О сингулярных решениях классических уравнений Янга-Миллса и модели мешков, построенной на их основе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им.М.В.ЛОМОНОСОВ А ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра квантовой теории и физики высоких энергий

На правах рукописи

Павловский Олег Владимирович

О СИНГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЯХ КЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЯНГА-МИЛЛСА И МОДЕЛИ МЕШКОВ, ПОСТРОЕННОЙ НА ИХ ОСНОВЕ

01.04.02-теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители-к.ф.м.н.

Ф.А.Лунев, д.ф.м.н., профессор К. А. Свешников

Москва 1999

Оглавление

Введение 3

1 Основы модели 10

2 Сингулярные решения классических уравнений Янга-

Миллса — аналоги чернодыровых решений в ОТО 13

2.1 Введение........................... 13

2.2 Трехмерная теория Янга-Миллса в терминах калибровочно-инвариантных переменных как биметрическая трехмерная гравитация..................... 15

2.3 Сингулярные сферически-симметричные решения уравнений Янга-Миллса..................... 23

2.4 Граничная задача и бифуркационные поверхности син-гулярностей ......................... 27

3 Регуляризация и перенормировка сингулярной собственной энергии глюонного мешка 36

3.1 Введение........................... 36

3.2 Постановка задачи ..................... 38

3.3 Построение асимптотических методов для Сингулярного функционала собственной энергии на примере "нефизического" случая ............... 43

3.4 Регуляризация и перенормировка сингулярной собственной энергии "мешка".................... 54

4 Кварки в поле сингулярного решения 60

4.1 Введение и постановка задачи..............................60

4.2 Уравнение Дирака и N = 2 суперсимметричная квантовая механика................................................62

4.3 Случай 8и(2)-вложения......................................66

4.4 Случай 80(3)-вложения......................................71

5 Описание предлагаемой моделью спектра масс адро-

нов, обсуждение полученных результатов 79

5.1 Массы низколежащих адронных состояний..............79

5.2 Обсуждение полученных результатов, а также перспектив рассматриваемой модели ..............................83

Заключение 89

Литература 93

Введение

В настоящее время имеются серьезные основания считать, что большинство явлений в физике сильных взаимодействий можно описать с помощью стандартной модели адронов [1]. Согласно этой модели адроны состоят из цветных кварков, взаимодействие между которыми обусловлено обменом векторными глюонами. Каждый кварк может находится в трех цветовых состояниях, образующих фундаментальное представление цветовой группы ¿>[7(3)ч6. Глюоны являются безмассовыми полями Янга - Миллса [2] и принадлежат к октетному представлению той же группы. Соответствующая теория получила название квантовой хромодинамики или КХД.

Анализ результатов экспериментов в области сильных взаимодействий и особенности спектра адронов указывает на три явления, наиболее существенных для природы сильных взаимодействий - асимптотическая свобода на малых расстояниях (0.1 фм), спонтанное нарушение киральной симметрии [3] и удержание, конфайнмент, кварков и глюонов в цветосинглетных связных состояниях на больших расстояниях (1 фм). Простейшими такими состояниями являются мезоны (дд) и барионы

Пользуясь аппаратом теории возмущений КХД, строго обоснованным в области малых расстояний, где константа связи мала [4], удалось доказать перенормируемость [5, 6] и асимптотическую свободу КХД [7, 8].

Что же касается проблемы связных состояний и структуры спектра адронов, то здесь стандартные методы теории возмущения совершенно не пригодны. Действительно, в пределе нулевой константы связи свободная теория кварков и глюонов не имеет ничего общего с наблюдаемым спектром адронов. Поэтому, для описания низкоэнергетической физики адронов необходимо использовать методы и подходы, основанные на существенной нелинейности теории. Однако, с другой стороны, несомненно то, что конфайнмент может быть пол-

ностью обоснован только в рамках квантовой теории. Эти выводы подтверждает и наиболее кардинальный и непосредственный подход - решеточная КХД [9]. На этом пути достигнуты значительные результаты в понимании природы сильных взаимодействий в режиме сильной связи, но быстрый рост числа переменных с увеличением размера решетки создает трудности даже для мощной вычислительной техники.

