Топологические дефекты в моделях Рэндалл-Сундрума тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Михайлов Алексей Сергеевич

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матсматичсских наук

Москва - 2009

003489482

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Ю.В. Грац

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор 10.II. Рыбаков

доктор физико-математических наук профессор М.В. Сажин

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 24 декабря 2009 г. в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. СФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан " 2 ¿> " ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук

профессор

Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время почти все многообразие наблюдаемых физических явлений может быть описано с помощью двух теорий - стандартной модели и общей теории относительности. Однако существует целый ряд фундаментальных вопросов, ответы на которые не получены до сих пор. Это привело к возрождению интереса к моделям с дополнительными измерениями пространства-времени. Но, если в первоначальных вариантах таких теорий предполагалось, что дополнительные измерения имеют планковскнй размер и потому ненаблюдаемы, то сейчас все большей популярностью пользуются теории, в которых дополнительное пространство предполагается достаточно большим и даже некомпактным. Возможность построения теорий с размером дополнительных измерений существенно превосходящим lpi = С1/2 опирается на гипотезу В.А. Рубакова и М.Е. Шапошникова о возможности локализации полей стандартной модели на бране. В рамках таких моделей становится актуальной проблема обнаружения дополнительных измерений, если они существуют, в планируемых экспериментах или астрономических наблюдениях.

В работе рассматриваются три иятимерные модели. Это модели Рэн-далл - Сундрума с одним дополнительным пространственноподобным измерением и одной (RS2) или двумя (R.S1) бранами, а также новый вариант стабилизированной модели типа RS1. Все перечисленные модели характеризуются тем, что в отсутствии материи решение для метрики на бра-нах пуанкаре-инвариантно. Поэтому нетривиальные гравитационные эффекты возможны, только если индуцированная на бранах метрика искривлена присутствием материи. В качестве локализованных на бране источников гравитационного поля в диссертации рассматривается относительно новый и мало изученный вид дефектов - так называемые безвакуумные (vacuuinless) струна и монополь, а также "обычные" калибровочная струна и глобальный монополь. Исследуется их гравитационное поле и индуцируемый этим полем эффект электростатического самодействия. Проводится сравнение полученных результатов с аналогичными результатами,

полученными в рамках четырехмерной теории. Выбор топологических дефектов в качестве, объектов исследования обусловлен тем, что они могли образоваться в ранней вселенной и дожить до настоящего времени, а также их возможной ролью в космологической эволюции.

Целью диссертационной работы является исследование гравитационного поля безвакуумных и "обычных" топологических дефектов в R.S1-и Г?,82-моделях, а также в новом варианте стабилизированной пятимерной модели.

Научная новизна работы

• Получен лагранжиан и решены уравнения движения для линеари-зоаванной гравитации при произвольном распределении материи на бране в стабилизированной модели типа Бранса-Дикке.

• В линейном приближении теории гравитации получено выражения для метрики помещенных на брану RS1-, R.S2-моделей и модели со стабилизацией безвакуумных и "обычных" топологических дефектов.

• Впервые исследован эффект электростатического самодействия в поле безвакуумных дефектов в RS1-, И,82-моделях и модели со стабилизацией. На рассмотренном примере продемонстрировано, что стабилизация позволяет избежать нефизических результатов, к которым приводит наличие в теории безмассового радиона.

Научная и практическая значимость работы

Проведенные в диссертации исследования расширяют круг решенных проблем, связанных с поиском возможных проявлений дополнительных измерений в явлениях с различными пространственно-временными масштабами, а также класс изученных на сегодняшний день топологических дефектов.

Исследованная в работе новая RSI-модель с пятимерным действием Бранса-Дпкке не имеет явных противоречий с накопленной до сегодняшнего момента экспериментальной базой и еще раз демонстрирует, что стабилизация позволяет избежать типичных для нестабилизированных моделей проблем.

Получинные результаты могут оказаться полезными при исследовании более сложных моделей, а также других, представляющих интерес, распределений материн па брапс.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006", Москва, 2006; Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященной 90-летию профессора К.П. Станюковича, Москва, 2006; Российском семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии "СНАС08-2007", Казань-Яльчик, 2007; научной конференции "Ломоносовские чтения 2009", Москва, 2009; XIV Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, Москва, 2009.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, включающего 119 наименований. Объем диссертации составляет 101 страницу.

Во введении содержится обоснование темы исследования, ее актуальности и формулируется цель работы. В нем дается обзор основных публикаций по теме диссертации и описана се структура.

В первой главе рассмотрены основные модели многомерной гравитации: теория Калуцы-Клейна, сценарий Аркани-Хамеда-Димопулоса-Двали, а так же модели Рэндалл-Сундрума с одной и двумя бранами. В конце главы обсуждается возможность устранения некоторых внутренних недостатков ИШ-модели путем введения дополнительного скалярного поля, стабилизирующего расстояние между бранами.

Вторая глава посвящена изучению свойств гравитационного поля топологических дефектов, помещенных на брану 1132- и 1181-моделей.

В первом параграфе приведена необходимая для дальнейшего информация о рассматриваемых в диссертации топологических дефектах.

В параграфе 2 дан краткий обзор проблемы самодействия в гравитационном иоле. Поскольку формальное выражение для собственной энер-

гии точечной частицы расходится, предлагается воспользоваться подходом, совмещающим методы теории возмущений и размерной регуляризации, который был предложен в работах Д.В. Гальцова, Ю.В. Граца и A.B. Лаврентьева.

В параграфе 3 находятся выражения для метрики и силы электростатического самодсйствия для всех рассматриваемых дефектов в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной.

В частности, в интересном для космологии случае больших расстояний (kr 1 , где к — параметр модели) метрика безвакуумного монополя (v.mon) имеет вид

41n(fo-)N

ds,

+

1 - 2VWttG4M2- 1 +

5 У ' 1Ък2г2 2 In2(kr)

dt2 + dr2jr

(1)

r2dtt2 ■

В случае же безвакуумной струны (v.str)

dчг =

v.str

1 - 4V67rG4M2^ [ 1 +

ln(fcr)\ 9/c 2r2 j

(-dt2 + dz2) + dr2+

+

21n2(fcr) I5kb2

(2)

r2d<p2 .

Здесь С<\ - четырехмерная гравитационная постоянная, связанная с пятимерной соотношением (?4 = С?5к, М - энергетический масштаб, входящий в потенциал мультиплета скалярных полей, формирующих безвакуумный дефект, и ¡5 ~ М-1 - размер ядра дефекта.

