Вращающиеся кротовые норы типа Эллиса-Бронникова и их свойства тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Измаилов, Рамиль Наильевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Челябинск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
004614854
На правах рукописи
Измаилов Рамиль Наильевич
Вращающиеся кротовые норы типа Эллиса-Бронникова и их свойства
Специальность 01.04.02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
- 2 ЛЕН 2010
Челябинск 2010
004614891
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета им. М. Акмуллы
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Мигранов Наиль Гапиханович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Полищук Ростислав Феофанович, (Физический институт РАН);
Ведущая организация:
кандидат физико-математических наук, ст.н.с. Березин Виктор Александрович, (Институт ядерных исследований РАН) Государственное учебно-научное учреждение "Механико-математический факультет
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова"
Защита состоится «17» декабря 2010 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.03 при ГОУ ВПО «Челябинском государственном университете» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Челябинского государственного университета».
Автореферат разослан щя- исоАйОСОЮ г
Учёный секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор Е.А.
Беленков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Теоретические и наблюдательно-экспериментальные исследования, связанные с объектами с топологией кротовой норы в современной теоретической астрофизике являются весьма актуальными. Это связано с тем, что кротовые норы, вытекающие из решений теории гравитации Эйнштейна, ни чем не уступающие решениям для черных дыр и их существование не опровергнуто экспериментальными данными (Visser 1995). В свое время Эйнштейн предложил модель для элементарных частиц, решение которой очень оказалось схожим с решениями, описывающими кротовые норы (Einstein and Rosen, 1935 [1]), которая сейчас известна как "мост Эйнштейна-Розена". Позднее, работа Майкла С. Морриса и Кипа С. Торна (1988 [2]) вывела тему кротовых нор на новый уровень исследований. Известно, что кротовыми норами называют объекты, которые могут соединять удаленные области пространства-времени. Это означает, что гипотетически возможно осуществлять перемещение любых объектов, как микро, так и макро объектов по этим кротовым норам, однако, следует отметить, что подобные решения требуют «экзотический» тип материи, нарушающий энергетические условия, которые обычно выполняются. Подобные решения для экзотической материи были получены ранее [3].
Арефьевой и Воловичем(2007) были предложены новые пути в исследовании проходимых кротовых нор в экспериментах на Большом Адронном Кол-лайдере высоких энергий. В последнее время, достаточно интенсивно ведется наблюдательный поиск подобных объектов в астрономических масштабах с помощью гравитационного линзирования [4] и электромагнитных волн из центров галактик [5]. А. А. Шацкий, И. Д. Новиков, Н. С. Кардашев (2007) [6] предложили модель Мультивселенной, с бесконечным числом сферических вселенных, соединенных кротовыми норами. В настоящее время ведутся достаточно активные теоретические исследования кротовых нор, включая группы исследователей в Москве (А. А. Старобинский, К. А. Бронников, Р. Ф. Поли-щук, В. А. Березин и др.), в Казани (С. В. Сушков, Н. Р. Хуснутдинов и др.), в Новосибирске (В. М. Хацимовский) и другие.
Актуальность данного исследования подтверждается тем, что большинство небесных объектов являются вращающимися. Работы в этом направлении для квантовых кротовых нор были начаты В. М. Хацимовским [7] и В. А. Берези-ным [8], а для классических - продолжены С. В. Сушковым [9], который исследовал классические кротовые норы в приближении медленного вращения.
Объектом исследования в данной работе является расширенный класс решений для кротовых нор с асимптотической плоскостью, принадлежащий теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью, полученный с помощью модифицированного нами алгоритма Матоса-Нюнеза [10]. Таким образом, удалось рассмотреть некоторые свойства полученных решений для кротовых нор в гравитационной теории скалярного поля.
Кротовая нора Бранса класса I в картине Йордана, к сожалению, имеет сингулярность, как было показано Старобинским [11]. Бронников, Скворцова и Старобинский недавно предположили "теорему без кротовый норы"("по-wormhole theorem") которая ограничивает существование обычных кротовых нор в скалярно-тензорной теории. С учетом данной теоремы, в предложенной диссертационной работе исследовалась возможность существования обычных кротовых нор в картине Йордана и были получены решения, учитывающие вращение в конформно нормированной картине Эйнштейна.
В работе показана возможность получения несингулярной кротовой норы из сингулярного решения класса I с помощью поворотов Вика. Это решение приводит к классу обычных кротовых нор в картине Эйнштейна. Полученные кротовые норы весьма напоминают кротовые норы типа Эллиса-Бронникова. Мы расширили решение для кротовых нор типа Эллиса-Бронникова в теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью путем введения нового дополнительного параметра а, который ранее был предложен для другой модели [10] в качестве параметра вращения и изучили геометрические свойства расширенных решений.
Цель диссертационной работы:
Изучение геометрических свойств вращающейся кротовой норы типа Эллиса-Бронникова и построение алгоритма для генерирования асимптотически плоских решений для вращающихся кротовых нор без сингулярностей из начальных решений Эллиса. Исследование роли новых параметров в расширенном решении.
Основные задачи работы: В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Создание метода для генерирования решений для кротовых нор из известных статичных начальных решений, используя модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза, принадлежащих теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью.
2. Изучение поведения решений Эллиса III и Эллиса I с поворотами Вика и выявление различий в геометриях этих кротовых нор.
3. Изучение геодезического движения в расширенном решении Эллиса I с поворотов Вика и исследование параметра а Матоса-Нюнеза.
Положения, выносимые на защиту:
1. Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза для генерирования решений в теории Эйнштейна с минимальной связью.
2. Решение для вращающейся кротовой норы типа Эллиса-Бронникова.
3. Геодезическое движение во вращающейся кротовой норе типа Эллиса-Бронникова.
4. Задержка Саньяка во вращающейся кротовой норе типа Эллиса-Бронникова зависит от параметра вращения а.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-получено дважды асимптотически плоское решение и решение с вращением для кротовых нор без сингулярности в теории Бранса-Дикке.
-показано, что статичное решение Эллиса-Бронникова представляет проходимую кротовую нору.
-предложен модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза и исследована геометрия решения Эллиса-Бронникова с вращением.
-показано, что параметр а вращения кротовой норы пропорционален времени задержки Саньяка, при а = 0 задержки не наблюдается.
Значимость работы:
Проведенное исследование, безусловно, расширяют и углубляют наши представления о таких астрофизических объектах, как кротовые норы в теориях Бранса-Дикке и Эйнштейна с минимальной связью. Решения для вращающихся кротовых нор с асимптотической плоскостью встречаются в литературе не часто. Данная работа имеет практический интерес для теоретической и математической физики, так как дает возможность генерировать решения с вращением из начального решения с помощью модифицированного алгоритма Матоса-Нюнеза. Есть сферы, для которых алгоритм может быть применен и с его помощью могут быть найдены новые классы решений.
Личный вклад автора:
Диссертант вместе с научным руководителем участвовал в постановке задач и обсуждении полученных результатов. Основные результаты расчетов получены лично диссертантом.
Достоверность результатов данной работы обеспечивается апробированными вычислительными методами, взаимосвязью и преемственностью с основополагающими работами в области кротовых нор. В определенных случаях результаты, вытекающие из рассмотрения предложенных решений, переходят в известные, что является подтверждением достоверности рассматриваемых теорий.
Апробация работы:
Результаты работы, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г. Уфа, 2008 г.); Семинары на математическом факультете Северо-Бенгальского университета (г. Силигури, 2006-2008 г.); Астрофизический семинар на кафедре теории относительности и гравитации КГУ (г. Казань, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики ЧелГУ (г. Челябинск, 2010 г. ); Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2010 г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав в основной части, заключения, списков публикаций по теме исследования и литературы. Объем диссертационной работы составляет 112 страниц.
