Эффект Казимира в системе тонких металлических пленок тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Дубрава, Вячеслав Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Харьков
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2001
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
им. Б.И. Веркина
На правах рукописи
ДУБРАВА Вячеслав Николаевич
УДК 530 145
ЭФФЕКТ КАЗИМИРА В СИСТЕМЕ ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНОК
01 04 02-теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ООЗОВб143
Харьков - 2000
003066149
Диссертация является рукописью
Работа выполнена в Институте радиофизики и электроники им А Я Усикова Национальной Акадаемии Наук Украины, г Харьков
Научный руководитель доктор физико-математических наук, старший научный
сотрудник Ямпольский Валерий Александрович (Институт радиофизики и электроники им А Я Усикова HAH Украины, ведущий научный сотрудник)
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, старший научный
сотрудник Капелиович Александр Ильич (Физико-технический институт им Б И Веркина HAH Украины, ведущий научный сотрудник),
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Степановский Юрий Петрович (Институт теоретической физики "Национальный научный центр" Харьковский физико-технический институт, ведущий научный сотрудник)
Ведущая организация Харьковский Национальный Университет им В Н Каразина, кафедра теоретический физики Министерство образования и науки Украины, г Харьков
Защита состоится "_" ________ 2000 года в _ часов на заседании
специализированного ученого совета Д 64 175 02 в Физико-техническом институте низких температурим Б И Веркина HAH Украины (61164, г Харьков, пр Ленина, 47)
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института низких температурим Б И Веркина HAH Украины
Автореферат разослан "_"_ 2000 г
Ученый секретарь
специализированного ученого совета, доктор физико-математических наук
Ковалев О С
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Эффект Казимира представляет собой макроскопическое следствие явления поляризации физического вакуума при наличии определенных внешних материальных условий Это одно из немногих проявлений сложной микроскопической структуры физического вакуума на протяжении полувека привлекает к себе интерес многих исследовательских групп, работающих в области квантовой теории поля и областях смежных с ней С момента открытия [1], изучению эффекта Казимира было посвящено множество теоретических и экспериментальных работ (наиболее полную библиографию можно найти в [2-6])
Одним из ярких достижений теории эффекта Казимира является развитие и разработка новых квантово-полевых методов вычисления эффективного потенциала представление собственного времени Фока-Швингера, метод мировой линии, метод вариации энергии, метод тензора натяжения, метод суммирования по модам Вместе с математическим формализмом развивается область приложений эффекта Казимира. Она простирается от статистической физики до космологии и теории элементарных частиц Особое место в этом ряду занимает физика конденсированных сред и, в частности, физика металлических пленок
Изучение макроскопического взаимодействия незаряженных конденсированных сред, предпринятое в 1948 г Казимиром и продолженное впоследствии Е М Лифшицем [7], главным образом было ограничено рассмотрением только полубесконечных плоскопараллельных пластин Между тем, представляет особый интерес исследование казимировского взаимодействия двумерных и квазидвумерных систем Можно сказать, что исключительное место в этом классе систем занимают тонкие металлические и полуметаллические пленки Дело в том, что из-за большой концентрации свободных электронов в казимировском взаимодействии металлов проявляется сильное экранирование флуктуационного электромагнитного поля В результате, на больших расстояниях сила Казимира не зависит от материальных параметров взаимодействующих тел В отличие от массивных металлов, отражательная способность тонких металлических пленок может быть незначительной В соответствии с этим, в казимировском взаимодействии металлических пленок можно реализовать условия, при выполнении которых сила Казимира на больших расстояниях становится чувствительной к материальным параметрам
До настоящего времени проблема казимировского взаимодействия тонких металлических пленок практически не изучалась В то же время, в свете результатов недавних экспериментальных работ [8-11] ее решение становится особенно актуальным Прецизионное измерение силы Казимира с точностью, большей чем 1 %, обещает стать принципиально новым методом экспериментального изучения материальных характеристик металлических пленок Теоретическому исследованию этого вопроса и посвящается данная диссертация
Связь работы с научными программами, планами, темами. Диссертационная работа выполнена в отделе теоретической физики Института радиофизики и электроники им А Я Усикова HAH Украины Исследования, которые составили содержание диссертации, проведены в соответствии с государственной научно-исследовательской программой «Электромагнитные и акустические явления НВЧ-диапазона в твердотельных структурах»
(Президиум HAH Украины, шифр «Кентавр-1», номер госрегистрации 01 96 И006109,1996 - 2000 гг)
Цель и основные задачи исследования. Цель диссертационной работы состоит в теоретическом выявлении особенностей казимировского притяжения тонких металлических пленок Важной задачей исследования является установление зависимости силы Казимира от таких параметров задачи, как толщина пленок, плазменная частота, частота объемной и поверхностной электронной релаксации, температура и др
Объектом исследования является сила Казимира, которая возникает между конденсированными средами вследствие электромагнитного взаимодействия флуктуационных токов Казимировское взаимодействие тонких металлических пленок составляет предмет исследования данной диссертации Метод исследования состоит в получении дисперсионных уравнений для собственных частот системы двух металлических пленок путем решения уравнений Максвелла, выяснении условий, при которых электронные свойства металлических пленок проявляются в силе Казимйра в главном приближении, аналитическом расчёте силы Казимира в функции толщины пленок, плазменной частоты, частот объемной и поверхностной электронной релаксации и температуры
Научная новизна полученных результатов. В диссертационной работе было впервые
1 Теоретически исследовано влияние электронных свойств тонких металлических пленок на силу их казимировского притяжения,
2 В пределе низких температур получено замкнутое аналитическое выражение для силы Казимира в функции толщины пленок, расстояния между ними и глубины скин-слоя Для характерных частот флуктуационных электромагнитных полей найден режим, эквивалентный инфракрасному скин-эффекту, особенность которого состоит в дробностепенной зависимости силы Казимира от расстояния,
3 Предсказана зависимость силы казимировского притяжения тонкой металлической пленки от значения параметра зеркальности, характеризующего взаимодействие электронов проводимости с поверхностью пленки,
4 Изучено влияние диэлектрической подложки на силу Казимира между массивным проводником и тонкой металлической пленкой Для параметра оптической плотности диэлектрической подложки найдено условие, при выполнении которого электронные свойства пленки выступают в силе Казимира на первый план,
5 Теоретически исследована функциональная зависимость силы Казимира от температуры Показано, что для достаточно тонких металлических пленок (или при достаточно высоких температурах) сила Казимира имеет преимущественно энтропийное происхождение и в главном приближении не зависит от толщины пленки
Сформулированные положения выносятся на защиту
Практическое значение полученных результатов. Результаты диссертационной работы демонстрируют принципиальную возможность экспериментального изучения электронных и поверхностных свойств металлических пленок с помощью измерения силы их казимировского притяжения Использование техник "крутящегося маятника" (torsion pendulum technique) и "микроскопа атомной силы" (atomic force microscopy technique) при прецизионном измерении силы
Казимира между пленкой металла и массивным проводником может стать принципиально новым инструментом для исследования материальных характеристик металлических пленок
Личный вклад соискателя. Результаты диссертации опубликованы в статьях [1-5] и тезисах докладов [6-8] Личный вклад соискателя в выполненные по теме диссертации научные работы состоял в участии в постановке конкретных задач, в проведении всех основных вычислений, в обсуждении полученных результатов и формулировке выводов
Апробация результатов диссертации. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 22-й международной конференции по физике низких температур (LT-22) (Helsinki, Finland, 1999), 32 Всероссийском совещании по физике низких температур (НТ-32) (Казань, 2000), 3-й международной конференции "Физические явления в твердых телах", посвященной 80-летию проф ИМ Лифшица (Харьков, 1997), международном семинаре "Физика и техника низких температур", посвященном памяти проф Б И Веркина (Харьков, 1999), объединенных семинарах отделов физики твердого тела и теоретической физики ИРЭ НА.Н Украины, теоретическом семинаре имени проф Э А Канера (ИРЭ), семинаре по физике сверхпроводников (ХНУ)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ Из них 5 статей в специализированных национальных и международных научных журналах и 3 тезиса докладов в сборниках трудов научных конференций
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключительного раздела "рыводы", трех приложений и списка использованных источников из 145 наименований Работа изложена на 131 странице машинописного текста и содержит 5 иллюстраций, которые не занимают отдельных страниц
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении кратко анализируются научные проблемы, решению которых посвящена настоящая диссертация, определяется круг задач, рассматриваемых в работе, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, характеризуется научная новизна полученных результатов и практическая значимость работы, описывается структура диссертации
В первом разделе "Обзор литературы" рассматривается природа и способы математического описания казимировского взаимодействия конденсированных сред, приводятся основные формулы, относящиеся к общей теории эффекта Казимира, дается подробный обзор экспериментальных исследований по измерению силы Казимира, формулируются некоторые известные теоретические результаты, относящиеся к проблемам казимировского взаимодействия массивных проводников и квазидвумерных металлических слоев, взаимодействия атома с поверхностью конденсированной среды и удержания сверхтекучей пленки гелия на диэлектрической подложке Также иллюстрируется применение общих соотношений к термодинамике равновесной бесстолкновительной плазмы и обсуждаются нелокальные и неадиабатические эффекты в казимировском взаимодействии частиц и конденсированных сред В заключение этого раздела обсуждается место настоящего исследования среди выполненных по эффекту Казимира теоретических и экспериментальных работ
Изложине основной части диссертации во многом опирается на результаты и методы, которые описаны во втором разделе "Техника вычисления силы Казимира". В этом разделе рассматриваются метод суммирования по модам, в котором сила Казимира с помощью принципа аргумента выражается через дисперсионные уравнения для собственных частот изучаемой системы, и метод вариации энергии, основанный па технике функций Грина электромагнитного поля. Наряду с этим излагается микроскопическая теория эффекта Кашмира, которая с единых позиций позволяет описать явление каз и миро некого взаимодействия конденсированных сред.