В приведенных выражениях зависящие от параметра к слагаемые представляют собой поправки к результату четырехмерной теории, связанные с наличием дополнительного измерения.

Сила электростатического самодействия, испытываемая пробной частицей, в случае больших расстояний имеет вид

,(*) =

VTÖtt e2GiM'2 fl 21n(kr) - 1

Sr

2 k2r2

(3)

с

ч/бтг2 с2С\М2

1 + —^ -

к2г2) г

12 8т где е - заряд частицы.

Исследование другого предельного случая (кг << 1) показывает, что индуцируемые пятым измерением поправки начинают доминировать при $ Однако, поскольку А:-1 ~ 1 мм, для явлений астрономических масштабов эти поправки несущественны.

Аналогичные выводы сделаны и в отношении "обычных" топологических дефектов.

В четвертом параграфе рассматривается нестабилизированная НЯ1-модель.

В этом случае при кг 1 на второй бране (бране с отрицательным натяжением), на которой предположительно находится наш мир

<182„

+

1 +

38ч/Т0тг С2М"е

2 „2 кЬ

15

кб

-кг

7г С2М2е2кь

1 4----—-кг

15

кб

(И2 + ¿г2+

гЧй2

(5)

=

, А4у/бпв-,М2е2кь, 1 Н--;--^-тт-кг

+ с1г2 +

9 кб

22уДтгв2М2е2кь

(-<И2 + ¿г2) +

1 +

кб

кг

(С)

т (кр

Здесь Ь - размер дополнительного измерения, а ~ гравитационная постоянная на второй бране, связанная с пятимерной гравитационной постоянной соотношением С?2 = Сзк/(е2к1 — 1).

Здесь, как и других рассмотренных в литературе примерах, равенство нулю массы радиона и его слишком сильная связь с материей проявляется в появлении большого экспоненциального фактора е2кь (кЬ х 35). В результате полученные результаты в значительной степени отличаются от тех, которые дает четырехмерная теория.

Показано, что сила самодействия на больших расстояниях мало отличается от результата четырехмерной теории

Более того, для безвакуумной струны вклад от дополнительного измерения с принятой точностью оказывается нулевым. Такой же результат имеет место и для "обычного" монополя. Для "обычной" струны поправки оказываются существенными лишь при г ~ /к. Характерные значения параметра к ~ 1Тэв. Поэтому, как и в случае КЭ2-модели, на астрономических масштабах вклад от дополнительного измерения в исследуемый эффект для любого из рассматриваемых дефектов ничтожно мал.

В третьей главе рассмотрена 1131-модель с дополнительным скалярным полем, входящим в действие по аналогии со скалярно-тензорной теорией Бранса-Дикке.

В первом параграфе приведены основные используемые в последующих разделах главы положения данной модели.

Во втором и третьем параграфах построен лагранжиан для линеаризованных над фоновым решением возмущений метрики и скалярного поля, получены и решены уравнения движения для произвольного тензора энергии-импульса локализованной на бране материи.

Полученное решение использовано в параграфе 4 для исследования гравитационного поля рассматриваемых в работе топологических дефектов.

В наиболее интересном с физической точки зрения приближении кг 1 и и/к 1 (и- параметр модели, связанный с пятимерной космологической постоянной и параметром Бранса-Дикке) метрика пространства-времени вложенных в брану калибровочной струны и глобального монополя имеет вид

Рь.з1.г(Х) ~•

у^бтг2 еЮгМ2 г 12 5г г

(8)

топ

_ " 2тгС?2>?У"

3 Сгг2

8лв2у2 2ТГ(?277 С\ + 3 с\

+

'Кг =

8ч/2тгС2/^е:

.2 кЬ-

+

1

3 С\фпг Ю2 /х 16%/2 С2^/Зе2^

(-Л2 + г/г2) + Лг2+

•

С1 3 С\^жтг

а для их безвакуумных аналогов

С2Л/2г 2\Л0тгС2Л/2е2^/1 76/3"

1-2ч/Т0т1

С! 6

15

■ т-г-

С^г Vе2 т2

7у/Г0тг С2М2г уД07ГС2М2€Ш (?Л 152/? 15 СГй 15 С^-^ + ^

" (?2М2г х/бтг С^МУ^А 88/3'

С! Ь 9 С^г т2

, 10х/б7гС2М2г 2\/б 7гС2М2е21£/1 44/3 1--3--СГ?~9--

л2+сгг2+

г2(/2П ,

(п)

г2 V .

(12)

В приведенных выражениях Т] - энергетический масштаб фазового перехода, при котором образовался дефект (т] ~ 1015 ГэВ). /л ~ ц2- масса на единицу длины струны, /3 - величина порядка единицы, выражающаяся через параметры модели, т - масса радиона (т ~ 100 ГэВ). В данной модели предполагается, что параметр к порядка 1ТэВ. Произвольная постоянная С\, которая содержится в фоновом решении для скалярного поля, для согласования с результатами четырехмерной теории, должна быть положена равной единице.

В параграфе 4 исследуется эффект электростатического самодействия. Получены следующие результаты

7г3(а — 1) е2С2772г

4 С\Г2 г

рет лит

грет топ

(х) = (*) =

кг » 1 ,

тг2е2С2у2 2 Сх/сг3 '

кг < 1 ,

1 1 4 С:г2 V 4а(а - 1)£2г2^ г ' (14)

=0 кг<& 1 ,

и

л/ТОтгГ а — 1)е2С2М2 / е{2к+и)ь \ -

=-^ + )г » 1

20 аы/ г ^ '

КмЛх) 12 С1(5г г *х»1,

(15)

М - У"7' С кг <<с 1

г\Х) - ПА П. ихл е

(16)

у/бтг2е2С2М2 24 Схк5г2

Здесь а = 2 + и/2/г.

Показано, что характерные расстояния, на которых начинают проявляться эффекты дополнительного измерения как для метрики так и для эффекта самодействия малы по сравнению с характерными астрономическими масштабами. Высказывается предположение, что подтверждение факта существования дополнительных измерений следует искать в явлениях микроскопического масштаба. Обращается внимание на то, что ожидаемое подавление в метрике экспоненциального фактора е2к1' "режущей экспонентой" е~шг имеет место только в случае космической струны. Для всех остальных рассматриваемых дефектов согласование с четырехмерной теорией на больших расстояниях происходит за счет степенной зависимости индуцированных дополнительным измерением поправок от г.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Для КЭЬмодели со стабилизирующим полем Бранса-Дикке построен лагранжиан для линеаризованной над фоновым решением гравитации. Получены и решены уравнения движения при произвольном распределении материи на бране.