Основное содержание работы:
Во введении обоснованы актуальность проблемы, научная новизна и практическая значимость исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе приводится краткий обзор работ других авторов по исследуемой теме. Анализируются работы М. Морриса, К. Торна [2], Эллиса [12], в основе которых лежат модели кротовых нор. Подробно рассматривается работа Т. Матоса и Д. Нюнеза [10], в которой дается алгоритм генерйрбйанМя решения для кротовых нор.
Во второй главе приводится модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза и вращающаяся кротовая нора Эллиса-Броникова. Уравнения поля EMS заданы следующим образом:
V = -a<P,p<P,v (1)
4% = 0 (2) для соответствия уравнениям поля Эйнштейна, G^ = —TßV, выбором будет а = +1. Но для наших целей мы выбираем а = — 1, для того, чтобы источник напряжения, 7*м„ = —a<pifl(piV, нарушал некоторые энергетические условия. Мы принимаем следующее начальное решение: ds2 = —f(l)(dt + acosö#)2 + ГЧОДО2 + С2 + 'о 2)(dÖ2 + sin20#2)], (3)
где /0 произвольная константа, константа а была интерпретирована в [10] в качестве параметра вращения кротовой норы. Функция f(T) начального решения (3), таким образом, будет решением уравнений поля (1) и (2) если она удовлетворяет следующим условиям:
<4)
где штрих означает дифференцирование по I.
Алгоритм: пусть /0 = foil', p,q;a = 0) и ф0 = ф0(1\ p,q;a — 0) множество известных начальных решений статичной конфигурации, в которой р, q являются произвольными константами в решении, интерпретируемые как масса и скалярный заряд конфигурации. Тогда новое сгенерированное (или расширенное) множество решений (/, <р) примет вид
2npq8f0-1 _________ _ (6)
а2 + nS2f0~
где п - натуральное число и параметры р, q зависят от данного начального множества решений (/о. фо)> я - свободный параметр, разрешенный сгенерированным решением, в том смысле, что он исключает нелинейные уравнения поля. Скалярное поле (р0 задано тем же статичным решением безмассового уравнения Клейна-Гордона
а=»■ о
f(l; р, q; а) = 2 _2, <p(Z; р, q; а) = <Ро
Начальное решение (а = 0), следующее из уравнений (4) и (5) дает 8 = 2pq. Для расширенного решения (а 0), значение 5 может быть установлено либо условием асимптотической плоскости либо через условия соответствия в заданных границах. Предложенный нами алгоритм, уравнение (6) схож с алгоритмом Матоса-Нюнеза[11], но имеет некоторые отличия. Существенная разница в том, что Матос и Нюнез определили свободные параметр как S — •°Л).Трудность в этом случае состоит в том, что для нашего начального множества решений (f0,q>o), уравнения поля (4) и (5) тождественно устанавливают S2 = D = 0, что дает f — 0, что явно бессмысленно. Другое отличие в том, что мы ввели натуральное число п, которое теперь указывает каждое начальное решение /0 и также соответствующее новое решение /. С известными параметрами n, р и q, введенными в правую часть уравнения (6), новое начальное множество решений (/, <р) тождественно удовлетворяет уравнениям (4) и (5). Очевидно также, что алгоритм может быть применен к множеству (/, (р) в качестве нового начального решения и процесс может быть бесконечно повторен для генерирования любого количества новых решений.
Следующее решение напрямую следует из решения Бранса класса I при конформном преобразовании [4]:
(т\2Р
Гrf) +(1"2^) (1+2?)
[dr2 + гЧв2 + r2sin20cft/>2] (8)
1 2rJ
где а,т и Р произвольные положительные константы. Оно известно как решение Эллиса I. Метрика формально инвариантна при инверсии радиальной коор-
т2
динаты г -> — и мы имеем две асимптотически плоские области (при г = 0 и
4 г г
г = оо), радиус минимальной области (горловина) возникает при г0 = + yJ(P2 - 1)]. Реальная горловина гарантирована условием а = -1, р2 > 1, приводя к отрицательному кинетическому члену. Для Р = 1, оно сводится к решению для черной дыры Шварцшильда в изотропных координатах и для Р2 > 1, оно представляет голую сингулярность при г = т/2.
В приведенном решении, экзотическая материя существует и легко видеть, нарушение изотропного энергетического условия (NEC) и слабого энергетического условия (WEC). Однако, несмотря на наличие двух плоских асимптотических областей, решение портит появление сингулярности, хотя путешественник никогда ее не достигнет.
Используя координатные преобразования 1 — г + решения (8) и (9) могут быть выражены как:
ds2 = -f0(l)dt2 + -i- [dl2 + (ß - m2)(d02 + sin26d02)],
7o(f)
(10) (11) (12)
Во множестве решений (/0. Фо), мы выбираем •"<••)>:
т -» —ип, р -> ¿/?
таким образом, чтобы горловина /0 = т/? оставалась инвариантной по знаку и величине. Тогда метрика, полученная из (10) примет вид
Л2 = -/„'(ОЛ2 + ТТТТТ^2 + С2 + + Шпг0<Ь1>*)]
/о'(0'
/o'(0 = exp[-2/?ctg-1Q] <Ро'(0 =
vz^ractg-^i)
Используя отношение
ctg^OO+tg'H*) = +-;x>0
л
= -Г,х<0
мы получим из (14), (15)
/о±(0 = ехр
0о±(О = (V2
\т.
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18) (19)
Мы можем изучать решения (14) и (15) как есть, или эквивалентно, изучать две ограниченные ветви, взятые вместе, учитывая разрыв непрерывности в точке начала координат при 1 = 0. Или же, мы можем рассматривать каждое из ± множеств в уравнениях (18), (19) как независимо полученные частные решения, действенные в неограниченной области I без разрыва в I = 0. Эти две альтернативы не являются эквивалентными. Фактически, каждая из отдельных ветвей представляет собой геодезически законченную, асимптотически плоскую асимметричную кротовую нору, имеющую различные массы, одну положительную (ruß), другую отрицательную {—mße~^n\ с обеих сторон соответственно. Известное решение Эллиса III есть положительная ветвь, непрерывная на всем интервале 1 G (—оо, +оо). Ветвь с отрицательным знаком проявляет схожие свойства. Здесь мы показали то, что решения Эллиса I и III не являются независимыми решениями скалярной теории поля Эйнштейна с минимальной связью. Решения Эллиса-Бронникова (18) и (19) мы примем в качестве начальных решений в нижеследующем алгоритме.
Для начального решения Эллиса-Бронникова /0±(/), находим что р = т, q — ß и п = 4, так, что сгенерированное EMS решение, которое тождественно удовлетворяет уравнениям поля (9) и (10) для а Ф 0 принимает вид:
8mßöfo+ (20)
f+(lm,m,ß,a) = ■
а2 + 4'
Фо±(0 =
VzJiTß2
п ,!■
Н---tg —
— 2 ё т.
Рассмотрим только положительную ветвь решения как показано ранее. Асимптотическая плоскость устанавливается
^ _ 2т/?+У4т2р2-а2 (21)
_ 2
Решения (20) вместе с (21) составляют то, что мы называем вращающейся кротовой норой Эллиса-Бронникова [12,13,14].
В третьей главе рассматриваются новые свойства вращающейся кротовой норы Эллиса-Бронникова и ее геометрия.
(а) Радиус минимальной области расширенного решения получен из уравнения ^ = 0, где р(/) = 7/+~1('2 + т2) - радиус области. Из численных расчетов полученного уравнения, находим, что минимальная область возникает при I < т.р и уменьшается при увеличении а для фиксированных значений т и /?. Необходимо также заметить, что конечный скачок сохраняется в радиусе области расширенного решения /+(£; т,/?, а). Неожиданно, однако, что при а = 2т/?, функция области р(/) убывает от +оо до минимального значения в горловине, затем возрастает до конечного значения при / = 0, не имея скачка при I = 0, а проходя непрерывно, хотя и не с равномерностью С2, через I = 0, до —со. Скаляр Риччи для /+ (/; т, р, а) задан как
, _ 8/?(1 + /?2)(2тр + У(4т2/?2 - а2))ехр[2^с1§-1 (¿)]
т (l + а2 + (2тр + V4m2/?2 - а2)2ехр [4/Sctg-i (¿)]
и он приближается к значению тг(1+егкр) ПРИ ' ¿0, таким образом, что в нем нет скачка.
