Самогравитирующие полевые конфигурации различной размерности и проблема их устойчивости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/Л

с--'"

ВСЕРОССИИСКИИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИИ ИНСТИТУТ МЕТРОЛОГИЧЕСКОЙ СЛУЖБЫ

ЦЕНТР ГРАВИТАЦИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МЕТРОЛОГИИ

Президиум ВАК России

(решение от " " 19^ г., Ш^^Г

присудил ученую степень ДОЛ1

1- Т V V -ТЛ-1

наук

упвавления ВАК России

На правах рукописи

Бронников Кирилл Александрович

САМОГРАВИТИРУЮЩИЕ ПОЛЕВЫЕ КОНФИГУРАЦИИ РАЗЛИЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

И ПРОБЛЕМА ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 1998

Оглавление

1. Введение 4

2. Квантовое скалярное поле на космологическом фоне 16

2.1. Расходимости и альтернативные вакуумные состояния ........ 16

2.1.1. Постулат квантования ...................... . 16

2.1.2. Расходимости ТЭИ вакуума........................................19

2.1.3. Адиабатический и ]У-волновой вычитательные методы .... 22

2.1.4. Структура локальных расходимостей..............................23

2.2. Регуляризация и перенормировка \ . .....................................25

2.2.1. Размерная регуляризация . . .......................................25

2.2.2. Метод Паули-Вилларса..............................................27

2.3. Некоторые особенности квантования в анизотропной Вселенной ... 30

2.4. Некоторые выводы ..........................................................33

3. Статические сферически-симметричные конфигурации 35

3.1. Частицеподобные решения в ОТО..........................................35

3.1.1. Основные понятия и соотношения ......... ........36

3.1.2. Скалярно-электровакуумные решения ...............42

3.1.3. Нелинейные и взаимодействующие поля. Теоремы несуществования ЧПР ......................................45

3.1.4. ЧПР с взаимодействующими скалярным и электромагнитным полями ................................................................48

3.1.5. Нелинейная калибровочно-неинвариантная электродинамика . 54

3.1.6. Некоторые замечания ..............................................57

3.2. Частицеподобные решения в релятивистской теории гравитации ... 58

3.2.1. Уравнения РТГ в случае сферической симметрии................58

3.2.2. Задачи Шварцшильда и Райснера-Нордстрема ..................60

3.2.3. Системы с Г/ + Т22 = 0. Задача Фишера..........................61

3.2.4. Решения с регулярным центром....................................62

3.3. Сферически-симметричные решения в И-мерной дилатонной гравитации ..........................................................................65

3.3.1. Уравнения поля и их решения......................................66

3.3.2. Общие свойства решения в..........................................72

3.3.3. Черные дыры, описываемые решением С..........................74

3.3.4. Черные дыры, описываемые решением Е..........................75

1 N

3.3.5. Т-горизонты..........................................................76

3.3.6. Теоремы несуществования..........................................78

3.4. Черные дыры в скалярно-тензорных теориях гравитации ....... 79

3.4.1. Горизонты в общей СТТ Бергмана-Вагонера .......... 81

3.4.2. Аналитическое продолжение в теории Бранса-Дикке ...... 83

3.4.3. Геометрия и причинная структура ЧД Бранса-Дикке ..... 84

3.4.4. Геодезические........................................................85

3.4.5. Структура типа В2..................................................89

4. Устойчивость сферически-симметричных конфигураций 90

4.1. Проблема устойчивости для некоторых решений ОТО..................90

4.1.1. Неустойчивость решений с линейными полями ..................90

4.1.2. Устойчивость некоторых частицеподобных решений............94

4.2. Устойчивость многомерных черных дыр..................................97

4.3. Устойчивость черных дыр в скалярно-тензорных теориях..............103

5. Конфигурации с пересекающимися р-бранами 108

5.1. Модель. Минисуперпространственное представление....................108

5.2. Общие свойства систем р-бран ....................... 112

5.2.1. Изотропные космологические модели ............... 113

5.2.2. Общие свойства статических сферически-симметричных конфигураций ............................................................114

5.2.3. Черные дыры: теоремы об "отсутствии волос" и о единственности времени........................................................115

