Энергия Казимира диэлектриков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию энергии Казимира [6] нескольких диэлектрических систем при нулевой температуре с использованием методов квантовой теории поля.

Основное определение энергии Казимира - полусумма всех классических собственных частот системы. Часто рассматривается классическая система из одного или нескольких диэлектриков, где в пространстве макроскопически задана диэлектрическая проницаемость е(и>,г). Решение уравнений классической электродинамики позволяет определить собственные частоты данной системы. При этом на границе макроскопических тел накладываются граничные условия, известные из классической электродинамики. Граничные условия, накладываемые на систему, привносят дискретность в спектр собственных частот системы. Физический смысл обычно имеет только разность между дискретным и непрерывным спектром системы, которая физически соответствует изменению энергии при внесении в пустое пространство макроскопических тел, именно это изменение энергии и может быть измерено в эксперименте.

Для вычисления энергии Казимира использовались различные подходы, см. [7] - [18]. В настоящей работе рассматривается подход, основанный на функциях Грина заданной макроскопической системы.

Материал диссертации изложен следующим образом. В главе 1 с помощью однопетлевого эффективного действия ([19] - [22]) и функционального интегрирования обосновывается формализм, первоначально предложенный Е.М.Лифшицем для вычисления энергии Казимира в рамках статистической физики [23].

Далее рассмотрены три примера: энергия Казимира поляризуемой частицы, находящейся внутри идеально проводящей полости клиновидной формы [1] (глава 2), энергия Казимира поляризуемой частицы, находящейся в окрестности диэлектрического шара [4] (глава 3, параграф 3.1) и энергия Казимира разреженного диэлектрического шара (глава 3, параграфы 3.2 — 3.8). В заключении сформулированы основные результаты работы.

Рассматриваемые в работе примеры иллюстрируют два различных режима: систему из разделенных неразреженных диэлектриков, где необходимо учитывать эффекты непарного взаимодействия системы многих тел, и разреженный односвязный диэлектрик с парным диполь - диполь-ным взаимодействием между атомами.

Идеально проводящий клин рассмотрен в главе 2 и обобщает геометрию плоскости, первоначально рассмотренную Казимиром и Полдером в 1948 году [24]. Вычисление энергии Казимира данной системы в макроскопическом подходе возможно благодаря наложению граничных условий на квантовые флуктуации и решению уравнений для пропагатора, удовлетворяющего этим граничным условиям. Граничные условия являются основной отличительной особенностью эффекта Казимира. Таким образом, накладывая граничные условия, можно сразу вычислить сумму всех однопетлевых многочастичных взаимодействий между нейтральными атомами макроскопических тел, находящимися в основном состоянии, что является альтернативным определением энергии Казимира с микроскопической точки зрения. Один из экспериментальных способов исследования эффекта Казимира - изучение взаимодействия пучков нейтральных атомов в основном состоянии с металлическими поверхностями различной формы. Аналитический расчет энергии Казимира для той или иной геометрии дает принципиальную возможность экспериментального исследования результатов для данной геометрии. Вычисление энергии Казимира поляризуемой частицы, взаимодействующей с идеально проводящим клином, делает возможным непосредственную экспериментальную проверку в силу того, что геометрия клина является наиболее удобной для экспериментального исследования пучков атомов.

Изучение энергии Казимира немагнитного диэлектрического шара началось с работы [25]. Особый интерес к изучению энергии Казимира диэлектрического шара появился после работ Ю.Швингера [26] - [30], в которых он указал на возможность объяснения явления сонолюми-несценции пузырей в воде [31, 32] динамическим эффектом Казимира. Зависимость энергии Казимира диэлектрического шара от используемых регуляризаций возникала в каждом макроскопическом подходе к проблеме [33]. Регуляризация плохо определенных выражений остается основной проблемой различных макроскопических подходов к односвяз-ным диэлектрикам и в настоящее время, см. [34[ - [37]. Зная пропагатор электромагнитного поля с классическими граничными условиями, наложенными на границе, можно вычислять энергию Казимира, исходя из тензора энергии-импульса [38, 39]. Изложение в разделах 3.2 - 3.4 основано на таком подходе, исследовавшемся в работе [2]. Используя тензор энергии-импульса, разложение Дебая для функций Риккати - Бесселя и регуляризацию с использованием (-функции, в работе [2] энергия Казимира разреженного диэлектрического шара была вычислена при отсутствии дисперсии диэлектрической проницаемости шара.