В третьем ¡»уделе ''Качимировское взаимодействие двух металлических пластин конечной толщины" теоретически изучается влияние электронных свойств тонких металлических пленок на силу их казимировского притяжения, [3 этом разделе показано, что При малой толщине (1
металлических пленок сила Казимира, возникающая вследствие искажения спектра вакуумных колебаний электромагнитного поля при Т = 0, становится
чувствительной не только к размерам пленок, но и к их электронным характеристикам - к
с1 - зщ | ЩШ' НРИ ВЦ 'Ш
20 а у
а ■ дщр те
X
Рис. 1 Геометрия задачи и система координат.
объемной релаксации электронов V . Необходимым условием для возникновения такого рода зависимостей является малость толщины пленок с/ по сравнению с плазменной длиной волны Яр - 2гв~!ар и расстоянием а между ними,
« Я, Ар. (1)
В разделе 3.1 "I ¡остановка задачи'' применительно к системе двух тел, расположенных на расстоянии а друг от друга, анализируется формула Ван Кампена, Нмйбоера и Шрама, которая выражает свободную энергию электромагнитного вакуума через дисперсионные уравнения для собственных частот изучаемой системы В разделе 3.2 "Дисперсионные уравнения для собственных частот'* решается задача о нахождении дисперсионных уравнений для собственных частот системы двух металлических пластин толщиной с{ (см. рис. I), которая включает в себя стандартное решение уравнений Максвелла с граничными условиями непрерывности тангенциальных составляющих полей на границах раздела металл-вакуум. В разделе 3.3 "Вычисление энергии Казимира" получено замкнутое аналитическое выражение для силы Казимира между металлическими пленками н функции толщины пленок а, расстояния С! между ними и проводимости
, 2
а(0)) =
О)'
V - 10}
(2)
Для пленок, толщина которых удовлетворяет неравенству
^ « Хр —> (3)
0>р
найдены следующие асимптотические формулы для силы Казимира
• режим инфракрасного скин-эффекта (малые <3 )
, Ла>, ¡7 1 /гГ С
• режим нормального скин-эффекта (большие О)
, 3.02 Й®* с/ с
Асимптотики (4)-(5) последовательно реализуют функциональную заиисимость силы Казимира о* расстояния
Следует заметить, что в зависимости от величины безразмерного параметра V / <ос в казимировском взаимодействии пленок реализуются частотные режимы, соответствующий нормальному (®с «V) и инфракрасному (V«а>с ) скин-эффектам Главной особенностью режима нормального скин-эффекга, реализующегося при сравнительно больших й, оказывается чувствительность силы Казимира к диссипативным свойствам металла, что проявилось в ее зависимости от частоты объемной релаксации электронов Обратим внимание, что эта черта явно указывает на нетривиальную природу казимировского взаимодействия, возникновение которого при Т = 0 можно интерпретировать в духе квантовомеханических потенциальных возможностей и динамическом поведении системы во внешнем электромагнитном поле При уменьшении расстояния между пленками характерная частота аос флуктуационного электромагнитного поля увеличивается и смещается в инфракрасный диапазон В этом случае в "динамическом" поведении системы наиболее вероятным оказывается режим инфракрасного скин-эффекта Особенностью данного режима является дробностепенная зависимость силы Казимира от расстояния, / а'111 При достаточно больших расстояниях наблюдается асимптотическое приближение силы Казимира к значению
/ = = (6) 240 а а4 см2 ( )
При этом электронные свойства металлов проявляются лишь в поправках в силе Казимира
В четвертом разделе "Эффект Казимира для пленок с зеркальным и диффузным поверхностным отражением электронов" изучается роль электрон-поверхностного взаимодействия в силе Казимира, возникающей между массивным проводником и тонкой металлической пленкой, расположенной на диэлектрической подложке (рис 2) Характер электрон-поверхностного рассеяния описывается с помощью параметра зеркальности Р, который равен относительному числу электронов, отраженных зеркально от границы образца В рамках модели параметра зеркальности установлена зависимость силы казимировского притяжения от степени шероховатости поверхности металлической пленки
В разделе 4.1 "Свободная энергия в эффекте Казимира" развивается техника вычисления силы Казимира, предложенная Лифшиием, Дзялошинским и Питаевским, и находится упрощенное
выражение для свободной энергии двух
М-г 5
¡Ш V ^ «Э
Й Щй
:
- . ^ся?:
в заи модейет 'вукшшх плоскопараллельных макроскопических тел с произвольными диэлектрическими проницае мостя мл. 13 разделе 4.2 "Геометрия задачи и основные неравенства" дастся постановка задачи и приводятся основные неравенства, при выполнении которых в эффекте Казимира можно пренебречь влиянием температуры н учесть индивидуальные особенности проводящих сред. При этом для пленки на диэлектрической подложке предполагаются выполненными условия, при которых в силе притяжения, действующей на систему пленка-подложка со стороны массивного проводника. можно выделить два аддитивных вклада, обусловленных взаимодействием проводника с металлической пленкой и проводника с диэлектрической подложкой. Ролью пидложки в казимиров с ком притяжении пленки можно пренебречь, если параметр (£, — 1) оптической плотности подложки удовлетворяет неравенству
—I) «асос I с «1. (7)
Раздел 4.3 "Нахождение функций Грина электромагнитного поля" посвяшен решению электродинамических уравнений для функций Грина. Реакция вакуума на тонкую металлическую пленку описывается введением б уравнения поля поверхностной диэлектрической проницаемости, связанной со средней по толщине проводимостью (ст) металлической пленки соотношением
¿<<тО)>
Рис. 2 Геометрия задачи, ш - массивный металл, f - металлическая нленк а. в - диэлектрическая
Подложка.
е(со) = I 4- ■
а>
Здесь
(сг) = - [¿хст(-х-) = с1 *
<7,, = —£т|й?и(1 - И2)
ст.
р=о.
/ ( 11 ^
1-1 1-е"'
а с )
(8)
(9)
/ = Ур 1(\' — НО) — эффективная длина свободного пробега электронов; — фермиевская скорость. В рамках данной модели в разделе 4.4 "Асимптотическое поведение энергии
казимировского взаимодействия" находится ряд асимптотик силы Казимира, которые соответствуют случаям зеркальной и диффузной границы металлической пленки Асимптотическое поведение силы Казимира для пленок с зеркальной границей связано с использованием проводимости (2) и изучалось в разделе 3 При вычислении силы Казимира для пленок с диффузной границей необходимо воспользоваться выражением (9) для проводимости Как показывает анализ, для пленки толщиной
. (К
(10)
функциональную зависимость силы Казимира от расстояния реализуют следующие асимптотики
• область малых расстояний
ьар [71 ур [а с
• область больших расстояний
Л©,2 с12 ^ ГР с УР а г\а а а Согласно формулам (5) и (12) в области сравнительно больших расстояний на силу Казимира существенное влияние оказывают механизмы объемной (для пленок с зеркальной границей) и поверхностной (для пленок с диффузной границей) электронной релаксации При уменьшении расстояния между пленками эффекты, связанные с релаксацией электронов, подавляются интенсивными плазменными колебаниями В этих условиях сила Казимира описывается асимптотической формулой (11) Характерное значение расстояния а « а, при котором происходит переход от асимптотики а"7'2 к асимптотике а-4, является монотонно возрастающей функцией параметра зеркальности р
= а~(р = 1) = ^. (13)
Гр V
Этот результат говорит о том, что для пленок с известными электронными характеристиками <*)р, V и УР по экспериментально наблюдаемому а можно судить о степени шероховатости металлической поверхности
В пятом разделе "Температурный эффект в казимировском притяжении тонкой металлической пленки" теоретически изучается эффект Казимира для проводников при произвольной температуре
Следует отметить, что функциональная зависимость силы Казимира от температуры Т является важной чертой казимировского притяжения конденсированных сред Без учета температуры сила Казимира между массивными металлами определяется согласно (6) С увеличением температуры, но при выполнении неравенства кТ1Н«с1а в силе Казимира возникает поправка, которая пропорциональна четвертой степени температуры и не зависит от расстояния между пластинами Связанное с этой поправкой дополнительное казимировское притяжение обусловлено давлением теплового излучения на внешнюю границу пластин Е!