• Получены выражения для метрики помещенных на брану RS1- и RS2-моделей безвакуумных и "обычных" топологических дефектов. Показано, что наличие в RSl-модели сильно взаимодействующего с материей безмассового радиона приводит к существенному отличию полученных результатов от результатов стандартной четырехмерной теории.

• Впервые получены выражения для метрики, локализованных на брапе стабилизированной RSl-модслн, безвакуумных и "обычных" топологических дефектов. Проведено сравнение с результатами для неста-бплизированной модели. Показано, что вклад от дополнительного измерения становится заметным на расстояниях, которые существенно меньше характерных астрономических.

• Впервые рассмотрен эффект электростатического самодействия в RS1-, RS2- и стабилизированной модели с топологическим дефектом на бране. Дана оценка расстояния от ядра дефекта, на котором начинают проявляться эффекты дополнительного измерения. Делается вывод, что более перспективным является поиск дополнительных измерений в явлениях микроскопических масштабов.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Ю.В. Грац, В.В. Дмитриев, A.C. Михайлов. Гравитационное линзиро-вание в модели Рендалл-Сундрума с двумя бранами. — Электронный журнал "Исследовано в России", 229/061011, с.2189-2198; препринт физического ф-та МГУ № 9/200G, 12с.

2. Yu.V. Grats, V.V. Dmitriev, A.S. Mikhaylov. Self-interaction in RSl-model. - Grav. and. Cosmol., 2006, v.12 No. 2-3 (46-47), p. 155-158.

3. A.S. Mikhaylov, Yu.S. Mikhaylov, M.N. Smoiyakov, I.P. Volobuev. Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory. Class. Quantum Grav., 2007, v. 24 p. 231 242.

4. Yu.V. Grats, A.S.Mikhaylov. Gravitational properties of vacuumlcss defects in the Randall-Sundrum universe. — Grav. and Cosmol., 2008, v. 14, No. 1, p. 95-99.

5. И.П. Волобуев, А.С. Михайлов, Ю.С. Михайлов, М.Н. Смоляков. Гравитация в стабилизированной модели мира на бранс в пятимерной теории Бранса-Дикке - ТМФ, 2009, т.161, с.120-135; №1 A.S.

Mikhaylov, Yu.S. Mikhaylov, M.N. Smolyakov, I.P. Volobucv. Gravity in a stabilized brane world model in five-dimensional Brans-Dicke theory. -arXiv: hep-th/0812.2699vl

6. A.C. Михайлов, Ю.С. Михайлов - Линеаризованная гравитация в мире на браке в пятимерной теории Бранса-Дикке. Труды российской школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS - 2007, Казань: Фолиантъ, 2007, с. 124-127.

7. Ю.В. Грац, А.С. Михайлов - Электростатическое самодсйствие вблизи безвакуумных дефектов в модели Рэндалл-Сундрума. Ломоносовские чтения-2009. Сборник тезисов докладов. М., Физический факультет МГУ, 2009, с. 153-155.

8. Ю.В. Грац, А.С. Михайлов - Безвакуумные дефекты в моделях Рэндалл-Сундрума. — Препринт физического ф-та МГУ, №3/2009, 23с.

Введение.

1 Модели с дополнительными измерениями в теории гравитации

1.1 Теория Калуцы-Клейна.

1.2 ADD-сценарий.

1.3 Модель Рэндалл-Сундрума с одной браной.

1.4 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами.

1.5 Механизм стабилизации в RSI-модели.

2 Топологические дефекты в моделях Рэндалл-Сундрума

2.1 Топологические дефекты в стандартной космологии.

2.1.1 "Обычные" струна и монополь.

2.1.2 Безвакуумные дефекты.

2.2 Электростатическое самодействие в гравитационном поле

2.3 Конические дефекты в модели с одной браной.

2.3.1 Гравитационное поле конических дефектов в RS2-модели.

2.3.2 Эффект самодействия в поле тополологических дефектов на бране К82-модели.

2.4 Конические дефекты в нестабилизированной RSI-модели

2.4.1 Гравитационное поле конических дефектов на бране RSI-модели.

2.4.2 Самодействие в поле топологических дефектов в RSI-модели

2.5 Выводы по главе 2.

3 RS-1 модель со стабилизирующим полем Бранса-Дикке

3.1 Формулировка и исследование модели.

3.2 Линеаризованная гравитация в RSI-модели со стабилизацией

3.3 Взаимодействие с материей на бранах.

3.4 Топологические дефекты в RSl-модели со стабилизацией Бранса-Дикке

3.5 Эффект самодействия в поле топологических дефектов

3.6 Выводы по главе 3.

В настоящее время почти все многообразие физических явлений может быть описано в рамках двух теорий. Явления космологического масштаба рассматриваются Общей Теорией Относичельности (ОТО) Эйнштейна, в которой гравитация характеризуется геометрическими свойствами искривленного пространства-времени. Явления микромира описываются Стандартной Моделью (СМ), которая будучи построенной на квантово-механических принципах, объединила в себе оставшиеся три известных взаимодействия - электромагнитное, слабое и сильное. В промежуточных масштабах используются различные приближения этих теорий, в зависимости от поставленных задач. Несмотря на то, что ОТО и СМ согласуются с экспериментальными данными с поразительной точностью, существует ряд вопросов, которые в данной картине мира остаются без ответа. Например, почему имеется именно три поколения частиц? Почему частицы различных поколений имеют именно такой, на первый взгляд совершенно случайный, разброс значений масс (масса тау-частицы больше массы электрона в 3.5 тыс. раз, а масса t-кварка превосходит массу u-кварка в 40 тыс. раз)? Наряду с этими и другими, внутренними вопросами Стандартной Модели, выступает основной вопрос современной космологии - что из себя представляют "темная материя" и "темная энергия"? И наконец, почему взаимодействия Стандартной Модели так значительно отличаются по силе от гавитационного? К тому же еще с начала прошлого века физики надеются построить единую теорию, которая описывала бы все известные взаимодействия, исходя из общих принципов. По этим причинам постоянно ведется поиск непротиворечивой модели, в которую ОТО и СМ будут входить в качестве приближений и которую не нужно будет подгонять под эксперимент подбором значений параметров, входящих в нее произвольным образом.