Альтернативный макроскопический подход - суммирование всех классических частот системы - ТЕ и ТМ мод, совпадает с исходным определением энергии Казимира как суммы частот всех мод рассматриваемой классической системы [40]. Этот подход лежит в основе формул (142), (146) раздела 3.5. При сравнении вычислений [2] с микроскопическим суммированием потенциала Казимира-Полдера между молекулами шара методом размерной регуляризации, выяснилось, что макроскопические методы с использованием (-функции и микроскопический подход дают один и тот же результат для энергии Казимира разреженного диэлектрического шара [3]:

Ь-ШГа^-1?' W

Тем самым впервые была показана эквивалентность макроскопического и микроскопического подходов к энергии Казимира в односвязном диэлектрике с искривленными границами. После публикации [3] и других работ, в которых был получен член (1), было общепринято считать, что энергия Казимира разреженного диэлектрического шара с постоянной диэлектрической проницаемостью £ равняется (1). Основные методы, которыми был получен член (1), обсуждаются в разделе 3.5.

Однако дальнейшие исследования показали, что простое отбрасывание расходящихся членов методами (-функции или размерной регуляризации нефизично в контексте данной задачи, и результат (1) является лишь пределом одного из членов в полном выражении для энергии Казимира разреженного диэлектрического шара (162).

Взаимосвязи макроскопического и микроскопического подходов посвящен раздел 3.6. Для разделенных макроскопическим расстоянием разреженных диэлектриков было известно, что макроскопический и микроскопический подходы к энергии основного состояния приводят к одному и тому же результату. Поэтому возникла идея получить осмысленные результаты для разреженного диэлектрического шара в рамках микроскопического подхода, и на данном примере проанализировать физические причины появления расходимостей в эффекте Казимира. Кроме этого, необходимо было выяснить роль дисперсии диэлектрической проницаемости шара, так как считалось, что причиной возникновения расходимостей является неправильный учет дисперсии диэлектрической проницаемости при больших частотах.

Энергию Казимира нескольких взаимодействующих макроскопических тел (две параллельные диэлектрические пластины - классический пример Е.Лифшица) удается определить так, что она зависит только от расстояния между макроскопическими телами и дисперсий диэлектрических проницаемостей диэлектриков [41]. В работах [4, 5, 42] было показано, что при расчете энергии Казимира односвязных диэлектриков необходимо учитывать их микроскопическую структуру - межатомное расстояние и дисперсию атомов диэлектрика, при этом конечное межатомное расстояние Л должно входить явным образом в выражение для энергии Казимира диэлектрического шара. При этом все вычисления конечны, расходимости отсутствуют. Расходимости появляются только в нефизическом пределе А —> 0. Показано, что в пределе А —» 0 энергия Казимира диэлектрического шара расходится при любой частотной дисперсии диэлектрической проницаемости. Классическая энергия диэлек трического шара равна нулю в силу того, что он состоит из нейтральных атомов. Поэтому производить перенормировку получаемых выражений для энергии Казимира односвязных диэлектриков не требуется. Параграфы 3.7,3.8 третьей главы основываются на результатах [4, 5] и посвящены предложенному в этих работах микроскопическому подходу. Для разреженного односвязного диэлектрика энергия Казимира равна сумме всех парных диполь-дипольных взаимодействий между атомами диэлектрика. Выражение для энергии Казимира разреженного диэлектрического шара с произвольной частотной дисперсией диэлектрической проницаемости (162) впервые получено в работе [5]. Показано, что сила Казимира, действующая на диэлектрический шар, является силой притяжения.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Мы используем рациональную гауссову систему единиц, где h = с = 1, поляризуемость се (га;) определена условием е{1ш) — 1 = 4лра(гси), р- плотность атомов, потенциал Казимира-Полдера равен —23ai(0)Q:2(0)/47rr7.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на основных международных конференциях 2001 года по эффекту Казимира: "Quantum gravity and spectral geometry"(Неаполь, 2001), "Quantum field theory under the influence of external conditions "(Лейпциг, 2001), а также на "International V.A.Fock School for Advances of Physics (IFSAP-2001): Quantum field methods "(Санкт-Петербург, 2001).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. I.Brevik, M.Lygren, V.N.Marachevsky Casimir-Polder effect for a perfectly conducting wedge. - Annals of Physics, 1998, V. 267, P. 134-142.

