Энергия фермионного вакуума в трехфазовых моделях киральных мешков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Модели мешков в низкоэнергетической физике адронов.

1.2 Цели и задачи

1.3 Структура работы.

2 Модель кирального мешка с составляющими кварками

2.1 Трехфазовый киральный мешок

2.1.1 Лагранжиан и уравнения движения.

2.2 Топологический случай.

2.2.1 Самосогласованное решение.

2.2.2 Полная энергия мешка.

2.2.3 Параметры модели.

2.3 Нетопологический случай.

3 Энергия фермионного моря

3.1 Асимптотика уровней в общем случае

3.1.1 Решение в виде ряда по степеням 1 /и.

3.1.2 Главный порядок асимптотики.

3.1.3 Первая поправка.

3.1.4 Трехфазовый мешок.

3.2 Регуляризация.

3.2.1 Расходящаяся часть энергии в общем случае

3.2.2 Регуляризованные выражения для энергии стандартных мешков.

4 Перенормировка

4.1 Существующие схемы перенормировки.

4.1.1 Удаление асимптотики.

4.1.2 Гибридная перенормировка.

4.1.3 Пути построения корректных схем перенормировки

4.2 Сила и энергия Казимира.

4.2.1 Окрестность границы мешка.

4.2.2 Внешний ящик большого размера.

4.2.3 Собственная энергия границы.

4.2.4 Трехфазовый мешок.

4.2.5 Численные результаты.

4.3 Полностью локальная перенормировка.

4.3.1 Трехфазовый мешок.

4.3.2 Численные результаты.

1.1 Модели мешков в низкоэнергетической физике адронов

После того как Гелл-Манн, Нееман [1] и Цвейг [2] выдвинули гипотезу о существовании кварков, было предложено множество различных моделей, описывающих структуру адронов и их взаимодействие. Многие из этих моделей были созданы до появления квантовой хромодинамики (КХД) [3, 4] и основывались на феноменологических свойствах адронов при низких энергиях, наиболее важные из которых перечислены ниже:1. Явно нарушенная симметрия ароматов SU(3);2. Правило OZI подавления процессов с изменением аромата [5, 6, 7];3. Спонтанно нарушенная киральная симметрия.

Первые два момента, совместно с предположением об абсолютном конфайн-менте кварков и глюонов, привели к созданию модели адрона с валентными кварками [8, 9]. В дальнейшем она послужила основой для создания Изгу-ром и Карлом модели с нерелятивистскими кварками [10], и группой MIT — модели мешка с релятивистскими кварками [11, 12, 13, 14].

Киральная симметрия в этих моделях долгое время не учитывалась. Первым, кто осознал важность мезонных полей в моделях барионов, предположительно был Скирм, предложивший общее описание мезонов и барионов при помощи одного только пионного поля [15, 16]. Модель Скирма, хорошо известная сегодня [17, 18, 19, 20], после создания затерялась среди множества чисто кварковых моделей [21]. Прошло более десяти лет, прежде чем пион-ное поле было добавлено в кварковую модель для восстановления киральной симметрии [22, 23, 24], нарушенной в модели MIT.

Модель MITПервоначальная модель мешка MIT была инспирирована образованием пузырька в жидкости [11, 25, 26]. При низких энергиях основное состояние КХД приобретает нетривиальную структуру, характеризуемую ненулевыми вакуумными ожиданиями для кварк-антикварковых пар (фф) и глюонов (F^F^)[27]. На нетривиальность вакуума могут также указывать конденсация монополей и доминирование инстантонов.

Основная идея модели мешка MIT состоит в том, что подобное изменение свойств вакуума, вне зависимости от конретного механизма такого изменения, вызвано наличиев внутри адронов валентных кварков. Для того чтобы вакуум был стабилен, влияние на него валентных кварков должно быть ограниченным. Поэтому предполагается, что изменение свойств вакуума является основным результатом взаимодействия, а взаимодействие вакуума с валентными кварками мало. В то же время считается, что изменение свойств вакуума приводит увеличению плотности энергии (появлению положительного вакуумного давления), которое компенсируется кинетическим движением кварков в соответствии с принципом неопределенности.

Обозначим плотность энергии во внутренней области бариона через В. Тогда полная энергия бариона определяется выражением:в = й + Мгде постоянная а характеризует кинетическую энергию кварков и зависит от их динамических свойств. При положительных значениях а ж В выражение(1.1) имеет минимум при некотором R, при котором вакуумное давление снаружи компенсируется давлением валентных кварков изнутри. Эта точка и определяет размер и энергию бариона. Например, для характерных значений а 4fm1 иВ'4 0.15 GeV [11, 28] минимум имеет координаты:lfm, Е 1 GeV. (1.2)В модели мешка MIT для описания различных свойств адронов к этой простой схеме были добавлены дополнительные члены, такие как спин-спиновое взаимодействие кварков при обмене одним глюоном. Поскольку соответствующая константа связи as при низких энергиях неизвестна, она рассматривалась как параметр эффективного взаимодействия.

