Энергия казимировского взаимодействия в квантовой теории поля на решетке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИИ4612598

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

Улыбышев Максим Владимирович

ЭНЕРГИЯ КАЗИМИРОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИГ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ НА РЕШЕТКЕ

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

1-1 НОЯ 2010

004612598

Работа выполнена на кафедре квантопой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

доктор физико-математических наук профессор К.А.Свешников.

доктор физико-математических наук профессор В.Ч.Жуковский, физический факультет МГУ,

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник В.Г.Борпяков, ИФВЭ, г. Протвино.

Ведущая организация: Лаборатория теоретической физики

им. Н. Н. Боголюбова ОИЯИ, г. Дубна.

Защита состоится 18 ноября 2010 г. с 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, дом 1, строение 2, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан МГЭ^уг 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10,

доктор физико-математических наук профессор ^

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ю.В.Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В последние несколько лет эффекты поляризации квантовополевого вакуума, прежде всего электромагнитный эффект Казимира, привлекают большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов и специалистов в современных технологиях. Это, без сомнения, связано с тем существенным прогрессом в изучении физики микро- и нано-масштабов, который наблюдается в последнее время, и осознанием важности и актуальности возникающих при этом задач. Хорошо известно, что на этих масштабах вакуумные эффекты становятся весьма существенными, зачастую играющими доминирующую роль. Причем, в связи с открытием казимировских сил отталкивания, которые возникают в случаях, когда взаимодействуют тела со специально подобранными диэлектрическими свойствами, эта динамика становится более сложной, с возможностью возникновения устойчивого равновесия. Все это сделало задачу теоретического и численного исследования таких эффектов весьма актуальной.

Таким образом, основные задачи, относящиеся сейчас к сфере вычисления вакуумных сил, могут быть сформулированы следующим образом: одновременный учет сложной формы взаимодействующих тел и их электромагнитных свойств, главным образом, диэлектрической проницаемости. Кроме того, часто необходимо также принимать во внимание температурные и радиационные поправки. Определенный интерес вызывает также эффект Казимира для черн-саймонсовских поверхностей, в связи с тем, что некоторые перспективные тонко-пленочные материалы могут достаточно хорошо описываться дополнительным черн-саймонсовским членом в действии для электромагнитного поля. Кроме того, эффект Казимира играет важную роль в феноменологических квантово-полевых моделях кварковых мешков в низкоэнергетической физике адронов.

Интерес к универсальным методам определения вакуумных сил вызван в первую очередь типом экспериментальных задач, исследуемых в этой области в настоящее время. Прогресс в технике измерений сверхмалых сил, а также в создании наноструктур заранее заданной формы привел к тому, что сейчас уже доступно исследование казимировских сил между поверхностями сложной формы. Причем особый интерес вызывают такие пары взаимодействующих поверхностей, которые могут применяться в перспективных микромеханических устройствах (например, реечная передача, рассматриваемая в данной работе). Точных аналитических методов вычисления вакуумных сил для таких сложных геометрий не существует, а приближенные методы

не дают удовлетворительной точности. Поэтому на первый план выходит разработка универсальных вычислительных алгоритмов, работающих для всех типов поверхностей и материалов.

Цель диссертационной работы.

Построение универсального алгоритма вычисления казимировских сил, применимого для любой формы взаимодействующих тел и для максимально широкого класса материалов. В качестве основы для построения такого метода использован формализм квантовой теории поля на решетке. Соответственно, решение задачи состояло из нескольких этапов: 1) формулировка проблемы в терминах континуальных интегралов; 2) дискретизация выражений - переход к пространственно-временной решетке; 3) монте-карловское вычисление получившихся выражений, то есть определение способа генерации полевых конфигураций и нахождение наблюдаемых, в непрерывном пределе дающих перенормированное значение вакуумной энергии.

Научная новизна работы.

В диссертации разработан новый, отличающийся большой общностью, метод вычисления энергии казимировского взаимодействия, базирующийся на монте-карловских вычислениях в некомпактной решеточной электродинамике. Разработанный формализм может быть эффективно применен для вычисления энергии казимировского взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей сложной формы, проводников и диэлектриков с возможностью учета зависимости диэлектрической проницаемости от частоты.

В процессе построения метода разработано оригинальное решеточное представление черн-саймопсовского действия, являющееся точным инвариантом относительно решеточных калибровочных преобразований. Сформулированы также две новых решеточных наблюдаемых. Одна из них, а именно "вильсоновский мешок", построенный с помощью черн-саймонсовского действия, является прямым обобщением вильсоновской петли на интеграл по трехмерным поверхностям в четырехмерном пространстве. С помощью него можно вычислять казимировскую энергию взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей произвольной формы. Другая наблюдаемая позволяет на решетке получить распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана в присутствии проводников или диэлектрических тел.

Для новых наблюдаемых в некомпактной решеточной электродинамике сформулирована процедура перехода к непрерывному пределу. Показано, что она существенно отличается от разработанных к настоящему времени методов перехода к непрерывному пределу в компактных решеточных теориях.

Разработанный метод был применен для исследования задачи о касатсль-

ных казимировских силах между поверхностями сложной формы (прямоугольные гребенки). Впервые за рамками весьма грубого РРА-приближения получена энергия казимировского взаимодействия прямоугольных гребенок в зависимости от их касательного смещения.

Практическая значимость работы.

Предложенный в работе метод может быть использован при вычислении вакуумных сил в случае взаимодействия тел сложной формы и различных диэлектрических свойств, в особенности для описания казимировских сил в отдельных узлах перспективных микромеханических устройств. Важной практической задачей, где он может быть применен в настоящее время, является поиск таких комбинаций диэлектрических свойств и формы взаимодействующих тел, которые приводят к установлению устойчивого равновесия за счет действия вакуумных сил.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, указанных в конце автореферата.

Апробация работы.

Результаты диссертации были представлены в виде докладов на 7-ой зимней школе по теоретической физике (Дубна, 26 января - 4 февраля 2009г.) и 14-ой Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 19-25 августа 2009г.). Работа также докладывалась на семинарах ЛТФ ОИЯИ, ИТЭФ и ОТФВЭ НИИЯФ МГУ в 2010 г.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста и заключения, содержит 27 рисунков, а также список литературы (41 название). Объем диссертации 72 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении указана цель работы, обоснована актуальность поставленной задачи. Дается краткий обзор работ по теме диссертации. Обсуждаются особенности предлагаемого метода. Показана научная новизна и практическая ценность диссертации.