условиях неравенства кТ!%»с!а температурные (классические) флуктуация электромагнитного поля выходят на первый план В этом диапазоне температур сила казимировского притяжения имеет чисто энтропийное происхождение и описывается формулой
При Т = 300 К переход от асимптотики (6) к асимптотике (14) наблюдается в области расстояний а «10 мкм При данном значении а сила Казимира весьма мала по величине и экспериментально неразличима на фоне тех или иных помех Таким образом, в области реалистичных расстояний а« 0 1 -1 мкм сила Казимира между массивными металлическими пластинами обнаруживает слабую температурную зависимость
В разделе 5 1 "Постановка проблемы" отмечается, что температурная зависимость силы Казимира становится более ярко выраженной в системах с тонкими металлическими пленками Согласно результатам разделов 3 и 4, в условиях неравенств (1) и
(I с
асимптотическая формула (6) становится несправедливой В этом случае важную роль в формировании силы Казимира играют коллективные свойства электронной подсистемы металла — поверхностные плазменные колебания При этом для силы Казимира оказывается справедливой следующая оценочная формула
г Ьа>1 1
/ «-----Г (Г = 0) (16)
Уменьшение абсолютного значения силы казимировского притяжения /(Т = 0) позволяет подчеркнуть температурную зависимость /(Г) в области расстояний а »0,1-1 мкм Изучение этой зависимости составляет предмет дальнейшего исследования
Применяя формулу Абеля-Плана к уравнению Лифшица и используя аналитические свойства функций Грина, в разделе 5 2 находится выражение для силы Казимира в виде суммы температурно-зависящего и вакуумного вкладов флуктуационного электромагнитного поля В разделах 5 3 и 5 4 общие результаты применяются к системе, состоящей из массивного проводника и тонкой металлической пленки Показано, что характерная частота (Ос тепловых электромагнитных флуктуаций в этой системе пропорциональна квадратному корню из толщины металлической пленки, <ос = юД^/я)"2 Для случая достаточно высоких температур, когда тепловые флуктуации играют важную роль в казимировском взаимодействии, такого рода зависимость ведет к значительному возрастанию эффективной диэлектрической проницаемости пленки в области характерных частот и возникновению режима, в котором сила Казимира в главном приближении не зависит от толщины пленки,
кТ Ш ("" г~7^л
/ = -£(3)-—г + Д(а0, «»,.-«тах 8 па \а
кТ ¡укТ Й
где Л(й?) - малая поправка к первому слагаемому
Представляется удивительным, что формула (17) в главном приближении совпадает с формулой (14) для силы казимировского взаимодействия массивных металлов и что f(T) не исчезает при d —> 0 Различие между случаями массивных материалов и тонких металлических пленок состоит только в системе неравенств, определяющей высокотемпературный режим Это специфическая особенность казимировского притяжения только металлов В отличие oír диэлектриков, в металлах наблюдается значительное уменьшение характерной частоты элеетромагнитных флуктуаций при уменьшении толщины образца Возникновение характерного низкочастотного режима в казимировском притяжении достаточно тонких металлических пленок обусловлено сильными классическими длинноволновыми флуктуациями тока проводимости и плазменным экранированием электромагнитных мод Это свойство казимировского притяжения металлических пленок дополняет список характерных особенностей (см разделы 3 и 4) эффекта Казимира в металлах
В разделе 5 5 обсуждается возможность экспериментального наблюдения температурного вклада в силу Казимира Так, например, высокотемпературный режим (17) казимировской силы может быть реализован для пленок полуметаллов (таких как Bi, Sb, As) с концентрацией электронов и«1018ам~3 и плазменной частотой ffl^ltfV1. Сила Казимира для полуметаллических пленок толщиной d ss 10~6 см, V «1012С-1 при расстоянии около ОДмкми Г =300 К описывается асимптотикой (17) и составляет приблизительно /«2 дин/см2 Для металлов с концентрацией электронов и« 1023слГ3 и плазменной частотой а», * ÍO'V"1 высокотемпературный режим (17) практически недостижим В области реалистичных расстояний для металлов может наблюдаться только малая температурно-зависящая поправка к силе Казимира при Т — 0 Например, учет температурной поправки в силе Казимира (11) ведет к выражению
/ =
Ьсор ¡J 1 7[2hv
202 \ а а 36 da
г \
кТ
Kha>vj
2
кТ d
Т<<У<<Ча <18>
Сила Казимира для медных пленок с ¿«Ю-6см, у»1014с"1 при расстоянии около ОДмкм и Т = 300К описывается асимптотикой (18) и составляет приблизительно / «10 дин/см2 Согласно (18) уменьшение температуры на 30% при неизменном расстоянии а между пленкой и проводником ведет к 3% уменьшению силы Казимира
В заключительном разделе "Выводы" сформулированы основные результаты исследований и дана их краткая характеристика
ВЫВОДЫ
В диссертационной работе рассмотрен эффект Казимира в системе тонких металлических пленок Результаты диссертации получены двумя различными квантовополевыми методами методом суммирования по модам и методом вариации энергии В методе суммирования по модам для вычисления силы Казимира необходимо найти дисперсионные уравнения для собственных частот изучаемой системы Выражение силы Казимира через дисперсионные уравнения обобщает формулу Планка для энергии основного состояния электромагнитного поля на случай диссипативных сред При этом появление силы Казимира можно трактовать как результат
своеобразного высвобождения энергии электромагнитного вакуума при его частичном заполнении материальной средой Метод вариации энергии основан на технике функций Грина электромагнитного поля Поскольку функции Грина являются мерой корреляции значений электромагнитного поля в разных точках пространства в разные моменты времени, связанное С ними математическое описание казимировского взаимодействия подчеркивает его флукгуационное происхождение
В обоих методах сила Казимира является функционалом диэлектрических проницаемостеЙ В взаимодействующих тел и, в конечном счете, определяется отличием S от единицы Таким образом, эффект Казимира может служить принципиально новым методом изучения электродинамических свойств взаимодействующих тел Однако из-за большой электропроводности металлов их казимировское взаимодействие оказывается мало чувствительным к конкретным электродинамическим характеристикам того, чтобы электронные свойства металла проявились в силе Казимира в главном приближении, необходимо увеличить поверхностный импеданс металла до значений порядка импеданса вакуума, иными словами сделать образец практическим прозрачным для флуьсгуационвого электромагнитного поля Этим свойством обладают тонкие металлически и полуметаллические пленки В настоящей диссертации показано, что для таких объектов сила Казимира становится чувствительной к следующий электронным характеристикам плазменной частоте, частоте электронной релаксации и характеру электрон-поверхностного рассеяния
Сформулируем основные выводы работы
1 Сила казимировского притяжения тонких металлических пленок определяется толщиной пленок, расстоянием между ними и значением проводимости на характерной частоте а>с =a>p(d/a)112 В зависимости от величины безразмерного параметра v/а>с в казимировском взаимодействии пленок реализуются частотные режимы, соответствующие нормальному (mc«v) и инфракрасному (v « (úc) ския-эффектам Главной особенностью режима нормального скин-эффекта является чувствительность силы Казимира к диссипативным свойствам металла, что проявилось в ее зависимости от частоты объемной релаксации электронов Особенность режима инфракрасного скин-эффекта состоит в дробностепенной зависимости силы Казимира от расстояния, / х аГ1'1
2 В рамках феноменологической модели параметра зеркальности установлено,что электронные характеристики металлических пленок играют определяющую роль в силе Казимира, если выполняются неравенства d « Xpvla>p (при зеркальном отражении электронов, р~ 1) или d « Xp(VF /с)1'1 (при диффузном отражении электронов, /9 = 0) Вычисление силы Казимира в условиях этих неравенств показало, что в области сравнительно больших расстояний на силу Казимира существенное влияние оказывают механизмы объемной (для пленок с зеркальной границей) и поверхностной (для пленок с диффузной границей) электронной релаксации При уменьшении расстояния между пленками эффекты, связанные с релаксацией электронов, подавляются за счет интенсивных плазменных колебаний Характерная область а * й(р) перехода от одной асимптотики к другой является монотонно возрастающей функцией параметра зеркальности 3(p = 0) = d3a>p/Vp , а(р = \) = dcop / v1 Этот результат говорит о том, что для пленок с известными электронными характеристиками сор, V и VF по
экспериментально наблюдаемому значению а можно судить о степени шероховатости металлической поверхности
