Точные решения и свойства локальных конфигураций со скалярными полями в многомерных теориях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Фадеев Сергей Борисович

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ СО СКАЛЯРНЫМИ ПОЛЯМИ В МНОГОМЕРНЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена во Всероссийском научно-исследовательском институте метрологической службы (ВНИИМС).

Научный руководитель: д.ф.-м.н. В.Н. Мельников. Научный консультант: д.ф.-м.н. К.А. Бронников.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Владимиров Ю.С. кандидат физико-математических наук Гаврилов В.Р. .

Ведущая организация: Российский университет дружбы пародов

' Защита состоится " 2005 г. в & час.^йа

заседании диссертационного Совета К 308.001.01 при Всероссийском научно-исследовательском институте метрологической службы (ВНИИМС) по адресу: 119313, г. Москва, ул. М. Ульяновой, д.З, корн. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИМС по адресу: 119313, г. Москва, ул. М. Ульяновой, д.З, корп. 1.

Автореферат разослан "/¿7 " ЬССС&СС^- 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета к.ф.-м.н., с.н.с.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из фундаментальных задач совремсн-ной теоретической физики является объединение взаимодействий, включая гравитацию; современные теории объединения предполагают существование дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей, прежде всего скалярных и векторных, помимо метрического поля. Это, а также некоторые известные трудности, присущие общей теории относительности (ОТО) (проблема энергии гравитационного поля, пеперснормируемость квантового варианта ОТО), привело к появлению целого ряда альтернативных ОТО теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, биметрических и т.д.. Возникает необходимость получения точных решений и исследования качественных свойств конфигураций с различной симметрией в альтернативных теориях, их сравнения и между собой их наблюдательных предсказаний. Некоторые задачи такого рода рассматриваются в данной диссертации, в частности, гравитационные аспекты наиболее актуальных теорий объединения взаимодействий — супсрструнных и супермембранных теорий, М-теории и их возможных обобщений, а также широко обсуждаемых моделей мира на бране.

Дополнительные измерения стали необходимой составляющей в многочисленных попытках построения удовлетворительной теории объединения, включающей гравитацию. В настоящее время наибольшее распространение получили размерности 10 (суперструны) и 11 (М-теория), хотя в литературе встречаются попытки использования более высоких размерностей. Бозонный сектор таких теорий, как правило, содержит скаляры (дилатон-ные поля); эффективные скалярные поля (поля модулей) возникают при редукции размерности. Разнообразные скалярные поля используются в других областях теоретической физики и космологии: поля Голдстоуна и Хип'са в физике частиц, инфлатоны и скалярные модели темной энергии в космологии и т.д.. В связи с этим весьма важно знать возможные свойства самогравитиругощих конфигураций различных скалярных полей, и наибольший интерес представляют условия существования черных дыр со скалярными полями, а также солитонных или частиценодобных конфигураций.

Простейшее скалярное поле — безмассовое, минимально связанно« с гравитацией, однако в большинстве приложений необходимо рассматривать скалярные поля с потенциалами и с учетом взаимодействия с другими физическими полями, прежде всего электромагнитным. Следует заметить, что уравнения для самогравитирующих скалярных полей с нетривиальными потенциалами могут быть явно проинтегрированы лишь в весьма редких случаях, даже для систем с высокой симметрией, таких как изотропные модели в космологии и статические сферически-симметричные систем 1.1. В связи с этим большую ценность представляют общие выводы, или теоремы о свойствах подобных систем, которые могут быть получены без полного решения полевых уравнений. Некоторые такие теоремы для многомерных систем со скалярными нолями рассматриваются в данной работе.

Особый интерес представляет проблема устойчивости решений классических уравнений поля: с одной стороны, устойчивость относительно малых возмущений дает критерий отбора модельных систем, способных описывать реально существующие астрофизические или микрофизические объекты; с другой стороны, анализ роста возмущений приводит к предсказанию характера и скорости эволюции реальных систем. Исследования устойчивости решений являются важной частью данной работы; в частности, рассмотрена устойчивость черных дыр со скалярными полями и ряда других конфигураций с физическими полями в многомерной дилатонпой гравитации, возникающей в низкоэнсргетическом пределе суперструниых теорий.

Целью диссертации является поиск новых точных решений и ОТО и альтернативных теориях гравитации в пространствах различной раз мерности с источниками в виде скалярных полей различного характера; исследование метрических и причинных характеристик многомерных конфигураций со скалярными полями с различными потенциалами; анализ устойчивости решений уравнений поля относительно малых возмущений; поиск возможных наблюдательных проявлений дополнительных пространственно-временных измерений и низкоэнергетического приближения теорий объединения взаимодействий.

Научная новизна. В работах, лежащих в основе диссертации,

получен ряд новых статических сферически-симметричных решений уравнений гравитации, скалярного и электромагнитного полей в пространствах произвольной размерности в дилатонпой гравитации с несколькими

риччи-плоскими дополнительными пространствами, обобщающих решения Райснера-Нордстрема и Тангерлини; среди них выделено семейство решений, соответствующее дилатонным черным дырам;

впервые исследована устойчивость ряда сферически-симметричных решений уравнений многомерной дилатонной гравитации относительно монопольных возмущений; впервые доказана неустойчивость некоторых решений со скалярными полями; впервые доказана устойчивость многомерных дилатонных черных дыр типа Тангерлини относительно монопольных возмущений;

получено и исследовано новое семейство многомерных статических аксиально-симметричных решений, а также стационарное решение, обобщающее решение Ксрра;

впервые получено многомерное р-адическое обобщение решения Тангерлини с несколькими риччи-плоскими дополнительными пространствами;

впервые доказан ряд теорем, характеризующих свойства статических сферически-симметричных конфигураций скалярных полей с произвольными потенциалами в пространстве-времени с несколькими дополнительными фактор-пространствами, являющимися пространствами Эйнштейна;

введено новое понятие мира на бране с минимальной связью; для него установлены пределы применимости ряда теорем о свойствах статических сферически-симметричных конфигураций скалярных исшей с произвольными потенциалами, а также получено новое иятимерное решение, обобщающее известное решение, называемое "черной струной".

Научная и практическая ценность. Многие результаты — полученные н исследованные точные решения, доказанные теоремы, — не связаны с частными теоретическим моделями, а относятся к обобщенным теориям, содержащим произвольные функции (потенциалы) или наборы произвольных параметров — размерности фактор-пространств, константы связи. Такие результаты дополняют и улучшают существующее понимание природы и свойств гравитационного ноля в ОТО и ее многомерных обобщениях и его связи с другими физическими нолями.

