Самосогласованные решения в гибридных киральных моделях трехфазовых кварковых мешков в 1 + 1 и 3 + 1 D тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Физический Факультет

На правах рукописи УДК 530.145

Малахов Илья Юрьевич

Самосогласованные решения в гибридных киральных моделях трехфазовых кварковых мешков в 1 + 1иЗ + 1 D

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2005

Работа выполнена на кафедре Квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Свешников Константин Алексеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Дорохов Александр Евгеньевич (Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, г Дубна),

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Павловский Олег Владимирович (Институт теоретических проблем микромира им Н Н Боголюбова при МГУ)

Ведущая организация Институт физики высоких энергий,

г Протвино

Защита состоится "±л_' О-^р^/СгЛ 2005 г в на за-

седании диссертационного совета К 501 001 03 в Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119992, г Москва, Ленинские горы, МГУ, НИИЯФ, 19-й корп , ауд 2-15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ

Автореферат разослан 2005 г

Ученый секретарь

диссертационного совета К 501 001 03, кандидат физ -мат наук

/Манагадзе А К /

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Квантовая хромодинамика (КХД) является в настоящее время единственным реальным кандидатом на роль теории, описывающей сильные взаимодействия. Более двадцати лет она успешно применяется для описания процессов с участием кварков и глюонов при высоких энергиях, когда бегущая константа связи as мала, и можно пользоваться теорией возмущений. Однако, в области низких энергий as растет, поэтому применение пертурбативных методов становится проблематичным, и для исследования таких явлений, как спонтанное нарушение киральной симметрии и конфайнмент, играющих центральную роль в формировании адрона как связанного состояния, требуются другие подходы. В связи с этим в настоящее время весьма актуальной проблемой является разработка различных эффективных моделей адронов (прежде всего барионов, состоящих из легких кварков), позволяющих исследовать их структуру и свойства в низкоэнергетической области как на качественном, так и количественном уровнях. В принципе, все эти модели должны выводиться из лагранжиана КХД в низкоэнергетическом пределе, но поскольку задача последовательного вывода таких эффективных теорий из первых принципов КХД до сих пор остается нерешенной, эти модели и сейчас продолжают активно разрабатываться на самостоятельной основе.

Среди наиболее популярных эффективных теорий такого типа можно выделить модель Скирма, описывающую барионное состояние только в терминах мезонных полей, и модели кварковых мешков, эволюционировавшие от первоначальной модели мешка MIT до современных топологических гибридных моделей.

В модели Скирма эффективный лагранжиан записывается в терминах мезонных (пионных) полей, а уравнения движения обладают стабильным солитоноподобным решением (скирмионом), топологический заряд которого отождествляется с барионным числом. Использование модели Скирма для описания свойств нуклона и спектра низколежащих возбуждений привело к удовлетворительному качественному согласию с экспериментальными данными. Одним из наиболее принципиальных, с точки зрения теории, недостатков модели Скирма является то, что в ней в принципе не участвуют цветные степени свободы (число цветов

Nc отсутствует в уравнениях, задающих форму и размер барионов), и никак не учитывается наличие фазы асимптотической свободы

В рамках модели кварковых мешков адрон представлен как ограниченная область пространства (мешок), внутри которой находятся (квази)свободные, почти безмассовые кварки, что соответствует фазе асимптотической свободы кварков на предельно малых расстояниях Удержание кварков внутри мешка обеспечивается специально выбранными граничными условиями на поверхности мешка Расчеты, выполненные на основе базовой модели такого рода — мешка MIT, приводят к хорошему качественному (а иногда и количественному) согласию с экспериментом для таких статических характеристик барионов, как массы, эффективные радиусы и магнитные моменты Однако, эта модель обладает и рядом существенных недостатков Прежде всего, граничные условия явно нарушают киральную инвариантность теории, играющую важную роль в физике легких адронов Кроме того, теория формулируется таким образом, что "запертыми" в мешке оказываются все степени свободы, в том числе и мезонные Наконец, значения основных параметров, используемых для расчета наблюдаемых величин, расходятся с их значениями, полученными другими методами

Положительные стороны и предсказательная сила моделей кварко-вых мешков и модели Скирма сохраняются в гибридных киральных моделях (ГКМ), нашедших широкое применение в исследованиях нестранных барионов Современная формулировка ГКМ представляет собой мешок малого размера, внутри которого заперты безмассовые кварки и глюоны, находящиеся в фазе асимптотической свободы, а снаружи реализуется фаза адронизации, представленная нелинейной мезонной теорией типа модели Скирма Граничные условия между фазами при этом соответствуют "киральному конфайнменту" В 1 + 1 D эти условия совпадают с уравнениями бозонизации, на основе чего была выдвинута гипотеза о том, что фермионная теория внутри и мезонная вне мешка в действительности должны быть эквивалентны Вследствие этой гипотезы все физические свойства такого мешка не должны зависеть от выбора его поверхности, что представляет из себя суть Принципа Чеширского Кота (ПЧК)

Однако, бозонизация такого рода, а следовательно и ПЧК, могут быть строго обоснованы лишь в 1 +1 D, тогда как в 3 +1 D под вопросом находится сама возможность постановки такого рода задачи Как следствие, в 3+1-мерных ГКМ, основанных на ПЧК, существует лишь

весьма ограниченный набор характеристик (фактически только бари-онный заряд), которые действительно не зависят от радиуса мешка. В то же время, вся феноменология сильных взаимодействии однозначно указывает на существование характерного масштаба конфайнмента порядка 0.5 -5- 1.0 Фм, т.е. вне зависимости от степени обоснованности бозонизации в 3 + 1 D в реалистических моделях гибридных мешков ПЧК должен быть весьма сильно нарушен.