3 Для системы, состоящей из массивного проводника и тонкой металлической пленки на оптически прозрачной диэлектрической подложке в асимптотике силы Казимира можно выделить два аддитивных вклада, обусловленных взаимодействием проводника с металлической пленкой и проводника с подложкой Ролью диэлектрической подложки в казимировском притяжении пленки можно пренебречь, если параметр оптической плотности подложки удовлетворяет неравенству (е,ю -1) « аас / с « 1 В этом случае электронные свойства пленки выходят в силе Казимира на первый план
4 При отличной от нуля температуре сила Казимира допускает представление в виде суммы температурно-зависящего и вакуумного вкладов флуктуационного электромагнитного поля Структура температурно-зависящего вклада такова, что при достаточно высоких температурах (или для достаточно тонких металлических пленок), hû)c « кТ, тепловые флуктуации в казимировском взаимодействии пленок выходят на первый план и ведут к исчезновению зависимости силы Казимира от толщины образца
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ ТРУДОВ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1 Эффект Казимира в тонких металлических пленках / Дубрава В H, Ямпольский В А, Любимов О И // Радиофизика и электроника -1999 -Т 4,№ 1 -С 70-76
2 Dubrava VN, Yampol'skuV А, LyubimovOI The Casimir Attraction between Thin Metal Films // Telecommunications and Radio Engineering - 1999 - Vol 53, №9-10 -P 79-89
3 Феноменеологическая модель казимировского притяжения металлической пленки / Дубрава В H , Ямпольский В А //ФНТ -1999 -Т 25,№12-С 1304-1312
4 Роль дисперсионных свойств металлической пленки в ее казимировском притяжении / Дубрава В H , Любимов О И, Ямпольский В А //Доклады HAH Украины -2000 -№ 1 -С 57-61
5 The Temperature Effect m the Casimir Attraction of a Thin Metal Film / Dubrava V N, Yampol'sku V A // J Phys A Math. Gen -2000 -Vol 33 -P L243 -L250
6 Эффект Казимира в тонких металлических пленках / Дубрава В H, Ямпольский В А, Любимов О И // Материалы 3-й Международной конференции "Физические явления в твердых телах" - Харьков - 1997 -С 206
7 The Casimir Attraction of a Thin Metal Film to a Bulk Conductor at Low Temperatures / Yampol'sku V A, Lyubimov ОI, Dubrava V N // Abstracts of ХХП International conference on low temperature physics — Helsinki -1999 -P 253
8 Казимировское притяжение металлических пленок при низких температурах / Дубрава В H, Ямпольский В А //32 Всероссийское совещание по физике низких температур (НТ32), тезисы докладов, Секция NS Наноструктуры и низкоразмерные системы - Казань -2000 -С 135
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 Casimir Н В G On the Attraction between Two Perfectly Conducting Plates // Proc Koninkl Nederl Akad Wetensch -1948 -Vol B51,№8 -P 793-796
2 Plurnen G, Muller В, GremerW The Casimir Effect // Phys Rep - 1986 - Vol 134, №2-3 -P 87-193
3 Ehzalde E, Romeo A Essentials of the Casimir Effect and its Computation // Am J Phys (USA) -1991 - Vol 59, №8 -P 711-719
4 KrechM The Casimir Effect in Critical Systems -Smgapore World Sientific -1994 -P 344
5 Mostepanenko V M, TrunovNN The Casimir Effect and its Applications - Oxford Clarendon Press -1997 -P 256
6 МйоппуР The Quantum Vacuum - Academic Press -1993 -P 296
7 Лифшиц E M Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами // ЖЭТФ -1955 -Т 29,№1 -С 94-110
8 Iacopim Е Casimir Effect at Macroscopic Distances //Phys Rev -1993 - Vol A48,№1 -P 129131
9 Onoiho R Detecting Casimir Force using a Tunneling Electromechanical Transducer // Phys Lett -1995 - Vol A198, № 6 -P 365-370
10 LamoreauxS К Demonstration of the Casimir Force m the 0 6 to 6 /ж Range // Phys Rev Lett -1997 -Vol 78,№1 -P 5-8
11 MohideenU, Roy A Precision Measurement of the Casimir Force from 0 1 to 0 9 jum // Phys Rev Lett -1998 -Vol 81,№21 -P 4549-4552
Дубрава В.Н. Эффект Казимира в системе тонких металлических пленок. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01 04 02 - теоретическая физика - Физико-технический институт низких температурим Б И Веркина НАН Украины, Харьков, 2000
Рассмотрено флуктуационное электромагнитное взаимодействие между тонкими металлическими пленками (эффект Казимира) Изучено влияние электронных свойств металлических пленок на силу их казимировского притяжения Установлены условия, при выполнении которых электронные свойства пленок проявляются в силе Казимира в главном приближении Теоретически предсказана зависимость силы Казимира между массивным проводником и тонкой металлической пленкой от значения параметра зеркальности, характеризующего взаимодействие электронов проводимости с поверхностью пленки Исследована роль диэлектрической подложки пленки в силе Казимира Проведен анализ температурной зависимости казимировской силы Показано, что при достаточно высоких температурах сила Казимира имеет преимущественно энтропийное происхождение и в главном приближении не зависит от толщины пленки
Ключевые слова: эффект Казимира, флуктуационное электромагнитное взаимодействие, функция Грина, тонкие металлические пленки, электронная проводимость, частота объемной релаксации, параметр зеркальности
Dubrava V.N. The Casimir effect in the system of thin metal films - Manuscript. Thesis for a degree of Doctor of Philosophy (Ph D ) in physical and mathematical sciences by speciality 01 04 02 - theoretical physics - В Verkrn Institute for Low Temperature Physics and Engineering NAS of Ukraine, Kharkiv, 2000
The thesis is devoted to studying the effect of the electronic properties of thin metal films on the Casimir attractive force between them It is supposed that thickness of the film is much less than the skin depth at the characteristic frequencies of fluctuation fields For such films asymptotic expressions for the Casimir force that correspond to the frequency conditions of the normal and "infrared" skin-effects have been derived The dependence of the Casimir force on the specularity parameter characterizing the electron-surface interaction is predicted A possibility in principle of experimental study of the electron and surface properties of metal films through Casimir force measurements is demonstrated The theoretical description of the temperature dependence of the Casimir force between a bulk conductor and a thin metal film is given in this thesis
Key words: Casimir effect, fluctuation electromagnetic interaction, Green function, thin metal films, electron conductivity, frequency of the electron bulk collisions, specularity parameter
г
Научное издание
Дубрава Вячеслав Николаевич
ЭФФЕКТ КАЗИМИРА В СИСТЕМЕ ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНОК
Ответственный за выпуск д ф -м н Ковалев О С Подписано к печати 12 05 2000 г Заказ № 14 Формат 60x90/16 Печать офсетная Уел печ л 1 Тираж 100 экз Бесплатно
Ротапринт ИРЭ им А Я Усикова HAH Украины 61085, Харьков, ул Акад Проскуры, 12
Введение
Раздел 1 Обзор литературы
Раздел 2 Техника вычисления силы Казимира
2.1 Метод Ван Кампена, Нийбоера и Шрама суммирования по модам
2.2 Диэлектрический формализм в эффекте Казимира.
2.3 Метод Швингера, Де Раада и Милтона вариации энергии.
Раздел 3 Казимировское взаимодействие двух металлических пластин конечной толщины
3.1 Постановка задачи.
3.2 Дисперсионные уравнения для собственных частот.
3.3 Вычисление энергии Казимира.
3.4 Выводы.
Раздел 4 Эффект Казимира для пленок с зеркальным и диффузным поверхностным отражением электронов
4.1 Свободная энергия в эффекте Казимира.
4.2 Геометрия задачи и основные неравенства
4.3 Нахождение функций Грина электромагнитного поля.
4.4 Асимптотическое поведение энергии казимировского взаимодействия
4.5 Выводы.
Раздел 5 Температурный эффект в казимировском притяжении тонкой металлической пленки
5.1 Постановка проблемы.
5.2 Основные уравнения.
5.3 Температурная зависимость силы Казимира.
5.4 Выводы.
Выводы
Актуальность темы. Эффект Казимира представляет собой макроскопическое следствие явления поляризации физического вакуума при наличии определенных внешних материальных условий. Это одно из немногих проявлений сложной микроскопической структуры физического вакуума на протяжении полувека привлекает к себе интерес многих исследовательских групп, работающих в области квантовой теории поля и областях смежных с ней. С момента открытия [1], изучению эффекта Казимира было посвящено множество теоретических и экспериментальных работ (наиболее полную библиографию можно найти в [2-6]).
Одним из ярких достижений теории эффекта Казимира является развитие и разработка новых квантово-полевых методов вычисления эффективного потенциала: представление собственного времени Фока-Швингера, метод мировой линии, метод вариации энергии, метод тензора натяжения, метод суммирования по модам. Вместе с математическим формализмом развивается область приложений эффекта Казимира. Она простирается от статистической физики до космологии и теории элементарных частиц. Особое место в этом ряду занимает физика конденсированных сред и, в частности, физика металлических пленок.