Наиболее эффективным направлением для разрешения проблем современной физики представляется использование идеи дополнительных измерений. Предположение о том, что наша Вселенная может иметь более трех пространственных измерений, было выдвинуто польским математиком Теодором Калуцей в 1921 году [1, 2]. Цель Калуцы заключалась в совместном описании известных тогда взаимодействий, гравитационного и электромагнитного, исходя из тех же принципов, на которых строится Общая Теория Относительности. Он предположил, что вектор-потенциал электромагнитного поля будет содержаться в дополнительных компонентах метрического тензора, если пространство-время дополнить пятым, про-странственноподобным измерением. Оказалось, что уравнение Эйнштейна, записанное в пятимерном пространстве-времени, естественным образом воспроизводит уравнения Максвела и уравнения четырехмерной гравитации. Причем в четырехмерном уравнении Эйнштейна, автоматически возникает тензор энергии-импульса электромагнитного поля, который в ОТО приходилось вводить в правую часть волевым образом. Основной проблемой теории Калуцы являлось ненаблюдаемость пятого измерения. Эту проблему в 1926 году решил шведский физик Оскар Клейн, предложив считать дополнительное измерение компактным с очень малым размером [3, 4]. Установив, каким образом волновая функция частиц зависит от пятой координаты, Клейн вычислил характерный размер дополнительного измерения. Он оказался порядка планковской длины. На таких масштабах практическое обнаружение скрытых размерностей выходит за рамки современных экспериментальных возможностей.

Несмотря на свою математическую красоту, теория Калуцы-Клейна общего признания не получила, поскольку предсказывала отношение заряда электрона к его массе, которое существенно отличалось от экспериментальных данных. Эйнштейн, Бергман и ряд других физиков продолжали исследовать возможность использования дополнительного измерения для построения единой теории [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], но тем не менее это направление вскоре оказалось на периферии теоретической физики. К тому же с открытием сильных и слабых взаимодействий, стало попятно, что идей Калуцы и Клейна не достаточно для построения единой теории поля. Тем не менее исследования, направленные на разработку многомерных теорий не были напрасными. В частности они привели к созданию скалярно-тензорной гравитации Бранса-Дикке [12, 13, 14, 15]. При определенных значениях параметров теория Бранса-Дикке (БД) и ее современные модификации [16, 17] вполне согласуются с экспериментальными данными и широко используются в различных космологических моделях.

В середине 70-х годов прошлого века вновь возродился интерес к идеям Калуцы и Клейна. Определенные успехи на пути объединения гравитации с полями стандартной модели были достигнуты в рамках многомерной супергравитации [18]. Однако в настоящее время больший оптимизм вызывают исследования базирующиеся на различных модификациях теории суперструн [19, 20], использующих одно времениподобное и девять, либо десять пространственноподобных измерений. В этих теориях дополнительные измерения полагаются ненаблюдаемыми благодаря своим ничтожно малым размерам.

В последнее время в теоретической физике также широко обсуждаются модели, использующие дополнительные измерения достаточно больших (по сравнению с планковской длиной), или даже бесконечных, размеров. Основы данного подхода были заложены в 1983 году в работах В.А. Рубакова и М.Е. Шапошникова [21, 22]. Они высказали гипотезу, что поля Стандартной Модели локализованы на доменной стенке, помещенной в некоторое фундаментальное пространство-время с дополнительными измерениями.

При этом, оставаясь ненаблюдаемыми при достаточно низких энергиях, дополнительные измерения могут приводить к экспериментально наблюдаемым эффектам в области высоких энергий. В последние годы появились указания на то, что объекты типа бесконечно тонких доменных стенок, так называемых "бран", могут возникать в теориях струн [23, 24, 25, 26, 27].

Дальнейшее развитие данного сценария связано с работами 1998 года группы ученых Н. Аркани-Хамеда, С. Димопоулоса и Дж. Двали [28, 29]. В этих работах предлагается сценарий решения проблемы иерархии взаимодействий в рамках многомерных моделей с бранами. Идея заключается в том, что многомерная константа гравитационного взаимодействия связана с четырехмерной через размер дополнительных измерений. Таким образом, предполагая фундаментальный масштаб гравитационного взаимодействия в многомерной теории сравнимым с масштабом электрослабых взаимодействий (порядка 1 ТэВ), можно подбором размера дополнительных измерений обеспечить эффективную четырехмерную константу гравитационного взаимодействия на бране нужного порядка, т.е. порядка планковской массы. Данная модель, называемая так же ADD-сценарием, имеет важные следствия, которые могут проявиться в экспериментах на ускорителях уже в ближайшем будущем. В частности, если фундаментальный масштаб гравитационного взаимодействия порядка нескольких ТэВ, то при столкновениях частиц соответствующих энергий могут рождаться гравитоны, распространяющиеся в пространстве за пределами браны. С точки зрения четырехмерного наблюдателя, данные процессы будут сопровождаться видимой потерей энергии. Процессы такого рода детально изучались в работах [30, 31]. Было показано, что ускоритель LHC в CERN будет способен обнаружить проявления дополнительных измерений уже в предстоящих экспериментах.

Помимо своих достоинств ADD-сценарий обладает и существенными недостатками. При исследовании проявлений данной модели в космологии оказывается, что она накладывает такие ограничения на максимальную температуру Вселенной, которые не согласуются с имеющимися данными [29]. К тому же ADD-сценарий предполагает отсутствие натяжения (или плотности энергии) у браны. Это приводит к тому, что она должна двигаться со световой скоростью, и, соответственно, с ней не может быть связана физическая система отсчета.

В 1999 году JI. Рэндалл и Р. Сундрум предложили модель (RS1), в которой рассматриваются две браны с ненулевой плотностью энергии [32]. Модель предполагает одно дополнительное измерение, представляющее собой орбифолд, в неподвижных точках которого расположены браны. Авторы нашли точное решение для такой системы и показали, что проблема иерархии может быть решена благодаря экспоненциальному фактору в выражении для метрики.

Как отмечалось ранее, дополнительные измерения в обсуждаемых моделях большие по сравнению с планковским масштабом, на самом деле они могут быть и бесконечными. В работе [33] описана модель (RS2), в которой одна брана помещена в пространство с одним бесконечным дополнительным измерением. Очевидно, что в этой модели иерархия между четырехмерным гравитационным и электрослабым масштабами уже не может быть объяснена геометрией пятимерного пространства. Тем не менее, сценарий мира на бране RS2 в силу своей простоты и привлекательной геометрии относительно других бранных моделей пользуется большой популярностью.