Кроме того, в таких двухфазовых ГКМ в принципе нет места для массивных составляющих кварков, концепция которых хорошо зарекомендовала себя в адронной спектроскопии.

Таким образом, все самые успешные эффективные модели адронов не лишены недостатков, и их дальнейшая разработка и модификация представляет собой актуальную проблему низкоэнергетической физики сильных взаимодействий.

Цели работы

Одной из основных целей данной работы является разработка такой модификации ГКМ, в которой свободные, практически безмассовые токовые кварки переходят сначала в "одетые" в результате кирально-го кварк-мезонного взаимодействия массивные конституэнтные кварки, несущие те же квантовые числа цвета, аромата и спина, и лишь потом возникает чисто мезонная бесцветная фаза.

Прямое киральное кварк-мезонное взаимодействие вводилось и ранее в ряде других подходов к моделированию низкоэнергетической структуры адронов, в частности, в моделях "мешков с пионным облаком", в которых оно учитывается лишь как возмущение, из-за чего оказывается невозможным реализовать заложенный в таком взаимодействии нелинейный механизм динамической генерации массы кварков, а также в различных вариантах киральных кварк-солитонных моделей, в которых это взаимодействие является основным нелинейным механизмом динамического возникновения конфигурации кваркового мешка во всем пространстве, но не позволяет решить проблемы, связанные с отсутствием полного конфайнмента. В разрабатываемой модели ставится цель реализовать промежуточный вариант, когда вклад прямого ки-рального кварк-мезонного взаимодействия в характеристики системы является нелинейным, но конфайнмент кварков обеспечивается дополнительным условием запирания.

При разработке такой модели в 1 +1 D ставились следующие задачи

1 Найти самосогласованные в смысле учета эффектов поляризации фермионного вакуума решения, описывающие как изолированные мешки с различными значениями топологического заряда, так и системы, состоящие из двух взаимодействующих мешков

2 Для данных конфигураций провести исследование зависимости энергии системы от ее геометрии и дополнительных параметров, характеризующих дискретные свойства мешков в 1 + 1 D

3 Исследовать поведение основных физических характеристик системы в наиболее интересных предельных случаях, таких как исчезновение промежуточной фазы мешка (что соответствует формальному переходу к двухфазовой модели), а также при сближении мешков на предельно допустимое минимальное расстояние (когда их промежуточные фазы начинают перекрываться)

Еще одной целью настоящей работы являлось обобщение такой трехфазовой ГКМ на 3 + 1 D случай в SU(2)-BapnaHTe с легкими и- и d-кварками, что представляет отдельную проблему из-за наличия нулевых фермионных мод В рамках такой модели в 3 + 1 Б ставились следующие задачи

1 Найти самосогласованные решения уравнений модели с единичным топологическим зарядом (барионным числом)

2 Для таких решений провести фитирование ее исходных параметров, при которых характеристические размеры мешка и его энергия находятся в соответствии со своими значениями, известными из феноменологии

Основные положения, выносимые на защиту

1 Построение самосогласованных решений, учитывающих эффекты поляризации фермионного вакуума, для трехфазовой модификации ГКМ, содержащей наряду с фазами асимптотической свободы и адронизации также и промежуточную фазу конституентных кварков

2 Исследование для таких решений полной перенормированной энергии мешка как функции параметров, характеризующих его геометрию, и топологического заряда

3. Построение самосогласованных решений и изучение на их основе свойств системы двух взаимодействующих мешков в рамках такой трехфазовой модификации ГКМ в 1 + 1 D.

4. Разработка трехфазовой модификации SU(2)—гибридного кираль-ного мешка с промежуточной фазой конституентных кварков в 3 + 1 D и построение самосогласованных решений с единичным топологическим (барионным) зарядом.

5. Изучение зависимости основных характеристик трехфазовой модели в 3 + 1 D, таких как масса, размер области асимптотической свободы и радиус мешка, от исходных параметров.

Научные результаты, новизна и личный вклад

Разработана трехфазовая модификация ГКМ, содержащая наряду с фазами асимптотической свободы и адронизации также и промежуточную фазу конституентных кварков. С учетом эффектов поляризации фермионного вакуума найдены самосогласованные решения уравнений модели в 1 + 1 D.

Перенормированная полная энергия системы исследована как функция параметров, характеризующих геометрию мешка, и его топологического заряда. Показано, что для ненулевого топологического заряда существует целая серия конфигураций, являющихся локальными минимумами полной энергии мешка и содержащих все три фазы, в то время как в нетопологическом случае минимум энергии мешка соответствует нулевым размерам фазы асимптотической свободы.

Для модели трехфазовых киральных кварковых мешков в 1 + 1 D найдены самосогласованные решения, описывающие систему двух взаимодействующих мешков. При этом основное внимание уделяется исследованию роли поляризации фермионного вакуума внутри мешков в динамике системы, а интерполирующее мешки бозонное поле учитывается только на уровне одномезонного обмена. Перенормированная полная энергия системы исследована как функция параметров, характеризующих геометрию задачи, и дополнительных характеристик мешков, возникающих в 1 + 1 D.