Изучение макроскопического взаимодействия незаряженных конденсированных сред, предпринятое в 1948 г. Казимиром и продолженное впоследствии Е.М. Лиф-шицем [7], главным образом было ограничено рассмотрением только полубесконечных плоскопараллельных пластин. Между тем, представляет особый интерес исследование казимировского взаимодействия двумерных и квазидвумерных систем. Можно сказать, что исключительное место в этом классе систем занимают тонкие металлические и полуметаллические пленки. Дело в том, что из-за большой концентрации свободных электронов в казимировском взаимодействии металлов проявляется сильное экранирование флуктуационного электромагнитного поля. В результате, на больших расстояниях сила Казимира не зависит от материальных параметров взаимодействующих тел. В отличие от массивных металлов, отражательная способность тонких металлических пленок может быть незначительной. В соответствии с этим, в казимировском взаимодействии металлических пленок можно реализовать условия, при выполнении которых сила Казимира становится чувствительной к материальным параметрам.
До настоящего времени проблема казимировского взаимодействия тонких металлических пленок практически не изучалась. В то же время, в свете результатов недавних экспериментальных работ [8-11] ее решение становится особенно актуальным. Прецизионное измерение силы Казимира с точностью, большей чем 1%, обещает стать принципиально новым методом экспериментального изучения материальных характеристик металлических пленок. Теоретическому исследованию этого вопроса и посвящается данная диссертация.
Связь работы с научными программами, планами, темами. Диссертационная работа выполнена в отделе теоретической физики Института радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины. Исследования, которые составили содержание диссертации, проведены в соответствии с государственной научно-исследовательской программой "Электромагнитные и акустические явления СВЧ-диапазона в твердотельных структурах" (Президиум НАН Украины, шифр: "Кентавр-1", номер госрегистрации 01.96.И006109, 1996 - 2000).
Цель и основные задачи исследования. Цель диссертационной работы состоит в теоретическом выявлении особенностей казимировского притяжения тонких металлических пленок. Важной задачей исследования является установление зависимости силы Казимира от таких параметров задачи, как толщина пленок, плазменная частота, частот объемной и поверхностной электронной релаксации, температуры и др.
Объектом исследования является сила Казимира, которая возникает между конденсированными средами вследствие флуктуационного электромагнитного взаимодействия токов. Казимировское взаимодействие тонких металлических пленок составляет предмет исследования данной диссертации.
Метод исследования состоит в получении дисперсионных уравнений для собственных частот системы двух металлических пленок путем решения уравнений Максвелла; выяснении условий, при которых электронные свойства металлических пленок проявляются в силе Казимира в главном приближении; аналитическом расчёте силы Казимира в функции толщины пленок, плазменной частоты, частот объемной и поверхностной электронной релаксации и температуры.
Научная новизна полученных результатов. В диссертационной работе было впервые:
1. Теоретически исследовано влияние электронных свойств тонких металлических пленок на силу их казимировского притяжения;
2. В пределе низких температур получено замкнутое аналитическое выражение для силы Казимира в функции толщины пленок, расстояния между ними и глубины скин-слоя. Для характерных частот флуктуационных электромагнитных полей найден режим, эквивалентный инфракрасному скин-эффекту, особенность которого состоит в дробностепенной зависимости силы Казимира от расстояния;
3. Предсказана зависимость силы казимировского притяжения тонкой металлической пленки от значения параметра зеркальности, характеризующего взаимодействие электронов проводимости с поверхностью пленки;
4. Изучено влияние диэлектрической подложки на силу Казимира между массивным проводником и тонкой металлической пленкой. Для параметра оптической плотности диэлектрической подложки найдено условие, при выполнении которого электронные свойства пленки выступают в силе Казимира на первый план;
5. Теоретически исследована функциональная зависимость силы Казимира от температуры. Показано, что для достаточно тонких металлических пленок (или при достаточно высоких температурах) сила Казимира имеет преимущественно энтропийное происхождение и в главном приближении не зависит от толщины пленки.
Сформулированные положения выносятся на защиту.
Практическое значение полученных результатов. Результаты диссертационной работы демонстрируют принципиальную возможность экспериментального изучения электронных и поверхностных свойств металлических пленок с помощью измерения силы их казимировского притяжения. Использование техник "крутящегося маятника" (torsion pendulum technique) и "микроскопа атомной силы" (atomic force microscopy technique) при прецизионном измерении силы Казимира между пленкой металла и массивным проводником может стать принципиально новым инструментом для экспериментального изучения материальных характеристик металлических пленок.
Личный вклад соискателя. Результаты диссертации опубликованы в статьях [12-16] и тезисах докладов [17-19]. Личный вклад соискателя в выполненные по теме диссертации научные работы состоял в участии в постановке конкретных задач, в проведении всех основных вычислений, в обсуждении полученных результатов и формулировке выводов. В работах [12,13] автором получены дисперсионные уравнения для собственных частот системы двух взаимодействующих пластин и, с помощью метода суммирования по модам, вычислена сила Казимира. В статьях [14,15] с помощью метода вариации энергии была вычислена сила казимировского притяжения для металлических пленок с зеркальным и диффузным поверхностным отражением электронов. В работе [16] автор исследовал функциональную зависимость силы Казимира от температуры.
Апробация результатов диссертации. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 22-й международной конференции по физике низких температур (LT-22) (Helsinki, Finland, 1999); 32 Всероссийском совещании по физике низких температур (НТ-32) (Казань, 2000); 3-й международной конференции "Физические явления в твердых телах", посвященной 80-летию проф. И.М. Лиф-шица (Харьков, 1997); международном семинаре "Физика и техника низких температур", посвященном памяти проф. Б.И. Веркина (Харьков, 1999); объединенных семинарах отделов физики твердого тела и теоретической физики ИРЭ НАН
Украины; теоретическом семинаре имени проф. Э.А. Канера (ИРЭ); семинаре по физике сверхпроводников (ХНУ).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из них 5 статей в специализированных национальных и международных научных журналах и 3 тезиса докладов в сборниках трудов научных конференций.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключительного раздела "Выводы", трех приложений и списка использованных источников из 145 наименований. Работа изложена на 131 странице машинописного текста и содержит 5 иллюстраций, которые не занимают отдельных страниц.
выводы
В диссертационной работе рассмотрен эффект Казимира в системе тонких металлических пленок. Результаты диссертации получены в рамках диэлектрического формализма двумя различными квантовополевыми методами: методом суммирования по модам и методом вариации энергии. В методе суммирования по модам для вычисления силы Казимира необходимо найти дисперсионные уравнения для собственных частот изучаемой системы. Выражение силы Казимира через дисперсионные уравнения обобщает формулу Планка для энергии основного состояния электромагнитного поля на случай диссипативных сред. При этом появление силы Казимира можно трактовать как результат своеобразного высвобождения энергии электромагнитного вакуума при его частичном заполнении материальной средой. Метод вариации энергии основан на технике функций Грина электромагнитного поля. Поскольку функции Грина являются мерой корреляции значений электромагнитного поля в разных точках пространства в разные моменты времени, связанное с ними математическое описание казимировского взаимодействия подчеркивает его флуктуационное происхождение.
В обоих методах сила Казимира представляется как функционал от диэлектрических проницаемостей е взаимодействующих тел и, в конечном счете, определяется отличием е от единицы. Таким образом, эффект Казимира может служить принципиально новым методом изучения электродинамических свойств взаимодействующих тел. Однако, из-за большой электропроводности металлов их казимировское взаимодействие оказывается мало чувствительным к конкретным электродинамическим характеристикам. Для того, чтобы электронные свойства металла проявились в силе Казимира в главном приближении, необходимо увеличить поверхностный импеданс металла до значений порядка импеданса вакуума, иными словами сделать образец практическим прозрачным для флуктуационного электромагнитного поля. Именно таким свойством обладают тонкие металлические и полуметаллические пленки. Для этих объектов сила Казимира становится чувствительной к размерам пленки и ее электронным характеристикам: плазменной частоте, частоте электронной релаксации и характеру электрон-поверхностного рассеяния.
Сформулируем основные выводы работы.
1. Сила казимировского притяжения тонких металлических пленок определяется толщиной пленок, расстоянием между ними и значением проводимости на характерной частоте шс = wpy/d/a. В зависимости от величины безразмерного параметра vjwc в казимировском взаимодействии пленок реализуются частотные режимы, соответствующие нормальному (и «С шс) и инфракрасному (и шс) скин-эффектам.
Главной особенностью режима нормального скин-эффекта, реализующегося при сравнительно больших а, оказывается чувствительность силы Казимира к дисси-пативным свойствам металла, что проявилось в ее зависимости от частоты объемной релаксации электронов. Эта черта явно указывает на нетривиальную природу казимировского взаимодействия, возникновение которого при Т = 0 можно интерпретировать в духе квантовомеханических потенциальных возможностей в динамическом поведении системы во внешнем электромагнитном поле. Особенность режима инфракрасного скин-эффекта состоит в дробностепенной зависимости силы Казимира от расстояния, / ос а~7/2.