Поведение области показывает, что для предельного случая а = 2тр, мы получаем проходимую кротовую нору с единичной метрикой, покрывающей обе асимптотически плоские вселенные (I —> +оо), соединенные клинообразным выступом в функции формы при I = 0. Этот клин препятствует С2 непрерывности через I = 0 в функции области, но склеивает две совершенно симметричные плоские вселенные с обеих сторон. Численные значения свободных параметров тир могут всегда быть подходяще подобраны, чтобы сделать приливные силы допустимыми для человека и путешествие безопасным.
Для а 2тр, такая единичная криволинейная система координат не возможна, так как область имеет прыжок при I - 0. Однако, мы можем искусст-
венно обойти этот разрыв и соединить две непересекающиеся вселенные множественным выбором метрик для различных сегментов. Мы можем получить метод для подобного конструирования из статичного случая. Рассмотрим метрическую форму (11) в сегменте (АВ) и метрику с поворотом Вика (14) с другой стороны (ВС) таким образом, что области сходятся в радиальной точке I = Радиус I = lí является корнем уравнения (область справа (АВ) равна области слева (ВС))
/I — /1\ 1 (23)
(т2 - г2) х (—) = (т2 + I2) х exp [z^ctg"1 (-)]
В результате численных расчетов оказывается, что 0 < ^ < m таким образом, что две изначально непересекающиеся вселенные, одна представленная ветвью АВ, а другая ветвью ВС, могут быть соединены в В(/ = l-¡). В точке соединения В, наблюдается непрерывность в функции области (снова не С2) и приливные силы могут быть конечными по всей длине производящей кривой ABC. В точности схожие аргументы сохраняются и для вращающегося случая. Ветвь АВ принадлежит решению с поворотом Вика (f), в то время как сегмент ВС принадлежит оригинальному решению (/). Численные расчеты показывают, что совпадение возникает в одной из двух точек, либо в В(У либо в В(12), таким образом, что —m < lu 12 < т.
(Ь) Геодезическое движение в расширенном решении:
Будет рассматриваться, в качестве примера, класс решений (14), сгенерированных из начальных решений (11) теории Эйнштейна с минимальной связью. Конечное решение примет вид
Sm/tfexpbctg-1^)] (24)
a2 + 4g2exp[4y3ctg-1(¿)|
?»(o = [j2(i+^)]ctg-iQ (25)
где метрические компоненты gvX даны как
goo = ~f, (26)
gil = Г\ (27)
g22=f-\l2 + l02), (28)
g33 = rl(i2 + lo2)sin26 - fa2cos26, (29)
g03 = g3o = -fa eos в. (30)
g03 =gso - ~facose. (31) Четырехмерная скорость определена как
dx* (32)
У = ——, х1* = (t, I, в, ф), dp — m0ds v ;
dp
где p - новый аффинный параметр и m0 инвариантная масса покоя пробной частицы. Геодезические уравнения заданы следующим образом
lf-¡j£uvux = °'SvA = т2о=е. (33)
Так как метрические функции не содержат 1 и ф, соответствующие импульсы сохраняются, таким образом, из уравнений ¡г — 0 и [I = 3 следует
и о = -/. и0 - faU3cosв = к, (34)
и3 = ~/аи°совв + из[/~'(12 + 10*)5т2в - ¡а'соьЩ = к (35)
где к и к произвольные константы. Из указанных выше уравнений следует, что "угловой момент " частицы равен
П1)и^к~кас05в ^ (36)
Щ)=ГХ1!+1оТ). (37)
компонента ц — 2 геодезического уравнения дает
£¿/¿04 1 „ (38)
— \г2(0—1+-/аи°из5тв-{их)2[г::(1)+/а1\со5в5тв^0. у '
Вместо уравнения ц = 1, мы используем второе из уравнений (33), что дает
е = —/[£/° + изасо5в]2 + Г'(иг)2 + г2{1)[(Цг)2+ (Ц^тЩ. (39)
Анализируя уравнение (38), мы можем видеть, что возможны два решения. Первое
и3 = 0 => в = соб-1 ) - со!^ => и2 = 0 (40)
откуда следует, что в может принимать произвольную постоянную величину, в зависимости от независимых значений к, к и а. Но такое движение может быть только радиальным, так как II2 = 0 и из — 0. Другими словами, гравитационный источник действует как радиальная воронка. Геодезические уравнения движения (39) сводятся к:
/<И\2 (41)
Щ = е/(/;т,/?, а) + к2
что можно кратко описать как
¿4 _ ей/ (42)
Лр2~ гм'
Другим решением уравнения (38) будет 0 = 0, которое предполагает, что движение пробной частицы ограничено к полярным плоскостям. Однако мы всегда можем выбрать полюс, перпендикулярный к данной плоскости, таким образом, что угол ср меняется в этой плоскости пропорционально движению частицы. Более того, из уравнения (36), мы должны иметь к = ка таким образом, что г2(1)Ц3 = % Ф 0. Тогда, тогда мы снова получим ту же метрическую функцию, но без явно заданного а, как произвольно введенного свободного параметра. Таким образом, в уравнениях движения мы имеем / = /(1-,т,р,к/к) таким образом, что параметр а, являющийся параметром источника гравитации, получен из таких характеристик движения, как /г и к самой пробной частицы. Это интересное свойство, в некоторой степени, аналогично тому, как масса Солнца может быть определена из движения пробной частицы (планеты) вокруг него. В отдельном случае, параметр а может быть подобран таким обра-
зом, чтобы полностью скрыть угловой момент £ пробной частицы, то есть, при Л -» ка, существует вероятность того, что % -* 0. Физически, это схоже с выбором параметра а, совпадающего с орбитальным <р —угловым моментом пробной частицы. Уравнение движения снова в точности совпадает с уравнением (39), так как и2 = 0, несмотря на то, что У3(Ф 0) явно не обнаруживается. Это является следствием того, что последний член уравнения (39), (и3)2Бт2в = 0, но сигнатура движущейся по орбите (не радиапьно) пробной частицы проявляется при наличии к:
гс11\2 ... ......, (43)
= ef(l; т,р, h/к) + к2
Р
Точки поворота орбиты возникают при ef = —к2 и ^ 0. Исходя из этих
условий, мы находим точки поворота, возникающие при
fin х0\ (44)
fin х0\ l = l0=mctg\——j
где
_ -2тре±^тгрге2-к'а2 (45)
Круговые орбиты возникают, если ef = —к2 и^=0и они будут стабильными, если < 0 и не стабильными, если > 0.
(с) Эффект Саньяка в решении с вращением Эллиса-Бронникова: Наилучшим способом описать эффект ненулевого U3 (или dq) 0) и параметра Матоса-Нюнеза а является эффект Саньяка [13], исследуя орбиту в плоскости 0 = 0. Этот эффект исходит из фундаментального физического явления, что время полного обращения света вокруг замкнутого контура, когда источник зафиксирован на поворотном круге, зависит от угловой скорости, скажем П, поворотного круга. Используя специальную теорию относительности и принимая Sir « с, можно получить собственное время Sts, когда два луча встретятся снова в начальной точке, следующим образом
. _ 4Я с (46)
5т, =—5
где 5 (= 7гг2) - расчетная площадь контура, перпендикулярная осям вращения.