Несмотря на успех в феноменологии, модель мешка MIT имела несколько существенных недостатков. Во-первых, константа спин-спинового взаимодействия оказывалась слишком большой (as 2), чтобы оправдать применение теории возмущений. Во-вторых, слишком большим оказывался размер мешка(1.2), что плохо согласовывалось с данными ядерной физики [29], феноменологическими потенциалами [30, 31], параметрами фотораспада дейтрона [31, 32] и другой экспериментальной информацией, из которой следовало, что радиус мешка должен быть существенно меньше lfm.

В третьих, что наиболее важно, в модели мешка MIT не сохранялась ки-ральная симметрия, что видно уже из лагранжиана модели:£мгг = {фгд^ф - В)ву - \фф8у. (1.3)Конфайнмент кварков обеспечивается ступенчатой функцией 6у, равной единице внутри мешка, и нулю — снаружи. Второе слагаемое, содержащее поверхностную ^-функцию Sy = S(r — R), обеспечивает непрерывность векторного тока на поверхности мешка. В действительности векторный ток на поверхности обращается в нуль, предотвращая утечку барионного заряда. Однако, этот член явно нарушает киральную симметрию, в то время как ее спонтанное нарушение является одним из фундаментальных свойств сильного взаимодействия.

Восстановление киральной симметрииВосстановление киральной симметрии обычно выполняется путем добавления кирального поля, кирально-инвариантным способом взаимодействующего с кварками на поверхности мешка. Применяется нелинейное представление кирального поля, в которой унитарная матрица из группы SU(2) параметризована изовекторным пионным полем ф (т — тройка изотопических сг-матриц):U(^) = (1.4)где постоянная пионного распада задает масштаб энергий. Из данных о слабом распаде 7г-мезона fw = 93 MeV. После добавления кинетической энергии 7г-мезонов лагранжиан примет вид:Сев = [^UTJ+^UU*] Оу. (1.5)В таком виде модель кирального мешка и была предложена впервые в работах [22, 23]. Второе слагаемое в (1.5) — это кирально-инвариантное расширение члена фф. Третье слагаемое — лагранжиан нелинейной сг-модели для 7г-мезонов, однозначно заданный до производных второго порядка требованиями релятивистской инвариантности и киральной симметрии [33]. Поле 7г-мезонов исключено из внутренней области с помощью 0-функции 9у = 1 — ву.

Исторически модель кирального мешка рассматривалась двумя различными способами. В одном из подходов нелинейные эффекты в пионном поле и кварк-пионном взаимодействии считались малыми, и решения находились методами теории возмущений [28, 34, 35]. Взаимодействие кварков с 7г-мезонами учитывалось до первого, максимум второго порядка, и большая часть вычислений выполнялась аналитически. Если мезонам разрешалось присутствовать во внутренней области, соответствующая модель называлась моделью мешка с пионным облаком (cloudy bag model) [28], в противном случае — просто моделью кирального мешка [34]. В обоих случаях предсказания таких свойств нуклонов, как зарядовый радиус и магнитный момент, существенно улучшались по сравнению с первоначальной моделью MIT. Однако, размер мешка продолжал оставаться нефизически большим; кроме того, применение теории возмущений в данном случае труднообоснуемо.

Другой подход состоит в полном учете нелинейных эффектов в ме-зонном поле и кварк-мезонном взаимодействии полуклассическим способом [36, 37, 38, 39, 40]. Взаимодействие на границе играет специальную роль, связывая динамики кварков и мезонов. В частности, динамика мезонов во внешней области передается в кварковый сектор модели в виде поляризации вакуума. Механизм подобного преобразования динамики существенно связан с базовой топологической структурой модели, поэтому такой вариант кирального мешка часто называют топологическим киральным мешком [28, 34].

В отличие от первого подхода, в топологической модели существенную роль играет ее гибридная природа по отношению к модели мешка MIT и модели Скирма. Фактически мы можем рассматривать все этим модели как одну, параметризованную радиусом мешка R, который больше не является динамической переменной. Хотя для полноты описания в данном случае необходим учет эффектов поляризации вакуума, впервые топологический кираль-ный мешок был рассмотрен без учета этих эффектов в виде так называемой модели мешка малого размера (little bag model) [36, 37].

