solutions электронный ресурс. / К. К. Nandi, Yuan-Zhong Zhang. Cornell University Library. 2006. Режим доступа : http://arxiv.org.

122. Bhadra, Arunava Comments on "New Brans-Dicke Wormholes" / Arunava Bhadra, I. Simaciu, К. K. Nandi, Yuan-Zhong Zhang // Phys. Rev. D. 2005. Vol. 71. P. 128501-128505.

123. Penrose, R. Gravitational collapse: The role of general relativity / R. Penrose // Rev. del Nuovo Cimento. 1969. Vol. 1. P. 252.

124. Новиков, И. Д. Задержка взрыва части фридмановского мира и сверхзвезды / И. Д. Новиков // Астрономический журнал. 1964. Т. 41. С. 1075-1083.

125. Ne'eman, Y. Expansion as an energy source in Quasi-stellar radio sources / Y. Ne'eman//Astrophys. J. 1965. Vol. 141. No 4. P. 1303-1305.

126. Thorne, K. S. The Dynamics of Spacetime Curvature: Nonlinear Aspects / K. S. Thorne // Nonlinear Phenomena in Physics ; ed. F. Claro. Berlin : Springer-Verlag, 1985. P. 280-291.

127. Eardley, D. M. Death of White Holes in the Early Universe / D. M. Eardley // Phys. Rev. Lett. 1974. Vol. 33. P. 442-444.

128. Wald, R. M. Particle production by white holes / R. M. Wald, S. Ramaswamy // Phys. Rev. D. 1979. Vol. 21. P. 2736-2741.

129. Kaufmann, W. J. Black holes and warped spacetime / W. J. Kaufmann. San Francisco : Freeman, 1979. P. 228.

130. Boyer, R. H. Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric / R. H. Boyer, R. W. Lindquist// J. Math. Phys. 1967. Vol. 8. P. 265.

131. Carter, B. Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr's Solution of Einstein's Equations / B. Carter // Phys. Rev. 1966. Vol. 141. P. 1242- 1247.

132. Carter, B. Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields / B. Carter//Phys. Rev. 1968. Vol. 174. P. 1559-1571.

133. Graves, C. Oscillatory Character of Reissner-Nordstrom Metric for an Ideal Charged Wormhole / C. Graves, D. R. Brill // Phys. Rev. 1960. Vol. 120. P. 1507-1513.

134. Penrose, R. // Battelle Rencontres ; ed. B. S. de Witt, J. A. Wheeler. New York : Benjamin, 1968. P. 222.

135. Simpson, M. Internal instability in a Reissner-Nordstrom black hole / M. Simpson, R. Penrose // Int. J. Theor. Phys. 1973. Vol. 7. P. 183-197.

136. McNamara, M. Instability of Black Hole Inner Horizons / M. McNamara // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1978. Vol. 358. P. 499-517.

137. McNamara, M. Behaviour of Scalar Perturbations of a Reissner-Nordstrom Black Hole Inside the Event Horizon / M. McNamara // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1978. Vol. 364. P. 121-134.

138. Gursel, Y. Evolution of scalar perturbations near the Cauchy horizon of a charged black hole / Y. Gursel, V. D. Sandberg, I. D. Novikov, A. A. Starobinsky//Phys. Rev. D. 1979. Vol. 19. P. 413-420.

139. Gursel, Y. Final state of the evolution of the interior of a charged black hole / Y. Gursel, I. D. Novikov, V. D. Sandberg, A. A. Starobinsky // Phys. Rev. D. 1979. Vol. 20. P. 1260-1270.

140. Matzner, R. A. Instability of the Cauchy horizon of Reissner-Nordstrom black holes / R. A. Matzner, N. Zamorano, V. D. Sandberg // Phys. Rev. D. 1979. Vol. 19. P. 2821-2826.1. QM

141. Chandrasekhar, S. On Crossing the Cauchy Horizon of a Reissner-Nordstrom Black-Hole / S. Chandrasekhar, J. B. Hartle // Proc. R. Soc. Lond. A. 1982. Vol. 384. P. 301-315.

142. Novikov, I. D. The Physics of Black Holes / I. D. Novikov, V. P. Frolov. -Moskow : Nauka, 1986.

143. Birrell, N. D. On falling through a black hole into another universe / N.D. Birrell, P.C.W. Davies //Nature. 1978. Vol. 272. P. 35.

144. Novikov, I. D. Quantum-electrodynamic effects inside a charged black hole and the problem of Cauchy horizons / I. D. Novikov, A.A. Starobinsky // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1980. Vol. 78 P. 3.

145. Ford, L. H. Creation of particles by singularities in asymptotically flat spacetimes / L. H. Ford, L. Parker // Phys. Rec. D. 1978. Vol. 17. P. 1485-1496.