5.3. Некоторые точные решения ................................................116

5.3.1. Ортогональные системы (ОС)......................................116

5.3.2. Блок-ортогональные системы (БОС)..............................117

5.3.3. Черные дыры ..............................................119

5.4. Кротовые норы ............................... 121

5.4.1. Условия существования кротовых нор ............................121

5.4.2. Лоренцевы кротовые норы и энергетические условия ..........122

5.4.3. Универсальные ограничения для систем jo-бран..................123

5.4.4. Евклидовы кротовые норы..........................................125

5.5. Примеры......................................................................126

6. Статические несферические конфигурации 129

6.1. Статические поля Эйнштейна-Максвелла с простейшими видами пространственной симметрии ..................................................129

6.1.1. Сферическая, плоская и псевдосферическая симметрии .... 129

6.1.2. Цилиндрическая симметрия........................................131

6.1.3. Анизотропный коллапс..............................................133

6.2. Статические распределения идеальной жидкости с цшшндрической, плоской, псевдоплоской симметриями......................................134

6.2.1. Уравнения и физические условия ..................................134

6.2.2. Решение с неопределенным уравнением состояния..............137

6.2.3. Идеальная жидкость с р = пр, п > 1 ............... 138

6.2.4. Решения с электромагнитным полем...................140

6.3. Пространства Вейля и кротовые норы в D-мерной эйнштейновской и

дилатонной гравитации......................................................142

6.3.1. Постановка задачи ..................................................142

6.3.2. Уравнения поля .......................... . 144

6.3.3. Аксиально-симметричные решения................................146

6.3.4. Монопольные решения в сплюснутых сфероидальных координатах ................................. 148

6.3.5. Параметры кротовых нор с кольцом ............... 150

6.3.6. Заключительные замечания.........................153

7. Нестатические модели со сверхжестким веществом: гравитационные и звуковые волны 155

7.1. Решение уравнений поля..............................155

7.2. Конечные возмущения статического цилиндра ..............157

7.3. Волны во Вселенной казнеровского типа ................. 159

8. Заключение 162

9. Приложение 165

А1. Теорема Биркгофа в многомерной гравитации ..........................165

А 1.1. Введение..............................................................165

А1.2. Теорема................................................................166

А1.3. Частные случаи .................................................168

А1.4. Некоторые замечания ........................ 169

А2. Некоторые свойства сферически-симметричных черных дыр ..... 172

А2.1. Тензор Римана и скаляр Кречмана...........................173

А2.2. Температура Хокинга и регулярность............................174

А2.3. Время распространения сигнала и регулярность................175

A3. Пространства с горизонтами и диаграммы Пенроуза ..................176

Литература 183

Глава 1. Введение

В данной диссертационной работе излагаются результаты исследований по теории гравитации, проведенных автором в течение последних 10-12 лет; включены также некоторые более ранние работы. Тематика исследований связана с решением конкретных модельных задач как общей теории относительности (ОТО), так и альтернативных метрических теорий гравитации в пространствах различной размерности с источниками в виде физических полей, в первую очередь скалярного поля; особое внимание уделяется проблеме устойчивости конфигураций.

Достижения современной астрофизики, связанные с наблюдением компактных космических объектов и анализом реликтового радиоизлучения — главного источника информации о свойствах ранней Вселенной, обусловливают актуальность теоретического анализа физических явлений в сильных гравитационных полях в различных теориях гравитации. Среди основных направлений такого анализа можно выделить: 1) поиск точных решений уравнений гравитационного поля с различными материальными источниками в различных теориях гравитации; 2) исследование метрических, причинных и топологических свойств точных решений, включая их устойчивость относительно малых или конечных возмущений; 3) исследование свойств квантовых полей, взаимодействующих с гравитацией, и 4) анализ квантовых свойств самого гравитационного поля. Первые три направления представлены в данной работе; особое внимание уделяется решениям в виде черных дыр и кротовых нор — предмету обсуждения многих статей, обзоров и монографий последних лет.