Без потери точности, мы принимаем а-* —а для удобства обозначения, хотя это и не обязательно. Допустим, что источник/получатель двух противоположно направленных лучей света движется по окружности 1 = R = const. Соответствующим образом расставленные зеркала отражают в начальную точку оба луча после кругового обращения вокруг центральной вращающейся кротовой норы. (Движение, таким образом, не является геодезическим или бессиловым). Далее допустим, что источник/приемник движется с равномерной орбитальной угловой скоростью ш0 относительно удаленных звезд таким образом, что угол вращения равен
(ро ~ &>0t. (47)
С этими условиями, метрика принимает вид
dr2 = -/(K;m,/?,a)[ 1 - acú0]2dt2 (48)
траектория луча света dr2 — 0, что дает
[1 - ао)]2 = 0, (49)
где со - угловая скорость и где мы опустили условие h — ka для фотонных орбит. Корни этого уравнения совпадают и равны
„ -1 (50)
* _ а'
следовательно, угол вращения для луча света равен
<р = a1±t = (51)
Первое пересечение мировых линий двух лучей света с мировой линией орбитального наблюдателя после испускания в момент времени t — 0, возникает когда
<Р+ = <РоФ + <р- = (р0ф — 2тг (52)
таким образом, что
— о)1+ = ф0 ±2п (53>
ш0
где ± относятся к лучам, вращающимся в противоположных направлениях соответственно. Решая для <р0, мы получаем
2пша (54)
Фо+ = ±-
<Pi± ~ шо
Собственное время, измеренное орбитальным наблюдателем, находится из уравнения (48), используя dt = d<p0/(ú0 и интегрируя между <р0+ и <р0_. Конечным результатом будет задержка Саньяка, в следующем виде
\Sts\ = Jf(R; т,р, a) f^1^2-] (<р0+ - <Ро~)
,-rl - 4ло)а
= Jf(R-m,p,a)y 01
ш0
1
77-^0
= 7/(Д;т,/?,а)(4тга).
Это показывает замечательное свойство того, что задержка Саньяка зависит только от параметра а Матоса-Нюнеза. Интересен результат независимости со0, что означает независимость состояния движения источника/приемника, статичен ли он по отношению к системе координат, связанной с далекими звездами или движется относительно этой системы. При а — 0, задержки не наблюдается, так как пространство-время кротовой норы в этом случае является не вращающимся. Данный результат подтверждает вывод в [10] из взятых вместе различных точек зрения о том, что параметр а действительно может быть интерпретирован как параметр вращения кротовой норы.
В четвёртой главе показано использование некоторых операций, с помощью которых решения класса I могут быть исправлены для получения асим-
птотически плоских несингулярных кротовых нор в новом диапазоне — 2 < to < -3/2.
(а) Действие вакуумной теории Бранса-Дикке в картине Йордана
S = f d*x(-g)h<PR + ьнр-^М*]- (56)
уравнения поля заданы как:
п2<р = 0, (57)
V -\gyvR = - ~ \ [<Р.цу ~ gfiv02<p], (58) где а2 = (<p'p)iP и о) = const безразмерный параметр связи. Рассмотрим конформное преобразование
giiv = <Pgpv. (59) и переопределение скаляра Бранса-Дикке <р -> ф, используя
1 (60)
г
в которое мы ввели произвольную константу а. Эти преобразования известно в литературе давно как преобразования Дикке. Конечное действие в картине Йордана (е^, ф)\
5 = / с*4х(-Ю1/2[Я + (61)
Это действие Гильберта-Эйнштейна ОТО с кинетическим членом аЦ^Ф.цФу дая преобразования в уравнения поля Эйнштейна с минимальной связью. Как видно, со более не содержится в действии. Для обеспечения экзотической материи для кротовой норы, необходимо иметь отрицательный кинетический член, распространенным способом является принятие а < 0 и действительного <р в картине Эйнштейна, что непосредственно приводит, из определения (4), к экзотическому интервалу со < — 3/2.
(Ь) решение Бранса класса I без сингулярности
Общее решение уравнений поля в изотропных координатах (¿,г,в,х})), задано как
¿г2 = + е2Р^[(1г\+ г\йв2 + б т20#2)]. (62)
Решение Бранса класса I [14] в картине Йордана задано как
<63) (64)
A2 = (c + i)2-c(i-^)>o, (66)
где Л, а0, /?0, В, С и <р0 действительные константы. Константы а0 и /?0 определены асимптотической плостноскостью в г = оо при а0 = /?0 = 0.
Для обнаружения голой сингулярности при г = В, достаточно представить инвариантный компонент кривизны Римана в свободном падении ортонорми-рованного репера (ё0„ ё1„ ёг„ е3/) (смотрите [15] для дополнительной информации)
_ 4Вг3г2[Я(г2 + В2) - Вг(С + 2)] (67)
Лт'0,1'5' ~ Я2 (г2 + В2)4 '
где
,г _Вч(с+1)/я (68)
)
\г + В/
Ясно, что йт,о/Т/о' 00 ПРИ т -* В. Все инварианты кривизны проявляют схожее поведение. Чтобы удалить эту сингулярность, необходимо выполнить следующие операции над решением класса I:
ео,0о^о + 21пВ', (69)
где В', Л действительные числа. Используя тождество
. £ Д-Ш (70)
мы приходим к метрическим функциям и скалярному полю в следующем виде с£т2 = -е2а^с!12 + е2^[с1г'2 + г'2(<*02 + Бт2^2)], (71)
где
/^о-^п-©-^). С73)
р(г') = Фо[ехр^п-£)]. (74)
Л2 = С(1-^)-(С + 1)2>0. (75)
Для асимптотической плоскости необходимо е0 = — ^ и (0 — Эта
форма решения класса I была перечислена Брансом [14] как класс II его решений, однако видно, что эти два класса не являются независимыми - один может быть получен из другого с помощью поворотов Вика. Множество решений (15)-(19) однообразно, в том числе при г' = В', что может быть проверено вычислением компонент кривизны. Оно имеет две асимптотически плоские области с
2 В/С 2 в'с г л, _
двумя асимметричными массами и —— ехр[— -] по обе стороны, соединенных горловиной при
(76)
С + 1 -+
N
/С +1\2 (1 + (—)
определенной минимумом радиуса области г'едф[/?(г')]. Компонент кривизны Римана
_ 4В'г'3[ЛВ,2+В'г>(С+2)]-Лт-'2 _ [8(С+1)^„_! (77)
НЬОП,0> - Л4г"+В'гу РI Л ^ и;]'
является конечным повсюду и 0,1,5/ 0 при г' -* +оо. Все компоненты кривизны также конечны и стремятся к нулю при г' -» ±оо. Используя значение
слабого поля С = - получим
(78)
Л = ±
N
2(0 + 3
2(0 + 4
. ' 1 1 I ТЧ IV
Для анализа поведения кривизны /?t,g,i,g, или радиальных приливных сил нужно, чтобы Л было действительным, что сразу приводит к новому диапазону —2 < (о < —3/2 [16]. Этот результат подтверждает теорему, доказанную в [11].
В пятой главе рассматривается новое решение с вращением в картине Эйнштейна.
В конформно нормированной картине Эйнштейна, решение в картине Йордана(72)-(74) принимает вид,
dx2E = -P(r')dt2 + Q(r')[dr'2 + r'2(d62 sin2 0dt/>2)], (79)
после переопределения констант:
С С+ 2 2п 2тг(1 + С) (80) "7 --->2уъ—T-*ev---->f1(
Л Л и Л
где
Р(г') = ехр[ 2ег + 47l tg-\г'/В')], (81)
/ В'2\2 (82)
Q(r') = ^ + 77Г) - 4Vl tg'Kr'/B')],
Ф(г') = 4У1 tg "Hr'/ß'), 2Л2 = 1 + у2. (83)
Для асимптотической плоскостности необходимо ех — —пу1 и = я/!-
в'2
Теперь преобразуем радиальную переменную как t = г' + —. Тогда решение (81)-(83) переходит в
йт1 = -F{l)dt2 + F-1(i)[di2 + О2 + m2)(d6)2+ sin2 0di/)2)], (84)
F(0 = exp |—27ГУ! + 4yt tan-1
ф(0 = 4уг tan-1 > B' = m/2.