К уравнениям движения во внутренней и внешних областях, следующим из лагранжиана (1.5), добавляются условия на границе, обеспечивающие непрерывность векторного тока и непрерывность аксиального тока. Последнее условие, отсутствующее в модели мешка MIT — наиболее важный элемент модели. Поиск решений этих уравнений существенно упрощается путем рассмотрения максимально симметричной конфигурации, в которой параметр мезонного поля (р во всех точках параллелен радиус-вектору («ежовый» ан-зац [15, 36, 37]):0 = nF{r), U = e'(™)F(r), где n — r/r. (1.6)Такая конфигурация инвариантна относительно одновременного поворота координатного пространства оператором полного момента J, и изоспинового пространства — оператором изоспина /; другими словами, в ежовой конфигурации главный (grand) момент К = J+I мезонного поля обращается в нуль. Состояние с определенным К является суперпозицией физических состояний с определенной массой, которые надо выделять с помощью проекции.

Скирмовский член для самодействия мезоновОдна из трудностей модели мешка малого размера состояла в недостатке ба-рионного числа. Барионное число проще оценить при F( R) = 7г/2, когда фер-мионный спектр обладает симметрией между состояниями с положительной и отрицательной энергией, и существует также состояние с нулевой энергией [41, 42]. При действии на вакуум С-нечетный оператор барионного числа оказывается равным:^(Е^Е^Н- мет< 0 еп> оРазрешение данной трудности состоит в учете топологии мезонов во внешней области.

Нелинейная сг-модель без самодействия не обеспечивает существование стабильных топологических решений. Для этого она была расширена Скир-мом, рассматривавшим нуклон как коллективное возбуждение мезонного поля [21, 43]. По топологическим причинам Скирм пришел к выводу, что нуклон в (3+1 )D мог бы быть топологическим решением нелинейной теории для трех-компонентных мезонов. Им было показано, что тривиально сохраняющийся топологический ток:= J-e^Tr^UU^UUWJIJt. (1.8)Z47Tможно идентифицировать с током барионного числа [15]. Переходы между состояними с различным барионным зарядом запрещены как изменение топологии решения.

Топологическая устойчивость необходима, но не достаточна для существования устойчивого решения. Энергия мезонного поля при масштабных преобразованиях х ах преобразуется как Е —у аЕ, поэтому любое решение сположительной энергией неизбежно будет неустойчивым к сжатию. Для предотвращения этого Скирм добавил к лагранжиану член четвертого порядка по производным, преобразующийся при масштабном преобразовании как 1 fa:cst = ^ Tr ftjIUt. ^UUt] *. (1.9)Попытка Скирма описать физику адронов с помощью одних только мезон-ных полей была оправдана 'т Хофтом в КХД при больших значениях числа цветов Nc [44]. Виттен позже показал [45, 46], что при JVC —> эо свойства барионов и скирмионов совпадают. В реальном мире с Nc = 3 физические наблюдаемые отличаются от значений при Nc —» сю конечными поправками, которые можно выразить в виде ряда по 1 /Nc. Позднее для исследования мезонно-барионных систем активно применялся групповой метод [47, 48, 49, 50, 51, 52], позволяющий систематически учитывать поправки высокого порядка по 1 /Nc. Более того, этот метод дает возможность непосредственно исследовать структуру бариона в предположении, что киральный мешок возникает при больших Nc естественным образом [53, 54, 55].

Хотя по форме лагранжиан (1.10) мало отличается от (1.5), физическое содержание оказывается существенно иным. Одно из его важнейших свойств состоит в том, что хотя отдельные вклады в физические величины от кварков и мезонов изменяются при вариации радиуса мешка R, сумма этих вкладов мало зависит или совсем не зависит от этого параметра, то есть мезонное и кварк-глюонное описание практически эквивалентны с точки зрения наблюдаемых величин. В частности, барионное число, которое теперь определяется как сумма фермионного числа и топологического заряда мезонов, оказывается строго независящим от R [56]. В рассмотренном выше случае F(R) = 7г/2 поле мезонов несет топологический заряд, равный 1/2, который и компенсирует недостающий барионный заряд в (1.7).

Если бы все физические величины полностью перестали зависеть от R, то выбор размера мешка был бы только вопросом удобства. Подобное соответствие между описаниями с помощью кварков и мезонов называется Принципом Чеширского кота (ПЧК). Точный пример ПЧК продемонстрирован в (l-fl)D [57, 58, 59, 60], однако в (3+1)D это оказалось невозможным. В частности, соответствие между кварками и мезонами нарушается в высших порядках полуклассического метода [61]. Тем не менее, даже нарушенный ПЧК является существенным аргументом в пользу моделей мешков. На практике мы можем ожидать некоторого оптимального R, при котором физические величины описываются наилучным образом.