Помимо описанных моделей, рассматриваются достаточно экзотические сценарии бранного мира с временноподобными [34, 35, 36] или, так называемыми "универсальными" дополнительными измерениями [37, 38, 39], но мы на них подробно останавливаться не будем.

Пожалуй наиболее перспективными для построения реалистической теории являются различные модификации модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами. Помимо разрешения проблемы иерархии взаимодействий, в рамках RSI-модели может быть предложен новый путь решения проблемы темной материи. Поскольку поля Стандартной Модели удерживаются на бранах, а в дополнительном измерении может распространяться только гравитация, то с точки зрения наблюдателя, находящегося на одной из бран, окружающая его материя будет испытывать гравитационное взаимодействие с некой, невидимой для пего, субстанцией, которой, на самом деле, является материя второй браны.

В том виде, в котором она была опубликована в 1999 году, RSI-модель имеет существенный недостаток. Поскольку расстояние между бранами никак не фиксируется условиями модели, должна появляться скалярная и безмассовая с четырехмерной точки зрения мода, называемая радионом, которая соответствует флуктуациям бран по отношению друг к другу. Ра-дион очень сильно взаимодействует с материей на бране, на которой предположительно находится наш мир, и следовательно должен проявляться в экспериментах, что противоречит имеющимся данным.

Эта проблема может быть решена путем введения в модель пятимерного скалярного поля с некоторым потенциалом во всем пространстве и дополнительными потенциалами на бранах [40]. Вакуумная конфигурация скалярного поля имеет ненулевую плотность энергии, которая достигает минимума при определенном размере дополнительного измерения. Таким образом расстояние между бранами уже не может быть произвольным, что приводит к появлению массы у радиона. Подбором параметров модели можно обеспечить такую массу радиона, чтобы он оказался ненаблюдаемым во всех проведенных до сегодняшнего дня экспериментах.

С другой стороны, стоит вопрос проверки предсказаний многомерных моделей в предстоящих экспериментах и астрономических наблюдениях.

В рамках данной работы мы не будем рассматривать влияние дополнительного измерения на квантовые процессы микромира. Ограничимся рассмотрением поправок, которые дают бранные модели на космологических масштабах.

Исследования в данном направлении начались несколько лет назад, когда астрономы обнаружили ряд объектов, расположение которых можно было интерпретировать как результат гравитационного линзирования в поле космической струны [41]. Однако теоретические расчеты в рамках ОТО давали результат, входящий в противоречие с наблюдательными данными. В это время теоретиками активно обсуждались модели Рэндалл-Сундрума, и появилось предположение, что противоречие удастся устранить в рамках пятимерной теории. Впоследствии оказалось, что наблюдаемый эффект с космической струной никак не связан [42, 43], но исследования возможных проявлений пятого измерения в астрономических наблюдениях продолжаются [44, 45].

Помимо струны рассматривался так же глобальный монополь помещенный на брану моделей Рэндалл-Сундрума [46, 47, 48]. Исследования топологических дефектов такого рода привлекательны для теоретиков, поскольку совмещают в себе нетривиальную структуру гравитационного поля и относительную простоту аналитических расчетов.

В данной работе продолжаются исследования гравитационного поля различных конических дефектов в моделях Рэндалл-Сундрума. Кроме космической струны и глобального монополя рассматриваются, так называемые "безвакуумные" дефекты [49, 50]. Так же в работе исследуется RSI-модель с механизмом стабилизации расстояния между бранами, отличным от рассматриваемых ранее.

Результаты работы были получены либо самим автором, либо при непосредственном его участии. Рассмотренные в работе гравитационные эффекты могут быть использованы для изучения других моделей с дополнительными измерениями пространства-времени, например, моделей с большим числом дополнительных измерений.

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.

Общее число публикаций в реферируемых журналах по теме диссертации — 5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51, 52, 53, 54, 55, 56] и докладывались на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006", Москва, 2006; Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвящ. 90 - летию К.П. Станюковича., Москва, РУДН, 2006; Российском семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии"GRACOS-2007, Казань-Яльчик, 2007; научной конференции "Ломоносовские чтения-2009", Москва, 2009; XIV Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, Москва, 2009; (часть результатов опубликована также в виде трудов конференций [57, 58, 59, 60]).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 101 страницу. Список Литературы содержит 119 ссылок.

3.6 Выводы по главе 3

Нами была исследована модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами, в которой стабилизация достигается посредством скалярного поля, входящего в модель по аналогии со скалярно-тензорной теорией Бранеа-Дикке.

Для произвольного источника, помещенного на брану с отрицательным натяжением, было найдено решение уравнений движения.

По аналогии с предыдущей главой были исследованы гравитационное поле и эффект электростатического самодействия для четырех видов топологических дефектов. Оказалось, что наличие стабилизирующего поля исправляет ситуацию возникшую в нестабилизированной модели: при достаточно больших значений радиальной координаты воспроизводятся результаты четырехмерия, что позволяет нам рассматривать данную модель, в качестве кандидата на на роль теории, описывающей наш мир.

Проанализировав характерные расстояния на которых начинают проявляться эффекты дополнительного измерения в выражениях для метрики (3.85, 3.86, 3.87, 3.88), мы пришли к выводу, что для большинства дефектов соответствующие поправки становятся существенными на расстояниях порядка 10см. Исключением является космическая струна, для которой данный масштаб составляет 10~12см.

В выражениях для силы электростатического самодействия эффекты пятимерия проявляются на других масштабах. Так, для глобального монополя и безвакуумной струны поправки от дополнительного измерения начинают проявляться лишь на расстояниях порядка 10~16см, в то время, как для космической струны и безвакуумного монополя это происходит на расстояниях порядка миллиметра.

Заключение

В диссертации было исследовано гравитационное поле космической струны и глобального монополя, а так же, так называемых, "безвакумных" дефектов, вложенных в брану моделей Рэндалл-Сундрума.

• Для RSI-модели со стабилизирующим полем Бранса-Дикке построен лагранжиан для линеаризованной над фоновым решением гравитации. Получены и решены уравнения движения при произвольном распределении материи на бране.