2. В рамках феноменологической модели параметра зеркальности установлено, что электронные характеристики металлических пленок играют определяющую роль в силе Казимира, если выполняются неравенства: d «С \vjujv (при зеркальном отражении электронов, р = 1) или d <С Арл/vp/c (при диффузном отражении электронов, р = 0).
Вычисление силы Казимира в условиях этих наравенств показало, что в области сравнительно больших расстояний на силу Казимира существенное влияние оказывают механизмы объемной (для пленок с зеркальной границей) и поверхностной (для пленок с диффузной границей) электронной релаксации. При уменьшении расстояния между пленками эффекты, связанные с релаксацией электронов, подавляются за счет интенсивных плазменных колебаний. Характерное расстояние а та а(р), на котором осуществляется переход от одной асимптотики к другой, является монотонно возрастающей функцией параметра зеркальности: а(р = 0) = сРсОр/ур, а(р = 1) = duo2/и2. Этот результат говорит о том, что для пленок с известными электронными характеристиками и и vp по экспериментально наблюдаемому значению а можно судить о степени шероховатости металлической поверхности.
3. Для системы, состоящей из массивного проводника и тонкой металлической пленки на оптически прозрачной диэлектрической подложке, в асимптотике силы Казимира можно выделить два аддитивных вклада, обусловленных взаимодействием проводника с металлической пленкой и проводника с подложкой. Ролью диэлектрической подложки в казимировском притяжении пленки можно пренебречь, если параметр оптической плотности подложки удовлетворяет неравенству (боо — 1) С ашс/с < 1. В этом случае электронные свойства пленки выходят в силе Казимира на первый план.
4. При отличной от нуля температуре сила Казимира допускает представление в виде суммы температурно-зависящего и вакуумного вкладов флуктуационного электромагнитного поля. Структура температурно-зависящего вклада такова, что при достаточно высоких температурах (или для достаточно тонких металлических пленок), Ьыс <С кТ, тепловые флуктуации в казимировском взаимодействии пленок выходят на первый план и ведут к исчезновению зависимости силы Казимира от толщины образца.
Исследования, на которых основывается данная диссертация, выполнены в соавторстве с доктором физ.-мат. наук В.А. Ямпольским и кандидатом физ-мат. наук О.И. Любимовым.
В заключение я выражаю признательность моему научному руководителю Валерию Александровичу Ямпольскому, а также О.И. Любимову, Ю.П. Степановскому и В.Д. Нацику за критику, замечания и весьма полезные обсуждения работы.
1. Casimir H.B.G. On the Attraction between Two Perfectly Conducting Plates // Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch. 1948. - Vol. B51, № 8. - P. 793-796.
2. Plunien G., Muller В., Greiner W. The Casimir Effect // Phys. Rep. 1986. -Vol. 134, № 2-3. - P. 87-193.
3. Elizalde E., Romeo A. Essentials of the Casimir Effect and its Computation // Am. J. Phys. (USA). 1991. - Vol. 59, № 8. - P. 711-719.
4. Krech M. The Casimir Effect in Critical Systems. Singapore: World Sientific, 1994. - 344 p.
5. Mostepanenko V.M., Trunov N.N. The Casimir Effect and its Applications. -Oxford: Clarendon Press, 1997. 256 p.
6. Milonny P. The Quantum Vacuum. Cambridge: Academic Press, 1993. - 296 p.
7. Лифшиц E.M. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами // ЖЭТФ. 1955. - Т. 29, № 1. - С. 94-110.
8. Iacopini Е. Casimir Effect at Macroscopic Distances // Phys. Rev. 1993. - Vol. A48, № 1. - P. 129-131.
9. Onofrio R. Detecting Casimir Force using a Tunneling Electromechanical Transduser // Phys. Lett. 1995. - Vol. A198, №. - P. 365-370.
10. Lamoreaux S.K. Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6 цт Range // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78, M. - P. 5-8.
11. Mohideen U., Roy A. Precision Measurement of the Casimir Force from 0.1 to 0.9 /ш1 // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81, Ml. - P. 4549-4552.
12. Дубрава В.Н., Ямпольский В.А., Любимов О.И. Эффект Казимира в тонких металлических пленках // Радиофизика и электроника. 1999. - Т. 4, 1. -С. 70-76.
13. Dubrava V.N., Yampol'skii V.A., Lyubimov O.I. The Casimir Attraction between Thin Metal Films // Telecommunications and Radio Engineering. 1999. - Vol. 53, № 9-10. - P. 79-89.
14. Дубрава B.H., Ямпольский B.A. Феноменеологическая модель казимировского притяжения металлической пленки // ФНТ. 1999. - Т. 25, № 12. - С. 1304-1312.
15. Дубрава В.Н., Любимов О.И., Ямпольский В.А. Роль дисперсионных свойств металлической пленки в ее казимировском притяжении // Доклады НАН Украины. 2000. - М. - С. 57-61.
16. Dubrava V.N., Yampol'skii V.A. The Temperature Effect in the Casimir Attraction of a Thin Metal Film // J. Phys. A: Math. Gen. 2000. - Vol. 33. -P. L243-L250.
17. Дубрава B.H., Ямпольский B.A., Любимов О.И. Эффект Казимира в тонких металлических пленках // Материалы 3-й Международной конференции "Физические явления в твердых телах". Харьков: ХГУ. - 1997. - С. 206.
18. Yampol'skii V.A., Lyubimov O.I., Dubrava V.N. The Casimir Attraction of a Thin Metal Film to a Bulk Conductor at Low Temperatures // Abstracts of XXII International conference on low temperature physics. Helsinki. - 1999. - P. 253.
19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. - 767 с.
20. Casimir H.B.G., Polder D. The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces // Phys. Rev. 1948. - Vol. 73, № 4. - P. 360-372.
21. Гриб А.А. Неравенства Белла и экспериментальная проверка квантовых корреляций на макроскопических расстояниях // УФН. 1984. - Т. 142, № 4. -С. 619-634.
22. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 287 с.
23. Райдер Л. Квантовая теория поля: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 512 с.
24. Ициксон К., Зюбер Ж-Б. Квантовая теория поля: Пер. с нем. М.: Мир, 1984. - 448 с.
25. Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс: Пер. с франц. М.: Мир, 1984. - 332 с.
26. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука, 1990. - 275 с.
27. Dittrich W., Reuter М. Effective Lagrangian in Quantum Electrodynamics. -Berlin: Springer-Verlag, 1985. 245 p.
28. Гитман А.П., Фрадкин E.C., Шварцман Ш.М. Квантовая электродинамика с нестабильным вакуумом. М.: Наука, 1991. - 292 с.
29. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989. - 728 с.
30. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization // Phys. Rev. -1951. Vol. 82, № 5. - P. 664-679.
31. Фок B.A. Работы по квантовой теории поля. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. -159 с.
32. Боргардт А.А., Карпенко Д.Я. Электрон в однородном электромагнитном поле и в поле плоской произвольно поляризованной волны // УФЖ. 1974. -Т. 19, № 2. - С. 227-236.
33. Сахаров А.Д. Спектральная плотность собственных значений волнового уравнения и поляризация вакуума // ТМФ. 1975. - Т. 23, № 2. - С. 178-190.
34. Adler S.L. Einstein Gravity as a Symmetry-breaking Effect in Quantum Field Theory // Rev. Mod. Phys. 1982. - Vol. 54, № 3. - P. 729-766.
35. Биррелл H., Девис П. Квантовые поля в искривленном пространстве-времени: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 356 с.
36. Де Витт Б.С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. М.: Наука, 1987. - 287 с.
37. Schwinger J. Casimir Effect in Source Theory II //Lett. Math. Phys. 1992. -Vol. 24, № 2. - P. 59-61.
38. Kay B.S. Casimir Effect in Quantum Field Theory // Phys. Rev. 1979. - Vol. D20, № 12. - P. 3052-3062.
39. Ford L.H. Vacuum Polarization in a Nonsimply Connected Spacetime // Phys. Rev. 1980. - Vol. D21, № 4. - P. 933-948.
40. Gougo-Pinto M.V., Farina C., Segui-Santonja A.J. On Schwinger's Method for Obtainig the Casimir Effect // Lett. Math. Phys. 1994. - Vol. 30, № 2. - P. 169-173.
41. Gougo-Pinto M.V., Farina C., Segui-Santonja A.J. Schwinger's Method for the Massive Casimir Effect // Lett. Math. Phys. 1994. - Vol. 31, № 3. - P. 309-314.
42. Криве И.В., Латинский С.М. Влияние границ на поляризацию вакуума и рождение пар зарядов постоянным электрическим полем // Ядерная физика. -1985. Т. 42, № 2. - С. 224-231.
43. Vshivtsev A.S., Klimenko А.К., Klimenko K.G. Boundary Effects in the Magnetic Catalysis of Chiral Symmetry Breaking // Phys. Atom. Nucl. 1998. - Vol. 61, № 2. - P. 479-483.
44. Gusynin V.P., Shovkovy I.A. Derivative Expansion for the One-loop Effective Lagrangian in QED // Can. J. Phys. 1996. - Vol. 74, № 3. - P. 282-289.