Поляризация вакуумаПоследовательное рассмотрение топологического кирального мешка со скир-мовским членом оказывается возможным только при учете эффектов поляризации вакуума. Без учета этих эффектов мешок оказывается нестабильным и обладающим при малых R, когда он должен переходить в модель Скирма, отрицательной энергией. Полная энергия мешка выражалась в виде суммы трех вкладов:47гй3ЕЫе = £va] + -g— В + Е„. (1.11)Энергия валентных фермионов Eva\, которая прежде компенсировала вакуумное давление, из-за связи с мезояным полем на границе мешка убывала вместе с размером, становясь при некотором радиусе отрицательной.

Поляризация вакуума, или эффект Казимира [62, 63] — это возникающий во многих областях физики эффект изменения свойств основного состояния из-за взаимодействия. В модели гибридного кирального мешка эффект Казимира проявляется двумя способами. Во-первых, он возникает из-за явно созданного конфайнмента кварков. Уже в модели мешка MIT вакуумная энергия вычислялась как разность энергий возмущенного и тривиального вакуума [64, 65, 66]:EMn = ^2Em(R)-J2Em(R^oo)- (1.12)т тоКроме того, интересные эффекты возникают из-за взаимодействия кварков с мезонами на границе. Хотя соответствующая энергия логарифмически расходится, ее можно свести ее к обычной, конечной энергии Казимира путем добавления кварков во внешней области (то есть отказа от абсолютного конфайнмента) [67]. В качестве оправдания такой операции указывается, что сокращение расходимостей может выполняться начиная с достаточно больших энергий, при которых кварки становятся свободными. Однако фактически вычитание выполняется и при низких энергиях, что делает полученные результаты по меньшей мере неполными.

В большинстве случаев при рассмотрении эффекта Казимира в моделях мешков перенормировка, и даже доказательство сокращения расходимостей выполняется численно, что не очень корректно. Иногда удается воспользоваться для устранения расходимостей симметриями и размерными свойствами модели, как это происходит в модели кирального мешка со скирмов-ским членом. Однако, общепринятая схема устранения расходимостей в моделях мешков на сегодняшний день отсутствует.

Другие феноменологические моделиКроме моделей мешков, для описания структуры адронов применяются также другие феноменологические модели [68]. Так, тяжелые кварконии успешно описываются с помощью релятивистских и даже нерелятивистских кварко-вых потенциалов [69, 70, 71, 72] (см. остальные обсуждаемые ниже вопросы там же). Хотя подобные методы практически неприменимы к нуклонам и легким мезонам, системы с тяжелыми кварками несут важную информацию о сильном взаимодействии. Наиболее успешное описание спектра масс адроновсвязано с предположением о линейном конфайнменте — потенциал взаимодействия источников цвета на больших расстояниях ведет себя как:У(г)<тт, а « 0.18 GeV2.(1.13)Такое поведение потенциала объясняется в моделях кварковых струн: источники цвета связаны квазилинейным объектом с постоянной плотностью энергии и. Поскольку ароматы не влияют на кварковые струны, можно ожидать, что величина а является универсальной константой КХД. Таким образом, линейный конфайнмент с параметром а должен возникать и при описании легких адронов.

Связь моделей мешков с моделями кварковых струн простирается еще дальше. Вакуумное давление стремится уменьшить объем области нетривиального вакуума, в которой находятся исходные кварки. В моделях мешков эта область является статическим шаром малого радиуса. Если же придать области существования нетривиального вакуума динамические свойства, то логично предположить, что она сожмется в тонкую трубку, соединяющую два исходных кварка, либо Y-образную конфигурацию трубок, если исходных кварка три. Подобное поведение подтверждается решеточными вычислениями. Если пренебречь толщиной этих трубок, то они превращаются в кварковые струны. Таким образом, кварковые струны фактически являются квазиодномерными мешками. Полная длина струн также является динамической переменной и по порядку величины совпадает с диаметром описываемого адрона. Поэтому результаты для моделей мешков в (1+1)D могут иметь не только методическое, но и практическое применение.

Экспериментальные данные по радиусу протонаСовременное состояние экспериментальных данных о радиусе протона (даже если мы ограничиваемся только зарядовым радиусом) является темой отдельных исследований [73]. Данные по рассеянию [74, 75] часто противоречат друг другу и данным лэмбовского сдвига [76]. Решеточные вычисления в киральном пределе предсказывали слишком малые значения радиуса [77, 78], но ситуация существенно улучшилась после учета первой поправки кираль-ной теории возмущений [79]. С учетом вышеизложенного, мы тем не менее можем достаточно безопасно утверждать, что радиус лежит в диапазоне (0.85 -г 0.90) fm, соответственно диаметр:Основные цели работы:1. Построение модели кирального мешка с составляющими кварками и исследование ее свойств.