2. I.Brevik, V.N.Marachevsky Casimir surface force on a dilute dielectric ball. - Physical Review D, 1999, V.60, id.085006.

3. I.Brevik, V.N.Marachevsky, K.A.Milton Identity of the van der Waals force and the Casimir effect and the irrelevance of these phenomena to sonoluminescence. - Physical Review Letters, 1999, V.82, P. 3948-3951 (hep-th/9810062).

4. V.N.Marachevsky Casimir energy and dilute dielectric ball. - Physica Scripta, 2001, V.64, P. 205-211 (hep-th/0010214).

5. V.N.Marachevsky Casimir energy and realistic model of dilute dielectric ball. - Modern Physics Letters A, 2001, V.16, P. 1007-1016 (hep-th/0101062).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации - 68 страниц, включая библиографию из 69 наименований. Работа содержит 4 рисунка, размещенных внутри глав.

Заключение

В настоящей работе получены следующие результаты:

1. Получено обобщение формулы Казимира-Полдера для энергии поляризуемой частицы над идеально проводящей плоскостью, на случай системы, состоящей из поляризуемой частицы и идеально проводящего клина: формула (61).

2. Получена формула для энергии Казимира поляризуемой частицы вне диэлектрического шара с произвольной частотной дисперсией диэлектрической проницаемости: формула (93).

3. Получена формула для энергии Казимира разреженного диэлектрического шара с произвольной частотной дисперсией диэлектрической проницаемости: формула (162). Показано, что сила Казимира, действующая на поверхность шара - сила притяжения: формула (170). Решена проблема расходимостей в энергии Казимира односвязных диэлектриков: при расчете энергии Казимира односвязных диэлектриков необходимо явным образом учитывать межатомные расстояния, при этом минимальное межатомное расстояние Л между атомами диэлектрика должно входить в ответ для энергии Казимира. При вычислениях в таком подходе не возникает расходимостей. Межатомное расстояние Л является естественным физическим параметром обрезания. Показано, что в пределе Л —> О энергия Казимира диэлектрического шара расходится при любой частотной дисперсии диэлектрической проницаемости.

4. При расчете энергии Казимира диэлектрического шара применена новая регуляризация в квантовой теории поля, которую можно назвать атомной регуляризацией (см. рисунки 2,3,4).

5. Не возникает необходимости в перенормировке получаемой таким образом энергии Казимира диэлектрического шара. Классическая энергия шара полагается равной нулю, и энергия связи диэлектрического шара совпадает в данном подходе с энергией Казимира шаpa.

6. Показана эквивалентность макроскопического и микроскопического подходов к энергии Казимира разреженного диэлектрического шара: член в выражении для энергии, не зависящий от межатомного расстояния Л, был получен аналитически с помощью суммирования по собственным частотам макроскопической граничной задачи и путем суммирования потенциала взаимодействия между атомами диэлектрического шара в микроскопическом подходе. Для энергии Казимира в задаче с искривленными границами такое соответствие получено впервые (см. параграф 3.5).