Показано, что в системе двух трехфазовых мешков поляризация фер-мионного вакуума приводит к возникновению сильного нелинейного взаимодействия на малых расстояниях, причем в зависимости от ха-

рактеристик мешков это может быть как отталкивание, так и притяжение.

Разработана трехфазовая модификация SU(2)—гибридного кираль-ного мешка, содержащая наряду с фазами асимптотической свободы и адронизации также и промежуточную фазу конституентных кварков, приобретающих массу за счет прямого кирально-инвариантного кварк-пионного взаимодействия. Для реалистической модели с пионной динамикой скирмовского типа во внешней области в 3 + 1 D найдены самосогласованные решения уравнений движения с учетом эффектов поляризации фермионного вакуума.

Полная энергия мешка исследована как функция исходных параметров модели (вакуумного давления в мешке и константы скирмовского самодействия пионов в промежуточной фазе мешка). Показано, что оптимальные значения исходных параметров, при которых масса и характеристические размеры мешка соответствуют параметрам нуклона, находятся в соответствии с их значениями, определяемыми из других подходов.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Автор диссертации внес существенный личный вклад в решение поставленной задачи, как при выполнении аналитического исследования, так и при разработке программного обеспечения для проведения численных расчетов. Им были исследованы самосогласованные решения уравнений движения, соответствующие мешкам с различными значениями топологического заряда, а также энергия системы двух взаимодействующих мешков. Кроме того, им исследованы различные методы перенормировки вакуумной энергии, включая безвычитательную процедуру. На завершающем этапе исследования автором было получено самосогласованное решение уравнений движения с учетом эффектов поляризации фермионного вакуума в рамках реалистической трехфазовой модели SU(2)—гибридного кирального мешка в З + 1 D с единичным топологическим зарядом, моделирующее структуру барионного состояния типа нуклона, и исследованы его свойства.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью используемых автором математических методов, органически сочетающих традиционные теоретико-полевые методы и новейшие алгоритмы символьных и численных компьютерных расчетов.

Практическая ценность работы

Полученные результаты способствуют более глубокому пониманию свойств сильных взаимодействий в низкоэнергетическом пределе и могут быть использованы при построении более реалистических ГКМ. Построение содержательной трехфазовой модификации 8и(2)—гибридного кирального мешка в 3 + 1 Б открывает новые возможности для эффективного моделирования свойств нестранных бари-онов. Разработанные модели и аналитические и численные методы их исследования могут представлять значительный интерес для специалистов соответствующего профиля в ОИЯИ (Дубна), ИФВЭ (Протвино), ИЯИ (РАН).

Апробация работы и публикации

В основу диссертации положены работы, опубликованные в семи публикациях автора, список которых приведен в конце автореферата.

Основные результаты докладывались на 10-й и 11-й Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003" и "Ломоносов-2004", на XIII международном семинаре "риагкз'2004" и на XVIII Международной школе-семинаре по физике высоких энергий и квантовой теории поля "дрТИЕР'2004".

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из пяти глав, первая из которых является введением, а последняя посвящена обсуждению основных полученных результатов. Диссертация содержит 29 рисунков, а также список литературы (76 названий). Объем диссертации 93 страницы.

Содержание работы

В главе 1 приводится краткий обзор основных моделей описания сильных взаимодействий при низких энергиях. Основное внимание уделяется анализу наиболее актуальных проблем в рамках существующих моделей мешков, которые привели к постановке задачи диссертации. Также в этой главе кратко описана структура работы, ее цели и решаемые в ней задачи.

В главе 2 подробно изучается модификация ГКМ в виде трехфазо-

вого кваркового мешка в 1 + 1 Б Данная модель позволяет самосогласованным образом учесть три фазы

1 Внутреннюю фазу асимптотической свободы, содержащую свободные безмассовые кварки

2 Фазу массивных составляющих кварков, приобретающих эффективную массу за счет кирально-инвариантного взаимодействия со скалярным полем в промежуточной области конечного размера

3 Внешнюю фазу адронизации, где фермионная составляющая полностью подавлена, а нелинейная динамика бозонного поля приводит к возникновению конденсата в виде солитонного решения, обеспечивающего необходимые квантовые числа мешка

Исходный лагранжиан модели имеет вид

где -функции выделяют перечисленные выше фазы мешка

Для того, чтобы сформировать мешок, киральная масса фермионов Mg ВО внешней области и масса скалярного поля т0 во внутренней фазе мешка должны быть устремлены к бесконечности, в результате чего данные поля динамически подавляются в соответствующих областях Возникающие при этом граничные условия для фермионов на границах мешка (в данном случае это точки (±згг))

совпадают со стандартными условиями кирального конфайнмента, используемыми в двухфазовых гибридных моделях

Существенной особенностью данной конструкции мешка является существование у его уравнений движения простого и физически содержательного самосогласованного решения с единичным топологическим зарядом, которое характеризуется линейным поведением скалярного поля в промежуточной области

Физическая содержательность полученного самосогласованного решения имеет место благодаря следующим особенностям модели

1 Конечность размера промежуточной области в неограниченной области найденное решение для скалярного поля было бы неприемлемо

-1-1-1-1-1-1-■-

О 10 20 30 40 50 во 70 80

Р

Рис. 1: Зависимость энергии топологического мешка от его размера для первых пяти значений индекса решения г.