2. Разработка схем выделения конечной части энергии фермионного моря в моделях киральных мешков.D = (1.75 ± 0.05) fm.(1.14)1.2 Цели и задачиВ процессе работы возникли следующие задачи:1. Построение трехфазовой модели гибридного кирального мешка (ГКМ), содержащей наряду с фазами асимптотической свободы и адронизации также и промежуточную фазу конституэнтных кварков.

2. Исследование для кирального мешка общего вида асимптотических свойств уровней энергии и получение регуляризованного выражения для энергии фермионного моря.

3. Доказательство локальности расходимостей энергии фермионного моря.

4. Разработка схемы вычисления энергии Казимира для киральных мешков с внутренней структурой. Применение этой схемы к трехфазовой модели ГКМ.

5. Разработка схемы перенормировки энергии фермионного моря в моделях мешков. Применение этой схемы к трехфазовой модели ГКМ.

5.1 Основные результаты

Получены следующие основные результаты:

1. Предложена модель кирального мешка с составляющими кварками, исследованы ее свойства.

2. Разработаны схемы выделения конечной части энергии фермионного моря в моделях киральных мешков.

В процессе работы решены следующие задачи:

1. Сформулирована трехфазовая модель гибридного кирального мешка (ГКМ), содержащая наряду с фазами асимптотической свободы и адро-низации также и промежуточную фазу констигуэнтных кварков.

2. Для кирального мешка общего вида в (1+1)D исследованы асимптотические свойства уровней энергии и получено регуляризованное выражение для энергии фермионного моря.

3. Доказана локальность всех расходимостей, возникающих в энергии фермионного моря кирального мешка в (1+1)D.

4. Разработана схема вычисления энергии Казимира для киральных мешков с внутренней структурой. Эта схема применена к трехфазовой модели ГКМ.

5. Разработана схема перенормировки энергии фермионного моря в моделях мешков, опирающаяся на локальность расходимостей. Эта схема применена к трехфазовой модели ГКМ.

5.2 Обсуждение

В главе 2 описана трехфазовая модель гибридного кирального мешка, содержащая наряду с фазами асимптотической свободы и адронизации также и промежуточную фазу конституэнтных кварков. К числу основных преимуществ модели следует отнести прежде всего более корректную (по сравнению с двухфазовыми моделями) постановку киральных граничных условий, при которой все составляющие в лагранжиане имеют ясный физический смысл; наличие промежуточной фазы, описывающей квазисвободные массивные составляющие кварки.

Для этой модели в (1-+1)D показано существование нетривиальных с точки зрения квантовых чисел самосогласованных решений, учитывающих эффекты поляризации вакуума. С помощью упрощенной схемы перенормировки полная энергия мешка исследована как функция его размера (в нетопологическом случае — размеров областей существования отдельных фаз). Выяснено, что эта функция имеет вид бесконечно глубокой ямы с хорошо выделенным минимумом для случая ненулевого топологического заряда, и поверхности с минимумом при нулевых размерах фазы асимптотической свободы в нетопологическом случае.

Целью главы 3 было исследование асимптотических свойств уровней энергии фермионного моря для кирального мешка общего вида, а также соответствующих регуляризованных выражений для энергии. Наиболее важные из полученных результатов: a) Формула (3.38), позволяющая выделить расходящуюся часть асимптотики уровней энергии для мешка с любым классическим потенциалом взаимодействия и любыми киральными или антициклическими граничными условиями, причем даже в случае, если форма потенциала не позволяет выписать уравнение на уровни в явном виде. b) Формула (3.57), показывающая возможность отделения в регуляризован-ном выражении для энергии расходящейся части от конечной. Этот результат позволяет исследовать расходящуюся часть регуляризованной энергии, пользуясь только асимтотическими свойствами уровней, а также, в отличие от [67] и аналогичных работ, выполнять перенормировку аналитически и получать численные результаты суммированием только конечной части. c) Доказательство в разделе 3.2.1 локальности всех возникающих расходимостей. Под локальностью понимается возможность представить энергию фермионного моря в виде:

4cai = Jе(М(а;)) <1К + Jё(М(®), Ms(z)) ^ (5-1)

V S где М(х) — набор параметров лагранжиана, а — совокупность параметров граничных условий. Пример нелокального слагаемого:

4tai = JdVXlJdVX2 е(М(ж1),М(ж2)). (5.2)

V V

Локальность расходимостей в (по определению нелокальных) моделях мешков является нетривиальным фактом, указывающим на их общую природу с релятивистски-инвариантной КТП.

В главе 4 рассмотрены различные схемы перенормировки энергии фермионного моря. В разделе 4.1 продемонстрированы недостатки с точки зрения однозначности и интерпретации применяемых результатов перенормировки удалением асимптотики и так назвываемой гибридной перенормировки.