Теоретическая и практическая ценность.Предложен новый метод для расчета энергии Казимира односвязных разреженных диэлектриков. Решена проблема расходимостей в энергии Казимира односвязных диэлектриков путем введения естественного физического параметра обрезания - межатомного расстояния. При этом естественным образом решается проблема перенормировки энергии в односвязных диэлектриках.

Полученная аналитическая формула для энергии Казимира поляризуемой частицы внутри идеально проводящего клина делает возможным прямую экспериментальную проверку эффекта Казимира для данной геометрии.

1. I.Brevik, M.Lygren, V.N.Marachevsky, Сasimir-Polder effect for a perfectly conducting wedge. Annals of Physics (N.Y.), 1998, V. 267, P. 134-142.

2. I.Brevik, V.N.Marachevsky, Сasimir surface force on a dilute dielectric ball. Physical Review D, 1999, V.60, id.085006 (hep-th/9901086).

3. I.Brevik, V.N.Marachevsky, K.A.Milton, Identity of the van der Waals force and the Casimir effect and the irrelevance of these phenomena to sonoluminescence. Physical Review Letters, 1999, V.82, P. 3948-3951 (hep-th/9810062).

4. V.N.Marachevsky, Casimir energy and dilute dielectric ball. Physica Scripta, 2001, V.64, P. 205-211 (hep-th/0010214).

5. V.N.Marachevsky, Casimir energy and realistic model of dilute dielectric ball. Modern Physics Letters A, 2001, V.16, P. 1007-1016 (hep-th/0101062).

6. H.B.G.Casimir, On The Attraction Between Two Perfectly Conducting Plates.- Proc.K.Ned.Akad.Wet., 1948, V.51, P.793.

7. И.Е.Дзялошинский, Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Общая теория сил ван дер Ваалъса- УФН, 1961, Т.73, С.381.

8. Ю.С.Бараш, В.Л.Гинзбург, Электромагнитные флуктуации в веществе и молекулярные силы ван дер Ваалъса УФН, 1975, Т. 116, С.5.

9. К.A.Milton, L.L.DeRaad,Jr., .J.Schwinger, Casimir Effect In Dielectrics.- Ann.Phys.(N.Y.), 1978, V.115, P.l.

10. B.JI.Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика1981, Москва, Наука.

11. M.Reuter, W.Dittrich, Regularization schemes for the Casimir effect-Eur.J.Phys., 1985, V.6, P.33.

12. G.Plunien, B.Muller, W.Greiner, The Casimir Effect.- Phys.Rept.C, 1986, V.134, P.87.

13. В.М.Мостепаненко, Н.Н.Трунов, Эффект Казимира и его приложения 1990, Москва, Энергоатомиздат.

14. M.Bordag, K.Kirsten, D.V.Vassilevich, Path integral quantization of electrodynamics in dielectric media- J.Phys.A, 1998, V.31, P.2381.

15. K.A.Milton, The Casimir Effect: Physical Manifestations of Zero-Point Energy, preprint hep-th/9901011.

16. J.S.Hoye, I.Brevik, J.B.Aarseth, The Casimir problem of Spherical Dielectrics: Quantum Statistical and Field Theoretical Approaches.-Phys.Rev.E, 2001, V.63, id.051101.

17. E.M.Santangelo, Evaluation of Casimir energies through spectral functions, preprint hep-th/0104025.

18. M.Bordag, U.Mohideen, V.M.Mostepanenko, New developments in the Casimir effect, preprint quant-ph/0106045.

19. J.Schwinger, Casimir effect in source theory II- Lett.Math.Phys., 1992, V.24, P.59.

20. J.Schwinger, Casimir effect in source theory III— Lett.Math.Phys., 1992, V.24, P.227.

21. J.Schwinger, Casimir energy for dielectrics.- Proc.Natl.Acad.Sci.USA,1992, V.89, P.4091.

22. J.Schwinger, Casimir energy for dielectrics: Spherical geometry — Proc.Natl. Acad.Sci.US A, 1992, V.89, P.1118.

23. E.M.Lifshitz, Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами.- ЖЭТФ, 1955, Т.29, С.94.

24. Н.В.G.Casimir, D.Polder, The Influence Of Retardation On The London-Van Der Waals Forces Phys.Rev.,1948, V.73, P.360.