Полученные точные решения и методы их нахождения могут быть использованы для построения новых моделей самогравитиругощих распределений нейтральной и заряженной материи с различными симметриями и космологических моделей. Доказанные теоремы, в особенности теоремы несуществования решений с определенными свойствами для некоторых классов конфигураций со скалярными полями, показывают, каких свойств

можно ожидать от еще не найденных решений полевых уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных школах-семинарах "Многомерная гравитация и космология" (Ярославль — 1994, Ульяновск — 2003) и "Основания гравитации и космологии" (Одесса — 1995), на Международных конференциях "Астрофизика и космология после Гамова" (Одесса - 1994, 2004), на Фридмановском международном семинаре по гравитации и космологии (С.-Петербург — 1993, 1996, 1998, Каржез (Франция) - 2004 ), на Всероссийских конференциях "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Пущино — 1993, Новгород — 1996, Владимир — 1999, Томск — 2002), на научных семинарах в МГУ, РУДП, В1ШИМС, в ряде университетов в Германии, Бразилии, Южной Корее.

Публикации. Диссертация написана на основе 14 работ автора, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (гл. 1), пяти глав основного текста, заключения (гл. 7), приложения и списка цитируемой литературы, включающего 103 наименования. Объем диссертации составляет 83 страницы текста, набранного в издательской системе ЬаТеХ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 — введение — содержит мотивировку исследований, вошедших в состав диссертации, и описание ее структуры.

В главе 2 рассматриваются точные статические сферически-симметричные решения уравнений скалярного и гравитационного полей при произвольной размерности (Л + 1) координатных сфер (орбит группы пространственных вращений), в духе обобщения Тангерлини метрики Шварцшильда, с целью по возможности полно уяснить роль размерности 4 в формировании физических свойств пространства-времени. Раздел 2.1 посвящен простейшему многомерному обобщению вакуумного решения Тангерлини. В разделе 2.2 рассматривается аналогичное решение при постановке задачи с более общим числовым нолем, нежели поле вещественных чисел — с р-адическими числами. Интерес к моделям с этими числами связан с работами по р-адическим струнам и их возможной роли в космологии ранней Вселенной (работы Воловича, Фройида и др.). В разделе 2.3 получено и обсуждается наиболее общее статическое сферически-симметричное решение в дилатонной гравитации с электрическим зарядом и произвольным значением константы связи А дилатонного моля с калибровочным. Выделено семейство решений, соответствующее заряженной дилатонной черной дыре.

Глава 3 посвящена исследованию устойчивости статических решений, полученных в разделе 2.3, относительно сферически-симметричных (монопольных) возмущений. В разделе 3.1 дана постановка задачи и сформулированы граничные условия, соответствующие минимальному требованию непротиворечивости схемы возмущений. Раздел 3.2 содержит расчет э({>-фектпвного потенциала и его асимптотик в случае расщепляющихся уравнений для возмущений, а также поведение их решений на пространственной асимптотике и вблизи центра и в области сильного поля. Наконец, в разделе 3.3 сформулированы основные выводы из исследования устойчивости: устойчивыми в линейном приближении оказываются только решения типа черных дыр.

В главе 4 рассматриваются статические аксиально-симметричные поля » вакууме в пространстве 4+М измерений. Получено решение вейлевского типа, с зависимостью от двух гармонических функций двух переменных. Раздел 4.4 содержит рассмотрение стационарных аксиально-симметричных полей в вакууме в пространстве 4 + N измерений; дано многомерное обоб-

щение решения Керра.

В главе 5 исследуются статические сферически-симметричные конфигурации со скалярными полями сигма-модельного типа с произвольными потенциалами в пространстве D измерений, включая пространства-времена с несколькими внутренними фактор-пространствами, причем последние предполагаются пространствами Эйнштейна, не обязательно риччи-плоскими, причем возникающий эффективный потенциал содержит вклады от их кривизн. Полученные результаты обобщают известные в ОТО:

(A) теоремы типа "no-hair" о несуществовании, в случае V > 0, асимптотически плоских черных дыр с переменными скалярными полями или полями модулей вне горизонта событий;

(B) обобщенную теорему Розена, утверждающую, что частицеподобное решение (ЧГ1Р) (т.е. асимптотически плоское решение с регулярным центром) с положительной массой невозможно при V > 0;

(C) теорему несуществования регулярных решений без центра (например, кротовых нор);

(D) теорему о глобальной структуре, утверждающую, что список возможных типов глобальной причинной структуры пространства-времени (и соответствующие диаграммы Картера-Пенроуза) для конфигураций с произвольными потенциалами V(<p) и с любой пространственной асимптотикой не отличается от аналогичного списка в случае tp = const, а именно, имеются структуры: Минковского (или ЛдС), Шпарцшильда, де Ситтера и Шварцшильда — де Ситтера.

Результаты применимы к различным теориям типа Калуцы-Клейпа, супергравитациям и струнным моделям с несколькими дилатонными полями и полями модулей.

В главе 6 рассматривается другой вид многомерных конфигураций j

— модели мира на бране типа второй модели Рендалл-Сундрума. Исследуются модифицированные уравнения Эйнштейна, справедливые для четырехмерного поля тяготения на бране, для статических сферически-симметричных конфигураций скалярных полей с произвольными потенциалами V((f>) в отсутствие других видов материи, и делается попытка распространить те же теоремы, что рассматривались в главе 5, на модели мира на бране. Показано, что некоторые из этих теорем могут нарушаться, но только при плотностях энергии и давлениях скалярного поля, на мпо-

го порядков превышающих плотность энергии ядерной материи. Таким образом, как в земных, так и в известных астрофизических условиях все указанные теоремы остаются справедливыми.

В главе 7 — заключении — формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получено многомерное статическое сферически-симметричное решение для поля электрически заряженного источника, обобщающее решения Райснера-Нордстрема и Тангерлини в рамках многомерной ОТО и дилатонной гравитации, в присутствии цепочки риччи-плоских дополнительных пространств, при произвольном значении дилатонной константы связи. Новое решение содержит полный набор констант интегрирования. В общем решении выделено двухпараметрическое семейство решений, описывающих дилатонные черные дыры.

2. Показано, что решения в виде многомерных дилатонных черных дыр устойчивы относительно монопольных возмущений, тогда как дру-

I гие сферически-симметричные решения, содержащие голую сингулярность, катастрофически неустойчивы.

3. Получено р-адическое обобщение решения Тангерлини для пространств произвольной размерности с цепочкой Риччи-плоских дополнительных пространств.

4. Получено стационарное акеиалыю-симметричнос решение, обобщающее решение Корра, для пространства 4 + N измерений, с риччи-нлоским дополнительным пространством.