• Получены выражения для метрики помещенных на брану RS1- и RS2-моделей безвакуумных и "обычных" топологических дефектов. Показано, что наличие в RSI-модели сильно взаимодействующего с материей безмассового радиона приводит к существенному отличию полученных результатов от результатов стандартной четырехмерной теории.

• Впервые получены выражения для метрики, локализованных на бране стабилизированной RSI-модели, безвакуумных и "обычных" топологических дефектов. Проведено сравнение с результатами для неста-билизированной модели. Показано, что вклад от дополнительного измерения становится заметным на расстояниях, которые существенно меньше характерных астрономических.

• Впервые рассмотрен эффект электростатического самодействия в RS1-, RS2- и стабилизированной модели с топологическим дефектом на бране. Дана оценка расстояния от ядра дефекта, на котором начинают проявляться эффекты дополнительного измерения. Делается вывод, что более перспективным является поиск дополнительных измерений в явлениях микроскопических масштабов.

Благодарности

Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю работы доктору физико-математических наук Юрию Владимировичу Грацу за постановку задачи, плодотворные обсуждения и поддержку. Так же хотелось бы выразить благодарность И.П. Волобуеву, М.Н. Смолякову и Ю.С. Михайлову за полезные обсуждения и помощь.

1. Т. Kaluza. Zum unitatsproblem in der physik — Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Math. Phys., 1921, bd. Kl, s. 966.

2. Т. Калуца. К проблеме единства физики. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — Пер. с англ., М: Мир, 1979, с. 529.

3. О. Klein. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie. — Zeits. Phys., 1926, v. 37, p. 895.

4. O. Klein. The atomicity of electricity as a quantum theory law. — Nature, 1926, v. 118, p. 516.

5. A. Einstein, P. Bergmann. On a generalization of Kaluza's theory of electricity. Ann. Math., 1938, v. 39, p. 683.

6. A. Einstein, W. Pauli. On the non-existence of regular stationary solutions of relativistic field equations. — Ann. Math., 1943, v. 44, p. 131.

7. P. Jordan. Erweiterung der projektiven RelativitEatstheorie. — Ann. Phys. (Leipzig), 1947, v. 1, p, 219.

8. P. Bergmann. Unified field theory with fifteen field variables. — Ann. Math, 1948, v. 49, p. 255.

9. Y. Thiry. Les equations de la theorie unitaire de Kaluza. — Comptes Rendus Acad. Sci. (Paris), 1948, v. 226, p. 216.

10. C. Brans, R.H. Dicke. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev., 1961, v. 124, p. 925.

11. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, том 3. — Бишкек: Айн-штайн, 1997.

12. С. Вейнберг. Гравитация и космология. — Волгоград: Платон, 2000.

13. P.D. Scharre, С.М. Will. Testing scalar-tensor gravity using space gravitational-wave interferometers — Phys. Rev. D., 2002, v. 65, 042002.

14. C.M. Will, N. Yunes. Testing alternative theories of gravity using LISA. Class. Quant. Grav., 2004, v. 21. p. 4367.

15. Ю. Весс, Дж. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация. — Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

16. J. Schwarz. Superstring theory.- Phys. Rep. 1982, v. C89, № 3, p. 223.

17. P. Horava, E. Witten. Heterotic and Type I String Dynamics from Eleven Dimensions.- Nucl. Phys., 1996, В 460 506 ; hep-th/9510209.

18. V.A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov. Do we live inside a domain wall? — Phys. Lett. B, 1983, v. 125, p. 136.

19. V.A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov. Extra space-time dimensions: Towards a solution to the cosmological constant problem. — Phys. Lett. B, 1983, v. 125, p. 139.

20. J. Polchinski. TASI lectures on D-branes. — arXiv:hep-th/9611050, 1996.

21. E. Witten. Strong coupling expansion of Calabi-Yau compactification. — Nucl. Phys. B, 1996, v. 471, p. 135.

22. J. Lykken. Weak scale superstrings. — Phys. Rev. D, 1996, v. 54, p. 3693.

23. C.P. Bachas. Lectures on D-branes. — arXiv:hep-th/9806199, 1998.

24. I. Antoniadis. String and D-brane physics at low energy. — arXiv.hep-th/0102202, 2001.

25. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter. — Phys. Lett. В., 1998, v. 429, p. 263.

26. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G.R. Dvali. Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity. Phys. Rev. D., 1999, v. 59, 086004.

27. G.F. Giudice, R. Rattazzi, J.D. Wells. Quantum gravity end extra dimensions at high-energy colliders. — Nucl. Phys. В.,1999, v. 544, p. 3.

28. G.F. Giudice, R. Rattazzi, J.D. Wells. Graviscalars from higher-dimensional metrics and curvature-Higgs mixing. — Nucl. Phys. B.,2001, v. 595, p. 250.

29. L. Randall, R. Sundrum. Large mass hierarchy from a small extra dimension. — Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 3370.

30. L. Randall, R. Sundrum. An alternative to compactification. — Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 4690.

31. G.R. Dvali, G. Gabadadze, G. Senjanovic. Constraints on extra time dimensions. — arXiv:hep-ph/9910207, 1999.

32. M. Chaichian, A.B. Kobakhidze. Mass hierarchy and localization of gravity in extra time. — Phys. Lett. B, 2000, v. 488, p. 117.

33. T.j. Li. Time-like extra dimension and cosmological constant in brane models. Phys. Lett. B, 2001, v. 503, p. 163.

34. T. Appelquist, H.C. Cheng, B.A. Dobrescu. Bounds on universal extra dimensions. Phys. Rev. D, 2001, v. 64, 035002.

35. T.G. Rizzo. Probes of universal extra dimensions at colliders. — Phys. Rev. D, 2001, v. 64, 095010.

36. C. Macesanu, C.D. McMullen, S. Nandi. New signal for universal extra dimensions. Phys. Lett. B, 2002, v. 546, p. 253.

37. W.D. Goldberger, M.B. Wise. Modulus stabilization with bulk fields. — Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 4922.

38. M.V. Sazhin, O.S. Khovanskaya, M. Capaccioli, G. Longo, J.M. Alcala, R. Silvotti, M.V.Pavlov. Lens candidates in the Capodimonte Deep Field in vicinity of the CSL1 object. — arXiv:astro-ph/0406516.

39. M.V. Sazhin, M. Capaccioli, G. Longo, M. Paolillo, O.S. Khovanskaya, N.A. Grogin, E.J. Schreier, G. Covone The true nature of CSL-1. — arXiv:astro-ph/0601494.