45. Березин Ф.А., Маринов М.С. Классический спин и алгебра Грассмана // Письма ЖЭТФ. 1975. - Т. 21, № 11. - С. 678-680.
46. Bordag М., Robaschik D., Wieczorek Е. Quantum Field Theoretic Treatment of the Casimir Effect // Ann. Phys. 1985. - Vol. 165, № 1. - P. 192-213.
47. Robaschik D., Sharnhorst K., Wieczorek E. Radiative Corrections to the Casimir Pressure under the Influence of Temperature and External Fields // Ann. Phys. 1987. - Vol. 174, № 3. - P. 401-429.
48. Brevik I., Nielsen H.B. Casimir Energy for a Piecewice Uniform String // Phys. Rev. 1990. - Vol. D41, № 4. - P. 1185-1194.
49. Bowers M.E., Hagen C.R. Casimir Energy of a Spherical Shell // Phys. Rev. -1999. Vol. D59, № 2. - P. 025007(1-6).
50. Davies B. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell // J. Math. Phys. 1972. - Vol. 13, № 9. - P. 1324-1328.
51. Bordag M., Elizalde E., Kirsten K. Heat Kernel Coefficients of the Laplace Operator on D-dimensional Ball // J. Math. Phys. 1996. - Vol. 37, № 2. -P. 895-916.
52. Nesterenko V.V., Pirozhenko I.G. Simple Method for Calculating the Casimir Energy for a Sphere // Phys. Rev. 1998. - Vol. D57, № 2. - P. 1284-1290.
53. Brevik I., Elizalde E. New Aspects of the Casimir Enrgy Theoty for a Piecewise Uniform String // Phys. Rev. 1994. - Vol. D49, № 10. - P. 5319-5325.
54. Zeta Regularization Techniques with Applications / Elizalde E., Odintsov S.D., Romeo A., Bytsenko A.A., Zerbini S. Singapore: World Scientific, 1994. - 278 P
55. Elizalde E. Applications of Spectral Zeta Functions. Berlin: Springer, 1995. -193 p.
56. Elizalde E., Bordag M., Kirsten K. Casimir Energy for a Massive Fermionic Quantum Field with a Spherical Boundary // J. Phys. 1998. - Vol. A31, № 7. - P. 1743-1750.
57. Casimir Energy for Massive Scalar Fields in a Spherical Geometry / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten, S. Leseduarte // Phys. Rev. 1997. - Vol. D56, № 8. -P. 4896-4904.
58. Дерягин Б.В., Абрикосова И.И. Прямые измерения молекулярного притяжения твердых тел. I. Постановка вопроса и методика измерения сил с применением негативной обратной связи // ЖЭТФ. 1956. - Т. 30, № 6. - С. 993-1006.
59. Дерягин Б.В., Абрикосова И.И. Прямые измерения молекулярного притяжения твердых тел. II. Метод измерения зазора. Результаты опытов // ЖЭТФ.- 1956.-Т. 31, №1(7).-С. 3-13.
60. Дерягин Б.В., Абрикосова И.И., Лифшиц Е.М. Молекулярное притяжение конденсированных тел // УФН. 1958. - Т. 64, № 3. - С. 493-528.
61. Kitchener J.A., Prosser А.Р. Dirrect Measurement of the Long-range van der Waals Forces // Pros. Roy. Soc. (London). 1957. - Vol. A242, № 12. - P. 403-409.
62. Measurements of Retarded van der Waals' Forces / W. Black, J.G.V. de Jongh, J.Th.G. Overbeek, M.J. Sparnaay // Trans. Faraday Soc. 1960. - Vol. 56, № 11. - P. 1597-1608.
63. Winterton R.H.S. Van der Waals Forces // Contemp. Phys. 1970. - Vol. 11, № 6. - P. 559-574.
64. Israelachvili J.N., Tabor D. Measurement of van der Waals Dispersion Forces in the Range 1.4 to 130 nm // Nature Phys. Sci. 1972. - Vol. 236, № 68. - P. 106-118.
65. Sparnaay M.J. Measurement of Attractive Forces between Flat Plates // Physica.- 1958. Vol. 24, № 2. - P. 751-764.
66. Sarlemijn A., Sparnaay M.J. Physics in the Making: Essays on Development in 20th Century Physics in Honoyr of H.B.G. Casimir on the Occassion of his 80th Birthday. Amsterdam: North-Holland. - 1989. - P. 235-246.
67. Proximity Forces / J. Blocki, J. Randrup, W.J. Swiatecki, C.F. Tsang // Ann. Phys. 1977. - Vol. 105, ДО 2. - P. 427-435.
68. Bordag M., Gillies G.T., Mostepanenko V.M. New Constraints on the Yukawa-type Hypothetical Interaction from the Recent Casimir Force Measurement // Phys. Rev. 1997. - Vol. D56, № 1. - P. R6-R7.
69. Bordag M., Gillies G.T., Mostepanenko V.M. Erratum: New Constraints on the Yukawa-type Hypothetical Interaction from the Recent Casimir Force Measurement // Phys. Rev. 1998. - Vol. D57, № 3. - P. 2024.
70. Constraints for Hypothetical Interactions from a Recent Demonstration of the Casimir Force and some Possible Improvements / M. Bordag, B. Geyer, G.L. Klimchitskaya, V.M. Mostepanenko // Phys. Rev. 1998. - Vol. D58, № 7. - P. 075003(1-16).
71. Дзялошинский И.Е., Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Ван-дер-ваальсовы силы в жидких пленках // ЖЭТФ. 1959. - Т. 37, № И. - С. 229-241.
72. Дзялошинский И.Е., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Общая теория ван-дер-ваальсовых сил // УФН. 1961. - Т. 73, № 3. - С. 381-422.
73. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962. - 443 с.
74. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Теория конденсированного состояния. М.: Наука, 1978. - 448 с.
75. Hargreaves C.M. Corrections to the Retarded Dispersion Force between Metal Bodies // Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch. 1965. - Vol. B68, № 11. - P. 231-236.
76. Schwinger J., DeRaad L.L., Milton K.A. Casimir Effect in Dielectrics // Ann. Phys. 1978. - Vol. 115, № 1. - P. 1-23.
77. Мостепаненко B.M., Трунов H.H. Сила Казимира между металлическими пластинами с конечной проводимостью // Ядерная физика. 1985. - Т. 42. -С. 1297-1299.
78. Bezerra V.B., Klimchitskaya G.L., Romero С. Casimir Force between a Flate Plate and a Spherical Lens: Applications to the Result of a New Experiment // Mod. Phys. Lett. 1997. - Vol. A12, № 34. - P. 2613-2622.
79. Кац Е.И. Влияние эффектов нелокальности на ван-дер-ваальсово взаимодействие // ЖЭТФ. 1977. - Т. 73, № 1. - С. 212-220.
80. Heinrichs J. Theory of van der Waals Interactions between Metal Surfaces // Phys. Rev. 1975. - Vol. Bll, № 10. - P. 3625-3636.
81. Bostrom M., Sernelius Bo E. Fractional van der Waals Interaction between Thin Metallic Films // Phys. Rev. 2000. - Vol. B61, № 3. - P. 2204-2210.
82. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 620 с.
83. Lamoreaux S.K. Calculation of the Casimir Force between Imperfectly Conducting Plates // Phys. Rev. 1999. - Vol. A59, № 5. - P. R3149-R3153.
84. Lamoreaux S.K. Corrections: Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6 /mi Range // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81, № 24. - P. 5475-5476.
85. Bostrom M., Sernelius Bo E. Comment on "Calculation of the Casimir Force between Imperfectly Conducting Plates" // Phys. Rev. 2000. - Vol. A61, № 3 (1). - P. 0461XX(l-3).
86. CRC Handbook of Chemistry and Physics / 79th ed. Berlin: CRC Press, 1998.- 234 p.
87. Новиков М.Ю., Сорин A.C., Черняк В.Я. Флуктуационные силы в трехслойной среде с шероховатыми границами // ТМФ. 1990. - Т. 82, № 2. - С. 178-187.
88. Bordag М., Klimchitskaya G.L., Mostepanenko V.M. Corrections to the Casimir Force between Plates with Stochastic Surfaces // Phys. Lett. -1995. Vol. A200, № 2. - P. 95-102.
89. Bordag M., Klimchitskaya G.L., Mostepanenko V.M. The Casimir Force between Plates with Small Deviations from Plane Parallel Geeometry // Int. J. Mod. Phys.- 1995. Vol. A10, № 18. - P. 2661-2681.
90. Бараш Ю.С., Гинзбург B.JT. Электромагнитные флуктуации в веществе и молекулярные (ван-дер-ваальсовы) силы между телами // УФН. 1975. - Т. 116, ДО 1. - С. 5-40.
91. Дерягин Б.В., Чураев Н.В. Смачивающие пленки. М.: Наука, 1984. - 159 с.