5. Получено обобщение некоторых известных в ОТО теорем запрета на статические сферически-симметричные конфигурации со скалярными полями сигма-модельного тина с произвольными потенциалами в пространстве И измерений, включая пространства-времена с несколькими внутренними фактор-пространствами; последние предполагаются пространствами Эйнштейна, не обязательно риччи-плоскими. В число доказанных обобщенных теорем входят: (А) теоремы типа"ио-Ьа1г" о несуществовании, в случае V > 0, асимптотически плоских черных дыр с переменными скалярными полями или полями модулей

une горизонта событий; (В) обобщенная теорема Розена, утверждающая, что частицеподобное (т.е. асимптотически плоское с регулярным центром) решение с произвольной массой невозможно при V > 0; (С) теорема несуществования регулярных решений без центра (например, кротовых нор); (D) теорема о глобальной структуре, утверждающая, что список возможных типов глобальной причинной структуры пространства-времени с произвольными потенциалами V{tp) и любыми пространственной асимптотикой не отличается от аналогичного списка в случае </э = const, а именно, имеются структуры: Минков-ского (или АдС), Шварцшильда, де Ситтера и Шварцшильда ~ дс Ситтера.

6. Введено понятие мира на бране с минимальной связью как специального типа моделей мира на бране типа второй модели Рендалл-Сундрума. Установлены условия, при которых указанные в предыдущем пункте теоремы остаются справедливыми для сферически-симметричных конфигураций скалярных полей с произвольными потенциалами в мире на бране с минимальной связью. Показано, что некоторые из этих теорем могут нарушаться, но только при плотностях энергии и давлениях скалярного поля, на много порядков превышающих плотность энергии ядерной материи.

7. Для моделей мира на бране с минимальной связью получен класс вакуумных решений, охватывающих как брану, так и 5-объем, и обобщающих известное решение Хокинга и др., называемое черной струной. В этих решениях метрика на бране представляет собой метрику Шварцшильда-(анти-)де Ситтера.

OciioituMe результаты диссертации опубликованы в следующих роботах:

1. Инатук В.Д., Мельников В.Н., Фадеев С.Б., Точные решения в многомерной р-адичсской гравитации // Труды Всесоюзной конф. но гравитации к калибровочной теории, Якутск, 1990, с. 24.

2. Инатук В.Д., Мельников В.Н., Фадеев С.В., Мерные дыры в многомерной теории с риччи-нлоскими внутренними пространствами // Известия вузов, Физика, N 9, 62-65 (1991).

3. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D. and Melnikov V.N., Variations of constants and exact solutions in multidimensional gravity // In: "Gravitation and Modern Cosmology", Plenum Publ., NY, 1991, p. 41-49.

4. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D. and Melnikov V.N., On charged black holes in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces // Chinese Phys. Lett. 8 439-441 (1991).

5. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D. and V.N. Melnikov, On black holes in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces // Phys. Le.il. A 161, 0S-100 (1391).

6. Инащук В.Д., Мельников В.II., Фадеев С.Б., О q-деформацин решения Казнер // и сб. "Проблемы теоретической и экспериментальной гравитации", изд-во БГУ, Минск, 1992, с. 60.

7. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D. and V.N. Melnikov, On a generalization of the Reissncr-Nordstrom solution with Ricci-flat internal spaces // Proc. 6th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, World Scientific, Singapore, 1992, Part A, p. 697.

8. Инатук В.Д., Мельников B.H., Фадеен С.В., Сферически-симметричной решение уравнений Эйшитеина-Макспелла с риччи-плоскими внутренними пространстпами // Известия вуяов, Физика, 10,113-114 (1994).

9. Шеуег U,, Bronnikov К.A., Fadeev S.B. and Melnikov V N., On black hole stability in multidimeiibionai gravity // Preprint A1P-94-01, Potsdam 1994; gr-qc/9405021; Astron. Nachr., 315, 6, 399-408 (1994).

10. Мельников В.П., Радынов А.Г., Фадеев С.В., Обобщенное решение Керра // Известия вузов, Физика, 7, 15-20 (1995).

П. Bronnikov К.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., Scalar fields in multidimensional gravity. No-hair and other no-go theorems // gr-qc/0212065; Gen. Rel. Grav. 35, 4, 505-525 (2003).

12. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., Scalar fields in a minimally coupled brane world: no-hair and other no-go theorems // gr-qc/0301106; Int. J. Mod. Phys. 13, 4, 593-606 (2004).

13. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., Minimally coupled brane worlds and scalar fields // Grav. & Cosmol 9, 3 (35), J 76-182 (2003).

14. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., On spherically symmetric minimally coupled brane worlds // Gen. Rel. Grav. 3fi„ 7, 1526-1536 (2004).

I

Подписано в печать 20.04.2005 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 усл.п.л.

Тираж 100 экз. Заказ № 291. Отпечатано ООО «Эльф ИПР» 127018, Москва, Сущевский вал, 49.

РНБ Русский фонд

2007-4 9260

V

, АС' г'Л' ^

09 шит

1 Введение

2 Многомерные сферически-симметричные конфигурации

2.1. Обобщенное решение Тангерлини [25, 24].

2.2. р-адическое обобщение решения Тангерлини.

2.3. Сферически-симметричные решения в D-мерной дилатонной гравитации. Черные дыры.

3 Анализ устойчивости сферически-симметричных конфигураций

3.1. Постановка задачи. Граничные условия

3.2. Эффективный потенциал и асимптотические решения. Выводы

4 Вакуумные аксиально-симметричные поля в многомерной гравитации

4.1. Уравнения поля в статическом случае

4.2. Статические монопольные решения.

4.3. Решение типа кротовой норы.

4.4. Многомерное обобщение решения Керра [32].

5 Скалярные поля в многомерной гравитации. Теоремы "No-hair" и другие теоремы запрета

5.1. Вводные замечания.

5.2. Сферически-симметричные системы в D-мерной ОТО с а-модельным источником.

5.2.1. Основные уравнения

5.2.2. Теоремы о глобальной структуре.

5.2.3. Теоремы "no-hair".

5.2.4. Два выражения для массы и свойства частицеподобных решений

5.3. Теории с несколькими фактор-пространствами.

5.3.1. Редукция.

5.3.2. Обобщенные теоремы запрета.

6 Скалярное поле в минимально-связанном мире на бране. Теоремы "No-hair" и другие теоремы запрета

6.1. Введение.

6.2. Уравнения поля и законы сохранения.

6.3. Теоремы запрета.

6.3.1. Теорема о причинной структуре.

6.3.2. Теоремы, не выполняющиеся в мире на бране.

6.3.3. Теоремы "no-hair".

6.3.4. Численные оценки.

6.4. Поиск геометрии 5-объема, соответствующей минимально-связанному миру на бране.