Попытка в разделе 4.2 построения схемы перенормировки, основанной на вычитании, непосредственно привела нас к вычислению энергии Казимира мешка. Это само по себе является интересным результатом, поскольку демонстрирует, что вычитательная процедура для моделей мешков не может быть построена без учета (подавленных) полевых степеней свободы во внешней области.

Ранее было показано [97, 98], что все расходимости внутренней области бесструктурного мешка сокращаются расходимостями аналогичных полей во внешней области (после вычитания невозмущенного вакуума). С нашей точки зрения этот результат следует для объемных расходимостей из их локальности, и нетривиален для поверхностных расходимостей.

Однако, применение подобного метода сокращения расходимостей в непосредственном виде фактически обесценивает модели мешков, так как мы вынуждены отказаться не только от явления конфайнмента (что в какой-то мере может быть оправдано для асимптотических свойств), но и от мешка, содержащего область нетривиального вакуума, как такового — от него остается одна только оболочка, а внутренняя структура недопустима в принципе. В то же время в разделе 4.2 построена схема вычисления энергии Казимира, в которой сохраняется как внутренняя структура мешка, так и различие между внутренней и внешней областями. Предложенная схема основана на требовании совпадения асимптотики уровней энергии мешка с вакуумной.

Полученной зависимости энергии Казимира от размера оказалось достаточно для описания некоторых свойств адронов, в частности явления линейного конфайнмента (качественно), а также характерного диаметра нуклона. Несоответствие численных значений других параметров вполне естественно, поскольку энергия Казимира не учитывает отсутствие во внешней области низкоэнергетических фермионов, которое в физическом случае должно создавать дополнительное давление, изменять поверхностную энергию и полную энергию системы. В то же время учет перечисленных факторов невозможен без увеличения числа свободных параметров модели.

В разделе 4.3 предложена схема перенормировки энергии фермионного моря в моделях мешков, аналогичная применяемой в локальной КТП. Даны рекомендации по применению построенной схемы к любой модели мешка для удаления всех возникающих локальных расходимостей.

В общем случае применение этой схемы приводит к появлению большого числа свободных параметров и даже свободных функций, являющихся константами перенормировки. Однако, для трехфазовой модели гибридного кирального мешка в силу ее специфики (наличия дополнительного условия (2.20)) независимых параметров перенормировки остается только два, что позволяет связать такие физические величины, как размер нуклона, масса конституэнтного кварка, масса мезона и натяжение кварковой струны. Полученные численные результаты для связи с 7Г° и о;-мезонами демонстрируют хорошее согласие с экспериментальными данными.

Благодарности

В заключение я бы хотел поблагодарить своего научного руководителя Константина Алексеевича Свешникова за внимательное и чуткое руководство, помощь в работе и формировании научного мировоззрения.

Благодарю Петра Константиновича Силаева за переданный им ценный опыт в области численных методов физики.

Благодарю Олега Владимировича Павловского за полезные консультации по научным вопросам.

Выражаю благодарность всему коллективу кафедры Квантовой теории и ФВЭ за создание доброжелательной и творческой атмосферы.

Заключение

1. М. Gell-Mann and Y. Ne'eman, The Eightfold Way (Benjamin, New York, 1964).2 [3 [45 [6 [7 [8 [910111213141516 [17 [18

2. G. Zweig, CERN Report no. 8182/TH 401.

3. D. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 26 (1973) 1343.

4. H.D. Polizer, Phys. Rev. Lett. 26 (1973) 1346; Phys. Reports С 14 (1974) 130.

5. S. Okubo, Phys. Lett. 5 (1963) 163.

6. G. Zweig, CERN Report no. 8419/TH 412.

7. J. Iizuka, Prog. Theor. Phys. Suppl. 37-38 (1966) 21.

8. K. Kokkedee, The Quark Model (Benjamin, New York, 1969).

9. F.E. Close, An Introduction to Quarks and Partons (Academic Press, London, 1979).

10. N. Isgur and G. Karl, Phys. Lett. 72B (1977) 109; Phys. Lett. 74B (1978) 353; Phys. Rev. D 18 (1978) 4187; Phys. Rev. D 20 (1979) 1191.