В первой главе рассматривается описание эффекта Казимира для черн-саймонсовских поверхностей в теории поля на решетке. В этом случае наблюдаемую можно построить аналогично петле Вильсона, как некий дополнительный член в действии, локализованный на граничной поверхности.

В разделе 1.1 делается обзор уже известных результатов относительно описания эффекта Казимира для черн-саймонсовских поверхностей. Особое внимание уделяется простейшей геометрии двух параллельных плоскостей бесконечного размера. Эта задача является точно решаемой и позволяет проиллюстрировать все особенности таких границ. Кроме того, точно решаемый пример будет полезен в дальнейшем, когда будет построен решеточный формализм и нужно будет его проверять на простейших примерах.

Система, которая будет переноситься на решетку, выглядит следующим образом: это электромагнитное поле в 4-мерном пространстве-времени с макс-вслловским действием и дополнительным черн-саймонсовским действием, локализованным на 3-мерной поверхности Б:

5 =

-\j¿x V" d3s e^^A^F^x).. (1)

здесь za>í"p - тензор Леви-Чивита, а па - нормаль к граничной поверхности S, А - действительный параметр.

В случае простейшей граничной поверхности S, состоящей из двух бесконечных плоско-параллельных поверхностей, расположенных на расстоянии R друг от друга, аналитический ответ для энергии Казимира, отнесенной к единице поверхности пластин, известен (Марков, Письмак, 2006) и дается следующим выражением:

7Г2

ECas = ~720пз/(А)' (2)

где функция /(А) представляет из себя полилогарифм четвертой степени:

9V 1 д2

/(А) = -jLi4

7Г4 \ А2 + 1

при этом Мша-юо /(А) = 1.

Именно с этим ответом в дальнейшем будет проведено сравнение при тестировании решеточных алгоритмов для черн-саймонсовских поверхностей.

В разделе 2.2 строится наблюдаемая для вычисления вакуумной энергии взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей - "Вильсоновский мешок". Вначале определяется конкретная решеточная теория, в которой будут проводиться все вычисления. Это некомпактная U( 1) калибровочная теория в евклидовом времени на четырехмерной гииеркубичсской решетке. Действие теории имеет вид:

5 = f ЕЕ СЛ*). (з)

£ X Ц<1/

где линковые и плакетные переменные определены следующим образом:

OiAx) = е а Aß'

Д^АДж) = 0t.„(x + р.) - 0(,Дж).

Здесь а — это шаг решетки, ¿г - вектор длиной в шаг решетки и направлением, определяемым индексом ц. Решеточный параметр ß = 1 /д2. Решетка образована узлами — точками в пространстве в вершинах четырехмерных кубов. Линки — отрезки, соединяющие узлы. Плаксты — двумерные квадраты — грани кубов. Физические величины в решеточной теории вычисляются в терминах средних по полевым конфигурациям (совокупностям всех линковых переменных), генерируемым со статистическим весом е-5.

Наблюдаемая для вычисления казимировской энергии взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей строится по аналогии с вильсоновской петлей, описывающей взаимодействия точечных заряженных частиц. В КЭД вильсоновская петля записывается следующим образом:

тг, igfAhdxh i Г г л ¿т4

wc = е с = ег-> . (4)

Показатель экспоненты в (4) есть дополнительный член в действии, описывающий взаимодействие поля Aß с током Jß{x) = g § S(x — £заряженной частицы. Среднее по конфигурациям от вильсоновской петли {W(R,T)) (здесь R и Т - размеры петли) стремится в евклидовом времени в пределе Т —> оо к:

{W(R,T)) ->Се~у(я)т,

где V(R) - энергия взаимодействия заряженных частиц. Этот же метод может быть использован для вычисления казимировской энергии с использованием черн-саймонсовского действия.

п

Я

7

т

п

п

/ХУ

К

г

Рис. 1: Вильсоновский мешок для двух параллельных пластин.

Аналогично описанию взаимодействия заряженных частиц одномерным интегралом по вильсоновской петле, мы будем описывать казимировское взаимодействие соответствующим трехмерным интегралом. Но па пути к формулировке, пригодной для решеточных расчетов, есть два препятствия.

Во-первых, для стационарных объектов черн-саймонсовское действие - это интеграл от Ь = —оо до í = оо, так что, по аналогии с вильсоновской петлей, в решеточной формулировке мы должны замкнуть поверхность интегрирования во временном направлении. Итоговая поверхность интегрирования для задачи о двух плоскостях показана на рис. 1. Эта процедура замыкания, очевидно, может быть применена для любых криволинейных поверхностей. Результатом процедуры является "вильсоновский мешок". Для произвольной поверхности ои может быть записан следующим образом:

где £ - замкнутая трехмерная поверхность в четырехмерном пространстве-времени. Таким образом, "вильсоновский мешок" (по аналогии с Вильсоновской петлей) является наблюдаемой величиной, которая, будучи усредненной по полевым конфигурациям, даст нам величину казимировской энергии взаимодействия объектов, определенных поверхностью интегрирования.

Во-вторых, необходимо переписать эту наблюдаемую в терминах решеточных объектов (линков и планетов). Произведение

может быть воспроизведено точно только в некомпактной КЭД, потому что только в этом случае линковал переменная „ является точным решеточным аналогом Л„. а плакетная переменная 0Р1Ш является решеточным аналогом

ех

Решеточная реализация нашей наблюдаемой, вильсоиовского "мешка", должна отвечать следующим требованиям:

1) Калибровочная инвариантность. Полный интеграл по замкнутой поверхности для "вильсоиовского мешка" должен быть калибровочным инвариантом относительно решеточной реализации калибровочных преобразований.

2) "Локальность". В предлагаемом решеточном представлении величины A¡>Fpcr, Лц и Fpa должны быть заданы в одной и той же точке х. Это требование нетривиально потому, что врра задает величину напряженности поля F^ в центре плакета, в то время как 9V задает величину поля Аи в центре линка, а это разные точки.

В работе показывается, что удовлетворяющую всем этим требованиям наблюдаемую можно построить в три этапа.

1) Базовым элементом для построения решеточного черн-саймонсовского действия будет "уголок": произведение линковой переменной и одной из соседних плакетных переменных. Это произведение является решеточным аналогом ДЛЯ AvFpa.