25. K.A.Milton, Semiclassical Electron Models: Casimir Selfstress In Dielectric And Conducting Balls.- Ann.Phys.(N.Y.), 1980, V.127, P.49.

26. J.Schwinger, Casimir light: A glimpse Proc.Natl.Acad.Sci. USA, 1993, V.90, P.958;

27. J.Schwinger, Casimir light: The source- Proc.Natl.Acad.Sci. USA,1993, V.90, P.2105;

28. J.Schwinger, Casimir light: Photon pairs- Proc.Natl.Acad.Sci. USA, 1993, V.90, P.4505;

29. J.Schwinger, Casimir light: Pieces of the actionProc.Natl.Acad.Sci. USA, 1993, V.90, P.7285;

30. J.Schwinger, Casimir light: Field pressure Proc.Natl.Acad.Sci. USA, 1994, V.91, P.6473;

31. B.P.Barber, R.A.Hiller, L.Lofstedt, S.J.Putterman, K.Weriiger, Defining the unknowns of sonoluminescence- Phys.Rep.C, 1997, V.281, P.65;

32. М.А.Маргулис, Сонолюминесценция УФН, 2000, T.170, С.263.

33. G.Barton, Perturbative check on the Casimir energies of nondispersive dielectric spheres- J.Phys. A: Math.Gen., 1999, V.32 , P.525.

34. M.Bordag, K.Kirsten, Vacuum energy in a spherically symmetric background field.- Phys.Rev.D, 1996, V.53, P.5753.

35. M.Bordag, M.Hellmund, K.Kirsten, Dependence of the vacuum energy on spherically symmetric background fields Phys.Rev.D, 2000, V.61, id.085008.

36. M.Bordag, Ground state energy for massive fields and renormalization.-Comments At.Mol.Phys., 2000, V.00, P.l.

37. H.Falomir, K.Rebora, M.Loewe, Casimir energy for a scalar field with a frequency dependent boundary condition Phys.Rev.D, 2001, V.63, id.025015.

38. L.S.Brown, G.J.Maclay, Vacuum Stress between Conducting Plates: An Image Solution.- Phys.Rev., 1969, V.184, P.1272.

39. D.Deutsch, P.Candelas, Boundary effects in quantum field theory-Phys.Rev.D, 1979, V.20, P.3063.

40. M.Bordag, D.V.Vassilevich, Casimir force between Chern-Simons surfaces.- Phys.Lett.A, 2000, V.268, P.75.

41. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Статистическая Физика, часть 2 (Курс теоретической физики, том IX), 1978, Москва, Наука, глава 8.

42. G.Barton, Perturbative Casimir energies of dispersive spheres, cubes, and cylinders J.Phys.A, 2001, V.34, P.4083.

43. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (Курс теоретической физики, том VIII), 2 изд., 1982, Москва, Наука, глава 9, формула (82.15).

44. В.Б.Берестецкий, Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Квантовая Электродинамика (Курс теоретической физики, том IV), 3 изд., 1989, Москва, Наука, глава 9, формула (85.17).

45. I.Brevik, J.S.Hoye, Van der Waals force derived from a quantum statistical mechanical path integral method- Physica A, 1988, V.153, P.420, eq.(5.15).

46. Ю.С.Бараш, В.Л.Гинзбург, Некоторые вопросы теории сил вам дер Ваалъса.- УФН, 1984, Т.143, С.345.