11. A. Chodos, R.L. Jaffe, K. Johnson, C.B. Thorn and V.Wesskopf, Phys. Rev. D 9 (1974) 3471.

12. A. Chodos, R.L. Jaffe, K. Johnson and C.B. Thorn, Phys. Rev. D 10 (1974) 2559.

13. T. DeGrand, R.L. Jaffe, K. Johnson and J. Kiskis, Phys. Rev. D 12 (1975) 2060.

14. W.A. Bardeen, M.S. Chanowitz, S.D. Drell, M. Weinstein, and T.M.Yan, Phys. Rev. D, 12, 2733 (1975).

15. T.H.R. Skyrme, Proc. R. Soc. London A 260 (1961) 127; Nucl. Phys. 31 (1962) 556.

16. G. Holwarth and B. Schwesinger, Rep. Progr. Phys., 49, 825 (1986). N.K. Рак and H.C. Tze, Ann. Phys. 117 (1979) 164.

17. A.D. Jackson and M. Rho, Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 751.

18. G.S. Adkins, C.R. Nappi and E. Witten, Nucl. Phys. В 228 (1984) 552.

19. I. Zahed and G.E. Brown, Phys. Reports 142 (1986) 1.

20. Selected papers, with commentary, of Tony Hilton Royle Skyrme, ed. G.E. Brown (World Scientific, Singapore, 1994).

21. T. Inoue and T, Maskawa, Prog. Theor. Phys. 54 (1975) 1833.

22. A. Chodos and C.B. Thorn, Phys. Rev. D 12 (1975) 2733.

23. T. Inoue, T. Maskawa, Progr. Theor. Phys. 54 (1975) 1853.

24. P.N. Bogolubov, Ann. Inst. Henri Poincare, 8 (1967) 163.

25. P.N. Bogolubov and A.E. Dorokhov, Phys. Part. Nucl., 18, 391 (1987).

26. E. Shuryak, Phys. Rep. 61 (1980) 71; 115 (1984) 151.

27. A.W. Thomas, Adv. Nucl. Phys. 13 (1984) 1.

28. M. Machleidt, K. Holinde and C. Elster, Phys. Reports 149 (1987) 1.

29. M. Lacombe at al., Phys. Rev. C21 (1980) 861.

30. Mesons in Nuclei, eds. M. Rho and D.W. Wilkinson (North-Holland, Amsterdam, 1979).

31. M. Rho, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 34 (1984) 531.

32. M. Bando, T. Kugo and K. Yamawaki, Phys. Reports 164 (1988) 217.

33. F. Myhrer, Int. Rev. Nucl. Phys. 1 (1984) 325.

34. I. Hulthage, F. Myhrer and Z. Xu, Nucl. Phys. A 364 (1981) 322.

35. G.E. Brown and M. Rho, Phys. Lett. В 82 (1979) 177.

36. V. Vento, M. Rho, E.M. Nyman, J.H. Jun and G.E. Brown, Nucl. Phys. A 345 (1980) 413.

37. H. Hosaka and 0. Toki, Phys. Reports 277 (1996) 65.

38. S. Coleman, Aspects of Symmetry (Cambrige University Press, Cambrige, 1985).

39. R. Rajaraman, Solitons and Instantons (North-Holland, Amsterdam, 1982); изв. пер.: P. Раджараман, Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля (М., Мир, 1985).

40. R. Jackiw and С. Rabbi, Phys. Rev. D 13 (1976) 3398.

41. A.J. Niemi and G.W. Semenoff, Phys. Reports 135 (1986) 99.

42. V.I. Sanyuk, J. Mod. Phys. A7 (1992) 1.

43. G. 't Hooft, Nucl. Phys. В 72 (1974) 461; Nucl. Phys. В 75 (1974) 461.

44. E. Witten, Nucl. Phys. В 160 (1979) 57.

45. E. Witten, Nucl. Phys. В 223 (1983) 422; 433.

46. R. Dashen and A.V. Manohar, Phys. Lett. В 315 (1993) 425; 438.

47. E. Jenkins, Phys. Lett. В 315 (1993) 431; 441.

48. R. Dashen, E. Jenkins and A.Y. Manohar, Phys. Rev. D 49 (1994) 4713.

49. R. Dashen, E. Jenkins and A.V. Manohar, Phys. Rev. D 51 (1995) 3697.

50. M.A. Luty and J. March-Russell, Nucl. Phys. В 426 (1994) 71.

51. M.A. Luty, Phys. Rev. D 51 (1995) 2322.

52. N. Dorey, J. Hughes and M.P. Mattis, Phys. Rev. Lett. 73 (1994) 1211.

53. A.V. Manohar, Phys. Lett. В 336 (1994) 502.

54. N. Dorey and M.P. Mattis, Phys. Rev. D 52 (1995) 2891.

55. J. Goldstone and R.L. Jaffe, Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 1518.

56. M. Rho, Phys. Reports 240 (1994) 1.

57. S. Nadkarni, H.B. Nielsen and I. Zahed, Nucl. Phys. В 253 (1985) 308.

58. H.B. Nielsen, in: Skyrmions and Anomalies, eds. M. Jezabek and M. Praszalowicz (World Scientific, Singapore, 1987).

59. S. Nadkarni and H.B. Nielsen, Nucl. Phys. B263 (1986) 1,23.

60. M. Wakamatsu, Phys. Lett. В 349 (1995) 204; preprint, Osaka University (1995).

61. H.B.G. Casimir, Proc. Kon. Ned, Akad, Wetenschap. В 51 (1948) 793.

62. С. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory (MacGraw Hill, New York, 1980); изв. пер.: К. Ицшссон, Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля (Новокузн., ИО НФМИ, 2000).