6.4.1. Конформно-плоский 5-объем.

6.4.2. 5-объем с нулевым тензором

Одной из фундаментальных задач современной теоретической физики является объединение взаимодействий, включая гравитацию; современные теории объединения предполагают существование дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей, прежде всего скалярных и векторных, помимо метрического поля. Это, а также некоторые известные трудности, присущие общей теории относительности (ОТО) (проблема энергии гравитационного поля, неперенормируе-мость квантового варианта ОТО), привело к появлению целого ряда альтернативных ОТО теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, биметрических и т.д. Возникает необходимость получения точных решений и исследования качественных свойств конфигураций с различной симметрией в альтернативных теориях, их сравнения и между собой их наблюдательных предсказаний. Некоторые задачи такого рода рассматриваются в данной диссертации, в частности, гравитационные аспекты наиболее актуальных теорий объединения взаимодействий — суперструнных и супермембранных теорий, М-теории и их возможных обобщений, а также широко обсуждаемых моделей мира на бране.

Дополнительные измерения стали необходимой составляющей в многочисленных попытках построения удовлетворительной теории объединения, включающей гравитацию.- В настоящее время наибольшее распространение получили размерности 10 (суперструны) и 11 (М-теория), хотя в литературе встречаются попытки использования более высоких размерностей. Бозонный сектор таких теорий, как правило, содержит скаляры (дилатонные поля); эффективные скалярные поля (поля модулей) возникают при редукции размерности. Разнообразные скалярные поля используются в других областях теоретической физики и космологии: поля Голдстоуиа и Хиггса в физике частиц, инфлатоны и скалярные модели темной энергии в космологии и т.д. В связи с этим весьма важно знать возможные свойства самогравитирующих конфигураций различных скалярных полей, и наибольший интерес представляют условия существования черных дыр со скалярными полями, а также солитонных или части-цеподобных конфигураций.

Простейшее скалярное поле — безмассовое, минимально связанное с гравитацией, однако в большинстве приложений необходимо рассматривать скалярные поля с потенциалами и с учетом взаимодействия с другими физическими полями, прежде всего электромагнитным. Следует заметить, что уравнения для самогравитирующих скалярных полей с нетривиальными потенциалами могут быть явно проинтегрированы лишь в весьма редких случаях, даже для систем с высокой симметрией, таких как изотропные модели в космологии и статические сферически-симметричные системы. В связи с этим большую ценность представляют общие выводы, или теоремы о свойствах подобных систем, которые могут быть получены без полного решения полевых уравнений. Некоторые такие теоремы для многомерных систем со скалярными полями рассматриваются в данной работе.

Особый интерес представляет проблема устойчивости решений классических уравнений поля: с одной стороны, устойчивость относительно малых возмущений дает критерий отбора модельных систем, способных описывать реально существующие астрофизические или микрофизические объекты; с другой стороны, анализ роста возмущений приводит к предсказанию характера и скорости эволюции реальных систем. Исследования устойчивости решений являются важной частью данной работы; в частности, рассмотрена устойчивость черных дыр со скалярными полями и ряда других конфигураций с физическими полями в многомерной дилатонной гравитации, возникающей в низкоэнергетическом пределе суперструниых теорий.

Первые многомерные обобщения ОТО появились уже в двадцатые годы XX века. Отметим, что одним из естественных следствий таких моделей является возможная переменность фундаментальных физических констант, прежде всего — ньютоновской постоянной тяготения G, за счет появления в эффективной четырехмерной теории скалярных полей, взаимодейст вующих с метрикой. Таким образом, многомерные теории дали естественный способ обоснования известной "гипотезы больших чисел" Дирака [1], согласно которой известные совпадения больших безразмерных величин, характеризующих реальную Вселенную, объясняются переменностью по меньшей мере некоторых фундаментальных констант.

В пионерской работе Т. Калуцы [2] и последующей работе О. Клейна [3] рассматривалась 5-мерная модель, объединяющая гравитационное и электромагнитное взаимодействия. В этой модели компонента метрики д55 полагалась постоянной, что влекло G = const. Однако П. Йордан предложил отказаться от требования <755 = const, в итоге получилась теория с дополнительным скалярным полем G. В работе П. Йордана и последующих работах И. Тири, К. Юста, Г. Людвига и других авторов исследовались физические возможности 5-мерной теории с новым скалярным полем. Была сделана попытка обосновать посредством скалярного поля гипотезу Дирака о возможном изменении гравитационной постоянной со временем. Тогда же было рассмотрено взаимодействие скалярного поля с обычными видами материи, найдены первые сферически-симметричные и космологические решения скалярно-тензорной теории гравитации.

Несколько позже К. Бранс и Р. Дикке [4], отказавшись от пятимерной теории Калуцы-Клейна-Йордана, предложили теорию со скалярным полем, не связанным геометрическими рамками. В этой теории скалярное поле связано с "гравитационной постоянной" определенным соотношением. В рамках теории Бранса-Дикке (или Йордана-Бранса-Дикке) исследован широкий круг задач и гипотез. В работе [5] получено точное сферически-симметричное вакуумное решение, рассматривались космологические решения с материей.

В 70-х годах интерес к многомерным теориям возрос главным образом в связи с развитием теории калибровочных полей Янга-Миллса. Построение С. Вайнбергом и А. Саламом теории электрослабых взаимодействий, исследования по квантовой хромодинамике, а также построение теорий большого объединения, включающих и сильное взаимодействие, стимулировали интерес к неабелеву обобщению теории Калуцы-Клейна. При этом оказалось, что в такой обобщенной теории калибровочная группа совпадает с группой изометрий компактного внутреннего пространства. В настоящее время удалось построить ряд реалистичных моделей грави-электросильных и грави-электрослабых взаимодействий [6].

Второй причиной, по которой многомерные теории упрочили свой статус в современной теоретической физике, следует назвать развитие исследований по суперсимметричным теориям и супергравитации. Интерес к суперсимметричным моделям связан главным образом со значительным (и в ряде случаев полным) сокращением расходимостей в этих моделях. С этой точки зрения наиболее привлекательны модели с расширенной суперсимметрией N > 1 (N - число дополнительных грас-смановских переменных). Однако, как оказывается, ряд перспективных 4-мерных моделей супергравитации с расширенной суперсимметрией (например, N = 8) могут быть получены размерной редукцией из многомерных моделей супергравитации с N = 1.