2. Дискретность и симметрия фермионного спектра ш„: реализуется в результате унитарного преобразования фермионной волновой функции, переход к которой осуществляется в результате скирмовского поворота ф = ехр(—¿75(р/2)х в промежуточной области мешка

X -»• X = '71Х > (3)

и имеет вид ип —ип, где = ип — X. Благодаря этому условию имеется простой способ вычисления среднего значения кирально-го тока J$ и других (7-нечетных величин, таких как фермионное число, которое в данном случае также оказывается равным нулю. Здесь еще раз следует подчеркнуть, что барионный заряд определяется лишь солитонным решением для скалярного поля и принимает значение, не зависящее от размеров внутренних областей.

3. Отсутствие нулевой моды: в присутствии нулевой моды точное зануление кирального тока стало бы невозможным. Более того, ее наличие является недопустимым и по той причине, что в ее присутствии имело бы место явление фракционализапии, и, как следствие, у решения был бы дробный барионный заряд.

После перенормировки фермионного вклада полная энергия мешка

БЬае исследована как функция его эффективного размера р и дискретного индекса решения г (см Рис 1) Как следует из Рис 1, с ростом г увеличивается как фактический размер мешка, определяемый по положению минимума Еьд(р), так и его энергия в минимуме, в то время как кривизна Еьд{р) уменьшается, что однозначно позволяет интерпретировать индекс г как номер возбужденного состояния мешка

Рис 2 Профиль двумерной поверхности в нетопологическом случае Зна-

чения параметров а В ¡3 пропорциональны размерам области асимптотической свободы и промежуточной области мешка соответственно

Также в главе 2 рассмотрены нетопологические решения, полученные в рамках рассматриваемой модели В данном случае тождествен -ное зануление кирального тока в правой части уравнений движения становится невозможным, в результате чего решение для скалярного поля с линейным поведением в промежуточной области перестает быть точным В работе показано, что оно тем не менее представляет собой хорошее приближение к точному решению, когда константа кварк-мезонной связи д не слишком велика Этот вывод также подтвержден и с помощью вычислений на решетке, в результате которых для скалярного поля был получен профиль, имеющий в промежуточной области поведение близкое к линейному При использовании этого приближения характер зависимости полной энергии мешка от размеров его внутренних областей (см Рис 2) качественно соответствует ожи-

даемому для мезонов: минимальной энергии соответствует конфигурация с нулевым размером фазы асимптотической свободы и конечным (ненулевым) размером промежуточной области, содержащей конститу-энтные кварки.

В главе 3 в рамках разработанной модели рассматривается система двух взаимодействующих мешков с единичными топологическими зарядами. Следуя тем же принципам, что и для случая одного изолированного мешка, получено самосогласованное решение уравнений движения. Основное отличие от случая изолированного мешка состоит в том, что, если для изолированного мешка симметрия конфигурации требует, чтобы размеры левой и правой промежуточных фаз мешка обязательно совпадали, то теперь в результате взаимодействия неизбежно возникает деформация мешка, в результате которой при конечном расстоянии между мешками размеры промежуточных фаз оказываются различными, в то время как градиент поля в этих областях остается одним и тем же. Теперь, однако, это не приводит к нарушению Р-инвариантности, так как мешки всегда могут быть расположены симметрично относительно начала координат. В качестве независимых параметров задачи были выбраны расстояние между мешками Л и размер внутренней области мешка а, на который из требования правильной геометрии системы возникает ограничение снизу а > г/т, где }—дискретный индекс решения, а т—масса мезона. Существенной особенностью данной системы является то обстоятельство, что в силу Р-четности рассматриваемой конфигурации знаки киральных фер-мионных масс могут выбираться различными по разные стороны от области асимптотической свободы, что приводит к наличию дополнительных дискретных характеристик мешков, специфичных для 1 +1 Б. Фактически возникают различные типы мешков, фермионные спектры которых имеют отличия в УФ-асимптотике. В свою очередь, это приводит к существенному изменению характера взаимодействия мешков различных типов на малых расстояниях, поскольку основной вклад в энергию системы двух мешков дает именно фермионная составляющая, имеющая сингулярность в области минимальных допустимых значений а и Д. Так, после перенормировки фермионной составляющей для мешков первого (симметричного) типа энергия всей системы имеет положительную логарифмическую особенность при вида

Е(а,Щ-МЫ(та-г) , (4)

-20

0

Я=0

Рис. 3: Поверхность Е(а, К) для конфигурации двух несимметричных мешков, повернутых друг к другу положительными запирающими стенками. В целях максимальной наглядности профиля энергии шаг по а выбран неравномерным а* =

атт + Ск6а , к > 1.

тогда как в области а > атш она сравнительно медленно убывает с ростом К. Иными словами, в данном случае эффект Казимира в целом приводит к отталкиванию мешков с логарифмической сингулярностью при а Отт- В случае мешков несимметричного типа поведение энергии системы имеет другой характер и принципиально зависит от того, какими сторонами они обращены друг к другу. Показано, что в случае, когда мешки повернуты друг к другу областями с отрицательными запирающими потенциальными стенками, в области а -> атт, как и в первом случае имеет место логарифмический рост с тем существенным отличием, что с ростом К эта особенность постепенно исчезает. В случае, когда эти же мешки обращены друг к другу положительными запирающими стенками, имеет место в точности обратная ситуация: вместо логарифмического барьера при а —► ат1П, теперь возникает логарифмическая потенциальная яма вида

Е(а, Я.) М1п (то — г) ,

(5)

которая с ростом К компенсируется вкладом

-М1п (та - гЧапЬ(тЯ)) .