Это дважды асимптотически плоская обычная кротовая нора с горловиной при -С = mylt хотя это и не одно и тоже с тем, на что мы будем ссылаться как на решение Эллиса-Бронникова. Однако, это все еще решение EMS уравнений теории Эйнштейна с минимальной связью для а = 0, удовлетворяющее ограничению картины Йордана 2Я2 = 1 + у2. Таким образом, мы можем получить, используя модифицированный алгоритм, новое решение для кротовых нор с вращением для а Ф 0. Мы можем преобразовать полученное решение в картину Йордана, используя ограничения картины Йордана, что эквивалентно
(85)
(86)
С2 (87)
= (2w + 3)^- « 1 - Yi = (2ù) + 3)Я?
Решение, полученное в (84) представляет собой новый класс статичных кротовых нор без сингулярностей. Он схож с кротовыми норами Эллиса-Бронникова, но отличается метрическими функциями. Для получения расширенного класса кротовых нор с вращением необходимо использовать модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза.
В заключении приводятся перечень основных результатов и выводы по диссертационной работе.
Основные результаты работы сводятся к следующему:
1. Предложен новый способ генерирования несингулярных решений для кротовых нор из решений с сингулярностью с помощью поворотов Вика. Благодаря этому удалось из решений класса I, содержащих сингулярность, получить асимптотически плоские несингулярные кротовые норы в новом диапазоне — 2 < ш < —3/2.
2. Разработан модифицированный алгоритм, на основе метода Матоса-Нюнеза, позволяющий получать решения для вращающихся кротовых нор. В качестве начальных решений используются решения для статичных кротовых нор без сингулярностей.
3. Получены характеристики геодезического движения частиц во вращающейся кротовой норе, построенной из класса I решений Эллиса с поворотами Вика в теории Эйнштейна с минимальной связью.
4. Установлен физический эффект вращения кротовой норы с помощью эффекта Саньяка, возникающий вследствие ненулевого значения параметра вращения а. Расчеты показали, что указанный параметр пропорционален временной задержке Саньяка.
5. Получен новый класс вращающихся кротовых нор типа Эллиса-Бронникова.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Izmailov R.N., Migranov N.G., Nandi К.К. Rotating wormholes // Вестник Челябинского государственного университета - г. Челябинск, - 2009 г., вып. 4, С.62-66.
2. Nandi К.К., Ilnur Nigmatzyanov, Ramil Izmailov, Nail Migranov. New features of extended wormhole solutions in the scalar field gravity theories // Classical and Quantum Gravity Vol.25 - 2008, P. 165020-165039.
3. Amrita Bhattacharya, Ilnur Nigmatzyanov, Ramil Izmailov, Kamal К Nandi Brans-Dicke wormhole revisited // Classical and Quantum Gravity Vol.26 -2009, P. 235017-235040.
4. Измаилов P.H., Мигранов Н.Г. Новый алгоритм для вращающихся кротовых переходов / Инновации в науке и образовании - 2009. VII междуна-
родная научная конференция. Труды. Ч. 1., - Калининград, Калининградский государственный технический университет, 2009. С. 212-214.
5. Izmailov R.N., Migranov N.G., Nandi К.К. Wormholes solutions of brans-dicke theorem in Jordan and Einstein frames / VIII региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии: Сборник трудов. Т. II. Физика. Лекции и научные статьи / отв. ред. Р.М. Вахитов. - Уфа, РИЦ БашГУ, 2008. С. 317-329.
СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Einstein, A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. Vol.48. P.73-77.
2. Morris, M.S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris and K.S. Thorne // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. P. 395-412; Morris, M.S. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition / M.S. Morris, K.S. Thome and U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1446-1449.
3. Nandi, K.K. Brans wormholes / K.K. Nandi, A. Islam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 55. P. 2497-2500.
4. Cramer, J.G. Natural wormholes as gravitational lenses / J.G. Cramer, R.L. Forward, M.S. Morris, M. Visser, G. Benford and G.A. Landis // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 3117-3120.; Nandi, K.K. Gravitational lensing by wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, A.V. Zakharov II Physical Review D. 2006. Vol.74. P.024020-024033.
5. Lobo, F. S. N. Electromagnetic signatures of thin accretion disks in wormhole geometries / T. Harko, Z. Kovacs, F. S. N. Lobo // Phys.Rev.D. 2008. Vol.78, P. 084005-084012.
6. Новиков, И. Д.Динамическая модель кротовой норы и модель Мультивсе-ленной / И. Д. Новиков, Н. С. Кардашев, А. А. Шацкий // Успехи физических наук, 2008. Т-176 №5. С.481-488.
7. Хацимовский, В. М. Towards possibility of self-maintained vacuum traversable wormhole: препринт / В.М.Хацимовский. - Novosibirsk, 1996.
8. Berezin, V.A. Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes / V. A. Berezin, A. M. Boyarsky. A. Yu. Neronov // Phys. Rev. D. 1998. Vol.57 P.1118-1128.
9. Sushkov, S.V. Slowly rotating wormholes: the first-order approximation. / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov. Gravitation and Cosmology. 2008. Vol.14, № 1, P.80-85
10. Matos, T. Rotating Scalar field wormhole / T. Matos and D. Nunez // Class. Quant. Grav. 2006. Vol.23 P4485-4492.
11. Bronikov, K.A. Notes on wormhole existence in scalar-tensor and F(R) gravity. / K.A. Bronnikov, M.V. Skvortsova, A.A. Starobinsky. // Grav.Cosmol. 2010. Vol.16. P.216-222.
12. Ellis, H.G. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity./ H.G. Ellis // J. Math. Phys. 1973. Vol.14. P.104-121.
13. Tartaglia A. General relativistic corrections to the Sagnac effect / A. Tartaglia Phys. Rev. D. 1998.Vol.58 P.064009-064016; Nandi К. K. Brans-Dicke corrections to the gravitational Sagnac effect / К. K. Nandi, P. M. Alsing, J. C. Evans and Т. B. Nayak // Phys. Rev. D. 2001. Vol.63 P.084027-084041.
14. Brans, C.H. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation. II / С. H. Brans // Phys. Rev. 1962. Vol. 125. P. 2194-2201.
15. Nandi K.K. Brans-Dicke wormhole revisited. / A. Bhattacharya, I. Nigmatzya-nov, R. Izmailov and К. K. Nandi // Class.Quant.Grav. 2009. Vol.26, P .235017235030.
16. Ramil Izmailov, Amrita Bhattacharya and Kamal K. Nandi, препринт: ar-Xiv:gr-qc/1006.4819.
Подписано в печать 15.11.2010 г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 458. Гарнитура «TimesNewRoman». Отпечатано в типографии «A3» ИП Назмегдинов P.P. Объем 0,6 п.л. Уфа, ул. Ленина 16, тел.: 293-16-44, 8-917-80-888-99
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Кротовые норы, их геометрия и свойства. Методы исследования.
1.1 Понятие кротовой норы.
1.2 Геометрия кротовой норы.
1.3 Метод Матоса-Нюнеза для генерирования новых решений.
1.4 Основные ограничения для регулярной кротовой норы.
ГЛАВА II. Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза.
2.1 Начальное решение и уравнения поля.
2.2 Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза.
2.3 Решение Эллиса класса I и применение к нему модифицированного алгоритма.
2.4 Анализ геометрии в статичном и сгенерированном решении в теории Эйнштейна с минимальной связью.