Одной из фундаментальных задач современной теоретической физики является объединение взаимодействий, включая гравитацию; современные теории объединения предполагают существование дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей, прежде всего скалярных и векторных, помимо метрического поля. Это, а также некоторые известные трудности, присущие общей теории относительности (ОТО) (проблема энергии гравитационного поля, неперенормируемость квантового варианта ОТО), привело к появлению целого ряда альтернативных ОТО теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, биметрических и т.д.. Возникает необходимость получения точных решений в альтернативных теориях, а также сравнения свойств точных решений различных теорий и их наблюдательных предсказаний, включая прямые наблюдательные след-

ствия многомерия. В данной диссертации рассматриваются гравитационные аспекты наиболее актуальных теорий объединения взаимодействий — суперструнных и супермембранных теорий, М-теории и их возможных обобщений.

С задачей объединения взаимодействий тесно связана задача исследования роли гравитации в физике частиц; поскольку современные теории большого объединения предсказывают существование частиц с массами, близкими к планковской, в их структуре гравитация должна играть важную, если не основную, роль. Актуальность поиска и исследования частицеподобных решений (ЧПР) систем нелинейных и взаимодействующих полей с учетом гравитационного поля определяется его нелинейностью, универсальностью, принципиальной невозможностью введения точечных объектов в метрических теориях гравитации. Более того, как показывают результаты исследований, учет гравитации принципиально важен независимо от ее силы, поскольку меняет сами условия существования ЧПР уравнений поля по сравнению с теорией, формулируемой лишь в пространстве Минковского. Возникают как дополнительные ограничения на выбор лагранжианов взаимодействия, так и, наоборот, некоторые новые возможности получения ЧПР, например, с неевклидовой топологией.

Особый интерес представляет проблема устойчивости решений классических уравнений поля: с одной стороны, устойчивость относительно малых возмущений дает критерий отбора модельных систем, способных описывать реально существующие астрофизические или микрофизические объекты; с другой стороны, анализ роста возмущений приводит к предсказанию характера и скорости эволюции реальных систем. Исследования устойчивости решений являются важной частью данной работы; в частности, рассмотрена устойчивость черных дыр со скалярными полями и ряда других конфигураций с физическими полями в ОТО, скалярно-тензорных теориях и в дилатонной гравитации, возникающей в низкоэнергетическом пределе суперструнных теорий.

Диссертация состоит из восьми глав и Приложения. Данная глава 1 носит вводный характер.

В главе 2 на основе работ [3, 85, 24, 25] обсуждается ряд принципиальных моментов квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, связанных с расчетом квантового среднего тензора энергии-импульса (ТЭИ) — величины, знание которой необходимо для постановки самосогласованных задач полуклассической теории гравитации. Анализ квантовых полей в сильных полях тяготения необходим прежде всего для описания процессов в ранней Вселенной, на субплан-ковском масштабе энергий, когда гравитационное поле еще может рассматриваться как классическое; несмотря на огромное количество публикаций, посвященных этому кругу проблем, остается ряд нерешенных вопросов принципиального характера, включая вопрос о выборе физического вакуумного состояния, обсуждаемый в диссертации. В качестве модели рассматривается свободное массивное скалярное поле в пространственно плоских космологических метриках. Используется формализм, в котором ТЭИ вычисляется прямым суммированием по модам. Этот способ наиболее результативен при вычислениях в конкретных моделях [40, 1, 59]. Рассматриваются проблемы, связанные с выбором вакуумного состояния квантового поля, эволюционирующего на фоне нестационарной метрики, и с перенормировкой расходящихся

выражений для ТЭИ.

В разделе 2.1 изложена схема квантования в изотропной метрике и обсуждается проблема выбора вакуума. Проведена классификация расходимостей квантового вакуумного ожидания ТЭИ (Т) при произвольном выборе вакуума. Показано, что в общем случае (если вакуум не принадлежит некоторому узкому классу состояний %) тензор (Г) содержит неперенормируемые расходимости [85, 24]. Из анализа их природы следует, что физический смысл имеют лишь состояния |0) £ Л. В этом случае {Т) содержит лишь локальные расходимости, обсуждением которых и ограничивается большинство работ.