(6)

Такое поведение энергии, свидетельствующее о возникновении сильного нелинейного взаимодействия между мешками на конечных расстояниях порядка комптоновской длины мезона, энергетический масштаб которого определяется массой составляющего кварка М, во всех рассмотренных случаях находится в согласии с результатами численных расчетов. Энергетическая поверхность для случая, когда взаимодействие между мешками имеет характер притяжения, приведена на Рис. 3.

Необходимо отметить также следующие моменты, сыгравшие принципиальную роль в рассмотренном эффекте:

1. Прежде всего, это трехфазовость модели, поскольку все сингулярности в энергии системы при конечных расстояниях возникают за счет исчезновения той или иной промежуточной фазы мешков. В этом месте еще раз весьма четко проявляется то обстоятельство, что трехфазовая модель мешков на самом деле не имеет гладкого перехода в двухфазовую конфигурацию, в которой промежуточная фаза составляющих кварков изначально отсутствует, несмотря на наличие формального гладкого предела на уровне исходного лагранжиана. Более того, проведенные расчеты показывают, что для двухфазовых мешков возникновение подобных сингулярностей в вакуумной энергии фермионного поля невозможно.

2. Другим важным фактором является то обстоятельство, что, несмотря на доминирующий характер эффектов поляризации ферми-онного вакуума внутри мешков, роль бозонного поля также весьма существенна. Действительно, в конечном счете именно структура бозонного поля определяет условия зануления размеров областей промежуточных фаз, а тем самым и возникновения соответствующих сингулярностей в энергии.

3. Следует также отметить, что, несмотря на определенную упрощающую специфику 14- 1-мерного случая, основные свойства рассмотренного эффекта, обусловленные наличием промежуточной фазы, так или иначе должны проявиться и в трехмерном случае.

Также в главе 3 был проведен детальный анализ проблемы наличия бесконечной энергетической щели, разделяющей мешки различных типов. По отношению к процедуре перенормировки эта проблема проявляется в том, что при вычислении фермионного вклада в энергию

для несимметричных типов мешков оказывается достаточным вычесть слагаемые, соответствующие контрчленам локальной КТП, в то время как для мешков симметричных типов требуется также произвести дополнительное вычитание бесконечной поверхностной энергии, обусловленной наличием однотипных границ мешка. Показано также, что если поместить систему двух взаимодействующих мешков в "ящик" большого, но конечного размера, то бесконечная разность в энергии различных типов мешков сохраняется и при конечном MQ, причем в зависимости от вида "ящика", в который они помещаются, по отношению к этой расходимости в энергии разные типы мешков могут группироваться самым различным образом.

В главе 4 проведено обобщение основных методов, развитых в предыдущих главах, на SU(2)-BepcHio ГКМ с пионной динамикой скир-мовского типа в 3 + 1 D. В частности, разбиение мешка на фазы осуществляется в полной аналогии с двумерными моделями. Процесс построения самосогласованного решения также опирается на условия, во многом аналогичные используемым в 1 + 1 D. На этой стадии отмечаются также и принципиальные отличия от 1 +1 D случая, возникающие в 3+ 1 D. Прежде всего, для придания солитонного характера решению для пионного поля во внешней области мешка теперь не требуется вводить дополнительное самодействие мезонов, поскольку требуемый топологический характер решения автоматически обеспечивается за счет скирмионной hedgehog-конфигурации пионного поля. Кроме того, при анализе уравнений на фермионный спектр показано, что в данном случае оказывается принципиально невозможным исключить из рассмотрения нулевую фермионную моду подобно тому, как это делалось в 1 + 1 D. Последнее обстоятельство и необходимость обеспечить существование самосогласованного решения для игрального угла в виде F = тг/2 в фазе составляющих кварков приводит к дополнительному "уравнению компенсации", связывающему поведение фермионной М(г) и пионной тп(г) массовых функций в промежуточной области мешка. Далее, из условия Л/(г -»• R) -4 +оо было получено следующее интегральное условие на

в котором интегрирование ведется в пределах от размера внутренней области асимптотической свободы а до внешнего радиуса мешка Я.

(7)

8.20

8.00 7.80 7.60 7.40 7.20 7.00

Рис. 4: Энергия трехфазового мешка в 3 + 1 D как функция его радиуса для оптимальных значений исходных параметров модели.

В частном случае, когда массовая функция мезонов в промежуточной области мешка выбирается в виде константы {тк(г) = т¡¡. при а < г < й), это соотношение приобретает вид зависимости, связывающей радиус мешка и размер области асимптотической свободы

а массовая функция составляющих кварков имеет вид

(9)

После исключения с учетом полученной зависимости лишних степеней свободы производится вычисление вкладов в полную энергию от различных областей мешка. При этом вклады внутренней и промежуточной областей мешка вычисляются точно, а вклад внешней области определяется численно. Последующая процедура минимизации энергии

мешка позволяет определить оптимальные значения исходных параметров модели, таких как вакуумное давление В и константа скирмов-ского самодействия е в промежуточной области, при которых энергия мешка и его характеристические размеры находятся в согласии с их значениями, определяемыми из других подходов.

На Рис. 4 приведен график зависимости энергии мешка от радиуса для оптимальных значений исходных параметров модели, при которых минимум энергии реализуется при радиусе мешка ~ 0.5 Фм (в используемой в данной главе системе единиц — 0.35) и составляет ~ 1 ГэВ (7.0 в используемых единицах).