Это направление получило дальнейшее развитие в серии работ, использующих в качестве основного фундаментального объекта струну, или суперструну [7]. Бозонная часть низкоэнергетического предела теории струн известна как D-мерная дилатон-ная (точнее, дилатон-аксионная) гравитация. Данное обстоятельство мотивировало большое количество исследований ее решений и предсказаний, причем особое внимание уделяется свойствам черных дыр (см. напр. [8, 9] и приведенные там ссылки). Другая представляющая интерес проблема, в частности, в теории струн, — возможные эффекты и проявления многомерия как такового. Один из способов учета этих эффектов — рассмотрение масштабных факторов дополнительных измерений в качестве отдельных динамических переменных, как это делается, в частности, в работах [10]—[16]. В данной работе используется этот же подход.

Мы исходим в общем случае из действия где дми — .D-мерная метрика, Dg = Ч> — дилатонное скалярное поле и F2 = FmnFmni F = dU — абелево калибровочное поле, интерпретируемое как электромагнитное. Как указывается в [17], непосредственное введение электромагнитного поля в многомерное действие может показаться менее эстетичным, чем чисто гравитационное (эйнштейновское) действие, обычно используемое в теориях Калуцы-Клейна, однако элементарные калибровочные поля представляются необходимыми для построения реалистической теории большого объединения.

Теоретико-полевой предел струнной теории соответствует частному значению константы связи А = Astring = ±(-D — 2)-1/2 [7, 15]. Однако мы сохраняем произвольность А, чтобы охватить более широкий спектр возможных теорийб например, различные варианты теорий типа Калуцы-Клейна [6]. Значение А = 0, очевидно, соответствует jD-мерной (в частности, 4-мерной) ОТО с минимально-связанным скалярным полем.

Соответствующие полевые уравнения имеют вид

1.1)

1.2)

1.3)

1.4) где Тд/дг — тензор энергии-импульса:

TMN = <PM<PN ~ \gMN<pAVA + e™v[-2F&FNA + ^gMNFABFAB). (1.5) 1

Заглавные латинские индексы пробегают значения от 0 до D — 1. Выберем D-мерное многообразие со структурой п

М = M(3+d) х Mi х • • • х Mn; dim М{ = Nf, D = 3 + d + J2Ni> (L6) i) с сигнатурой (+, —,.,—), где играет роль обычного пространства-времени, a Mj — риччи-плоские компактные конфигурации с метриками c/s?, г = 1 , • • • ,п.

Главы 2-4 данной диссертации посвящены получению и исследованию свойств сферически-симметричных и аксиально-симметричных решений указанных полевых уравнений в пространствах со структурой (1.6).

В главе 2 рассматриваются точные статические сферически-симметричные решения уравнений поля (1.2)—(1.4) при произвольной размерности (d+1) координатных сфер (орбит группы пространственных вращений), в духе обобщения Тангерлини [18] метрики Шварцшильда, в надежде по возможности точно уяснить роль четы-рехмерности физического пространства-времени. Раздел 2.1 посвящен простейшему многомерному обобщению вакуумного решения Тангерлини. В разделе 2.2 рассматривается аналогичное решение при постановке задачи с более общим числовым полем, нежели поле вещественных чисел - с р-адическими числами. Интерес к моделям с этими числами связан с работами по р-адическим струнам и их возможной роли в космологии ранней Вселенной [19, 20]. В разделе 2.3 получено и обсуждается наиболее общее статическое сферически-симметричное решение в дилатонной гравитации (1.1) с электрическим зарядом и произвольным значением константы связи А ди-латонного поля с калибровочным. Выделено семейство решений, соответствующее заряженной дилатонной черной дыре.

Глава 3 посвящена исследованию устойчивости статических решений, полученных в разделе 2.3, относительно сферически-симметричных (монопольных) возмущений. В разделе 3.1 дана постановка задачи и сформулированы граничные условия, соответствующие минимальному требованию непротиворечивости схемы возмущений. Раздел 3.2 содержит расчет эффективного потенциала и его асимптотик в случае расщепляющихся уравнеий для возмущений, а также характеристику поведения их решений на пространственной асимптотике и в области сильного поля. Наконец, в разделе 3.3 сформулированы основные выводы из исследования устойчивости: устойчивыми в линейном приближении оказываются только решения типа черных дыр.

В главе 4 рассматриваются статические аксиально-симметричные поля в вакууме в пространстве 4 + N измерений. Получено решение вейлевского типа, с зависимостью от двух гармонических функций двух переменных. Раздел 4.2 содержит рассмотрение стационарных аксиально-симметричных полей в вакууме в пространстве 4 + N измерений; дано многомерное обобщение решения Керра.

В главе 5 исследуются статические сферически-симметричные конфигурации со скалярными полями сигма-модельного типа с произвольными потенциалами в пространстве D измерений, включая пространства-времена с несколькими внутренними фактор-пространствами, причем последние предполагаются пространствами Эйнштейна, не обязательно риччи-плоскими, и возникающий в результате эффективный потенциал содержит вклады от их кривизн. Полученные результаты обобщают известные в ОТО:

A) теоремы типа "no-hair" о несуществовании, в случае V > О, асимптотически плоских черных дыр с переменными скалярными полями или полями модулей вне горизонта событий;

B) обобщенную теорему Розена [21], утверждающую, что частицеподобное решение (ЧПР) (т.е. асимптотически плоское решение с регулярным центром) с положительной массой невозможно при V > 0;

C) теорему несуществования регулярных решений без центра (например, кротовых нор) [22];

D) теорему о глобальной структуре [22], утверждающую, что список возможных типов глобальной причинной структуры пространства-времени (и соответствующие диаграммы Картера-Пенроуза) для конфигураций с произвольными потенциалами V((p) и с любой пространственной асимптотикой не отличается от аналогичного списка в случае <р = const, а именно, имеются структуры: Мин-ковского (или АдС), Шварцшильда, де Ситтера и Шварцшильда — де Ситтера.

Результаты применимы к различным теориям типа Калуцы-Клейна, супергравитациям и струнным моделям с несколькими дилатонными полями и полями модулей.

В главе б рассматривается другой вид многомерных конфигураций — модели мира на бране типа второй модели Рендалл-Сундрума [23]. Исследуются модифицированные уравнения Эйнштейна, справедливые для четырехмерного поля тяготения на бране, для статических сферически-симметричных конфигураций скалярых полей с произвольными потенциалами V(^) в отсутствие других видов материи, и делается попытка распространить те же теоремы, что рассматривались в главе 5, на модели мира на бране. Показано, что некоторые из этих теорем могут нарушаться, но только при плотностях энергии и давлениях скалярного поля, на много порядков превышающих плотность энергии ядерной материи. Таким образом, как в земных, так и в наблюдаемых до настоящего времени астрофизичесвких условиях все указанные теоремы остаются справедливыми.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [25]-[36].