40. M.V. Sazhin, O.S. Khovanskaya, M. Capaccioli, G. Longo, M. Paolillo, G. Cavone, N.A. Grogin, E.J. Schreier. Gravitational lensing by cosmicstrings: what we lean from the CSL-1 case. — Mori. Not. Roy. Astron. Soc., 2007, v. 367, p. 1731.

41. S.C. Davis. Brane world linearized cosmic string gravity. — Phys. Lett. В., 2001, v. 499, p. 179.

42. Y. Grats, A. Rossikhin. Vacuum polarization near cosmic string in RS2 brane world. Mod. Phys. Lett. A., 2002, v. 17, p. 1207.

43. Ю.В. Грац, В.В. Дмитриев, А.А. Россихин. Глобальный монополь в мире с одним дополнительным измерением. — Нелинейный мир., 2005, № 1-2, с. 48.

44. Ю.В. Грац, В.В. Дмитриев. Гравитационное линзирование на бране. Вестн. Моск. Ун-та. Физ. Астрон., 2005, № 6, с. 7.

45. Yu. V. Grats, V. V. Dmitriev. Gravitational field of topological defects in the Renddall-Sundrum model. — Grav. and Cosmol., 2006, v. 12, p. 21.

46. I. Cho, A. Vilenkin. Vacuum defects without a vacuum. — Phys. Rev. D., 1998, v. 59, 021701.

47. I. Cho, A. Vilenkin. Gravitational field of vacuumless defects. — Phys. Rev. D., 1999, v. 59, 063510.

48. Ю.В. Грац, В.В. Дмитриев, А.С. Михайлов. Гравитационное линзирование в модели Рендалл-Сундрума с двумя бранами. — Электронный журнал "Исследовано в России", 2006, 229/061011, с. 2189.

49. Yu.V. Grats, V.V. Dmitriev, A.S. Mikhaylov. Self-interaction in RSI-model. Grav. and. Cosmol., 2006, v.12 № 2-3(46-47), p. 155.

50. A.S. Mikhaylov, Yu.S. Mikhaylov, M.N. Smolyakov, I.P. Volobuev. Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory. — Class. Quantum Grav., 2007, v. 24 p. 231.

51. Yu.V. Grats, A.S.Mikhaylov. Gravitational properties of vacuumless defects in the Randall-Sundrum universe. — Grav. and Cosmol., 2008, v. 14, № 1, p. 95.

52. И.П. Волобуев, А.С. Михайлов, Ю.С. Михайлов. Гравитация в стабилизированной модели мира на бране в пятимерной теории Бранса-Дикке. ТМФ, 2009, т. 161, № 1, с. 120.

53. A.S. Mikhaylov, Yu.S. Mikhaylov, M.N. Smolyakov, I.P. Volobuev. Gravity in a stabilized brane world model in five-dimensional Brans-Dicke theory. arXiv: hep-th/0812.2699vl.)

54. Ю.В. Грац, А.С. Михайлов. Безвакуумные дефекты в моделях Рэндалл-Сундрума. — Препринт Физ. Ф-та МГУ., 2009, № 3.

55. Ю.В. Грац, В.В. Дмитриев, А.С. Михайлов. Самодействие в модели RS1 — Сб. тезисов международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвящ. 90 -летию К.П. Станюковича., 2006, Москва, Изд-во РУДН, с. 14.

56. А.С. Михайлов, Ю.С. Михайлов. Линеаризованная гравитация в мире на бране в пятимерной теории Бранса-Дикке. — Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS2007, Казань-Ял ьчик, с. 124.

57. Ю.В. Грац, А.С. Михайлов. Электростатическое самодействие вблизи безвакуумных дефектов в модели Рэндалл-Сундрума. — Ломоносовские чтения-2009, Сборник тезисов докладов, М., Физический факультет МГУ, 2009, с. 153.

58. I.Ya. Aref'eva, M.G. Ivanov, W. Muck, K.S. Viswanathan, I.V. Volovich. Consistent linearized gravity in brane backgrounds. — Nucl. Phys. B, 2000, v. 590, p. 273.

59. Ch. Charmousis, R. Gregory, V. Rubakov. Wave function of the radion in the brane world. Phys. Rev. D, 2000, v. 62, 067505.

60. M.N. Smolyakov, I.P. Volobuev. Is there the radion in the RS2 model? — Central Eur. J. Phys., 2004, v. 2, № 1, p. 25.

61. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. — М.: Наука, 1979.

62. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1962.

63. И.П. Волобуев, М.Н. Смоляков. Гравитация в модели Рендалл-Сундрума. — Теоретическая физика, 2003, т. 4, с.29.

64. И.П. Волобуев И.П., М.Н. Смоляков. Точные решения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума — ТМФ, 2004, т. 139. Ж 1, с. 12.

65. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. — М.: Наука, 1973.

66. J. Garriga, Т. Tanaka, Gravity in the Randall-Sundrum brane world — Phys. rev. Lett., 2000, v. 84, p. 2778.

67. О. DeWolfe, D.Z. Freedman, S.S. Gubser, A. Karch. Modeling the fifth dimension with scalars and gravity. — Phys. Rev. D, 2000, v. 62, 046008.

68. E. E. Boos, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov, I. P. Volobuev. Energy scales in stabilized brane world models. — Nucl. Phys. B. 2005, v. 717, p. 19.

69. E. E. Boos, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov, I. P. Volobuev. Physical-degrees of freedom in stabilized brane world models.— Mod. Phys. Lett. A, 2006, v. 21, p. 1431.

70. Э.Э. Боос, И.П. Волобуев, Ю.С. Михайлов, М.Н. Смоляков. Линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума со стабилизированным расстоянием между бранами. — ТМФ, 2006, т. 149, № 3, с. 339.

71. И.П. Волобуев, Ю.С. Михайлов, М.Н. Смоляков. Ньютоновский предел в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума. — ТМФ, 2008, т. 156, № 2, с. 226.

72. A. Vilenkin and E.P.S. Shellard. Cosmic Strings and Other Topological Defects. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994.

73. The formation and evolution of cosmic strings, eds. G.W. Gibbons, S.W. Hawking and T. Vachaspati. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

74. Б.Э. Мейерович. Гравитационные свойства космических струн. — УФН, окт. 2001, v. 171, то.

75. М. Sakellariadou. Cosmic Strings arXiv: hep-th/0602276v2, 2007.