Основные результаты

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Разработана содержательная трехфазовая гибридная киральная модель кваркового мешка в 1 + 1 Б, в рамках которой в приближении среднего поля по мезонной компоненте построены самосогласованные решения уравнений движения, описывающие мешки с различными значениями топологического заряда.

2. Для таких решений проведено исследование перенормированной полной энергии мешка как функции параметров, характеризующих его геометрию, и топологического заряда.

3. Получены самосогласованные решения, описывающие конфигурации двух взаимодействующих мешков в рамках трехфазовой модели, изучены эффекты взаимодействия в системах такого типа. Показано, что в системе двух трехфазовых мешков поляризация фермионного вакуума приводит к возникновению сильного нелинейного взаимодействия на малых расстояниях, причем в зависимости от характеристик мешков это может быть как отталкивание, так и притяжение.

4. Разработана трехфазовая модификация 8И(2)—гибридного кираль-ного мешка в 3 + 1 Б, для которой найдены самосогласованные решения уравнений движения. При этом в промежуточной фазе масса составляющих кварков становится функцией радиуса М(г), которая растет от начального ненулевого значения до эффективной бесконечности на границе мешка.

5 Для такого трехфазового мешка определены оптимальные значения исходных параметров модели, при которых его масса и характеристические размеры соответствуют параметрам нуклона Показано, что они находятся в соответствии с их значениями, найденными в рамках других подходов

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1 Малахов И Ю , Свешников К А , Федоров С М , Халили М Ф "Топологические и нетопологические конфигурации в 3-фазовоймоде-ли гибридного кирального мешка", Теор и мат физ , 132 (2002), 238,

2 Малахов И Ю , Свешников К А "Эффекты поляризации вакуума в системе двух трехфазовых киралъных мешков", Теор и мат физ , 132 (2002), 363,

3 К Sveshmkov, Б Malakhov, M Khalih, S Fedorov "Topological and nontopologtcal solutions for the chtral bag model with constituent quarks", Particles and Nuclei, Letters, 113 (2002), 14,

4 Малахов И Ю , "Эффект Казимира в системе двух трехфазовых киральныхмешков", "Ломоносов-2003", секция "Физика", сб тез , 176,

5 Малахов И Ю , "Метод вычисления энергии Казимира при наличии логарифмически расходящихся членов", "Ломоносов-2004", секция "Физика", сб тез , 249,

6 И Malakhov, P Silaev, К Sveshnikov "Method of Castmir energy renormahzation m the presence of loganthmical divergencies", In the proc of the 13th bit Sem "Quarks'2004", 45,

7 Малахов И Ю , Свешников К А , Силаев П К "Безвычитатель-ная перенормировка вакуумной энергии квантованного поля при наличии нетривиальных граничных условий", Теор и мат физ , 143 (2005), 49

Подписано в печать 9.03.2004 Объем 1.5усл.п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 27 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

(M. ty

122

1 Введение

1.1 Основные модели описания сильных взаимодействий.

1.2 Эффективные низкоэнергетические модели в физике адронов.

1.2.1 Модель Скирма

1.2.2 Модели кварков ых мешков.

1.2.3 Модель MIT

1.2.4 Восстановление киральной симметрии в гибридных моделях мешков.

1.3 Цели работы.

1.4 Основные положения, выносимые на защиту.

1.5 Структура работы.

2 Топологические и нетопологические решения в модели кирального мешка с составляющими кварками

2.1 Лагранжиан и уравнения движения.

2.2 Решения с единичным топологическим зарядом.

2.3 Полная энергия мешка для ненулевого топологического заряда

2.4 Мешки с нулевым топологическим зарядом

3 Эффекты взаимодействия в системе двух трехфазовых киральных мешков

3.1 Самосогласованное решение для системы двух топологических мешков

3.2 Деформированный мешок и его дискретные характеристики

3.3 Полная энергия конфигурации двух мешков.

3.4 О разнице в статусе различных типов мешков.

4 Трехфазовая гибридная киральная 8и(2)-модель кваркового мешка в 3 + 1 D

4.1 Структура трехфазового мешка в 3 + 1 D

4.2 Самосогласованные решения уравнений движения

4.2.1 Уравнения движения пионного поля.

4.2.2 Уравнения движения фермионов.

4.2.3 Уравнение компенсации.

4.3 Вычисление вклада пионного поля в полную энергию мешка.

4.4 Определение оптимальных значений исходных параметров модели

4.4.1 Выбор единиц измерения.

4.4.2 Определение затравочных параметров в модели без вакуумного давления.

4.4.3 Определение затравочных параметров в модели с вакуумным давлением.