2) Вводится новая решеточная переменная, соответствующая одному трехмерному кубу:

0C4í{x) = e^pt,{0i^{x) + Oiy(x + р) + Oi.u{x + <х) +

+0lM(х + р + стЖ^.рДж) -f вр.^х + 0)). (5)

Эта переменная является суммой всех возможных вариантов "уголков" трех возможных ориентации внутри одного трехмерного куба, который определен узлом решетки (это одна из его вершин) и четырехмерным вектором п.ц (определяет направление ребер куба).

3) Очевидно, любая трехмерная поверхность в четырехмерном пространстве может быть аппроксимирована на решетке набором трехмерных кубиков, которые подсоединяются друг к другу, имея каждый раз общую с соседним кубиком грань. В результате, решеточное представление для черн-саймонсовского действия на произвольной замкнутой поверхности Т, может быть записано следующим образом:

scs=~E п^вс.^х). (6)

8 zeE

где пм(ж) - нормальный вектор к поверхности.

Таким образом полностью сформулирована решеточная наблюдаемая для казимировской энергии взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей.

Глава 2 посвящена описание эффекта Казимира на решетке для идеальных проводников и диэлектриков.

В первом разделе 2.1 описывается реализация граничных условий для проводников на решетке. В качестве примера рассматривается сверхпроводник, вытесняющий и электрическое и магнитное поле. Его можно описать граничными условиями:

£|||s = 0, Hn\s = 0. (7)

На решетке любая поверхность аппроксимируется плоскостями, нормальными к х,у или z-направлению; поэтому достаточно рассмотреть как граничные условия реализуются ira одной такой плоскости. Условия на электрическое и магнитное поля заменяются условиями на плакетную переменную, представляющую F^ в КТП на решетке. Кроме того, осуществляется переход к евклидовому времени. В результате условия на плакетную переменную принимают вид (для проводящей плоскости, перпендикулярной к z-направлению):

6P,4i(aO = О, 9р, 42 (*) = О, 0Р, 12 (х) = 0.

Фактически эти условия заданы на плакетах в трехмерной подрешетке (по осям х, у и евклидового времени). Обобщая результат с учетом того что на решетке любая поверхность разбивается на участки, перпендикулярные осям х, у или z, итоговый рецепт можно сформулировать следующим образом: если мы хотим описывать на решетке идеальный проводник, то на его поверхности вектор-потенциал должен представлять собой чистую калибровку:

9ц = а(х + I) - а(х) (8)

Физические величины на решетке вычисляются при помощи средних по полевым конфигурациям, причем и действие 5еис;. и наблюдаемая -

калибровочно-инвариантные величины. Таким образом, мы к каждой конфигурации можем применять некоторые калибровочные преобразования (их решеточную реализацию) и результат останется неизменным. В то же время, поля на границе, как было показано выше, представляют собой чистую калибровку и могут быть соответствующим калибровочным преобразованием сведены к нулю. А так как при этом ни наблюдаемая, ни действие не изменяются, то можно изначально генерировать конфигурации, где на всех линках, попавших на границу идеального проводника, вектор-потенциал исчезает. Этот алгоритм и дает рецепт генерации полевых конфигураций в присутствии идеально проводящих тел.

В разделе 2.2 рассматривается генерация нолевых конфигураций в присутствии диэлектрических тел. В отличие от идеального проводника здесь нужно учитывать не только поверхность, по и внутреннюю область тела.

Пусть есть некоторый четырехмерный (учитывающий протяженность во времени) объем V, занятый диэлектриком с проницаемостью е. Действие такой теории записывается следующим образом:

в = ][ Р^ЧУ + \ ¡{Е е ^ + Е

Н ¿V ^Л ><?'

При переписывании этого действия в решеточную теорию получается просто дополнительный множитель е перед плакетами с ориентацией, задаваемой индексами И (¡=1,2,3), попавшими и объем диэлектрика.

5ы. = и Е (£ £*(*)) +1 Е (хХ«(*)) +

Однако в практических приложениях для диэлектрика весьма важен учет зависимости диэлектрической проЕШцаемости от частоты. В этом случае мы работаем в калибровке

А, = О

и проводя фурье-прсобразование в евклидовом времени = A^dw., ¿ = 1,2,3,

представляем действие в виде интеграла но мнимым частотам:

Send. = drdu) [F22 + Ftз + F|3 + е(ш)ш2(А1 + A\ + A\)\.

В такой формулировке, проводя вычисление континуального интеграла для каждой из мнимых частот по отдельности, можно явно учесть зависимость диэлектрической проницаемости материала от мнимой частоты.

В разделе 2.3 строится решеточная наблюдаемая, с помощью которой вычисляется вакуумная энергия и проводится процедура ее перенормировки, позволяющая в непрерывном пределе получить конечное выражение для казимировской энергии взаимодействующих тел.

Основной задачей является воспроизведение в решеточной теории вакуумных средних типа

¿(орлоде (9)

Известно (Кройц, 1981), что если для любой квантовой системы рассматривать "решеточный"формализм для фейнмановского интеграла по путям(то есть когда траектория представляет собой набор значений координат в разные моменты времени: х(и) = х^, г = О...УУ), то при генерации таких дискре-

тизованных "траекторий"с весом

I ■-'eticí L^-j

схр 1

п

координата хп и каждом временном слое распределена с плотностью вероятности, соответствующей вакуумному состоянию. Поэтому если мы подсчитаем среднее, например, от потенциала по какому-либо временному слою:

№»)> = —

Е V(xn)e~s^h

£ е-А'М/Л '

conf

то полупим вакуумное среднее потенциала

<0|V|0>.

Вакуумное ожидание для кинетической энергии вычисляется несколько сложнее и в конце концов приводит к следующей наблюдаемой:

т (xn+i - хп)2 h_. 2 а2 2а'

(0|Т|0 ) = + (Ю)

Среднее от первого слагаемого в данной формуле в непрерывном пределе расходится. Однако второе слагаемое явным образом выделяет и сокращает расходящуюся часть. Данная формула, собственно, и дает рецепт к вычислению кинетической энергии любых квантово-механических систем в решеточном формализме.