76. A.-C. Davis, T.W.B. Kibble. Fundamental Cosmic Strings. — arXiv: hep-th/0505050vl, 2005.

77. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Релятивистская астрофизика. — М.: Наука, 1976.

78. Kibble T.W.B. Topology of cosmic domains and strings. — J.Phts. A., 1976, v. 9, p. 1387.

79. T.W.B. Kibble. Evolution of a system of cosmic strings. — Nucl. Phys. В., 1985, v. 252, p. 227.

80. M. Bariola, A. Vilenkin. Gravitational field of a global monopole. — Phys. Rev. Lett., 1989, v. 63, p. 341.

81. D. Harari, C. Lousto. Repulsive gravitational effects on global monopoles.- Phys. Rev. D., 1990, v. 42, p. 2626.

82. Я.Б. Зельдович, И.Ю. Кобзарев, Jl.Б. Окунь. Космологические следствия спонтанного нарушения дискретной симметрии. — ЖЕТФ, 1974, т. 67, с. 3.

83. Ya.B. Zel'dovich. Cosmolodgical fluctuation prodused near singularity. — Month. Not. R. Astron. Soc., 1980, v. 192, p. 663.

84. A. Vilenkin. Cosmological density fluctuations prodused by vacuumstrings. — Phys. Rev. Lett., 1981, v. 46, p. 1169.

85. Ю.П. Рыбаков. Киральные самогравитирующие космические вихри.- Ядерная физика, 2005, т. 68, № 6, с. 1083.

86. Ю.П. Рыбаков, И.С. Иванова. Замкнутые космические киральные струны Скирма-Эйнштейна. — Ядерная физика, 2007, т. 70, № 7, с. 1353.

87. Yu.P. Rybakov. Gauge chiral cosmic strings in general relativity. — Ядерная физика, 2009, т. 72, № 5, с. 891.

88. A. Vilenkin. Cosmic stringsas gravitational lenses. — Astrophys. J. Lett. Ed., 1984, v. 282, p. 51.

89. A.N. Aliev, D.V. Galtsov. Gravitational Aharonov-Bohm radiation in string generated conical space-time. — Ann. of Phys., 1989, v. 193, p. 142.

90. A.H. Алиев, Д.В. Гальцов. Гравитационное излучение в поле космической струны. — ЖЭТФ, 1989, т. 96, с. 3.

91. Д.В. Гальцов, Э. Масар. Движение тел в пространстве времени Швар-шильда с коническими особенностями. — ТМФ, 1989, т. 80, 2, с. 393.

92. Д.В. Гальцов, Э. Масар. Задача двух тел в коническом пространстве. — Астрон. журнал, 1989, т. 66, с. 393.

93. А.Н. Алиев, Д.В. Гальцов. О гравитационных эффектах в поле космической струны и центрального тела. — Письма в Астрон. журнал, 1988, т. 14, № 2, с. 116.

94. A. Vilenkin. Gravitational field of vacuum domain walls and strings. — Phys. Rev. D., 1981, v. 23, p. 852.

95. А.А. Соколов, И.М. Тернов. Релятивистский электрон. — М.: Наука, 1974.

96. Н.П. Клепиков. Силы торможения излучением и излучение заряженных частиц. УФН, 1985, т. 146, с. 317.

97. B.C. Кривицкий, В.Н. Цытович. О средней силе радиационного трения в квантовой электродинамике. — УФН, 1991, т. 161 (3), с. 125.

98. B.S. DeWitt, R.W. Brehme. Radiation damping in a grvitational field. — Ann. Phys. (New York), v. 9, p. 220.

99. J.M. Hobbs. A vierbein formalism of radiation damping. — Ann. Phys. (New York), 1968, v. 47, p. 141.

100. J.M. Hobbs. Radiation damping in comformally flat universes. — Ann. Phys. (New York), 1968, v. 47, p. 166.

101. C.M. DeWitt, B.S. DeWitt. Falling charges. Physics., 1964, v. 1, p. 3.

102. A. Vilenkin. Self-interaction of charged particles in the gravitational field.- Phys. Rev. D., 1979, v. 20, p. 373.

103. A.G. Smith, C.M. Will. Force on a static charge outside a Schwarzschild black hole. Phys. Rev. D., 1980, v. 22. p. 1276.

104. B. Leaute, B. Linet. Electrostatics in a Reissner-Nordstrom spacetime.- Phys. Lett. A., 1976, v. 58, p. 5.

105. V.P. Frolov, A.I. Zelnikov. Vacuum polarization by a massive scalar field in Schwarzschild space-time. — Phys. Lett. В., 1982, v. 115, p. 372.

106. B. Leaute. Electromagnetisme dans l'espace-temps de Kerr. — Ann. Inst. Henri Poincare Sect. A. 1977, v. 27. p. 167.

107. B. Linet. Force on a charge in the space-time of a cosmic string. — Phys. Rev. D., 1986, v. 33, p. 1833.

108. N.R. Khusnutdinov, V.B. Bezerra Self-energy and self-force in the space-time of a thick cosmic string. — Phys. Rev. D., 2001, v. 64, 083506.

109. E.R. Bezerra de Mello. Self-forces on electric and magnetic linear sources in the space-time of a cosmic string. — Phys. Rev. D., 1995, v. 51, p. 7140.

110. Yu.V. Grats, A. Garcia. Topological interactions in (2 + l)-gravity: classical fields. — Class. Quantum Grav., 1996, v. 13, p. 189.

111. E.R. Bezerra de Mello, V.B. Bezerra, Yu.V. Grats. Self-forces in the spacetime of multiple cosmic strings. — Class. Quantum Grav., 1998, v. 15, p. 1915.

112. Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, A.B. Лаврентьев. Поляризация вакуума и топологическое самодействие заряда в мультиконическом пространстве. — Ядерная Физика, 1995, т. 58, с. 570.

113. Ю.В. Грац, А.А. Россихин. Электростатика на локально-плоском пространстве с коническими особенностями. — ТМФ, 2000, т. 123. с. 150.

114. Н.Р. Хуснутдинов. Эффекты самодействия частиц в гравитационном поле. УФН, 2005, т.175, №6, с.609.

115. Г.Е. Шилов. Математический анализ: второй специальный курс. — М.: Наука 1965.

116. Э. Э. Боос, И. П. Волобуев, Ю. А. Кубышин, М. Н. Смоляков. Эффективные лагранжианы модели Рэндалл-Сундрума. — ТМФ., 2002, т. 131, № 2, с. 216.