1.1 Основные модели описания сильных взаимодействий Квантовая хромодинамика (КХД) является в настоящее время единственным реальным кандидатом на роль теории, описывающей сильные взаимодействия [1, 2, 3, 4]. Это перенормируемая калибровочная квантовал теория поля с разработанным вычислительным аппаратом, основанная на надежно установленных экспериментальных фактах и хорошо подтвержденная при исследовании процессов, происходящих при высоких энергиях, когда бегущая константа связи as мала, и возможно проведение расчетов по теории возмущений [5, 6, 7]. Следует особо отметить, что в пертурбативной области КХД доказано такое важное свойство сильных взаимодействий, как асимптотическая свобода [8, 9]. В целом, многочисленные успехи КХД не оставляют сомнений в том, что на данный момент именно эта теория наиболее близка к правильной теории адронов.Однако, поскольку в области достаточно низких энергий или, что эквивалентно, на больших расстояниях (порядка 1 Фм) константа связи as растет, теория возмущений теряет смысл, в результате чего исследование таких явлений, как спонтанное нарушение киральной симметрии [10, 11, 12] и конфайнмент [13], играющих важную роль при изучении адрона как связанного состояния, требует выхода за рамки теории возмущений. Для работы в этой области предложены различные подходы, не связанные непосредственно с разложением в ряд по константе связи, такие как КХД на решетке [14], метод правил сумм [15] и 1/]\Гс-разложение, и в их рамках получены важные результаты (в частности, удалось показать, что явление конфайнмента на решетке получается автоматически). К сожалению, на данном этапе развития эти подходы еще не свободны от недостатков и нерешенных проблем, в связи с чем в настоящее время представляется необходимым разрабатывать различные модели описания адронов в области низких энергий, краткому обзору которых посвящен следующий раздел.

5.2 Основные результаты

Основными результатами, полученными в данной диссертационной работе, являются следующие:

1. Разработана содержательная трехфазовая гибридная киральная модель квар-кового мешка в 1 + 1 D, в рамках которой в приближении среднего поля по мезонной компоненте построены самосогласованные решения уравнений движения, описывающие мешки с различными значениями топологического заряда.

2. Для таких решений проведено исследование перенормированной полной энергии мешка как функции параметров, характеризующих его геометрию, и топологического заряда.

3. Получены самосогласованные решения, описывающие конфигурации двух взаимодействующих мешков в рамках трехфазовой модели, изучены эффекты взаимодействия в системах такого типа. Показано, что в системе двух трехфазовых мешков поляризация фермионного вакуума приводит к возникновению сильного нелинейного взаимодействия на малых расстояниях, причем в зависимости от характеристик мешков это может быть как отталкивание, так и притяжение.

4. Разработана трехфазовая модификация SU(2)—гибридного кирального мешка в 3 + 1 D, для которой найдены самосогласованные решения уравнений движения. При этом в промежуточной фазе масса составляющих кварков становится функцией радиуса М(г), которая растет от начального ненулевого значения до эффективной бесконечности на границе мешка.

5. Для такого трехфазового мешка определены оптимальные значения исходных параметров модели, при которых его масса и характеристические размеры соответствуют параметрам нуклона. Показано, что они находятся в соответствии с их значениями, найденными в рамках других подходов.

Благодарности

Данная работа была выполнена под руководством проф. К. А. Свешникова, которому автор считает своим приятным долгом принести свою искреннюю и глубокую благодарность. Считаю необходимым отметить участие и поблагодарить доц. П. К. Силаева (МГУ), чьи неоценимые консультации в области численных расчетов способствовали получению большинства результатов в окончательном виде. Также выражаю благодарность всему коллективу кафедры Квантовой теории и физики высоких энергий за создание доброжелательной и творческой атмосферы.

1. W. Marchiano, H. Pagels, "Quantum Chromodynamtcs", Phys. Reports 36 (1978), 138;

2. A. Pich, "Quantum Chromodynamicf, hep-th/9505231;

3. F.J. Yndurain, "Quantum Chromodynamtcd', Springer-Verlag, Berlin, 1983;

4. T. Muta, "Foundations of Quantum Chromodynamictf', Lecture Notes in Physics, Volume 5, World Scientific, Singapore, 1987;

5. D.J. Gross, "A Theory of Strong Interactions?, Phys. Reports 49 (1979), 143;

6. E. Reya, "Perturbatwe QCD', Phys. Reports 65 (1981), 195;

7. A.H. Mueller, "Perturbative QCD at High Energies?, Phys. Reports 73 (1981), 237;

8. J. Kogut, L. Susskind, " The Parton Structure of Elementary Particles", Phys. Reports 8 (1973), 75;

9. H.D. Politzer, "Asymptotic Freedom: An Approach to Strong Interactions", Phys. Reports 14 (1974), 129;

10. H. Pagels, "Departures from Chiral Symmetrf, Phys. Reports 16 (1975), 219;

11. G.A. Christos, "Chiral Symmetry and U(l) Problem", Phys. Reports 116 (1984), 251;

12. M. Rho, "Chiral Symmerty in Nuclear Physics", nucl-th/9812012;

13. M. Bander, " Theories of Quark Confinement, Phys. Reports 75 (1981), 205;

14. M. Creutz, "Quarks, Gluons and LatticedCambridge University Press, 1983;

15. L.J. Reinders, H. Rubinstein, S. Yazaki, "Hadron Properties from QCD Sum Ruled', Phys. Reports 127 (1985), 1;

16. Николаев В.А., "Модель Скирма: Нуклоны, дибарионы, ядра", ЭЧАЯ 20 (1989), 401;

17. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И., "Модель Скирма и сильные взаимодействия", УФН 162 (1992), 1;

18. Е. Witten, "Baryons in the 1/N Expansion" Nucl. Phys. В 160 (1979), 461;

19. I. Zahed, G.E. Brown, "The Skyrme Model", Phys. Reports 142 (1986), 1;

20. Т. Gisiger, М.В. Paranjape, "Recent Mathematical Development in the Skyrme ModeV, Phys. Reports 306 (1998), 109;

21. M. Gell-Mann, Y. Ne'eman, "The Eightfold Way", Benjamin, New York, 1964;

22. K. Kokkedee, "The Quark Model", Benjamin, New York, 1969;

23. F.E. Close, "An Introduction to Quarks and Partons", Academic Press, London, 1979;

24. N. Isgur, G. Karl, "Ground state baryons in a quark model with hyperfine interactions", Phys. Rev. D 20 (1979), 1191;