Наконец, традиционными подходами при описании физики адронов остаются составные кварковые модели. Основные принципы данной модели были сформулированы еще в 1967 году в работе [10] ( см. также обзоры [11, 12]). В современном варианте выделяются два вида составных кварковых моделей : нерелятивистская потенциальная квар-ковая модель и модель мешков. Основой нерелятивистской кварковой потенциальной модели является зависящий от подгоночных параметров потенциал, обеспечивающий невылетание кварков [13]. Основой же самой популярной, пожалуй, кварковой модели - модели мешков, является предположение о том, что квазинезависимые релятивистские состояния, кварки и глюоны, движутся в конечной, замкнутой области пространства - "мешке". Данный подход за последние четверть века приобрел широкое развитие [11, 12, 14, 15]. Однако самой известной и признанной является модель, предложенная группой MIT (Massachusets Institute of Technology) [16].

Кварки в модели MIT описываются свободным цветным дираков-ским полем, заключенном в сферическую область с бесконечными потенциальными стенками. Однако, в такой формулировке мы сталкиваемся с очевидной трудностью. Уравнение Дирака в сферически -симметричном случае не согласовано с нулевыми граничными условиями на поверхности сферы. Но тогда, как не трудно показать, поток энергии - импульса и киральный ток через поверхность мешка не будет равен нулю. Мешок энергетически не стабилен и стремится к состоянию с R = оо. Чтобы сделать мешок стабильным авторы данной модели делают предположение о полном разрушении вакуумных непертрубативных полей внутри мешка. При этом константа мешка Bmit характеризует изменение плотности энергии вакуума между областями внутри и вне мешка. Эта разность обеспечивает давление вакуумных полей на мешок, а условие равновесия давления изнутри и из вне мешка принято считать условием стабильности. Эти предположения позволят получить феноменологическую формулу на

массу адронного состояния, зависящую от подгоночных параметров (■Bmit^mit и д- Р-)- В рамках данной модели можно показать, что возможно существование только цветосинглетных состояний [17].

Авторы модели MIT указывали на то, что их модель может быть рассмотрена, как нулевое приближение в теории конфайнмента адро-нов [18], такое же, как Боровская теория для атома водорода. Однако, развитие этой модели указывает на значительные затруднения для этого. Во-первых, используя правила сумм КХД [20] было показано, что Bqcd ~ 0.55Гэв/фмг, в то время как Bmit ~ 0.0бГэв/фм3 Это значение получено из соображений соответствия статических характеристик адронов в модели MIT и эксперимента [19]. К тому же константа кварк-глюонного взаимодействия cnsMIT — 2.2, которое определяет расщепление масс в адронных мультиплетах - так же не согласуется с КХД-значением oisqCD{1 Гэв) = 0.7. Член, пропорциональный ам1т ~~ °ДИН из основных подгоночных членов в MIT- модели. Он определяется одноглюонным обменом между кварками в первом порядке теории возмущения. asMIT получилось больше единицы, что н позволило использовать теорию возмущения для уточнения спектров адронов. Поэтому в ряде работ [21, 23] было сделано предположение, что на самом деле, вакуум КХД внутри мешка практически не разрушается, что снова делает актуальной проблему стабильности. В дальнейшем модель мешков развивалась в сторону учета взаимодействия кварковых полей с различными моделями непертрубативного вакуума КХД [21, 22, 23].