Этот метод легко обобщается на полевую систему, так как в решеточном формализме полевая система представляет из себя ни что иное, как квантовую систему с большим числом степеней свободы. В некомпактной КЭД на решетке получаем следующую наблюдаемую для вакуумной энергии:

(0|Я|0) = <§ (е (-02рА1(Х)) + £ £у(*))>. (И)

По сути дела, аналогично вычислению кинетической энергии, меняется знак у плакстов, растянутых по евклидовому времени. После определения

наблюдаемой встает вопрос о перенормировке вычисленной величины. Во-первых, надо учесть существование константы 1/2At в выражении для кинетической энергии. Это делается в первом этапе перенормировки. Так как в действительности физический смысл имеет лишь разность энергий, то для того, чтобы эта константа сократилась, мы смещаем уровень отчета энергии, вычитая из полученного распределения (0|Т°°(:?)|0) это же распределение в отсутствие внешних тел, вычисленное на достаточно большой решетке.

Кроме того, в рассматриваемых задачах представляет интерес только та составляющая плотности гамильтониана, что ответственна за взаимодействие тел. Между тем, после первого этапа перенормировки каждое уединенное тело по-прежнему будет обладать еще некоторой энергией, которую поэтому тоже следует вычесть.

Итоговая процедура вычисления вакуумной энергии взаимодействия тел состоит, таким образом, из 3-х этапов.

1) Вычисление распределения (0|Т°°(г)|0) для нужной нам конфигурации взаимодействующих тел и вычитание из получившихся значений константы -плотности гамильтониана на свободной решетке (в отсутствии тел или, другими словами, если эти тела раздвинуты достаточно далеко).

2) вычисление распределений (0|7Ч)°(ж)|0) для каждого из тел по отдельности, тоже с вычитанием "свободного"значепия плотности энергии.

3) вычитание из первого распределения суммы вторых распределений для всех тел и интегрирование получившегося распределения по объему решетки. В результате получится конечное перенормировапное значение вакуумной энергии для данной конфигурации взаимодействующих тел.

Глава 3 посвящена описанию оригинального комплекса программ, разработанного автором диссертации для проведения вышеописанных вычислений. Для генерации конфигураций выбран известный метод "тепловой бани". Он заключается в систематическом обходе всей решетки, и изменении значения каждого линка в соответствии с плотностью вероятности, определяемой как

exp {-Si,x(0ij(x))),

где Six - та часть действия, в которой участвует этот линк. После достаточного количества циклов (когда достигается так называемая "термализация", то есть все средние стабилизируются) получается нужный нам набор конфигураций, распределенный с плотностью вероятности e_Se"d, по которому надо усреднять определенные выше наблюдаемые. Основной трудностью, с которой приходится сталкиваться в работе с некомпактной теорией, является бесконечный объем калибровочной группы. В силу этого любая калибровочно неинвариантная величина не стабилизируется, а наоборот, расходится с уве-

личением числа шагов. В конце концов это приводит к тому, что линковые переменные становятся слишком большими и возрастают ошибки округления. Решением проблемы, помимо работы только с калибровочно инвариантными величинами, является остановка генерации и сброс конфигурации в ноль после некоторого числа итераций.

Кроме того, в этой главе сформулирован формализм деформированной решетки, позволяющий произвольно изменять соотношение шагов по разным направлениям, что может быть полезно для более точного описания геометрии взаимодействующих тел.

В главе 4 приводятся результаты вычислений и обсуждается непрерывный предел сформулированной решеточной процедуры вычисления вакуумной энергии.

Сначала в разделе 4.1 обсуждается непрерывный предел и иллюстрирующие его результаты вычислений.

Показано, что непрерывный предел для новых наблюдаемых в некомпактной решеточной КЭД несколько отличается от традиционных методов, используемых, например, в решеточной квантовой хромодинамике. Единственной стадией непрерывного предела является предел "большой решетки''/^" —> оо, а от константы /3 в действии в отличие от компактных теорий ничего не зависит. ¡3 играет роль лишь параметра, определяющего численное значение линковых переменных. То есть мы должны ожидать тем лучшего приближения к непрерывной теории, чем больше наша решетка, то есть чем лучше (подробнее) она описывает геометрию взаимодействующих тел.

Наступление непрерывного предела иллюстрируется рис. 2. В этом вычислении исследовалась казимировская задача о периодических граничных условиях, наложенных на электромагнитное поле.В качестве наблюдаемой здесь считалась среднее от плотности гамильтониана по методу, изложенному в предыдущей главе. Естественно, для поля, зажатого между большими по площади плоскостями, на которых наложены периодические граничные условия, эта плотность константа и должна зависеть от расстояния между плоскостями как 1 /АГ4 (это очевидно хотя бы из размерных соображений). Поэтому произведение (0|Т°°(:г)|0) х Д,г4 должно выходить на константу при тех размерах решетки, когда она начинает адекватно описывать непрерывную полевую систему.

Легко видеть, что начиная с расстояния в 11 шагов решетки вычисленное произведение выходит приблизительно в окрестность аЕ1алитического ответа. Поэтому можно утверждать, что для данного вычисления непрерывный предел наступает с размера решетки в 11-12 узлов.

Также нам не нужно устремление физического объема решетки к нулю для

-900 -1000 -1100 -1200 -1300 -1400 -1500 -1600

Рис. 2: Вычисление (0]Т<ю(х)]0) х Л'4 для ЭМ поля, с наложенными на него на двух параллельных плоскостях периодическими граничными условиями. N - расстояние между плоскостями в шагах решетки. Линия проведена на том аналитическом ответе, куда должно стремиться вычисленное произведение.

восстановления вращательной симметрии. В некомпактной электродинамике вращательная симметрия восстанавливается автоматически на достаточно больших решеточных расстояниях. В качестве иллюстрации восстановления вращательной симметрии мы построили эквипотенциальные поверхности для двух зарядов (рис. 3). Начиная с расстояний в 2-3 шага решетки, эти эквипотенциальные поверхности восстанавливают сферическую форму, несмотря на то, что они были вычислены в гиперкубической решетке.

Дополнительная проверка состоятельности решеточной схемы осуществляется в первой секции раздела 4.2, где проводится вычисление казимиров-ской энергии взаимодействия двух черн-саймонсовских плоскостей, и полученный ответ оказывается в согласии с аналитическим результатом (2).

В заключительной части раздела проводится тестирование решеточных алгоритмов для идеального проводника (показано, что достигается согласие с аналитическим ответом для двух плоскопараллельных пластин), а затем выработанный формализм применяется для задачи о реечной передаче.