92. Sabisky E.S., Anderson С.Н. Verification of the Lifshitz Theory of the van der Waals Potential Using Liquid-Helium Films // Phys. Rev. 1973. - Vol. A7, № 2. - P. 790-806.
93. De Gennes P.G. Some Effects of Long Range Forces on Interfacial Phenomena // J. Phys. Lett. 1981. - Vol. 42, № 16. - P. 377-379.
94. Thickness of the Liquid-vopor Wetting Layer / Kwon O'D., Beaglehole D., Webb W.W., Widom В., Schmidt J.W., Cahn J.W., Moldover M.R., Stephenson B. //
95. Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 48, № 3. - P. 185-188.
96. Substrate-mediated Dispersion Interaction between Adsorbed Atoms and Molecules / S. Rauber, J.R. Klein, M.W. Cole, L.W. Bruch // Surf. Sci. 1982. - Vol. 123, № 2-3. - P. 173-178.
97. Marinescu M., Dalgarno A., Babb J.F. Retarded Long-range Potentials for the Alkali-metal Atoms and a Perfectly Conducting Wall // Phys. Rev. -1997. Vol. A55, № 2. - P. 1530-1522.
98. Yan Z.-C., Dalgarno A., Babb J.F. Long-Range Interactions of Lithium Atoms // Phys. Rev. 1997. - Vol. A55, № 4 - P. 2882-2887.
99. Klachenko P., Babb J.F., Dalgarno A. Long-Range Interactions of Sodium Atoms // Phys. Rev. 1997. - Vol. A55, № 5 - P. 3566-3572.
100. Measuring the van der Waals Forces between a Rydberg Atom and a Metallic Surface / Anderson A., Haroche S., Hinds E.A., Jhe W., Meschede D. // Phys. Rev. 1988. - Vol. A37, № 9. - P. 3594-3597.
101. Direct Measurement of the Vanderwaals Interaction between an Atom and Its Images in a Micron-Sized Cavity / V. Sandoghdar, C.I. Sukenik, E.A. Hinds, S. Haroche // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 68, № 23. - P. 3432-3435.
102. Measurement of the Casimir-Polder Force / Sukenik СЛ., Bochier M.G., Cho D., Sandoghdar V., Hinds E.A. // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 70, № 5. - P. 560-563.
103. Бараш Ю.С. Ван-дер-ваальсово взаимодействие тонких проводящих слоев // ФТТ. 1988. - Т. 30, № 9. - С. 2738-2745.
104. Бараш Ю.С., Нотыч О.И. Дальние корреляции в жидкости, заполняющей тонкую щель или пору // ЖЭТФ. 1990. - Т. 98, № 2(8). - С. 542-553.
105. Panat P.V., Paranjape V.V. Dipolar and Quadrupolar Contributions to Self-Energy of a Hydrogenic Atom Placed between Two Metallic Slabs // Solid State Commun. 1999. - Vol. 110, № 8. - P. 443-446.
106. Bostrom M., Sernelius Bo E. Van der Waals Energy of an Atom in the Proximity of Thin Metal Films // Phys. Rev. 2000. - Vol. A62, № 2.- P. 1955-1958.
107. Киржниц Д.А., Пеньков Ф.М. Взаимодействие легкой частицы с системой тяжелых частиц // Письма в ЖЭТФ. 1983. - Т. 37, № 3. - С. 129-131.
108. Киржниц Д.А., Пеньков Ф.М. О кулоновском взаимодействии составных частиц // ЖЭТФ. 1983. - Т. 85, № 1(7). - С. 80-93.
109. Manson J.R., Ritchie R.H. Completely Quantul Teratment of the van der Waals Forces between Atoms: Applications to Positronium // Phys. Rev. Lett. 1985.- Vol. 54, № 8. P. 785-788.
110. Au C.K., Drachman R.J. van der Waals Force between Positronium and Hydrogenic Atoms: Finite-Mass Corrections // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 56, № 4. - P. 324-327.
111. Evans E., Mills D.L. Interaction of Slow Electrons with the Surface of a Model Dielecfric: Theory of a Surface Polarons // Phys. Rev. 1973. - Vol. B8, № 8. -P. 4004-4018.
112. Manson J.R., Ritchie R.H. Self-Energy of a Charqe near a Surface // Phys. Rev.- 1981. Vol. B24, № 8. - P. 4867-4870.
113. Brown L.S., Maclay G.J. Vacuum Stress between Conducting Plates; an Image Solution // Phys. Rev. 1969. - Vol. 184, № 5. - P. 1272-1279.
114. Schwinger J. Casimir Effect for Metal Slabs //J. Let. Math. Phys. 1975. -Vol. 1, № 3. - P. 43-49.
115. Fierz M. Zur Anziehung leitender Ebenen im Vakuum // Helv. Phys. Acta. -1960. Vol. 33, № 8. - P. 855-858.
116. Sauer F. Casimir Effect at Finite Temperature: Dissertation. Gottingen, 1962. -106 p.
117. Mehra J. Temperature Correction to the Casimir Effect // Physica. 1967. -Vol. 37, № 1. - P. 145-152.
118. Ninham B.W., Daicik J. Lifshitz Theory of Casimir Forces at Finite Temperature 11 Phys. Rev. 1998. - Vol. A57, № 3. - P. 1870-1880.
119. Бараш Ю.С. Вклад вандерваальсовых сил в свободную энергию конденсированных сред // ЖЭТФ. 1982. - Т. 82, т. - С. 631-645.
120. Бараш Ю.С. Силы Ван-дер-Ваальса. М.: Наука, 1988. - 344 с.
121. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. М.: Мир, 1967. - 514 с.
122. Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц. М.: Госатомиздат, 1963. - 344 с.
123. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.584 с.
124. Kampen N.G. van, Nijboer B.R.A., Schram К. On the Macroscopic Theory of Van der Waals Forces // Phys. Lett. 1968. - Vol. A26, № 7. - P. 307-308.
125. Ninham B.W., Parsegian V.A., Weiss G.H. On the Macroscopic Theory of Temperature-dependent Van der Waals Forces //J. Statist. Phys. 1970. - Vol. 2, № 4. - P. 323-328.
126. Davies B. Extension of van Kampen et al.'s Method of Calculating van der Waals Forces to Dissipative Media // Phys. Lett. 1971. - Vol. A37, № 5. - P. 391-392.
127. Gerlach E. Equivalence of van der Waals Forces between Soliud and the Surface-Plasmon Interaction // Phys. Rev. 1971. - Vol. B4, № 2. - P. 393-396.
128. Schram K. On the Macroscopic Theory of Retaded van der Waals Forces // Phys. Lett. 1973. - Vol. A43, № 3. - P. 282-286.
129. Бараш Ю.С., Гинзбург В.Л. К электродинамической теории ван-дер-ваальсовых сил между макроскопическими телами // Письма в ЖЭТФ. -1972. Т. 15, № 9. - С. 567-571.
130. Бараш Ю.С., Гинзбург В.Л. Некоторые вопросы теории сил Ван-дер-Ваальса // УФН. 1984. - Т. 143, № 3. - Р. 345-389.
131. Гинзбург B.J1. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1987. -488 с.
132. Лосяков В.В. Диэлектрическая проницаемость с учетом пространственной дисперсии // Краткие сообщения по физике ФИАН. 1983. - № 5. - С. 41-49.
133. Киржниц Д.А. Всегда ли справедливы соотношения Крамерса-Кронига для диэлектрической проницаемости вещества? // УФН. 1976. - Т. 119, № 2. -С. 357-369.
134. Киржниц Д.А. Общие свойства электромагнитных функций отклика // УФН. 1987. - Т. 152, № 3. - С. 399-422.
135. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости / Под ред. Гинзбурга В.Л., Киржница Д.А. М.: Наука, 1977. - 400 с.
136. Бараш Ю.С., Гинзбург В.Л. О выражениях для плотности энергии и выделяющегося тепла в электродинамике диспергирующей и поглощающей среды // УФН. 1976. - Т. 118, № 3. - С. 523-537.
137. Tan S.L., Anderson P.W. Long-range van der Waals Forsec between Restricted-dimensional Metals // Chem. Phys. Lett. 1983. - Vol. 97, № 1. - P. 23-25.
138. Sernelius Bo E., Bjork P. Interaction Energy for a Pair of Quantum Wells // Phys. Rev. 1998. - Vol. B57, № 11. - P. 6592-6601.
139. Агранович B.M., Лозовик Ю.Е. Особенности поведения диэлектрической проницаемости при учете пространственной дисперсии: Препр. / АН СССР. Институт спектроскопии. М.: - 1974. - 116 с.
140. Schwinger J. Casimir Energy for Dielectrics // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. -1992. Vol. 89, № 11. - P. 4091-4093.
141. Fuchs K. The conductivity of thin metalic films according to the electron theory of metals // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1938. - Vol. 34, № 1. - P. 100-108.
142. Whittacker E.T., Watson G.N. Modern Analysis. Cambridge: Academic Press, 1958. - 400 p.