Глава 2

Многомерные сферически-симметричные конфигурации

Основные результаты работы опубликованы в статьях [24]-[36].

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в ддиссертации.

1. Получено многомерное статическое сферически-симметричное решение для поля электрически заряженного источника, обобщающее решения Райснера-Нордстрема и Тангерлини в рамках многомерной ОТО и дилатонной гравитации, в присутствии цепочки риччи-плоских дополнительных пространств, при произвольном значении дилатонной константы связи. Новое решение содержит полный набор констант интегрирования. В общем решении выделено двухпа-раметрическое семейство решений, описывающих дилатонные черные дыры.

2. Показано, что решения в виде многомерных дилатонных черных дыр устойчивы относительно монопольных возмущений, тогда как другие сферически-симметричные решения, содержащие голую сингулярность, катастрофически неустойчивы.

3. Получено р-адическое обобщение решения Тангерлини для пространств произвольной размерности с цепочкой Риччи-плоских дополнительных пространств.

4. Получено семейство статических вакуумных аксиально-симметричных решений вейлевского типа, с зависимостью от двух гармонических функций двух переменных, в пространстве 4 + N измерений, с риччи-плоским дополнительным пространством.

5. Дана интерпретация семейства монопольных аксиально-симметричных вакуумных многомерных конфигураций в терминах кротовых нор. Дан анализ поведения их метрики вблизи кольцевой сингулярности.

6. Получено стационарное аксиально-симметричное решение, обобщающее решение Керра, для пространства 4 + N измерений, с риччи-плоским дополнительным пространством.

7. Получено обобщение некоторых известных в ОТО теорем запрета на статические сферически-симметричные конфигурации со скалярными полями сигма-модельного типа с произвольными потенциалами в пространстве D измерений, включая пространства-времена с несколькими внутренними фактор-пространствами; последние предполагаются пространствами Эйнштейна, не обязательно риччи-плоскими. В число доказанных обобщенных теорем входят: (А) теоремы типа "no-hair" о несуществовании, в случае V > 0, асимптотически плоских черных дыр с переменными скалярными полями или полями модулей вне горизонта событий; (В) обобщенная теорема Розена, утверждающая, что частицеподобное (т.е. асимптотически плоское с регулярным центром) решение с произвольной массой невозможно при V > 0; (С) теорема несуществования регулярных решений без центра (например, кротовых нор); (D) теорема о глобальной структуре, утверждающая, что список возможных типов глобальной причинной структуры пространства-времени с произвольными потенциалами V(ip) и любыми пространственной асимптотикой не отличается от аналогичного списка в случае ip = const, а именно, имеются структуры: Минковского (или АдС), Шварцшильда, де Ситтера и Шварцшильда — де Ситтера.

8. Установлены условия, при которых указанные в предыдущем пункте теоремы остаются справедливыми для сферически-симметричных конфигураций скалярных полей с произвольными потенциалами в классе пятимерных моделей мира на бране типа второй модели Рендалл-Сундрума [23]. Показано, что некоторые из этих теорем могут нарушаться, но только при плотностях энергии и давлениях скалярного поля, на много порядков превышающих плотность энергии ядерной материи.

9. Введено понятие мира на бране с минимальной связью, и для него получен класс вакуумных решений, охватывающих как брану, так и 5-объем и обобщающих известное решение Хокинга и др., называемое черной струной. В этих решениях гравитационное поле на бране описывается метрикой Шварцшильда-(анти-)де Ситтера.

1. P.A.M. Dirac, Nature 139,323 (1937); Proc. Roy. Soc. bond. A 165, 199 (1938).

2. Kaluza Т., "Zum Unitatsproblem der Physik", Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin Phys. Math., Kl, 33, 966-972 (1921).

3. Klein 0., "Quantentheorie und fiinfdimensionale Relativitatstheorie", Z. Phys. 37, 895-906 (1926).

4. Brans C., Dicke R.H., "Mach's principle and a relativistic theory of gravitation", Phys. Rev. D 124, 3, 925-935 (1961).

5. Brans C., Phys. Rev. 125, 2194 (1962).

6. Владимиров Ю.С., "Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий", изд-во МГУ, Москва, 1987.

7. Green М., Schwarz I. and Witten Е., "Superstring Theory", Cambridge Univ. Press, 1986.

8. R. Kallosh and T. Ortin, Phys. Rev. D 48, 742 (1993).

9. Galtsov D.V. and Kechkin O., Phys. Rev. D 50, 7394 (1994).

10. Bronnikov K.A., "Charged black holes and multidimensional gravity", Ann. der Phys. 48, 8, 527-534 (1991).

11. Бронников К.А., "Заряженные черные дыры и дополнительные измерения", Известия вузов, Физика (1991), N 7, 24-28 (1991).

12. Бронников К.А., Мельников В.Н., "О черных дырах в многомерной гравитации", В сб.: серия "Итого науки и техники", подсерия "Классическая теория поля и теория гравитации", т. 4, стр. 67-88, ВИНИТИ, Москва, 1991.

13. K.A. Bronnikov, "Extra dimensions and possible space-time signature changes", Int. J. Mod. Phys. D, 4, 491-516 (1995).

14. Bronnikov K.A., "Spherically symmetric solutions in D-dimensional dilaton gravity", Grav. & Cosmol. 1, 67-76 (1995).

15. Shiraishi K., "Quantum effects near charged dilaton black holes", Mod. Phys. Lett. A 7, 3569-3574 (1992).

16. Cadoni M. and Mignemi S., "Dilatonic black holes in theories with moduli fields", Phys. Rev. D 48, 5536-5541 (1993).

17. Myers R., "Higher-dimensional black holes in compactified space-times", Phys. Rev. D 35, 2, 455-466 (1987).

18. Tangherlini F.R., Nuovo Cim. 27, 636 (1963).

19. Freund P.G.O. and Olson M., Phys. Lett. 199B, 186 (1987).

20. Volovich I.V., Class. Quant. Grav. 4, 183 (1987).

21. Bronnikov K.A., "Spherically symmetric false vacuum: no-go theorems and global structure", gr-qc/0104092; Phys. Rev. D 64, 064013 (2001)

22. Randall L. and Sundrum R., "An alternative to compactification", Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999), hep-ph/9906064.

23. Иващук В.Д., Мельников B.H. Фадеев С.Б., "Черные дыры в многомерной теории с риччи-плоскими внутренними пространствами", Известия вузов, Физика, N 9, 62-65 (1991).

24. Иващук В.Д., Мельников В.Н. Фадеев С.В., "Точные решения в многомерной р-адической гравитации", Труды Всесоюзной конф. по гравитации и калибровочной теории, Якутск, 1990.

25. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D. and Melnikov V.N., "On charged black holes in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces", Chinese Phys. Lett. 8 439-441 (1991).

26. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D. and Melnikov V.N., "On black holes in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces", Phys. Lett. A 161, 98-100 (1991).

27. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., "O q-деформации решения Казне-pa", в сб. "Проблемы теоретической и экспериментальной гравитации", изд-во БГУ, Минск, 1992, стр. 60.

28. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. "On a generalization of the Reissner-Nordstrom solution with Ricci-flat internal spaces", Proc. 6th Marcel Grossman Meeting on GR, World Scientific, Singapore, 1992, Part A, p. 697.

29. Иващук В.Д., Мельников B.H., Фадеев С.Б., "Сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла с риччи-плоскими внутренними пространствами", Известия вузов, Физика, 10, 113-114 (1994).

30. Bleyer U., Bronnikov К.А., Fadeev S.B. and Melnikov V.N., On black hole stability in multidimensional gravity, gr-qc/9405021; Astron. Nachr. 315, 6, 399-408 (1994).

31. Мельников B.H., Радынов А.Г., Фадеев С.Б., Обобщенное решение Керра, Известия вузов, Физика, N 7, 15-20 (1995).

32. Bronnikov К.A., Fadeev S.B. and A.V. Michtchenko, "Scalar fields in multidimensional gravity. No-hair and other no-go theorems", gr-qc/0212065; Gen. Rel. Grav. 35, 4, 505-525 (2003).

33. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., "Scalar fields in a minimally coupled brane world: no-hair and other no-go theorems", gr-qc/0301106; Int. J. Mod. Phys. 13, 4, 593-606 (2004).

34. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., "Minimally coupled brane worlds and scalar fields", Grav. & Cosmol. 9, 3 (35), 176-182 (2003).

35. Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Michtchenko A.V., "On spherically symmetric minimally coupled brane worlds", Gen. Rel Grav. 36,, 7, 1526-1536 (2004).

36. Бронников К.А., Иващук В.Д., "Черные дыры и дополнительные измерения", Тезисы 7 Советской гравитационной конференции, Ереван, ЕГУ, 1988, с. 156157.

37. Koblitz N., "p-adic Analysis and Zeta Functions", Springer, Berlin, 1977.

38. Arefeva I., Dragovich В., Frampton P. and Volovich I.V., "Wave Function of the Universe and p-adic gravity". MIAN preprint, 1990.

39. Mahler K., "Introduction to jo-adic Numbers and Their Functions", Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1973.

40. Bronnikov K.A., "Scalar-tensor theory and scalar charge", Acta Phys. Polon. B4, 251 (1973).

41. Бронников К.А., Шикин Г.Н., "О взаимодействующих полях в ОТО", Известия вузов, Физика N 9, 25 (1977).

42. Bronnikov К.А., Melnikov V.N., Shikin G.N., Stanuikovich K.P., "Scalar, electromagnetic and gravitational fields' interaction: particlelike solutions", Ann. Phys. (N. Y.) 118, 84 (1979).

43. Heinrich O., Astron. Nachr. 309, 249 (1988).

44. Bronnikov K.A. and Khodunov A.V., "Scalar field and gravitational instability", Gen. Rel. Grav. 11, 1, 13-20 (1979).

45. Бронников K.A., "Устойчивость многомерных черных дыр", Известия вузов, Физика N 1, 106-110 (1992).

46. Станюкович К.П., Мельников В.Н. "Гидродинамика, поля и константы в теории гравитации", Энергоатомиздат, М., 1983.

47. Melnikov V.N., in: "Cosmology and Gravitation", ed. M. Novello, Ed. Frontiers, Singapore, 1994, p. 147.

48. Мельников B.H., "Итоги науки и техники. Гравитация и космология" (под ред. Мельникова В.Н.), том 1, стр. 49, ВИНИТИ, М., 1991.

49. Радынов А.Г., "Статические поля заряженного источника в скалярно-тензорных теориях гравитации", в сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц", вып. 8, под ред. К.П. Станюковича, Атомиздат, М., 1977, стр. 173-184.

50. J.L. Synge. "Relativity: the General Theory", North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1960.

51. Zipoy D.M., "Topology of some spheroidal metrics", J. Math. Phys. 7, 1137 (1966).

52. Curzon H.E.J., Proc. London Math. Soc. 23, 477 (1924).

53. Scott S.M., Szekeres P., Gen. Rel. Grav. 18, 557; 571 (1986).

54. Bronnikov K.A., Fabris J.C. "Weyl space-times and wormholes in multidimensional Einstein and dilaton gravity", Class. Quantum Gravity 14, 831-842 (1997).

55. Бронников К.А., "Вывернутые черные дыры и анизотропный коллапс", Известия вузов, Физика, N 6, 32 (1979).

56. Бронников К.А., "Статические цилиндрически-симметричные поля Эйнштейна-Максвелла", в сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц", под ред. К.П. Станюковича, Атомиздат, вып. 10, М., 1979, стр. 37-53.

57. Salam A. and Sezgin Е., eds., "Supergravities in Diverse Dimensions", reprints in 2 vols., World Scientific, 1989;

58. Green M.B., Schwarz J.H., Witten E., "Superstring Theory" in 2 vols., Cambridge Univ. Press, 1987;

59. Stellc K.S., "Lectures on supergravity p-branes", hep-th/9701088;

60. Duff M.J., "M-theory (the theory formerly known as strings)", hep-th/9608117.

61. Khviengia N., Khviengia Z., Lu H. and Pope C.N., "Toward a field theory of F-theory", Class. Qu. Grav. 15, 759 (1998); hep-th/9703012;

62. Bars I., Deliduman C., Minic D., "Lifting M-theory to two-time physics", Phys. Lett. 457B, 275-284 (1999);

63. Gavrilik A.M., "Coset-space string compactification leading to 14 subcritical dimensions", hep-th/9911120, Acta Physiol Acad. Sci. Hung. 11, 35-41 (2000).

64. Adler S. and Pearson R.B., Phys. Rev. D 18, 2798 (1978).

65. Chan K.C.K., Horne J.H. and Mann R.B., "Charged dilaton black holes with unusual asymptotics", Nucl. Phys. В 447, 441-464 (1995).

66. Bronnikov К.A. and Shikin G.N., "Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons", Grav. & Cosmol 8, 107 (2002); gr-qc/0109027.

67. Bronnikov K.A., "Scalar vacuum structure in general relativity and alternative theories. Conformal continuations", Acta Phys. Polon. B32, 3571 (2001); gr-qc/0110125.

68. Bronnikov K.A., "Scalar-tensor gravity and conformal continuations", J. Math. Phys. 43, No. 12 (2002), gr-qc/0204001.