Вычисление проводилось для двух идеально проводящих гребенок, со следующими параметрами: ширина зубца и расстояние между зубцами - 7а, высота зубцов - 7а2, расстояние между вершинами зубцов - 8аг. Использовалась деформированная решетка а,/а = 1/3.

Результат вычисления энергии для гребенок из трех зубцов представлен на рис. 4. Минимумы энергии наблюдаются, когда зубцы расположены точно

Рис. 3: Вычисленные на решетке эквипотенциальные линии для двух точечных зарядов.

друг напротив друга. PFA - приближение (proximity force approximation, когда взаимодействующие поверхности разбиваются на бесконечно малые площадки, расположенные друг напротив друга и для них принимается закон взаимодействия такой же, как для бесконечно больших плоскостей), в котором до сих пор рассчитывались подобные системы, дает в данном случае просто "пилу", составленную из прямых линий. Полученные в работе результаты показывают, что отклонения от PFA достаточно значительны, особенно для положений, когда зубцы одной гребенки находятся напротив впадин другой.

Также была рассчитано распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана (рис.5). Картина плотности энергии позволила прояснить причины неадекватности PFA-приближения в данной геометрии. Дело в том, что этот подход учитывает лишь взаимодействие параллельных участков поверхностей, расположенных друг напротив друга. Однако на графике плотности вакуумной энергии ясно видны участки между углами гребенок, где наблюдается повышенная плотность энергии взаимодействия. Причем именно в этом положении, когда зубцы одной гребенки располагаться напротив впадин другой, PFA дает наибольшую погрешность. Из этого можно заключить, что основная причина неадекватности PFA - приближения для данной геометрии взаимодействующих тел заключается как раз в отсутствии учета этих специфических "угловых" казимировских сил.

В Заключении приведены основные результаты, а также сформулированы основные направления приложений развитых в работе методов.

Рис. 4: Энергия двух гребенок, в зависимости от их касательного смещения друг относительно друга.

Основные результаты:

1. Разработано оригинальное решеточное представление черн-саймонсов-ского действия. Показано, что несмотря на запись в конечно-разностных решеточных переменных, это представление для черн-саймонсовского действия па произвольной замкнутой трехмерной поверхности будет калибровочным инвариантом.

2. Введена решеточная наблюдаемая для корректного вычисления энергии казимировского взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей произвольной формы. Эта решеточная наблюдаемая представляет из себя "Вильсоновский мешок"— прямое обобщение вильсоповской петли па трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве-времени.

3. Определена решеточная наблюдаемая, позволяющая получать вакуумное ожидание плотности гамильтониана в присутствии проводников и диэлектрических тел. Также сформулирована процедура вычитания, в результате которой выделяется перенормированная энергия казимировского взаимодействия отдельных тел между собой.

4. Для монте-карловского вычисления континуальных интегралов определена процедура генерации полевых конфигураций в некомпактной решеточной электродинамике, позволяющая учитывать присутствие материальных тел (проводников и диэлектриков с произвольной зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты).

5. Для используемой в работе некомпактной решеточной электродинамике разработана процедура непрерывного предела, в результате которой можно на конечной решетке получать численные значения физических величин, близкие к их значениям в непрерывной теории. Показано, что в данном случае эта процедура существенно отличается от разработанных к настоящему времени правил перехода к непрерывному пределу в неабелевых калибровочных теориях.

6. Разработанный в диссертации формализм применен к весьма актуальному с экспериментальной и технологической точки зрения случаю реечной передачи — когда из-за специально подобранной формы взаимодействующих поверхностей между ними возникают касательные вакуумные силы. Впервые за рамками PFA-приближсния получена энергия казими-ровского взаимодействия прямоугольных гребенок в зависимости от их касательного смещения. Показано, что в действительности для такой системы использование PFA - приближения приводит к значительной погрешности, так как при этом не учитывается взаимодействие между непараллельными участками поверхностей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. О. V. Pavlovsky, М. V. Ulybyshev. "Casimir energy calculations within the formalism of noncompact lattice QED". International Journal of Modern Physics A, vol. 25, No. 12 (2010), 2457-2473.

2. О. В. Павловский, M. В. Улыбышев. "Энергия Казимира в некомпактной электродинамике на решетке". ТМФ, т. 164, Вып. 2 (2010), С. 262-278.

3. О. В. Павловский, М. В. Улыбышев. "Вычисление казимировской энергии для черн-саймонмовских поверхностей и диэлектрических пластин в формализме квантовой теории поля на решетке". Письма в ЭЧАЯ. 2010. т.7, Вып. 5 (161), С. 565-572.

Рис. 5: Распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана при различных относительных смещениях гребенок.

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Подписано в печать 15.10.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 1036 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1. Решеточное представление черн-саймонсовского действия.

1.1 Черн-саймоновские граничные условия и эффект Казимира

1.2 «Вильсоновский мешок» и решеточные вычисления для максвелл-черн-саймонсовской теории

2. Описание эффекта Казимира на решетке для идеальных проводников и диэлектриков--------------------------------------------------------------------—.

2.1 Реализация граничных условий для проводников на решетке —

2.2 Диэлектрики на решетке----------------------------------.

2.3 Наблюдаемая для вычисления энергии основного состояния

3. Алгоритмы и описание программ-------------------------------.-.

3.1 Описание алгоритмов

3.2 Анизотропная решетка------------------------------------------—.

4. Непрерывный предел и результаты численных расчетов -.

4.1 Непрерывный предел

4.2 Результаты численных расчетов.

В последние несколько лет эффект Казимира и другие макроскопические квантовые эффекты привлекают большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов и специалистов в современных технологиях. Это, без сомнения, связано с тем существенным прогрессом в изучении физики микро-и нано-масштабов, который наблюдается в последнее время, и осознанием важности и актуальности возникающих при этом задач. Хорошо известно, что на этих масштабах электростатические и вакуумные эффекты становятся крайне существенными, зачастую играющими доминирующую роль. Причем в силу того, что без специального подбора геометрии или материалов взаимодействующих тел вакуумные силы будут силами притяжения, то они являются существенной преградой к построению нормально функционирующих микро- и нано- механизмов [1]. Именно в связи с этим велись и ведутся целенаправленные поиски [2, 3] таких комбинаций материалов для взаимодействующих тел, которые дают отталкивающие вакуумные силы. Естественно, при наличии таких отталкивающих сил (в основном они возникают в случаях, когда взаимодействуют тела из материалов со специально подобранными показателями диэлектрической проницаемости) эта динамика становится более сложной, с возможностью организации устойчивого равновесия. Буквально в последние 2 года отталкивающие силы были наконец найдены в эксперименте [31], благодаря чему сейчас наблюдается всплеск интереса к казимировской тематике.