25. A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, С. B. Thorn, V. Weisskopf, "New Extended Model of Hadrons", Phys. Rev. D 9 (1974), 3471;

26. P. Hasenfratz, J. Kuti, "The Quark Bag Models", Phys. Reports 40 (1978), 76;

27. P.N. Bogolyubov, A.E. Dorokhov, "Present status of the quark bag model", Phys. Part. Nucl. 18 (1987), 391;

28. A.W. Thomas, "Chiral Symmetry and the Bag Models: A New Starting Point for Nuclear Physics", Adv. Nucl. Phys. 13 (1984), 1;

29. K. Johnson, "The MIT Bag Model", Acta Phys. Pol. В 6 (1975), 865;

30. M. Machleidt, K.Holinde, C.Elster, "The Bonn meson exchange model for the nucleon nucleon interaction", Phys. Reports 149 (1987), 1;

31. M. Lacombe at al., "Parametrization of the paris N-N potential", Phys. Rev. С 21 (1980), 861;32. "Mesons in Nuclei", eds. M. Rho, D.W. Wilkinson, North-Holland, Amsterdam, 1979;

32. M.Rho, "Pion interactions wtthtn nuclet", Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 34 (1984), 531;

33. T. Inoue, T. Maskawa, "The bag theory with Dirichlet boundary conditions and spontaneous symmetry breakdown", Progr. Theor. Phys. 54 (1975), 1833;

34. A. Chodos, C.B. Thorn, "Chiral Invartance in a Bag Theory", Phys.Rev. D 11 (1975), 2733;

35. M. Bando, T. Kugo, K. Yamawaki, "Nonlinear realization and hidden local symmetries", Phys. Reports 164 (1988), 217;

36. F. Myhrer, "The chiral quark bag: properties and spectroscopy of baryons and the nuclear force", Int. Rev. Nucl. Phys. 1 (1984), 326;

37. I. Hulthage, F. Myhrer, Z. Xu, "On mass corrections and the axial coupling constant in the chiral quark model", Nucl. Phys. A 364 (1981), 322;

38. G. E. Brown, M. Rho, "The Little Bag", Phys. Lett. В 82 (1979), 177;

39. V. Vento, M. Rho, E.M. Nyman, J.H. Jun, G.E. Brown, "Chiral pion dynamics for spherical nucleon bags", Nucl. Phys. A 345 (1980), 413;

40. P.J. Mulders, "Theoretical aspects of hybrid chira\ bag models", Phys.Rev. D 30 (1984), 1073;

41. L. Vepstas, A.D. Jackson, "Justifying the Chiral Bag", Phys. Reports 187 (1990), 109;

42. M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten, "Heat Kernel Coefficients of the Laplace Operator on the D-Dimenstonal Bal", J. Math. Phys. 37 (1996), 895;

43. H. Falomir, M. DeFrancia, E.M. Santangelo, "Cheshire cat scenario in a (3+1)-dimensional hybrid chiral bag", Phys.Lett. В 371 (1996), 285;

44. E. Elizalde, M. Bordag, K. Kirsten, "Casimir Energy in the MIT Bag Model", J. Phys. A 31 (1998), 1743;

45. Малахов И.Ю., "Метод вычисления энергии Казимира при наличии логарифмически расходящихся членов", "Ломоносов-2004", секция "Физика", сб. тез., 249;

46. И. Malakhov, P. Silaev, К. Sveshnikov, "Method of Casimir energy renormaliza-tion in the presence of logarithmical divergencies", In the proc. of the 13th Int. Sem. "Quarks'2004", 45;

47. Малахов И.Ю., Свешников К.А., Силаев П.К., "Безвычитательная перенормировка вакуумной энергии квантованного поля при наличии нетривиальных граничных условий", Теор. и мат. физ., 143 (2005), 49;

48. S. Gasiorowicz, J.L. Rosner, "Hadron spectra and quarks", Amer.J.Phys. 49 (1981), 954;

49. M. Lavelle, D. McMillan, "Constituent quarks from QCD", Phys. Reports 279 (1997), 1;

50. Малахов И.Ю., Свешников К.А., Федоров C.M., Халили М.Ф., "Топологические и нетопологические конфигурации в 3-фазовой модели гибридного кирального мешка", Теор. и мат. физ., 132 (2002), 238;

51. К. Sveshnikov, II. Malakhov, М. Khalili, S. Fedorov, "Topological and nontopo-logical solutions for the chiral bag model with constituent quarks", Particles and Nuclei, Letters, 113 (2002), 14;

52. Малахов И.Ю., Свешников К.А., "Эффекты поляризации вакуума в системе двух трехфазовых киральных мешков", Теор. и мат. физ., 132 (2002), 363;

53. Малахов И.Ю., "Эффект Казимира в системе двух трехфазовых киральных мешков", "Ломоносов-2003", секция "Физика", сб. тез., 176;

54. G. Holzwarth, В. Schwesinger, "Baryons in the Skyrme Model", Rep. Progr.Phys. 49 (1986), 825;

55. Дж. Шриффер, "Теория сверхпроводимости", М. Наука, 1970;

56. R. Jackiw, С. Rebbi, "Solitons withfermion number 1/2", Phys. Rev. D 13 (1976), 3398;