2.5 Решение Эллиса класса III с поворотами Вика.
2.6 Исследование проходимости кротовой норы Эллиса класса III.
ГЛАВА III. Свойства вращающейся кротовой норы Эллиса-Бронникова и ее геометрия.
3.1 Геометрия вращающейся кротовой норы Эллиса-Бронникова.
3.2 Геодезическое движение в расширенном решении.
3.3 Эффект Саньяка в решении Эллиса-Бронникова с вращением.
ГЛАВА IV. Кротовые норы Бранса-Дикке в картине Йордана.
4.1 Картина Йордана.
4.2 Расширенное решение Бранса-Дикке класса 1.
4.3 Получение несингулярной кротовой норы Бранса-Дикке с помощью поворотов Вика.
4.4 проверка соответствия полученного несингулярного решения ограничениям кротовой норы.
4.5 Некоторые свойства кротовой норы - аналога черной дыры Горовица
Росса.
4.6 Конформная инвариантность вакуумной теории Бранса-Дикке.
ГЛАВА V. Решения для кротовых нор с вращением в картине Эйнштейна.
5.1 Картина Эйнштейна.
5.2 Аналог решения Бранса класса II в картине Эйнштейна.
5.3 Анализ трех классов статичных кротовых нор теории Эйнштейна с минимальной связью.
Актуальность темы
Теоретические и наблюдательно-экспериментальные исследования, связанные с объектами с топологией кротовой норы в современной теоретической астрофизике являются весьма актуальными. Это связано с тем, что кротовые норы, вытекающие из решений теории гравитации Эйнштейна, ничем не уступают решениям для черных дыр и их существование не опровергнуто экспериментальными данными (Виссер, 1995). В свое время Эйнштейн предложил модель для элементарных частиц, решение которой очень оказалось схожим с решениями, описывающими кротовые норы (Эйнштейн и Розен, 1935 [1]), которая сейчас известна как "мост Эйнштейна-Розена". Позднее, работа Майкла С. Морриса и Кипа С. Торна (1988 [2]) вывела тему кротовых нор на новый уровень исследований. Известно, что кротовыми норами называют объекты, которые могут соединять удаленные области пространства-времени. Это означает, что гипотетически возможно осуществлять перемещение любых объектов, как микро, так и макро объектов по этим кротовым норам. Однако, следует отметить, что подобные решения требуют «экзотический» тип материи, нарушающий энергетические условия, которые обычно выполняются. Подобные решения для экзотической материи были получены ранее [3].
Арефьевой и Воловичем(2007) были предложены новые пути в исследовании проходимых кротовых нор в экспериментах на Большом Адронном Коллайдере высоких энергий. В последнее время, достаточно интенсивно ведется наблюдательный поиск подобных объектов в астрономических масштабах с помощью гравитационного линзирования (Cramer J. G., 1995, Nandi К. К., 2006) [4] и электромагнитных волн из центров галактик (Lobo F. S. N., 2008) [5]. А. А. Шацкий, И. Д. Новиков, Н. С. Кардашев (2007) [6] предположили, что черные дыры являются входами в кротовую нору. В настоящее время ведутся достаточно активные теоретические исследования кротовых нор, включая группы исследователей в Москве (А. А. Старобинский, К. А. Бронников, Р. Ф. Полищук, В. А. Березин и др.), в Казани (С. В. Сушков, Н. Р. Хуснутдинов, Игнатьев и др.), в Новосибирске (В. М. Хацимовский) и другие.
Актуальность данного исследования подтверждается тем, что большинство небесных объектов являются вращающимися. Работы в этом направлении для квантовых кротовых нор были начаты В. М. Хацимовским [7] и В. А. Березиным [8], а для классических - продолжены С. В. Сушковым [9], который исследовал классические кротовые норы в приближении медленного вращения.
Объектом исследования в данной работе является расширенный класс решений для кротовых нор с асимптотической плоскостью, принадлежащий теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью, полученный с помощью модифицированного нами алгоритма Матоса-Нюнеза [10]. Таким образом, удалось рассмотреть некоторые свойства полученных решений для кротовых нор в гравитационной теории скалярного поля.
Кротовая нора Бранса класса I в картине Йордана, к сожалению, имеет сингулярность, как было показано Старобинским [11]. Бронников, Скворцова и Старобинский недавно предположили "теорему без кротовый норы"("по-wormhole theorem") которая ограничивает существование обычных кротовых нор в скалярно-тензорной теории. С учетом данной теоремы, в предложенной диссертационной работе исследовалась возможность существования обычных кротовых нор в картине Йордана и были получены решения, учитывающие вращение в конформно нормированной картине Эйнштейна.
В работе показана возможность получения несингулярной кротовой норы из сингулярного решения класса I с помощью поворотов Вика. Это решение приводит к классу обычных кротовых нор в картине Эйнштейна. Полученные кротовые норы весьма напоминают кротовые норы типа Эллиса-Бронникова. Мы расширили решение для кротовых нор типа Эллиса
Бронникова в теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью путем введения нового дополнительного параметра а, который ранее был предложен для другой модели [10] в качестве параметра вращения и изучили геометрические свойства расширенных решений.
Цель диссертационной работы:
Изучение геометрических свойств вращающейся кротовой норы типа Эллиса-Бронникова и построение алгоритма для генерирования асимптотически плоских решений для вращающихся кротовых нор без сингулярностей из начальных решений Эллиса. Исследование роли новых параметров в расширенном решении.
В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Создание метода для генерирования решений для кротовых нор из известных статичных начальных решений, используя модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза, принадлежащих теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью.
2. Изучение поведения решений Эллиса III и Эллиса I с поворотами Вика и выявление различий в геометриях этих кротовых нор.
3. Изучение геодезического движения в расширенном решении Эллиса I с поворотов Вика и исследование параметра а Матоса-Нюнеза.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- получено дважды асимптотически плоское решение и решение с вращением для кротовых нор без сингулярности в теории Бранса-Дикке.
- показано, что статичное решение Эллиса-Бронникова представляет проходимую кротовую нору. предложен модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза и исследована геометрия решения Эллиса-Бронникова с вращением.
- показано, что параметр а вращения кротовой норы пропорционален времени задержки Саньяка, при а = 0 задержки не наблюдается.
Научно-практическая значимость работы:
Проведенное исследование, безусловно, расширяют и углубляют наши представления о таких астрофизических объектах, как кротовые норы в теориях Бранса-Дикке и Эйнштейна с минимальной связью. Решения для вращающихся кротовых нор с асимптотической плоскостью встречаются в литературе не часто. Данная работа имеет практический интерес для теоретической и математической физики, так как дает возможность генерировать решения с вращением из начального решения с помощью модифицированного алгоритма Матоса-Нюнеза. Есть сферы, для которых алгоритм может быть применен и с его помощью могут быть найдены новые классы решений.
Достоверность результатов данной работы обеспечивается апробированными вычислительными методами, взаимосвязью и преемственностью с основополагающими работами в области кротовых нор. В определенных случаях результаты, вытекающие из рассмотрения предложенных решений, переходят в известные, что является подтверждением достоверности рассматриваемых теорий.
Положения, выносимые на защиту:
1. Модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза для генерирования решений в теории Эйнштейна с минимальной связью.
2. Решение для вращающейся кротовой норы типа Эллиса-Бронникова.
3. Геодезическое движение во вращающейся кротовой норе типа Эллиса-Бронникова.
4. Задержка Саньяка во вращающейся кротовой норе типа Эллиса-Бронникова зависит от параметра вращения а.
Апробация работы:
Результаты работы, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г. Уфа, 2008 г.); Семинары на математическом факультете Северо-Бенгальского университета (г. Силигури, 2006-2008 г.); Астрофизический семинар на кафедре теории относительности и гравитации КГУ (г. Казань, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики ЧелГУ (г. Челябинск, 2010 г. ); Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2010 г.).