Однако одним из самых тонких моментов в MIT- модели является нарушение киральной инвариантности исходной теории. Действительно, еще в оригинальных работах по MIT- модели отмечалось, что при их выборе граничных условий киральный ток через границу мешка не равен нулю и это, конечно является явным противоречием в предлагаемой схеме. Но вскоре та же группа авторов предложила простой и весьма наглядный способ интерпретации такого явления, а именно то, что граница мешка является также границей между двумя фазовыми состояниями системы, то есть внутри мешка "живут" квазисвободные кварки и глюоны, а снаружи находится эффективное киральное мезонное поле, хорошо известное из ядерной физике, где подобными полями описывают 7г-мезоны. потоки киралььного тока внутрь и наружу на границе мешка компенсируют друг друга и таким образом противоречие снимается. Более того, картина адрона,

окруженного таким 7г-мезонным облаком кажется вполне убедительной и с экперементальной точки зрения. Такие двухфазовые модели получили названия гибридных киральных моделей адронных мешков, подробности можно найти в обзоре [24]. В оригинальных работах [25] в качестве эффективного мезонного поля использовалась просто нелинейная сг-модель, однако дальнейшее развитие указало на то, что в качестве теории, описывающей внешнюю фазу должна использоваться какая-то из разновидностей модели Скирма [26] (по модели Скирма есть замечательные обзоры [27],[28]). Убежденность физиков в этом еще упрочнилось после того, как выяснилось, что для теории с калибровочной группой при N —У оо, когда теория сильно упрощается [29, 30, 31], низкоэнергетическим пределом является именно модель Скирма [32]. Дальнейшее развитие гибридных моделей адров-нных мешков привело к пониманию того, что возможно гораздо более приемлемым будет не двухфазовая, а трехфазовая модель, где последовательно сменяются фазы токовых кварков, затем конституэнтных кварков, а затем и эффективного мезонного поля [33].

Несмотря на то, что модель мешков была одной из первых попыток понять физику адронов в терминах кварков и было предложено много модификаций модели мешков [34, 35, 36, 12, 23], и то, что модель мешков дает вполне удовлетворительное описание масс, магнитных моментов и многих других параметров адронов [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44], модель до сих пор не слишком популярна и причина этого вполне ясна. В отличие от стандартной модели, претендующей на описание адронной физики исходя из неких фундаментальных принципов, модель мешков основана на чисто феноменологическом предположении, что кварки заключены внутри некой сферы. Но абсолютно не ясно, как такое предположение может быть выведено из КХД, и, следовательно, модель мешков обычно рассматривается только как достаточно грубая феноменологическая модель, и ничего больше.

В предлагаемой работе мы как раз и попытаемся показать, что существует способ вывода некой мешковой модели из КХД.

Информацию о нелинейной квантовой теории можно получать не только из теории возмущения, квантования на решетке или из построения феноменологических теорий. Пожалуй, наиболее значимым в развитии непертрувотивной физики является метод квантования вблизи нетревеальных решений нелинейных классических уравнений

поля [45]. Эти уравнения получаются путем замены операторнознач-ных уравнений Эйлера - Логранжа на с-числовые. Важность этого метода нельзя переоценить, так как он позволил получать и изучать эффекты, которые бы не проявились ни в каком порядке по теории возмущения. Ключом к этому методу является изучение таких нетривиальных решений, как монополи [46, 47], инстантоны [48] и т.п..

Одной из первых попыток объединить две ветви современной физики, непертрубативную квантовую теорию и феноменологию "мешковых" моделей предприняла группа авторов из SLAC в своей знаменитой работе, посвященной модели SLAC-мешка [49]. Однако сделанные ими предположения о виде фермионного детерминанта, за счет которого происходит обратная связь глюонного поля с полями кварков кажется сейчас несколько сильной, однако нельзя не отметить, что такой подход был яркой попыткой описать состояния адронов из первооснов и, фактически, открыл новую страницу в развитии моделей "мешков".

Предлагаемый в данной работе подход является как раз продолжением такого подхода и является еще одой возможностью попытаться описать адронные состояния исходя из первооснов КХД. Цель данной работы - проверить на непротиваречивось идеи использовать в качестве потенциала, удерживающего кварки в ограниченном объеме сингулярные решения классических уравнений Янга-Миллса. Несмотря на то, что такие решения были известны достаточно давно [50, 51, 52], реально они не рассматривались в предложенном контексте. И только когда проявилась аналогия таких решений с чернодыровыми решениями ОТО [53, 54, 55], стал очевидный вопрос об использовании таких решений в качестве модели конфайнмента. В данной работе предлагается модель машков, построенная на основе такого сингулярных решений классических уравнений Янга - Миллса [56, 57, 58].