Таким образом, основные задачи, относящиеся сейчас к сфере вычисления вакуумных сил, могут быть сформулированы следующим образом: одновременный учет сложной формы взаимодействующих тел и их электромагнитных свойств, главным образом, диэлектрической проницаемости. Кроме того, часто необходимо также принимать во внимание температурные и радиационные поправки. Определенный интерес вызывает также эффект Казимира для черн-саймонсовских поверхностей, в связи с тем, что некоторые перспективные тонко-пленочные материалы могут достаточно хорошо описываться дополнительным черн-саймонсовским членом в действии для электромагнитного поля. Кроме того, эффект Казимира играет важную роль в феноменологических полевых моделях типа модели мешков [13, 14].

Интерес к универсальным численным алгоритмам определения вакуумных сил вызван в первую очередь типом экспериментальных задач, исследуемых в этой области в настоящее время. Прогресс в технике измерений сверхмалых сил [8, 20], а также в создании наноструктур заранее заданной формы привел к тому, что сейчас уже доступно исследование каз'имировских сил между поверхностями сложной формы. Причем особый интерес вызывают такие пары взаимодействующих поверхностей, которые могут применяться в перспективных микромеханических устройствах (например, реечная передача, рассматриваемая в данной работе). Точных аналитических методов вычисления вакуумных сил для таких сложных геометрий не существует, а приближенные методы не дают удовлетворительной точности. Поэтому на первый план выходит разработка универсальных численных алгоритмов, работающих для всех типов поверхностей и материалов.

Одной из наиболее распространенных вычислительных схем, позволяющей одновременно учитывать произвольную форму граничных поверхностей, конечную температуру и петлевые поправки, является квантовая теория поля (КТП) на решетке. Задачей данной работы будет разработка решеточных методов расчета казимировских сил и применение этих методов к интересным с экспериментальной точки зрения и до сих пор исследованным лишь приближенно геометриям взаимодействующих тел.

К настоящему моменту уже разработан ряд точных и приближенных методов расчета вакуумной энергии. Перечислим здесь некоторые из них.

Исторически самым первым методом, предложенным еще в работе Лиф-шица, является нахождение функции Грина по заданной геометрии и диэлектрическим свойствам тел. Затем по функции Грина вычисляется компоненты тензора энергии-импульса:

1) х=х'

Т"" = (д^д" - дхд что позволяет либо подсчитать энергию в виде интеграла

Е = I Т°°е*®, (2) либо подсчитать действующую на каждое отдельное тело силу:

Г (3) V где Э - поверхность, ограничивающая тело. Естественно, конечные выражения в первом случае получаются только после некоторой процедуры перенормировки (во втором случае вакуумная функция Грина дает нулевой вклад в интеграл по замкнутой поверхности, поэтому дополнительного вычитания не требуется). Для первого же случая, процедура вычитании заключается в следующем: из получившихся компонент тензора энергии-импульса вычитается сумма их значений, вычисленных для каждого тела по отдельности. После этого в каждой компоненте тензора энергии-импульса остается только вклад от взаимодействия тел. Необходимо отметить, что в такой процедуре принципиально теряется вакуумное "самодействие"изолированного тела. То есть невозможно вычислить, например, силу, растягивающую шар. Таким образом, данная процедура перенормировок дает возможность вычислять только силы, с которыми изолированные тела действуют друг на друга.

Основным недостатком этого метода является невозможность явного аналитического вычисления функции Грина для сколь-нибудь сложной геометрии взаимодействующих тел. В настоящее время аналитически решен лишь ряд задач для тел простейшей форме (плоскости, шары, цилиндры в различных комбинациях). В то же время, разработаны высокоэффективные методы численного счета функции Грина для произвольной геометрии и электромагнитных свойств взаимодействующих объектов. На этом подходе базируется наиболее распространенный в настоящий момент подход к точному численному расчету вакуумных сил, представленный, например в работах [4, 5]. Недостатки данной схемы:

1) Метод работает, только если можно явно выписать уравнения в частных производных для функции Грина. Если стоит задача, например, непертурба-тивным образом (вне рамок теории возмущений) учесть петлевые поправки, то применить этот подход станет невозможно. А такая необходимость существует, например, в упомянутых выше моделях мешков.

2) Алгоритмы для параллельного вычисления функции Грина хоть и разработаны к настоящему времени, однако они в любом случае менее эффективно наращивают производительность с ростом числа процессоров, чем решеточные алгоритмы. Действительно, монте-карловское вычисление континуального интеграла (на чем базируется КТП на решетке) представляет из себя усреднение некоторой наблюдаемой по ансамблю конфигураций. В случае распараллеливания этой операции, каждый процессор просто независимо генерирует свою последовательность конфигураций, а итоговый ответ получается просто из усреднения результатов всех процессоров. Таким образом, обмен между разными потоками во время вычислений по сути не нужен и эффективность распараллеливания максимальна.

Другим хорошо разработанным на сегодняшний день методом является подход, предложенный в работах [6, 7]. Здесь вакуумная энергия получается как энергия взаимодействия между мультиполями, сгенерированными квантовыми флуктуациями. Кратко этот метод может описан следующим образом: выписывается эффективный лагранжиан для токов в вакууме (это можно сделать, так как известен лагранжиан для электромагнитного поля, взаимодействующего с токами, и известно, как поле выражается через токи и функцию Грина). Далее 4-векторы токов раскладываются по электрическим и магнитным мультиполям, и действие также переписывается в терминах мультиполей. В численных расчетах, естественно, порядок мультипольного разложения ограничивается. В итоге в теории в континуальных интегралах получаем гауссовы интегралы по мультиполям, которые берутся точно и становится возможным получить энергию в виде бесконечного, но довольно быстро сходящегося ряда, как показано в работе [6]. Недостатки данного метода повторяют недостатки подхода с вычислением функции Грина, с дополнительным замечанием, что этот метод был протестирован только для взаимодействия двух проводящих сфер. Насколько быстро будет сходиться ряд для энергии,,т.е. насколько высокие порядки мультипольности надо будет учитывать для сложных поверхностей, типа реечной передачи (см. рис 1)- в данный момент неясно.