63. К.А. Milton, L.L. DeReed and J. Schwinger, Ann. Phys. 115 (1978) 388.

64. K.A. Milton, Phys. Rev. D 22 (1980) 1441; D 25 (1982) 3441; Ann. Phys. 150 (1983) 432.

65. C.M. Bender and P. Hayes, Phys. Rev. D 14 (1976) 2622.

66. L. Vepstas and A.D. Jackson, Phys. Reports, 187 (1990) 109.68. см. напр. E. Shuryak, preprint hep-ph/9808416, 25 Aug 1998.

67. G.S. Bali, report GUTPA//00/10/01.

68. W. Lucha, F.F. Schoberl, report HEPHY-PUB 621/95.

69. N. Brambula, A. Pineda, J. Soto, A. Vario, Nucl. Phys. В 566 (2000) 275.

70. G.S. Bali, Phys.Rept. 343 (2001) 1.

71. S.G. Karshenboim, Can. J. Phys. 77 (1999) 241.

72. G.G. Simon, Ch. Schmitt, F. Borkowski and V.H. Walther, Nucl. Phys. A 333 (1980) 381.

73. P. Mergell, U.G. Meissner, and D. Drechsel, Nucl. Phys. A 596 (1996) 367.

74. T. Udem, A. Huber, B. Gross, J. Reichert, M. Prevedelli, M. Weitz and T.W. Hansch, Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 2646.

75. T. Draper, R.M. Woloshin, and K.-F. Liu, Phys. Lett. 234B (1990) 121.

76. D.B. Leinweber, R.M. Woloshin, and T. Draper, Phys. Rev. D 43 (1991) 1659.

77. D.B. Leinweber and T.D. Cohen, Phys. Rev. D 47 (1993) 2147.

78. K.A. Свешников и П.К. Силаев, ТМФ 117 (1998) 263.

79. I. Cherednikov, S. Fedorov, M. Khalili, К. Sveshnikov, Nucl. Phys. A 676 (2000), 339.

80. K.A. Свешников, C.M. Федоров, М.Ф. Халили, И.О. Чередников, Яд. физ., 2001, т. 64, № 9, стр. 1784-1795;

81. К. Sveshnikov, И. Malakhov, М. Khalili, S. Fedorov, preprint hep-ph/0201124; acc. by Nucl. Phys.

82. И.Ю. Малахов, K.A. Свешников, C.M. Федоров, М.Ф. Халили, Теор. и мат. физ., 2002, т. 132, № 2, стр. 238.

83. К. Sveshnikov, II. Malakhov, М. Khalili, S. Fedorov, Part, and Nucl., Lett., 2002, no. 4 [113], pp. 14.

84. И. Малахов, К. Свешников, M. Халили, «Ломоносов-2002», секция «Физика», сб. тез., стр. 225.

85. К. Sveshnikov, II. Malakhov, М. Khalili, S. Fedorov, Proc. of the 12th Int. Sem. "Quarks'2002".

86. M. Халили, «Ломоносов-2003», секция «Физика», сб. тез.

87. S. Gasiorowicz and J.L. Rosner, Amer. J. Phys. 49 (1981) 1954.

88. L. Montanet et al, Phys. Rev. D50 (1994) 1173.

89. B. Povh et al., Particles and Nuclei (Springer, Berlin, 1995).

90. M. Creutz, Phys. Rev. D 10 (1974) 1749.

91. M. Creutz, К. Soh, Phys. Rev. D 12 (1975) 443.

92. R. Perry and M. Rho, Phys. Rev. D 34 (1986) 1169.

93. D.K. Campbell, Y.-T. Liao, Phys. Rev. D14 (1976) 2093.

94. M. Lavelle, D. McMillan, Phys. Reports 279 (1997) 1.

95. M. Bordag, K. Kirsten, E. Elizalde and S. Leseduarte, Phys. Rev. D 56 (1997) 4896.

96. E. Elizalde, M. Bordag, K. Kirsten, J. Phys. A 31 (1998) 1743.

97. N. Brambilla, A. Vairo, reports HEPHY-PUB 696/98, UWThPh-1998-33.

98. I.M. Narodetskii, A.N. Plekhanov, A.I. Veselov, preprint hep-ph/0212358, 24 Dec 2002.