69. Wagoner R., "Scalar-tensor theory and gravitational waves", Phys. Rev. D 1, 3209 (1970).

70. Walker M., "Block diagrams and the extension of timelike two-surfaces", J. Math. Phys. 11, 8, 2280 (1970).

71. Katanaev M.O., "Global solutions in gravity", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 88, 233-236 (2000), gr-qc/9912039; "Global Solutions in Gravity. Lorentzian signature", Proc. Steklov Inst. Math. 228, 158-183, gr-qc/9907088.

72. Lake K. and Roeder R., Phys. Rev. D 15, 3513 (1977).

73. Katanaev M., Klosch T. and Kummer W., "Global properties of warped solutions in general relativity", Ann. Phys. (USA) 276, 191 (1999).

74. Rogatko M., "Uniqueness theorem for static black hole solutions of сг-models in higher dimensions", hep-th/0207187.

75. Heusler M., "Black Hole Uniqueness Theorems". Cambridge Univ. Press, 1997; Mazur P.O., "Black hole uniqueness theorems", hep-th/0101012.

76. Tolman R.C., "Relativity, Thermodynamics and Cosmology", Clarendon Press, Oxford, 1969.

77. Bronnikov K.A., Ivashchuk V.D. and Melnikov V.N., "The Reissner-Nordstrom problem for intersecting electric and magnetic p-branes", Grav. & Cosmol. 3, 3, 203-212 (1997);

78. Giinther U. and Zhuk A., "Gravitational excitons from extra dimensions", Phys. Rev. D 56, 6391 (1997);

79. Giinther U., Kriskiv S. and Zhuk A., "On stable compactification with Casimir-likc potential", Grav. & Cosmol. 4, 1 (1998).

80. Bronnikov K.A. and Melnikov V.N., "On observational predictions from multidimensional gravity", gr-qc/0103079, Gen. Rel. Grav. 33, 1549 (2001).

81. Бочарова H.M., Бронников K.A., Мельников B.H. "Об одном точном решении уравнений Эйнштейна и скалярного поля", Вести. МГУ, Физ., Астрой., 6, 706-709 (1970).

82. Bekenstein J.D., "Exact solutions of Einstein-conformal scalar equations", Ann. Phys. (USA) 82, 535 (1974).

83. Barcelo C. and Visser M., "Traversable wormholes from massless conformally coupled scalar fields" Phys. Lett. 466B, 127-134 (1999).

84. Rubakov V.A. and Shaposhnikov M.E., "Do we live in a domain wall?", Phys. Lett. 152B, 136 (1983);

85. Antoniadis I., PLB 246 377 (1985); Visser M., Phys. Lett. 159B, 22 (1985);

86. Pavsi6 M., Phys. Lett. 116A, 1 (1986) gr-qc/0101075.; Nuovo Cim. A 95, 297 (1986).

87. Akama M., Prog. Theor. Phys. 78, 184 (1987);

88. Gibbons G.W. and Wiltshire D.L., Nucl. Phys. В 287, 717 1987;

89. PavSic M., "The embedding model of induced gravity with bosonic sources", Grav. & Cosmol. 2, 1 (1996); 3, 305 (1997).

90. Horava P. and Witten E., "Heterotic and type I string dynamics from eleven dimensions", Nucl. Phys. В 460, 506-524 (1996); "Eleven-dimensional supergravity on a manifold with boundary", Nucl. Phys. В 475, 94-114 (1996).

91. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S. and Dvali G.R., "The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter", Phys. Lett. 429B, 263 (1998);

92. Antoniadis I., Arkani-Hamed N., Dimopoulos S. and Dvali G.R., "New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV", Phys. Lett. 436B, 257 (1998), hep-ph/9804398.

93. Randall L. and Sundrum R., "Large mass hierarchy from a small extra dimension", Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999), hep-ph/9905221.

94. Rubakov V.A., "Large and infinite extra dimensions", Phys. Usp. 44, 871 (2001); hep-ph/0104152;

95. Langlois D., "Gravitation and cosmology in a brane universe", gr-qc/0207047; Brax Ph. and Van de Bruck C., "Cosmology and brane worlds: a review", hep-th/0303095.

96. Shiroinizu Т., Maeda K. and Sasaki M., "The Einstein equations on the 3-brane world", Phys. Rev. D 62, 024012 (2000).

97. Chamblin A., Hawking S.W. and Reall H.S., "Brane-world black holes", Phys. Rev. D 61, 065007 (2000);

98. Chamblin A., Reall H.S., Shinkai H. and Shiromizu Т., "Charged brane-world black holes", Phys. Rev. D 63, 064015 (2001), hep-th/0008177.

99. Casadio R., Fabbri A. and Mazzacurati L., "New black holes in the brane world?" Phys. Rev. D 65, 084040 (2001), gr-qc/0111072;

100. Bronnikov K.A., Dehnen H. and Melnikov V.N., "General class of black holes in a brane world", Phys. Rev. D 68, 024025 (2003), gr-qc/0304068.

101. Bronnikov К.A. and S.-W. Kim, "Possible wormholes in a brane world", Phys. Rev. D 67, 064027 (2003), gr-qc/0212112.

102. Lidsey J.E., Matos T. and Urena-Lopez L.A., "The inflaton field as self-interacting dark matter", astro-ph/0111292;

103. Toporensky A.V., Tretyakov P.V. and Ustiansky V.O., "New properties of scalar field dynamics in brane isotropic cosmological models", gr-qc/0207091.

104. Shtanov Yu.V., "Closed system of equations on a brane", hep-ph/0108153, Phys. Lett. 541B, 177-182 (2002);

105. Sahni V. and Shtanov Yu.V., "New vistas in braneworld cosmology", gr-qc/0205111.

106. Casadio R. and Mazzacurati L., "Bulk shape of brane-world black holes", gr-qc/0205129, Mod. Phys. Lett. A 18 651-660 (2003).

107. Wiseman Т., "Relativistic stars in Randall-Sundrum gravity", Phys. Rev. D 65, 124007 (2002).

108. Campbell J., "A Course of Differential Geometry", Clarendon, Oxford, 1926; Magaard L., PhD thesis, Kiel, 1963.

109. Seahra S.S. and Wesson P.S., "Application of the Campbell-Magaard theorem to higher-dimensional physics", gr-qc/0302015.

110. Dahia F. and Romero C., "Embedding of the spacetime in five dimensions: extension of the Campbell-Magaard theorem, gr-qc/0109076;

111. Romero C. and Dahia F., "From Kaluza-Klein theory to Campbell-Magaard theorem and beyond", gr-qc/0305066.

112. Allen C.W., "Astrophysical Quantities", Athlone Press, London, 1973.