Рис. 1: "Гребенка" - поверхность одной из сторон реечной передачи.

Еще одним численным методом, позволяющим в пределе получить точный ответ, является вычисление энергии Казимира в "wordline" - подходе к квантовой теории поля [10]. Однако этот метод неприменим для диэлектриков, а работает только для идеальных проводников, так там пока разработаны вычислительные приемы, позволяющие определить силу казимировского взаимодействия только при одном типе граничных условий, наложенных на поле: (f>{x)\s = 0 (граничные условия Дирихле)

В качестве приближенного способа оценки силы казимировского взаимодействия используется так называемое "PFA" - Proximity Force Approximation [16]. Это вычислительно очень простой и во многих случаях хорошо работающий способ. Он состоит в следующем: вся поверхность взаимодействующих тел разбивается на бесконечно малые плоскопараллельные участки, как это показано, например, на рисунке 2. Для каждого из этих участков энергия принимается равной энергии казимировского взаимодействия двух плоскостей соответствующей площади. После интегрирования по всей интересующей нас поверхности приближенно получаем полную энергию Казимира. Это простейший вид данного приближения. Иногда рассматривают еще поправ

Рис. 2: Пример разбиения поверхностей для метода РЕА вычисления энергии Казимира. ки к РГА-приближению, получая несколько более точный, но гораздо более сложный алгоритм [17]. В В общем, область применения такого подхода, однако, сильно ограничена. Практически, так можно рассчитывать вакуумные силы только в том случае, если речь идет о телах, разделенных узкой щелью не очень сложной формы. В современных экспериментах уже достигнута достаточная точность, чтобы видеть отклонения от этого приближения [12]. Образец использования этого приближения на примере вычисления энергии взаимодействия плоскости и шара можно найти в приложении 1.

Резюмируя вышесказанное, можно отметить, что все перечисленные методы расчета казимировских сил имеют свои недостатки и пока не сложилось явного доминирования какого-то подхода. Таким образом, новые схемы, обладающие достаточной общностью и простотой могут быть востребованы. Как уже было сказано выше, КТП на решетке представляет из себя инструмент, обладающий необходимой общностью (учет диэлектрической проницаемости, конечной температуры и т.д.). Кроме того, в этой области уже разработано огромное число эффективных вычислительных методов, которые можно было бы применить к новой задаче. Дополнительной мотивацией к выполнению данной работы послужили следующие факты:

1) В основном практические решеточные вычисления до сих пор велись в неабелевых теориях (как правило, Би(2) и 811(3)). Соответственно, для них разработаны наблюдаемые и определена процедура непрерывного предела. Эффект Казимира интересен в первую очередь в электродинамике, и процедура непрерывного предела здесь, как будет показано, нуждается в существенной модификации, по сравнению с традиционными моделями.

2) В последнее время* растет интерес к решеточным наблюдаемым высших размерностей. До сих пор основным объектом в квантовой теории поля на решетке была вильсоновская петля - одномерный интеграл от калибровочного поля по контуру. А уже, например, в работе [11] рассматриваются наблюдаемые размерности 2 (поверхности). Черн-саймонсовское действие представляет из себя интеграл по замкнутой трехмерной поверхности в четырехмерном пространстве, поэтому решеточное представление для него дает пример наблюдаемой размерности 3, причем наблюдаемой, имеющей ясный физический смысл.

3) Черн-саймонсовское действие встречается во многих моделях, относящихся к физике твердого тела. С разработкой решеточного представления для него в некомпактной электродинамике, вообще говоря, появляется инструмент не только для казимировских, но для любых непертурбативных расчетов в моделях с такими поверхностями.

В качестве тестовых рассмотрены простейшие задачи о казимировском взаимодействии двух плоско-параллельных пластин с различными граничными условиями. Эти задачи сравнительно легко исследуются аналитически, что делает их замечательными тестами для предлагаемого метода. Оценки точности нашего метода, полученные из сравнения с аналитическим ответом могут быть использованы для оценки систематической ошибки в более сложных случаях.

В первой части работы обсуждаются общие вопросы постановки задачи о казимировском взаимодействии черн-саймопсовских поверхностей в решеточном формализме. Разрабатывается решеточное представление черн-саймонсовского действия в некомпактной электродинамике на решетке. Определяется наблюдаемая — "Вильсоновский мешок" — аналог вильсоновской петли, позволяющий получать энергию казимировского взаимодействия, также как вычисление вильсоновской петли на решетке дает энергию взаимодействия точечных зарядов. Во второй части описывается, как в некомпактной КЭД на решетке можно описать проводники и диэлектрики, формулируется наблюдаемая для получения энергии основного состояния. Показывается как можно учитывать диэлектрическую проницаемость реальных материалов, зависящую от частоты. В третьей части работы описываются решеточные алгоритмы и комплекс программ, непосредственно реализующий расчеты. Кроме того, в этой главе описывается, формализм деформированной решетки, позволяющий гораздо точнее описывать геометрию задачи и ускорять вычисления. В четвертой части обсуждается непрерывный предел и представляются численные результаты в сравнении с аналитическим ответом. Кроме того, разработанный в первых главах формализм применяется к задаче о реечной передаче. Это задача о казимировском взаимодействии двух гребенок, подобных изображенной на рисунке 1, обращенных зубцами друг к другу. Из-за специфической формы поверхностей энергия Казимира должна меняться при их касательном смещении, именно эти касательные казимировские силы и вызывают интерес. В частности, исследование такой системы отмечено как перспективное в работе [18]. До сих подобные системы рассчитывались только в рамках РЕА - приближения, поэтому проводится оценка насколько это приближение адекватно в действительности. В заключительной части обсуждаются полученные результаты и перспективы дальнейшего применения предлагаемого метода.

Заключение

В данной работе был предложен метод вычисления казимировской энергии, базирующийся на решеточных вычислениях в КЭД. Метод был разработан для трех видов взаимодействующих тел: для проводников, диэлектриков и для черн-саймонсовских поверхностей.