Личный вклад соискателя состоит в участии в постановке задач вместе с научным руководителем, проведении теоретических исследований, компьютерной обработке и интерпретации результатов расчета. Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав в основной части, заключения, списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 112 страниц. Список литературных источников содержит 76 наименований.
Основные результаты работы сводятся к следующему:
1. Предложен новый способ генерирования несингулярных решений для кротовых нор из решений с сингулярностью с помощью поворотов Вика. Благодаря этому удалось из решений класса I, содержащих сингулярность, получить асимптотически плоские несингулярные кротовые норы в новом диапазоне —2 < а) < —3/2.
2. Разработан модифицированный алгоритм, на основе метода Матоса-Нюнеза, позволяющий получать решения для вращающихся кротовых нор. В качестве начальных решений используются решения для статичных кротовых нор без сингулярностей.
3. Получены характеристики геодезического движения частиц во вращающейся кротовой норе, построенной из класса I решений Эллиса с поворотами Вика в теории Эйнштейна с минимальной связью.
4. Установлен физический эффект вращения кротовой норы с помощью эффекта Саньяка, возникающий вследствие ненулевого значения параметра вращения а. Расчеты показали, что указанный параметр пропорционален временной задержке Саньяка.
5. Получен новый класс вращающихся кротовых нор типа Эллиса-Бронникова.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе показаны новые интересные свойства решений для кротовых нор в гравитационной теории скалярного поля. Для их демонстрации был получен расширенный класс решений для кротовых нор с асимптотической плоскостью, принадлежащих теории скалярного поля Эйнштейна с минимальной связью, используя модифицированный алгоритм Матоса-Нюнеза. В общем случае, решения в этих теориях не представляют проходимых кротовых нор, из-за возникновения сингулярностей кривизны. Однако, решение Эллиса класса I, теории Эйнштейна с минимальной связью, с поворотами Вика, содержит решение Эллиса класса III, которое, в свою очередь, описывает проходимую несингулярную кротовую нору. Становится ясно, что решения Эллиса I и Эллиса III не являются независимыми. Начальное решение, с поворотами Вика, содержит два новых параметра а и S. Исследовано геодезическое движение в расширенной геометрии и получены новые результаты в теории Эйнштейна с минимальной связью: для ненулевых значений константы 9, пространство-время играет роль радиальной воронки. Для 0 = 0, пространство-время допускает нерадиальные движения (U3 Ф 0), но параметр Матоса-Нюнеза а может быть вполне выражен исходя из констант движения. В части VII, мы вычислили эффект Саньяка в расширенном пространстве-времени и обнаружили зависимость задержки от параметра а. Если а = 0, задержка равна нулю, что предполагает интерпретацию параметра а в качестве параметра вращения, что подтверждает вывод Матоса-Нюнеза [10] с взятых вместе различных точек зрения. Анализ, приведенный в данной работе, имеет широкую применимость и может быть применен в других теориях, включая теорию струн.
1. Einstein, A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. Vol.48. P.73-77.
2. Morris, M.S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M.S. Morris and K.S. Thorne // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. P. 395-412.
3. Morris, M.S. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition / M.S. Morris, K.S. Thorne and U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1446-1449.
4. Nandi, K.K. Brans wormholes / K.K. Nandi, A. Islam and J. Evans // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 55. P. 2497-2500.
5. Cramer, J.G. Natural wormholes as gravitational lenses / J.G. Cramer, R.L. Forward, M.S. Morris, M. Visser, G. Benford and G.A. Landis // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 3117-3120.
6. Nandi, K.K. Gravitational lensing by wormholes / K.K. Nandi, Y.Z. Zhang, A.V. Zakharov // Physical Review D. 2006. Vol.74. P.024020-024033.
7. Lobo, F. S. N. Electromagnetic signatures of thin accretion disks in wormhole geometries / T. Harko, Z. Kovacs, F. S. N. Lobo // Phys.Rev.D. 2008. Vol.78, P. 084005-084012.
8. Новиков, И. Д.Динамическая модель кротовой норы и модель Мультивселенной / И. Д. Новиков, Н. С. Кардашев, А. А. Шацкий // Успехи физических наук, 2008. Т-176 №5. С.481-488.
9. Хацимовский, В. М. Towards possibility of self-maintained vacuum traversable wormhole: препринт /В.М.Хацимовский. Novosibirsk, 1996.
10. Berezin, V.A. Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes / V. A. Berezin, A. M. Boyarsky. A. Yu. Neronov // Phys. Rev. D. 1998. Vol.57 P.1118-1128.
11. Sushkov, S.V. Slowly rotating wormholes: the first-order approximation. / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov. Gravitation and Cosmology. 2008. Vol.14, № 1, P.80-85.
12. Matos, T. Rotating Scalar field wormhole / T. Matos and D. Nunez // Class. Quant. Grav. 2006. Vol.23 P4485-4492.
13. Bronikov, K.A. Notes on wormhole existence in scalar-tensor and F(R) gravity. / K.A. Bronnikov, M.V. Skvortsova, A.A. Starobinsky. // Grav.Cosmol. 2010. Vol.16. P.216-222.
14. Ellis, H.G. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity./ H.G. Ellis // J. Math. Phys. 1973. Vol.14. P.104-121.
15. Visser, M. Lorentzian Wormholes-From Einstein to Hawking / M. Visser. -New York: AIP, Woodbury, 1995. P. 150.
16. Lobo, F. S. N. Phantom energy traversable wormholes. / Francisco S. N. Lobo //Phys.Rev.D. 2005. Vol.71. P.084011-084020.
17. Roman, T. A. Some Thoughts on Energy Conditions and Wormholes / Thomas A. Roman : npnnpHHT arXiv:gr- qc/ 0409090. 2004.
18. Penrose R., Lectures in Mathematics and Physics / Battele Rencontres, ed. by B. S. de Witt and J. A. Wheeler, Benjamin, 1968. New York.
19. Shinkai, H. Fate of the first traversible wormhole: black-hole collapse or inflationary expansion. / Hisa-aki Shinkai, Sean A. Hayward // Phys.Rev.D.2002. Vol.66. P. 044005-044015.
20. Hochberg, D. Lorentzian wormholes in higher order gravity theories / D. Hochberg // Physics Letters B. 1990. Vol.251. P. 349-354.
21. Agnese, A.G. Wormholes in the Brans-Dicke theory of gravitation / A.G. Agnese and M. La Camera // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 2011-2013.
22. Barcelo, C. Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes / C. Barcelo, M, Visser // Classical and Quantum Gravity. 2000. Vol.17 P.3843-3861.
23. Ford, L. H. Motion of inertial observers through negative energy / L. H. Ford,
24. T. A. Roman // Phys. Rev. D. 1993. Vol.48. P 776-782.
25. Wu, L. Generation of Squeezed States by Parametric Down Conversion / L.
26. Wu, H. J. Kimble, J. L. Hall, H. Wu. // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 57.1. P.2520-2523.
27. Nandi, K. K. Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames / K. K. Nandi, B. Bhattacharjee, S. M. K. Alam, and J. Evans // Phys. Rev. D. 1998. Vol.57, P.823-828.
28. Anchordoqui, L. A. Brans-Dicke wormholes in nonvacuum spacetime / L.A. Anchordoqui, S. P. Bergliaffa, . D. F. Torres // Phys. Rev. D. 1997. Vol.55, P.5226-5229.
29. Brans, C. H. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation. II / C. H. Brans //Phys. Rev. 1962. Vol.125. 125, P.2194-2201.
30. Nandi, K. K. Brans Type II-IV solutions in the Einstein frame and physical interpretation of constants in this solutions / A. Bhadra, K.K. Nandi // Modern Physics Letters A. 2001. Vol.16, P.2079-2089.