В том же разделе кратко изложены стандартные эффективные методы практического расчета ТЭИ — адиабатическая и ТУ-волновая вычитательные процедуры [193, 42]; с их помощью вычисляется конечное вакуумное среднее оператора ТЭИ — так называемая поляризация вакуума скалярного поля, имеющего произвольный коэффициент связи £ с кривизной.

Смысл вычитаемых выражений, иначе говоря, структура локальных расходимостей и связанная с ней проблема перенормировки обсуждаются в разделе 2.2. В результате сравнения различных видов регуляризации и последующей перенормировки сделан вывод, что наиболее последовательным обоснованием вычитательных процедур является метод Паули-Вилларса в варианте, в котором вклады дополнительных полей могут учитываться отдельно в каждой моде.

В разделе 2.3 анализируются особенности квантования скалярного поля в анизотропных моделях Вселенной. В качестве примера рассматриваются модели I типа Бианки, в которых при максимальной формальной простоте полностью проявляются все проблемы физического происхождения, связанные с расчетом квантового среднего ТЭИ в нестационарных искривленных пространствах. Подтверждены выводы, сделанные при рассмотрении изотропных моделей; за счет последовательного анализа процедуры интегрирования по импульсам получено выражение для конечного перенормированного ТЭИ скалярного поля, при этом исправлена неточность, ранее допущенная в работе Хью [161], связанная с методикой интегрирования в анизотропном пространстве.

В разделе 2.4 обсуждаются результаты главы и сформулирован ряд выводов.

Глава 3 посвящена получению и исследованию статических сферически-симметричных решений уравнений гравитации с источниками в виде скалярных и векторных полей. Простейшими примерами таких решений являются, как известно, решения Шварцшильда и Райснера-Нордстрема в ОТО. В главе рассматриваются их обобщения, включающие скалярные поля различной природы, различные варианты самодействия и взаимодействия полей, а также модификациии решений ОТО в альтернативных теориях гравитации — релятивистской теории гравитации (РТГ) [45]—[47] и скалярно-тензорных теориях.

В разделе 3.1 излагается ряд результатов теории частицеподобных решений (ЧПР) в рамках ОТО для различных видов нелинейных и взаимодействующих скалярного (<£>) и безмассового векторного полей. Изложение начинается с анализа понятия ЧПР, которое включает требования регулярности системы полей во всем пространстве-времени и локализации ее энергии. Показано, что этим требованиям не удовлетворяют решения ОТО со свободными полями. Все решения с

минимально-связанным скалярным полем (¿>тш содержат голые сингулярности. Более разнообразно поведение решений ОТО с конформным скалярным полем ^рсоп{: возможны центральные и нецентральные голые сингулярности, а в частных случаях — черные дыры со скалярным зарядом и кротовые норы (единственный пример ЧПР в ОТО с линейными полями; впрочем, как следует из дальнейшего, эти ЧПР неустойчивы).

В общем виде (без получения точных решений) доказаны теоремы несуществования ЧПР для некоторых видов нелинейных и взаимодействующих полей в ОТО. Среди них, в частности, некоторые виды нелинейных скалярных полей (для которых справедливы известная теорема Розена и ее обобщение [31]) и произвольная нелинейная калибровочно-инвариантная электродинамика [11, 31].

Для некоторых видов нелинейных и взаимодействующих полей, не подпадающих под действие теорем несуществования, найдены и проанализированы общие решения в квадратурах; получены необходимые условия, которым должны удовлетворять лагранжианы материальных полей, чтобы было возможно существование ЧПР. Даны явные примеры таких ЧПР. Эти результаты получены для скалярного и векторного полей с индуцированными нелинейностями (лагранжианы взаимодействия вида /^^„Ф^) и ^"^ех^ 7 соответственно, где 3 — А^А^, Фи II — произвольные функции) и для нелинейной электродинамики с нарушенной калибровочной инвариантностью (лагранжиан взаимодействия ГаРРарХ(,1) + Ра13 Ра^АрА^У^), где X и У — произвольные функции).

Показано, что все ЧПР удовлетворяют ограничению От2 < <72 (т — масса, с[ — заряд). Модели с регулярным центром и двумя полями (гравитацион