В случае черн-саймонсовских поверхностей были скомбинировали две идеи: генерация граничных условий дополнительным черн-саймонсовским действием и концепция решеточного "вильсоновского мешка" (решеточное представление замкнутой трехмерной поверхности в четырехмерном пространстве). Эта комбинация дала нам определение квантовой наблюдаемой для казимировской энергии. После этого было разработано решеточное представление черн-саймонсовского действия, и весь подход был протестирован для случая взаимодействия двух плоскопараллельных пластин. Получено хорошее согласие с аналитическим ответом.

Для проводников и диэлектриков также была предложена новая наблюдаемая, позволяющая на решетке получить распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана. Метод был, аналогично черн-саймонсовским поверхностям, протестирован для взаимодействия двух плоскостей. Кроме того, он был применен для исследования задачи о касательных казимиров-ских силах между поверхностями сложной формы. Впервые за рамками РРА-приближения получена энергия казимировского взаимодействия поверхностей сложной формы в зависимости от их касательного смещения.

Большим преимуществом данного подхода является его универсальность при учете геометрии, температурных поправок и электромагнитных свойств тел. В дальнейшем он может быть применен для следующих вычислений:

• Исследование казимировского взаимодействия между поверхностями сложной формы, интересными с экспериментальной точки зрения

• Вычисление температурных поправок к казимировской силе. Это довольно легко выполнять из-за конечного размера решетки по времени — тем самым автоматически моделируется некоторая конечная температура.

• Исследование радиационных поправок при включении в решеточную модель фермионов.

С вычислительной точки зрения дальнейшее развитие данных методов может идти по двум путям.

Первый путь — это обобщение подхода для неабелевых полей. В принципе, так как наблюдаемая 2.11 написана в терминах плакетных переменных, то ее можно точно в таком же виде перенести и в компактные теории, в том числе и в компактные неабелевы теории.

Второй путь — увеличение производительности. Для некомпактной электродинамики здесь есть довольно значительные возможности. Во-первых можно попытаться применить пшШ1еуе1-алгоритмы [40, 41, 42], давно и с успехом используемые в КТП на решетке. Во-вторых, можно воспользоваться тем фактом, что интеграл для наблюдаемых с евклидовым действием в экспоненте 1.7 по сути является гауссовым, так как это действие является квадратичной формой для линковых переменных. Соответственно, зафиксировав калибровку, его можно вычислить и точно, обратив матрицу, определяющую квадратичную форму после фиксации калибровки. Естественно, вид этой квадратичной формы будет зависеть, в общем случае, от вида граничных условий и геометрии взаимодействующих тел, поэтому аналитически один раз и для всех случаев обратить матрицу этой квадратичной формы нельзя. Подсчет количества операций, потребных для обращения матрицы показывает, что при явном учете трансляционной инвариантности системы по времени (тела не движутся) и по одной из пространственных координат, обращение матрицы будет работать быстрее, чем монте-карловское вычисление многомерного интеграла. Так как многие экспериментальные ситуации обладают такими свойствами (например, гребенка трансляционно инвариантна по одному из пространственных измерений), то в разработке такого вычислительно приема есть смысл.

Для черн-саймонсовского действия увеличение производительности (то есть возможность работать с большими Л) может быть получена путем генерирования конфигураций уже с вставленными черн-саймонсовскими поверхностями, при этом плотность вакуумной энергии взаимодействия считается также, как для проводников или диэлектриков — с помощью наблюдаемой 2.11.

1. E. Buks and M. L. Rouks, Phys. Rev. B63 (2001) 033402.

2. T. H. Boyer, Phys. Rev. A 9(1974) 2078.

3. C.-G. Shao et. al, Phys. Rev. A 74 (2006), 012103.

4. A. Rodriguez et. al., Phys. Rev. A 76 (2007) 032106.

5. A. Rodriguez et. al., Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 080401.

6. T. Emig et. al., Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 170403.

7. T. Emig and R. L. Jaffe, J. Phys. A 41 (2008) 164001.

8. H. B. Chan et. al., Phys. Rev. Lett. 101(2008), 030401.

9. T. Emig et. al., Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 08040.

10. H. Gies, K. Langfeld, L. Moyaerts, JHEP 018 (2003) 0306.

11. H. Neuberger, R. Narayanan arXiv: 1009.3915 hep-lat].

12. K. Milton, J. Phys. A 37 (2004) 209.

13. S. Kahana and G. Ripka, Phys. Lett. B 155 (1985) 327.

14. A. Hosaka and H. Toki, Phys. Rept. 277 (1996) 65.

15. M. Bordag, U. Mohideen and V. M. Mostepanenko, Phys. Rept. 353 (2001) 1.

16. Б. В. Дерягин, И.И. Абрикосова and Е.М. Лифшиц, Quart. Rev. Chem. Soc. 10 (1958) 295; УФН 64 (1958) 493.

17. Во Е. Semelius and С. Е. Ramon-Velazques, Phys. Rev. A 78 (2008) 03214.18 19 [20 [21 [22 [23 [24 [25 [26 [27 [28 [29 [30 [31 [32 [33 [34

18. R. Buscher and T. Emig, Phys. Rev. A 68 (2004) 062101.

19. D. Ceperley, Rev. Mod. Phys. Vol.67 (1995), No 2, p. 279. Chiu et. al., Phys. Rev. B 81 (2010) 115417.

20. A. Lambrecht and V. N. Marachevsky, IJMPA Vol 24 (2009), No 8, p. 1789. N. Seiberg, Phys. Lett. 148 (1984) 456. M. Luscher, Phys. Lett. B 78 (1978) 465. M. Bordag and D. V. Vassilevich, Phys. Lett. A 268 (2000) 75.

21. E. Elizalde and D. V. Vassilevich, Class. Quant. Grav. 16 (1999) 813. M. Marino, Rev. Mod. Phys. 77 (2005) 675.

22. Ю. М. Макеенко, УФН 143 (1984) 6.

23. A. Hasenfratz, Р. Hasenfratz, Nucí. Phys. В 193 (1981) 210.

24. С. Г. Мамаев, Н. Н. Трунов, ТМФ 38 (1979) 345.

25. М. Creutz, В. Freedman, Annals of Physics 132 (1981) 427.

26. E. V. Shuryak, Nucl. Phys. В 242 (1984) 393.

27. P. Majamdar, Nucl. Phys. В 119 (2003) 1021.

28. H. Meyer, JHEP 01 (2003) 038.

29. M. Lusher arXiv:hep-lat/0108014vl.