47. I.Brevik, M.Lygren, Casimir effect for a Perfectly Conducting Wedge-Annals of Physics(N.Y.), 1996, V.251, P.157.

48. G.Barton, Quantum Electrodynamic Level Shifts Between Parallel Mirrors: AnalysisProc.R.Soc.London.Sect. A, 1987, V.410, P.141.

49. G.Barton, Quantum Electrodynamic Level Shifts Between Parallel Mirrors: Applications, Mainly To Rydberg States-Proc.R.Soc.London.Sect. A, 1987, V.410, P.175.

50. K.A.Milton, Y.J.Ng, Casimir energy for a spherical cavity in a dielectric: Applications to sonoluminescence.- Phys.Rev.E, 1997, V.55, P.4297.

51. J.D.Jackson, Classical Electrodynamics, 2 ed., 1975, John Wiley, New York.

52. M.Abramowitz, I.Stegun, Handbook of Mathematical Functions, 9 ed., 1972, Dover, New York.

53. I.Klich, Casimir's energy of a conducting sphere and of a dilute dielectric ball- Phys.Rev.D, 2000, V.61, id.025004.

54. I.Brevik, H.Skurdal, R.Sollie, Casimir surface forces on dielectric media in spherical geometry .- J.Phys. A: Math.Gen., 1994, V.27, P.6853.

55. I.Brevik, R.Sollie, Casimir force on a spherical shell when е/л = 1 .- J. Math. Phys., 1990, V.31, P.1445.

56. K.A.Milton, L.L.DeRaad,Jr., J.Schwinger, Casimir Selfstress On A Perfectly Conducting Spherical Shell- Ann.Phys.(N.Y.), 1978, V.115, P.388.

57. K.A.Milton, Y.J.Ng, Observability of the bulk Casimir effect: Can the dynamical Casimir effect be relevant to sonoluminescence ?.- Phys.Rev.E, 1998, V.57, P.5504.

58. J.S.Hoye, I.Brevik, The Casimir problem of spherical dielectrics: a solution in terms of quantum statistical mechanics J.Stat.Phys., 2000, V.100, P.223.

59. M.Bordag, K.Kirsten, D.Vassilevich, On the ground state energy for a penetrable sphere and for a dielectric ball- Phys.Rev.D, 1999, V.59, id.085011.

60. T.H.Boyer, Quantum Electromagnetic Zero Point Energy Of A Conducting Spherical Shell And The Casimir Model For A Charged Particle.- Phys.Rev., 1968, V.174, P.1764.

61. P.Candelas, Vacuum Energy in the Presence of Dielectric and Conducting Surfaces.- Ann.Phys.(N.Y.), 1982, V.143, P.241.

62. S.Leseduarte, A.Romeo, Complete Zeta-Function Approach to the Electromagnetic Casimir Effect for Spheres and Circles . Ann. Phys. (N.Y.), 1996, V.250, P.448.

63. G.Lambiase, V.V.Nesterenko, M.Bordag, Casimir energy of a ball and cylinder in the zeta function techniqueJ.Math.Phys., 1999, V.40, P.6254.

64. C.R.Hagen, Casimir energy of a spherical shell. Phys.Rev.D, 1999, V.59, id.025007.

65. G.Esposito, A.Yu.Kamenshchik, K.Kirsten, Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell. Int.J.Mod.Phys.A, 1999, V.14, P.281.

66. G.Esposito, A.Yu.Kamenshchik, K.Kirsten, Casimir energy in the axial gauge.- Phys.Rev.D , 2000, V.62, id.085027-1.

67. G.Cognola, E.Elizalde, K.Kirsten, Casimir energies for spherically symmetric cavities. J.Phys.A, 2001, V.34, P.7311.

68. I.Brevik, H.Kolbenstvedt, The Casimir Effect in a Solid Ball when e/i = 1,- Ann.Phys.(N.Y.) , 1982, V.143, P.179;

69. I.Brevik, H.Kolbenstvedt, Electromagnetic Casimir Densities In Dielectric Spherical Media.- Ann.Phys.(N.Y.), 1983, V.149, P.237.