31. Bhadra, A. On static spherically symmetric solutions of the vacuum Brans-Dicke theory / A. Bhadra and K. Sarkar // General Relativity and Gravitation. 2005. Vol.37, P.2189-2199.
32. Бронников К. А., Рубин С. Г. Лекции по гравитации и космологии. Учебное пособие. М.: МИФИ, 2008. 460с.
33. Stephani, H., Kramer, D., MacCallum, M., Hoenselaers, С., Herlt, E., Exact soltuions to Einstein's field equations, 2nd, ed., Cambridge, U. P., U. K.,-2003.
34. Hao, J. Attractor solution of phantom field / Лап-gang Hao, Xin-zhou Li // Phys.Rev.D. 2003. Vol.67. P.107303-107307.
35. Sushkov, S. V. Wormholes supported by a phantom energy / S. V. Sushkov // Phys.Rev.D -2005. Vol.71 P. 043520-043525.
36. Kar, S. Naked singularities in low-energy, effective string theory / Sayan Kar // Classical and Quantum Gravity. 1999. Vol.16. P.101-115.
37. Cho, Y. M. Reinterpretation of Jordan-Brans-Dicke theory and Kaluza-Klein cosmology//Y. M. Cho //Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.68. P. 3133-3136.
38. Clément, G. Spinning charged BTZ black holes and self-dual particle-like solutions / G. Clément // Physics Letters B. 1996. Vol.367, P.70-74.
39. Martinez, C. Charged rotating black hole in three spacetime dimensions / C. Martinez, C. Teitelboim, J. Zanelli // Phys. Rev. D. 2000. Vol.61. P. 104013104021.
40. Buchdahl, H. Reciprocal Static Metrics and Scalar Fields in the General Theory of Relativity / H. A. Buchdahl // Phys. Rev.- 1959. Vol.115, P.1325-1328.
41. Bronnikov, K. A. Scalar-tensor theory and scalar charge / K. A. Bronnikov // Acta. Phys. Pol.- 1973. Vol.B4. P.251-266.
42. Bhadra, A. On the equivalence of the Buchdal and the Janis-Newman-Winnicour solutions / A. Bhadra, K. K. Nandi // International Journal of Modern Physics A -2001. Vol.16. P.4543-4545.
43. Bronnikov, K. A. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons / K. A. Bronnikov, G. N. Shikin // Grav. & Cosmol. -2002. Vol.8. P. 107-116.
44. Bhadra, A. Testing gravity at the second post-Newtonian level through gravitational deflection of massive particles / A. Bhadra, K. Sarkar, K. K. Nandi//Phys. Rev. D-2007. Vol.75, P.123004-123011.
45. Armendariz-Picon, C. On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity / C. Armendariz-Picon // Phys. Rev. D. 2002. Vol.65, P.104010-104020.
46. Nandi, K. K. Traversable Lorentzian wormholes in the vacuum low energy effective string theory in Einstein and Jordan frames / K. K. Nandi, Y-Z Zhang.
47. Nandi, K. K. Volume integral theorem for exotic matter / K. K. Nandi, Y-Z. Zhang, K. B. Vijaya Kumar // Phys. Rev. D.- 2004. Vol.70. P. 127503-127507.
48. Bertolami, O. Instanton solutions in gravitational theories with nonlinear lagrangian / O. Bertolami // Physics Letters B. 1990. Vol.234. P.258-264.
49. Magnano, G. Physical equivalence between nonlinear gravity theories and a general-relativistic self-gravitating scalar field / G. Magnano, L. M. Sokolowski // Phys. Rev. D 1994. Vol.50, P.5039-5059.
50. Parker, L. Quantized Matter Fields and the Avoidance of Singularities in General Relativity / L. Parker, S. A. Fulling // Phys. Rev. D 1973 Vol.7. P.2357—2374.
51. Matsuda, T. On the Gravitational Collapse in Brans -Dicke Theory of Gravity / T. Matsuda // Prog. Theor. Phys. 1972. Vol. 47. P.738-739.
52. Visser, M. Internal Proc. Haifa Workshop on the Structure of Black Holes and Space Time Singularities / M. Visser, D. Hochberg, 1997.
53. Bhadra, A. Wormholes in vacuum Brans-Dicke theory / A. Bhadra, K. Sarkar //Mod. Phys. Lett. A.- 2005. Vol.20. P.1831-1844.
54. Eiroa, E. F. Thin-shell wormholes in Brans-Dicke gravity / E. F. Eiroa, M. G.
55. Richarte, C. Simeone // Phys. Lett. A. 2008. Vol.373, P. 1-4.
56. Kozyrev, S. M. Composite wormholes in vacuum Jordan-Brans-Dicke theory
57. S.M.Kozyrev, S. V. Sushkov npenpHHT:arXiv:gr-qc/0812.5010.
58. Garay, L. J. Jordan-Brans-Dicke Quantum Wormholes and Coleman's
59. Mechanism / L. J. Garay, J. Garcia-Bellido // Nucl. Phys. B 1993. Vol.400.1. P. 416-434.
60. Bhadra, A. Comment on "New Brans-Dicke wormholes" / A. Bhadra, I. Simaciu, K. K. Nandi, Y.-Z. Zhang // Phys. Rev. D 2005. Vol.71, P.128501-128504.
61. Bronnikov, K. A. No realistic wormholes from ghost-free scalar-tensor phantom dark energy / K. A. Bronnikov, A. A. Starobinsky // JETP Lett.-2007. Vol.85. P.l-5.
62. Nandi, K. K. Brans-Dicke wormhole revisited / A. Bhattacharya, I.
63. Nigmatzyanov, R. Izmailov, K. K. Nandi // Class.Quant.Grav.-2009. Vol.26, 235017-235030.
64. Faraoni, V. The co —» oo limit of Brans Dicke theory / V. Faraoni // Phys. Lett.1. A 1998, Vol.245,P. 26-30.
65. Bhadra, A. Brans-Dicke theory: Jordan vs Einstein Frame / A. Bhadra, K.
66. Sarkar, D. P. Datta, K. K. Nandi // Mod. Phys. Lett. A. 2007. Vol.22. P.367-376.
67. Horowitz, H. T. Naked black holes / G.T. Horowitz, S.F. Ross, Phys. Rev. D1997. Vol.56, P.2180-2187.
68. Saa, A. New no scalar hair theorem for black holes / A. Saa. // J. Math. Phys.1996. Vol.37. P.2346-2351.
69. Zannias, T. Black holes cannot support conformal scalar hair / T. Zannias // J.
70. Math. Phys.-1995. Vol.36. P.6970-6980.
71. Bekenstein, J. D. / J. D. Bekenstein // Ann. Phys.-1975. N.Y. Vol.91, P.72-.
72. Coule, D. H. Wormholes with scalar fields / D. H. Coule, K. Maeda // Class.
73. Quantum Grav.-1990. Vol.7, P.955-959.
74. Bekenstein, J. D. Novel "no-scalar-hair" theorem for black holes / J. D.
75. Bekenstein//Phys. Rev. D -1995. Vol.51. P.6608-6611.
76. Dey, T. K. Gravitational lensing by wormholes / T. K. Dey, S. Sen // Mod.
77. Phys. Lett. A. -2008. Vol.23. P.953-966.
78. Bhattacharya, A. The Vacuole Model Revisited: New Repulsive Terms in the
79. Second Order Deflection of Light / A. Bhattacharya, A. A. Potapov // Mod. Phys. Lett. A.-2010. Vol.29. P.2399-2410.
80. Flanagan, E. E. Higher order gravity theories and scalar tensor theories / E. E.
81. Flanagan//Class.Quant.Grav. -2003. Vol.21 P.417-426.
82. Will, C. M. Testing scalar-tensor gravity using space gravitational-waveinterferometers / C. M. Will, P. D. Scharre // Phys. Rev. D -2002. Vol.65. P.042002-042010.