В первой главе в терминах функционального интеграла будет показано, что в теории нулевого порядка, мы имеем просто систему независимых дираковых полей во внешнем сингулярном классическом поле мешка. Масса адрона таким образом в этом порядке будет складываться из двух составляющих: массы "мешка" и масс находящихся в "мешке" кварков. При этом, вероятно, данная модель более подходит для теории нулевого приближения, чем модель MIT. Действительно, данная теория является прямым следствием стандартной модели адронов в фориолизме первого порядка.

Во второй главе, следуя работам [60, 59, 61, 53, 54, 55, 56, 57, 57, 58], будут рассмотрены сами сингулярные решения классических уравнений Янга-Миллса. Строится калибровочно-инвариантный формализм в котором теория Янга-Миллса принимает вид биметрической трехмерной гравитации, а исследуемые сингулярные решения в некотором смысле аналогичны известным чернодыровым Шварцшиль-довским решениям в ОТО. В этой главе также обсуждается проблема постановки начальной задачи для таких сингулярных решений. Этот вопрос кажется достаточно важным, так как такие решения, сингулярные на неких поверхностях вполне типичны для классической глюонодинамики (в некотором смысле такие решения динамически выделены, показано [52], что именно эти решения являются динамически устойчивыми к малым деформациям начальной задачи, о корректности постановки которой в частности пойдет речь в данной главе). Благодаря плодотворной связи теории Янга-Миллса и теории гравитации удалось построить и другие сингулярные решения: так в работе [62, 63] подобные решения были найдены в теории Янга-Миллса-Хиггса, а в работе [64] - аналог решения Керра; более того, хочется также отметить работы [65, 66], где были найдены подобные сингулярные решения на торе, а также работу [67] с сингулярными решениями на бесконечном цилиндре.

Как уже отмечалось выше, эффект конфайнмента не может быть описан на классическом уровне [50]. Это на прямую касается и нашей модель. Принципиально нелинейные решения классических уравнений Янга-Миллса порождают не классический объект - глюонный "мешок". Его "неклассичность" заключается в том, что его собственная энергия сингулярна, и должна быть регуляризована. Эта ситуация не кажется удивительной, если принять представление о решениях классических уравнений, получаемых путем прямой замены ^-числовых уравнений на с-числовые, как о бозонном конденсате [68]. Такие сингулярности должны быть регуляризованны согласно общей схеме регуляризации солитонов [45], то есть и пертрубатив-ные и непертрубативные сингулярности должны быть устранены в рамках одной схемы одними и теми же регуляризационными членами. Именно такая схема и строится в третьей главе. Фактически, найденная регуляризационная схема есть модификация хорошо известной регуляризации с помощью высших ковариантных производных [69] и подчиняется всем требованиям, предъявляемым к таким схемам со

стороны общей концепции квантования солитонов.

В четвертой главе рассматриваются кварки, движущиеся в поле "мешка". Решается задача на нахождение энергетического спектра кварков в таком сингулярном потенциале для двух возможных вложений группы 311(2) в группы 311(3). Решается вопрос о наложении дополнительных феноменологических граничных условий на кварки. Кроме этого рассматривается связь уравнения Дирака в таком потенциале с N = 2 суперсимметричной квантовой механикой. Наличие такой симметрии приводит к тому, что в случае одного из вложений появляется очень интересное решение с собственным значением £ = 0. Такое решение вполне может оказаться серьезным претендентом на роль составляющей безмассового голдстоуновского бозона спонтанно нарушенной киральной симметрии.

Как уже отмечалось, целью данного исследования было доказательство непротиворечивости в первом приближении гипотезы об использовании сингулярных решений классических уравнений Янга-Миллса в качестве некоего эффективного глюонного "мешка" для кварков. Эта цель была фактически достигнута после доказательства перенормирумости сингулярной собственной энергии самого "мешка". Но исследование конечн